amca2009_2

Congreso Anual 2009 de la Asociacin de Mxico de Control Automtico. Zacatecas, Mxico.

Nuevo modelo para el par mecnicode una turbina elica.

Juvenal Villanueva Maldonado y Luis Alvarez-IcazaInstituto de Ingeniera

Universidad Nacional Autnoma de Mxico04510 Coyoacn DF, Mxico

Resumen El par mecnico de una turbina elica semodela con una perspectiva de fenmeno de friccin. Sepropone un modelo para el par generado basado en lavelocidad relativa entre la velocidad del viento y la velocidadde las hlices. La principal ventaja de este modelo es laposibilidad de utilizar tcnicas de identificacin en tiemporeal para recuperar los valores de los parmetros. El modeloes comparado con un modelo de referencia heurstico,mostrando buen desempeo.

Palabras clave: Modelado, Turbina elica, Par Mecnico,Identificacin parametrica.

I. INTRODUCCINLas fuentes de energa renovable como sistemas de

generacin de energa elctrica han sido muy importantesen aos recientes. El uso de las turbinas elicas parala extraccin de la energa cintica del viento es unade las tecnologas con mayor crecimiento en el mundo(Danish, 2008). El principal objetivo de una turbinaelica es maximizar la potencia extraida del viento, bajocondiciones seguras de operacin. El uso de una tcnicaadecuada de control juega un papel muy importante enla conversin y en la extraccin segura de la potenciadisponible que hay en el viento.

En la literatura existen diferentes mtodos para el di-seo de controladores para maximizar el desempeo de laturbina elica (ver (Lima et al., 1999), (Song et al., 2000),(Lin y Qingding, 2003), (Balas et al., 2003), (Dadone yDambrosio, 2003), (Sakamoto et al., 2004), (Boukhezzar ySiguerdidjane, 2005), (Iyasere et al., 2008), (Muhando etal., 2008)). La mayora utiliza un modelo heurstico parala potencia mecnica (P ) y el coeficiente de potencia (Cp),los cuales estn dados por (Heier, 1998)

P =1

2Cp(, )ARx

3, (1)

Cp = 0.5

(116

i 0.4 5

)e

21

i , (2)

con1

i=

(1

+ 0.08

0.035

3 + 1

), (3)

Estudiante de posgrado, [email protected], [email protected], Corresponsal

y =

R

x, (4)

donde, P es la potencia mecnica de la turbina [W ] AR es el rea cubierta por las hlices durante la

rotacin [m2] Cp es el coeficiente de potencia de la turbina x es la velocidad del viento [m/s] es la densidad del aire [kg/m3] es la relacin de velocidades en la punta de las

hlices es el ngulo de ataque que presentan las hlices [] R es el radio de las hlices [m] es la velocidad angular de la turbina [rad/s]

Existen otros modelos para el coeficiente de potenciabasados en consideraciones aerodinmicas que son muycomplejos y por tanto de reducida utilidad prctica desdeel punto de vista de control.

La mayora de los trabajos encontrados en la literatura serefieren al modelo del coeficiente de potencia, a pesar deque en un sistema elico el par es la variable necesaria pararegular el generador elctrico al que normalmente se en-cuentran acoplados. Esto es cierto para mquinas sncronasy de velocidad variable. El diseo de controladores basadosen par para generadores elicos se puede consultar en (Tany Islam, 2004), (Li et al., 2005), (Zinck et al., 2007) y (Batiet al., 2008). La estimacin del coeficiente de potencia semuestra en (Mok, 2005), (Busawon et al., 2006) y (Odgaardet al., 2008), donde la relacin que se utiliza para obtenerel par est dada por

T =P

. (5)

Si se utiliza la Ec. (1), se tiene que

T =0.5Cp(, )ARx

3

, (6)

El conocimiento apropiado del par disponible en laturbina es necesario para fijar trayectorias elctricasdeseadas que la mquina elctrica deber seguir paramaximizar la potencia, donde Cp dado por Ec. (2), es el


trmino ms complejo en el modelo del par mecnico.

La aproximacin usada en este artculo es similar ala usada en (Villanueva y Alvarez-Icaza, 2008) donde seanaliza la transformacin que existe de energa desde unaperspectiva del fenmeno de friccin que se da entre elviento y las hlices de la turbina a travs de nociones develocidad relativa. En lugar de trabajar con el coeficientede potencia o la potencia disponible, ahora el par esmodelado directamente.

La aproximacin que se utiliza para el coeficientede potencia es conveniente para representar turbinas dediferentes dimensiones y capacidades, pero la estructuraque muestra la Ec. (2) hace difcil la estimacin de losparmetros para una turbina dada. Si el par se modelacon una estructura apropiada, entonces es posible utilizartcnicas de identificacin en lnea para obtener el valor delos parmetros.

El trabajo est organizado como sigue. En la seccinI-A se introduce una transformacin en el modelo de laEc. (2) que permite asignar un comportamiento simtricoal modelo del coeficiente de potencia e identifica dosmodos de operacin como turbina y ventilador. Basada enesta transformacin, la Seccin II introduce la nocin develocidad relativa que es conveniente para el modelado delpar mecnico. La Seccin III propone un modelo basadoen nociones de velocidad relativa. La forma de este modelose basa en un popular modelo de friccin. Finalmente,la Seccin IV presenta los resultados de las simulacionescomparados con el modelo heurstico de la Ec. (6), y laSeccin V presenta las conclusiones.

A. Representacin simtrica de CpIntuitivamente, la posibilidad de extraer energa cintica

del viento puede ser relacionada con una nocin delpromedio de alguna velocidad relativa entre el vientoy las hlices. De esta manera, si se usa el concepto develocidad relativa, es necesario tomar los dos regmenesde trabajo que las hlices pueden realizar: turbina yventilador. Para el modelo del coeficiente de potencia enla Ec. (2), la velocidad de punta de las hlices (), es elprincipal elemento para determinar su comportamiento.Cuando el comportamiento del modelo en Ecs. (2) - (4)se aplica para valores grandes de velocidad de punta , elmodelo produce un coeficiente de potencia negativo quecorresponde al comportamiento esperado cuando las hlicesestn actuando como ventilador y no como turbina. Sinembargo, la forma de esta aproximacin no correspondecon el comportamiento simtrico que se espera cuandoocurre la transicin turbina-ventilador. Esto es porque elmodelo heurstico en las Ecs. (2) - (4) est desarrolladoslo para describir el comportamiento de turbina y, noes vlido para valores negativos del coeficiente de potencia.

En (Villanueva y Alvarez-Icaza, 2007) se introduce unatransformacin de la velocidad de punta dada por

=x r

xm, xm 6= 0, (7)

donde xm es la velocidad media del viento y r es un radioequivalente (r 6= R). Si se usa la Ec. (4), las dos variables y estn relacionadas por

=R

r

[1

xmx

]. (8)

Si ahora se usa el modelo en las Ecs. (1) - (3) el radioequivalente es

r = R

[(0.4+ 5) +

4.06

3 + 1

116 0.08((0.4+ 5) +

4.06

3 + 1

)]. (9)

El coeficiente de potencia dado en trminos de es

Cp = sgn()0.5

(116

i 0.4 5

)e

21

i , (10)

donde i es calculada utilizando i = i(, ).

La Fig. 1 muestra las curvas caractersticas del nuevomodelo. Es posible observar la simetra en las curvasalrededor de la velocidad relativa cero, y que separa losdos modos de operacin como turbina y ventilador.

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Cp

= 0

= 1

= 2

= 5

= 10

= 25 = 30

Figura 1. Curvas caractersticas de Cp vs .

II. PAR MECNICO DE LA TURBINA ELICALa estructura altamente no lineal del modelo heurstico

del par mecnico en la Ec. (6) hace difcil encontrar losvalores de los parmetros y dificulta el uso de mtodoseficientes de identificacin de parmetros. La interaccin


de la turbina y el viento es muy compleja. Sin embargo, esdeseable tener una representacin razonable y simple delpar mecnico.

En este trabajo se propone un modelo alternativo parael par de la turbina elica. El modelo se desarrolla bajo lahiptesis de que una turbina es bsicamente un dispositivoque trabaja con base en la friccin entre el viento y lashlices. El objetivo es desarrollar un modelo que tengaintencin fsica, que sea fcil de utilizar y parametrizarpara propsitos de control.

Considere en principio una definicin de velocidad rela-tiva basada en el radio externo de las hlices por

xR = xR. (11)La Fig. 2 muestra el valor del par mecnico versus la

velocidad relativa, xR, para un valor de velocidad angularconstante ( = 26), y ngulos de ataque = 0, 1, 2, 5,10, 20 y 30 obtenido de las Ecs. (2)-(4), (6) y (11).

110 105 100 95 90 85 80 75 70 65 601000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

Velocidad relativa, (xR),[m/s]

Parmecanico,(T),[N

m]

= 1

= 0

= 2

= 5

= 10

= 30

= 20

Figura 2. Par mecnico vs velocidad relativa, xR, para diferentes valoresde .

De la Fig. 2, se puede observar que si T = 0 entoncesxR 6= 0 y el valor de xR en los puntos donde el torque escero es diferente para cada . Una nueva velocidad relativa,xr, es necesaria de tal forma que

T = 0 xr = 0,

con

xr = x r, (12)donde el valor de r se ajusta de acuerdo con la Ec. (9)que depende de . La Fig. 3 muestra los resultados deeste proceso donde las dos regiones de operacin, turbinay ventilador, se distinguen claramente.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 501000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

Velocidad relativa, (xr),[m/s]

Parmecanico,(T),[N

m]

= 20

= 30

= 2 = 5

= 10 = 1 = 0

Figura 3. Par mecnico vs velocidad relativa, xr , para diferentes valoresde .

III. NUEVO MODELO PARA EL PAR MECNICO DE LATURBINA

El inters para el control de los aerogeneradores estdirectamente relacionado con la transformacin de laenerga cintica que se extrae del viento. En esta seccinse introduce un nuevo modelo que representa directamenteel par mecnico de la turbina, dejando a un lado el uso depotencia elctrica o el coeficiente de potencia. Este modelose presenta en trminos de la velocidad relativa definidaen la seccin previa.

El modelo propuesto est dado por

T = 1x2

r + 2xr + 3, (13)donde 1, 2 y 3 son parmetros que deben ser estimados.Este modelo est parcialmente inspirado en la forma quetiene un modelo de friccin dinmico (Canudas de Wit etal., 1995). Para realizar la parametrizacin se toma la Ec.(12) y se sustituye en Ec. (13), y por lo que se tiene que

T = [x2 x(2 + 1) 2 1]

0123

, (14)

donde el vector de parmetros est dado por

=

1r1 + 2r21 + r23

=

0123

.

Debido a que el radio se define con la Ec. (9) y esdependiente de , se toma como un parmetro desconocido.Para recuperar r y los parmetros i de la Ec. (13), desde


los parmetros i de la Ec. (14), se tienen las siguientesrelaciones

r =21

, (15)

1 = 0, (16)

2 = 1 21

0, (17)

3 = 3. (18)IV. RESULTADOS

A. Datos de simulacinPara examinar el modelo propuesto se confronta con

el modelo de referencia dado por las Ecs. (6) - (10). Losparmetros i son estimados con el mtodo de identificacinde mnimos cuadrados (Ioannou y Sun, 1996). Los datos1utilizados son los siguientes

R = 4.5 m xm = 1 m = 1.225 kg

m3

= 8

Como seal de excitacin, se utiliza la seal de vientotomada durante el da 3 de enero del 2006 en el cerro LaVirgen en el estado de Zacatecas a una altura de 40 m conun tiempo de muestreo de 10 seg. Tomando los datos delarchivo, se lleva a cabo una interpolacin lineal con la quese obtiene el perfil mostrado en la Fig. 4.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x 104

2

4

6

8

10

12

14

16

tiempo, (t), [seg]

vel.

viento,(x),[m

/s]

Figura 4. Perfil de viento, 3/01/2006, alt: 40 mts., La virgen, Zacatecas.

Existen dos tipos de generadores que son utilizados porla industria, sncronos y de velocidad variable. En este

1El valor del radio R, es similar al de una turbina industrial.

ltimo caso, se fij el valor de = 0, 1, 2, 5, 10, 20, 30oy se aplic un perfil de velocidad angular dado por la Fig.5. Este perfil de permite mantener = 8, ya que es elpunto mximo de conversin que permiten los datos delmodelo de referencia.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x 104

0

5

10

15

20

25

30

35

40

tiempo, (t), [seg]

vel.

angular,(),[rad/seg]

Figura 5. Perfil de velocidad angular, , para = 8.

En la Fig. 6 se observan las seales del par mecnicoque se obtuvo del modelo de referencia y del modelopropuesto, para cada uno de los valores de . El modelopropuesto presenta una buena respuesta con respecto almodelo de referencia, ya que despus de 700 segundos nose puede observar la diferencia.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100001000

500

0

500

1000

1500

2000

tiempo, (t), [seg]

Parmecanico,(T),[N

m]

= 0 = 1

= 2

= 30 = 20

= 10 = 5

Modelo de referencia: linea continua [-]Modelo propuesto: linea discontinua []

Figura 6. Par mecnico vs tiempo.

El error de estimacin del par mecnico se muestraen la Fig. 7. Obsrvese que es muy pequeo y conformeel tiempo crece, el error decrece. La Fig. 8 muestra elvalor del radio r, donde se aprecia que para cada i este


converge al valor de r = 0.5625.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

600

400

200

0

200

400

600

800

tiempo, (t), [seg]

errordelpar,(eT),[N

m]

Figura 7. Error de estimacin del par mecnico.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x 104

5

4

3

2

1

0

1

tiempo, (t), [seg]

radio,(r),[m

]

Figura 8. Radio estimado, r.

En la Fig. 9 se muestra la evolucin de los parmetrosi con respecto al tiempo (t), stos convergen despusde un tiempo. La Fig. 10 presenta los resultados para losparmetros i. Se observa que 3 despus de un tiempologra estabilizarse en un mismo valor independiente delvalor de , mientras que para 1 y 2 se logran estabilizar,pero su valor es distinto para cada valor de , tal como semuestra en Fig. 11.

V. CONCLUSIONESEn la bsqueda de una nueva forma de modelar una

turbina elica, con el objetivo de obtener un modelo sencilloy de fcil uso en el diseo de controladores, se explor elfenmeno de friccin que existe entre el viento y las hlices.

0 2 4 6 8x 104

110

120

130

140

150

160

0

0 2 4 6 8x 104

0

20

40

60

80

1

0 2 4 6 8x 104

60

40

20

0

20

40

tiempo, (t), [seg]

2

0 2 4 6 8x 104

600

400

200

0

200

tiempo, (t), [seg]

3

Figura 9. Evolucin de parmetros i vs tiempo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x 104

100

150

200

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x 104

1000

0

1000

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x 104

500

0

500

tiempo, (t), [seg]

3

Figura 10. Valor de los parmetros i vs tiempo.

Se propuso un nuevo modelo para el par mecnico de unaturbina. El modelo fue obtenido bajo la suposicin de que laturbina puede trabajar en dos regiones, como turbina y comoventilador. La estructura del modelo est inspirada por larepresentacin de los modelos dinmicos de friccin en unintento de reproducir la transformacin de energa cinticadel viento en energa mecnica en las hlices como unfenmeno de friccin. Se utiliz la velocidad relativa entreel viento y las hlices como variable principal para el nuevomodelo. El modelo muestra un comportamiento similar alde un modelo heurstico muy popular en la literatura, yproporciona una muy buena capacidad de reproduccin delpar mecnico de la turbina. Entre las ventajas que existende utilizar el nuevo modelo son su sentido fsico y quees posible utilizar tcnicas de identificacin paramtrica enlnea para obtener los valores de los parmetros, as como elvalor del radio equivalente de la turbina dada. La validacinexperimental del modelo est en proceso.


3 4 5 6 7 8x 104

112114116118120

1

3 4 5 6 7 8x 104

10

0

10

20

2

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5x 104

0.30.20.1

0

tiempo, (t), [seg]

3

Figura 11. Acercamiento de los parmetros i.

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