Evidencia de Aprendizaje Unidad 2

ROMERO JUAN CARLOS

1. A partir del análisis que realizaste del problema y de lo comentado en el foro

Planteamiento del problema, efectúen lo siguiente:

• Construyan un sistema de ecuaciones lineales con los datos de las tres pruebas que

se mencionan en el problema y representen el sistema mediante su forma matricial.

De acuerdo con la nota proporcionada por la Profesora:

“Supón que el total utilizado de la sustancia 1 es de 6 vasos”,

“Supón que el total utilizado de la sustancia 2 es de 9 vasos”,

“Supón que el total utilizado de la sustancia 3 es de 7 vasos”,

Queda por especificar el volumen del 3er contenedor que fijaremos en 8 litros.

Realizo matriz para calcular los valores que faltan para generar el sistema de ecuaciones:

Sustancia 1 Sustancia 2 Sustancia 3Totales en

litros

2 2 1 4.5

4 6 3 12

0 1 3 8

6 9 7 24.5

Una vez obtenidos todos los valores, las ecuaciones quedarían de la siguiente manera:

2S1 + 2S2 +1S3 = 4.5

4S1 + 6S2 +3S3 = 12

0S1 + 1S2 + 3S3 = 8

Por lo tanto se representaría matricialmente de la siguiente manera:

A = (2 2 14 6 30 1 3) b=(4.5128 )

Como resultado es la siguiente matriz aumentada

A|b =(2 21 ⋮ 4 .54 63 ⋮ 120 13 ⋮ 8 )

2. Propongan un arreglo matricial para alguno de los ejemplos que se han visto durante

el estudio de la unidad (el de la contaminación ambiental, el de la bacteria, etc.) y que

sean de su área de estudio. Ejemplifiquen cómo utilizarían en ese caso las operaciones

de matrices.

Creación de ejemplo:

Manejemos un caso hipotético en el que un investigador desea conocer los residuos

tóxicos resultado de la reacción de la combinación de 3 gases en la atmosfera .para ello

realizo 3 pruebas con diferente cantidades de cada uno de los gases (medidas en volumen

de gases) del resultado solo capturo los mg de residuos toxico, por lo que desea conocer

el peso de los gases que interviene en cada una de las pruebas.

Hipotéticamente las pruebas se llevaron a cabo de la sig. Manera:

Prueba 1: se mezclaron 2 volúmenes de Gas1 +7 volúmenes de Gas2 + 4 volúmenes de

Gas3 obteniéndose un total de 5mg de residuos tóxicos

Prueba 2: se mezclaron 4 volúmenes de Gas1 +7 volúmenes de Gas2 + 2 volúmenes de

Gas3, obteniéndose un total de 6 mg de residuos tóxicos.

Prueba 3: se mezclaron 7 volúmenes de Gas1 +2 volúmenes de Gas2 + 4 volúmenes de

Gas3, obteniéndose 5.5 mg de residuos tóxicos

Identificando los gases:

Al gas número 1 lo llamaremos G1

Al gas número 2 lo llamaremos G3

Al gas número 3 lo llamaremos G3

El sistema de ecuaciones quedará así:

2G1 + 7G3 + 4G3 = 5 Mg

4G1 + 7G3 + 2G3 = 6 Mg

7G1 + 2G3 + 4G3 = 5.5 Mg

El arreglo matricial seria:

A =(2 7 44 7 27 2 4) b=( 565.5)

Ahora supongamos que en este ejercicio además el investigador quisiera demostrar

los efectos por residuos tóxicos si se utilizara las misas cantidades de gases por la

misma cantidad de pruebas en un segundo ejercicio es decir 2 pruebas en las

mismas condiciones.

Tendría que multiplicar por un escalar 2 la matriz ya calculada

O si quisiera medir los efectos de los restantes contaminantes existente tendría

que sumar las matrices, correspondientes.

Método de Gauss:

1. Retoma los resultados de la Actividad 2: Representación matricial, mismos que

publicaron en la base de datos y resuelve el problema por el método de Gauss.

2S1 + 2S2 +1S3 = 4.5

4S1 + 6S2 +3S3 = 12

0S1 + 1S2 + 3S3 = 8

Primero generamos la matriz ampliada derivado del sistema de ecuaciones:

A = (2 21 4.54 63 120 13 8 )

A = (2 21 4.54 63 120 13 8 ) F2 – (2) F1 F2

(2 21 4.50 21 30 13 8 ) (2)F3 – F2 F3

Por lo tanto la matriz escalonada es la siguiente:

(2 21 4.50 21 30 05 13 )

Se despeja z

5z =13 z =135

z= 2.6

Despejando z

2y +z= 3 2y+2.6= 3 Y=3−2.62

=0.42

Y=0.2

Despejando x

2x+2y+z= 4.5 2x+2(0.2)+2.6=4.5 X=4.5−2(0.2)−2.6

2

X=4.5−0.4−2.6

2 X= 0.75

2. Encuentra la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda

y tercera

Primera sustancia: el vaso contenía: 0.75 litros

Segunda sustancia el vaso contenía: 0.2 litros

Tercera sustancia el vaso contenía: 2.6 litros

3. Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que se comentaron en la

Actividad 1. Foro: Planteamiento del problema.

Sistema de ecuaciones:

2X + 2Y + Z = 4.5

4X + 6Y + 3Z = 12

1Y + 3Z = 8

Procedemos a una solución alternativa solicitada:

Despejamos Z de ecuación 1

Z = 4.5 – 2X – 2Y

Sustituimos el valor obtenido en la ecuación 2 y 3

4X + 6Y+ 3 (4.5 – 2X – 2Y) = 12………. (2)

Y + 3 (4.5 – 2X – 2Y) = 8………………. (3)

4X+ 6Y+ 13,5 -6X – 6Y =12…… (2)

Y + 13,5 -6X -6Y =8………. (3)

-5Y- 6X + 13.5 =8

-2X + 13.5 = 12

-5Y- 6X = 8 – 13.5

-2X =12 – 13,5

-5Y- 6X = -5.5

-2X =12 – 13,5

-5Y = - 5.5+ 6(0.75)

X = 1.52

-5Y= -5.5 + 4.50

-5Y= -1

X= 0.75

Y= 15

Y = 0.2

Z = 4.5 – 2X – 2Y

Z= 4,5 - 2(0.75)- 2(0.2)

Z=4.5 - 1.50 - 0.4

Z= 2.6

• Utiliza el método de Gauss Jordan para encontrar la cantidad en litros

que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera sustancia.

• Comprueba tus resultados por alguno de los métodos de comprobación.

A resolver por el método de Gauss Jordan:

A = (2 21 4.54 63 120 13 8 )

A = (2 21 4.54 63 120 33 8 ) F2 – (2) F1 F2

(2 21 4.50 21 30 13 8 ) (2)F3 – F2 F3

(2 21 4.50 21 30 05 13 )

(2 21 4.50 21 30 05 13 ) (1/2) F1

(1 11/2 2.250 21 30 05 13 )(1/2) F2

(1 11/2 2.250 11/2 1 .50 05 13 )F1 - F2 F1

(1 00 0.750 11/2 1 .50 05 13 ) (1/5) F3

(1 00 0.750 11/2 1 .50 01 2 .6 ) - (1/2) F3 +F2 F2

(1 00 0.750 10 0 .20 01 2 .6 )

Por lo tanto las cantidades en litros de las sustancias son las siguientes:

Primera sustancia: el vaso contenía: 0.75 litros

Segunda sustancia el vaso contenía: 0.2 litros

Tercera sustancia el vaso contenía: 2.6 litros

2. Lee el planteamiento del

siguiente problema:

Un grupo de ingenieros realiza el proyecto de mostrar en las escuelas la

manera en que se debe elaborar impermeabilizante natural con baba de

nopal. Para cubrir una superficie de 1 m² se requieren los siguientes

materiales: 1/2 kilo de calidra, 1/2 kilo de cemento blanco, 1/3 de kilo de

pega azulejo, 1/2 kilo de arena gris (cernida), 2/3 de barra de jabón de

pasta, 1/6 de kilo de alumbre en piedra, 1/2 nopal de penca.

En la escuela secundaria Adolfo López Mateos, los alumnos tienen que

impermeabilizar el techo de la biblioteca que mide 40 m², el auditorio de 50

m², 15 salones de 20 m² cada uno, 20 cubículos y la dirección de la escuela

que mide 35 m².

Los gastos en material fueron los siguientes: de la dirección 1,067 pesos con

50 centavos, de los salones 9,150 pesos, de la biblioteca 1,220 pesos, de los

cubículos 5,490 pesos, y del auditorio 1,525 pesos.

Cada nopal vale 1 peso y la

barra de jabón está a 9

pesos.

• ¿Cuál es el costo por kilo de cada uno de los otros materiales?

• ¿Cuántos metros cuadrados mide cada uno de los cubículos que

impermeabilizaron?

Para solucionar este problema, realiza lo siguiente:

1. Construye un sistema de ecuaciones lineales con los datos de las tres

pruebas que se mencionan en el problema.

2. Representa el sistema

mediante su forma

matricial.

3. Resuelve el problema por el método de

Gauss o de Gauss-Jordan.

4. Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que se

comentaron en el foro Planteamiento del problema.

5. Responde las preguntas que se

plantean al final del problema.2

Analizando el ejercicio y los datos proporcionados se genera esta ecuación general o

modelo

(1/2) s1+ (1/2) s2 + (1/3) s3 + (1/2) s4 + (2/3) 9 + (1/6) s6 + (1/2)1 = 1

6.49999

(1/2) s1+ (1/2) s2 + (1/3) s3 + (1/2) s4 + (1/6) s6 + 6.5 = 1

Se coloca el valor del precio de la sustancias 5 y 6, proporcionados como datos en el problema el problema

Apoyándonos en la ecuación del planteamiento general empezamos elaborar nuestro

sistema de ecuaciones ya con una constante de 6.5 equivalente a los 2 datos conocidos

s5 y s7.

Y para poder relacionar metros con costo en las ecuaciones solo van cambiando los

coeficientes según los metros cuadrados que se impermeabilizara por cada sección.

Ecuación 1: .Biblioteca

40(1/2) s1+ 40(1/2) s2 + 40(1/3) s3 + 40(1/2) s4 + 40(1/6) s6 + 40(6.5) = 1220

Ecuación 2: Auditorio

50(1/2) s1+ 50(1/2) s2 + 50(1/3) s3 + 50(1/2) s4 + 50(1/6) s6 + 50(6.5) s7 = 1525

Ecuación 3: 15 salones de 20 mts cada uno =300 mts

300(1/2) s1+ 300(1/2) s2 + 300(1/3) s3 + 300(1/2) s4 + 300(1/6) s6 + 300(6.5) = 9150

Ecuación 4: 20 cubiculos

35----------------1067.5

X------------------5490

X=180

180 (1/2) s1+ 180 (1/2) s2 + 180 (1/3) s3 + 180 (1/2) s4 + 180 (1/6) s6 + 180 (6.5) = 5490

Ecuación 5: la dirección de la escuela

35(1/2) s1+ 35(1/2) s2 + 35(1/3) s3 + 35(1/2) s4 + 35(1/6) s6 + 35(6.5) = 1067.5

Entonces ya nos quedaría un sistema con 5 ecuaciones y 5 incógnitas

40(1/2) s1+ 40(1/2) s2 + 40(1/3) s3 + 40(1/2) s4 + 40(1/6) s6 + 40(6.5) = 1220

50(1/2) s1+ 50(1/2) s2 + 50(1/3) s3 + 50(1/2) s4 + 50(1/6) s6 + 50(6.5) = 1525

300(1/2) s1+ 300(1/2) s2 + 300(1/3) s3 + 300(1/2) s4 + 300(1/6) s6 + 300(6.5) = 9150

180 (1/2) s1+ 180 (1/2) s2 + 180 (1/3) s3 + 180 (1/2) s4 + 180 (1/6) s6 + 180 (6.5) = 5490

35(1/2) s1+ 35(1/2) s2 + 35(1/3) s3 + 35(1/2) s4 + 35(1/6) s6 + 35(6.5) = 1067.5

Simplificando las ecuaciones:

20 s1+ 20 s2 + 13.33 s3 + 20 s4 + 6.66 s6 + 260 = 1220

25 s1+ 25 s2 + 16.66 s3 + 25 s4 +8.33 s6 + 325 = 1525

150 s1+ 150 s2 + 99.99 s3 + 150 s4 + 49.99 s6 + 1950 = 9150

90 s1+ 90 s2 + 59.99 s3 + 90 s4 + 29.99 s6 + 1170 = 5490

17.5 s1+ 17.5 s2 + 11.66 s3 + 17.5 s4 + 5.83 s6 + 227.5 = 1067.5

Continuamos simplificando más las ecuaciones:

20 s1+ 20 s2 + 13.33 s3 + 20 s4 + 6.66 s6 = 960

25 s1+ 25 s2 + 16.66 s3 + 25 s4 +8.33 s6 = 1200

150 s1+ 150 s2 + 99.99 s3 + 150 s4 + 49.99 s6 = 7200

90 s1+ 90 s2 + 59.99 s3 + 90 s4 + 29.99 s6 = 4320

17.5 s1+ 17.5 s2 + 11.66 s3 + 17.5 s4 + 5.83 s6 = 840

Representación matricial de este sistema quedaría de la sig. Manera:

Está hecha la corrección profesora:

El problema fue que por error de dedo coloque 1607.5 en lugar de 1067.5 una vez corregido esto ya me da 840 en la ecuación 5, también ya esta corregido en la matriz aumentada resultante.

Matriz ampliada:

Hasta aquí llegamos por tratarse de un matriz sin solución