ejemplos. · ejemplo jxj. cuando la funci on tiene ’saltos’. ejemplo h(x), funci on a trozos...
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DEFINICION. Una funcion es diferenciable en a si f ′(a) existe, ydiremos que es diferenciable en un intervalo abierto si es diferenciableen cada uno de los puntos del intervalo.
NOTA. Para las funciones que estamos estudiando (f : R→ R) serdiferenciable y ser derivable tienen el mismo significado.
EJEMPLOS. ¿Donde son diferenciables las siguientes funciones?
f (x) = x3 − x
f (x) = ex
f (x) = |x |
() 25 de mayo de 2012 1 / 9
DEFINICION. Una funcion es diferenciable en a si f ′(a) existe, ydiremos que es diferenciable en un intervalo abierto si es diferenciableen cada uno de los puntos del intervalo.
NOTA. Para las funciones que estamos estudiando (f : R→ R) serdiferenciable y ser derivable tienen el mismo significado.
EJEMPLOS. ¿Donde son diferenciables las siguientes funciones?
f (x) = x3 − x
f (x) = ex
f (x) = |x |
() 25 de mayo de 2012 1 / 9
DEFINICION. Una funcion es diferenciable en a si f ′(a) existe, ydiremos que es diferenciable en un intervalo abierto si es diferenciableen cada uno de los puntos del intervalo.
NOTA. Para las funciones que estamos estudiando (f : R→ R) serdiferenciable y ser derivable tienen el mismo significado.
EJEMPLOS. ¿Donde son diferenciables las siguientes funciones?
f (x) = x3 − x
f (x) = ex
f (x) = |x |
() 25 de mayo de 2012 1 / 9
Teorema
Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a
NOTA
La reciproca no es cierta. Ejemplo f (x) = |x |.El anterior teorema nos ayuda a identificar algunos de los puntos endonde la funcion NO puede ser derivable, estos son los puntos dediscontinuidad.
() 25 de mayo de 2012 2 / 9
Teorema
Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a
NOTA
La reciproca no es cierta. Ejemplo f (x) = |x |.El anterior teorema nos ayuda a identificar algunos de los puntos endonde la funcion NO puede ser derivable, estos son los puntos dediscontinuidad.
() 25 de mayo de 2012 2 / 9
Teorema
Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a
NOTA
La reciproca no es cierta. Ejemplo f (x) = |x |.El anterior teorema nos ayuda a identificar algunos de los puntos endonde la funcion NO puede ser derivable, estos son los puntos dediscontinuidad.
() 25 de mayo de 2012 2 / 9
¿COMO DEJA DE SER UNA FUNCION DERIVABLE?
Cuando la funcion tiene ’picos’ o ’esquinas’. Ejemplo |x |.Cuando la funcion tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funcion a trozos queno sea continua.
Cuando la funcion tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo f (x) = 3√x .
Notemos que dos de las anteriores observaciones se siguen del teoremaenunciado.
() 25 de mayo de 2012 3 / 9
¿COMO DEJA DE SER UNA FUNCION DERIVABLE?
Cuando la funcion tiene ’picos’ o ’esquinas’. Ejemplo |x |.Cuando la funcion tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funcion a trozos queno sea continua.
Cuando la funcion tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo f (x) = 3√x .
Notemos que dos de las anteriores observaciones se siguen del teoremaenunciado.
() 25 de mayo de 2012 3 / 9
¿COMO DEJA DE SER UNA FUNCION DERIVABLE?
Cuando la funcion tiene ’picos’ o ’esquinas’. Ejemplo |x |.Cuando la funcion tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funcion a trozos queno sea continua.
Cuando la funcion tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo f (x) = 3√x .
Notemos que dos de las anteriores observaciones se siguen del teoremaenunciado.
() 25 de mayo de 2012 3 / 9
¿COMO DEJA DE SER UNA FUNCION DERIVABLE?
Cuando la funcion tiene ’picos’ o ’esquinas’. Ejemplo |x |.Cuando la funcion tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funcion a trozos queno sea continua.
Cuando la funcion tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo f (x) = 3√x .
Notemos que dos de las anteriores observaciones se siguen del teoremaenunciado.
() 25 de mayo de 2012 3 / 9
¿COMO DEJA DE SER UNA FUNCION DERIVABLE?
Cuando la funcion tiene ’picos’ o ’esquinas’. Ejemplo |x |.Cuando la funcion tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funcion a trozos queno sea continua.
Cuando la funcion tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo f (x) = 3√x .
Notemos que dos de las anteriores observaciones se siguen del teoremaenunciado.
() 25 de mayo de 2012 3 / 9
DERIVADAS DE POLINOMIOS
Si f (x) = c , donde c ∈ R, es decir, f es una funcion constante
d
dx(f (x)) =
d
dx(c) = 0
Usando la definicion podemos ver que
d
dx(x) = 1
d
dx(x2) = 2x
d
dx(x3) = 3x2
() 25 de mayo de 2012 4 / 9
DERIVADAS DE POLINOMIOS
Si f (x) = c , donde c ∈ R, es decir, f es una funcion constante
d
dx(f (x)) =
d
dx(c) = 0
Usando la definicion podemos ver que
d
dx(x) = 1
d
dx(x2) = 2x
d
dx(x3) = 3x2
() 25 de mayo de 2012 4 / 9
Si n ∈ N, entoncesd
dx(xn) = nxn−1
y este resultado se puede extener a cualquier potencia real, es decir, sia ∈ R entonces
d
dx(xa) = axa−1
EJEMPLOEncontrar la funcion derivada de las siguientes funciones
f (x) =√x
f (x) =7√x5
f (x) = 1x
f (x) = xπ
() 25 de mayo de 2012 5 / 9
Si n ∈ N, entoncesd
dx(xn) = nxn−1
y este resultado se puede extener a cualquier potencia real, es decir, sia ∈ R entonces
d
dx(xa) = axa−1
EJEMPLOEncontrar la funcion derivada de las siguientes funciones
f (x) =√x
f (x) =7√x5
f (x) = 1x
f (x) = xπ
() 25 de mayo de 2012 5 / 9
Si n ∈ N, entoncesd
dx(xn) = nxn−1
y este resultado se puede extener a cualquier potencia real, es decir, sia ∈ R entonces
d
dx(xa) = axa−1
EJEMPLOEncontrar la funcion derivada de las siguientes funciones
f (x) =√x
f (x) =7√x5
f (x) = 1x
f (x) = xπ
() 25 de mayo de 2012 5 / 9
Si f y g son funciones diferenciables, y c ∈ R una constante, entoncesddx [cf (x)] = c d
dx f (x)ddx [f (x) + g(x)] = d
dx f (x) + ddx g(x)
es decir, el operador derivada es un operador lineal, respeta la suma y lamultiplicacion por constantes.
EJEMPLO Encontrar la derivada de las siguientes funciones
f (x) = x3 − x
f (x) = 4x2
f (x) = 5x3 + 3x2 − x + 1
() 25 de mayo de 2012 6 / 9
Si f y g son funciones diferenciables, y c ∈ R una constante, entoncesddx [cf (x)] = c d
dx f (x)ddx [f (x) + g(x)] = d
dx f (x) + ddx g(x)
es decir, el operador derivada es un operador lineal, respeta la suma y lamultiplicacion por constantes.
EJEMPLO Encontrar la derivada de las siguientes funciones
f (x) = x3 − x
f (x) = 4x2
f (x) = 5x3 + 3x2 − x + 1
() 25 de mayo de 2012 6 / 9
Sabemos qued
dxex = ex
y qued
dxsin x = cos x
Ademas, usando la definicion
d
dxcos x = − sin x
() 25 de mayo de 2012 7 / 9
Sabemos qued
dxex = ex
y qued
dxsin x = cos x
Ademas, usando la definicion
d
dxcos x = − sin x
() 25 de mayo de 2012 7 / 9
Sabemos qued
dxex = ex
y qued
dxsin x = cos x
Ademas, usando la definicion
d
dxcos x = − sin x
() 25 de mayo de 2012 7 / 9
A diferencia del calculo de lımites, las derivadas tienen propiedadesdiferentes para el producto y division de funciones. Si f y g funcionesdiferenciables, entonces
d
dx[f (x)g(x)] =
[d
dxf (x)
]g(x) +
[d
dxg(x)
]f (x)
en la notacion usual
(f (x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + g ′(x)f (x)
EJEMPLO Calcule las derivadas de las siguientes funciones
f (x) = cos2 x + x
g(x) = cos x sin x
h(x) = x2ex
() 25 de mayo de 2012 8 / 9
A diferencia del calculo de lımites, las derivadas tienen propiedadesdiferentes para el producto y division de funciones. Si f y g funcionesdiferenciables, entonces
d
dx[f (x)g(x)] =
[d
dxf (x)
]g(x) +
[d
dxg(x)
]f (x)
en la notacion usual
(f (x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + g ′(x)f (x)
EJEMPLO Calcule las derivadas de las siguientes funciones
f (x) = cos2 x + x
g(x) = cos x sin x
h(x) = x2ex
() 25 de mayo de 2012 8 / 9
Si f y g funciones diferenciables, entonces(f (x)
g(x)
)′=
f ′(x)g(x)− g ′(x)f (x)
[g(x)]2
EJEMPLO Calcule las derivadas de las siguientes funciones
f (x) = 1x
g(x) = tan x
h(x) = x2+1x−1
i(x) = sec x
() 25 de mayo de 2012 9 / 9
Si f y g funciones diferenciables, entonces(f (x)
g(x)
)′=
f ′(x)g(x)− g ′(x)f (x)
[g(x)]2
EJEMPLO Calcule las derivadas de las siguientes funciones
f (x) = 1x
g(x) = tan x
h(x) = x2+1x−1
i(x) = sec x
() 25 de mayo de 2012 9 / 9
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