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Algebra lineal Unidad 2. Matrices Actividad 3. Método de Gauss

Problema: Sustancias que funcionan como super proteínas a través de matrices

Instrucciones: Lee el problema y al final, realiza lo que se te pide.

Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que funcionara como una super proteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una zona petrolera. El objetivo era crear microorganismos más resistentes y en el caso de que existiera algún derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza. Durante la investigación se presentaron muchas dificultades, pues se tenían previstos tres proyectos diferentes, mismos que resultaron un rotundo fracaso. En cada uno de éstos se desarrolló una sustancia diferente y cuando se realizaron las pruebas con las sustancias, éstas no mejoraron a los microorganismos como se esperaba, por esto los frascos que contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio. Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se vaciaron al contenedor y luego de ponerla en el microscopio observaron los resultados. La muestra era producto de un accidente científico.

Después cada grupo hizo colocó una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto con el fin de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo. Así, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que se encontraba en el contenedor.

Por consiguiente, se dieron cuenta que nadie sabía exactamente la cantidad que depositaron de la sustancia, sin embargo tenían el recipiente en el que señalaron la medida. Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y así encontrarían los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, entonces realizaron las siguientes pruebas:

1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera y obtuvieron 4.5 litros de la sustancia final.

2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera, y obtuvieron 12 litros.

Nota: Para encontrar lo que se te pide supón que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la repetición del mismo)se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera.

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales

1


Para resolver este problema, realiza lo siguiente:

1. Integra en este archivo las actividades las respuestas que diste en las actividades Representación matricial y Método de Gauss.

Sistema de Ecuaciones

2s1 + 2s2 + 1s3 = 4.5L

4s1 + 6s2 + 3s3 = 12L

6s1 + 9s2 + 7s3 = m

Representación Matricial (A|b)

2 2 1 s1 4.5

4 6 3 ∙ s2 = 12

6 9 7 s3 m

2 2 1 | 4.5

4 6 3 | 12

6 9 7 | m

Resolución por método de Gauss

2 2 1 4.5

4 6 3 12

6 9 7 m

Para resolver por el método de Gauss se deberá reducir la matriz mediante operaciones por renglón,

hasta obtener una matriz triangular superior.

Paso 1 Multiplicar el renglón uno por -2 y sumarlo al renglón dos y colocar el resultado en el renglón

dos.

2 2 1 4.5

0 2 1 3

6 9 7 m


2


Paso 2 Multiplicar el renglón 1 por ½ y colocar el resultado en el renglón 1.

1 1 1/2 2.25

0 2 1 3

6 9 7 m

Paso 3 Multiplicar por -6 el renglón 1 y sumarle el tercer renglón, colocar el resultado en el renglón 3.

1 1 1/2 2.25

0 2 1 3

0 3 4 m-13.5

Paso 4 Multiplicar el renglón dos por ½ y colocar el resultado en el renglón 2.

1 1 1/2 2.25

0 1 1/2 1.5

0 3 4 m-13.5

Paso 5 Multiplicar el renglón 2 por -3 y sumarle el tercer renglón, colocar el resultado en el renglón 3.

1 1 1/2 2.25

0 1 1/2 1.5

0 0 5/2 m-18

Paso 6 Para tener los tres unos en la diagonal principal es necesario multiplicar el renglón 3 por 2/5.

1 1 1/2 2.25

0 1 1/2 1.5

0 0 1 2/5 m-7.2

Ahora asociaremos filas y columnas.

X1+ X2 + ½ X3 = 2.25

X2 + ½ X3 = 1.5

X3 = 2/5 m – 7.2


3


Despejando las ecuaciones para encontrar los valores de X1, X2 Y X3:

X3 = 2/5 m – 7.2

X2= 1.5 -1/2 (2/5 m – 7.2) = 1.5 – 2/10m + 3.6

X2= 5.1 -2/10 m

X1= 2.25 - 5.1 + 2/10 m - ½ (2/5 m – 7.2)

X1= -2.85 +2/10m -2/10m +3.6

X1= 0.75

Al sustituir los valores de X1, X2 Y X3 en las ecuaciones 1 y 2 (del sistema de ecuaciones original)


2s1 + 2s2 + 1s3 = 4.5L

4s1 + 6s2 + 3s3 = 12L

6s1 + 9s2 + 7s3 = m

2(0.75) + 2X2 + x3= 4.5 4(0.75) + 6X2 + 3x3= 12

1.5 + 2X2 + x3= 4.5 4(0.75) + 6X2 + 3x3= 12

2X2 + x3= 4.5 -1.5 6X2 + 3x3= 12 -3

2X2 + x3= 3 6X2 + 3x3= 9

Al observar los resultados de ambas ecuaciones por simple deducción podemos afirmar que X2=1=x3

Ahora que ya conocemos los valores de X1= 0.75; X2=1=x3, para conocer el valor de m, sustituiremos

estos valores en la ecuación 3.

6(0.75) + 9 (1) + 7 (1)= m

m= 4.5+9+7

m= 20.5L

Esto nos demuestra que en la prueba del accidente se obtuvieron 20.5 litros de la sustancia final.

Después,


4


• Utiliza el método de Gauss Jordan para encontrar la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera sustancia.


2s1 + 2s2 + 1s3 = 4.5L

4s1 + 6s2 + 3s3 = 12L

6s1 + 9s2 + 7s3 = m

Representación Matricial (A|b)

2 2 1 s1 4.5

4 6 3 ∙ s2 = 12

6 9 7 s3 m

2 2 1 | 4.5

4 6 3 | 12

6 9 7 | 20.5

En esta ocasión usaremos el valor de m=20.5, que determinamos en el inciso anterior.

Resolución por método de Gauss- Jordán

2 2 1 4.5

4 6 3 12

6 9 7 20.5

Paso 1 Multiplicar el renglón uno por -2 y sumarlo al renglón dos y colocar el resultado en el renglón

dos.

2 2 1 4.5

0 2 1 3

6 9 7 20.5

Paso 2 Multiplicar el renglón 1 por ½ y colocar el resultado en el renglón 1.


5


1 1 1/2 2.25

0 2 1 3

6 9 7 20.5

Paso 3 Multiplicar por -6 el renglón 1 y sumarle el tercer renglón, colocar el resultado en el renglón 3.

1 1 1/2 2.25

0 2 1 3

0 3 4 7

Paso 4 Multiplicar el renglón dos por ½ y colocar el resultado en el renglón 2.

1 1 1/2 2.25

0 1 1/2 1.5

0 3 4 7

Paso 5 Multiplicar el renglón 2 por -3 y sumarle el tercer renglón, colocar el resultado en el renglón 3.

1 1 1/2 2.25

0 1 1/2 1.5

0 0 5/2 2.5

Paso 6 Para tener los tres unos en la diagonal principal es necesario multiplicar el renglón 3 por 2/5.

1 1 1/2 2.25

0 1 1/2 1.5

0 0 1 1

Paso 7 Al renglón uno restarle el renglón dos y colocar el resultado en el renglón uno.

1 0 0 0.75

0 1 1/2 1.5

0 0 1 1


6


Paso 8 Multiplicar el renglón 3 por ½ y restarlo al renglón dos y colocar el resultado en el renglón dos.

1 0 0 0.75

0 1 0 1

0 0 1 1

De esta forma sabemos que la cantidad en litros usada en cada vaso de sustancia es:

S1= 0.75L S2= 1L S3= 1L

• Comprueba tus resultados por alguno de los métodos de comprobación.

2s1 + 2s2 + 1s3 = 4.5L

2(0.75) + 2(1) + 1(1) = 4.5

1.5 + 2 + 1 =4.5

4.5 = 4.5

4s1 + 6s2 + 3s3 = 12L

4(0.75) + 6(1) + 3 (1) = 12

3 + 6 + 3 = 12

12 = 12

6s1 + 9s2 + 7s3 = 20.5

6(0.75) + 9(1) + 7(1) = 20.5

4.5 + 9 + 7 = 20.5

20.5 = 20.5


7


2. Lee el planteamiento del siguiente problema:

Un grupo de ingenieros realiza el proyecto de mostrar en las escuelas la manera en que se debe elaborar impermeabilizante natural con baba de nopal. Para cubrir una superficie de 1 m² se requieren los siguientes materiales: 1/2 kilo de calidra, 1/2 kilo de cemento blanco, 1/3 de kilo de pega azulejo, 1/2 kilo de arena gris (cernida), 2/3 de barra de jabón de pasta, 1/6 de kilo de alumbre en piedra, 1/2 nopal de penca.

En la escuela secundaria Adolfo López Mateos, los alumnos tienen que impermeabilizar el techo de la biblioteca que mide 40 m², el auditorio de 50 m², 15 salones de 20 m² cada uno, 20 cubículos y la dirección de la escuela que mide 35 m².

Los gastos en material fueron los siguientes: de la dirección 1,067 pesos con 50 centavos, de los salones 9,150 pesos, de la biblioteca 1,220 pesos, de los cubículos 5,490 pesos, y del auditorio 1,525 pesos.

Cada nopal vale 1 peso y la barra de jabón está a 9 pesos.• ¿Cuál es el costo por kilo de cada uno de los otros materiales?• ¿Cuántos metros cuadrados mide cada uno de los cubículos que impermeabilizaron?

Para solucionar este problema, realiza lo siguiente:

Lo primero que se debe realizar en este problema es saber cuál es el costo de los materiales para 1 m2.Esto se puede determinar con una regla de tres:

40m2 = $1220.00 Z= 1m2 ($1220.00) / 40m21m2 = z Z= $ 30.5

1. Construye un sistema de ecuaciones lineales con los datos de las tres pruebas que se mencionan en el problema.

Para la construcción del sistema de ecuaciones, primero es necesario asignar una literal a cada uno de los materiales que se utilizaron para elaborar el impermeabilizante natural.

Calidra= x1Cemento blanco= x2Pega azulejo= x3


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Arena gris= x4Barra de jabón= x5 = $ 9.00Alumbre en piedra= x6Pieza de nopal= x7 = $ 1.00

Ec. 1 Para 1 m2

½ x1 + ½ x2 + ⅓ x3 + ½ x4 + ⅔ x5 + 1/6 x6 + ½ x7 = $ 30.5

Ec 2 Para la biblioteca20 x1 + 20 x2 + 40/3 x3 + 20 x4 + 80/3 x5 + 20/3 x6 + 20 x7 = $1220.00

Ec. 3 Para la dirección35/2 x1 + 35/2 x2 + 35/3 x3 + 35/2 x4 + 70/3 x5 + 35/6 x6 + 35/2 x7 = $1067.50

Ec. 4 Para el auditorio25 x1 + 25 x2 + 50/3 x3 + 25 x4 + 100/3 x5 + 50/6 x6 + 25 x7 = $1525.00

Ec. 5 Para los 15 salones (15 (20m2)) = 300m2150 x1 + 150 x2 + 100 x3 + 150 x4 + 200 x5 + 50 x6 + 150 x7 = $9150.00

Ec. 6 para los 20 cubículos (20y= 5490; y= (5490(1) / 30.5)/20= 9m2)

90 x1 + 90 x2 + 60 x3 + 90 x4 + 120 x5 + 30 x6 + 90 x7 = $5490.00

2. Representa el sistema mediante su forma matricial.De dichas ecuaciones conocemos los valores de x5 y x7 por lo que requerimos de 5 ecuaciones para hacer un arreglo matricial de 5x5, como el que se muestra a continuación:

1/2 1/2 1/3 1/2 1/6 2420 20 40/3 20 20/3 960

25 25 50/3 25 25/3 1200150 150 100 150 50 7200

90 90 60 90 30 4320

3. Resuelve el problema por el método de Gauss o de Gauss-Jordan.

Para resolver por el método de Gauss se deberá reducir la matriz mediante operaciones por renglón,

hasta obtener una matriz triangular superior.

Paso 1 Multiplicar el renglón uno por 2 y colocar el resultado en el renglón uno.


9


1 1 2/3 1 1/3 4820 20 40/3 20 20/3 960

25 25 50/3 25 25/3 1200150 150 100 150 50 7200

90 90 60 90 30 4320

Paso 3 multiplicar el renglón 3 por 6 y dividirlo entre el renglón cuatro y colocar el resultado en el renglón cuatro.

1 1 2/3 1 1/3 4820 20 40/3 20 20/3 960

25 25 50/3 25 25/3 12001 1 2/3 1 1/3 48

90 90 60 90 30 4320

Paso 4 Multiplicar el renglón dos por 1/20 y colocar el resultado en el renglón dos.

1 1 2/3 1 1/3 481 1 2/3 1 1/3 48

25 25 50/3 25 25/3 12001 1 2/3 1 1/3 48

90 90 60 90 30 4320

Paso 5 Multiplicar el renglón 3 por 1/25 y colocar el resultado en el renglón tres.

1 1 2/3 1 1/3 481 1 2/3 1 1/3 48

1 1 2/3 1 1/3 48

1 1 2/3 1 1/3 48

90 90 60 90 30 4320

Paso 6 Multiplicar el renglón 5 por 1/30 y colocar el resultado en el renglón cinco.

1 1 2/3 1 1/3 481 1 2/3 1 1/3 48

1 1 2/3 1 1/3 48

1 1 2/3 1 1/3 48

3 3 2 3 1 144


10


Paso 7 multiplicar el renglón tres por 3/2 y colocar el resultado en el renglón tres.

1 1 2/3 1 1/3 481 1 2/3 1 1/3 48

3/2 3/2 1 3/2 1/2 72

1 1 2/3 1 1/3 48

3 3 2 3 1 144

Ahora tenemos unos en la diagonal principal. Pero dado que todos los renglones son equivalentes unos con otros es imposible convertir en ceros los elementos debajo de la diagonal principal, sin hacer que los números por encima de ella y la misma diagonal se conviertan en cero.

1 1 2/3 1 1/3 480 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

Por lo que de aquí podemos determinar que x1 = x2 = x3 = x4 = x6

De acuerdo con la matriz podemos decir que:

x1 +x2 +2/3 x3 + x4 + 1/3 x6 = 48

O también lo podemos expresar como:

x1 +x1 +2/3 x1 + x1 + 1/3 x1 = 484x1= 48x1 = 48/4x1= 12

Por lo que podemos decir que x1 = x2 = x3 = x4 = x6 = 12

4. Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que se comentaron en el foro Planteamiento del problema.

Comprobemos los resultados en la Ec. 1


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Ec. 1 Para 1 m2

½ x1 + ½ x2 + ⅓ x3 + ½ x4 + ⅔ x5 + 1/6 x6 + ½ x7 = $ 30.5

½ (12) + ½ (12) + ⅓ (12) + ½ (12) + ⅔ (9) + 1/6 (12) + ½ (1) = $ 30.56 + 6 + 4 + 6 + 6 + 2 + 0.5 = 30.530.5= 30.5

La igualdad en la ecuación es correcta por lo que podemos responder a las preguntas del problema:

5. Responde las preguntas que se plantean al final del problema.2

• ¿Cuál es el costo por kilo de cada uno de los otros materiales?

Calidra= x1 = $ 12.00

Cemento blanco= x2 = $ 12.00

Pega azulejo= x3 = $ 12.00

Arena gris= x4 = $ 12.00

Barra de jabón= x5 = $ 9.00

Alumbre en piedra= x6 = $ 12.00

Pieza de nopal= x7 = $ 1.00

• ¿Cuántos metros cuadrados mide cada uno de los cubículos que impermeabilizaron?

Cada cubículo mide 9 m2. Esto se determino mediante una regla de tres.

20y= $5490.001m2= $ 30.50

20y= $ 5490.00 (1m2)/ $30.50 = 180m2y= 180m2/20y= 9m2


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