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Algebra

linealUnidad 2.

Problema: Sustancias que funcionan como super proteínas a través de matrices

Instrucciones: Lee el problema y al final, realiza lo que se te pide.

Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que funcionara como una super proteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una zona petrolera. El objetivo era crear microorganismos más resistentes y en el caso de que existiera algún derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza. Durante la investigación se presentaron muchas dificultades, pues se tenían previstos tres proyectos diferentes, mismos que resultaron un rotundo fracaso. En cada uno de éstos se desarrolló una sustancia diferente y cuando se realizaron las pruebas con las sustancias, éstas no mejoraron a los microorganismos como se esperaba, por esto los frascos que contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio. Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se vaciaron al contenedor y luego de ponerla en el microscopio observaron los resultados. La muestra era producto de un accidente científico.

Después cada grupo hizo colocó una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto con el fin de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo. Así, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que se encontraba en el contenedor.

Por consiguiente, se dieron cuenta que nadie sabía exactamente la cantidad que depositaron de la sustancia, sin embargo tenían el recipiente en el que señalaron la medida. Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y así encontrarían los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, entonces realizaron las siguientes pruebas:

1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera y obtuvieron 4.5 litros de la sustancia final.

2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera, y obtuvieron 12 litros.

Nota: Para encontrar lo que se te pide supón que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la repetición del mismo)se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera.

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales

1

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Para resolver este problema, realiza lo siguiente:

1. Integra en este archivo las actividades las respuestas que diste en las actividades Representación matricial y Método de Gauss. Después,

Sistemas de ecuaciones:

2 x+2 y+z=4 . 54 x+6 y+3 z=126 x+9 y+7 z=20

Matriz.

A=¿ (221¿ ) ( 463¿ )¿¿

¿¿

B=¿ ( 4 .5 ¿ ) (12 ¿ ) ¿¿

¿¿ A|B=¿ (221|4 .5 ¿ ) (463|12 ¿ ) ¿¿

¿¿

Método de Gauss

20697

12463

5.4221

BA

275

150

53

X

A continuación se genera la matriz ampliada derivado del sistema de ecuaciones:

20697

12463

5.4221

A


2

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linealUnidad 2.

Se busca la forma reducida de la matriz:

0475.01 xx

0410/112 xx

045/43 xx

Por lo tanto la matriz escalonada es la siguiente:

4

3

2

1

x

x

x

x

x

= 1

5/4

10/11

75.0

4

x

La matriz aumentada queda de la manera siguiente:

A=|

x y z r2 2 1 4 .54 6 3 126 9 7 20

2, 6 y 7 se llaman pivotes, se pueden despejar las incógnitas usándolos como base; pero me es más sencillo si despejo usando las x de cada renglón.

A=|2 2 14 6 3|6 9 7 En este caso voy a dividir el primer renglón o fila (de aquí en adelante)

por entre 2, F2 – F1


3

|A=¿ (1|0|0|0 . 75 ¿ ) (0|1|0|11 /10 ¿ )¿¿

¿¿

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A=|2 2 1 4 . 54 6 3 126 9 7 20

| Se multiplica por ½ toda la fila 1

A=|1 1

12

2.25

4 6 3 126 9 7 20

|

Se multiplica por -4 y se suma a la fila 2

A=|1 1

12

2 .25

0 2 1 36 9 7 20

|

En la fila 3 se debe operar así: -6 * fila 1 + fila 3

A=|1 1

12

2.25

0 2 1 30 3 4 6.5

|

Ahora el 2 de la fila 2 se multiplica por ½

A=|

1 112

2.25

0 112

32

0 3 4 6.5

|

Ahora la fila 1 se multiplica y suma y resta así: -1*f2+f1

A=|

1 0 0 0 .75

0 112

32

0 3 4 6 .5

|

La fila 3 operará así: -3*f2+f3

A=|

1 0 0 0 .75

0 112

32

0 3 4 6 .5

|

A=|

1 0 0 0 .75

0 112

32

0 0 5 /2 2

|

La fila 3 se multiplicará por 2/5


4

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A=|

1 0 0 0 .75

0 112

32

0 0 1 4 /5

|

La fila 2 se multiplica por -1/2

A=|

1 0 0 0 .75

0 1 01110

0 0 1 4 /5

|

Con esto se determina los valores de las incógnitas por medio de Gauss – Jordan

Los valores para las incógnitas son:

x=0.75

y= 11/10

z= 4/5

o x= 0.75, y= 1.1 y z= 0.8

Para encontrar los determinantes x, y y z, se realiza lo siguiente

A=|2 2 14 6 3|6 9 7

Se obtiene la determinante del sistema:

= ((6*6*1)+(9*3*2)+(7*4*2)) – ((9*4*1)+(6*3*2)+(7*6*2))= (36+54+56)-(36+36+84)=

(146)-(156)= -10

La determinante del sistema es -10

Ahora se calculará la determinante x:

A=|4 . 5 2 112 6 3|20 9 7


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x= (120+121.5+168) – (108+120+189)= (409.5)-(417) = -7.5

La Determinante x del sistema es -7.5

Ahora se calculará la determinante y:

A=|2 4 . 5 14 12 3|6 20 7

y= ((6*12*1)+(20*3*2)+(7*4*4.5)) – ((20*4*1)+(6*3*4.5)+(7*12*2))=

y= (318)-(329)

y= -11

La determinante y es igual a -11-

Ahora se calcula la determinante z.

A=|2 2 4 .54 6 12|6 9 20

z= ((6*6*4.5)+(9*12*2)+(20*4*2)) – ((4*9*4.5)+(6*12*2)+(20*6*2))=

z= (162+216+160) – (162 + 144 + 240)=

z= (538) – (546)

z= -8

La determinante z tiene un valor de -8.

Ahora se deben solucionar los valores para las determinaciones de cada una de las ecuaciones dadas.


6

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Δ = -10

Δx = -7.5

Δy = -11

Δz = -8

Para la determinante x:

ΛxΛ

=−7 .5−10

=0. 75

Para la determinante y:

ΛyΛ

=−11−10

=1 .1

Para la determinante z:

ΛzΛ

= −8−10

=0 . 8

Ahora se comprueban las determinantes en las ecuaciones originales:

2 x+2 y+z=4 . 54 x+6 y+3 z=126 x+9 y+7 z=20

Se sustituyen las incógnitas x, y, z por aquellos valores respectivos en las determinantes x, y z.

2( . 75)+2(1 .1 )+.8=4 .51 .5+2 . 2+.8=4 .54 .5=4 . 5

Por lo que la primera ecuación está correcta.


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Ahora se realiza la comprobación en la segunda ecuación.

4 ( . 75)+6 (1.1)+3( . 8 )=123+6 .6+2 .4=1212=12

Con lo cual se comprueba que la segunda ecuación también está correcta.

Ahora se comprobará para la tercera ecuación.

6 (. 75 )+9(1. 1 )+7 ( . 8)=204 .5+9.9+5 .6=2020=20

Con lo que se comprueba que la tercera ecuación también está correcta.

Encuentra la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera

Primera sustancia: el vaso contenía: 0.75 litros

Segunda sustancia el vaso contenía: 1.1 litros

Tercera sustancia el vaso contenía: 0.8 litros

Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que se comentaron en la Actividad 1. Foro: Planteamiento del problema.


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Por el sistema de Cramer.

Se representa el sistema de ecuaciones en formato de matriz

|2 2 14 6 36 9 7

||xyz|=|

4 .51220

|

Se calculan los determinantes colocando todo en pequeñas partes

D=2|6 39 7

|−4|2 19 7

|+6|2 16 3

|

D=2((6∗7 )−(9∗3 ))−(4 )((2)(7 )−( 9)(1))+(6 )((2 )(3 )−(6 )(1 ))

D=30−20+0D=10

D=4 . 5|6 39 7

−(12 )|2 19 7

||+(20)|2 16 3

|

Dx=( 4 .5 )((6 )(7 )−( 9)(3 ))−(12)((2 )(7)−(9 )(1))+(20 )((2)(3 )−(6)(1 ))

Dx=67 .5−60+0Dx=67 .5−60Dx=7 .5

Dy=2|12 320 7

|−(4 )|4 .5 120 7

|+(6 )|4 .5 112 3

|

Dy=2((12 )(7 )−(20 )(3))−( 4 )((4 . 5 )(7)−(20 )(1)+(6 )(( 4 . 5)(3 )−(12 )(1))


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Dy=48−46+9Dy=2+9Dy=11

Dz=2|6 129 20

|−(4 )|2 4 . 59 20

|+(6 )|2 4 .56 12

|

Dz=(2 )((120)−(9 )(12))−( 4 )((2)(20 )−(9)( 4 . 5))+(6 )((2)(12 )−(6 )( 4 .5 ))

Dz=24+2−18Dz=26−18Dz=8

Ahora se debe aplicar x=Dx

D

x=7 .5¿10 ¿x=. 75 ¿

¿

Para y=Dy

D

y=1110

y=1 . 1

Para z=Dz

D


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z=810

z=45

z=0 . 8

2. Lee el planteamiento del siguiente problema:

Un grupo de ingenieros realiza el proyecto de mostrar en las escuelas la manera en que se debe elaborar impermeabilizante natural con baba de nopal. Para cubrir una superficie de 1 m² se requieren los siguientes materiales: 1/2 kilo de calidra, 1/2 kilo de cemento blanco, 1/3 de kilo de pega azulejo, 1/2 kilo de arena gris (cernida), 2/3 de barra de jabón de pasta, 1/6 de kilo de alumbre en piedra, 1/2 nopal de penca.

En la escuela secundaria Adolfo López Mateos, los alumnos tienen que impermeabilizar el techo de la biblioteca que mide 40 m², el auditorio de 50 m², 15 salones de 20 m² cada uno, 20 cubículos y la dirección de la escuela que mide 35 m².

Los gastos en material fueron los siguientes: de la dirección 1,067 pesos con 50 centavos, de los salones 9,150 pesos, de la biblioteca 1,220 pesos, de los cubículos 5,490 pesos, y del auditorio 1,525 pesos.

Cada nopal vale 1 peso y la barra de jabón está a 9 pesos.• ¿Cuál es el costo por kilo de cada uno de los otros materiales?• ¿Cuántos metros cuadrados mide cada uno de los cubículos que impermeabilizaron? Para solucionar este problema, realiza lo siguiente:

1. Construye un sistema de ecuaciones lineales con los datos de las tres pruebas que se mencionan en el problema.

1m2

½ kg de cal hidra½ kg de cemento blanco1/3kg de pega azulejo


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1/2kg de arena gris2/3 kg de barra de jabón1/6 kg de alambre en piedra½ kg de nopal de penca

Concepto Unidad Superficie m2

$ Costo $ Costo/Unidad

Biblioteca 1 40 1220 1220

Auditorio 1 50 1525 1525Salones 15 20 c/u 9150 510Cubículos

20 9 5490 274.50

Dirección 1 35 1067.50 1067.50

Costos1m2 1/2a + 1/2b +1/3c+1/2d+2/3e+1/6f +1/2g = 30.5

40m2 20a + 20b +40/3c+20d+80/3e+20/6f +20g = 122050m2 25a + 25b +50/3c+25d+100/3e+50/6f +25g = 1525

20m2 10a + 10b +20/3c+10d+40/3e+20/6f +10g = 6109m2 9/2a + 9/2b +3c+9/2d+6e+9/6f +9g = 2745

35m2 35/2a + 35/2b +35/3c+35/2d+70/3e+35/6f +35/2g = 1057.501/2a + 1/2b +1/3c+1/2d+2/3e (6)+1/6f +0.5g = 30.51/2a + 1/2b +1/3c+1/2d+2/3e+1/6f= 30.5 – 4 -0.25

1. 1/2a + 1/2b +1/3c+1/2d+2/3e+1/6f = 26.252. 20a + 20b +40/3c+20d+50/6f = 1050

3. 25a + 25b +50/3c+25d+50/6f= 1312.504. 10a + 10b +20/3c+10d++20/6f = 5255. 9/2a + 9/2b +3c+9/2d+9/6f = 236.25

35/2a + 35/2b +35/3c+35/2d+35/6f = 918.75

2. Representa el sistema mediante su forma matricial.

MATRIZ a b c d fBIBLIOTECA 20 20 40/3 20 20/3 1050AUDITORIO 25 25 50/3 25 50/6 1312.50SALONES 10 10 20/3 10 20/6 525CUBICULOS 9/2 9/2 3 9/2 9/6 236.25Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales

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DIRECCION 35/2 35/2 35/3 35/2 35/6 918.75

ORDEN DE ELMINACION51, 41, 52, 31, 42, 53, 21


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