algoritmo de rachford y rice (5bar)....1

ALGORITMO DE RACHFORD Y RICECOEFICIENTE DE DISTRIBUCION

El siguiente trabajo tiene como finalidad desarrollar el algoritmo de Rachford y Rice mediante un diagrama de flujo en donde con el desarrollo de este, se obtengan las composiciones del liquido y la temperatura de roco especificndonos desde un principio la presin y las composiciones en el vapor.

Como principal objetivo se busca que el estudiante defina y establezca con propiedad el significado cuantitativo del coeficiente de actividad representado por la siguiente ecuacin:

A continuacin se establecer el ejercicio planteado por el profesor con el fin que los estudiantes comprueben los resultados presentados.

Se consignara una tabla que contenga informacin sobre aquellas constantes utilizadas en el trabajo.

CONSTANTESUNIDADES

R

Tabla No. 0 Constantes

EJERCICIO No. 1

Calcular la temperatura de roci de una mezcla con 80% de isobuteno (1) y 20% de benceno (2) a 5 bar empleando el algoritmo de Rachford y Rice y la ecuacin de Peng-Robinson. La informacin necesaria se tomara de la cuarta edicin de propiedades de los gases y los lquidos.

SOLUCIONPara el desarrollo de este ejercicio necesitamos conocer el procedimiento adecuado reflejado en el siguiente diagrama de flujo y as llegar a la respuesta deseada.

1Especificar:

Evaluar funcin objetivo:Asignar:Asignar:NOSICalcular coeficientes de distribucin:Estimar la solucin:

2

3

5

4

Asignar:

10

6

7

118TERMINAR

NOSI

Derivar funcin objetivo:

9

Figura No. 1 Diagrama de Flujo para hallar la Temperatura de Roco

Con la Figura No. 1 obtenemos el proceso adecuado para el desarrollo del algoritmo en estudio y as llegar al final a la respuesta deseada (Temperatura de Roco) para determinadas composiciones en el vapor.

1. Primero y Segundo BloqueAl tener de especificaciones la presin y las composiciones del vapor pasamos al segundo cuadrante del diagrama de flujo con el objetivo de hallar la temperatura del sistema, las primeras fracciones del lquido y las fracciones normalizadas del mismo.

1.1 Temperatura del Sistema (T0)Para hallar el valor de la temperatura del sistema debemos establecer la siguiente ecuacin

Donde la las fracciones del vapor (Ym) son nuestras especificaciones del bloque 1, y (Tsat) es la temperatura de saturacin de cada uno de los componentes del problema, que para nuestro caso es el isobuteno y el benceno. Procedemos ahora a determinar la temperatura de saturacin.

Para el clculo de la temperatura de saturacin debemos basarnos en el apndice A del referente bibliogrfico.

Donde:

Como se puede observar la ecuacin 3 depende directamente de la variable x que a su vez depende de la temperatura, que para este caso es la temperatura del sistema (T0). Como vemos que la es difcil despejar la temperatura de la Ecuacin No. 3, el mejor mtodo es establecer una funcin objetivo en la cual se varia la temperatura hasta que el resultado de dicha funcin objetivo sea aproximadamente cero. Nuestra funcin objetivo est definida como:

Para las Ecuaciones No. 3 y 5 los valores de A, B, C y D son constantes que podemos encontrar en el referente bibliogrfico.

COMPONENTESConstantes

ABCD

1-6,9554201,356730-2,452220-1,461100

2-6,9827301,332130-2,628630-3,333990

Tabla No. 1 Constantes para las ecuaciones 3 y 5

Procedemos a calcular el valor de x para cada uno de los componentes, y para ellos necesitamos el valor de las temperaturas y presiones crticas:

COMPONENTESPropiedades criticas

Tc (K)Pc (bar)

1417,940,0

2562,248,9

Tabla No. 2 Propiedades criticas para los componentes trabajados

Para continuar con los clculos debemos estimar una temperatura que para nuestro caso es 298,15K. Con este valor estimado en la temperatura procedemos a calcular el valor de x para los dos componentes con la Ecuacin No. 4.

Al calcular el valor de x para cada componente con la temperatura estimada procedemos a calcular el valor de la funcin objetivo, en donde el valor nos debe dar aproximadamente 0. (Ecuacin No. 5)

COMPONENTESXTsat (K)Funcin Objetivo

10,286552298,150000-0,504465

20,469673298,150000-3,676252

Tabla No. 3 Funcin Objetivo con primera temperatura estimada

Como se puede observar el valor de las funciones objetivo no son aproximadamente cero, por tal motivo se debe emplear la opcin de Excel de buscar objetivo, en donde al hacer que la funcin objetivo de cmo resultado cero, la temperatura debe cambiar su valor. Cuando aplicamos buscar objetivo tenemos los siguientes datos.

COMPONENTESXTsat (K)Funcin Objetivo

10,244298315,807670-0,000004

20,260163415,936325-0,000160

Tabla No. 4 Funcin Objetivo utilizando Buscar objetivo

Al empelar buscar objetivo la funcin objetivo suelta otros dos resultados que son registrados en la Tabla No. 4; y se observa que el error es aproximadamente 10-5 lo cual es un criterio valido para continuar con los clculos.

Al obtener los nuevos valores de las temperaturas de saturacin de cada uno de los componentes que se adaptaron a la funcin objetivo, se procede a calcular el valor de la temperatura del sistema (T0). La ecuacin a emplear es la No. 2

En la siguiente tabla se registra el dato de la temperatura del sistema.

COMPONENTESXTsat (K)Funcin ObjetivoT0 (K)

10,244298315,807670-0,000004335,833401

20,260163415,936325-0,000160

Tabla No. 5 Valor de la temperatura de sistema (T0)

1.2 Primeras Fracciones en el LiquidoPara el clculo de estas primeras fracciones en el estado liquido, debemos basarnos en la siguiente ecuacin.

De la ecuacin No. 6 conocemos el valor de P y de las fracciones del vapor, y falta el valor de las presiones de saturacin. Este valor de la presin de saturacin se hallar despejando la Ecuacin No. 3.

Antes de continuar con el clculo de las presiones de saturacin, se deben conocer los nuevos valores de X. Cuando se halla la temperatura que se adecue a la funcin objetivo (Ecuacin No. 5) se contina ahora a calcular un nuevo valor para X ya que este depende de la temperatura del sistema. Esta temperatura nueva la remplazamos en la ecuacin 4 dejando la temperatura crtica constante.

Cuando se tienen los valores verdaderos de x se procede a calcular la presin de saturacin de los dos componentes (Ecuacin No. 7).

Con este valor de las presiones de saturacin de los dos componentes, se procede a calcular las primeras fracciones del lquido con la Ecuacin No. 6.

1.3 Normalizacin de las Fracciones LiquidasAl ser fracciones liquidas, se observa que la sumatoria de estas no da la unidad, por tal razn estas fracciones deben normalizarse para que al sumarlas el resultado sea la unidad.

Para su normalizacin se debe cumplir:

COMPONENTESXPsat (bar)XmXm Normalizado

10,1963798,2722900,4835420,216738

20,4026440,5722611,7474550,783262

Tabla No. 6 Clculos de la fracciones normalizadas

En la Tabla No. 6 se pueden observar registrados los datos de las fracciones calculadas con la presin de saturacin y las fracciones normalizadas.

2. Tercer BloquePara este tercer bloque debemos estimar el valor de los coeficientes de distribucin, en donde se debe utilizar los coeficientes de fugacidad de los dos estados (lquido y vapor). As mismo el clculo de unas nuevas fracciones en el lquido y por ende la normalizacin de dichas fracciones. Para el clculo de los coeficientes de distribucin retomamos la Ecuacin No. 1.

Como se puede observar dichos coeficientes dependen de los coeficientes de fugacidad, y estos a la vez dependen de las propiedades de mezclas, de los factores de compresibilidad, etc. Estos factores que afectan Phi deben calcularse para las dos fases tanto para la fase liquida como para la fase de vapor.

A continuacin se especifica el procedimiento para el clculo de dichos coeficientes.

2.1 Coeficientes de Fugacidad en el VaporPara el clculo de los coeficientes de fugacidad se debe establecer la siguiente ecuacin.

Para llegar al valor del coeficiente de fugacidad, se debe calcular con anterioridad los valores de las diferentes variables que se observan en la Ecuacin No. 9. A continuacin se muestra el desarrollo detallado de cada una de las variables mencionadas.

Se comenzara hallando en valor de bj, calculndose de la siguiente forma.

El valor de las propiedades crticas se observan en la Tabla No. 2; y el valor de R se encuentra consignado en la Tabla No. 0. Teniendo estos valores procedemos a remplazar en la Ecuacin No. 10 y as obtener un valor de b para cada uno de los componentes.

Ahora se procede a calcular el valor de aj con la siguiente ecuacin.

As mismo como para el caso de la Ecuacin No. 10, las propiedades crticas de los compuestos se pueden observar en la Tabla No. 2. En el caso de la Ecuacin No. 11, se observa que esta depende de un factor fw, que a su vez depende del factor acntrico de los componentes (estos factores acntricos w se encuentran en el referente bibliogrfico representados por la letra griega omega). A continuacin se procede a calcular el valor de fw.

Como ya se especifico, la Ecuacin No. 2 depende del factor acntrico. En Tabla No. 7 se registraron los valores del factor acntrico y as poder determinar el valor de fw.COMPONENTESFactor Acntrico

10,194000

20,212000

Tabla No. 7 Factor acntrico

Se prosigue con el clculo de fw

Como se puede observar en la Ecuacin No. 11, a depende de la temperatura reducida, por tal motivo primero se hallara la temperatura reducida de cada uno de los componentes, y con el valor de fw de procede a hallar a empleando la Ecuacin No. 11

COMPONENTESFactor Acntricofw,ma (barcm6/mol2)b (cm3/mol)

10,1940000,66368015762398,337067,580732

20,2120000,68946827329713,748774,369094

Tabla No. 8 Propiedades de cada uno de los componentes.

Al calcular las propiedades de cada uno de los efluentes (isobuteno y benceno), se procede a calcular las propiedades de la mezcla. Se calculara primero el b de mezcla.

Se continua calculando l a de mezcla.

A continuacin se procede a hallar el valor de A* y B* con las Ecuacies No. 16 y 17 respectivamente. Vale aclarar que las ecuaciones mencionadas dependen de la temperatura que para este caso es la temperatura del sistema que se hallo con la Ecuacin No. 2 y la presin es la especificacin del problema.

Se continua con el clculo de B*

COMPONENTESamezclabmezclaConstantes para el Factor de compresibilidad

A*B*

117822814,52460768,9384040,1142970,012345

2

Tabla No. 9 Factores de Mezcla

Como observamos de la Ecuacin No. 9 ya se calcularon casi todas las variables all especificadas, aunque falta hallar el factor de compresibilidad. Para este ltimo factor mencionado se emplea la siguiente ecuacin.

Como se puede observar al igual que en la Ecuacin No. 3, es difcil despejar el valor de Z y obtener as su valor, por tal motivo se realiza un mtodo iterativo que para este caso se utilizara un Newton-Rapson con el objetivo de iterar o variar un valor estimado de Z y as llegar al valor del primer factor de compresibilidad.

Como se sabe para este mtodo iterativo necesitamos una funcin y su derivada, en este caso nuestra funcin ser la Ecuacin No. 19 y la derivada de la ecuacin estar representada por la Ecuacin No. 20. As mismo se debe emplear una ecuacin que con la que obtengamos un nuevo valor de z, esta situacin la podemos ver en le Ecuacin No. 21

Lo que buscamos con este mtodo iterativo es que con una primera Z estimada que para este caso ser 1, se obtenga un nuevo valor de Z, pero con la condicin que el error de dicha funcin sea de 10-6 o menor a esta. Aclarando lo anterior se remplaza el valor de la Z estimada en las Ecuaciones 19 y 20.

Como se puede observar el error no cumple con un valor igual o menor al planteado anteriormente (10-6), por tal motivo la nueva Z1 se remplaza en las Ecuaciones 19, 20 y 21 hasta que el error cumpla con el valor establecido. A continuacin se muestra el procedentito completo del mtodo iterativo de Newton-Rapson con el valor de Z que cumpla con el error.

FACTOR DE COMPRESIBILIDAD

Kf(z)f'(z)ZError

10,1002391,1138400,910006

0,9100060,0155690,7759390,8899412,0065E-02

0,8899410,0006930,7072270,8889619,8043E-04

0,8889610,0000020,7039310,8889582,2957E-06

Tabla No. 10 Newton-Rapson para el primer factor de compresibilidad

Como se puede observar de la Tabla No. 10, el ltimo valor de Z es el que cumple el error estimado y por tal motivo este ser nuestro primer Z con el que hallaremos los otros dos factores.

Despus de tener la primera Z, se deben hallar las otras dos y segn los valores que den se escoge la mayor ya que estamos trabajando en la fase de vapor, por tal motivo tenemos que utilizar la siguiente ecuacin.

Con la Ecuacin No. 22 se determinan los otros dos valores de Z, pero como se puede observar, esta ecuacin depende directamente de variables como alfa, beta y gamma. Estas variables afectan el resultado de los nuevos valores para el factor de compresibilidad.

Se procede a calcular el valor de las Ecuaciones 24 y 25.

1

-0,098697

0,001414

Tabla No. 11 Variables para la ecuacin cuadrtica

Con estos valores se contina con el clculo de los dos factores de compresibilidad de acuerdo con la Ecuacin No. 22.

EC. CUADRATICA

Z10,888958

Z20,081311

Z30,017386

Tabla No. 12 Valores de Factores de Compresibilidad

Como se observa de la Tabla No. 12 tenemos los tres valores de los factores de compresibilidad, en donde al estar haciendo los clculos para el estado de vapor escogemos la Z mayor que para este caso tiene un valor de 0,888958. Al establecer el valor de la Z del vapor, podemos calcular el coeficiente de fugacidad en el vapor de cada uno de los componentes. Pero si se observa la Ecuacin No. 9 hay un factor que depende directamente de a individual y el a de mezcla, dicha variable se calcula de la siguiente manera.

Teniendo lo valores del factor de compresibilidad, y las dems variables ya calculadas se procede con el clculo del logaritmo natural del coeficiente de fugacidad para cada uno de los efluentes en la fase de vapor. Remplazando todos estos valores en la Ecuacin No. 9 se tiene.

Al encontrar el valor del logaritmo natural del coeficiente de fugacidad para los dos componentes en el estado gaseoso, de esta ecuacin despejas el coeficiente para obtener el valor que se est buscando.

COEFICIENTE DE FUGACIDAD

ln

11,880845-0,0913810,912670

22,476620-0,1653880,847565

Tabla No. 13 Coeficientes de Fugacidad en el Vapor

Con este ltimo clculo de los coeficientes de fugacidad de los efluentes se termina los datos para el estado de vapor y se contina entonces con los mismos clculos para el estado lquido.

2.2 Coeficientes de Fugacidad en el LiquidoA continuacin se describir el proceso adecuado para el desarrollo de esta temtica. Al igual que en el estado de vapor, el liquido se calcula de la misma forma, es decir, con las mismas ecuaciones solo que en este caso cambian el valor de algunas de las variables de la Ecuacin No. 9.

Para este caso del liquido se describir con detalle los clculos y resultados que dependan del cambio de dichas variables y as mismo se especificara que tipo de variables permanecern constantes.

Para empezar se debe especificar que las fracciones que se trabajaran en esta parte sern las fracciones del liquido las cuales fueron las ultimas fracciones normalizadas. Por ende las variables que no dependan de las fracciones no van a cambiar, lo que para este caso sus valores en el liquido sern iguales que en el vapor.

COMPONENTESTrfw,ma (barcm6/mol2)b (cm3/mol)

10,8036210,66368015762398,337067,580732

20,5973560,68946827329713,748774,369094

Tabla No. 14 Variables que no dependen de las fracciones

Como se puede observar en la Tabla No. 14, la temperatura reducida, el factor acntrico y las propiedades de los componentes (a, b) no cambian ya que no dependen de las fracciones.

COMPONENTESXm

10,216738

20,783262

Tabla No. 15 Nuevas fracciones en el Liquido

Al establecer las variables que no cambian, ahora se debe calcular con detalle aquellos factores que si dependen de las fracciones. Se comenzara por el clculo de las propiedades de la mezcla.

Al calcular el valor de las propiedades de la mezcla se procede a hallar el valor de A* y B*, que dependen de las propiedades descritas en las Ecuaciones No. 28 y 29. Para el caso de A* debe remitirse a las Ecuacin No. 16.

Y con la Ecuacin No. 17 calculamos en valor de B*

COMPONENTESamezclabmezclaConstantes para el Factor de Compresibilidad

A*B*

124554148,50262272,8977980,1574650,013054

2


Al igual que en la parte del estado de vapor, se debe hallar un valor para Z y que est a su vez satisfaga la Ecuacin No. 18. As mismo de esta ecuacin de difcil tener un valor directo del factor de compresibilidad, por tal motivo se debe estimar un Z inicial y tambin en este caso utilizar un mtodo iterativo (Newton-Rapson) para llegar a un valor de Z que cumpla con las Ecuaciones No. 19, 20 y 21; donde el error de este debe ser igual o menor a 10-6.

Como en el caso anterior (Fase Vapor) el primer valor de Z estimado es de 1 y se procede a determinar el valor de la funcin, la derivada, la nueva Z y el error.

De la Ecuacin No. 19 se tiene.

De la Ecuacin No. 20 se obtiene.

De la Ecuacin No. 21 se calcula.

Como se puede observar nuevamente, con el nuevo valor de Z no tenemos un valor menos o igual a 10-6, por tal motivo se debe comenzar a iterar estas funciones en Newton-Rapson para que al final de la iteracin que cumpla este error mencionado, tener el valor de la primera Z.

A continuacin se muestra el mtodo por el cual se hallo el primer factor de compresibilidad.


Kf(z)f'(z)ZError

10,1420181,1569540,877249

0,8772490,0284830,7079480,8370154,0233E-02

0,8370150,0025970,5804530,8325414,4746E-03

0,8325410,0000300,5668730,8324875,3674E-05

0,8324870,0000000,5667110,8324877,6794E-09

Tabla No. 17 Newton-Rapson para Z en el liquido

Como se puede observar en la Tabla No. 17 el ltimo valor de Z cumple con un error de 10-9 lo que es menor a lo que se ha establecido desde un principio. Es as que para este caso el primer Z ser 0,832487.

Al igual que en los clculos para el vapor, se deben conocer dos Z mas y asi determinar, en este caso, el Z menor que ser el factor de compresibilidad del liquido con el cual se continuaran los dems clculos. Para dichos valores de Z se debe utilizar la Ecuacin No. 22.

En este punto se debe volver a recalcular un valor para beta y gamma. De la Ecuacin No. 24 tenemos.


1

-0,154459

0,002262


En este punto y con estos clculos ya resueltos, se remite a la Ecuacin No. 22 con el fin de hallar el valor de los otros dos factores de compresibilidad. De tal forma que.

EC. CUADRATICA

Z10,832487

Z20,138079

Z30,016380


Cuando se obtienen los tres valores de Z, para este caso en donde se trabaja en el estado lquido, se escoge el Z menor y con el realizamos los dems clculos. Igualmente que en el caso del vapor la variable al depende del a de mezcla debe recalcularse para el nuevo valor en el liquido. Debe remitirse a la Ecuacin No. 26

Teniendo todos los valores necesarios para hallar el valor del logaritmo natural del coeficiente de fugacidad de los efluentes, se debe remitir a la Ecuacin No. 9 y se obtienen los siguientes datos.

Al obtener los valores del logaritmo natural del coeficiente de fugacidad de lo efluentes en el liquido, se prosigue con el clculo de los coeficientes donde se remite a la Ecuacin No. 27


ln

11,6024290,5495791,732523

22,110013-2,1467360,116865

Tabla No. 20 Coeficientes de Fugacidad en el Lquido

Con este ltimo clculo se obtuvieron todos los datos de coeficientes de fugacidad tanto del lquido como del vapor.

2.3 Coeficientes de DistribucinPara hallar el valor del coeficiente de distribucin se debe remitir a la Ecuacin No. 1, que mencionndolo antes este clculo depende de los coeficientes de fugacidad de los componentes involucrados, datos que se calcularon en los tems 2.1 y 2.2


COMPONENTESKm

11,898302

20,137883

Tabla No. 21 Datos de Coeficiente de Distribucin

Con el clculo de los coeficientes de distribucin pasamos a calcular unas nuevas fracciones para el lquido y el error. A continuacin se detallara el clculo de estos parmetros.

2.4 Nuevas Fracciones en el Liquido y Normalizacin de las mismasEn este punto se busca obtener unos nuevos valores de las fracciones en el lquido que sean directamente proporcionales con el coeficiente de distribucin, y as mismo la normalizacin de ellas, siendo estas ltimas fracciones las ms aproximadas.

Para las fracciones del lquido se tiene.

Como se puede observar en las Ecuaciones No. 30,1 y 30,2 la sumatoria de estas dos fracciones no es igual a la unidad, por tal motivo hay que normalizarlas. La normalizacin de estas fracciones se cumple.

COMPONENTESKmXm,1Xm,1 Normalizado

11,8983020,4214290,225131

20,1378831,4505020,774869

Tabla No. 22 Normalizacin de Nuevas Fracciones en el Liquido

3. Cuarto y Quinto BloqueUno de los objetivos del algoritmo de Rachford y Rice, es obtener mediante especificaciones en el vapor todo lo concerniente al liquido. Por tal motivo en este bloque lo que se evaluar es una funcin la cual cumpla una convergencia igual o menor a 10-6 con el fin de establecer si las fracciones del liquido son las correctas.

3.1 Calculo del Error En tal caso que esta funcin no cumpla la convergencia especificada, se deber hacer un proceso iterativo y de asignacin que se detallara a lo largo de este trabajo. Por el momento se desea saber si las ltimas fracciones de lquido halladas son las correctas

Para el error se estima una funcin como.

Con los datos anteriores de procede a hallar el valor de un delta de error siguiendo la siguiente ecuacin.

Con la Ecuacin No. 34 hallamos el valor del error, con la comparacin de la fraccin del lquido inicial con la nueva fraccin normalizada. Se puede observar que el valor de este error supera nuestro lmite de convergencia. Por tal motivo se debe realizar una asignacin.

COMPONENTESKmXm,1Xm,1 Normalizado Errorx

11,8983020,4214290,2251310,0083930,011869

20,1378831,4505020,7748690,008393

Tabla No. 23 Nuevas Fracciones Normalizadas y Errores

3.2 AsignacinEsta asignacin se realiza en tal caso que el error no cumpla el lmite de convergencia; como en este caso no cumpli el objetivo se debe hacer una asignacin.

En este punto se establece que ahora el nuevo valor que debe tomar la fraccin del lquido ser el ltimo valor de X, el cual fue hallado en el tem 2.4 siendo la normalizacin de las fracciones halladas por el coeficiente de distribucin.

En el momento es que la asignacin se establece, se debe volver al bloque 3 tem 2 con el fin de corregir dichos clculos con los nuevos valores de X. Se completara el proceso descrito en estos tems con el fin de obtener un nuevo valor de las fracciones del lquido. Vale aclarar que los clculos que tengan que ver con las fracciones en el vapor no cambiaran ya que estas sern constantes y las nicas que variaran sern las del lquido. Para este nuevo caso en donde se dio la asignacin de la Ecuacin No. 34 se tiene.

Con estos nuevos valores para las fracciones en el lquido se procede a calcular el coeficiente de fugacidad del lquido.

4. Calculo de los Coeficientes de Fugacidad (1 Iteracin)Como ya se haba especificado antes, con los nuevos valores de las fracciones en el lquido hallamos todas las variables o factores que afectan el coeficiente de fugacidad. Para este caso se calculara de la siguiente forma.

Antes de empezar con el clculo de estos factores se debe aclarar que las variables como las propiedades individuales, las propiedades de la mezcla, la temperatura, y el factor acntrico no dependen de la composicin de liquido; es por este motivo que as se cambien las fracciones molares no van a cambiar estas propiedades.


10,8036210,66368015762398,337067,580732

20,5973560,68946827329713,748774,369094

Tabla No. 24 Variables que no dependen de las fracciones

Calculo para b de mezcla (Ecuacin No. 14)

Calculo de a de mezcla (Ecuacin No. 15)

Calculo de A* y B* (Ecuaciones No. 16 y 17)

COMPONENTESamezclabmezclaConstantes para el Factor

A*B*

124449660,76139572,8408260,1567950,013043

2

Tabla No. 25 Factores de MezclaAl tener los valores de B* y A* y las propiedades de cada uno de los efluentes, se procede al clculo de los factores de compresibilidad con las Ecuaciones 19, 20 y 21 y con el mismo mtodo iterativo utilizado a lo largo de este trabajo. Al igual que en el primer caso, el Z inicial estimado es de 1 y con esta valor de Z remplazamos en las ecuaciones mencionadas hasta que con el mtodo de Newton-Rapson la convergencia sea menor o igual a 10-6.


Kf(z)f'(z)ZError

10,1413691,1562850,877739

0,8777390,0282630,7088940,8378703,9869E-02

0,8378700,0025530,5823930,8334854,3844E-03

0,8334850,0000290,5690630,8334345,1422E-05

0,8334340,0000000,5689080,8334347,0344E-09


Con el valor del primer Z se establece los valores de las variables que afectan la ecuacin cuadrtica con la que se halla el valor de los otros dos factores de compresibilidad.

1

-0,153523

0,002247


Con estos valores empleamos la Ecuacin No. 22 para determinar el valor de los otros dos factores de compresibilidad.

EC. CUADRATICA

Z10,833434

Z20,137137

Z30,016386


Con estos valores se selecciona el ms pequeo ya que se est trabajando en la fase lquido. Con la Ecuacin No. 26

Se contina con el clculo de los coeficientes de fugacidad

As se obtiene el valor de los coeficientes de fugacidad en la Ecuacin No. 27


ln

11,6058490,5457331,725873

22,114517-2,1456450,116993


Con este ltimo clculo se obtuvieron todos los datos de coeficientes de fugacidad del lquido a los nuevos valores de las fracciones.

Al ser los valores del vapor constantes y al calcular de nuevo todos los valores para el lquido, se procede a hallar los nuevos valores del coeficiente de distribucin, las nuevas fracciones del lquido y por ende el error de las mismas, que bien se ha dicho debe cumplir el criterio de convergencia.

Para el coeficiente de distribucin Ecuacin No. 1

COMPONENTESKm

11,891015

20,138034


Al calcular los nuevos valores del coeficiente de distribucin, se procede a obtener los nuevos valores de las fracciones del lquido y la normalizacin de los mismos.

Para los nuevos valores de las fracciones en el lquido se debe remitir a la Ecuacin No. 28.

Normalizacin de las nuevas fracciones en el lquido. Ecuacin No. 29


11,8910150,4230530,225993

20,1380341,4489210,774007


Calculo del error y la comparacin de las fracciones iniciales y las ltimas fracciones del lquido. Para este caso al igual que en los dems se utiliza un criterio de convergencia de (10-6). Ecuacin No. 30

Se procede a calcular el error dentro de la comparacin entre el ltimo valor de la fraccin del lquido y la inicial para esta parte de la primera iteracin. Ecuacin No. 33

Como se puede observar en la Ecuacin No. 33,2 el valor que se le haba asignado a la fraccin del liquido tampoco cumple con el criterio de convergencia, por tal motivo es necesario que se asigne una nueva fraccin, y con este valor calcular nuevamente el coeficiente de fugacidad del liquido, aclarando por segunda vez que para este caso las fracciones del vapor y la temperatura son constantes y por ende el coeficiente de fugacidad del vapor tiene un nico valor.

Lo que se busca con este mtodo iterativo, en donde se asignan un nuevo valor para las fracciones del lquido, es que al repetirlo llegue a un valor de X en donde se cumpla en criterio de convergencia.

Es as como se especifica que se debe repetir este proceso mnimo 5 veces mas, es decir, que despus de tener el primer valor de la fraccin del liquido se debe iterar el mismo seis veces y solo en este punto se puede afirmar que las fracciones obtenidas son las que cumplen el criterio de convergencia que se desea.

Los clculos de las cinco iteraciones que faltan se realizan de la misma forma como se soluciono el tem 3 a igualmente el tem 4, utilizando las mismas condiciones y las mismas ecuaciones. Despus de hacer las iteraciones 6 veces llegamos al valor de convergencia deseado. A continuacin se podr observar una o varias tablas en donde se presentan solo los resultados de los ltimos datos que cumplen con la convergencia.

EC. CUADRATICA

Z10,833542

Z20,137030

Z30,016386

Tabla N0. 31 ltimo valor de Z en el lquido


ln

11,6062420,5452931,725115

22,115034-2,1455170,117008

Tabla No. 32 Coeficientes de Fugacidad para el Liquido

Con estos datos de los coeficientes de fugacidad de cada uno de los componentes se puede hallar el valor de Km. Se registraran en una tabla que contenga el valor del coeficiente de distribucin, las nuevas fracciones del lquido y las fracciones normalizadas.

COMPONENTESKmXm,1Xm,1 Normalizado Errorx

11,8901840,4232390,2260929,81E-081,39E-07

20,1380511,4487360,7739089,81E-08

Tabla No. 33 Fracciones Normalizadas y Error

Como se puede observar cuando las fracciones del lquido cambian a 0,226092 (Isobuteno) y de 0,773908 (Benceno), el error de estas fracciones es menor al criterio de convergencia que se desea. Por tal motivo estas son las fracciones que se adecuan al problema y con las cuales se proseguir el desarrollo del diagrama de flujo.

A continuacin se desarrollaran las pautas o pasos que siguen despus de haber encontrado las fracciones liquidas adecuadas.

Aunque ya se dieron a conocer los valores de la ultima iteracin, se mostraran a continuacin varias tablas donde se resuman los valores de todas las iteracin, con el fin que se muestre le proceso completo, especificando que los clculos son los mismos.

2 ITERACION PARA EL LAZO INTERNO

KmXm,1Xm,1 Normalizado Errorx

1,7258731,891E+000,4230530,2259930,0008621,220E-03

0,1169930,1380341,4489210,7740070,000862

Tabla No. 34 Datos para 2 Iteracin



1,7251931,8902700,4232200,2260820,0000891,26E-04

0,1170060,1380501,4487550,7739180,000089




1,7251231,8901930,4232370,2260910,0000091,30E-05

0,1170070,1380511,4487380,7739090,000009




1,7251151,8901850,4232390,2260920,0000011,34E-06

0,1170070,1380511,4487360,7739080,000001




1,7251151,8901840,4232390,2260929,81E-081,39E-07

0,1170080,1380511,4487360,7739089,81E-08


5. Sexto BloqueEn este bloque lo que se busca es establecer un nuevo valor para la nueva fraccin del liquido. Para este caso y con estas condiciones, las fracciones del lquido que se tomaran para continuar los clculos de la temperatura, son los ltimos X normalizados que se hallaron en la ltima iteracin del paso anterior cumpliendo a la vez el criterio de convergencia.

Con la Ecuacin No. 33 se puede observar la nueva asignacin de las fracciones liquidas de los compuestos.

Con esta asignacin se establece que el nuevo valor de las facciones en el lquido son las ltimas fracciones normalizadas.

6. Sptimo y Noveno BloqueEn este bloque se evaluara la funcin objetivo que depende de la temperatura inicial del sistema y con la cual se corroborara que tanto las facciones en el liquido halladas en el lazo interno y la temperatura inicial se adecuen a las condiciones del sistema.

6.1 Evaluar Funcin ObjetivoEn este punto del diagrama evaluamos la siguiente funcin objetivo.

Remplazando las fracciones del vapor y los coeficientes de distribucin en la Ecuacin No. 36 se obtiene un valor de la funcin objetivo, la cual debe cumplir con un criterio de convergencia de (10-6).

Para calcular el error de la funcin objetivo se emplea.

Como se puede observar, el criterio de convergencia no se cumple para el error establecido en la Ecuacin No. 37,1, por tal razn se debe establecer una derivada por diferencias centrales, la cual depende de la funcin evaluada en un T normal y en su misma funcin pero evaluada en estos casos en una T mas y menos un delta. A continuacin se muestra la ecuacin donde se expresa las diferencias centrales.

Con la Ecuacin No. 34 se procede a calcular esta derivada y por ende se necesita calcular la funcin en un nuevo valor de T. Como se puede observar la funcin involucra el coeficiente de distribucin y las fracciones del vapor.

Al cambiar el valor de la temperatura cambian los valores de los coeficientes de fugacidad y por ende cambian los valores de coeficientes de distribucin. Es por esta razn que se deben recalcular todas las variables pero con el cambio de temperatura.

7. Clculos para (T+T)Como ya se explico con anterioridad, al hacer un cambio de la temperatura, se deben recalcular las propiedades de las sustancias puras y de la mezcla ya que estn dependen de la temperatura. A continuacin se dar una tabla de las especificaciones que se tiene.

1 CUADRO

(ESPECIFICACIONES)

P(Bar)5,000000

P(KPa)500,000000

Y10,800000

Y20,200000

R (barcm3/molK)83,144000

X10,226092

X20,773908

T (K)335,933401

Tabla No. 39 Especificaciones para (T+T)

Como se puede observar en la Tabla No. 34, el valor de las fracciones en el gas son las propuestas en el ejercicio mientras que las fracciones del liquido son las halladas con le ultimo mtodo de iteracin. Vale aclarar que para estos casos en donde se vari la temperatura, la presin y las fracciones de las dos fases sern constantes en todos los casos done se trabajen con ellas.

7.1 Calculo de las Propiedades en Vapor para (T+T)Ahora se proceder a calcular las propiedades mencionadas anteriormente. Se comenzara con el clculo de las propiedades reducidas, las cuales dependen de la temperatura que se esta variando. Para ellos se remite a la Ecuacin No. 13.

Para este caso el factor acntrico y b, son constantes, por tal razn se deja tal cual. Como se cambiaron las temperaturas reducidas de los componentes las propiedades de a y de mezcla cambian. Se procede a hallar el valor de a con la Ecuacin No. 11.


10,8038610,66368015759785,774767,580732

20,5975340,68946827325964,740474,369094


Con estos valores se procede a calcular las propiedades de mezcla y de A*. Como no se recalcularon los valores de b, el valor d b de mezcla no cambia pero B* al depender de la temperatura cambia su valor.

Se continua calculando l a de mezcla. Ecuacin No. 15

Con la Ecuacin No. 16 calculamos el nuevo valor de A*.

Se procede a hallar el valor de B*, y como ya se haba especificado este valor cambia porque aunque el b de mezcla no cambia, este depende de la temperatura. Con la Ecuacin No. 17 calculamos su nuevo valor.


A*B*

117819986,56160468,9384040,1142110,012341

2


Al tener el valor de A* y de B*, al igual que en los dems pasos se procede a calcular el valor del factor de compresibilidad. En donde remplazamos en las Ecuaciones No. 19, 20 y 21 con las cuales hallamos un nuevo valor de Z.

Como se ha venido planteando, la Ecuacin No. 19 es difcil despejar el valor de Z, por tal motivo y por su complejidad en el despeje seleccionamos un mtodo iterativo en donde al inicio se plantea o se establece un valor estimado para Z y este se remplaza en la ecuacin ya mencionada hasta que el valor cumpla un criterio de error igual o menos a (10-6). Vale aclarar que el primer valor estimado de Z es 1 y as es como se remplaza en las ecuaciones mencionadas.

Se remplaza en la Ecuacin No. 21 el valor de Z y tenemos el clculo para la derivada de la funcin original.

Con este valor de Z el criterio de convergencia no da como es que se desea, por tal motivo se utiliza el mtodo iterativo para llegar hasta un valor del error menor o igual a (10-6).


Kf(z)f'(z)ZError

10,1001581,1137540,910072

0,9100720,0155470,7760820,8900392,0032E-02

0,8900390,0006910,7074710,8890629,7706E-04

0,8890620,0000020,7041860,8890602,2796E-06


En la Tabla No. 41 se observa que para un valor de Z igual a 0.889060 se cumple el criterio de convergencia buscado y es con este ltimo valor el utilizado para hallar los otros dos factores de compresibilidad. Los dems factores de compresibilidad de calculan con la Ecuacin No. 22 en donde se tienen variables como alfa, beta y gamma; las cuales son calculadas con las Ecuaciones No. 23, 24 y 25.

Al hallar el valor de alfa, beta y gamma se procede a calcular el valor de los otros dos factores de compresibilidad, estos valores se hallan con la Ecuacin No. 22 teniendo que.

EC. CUADRATICA

Z10,889060

Z20,081214

Z30,017385


Al igual que en los clculos anteriores, el Z de importancia es el menor ya que los clculos realizados son de la fase de vapor. Por tal motivo el valor del Z es de 0,889060; con este valor se contina con los clculos de los coeficientes de fugacidad, pero como se ha visto a lo largo del trabajo, primero se deben calcular los valores de para cada uno de los efluentes. Para este clculo se utiliza la Ecuacin No. 26

Teniendo los valores del factor de compresibilidad, de las propiedades de los efluentes como *, B* y se procede con el clculo de l logaritmo natural del coeficiente de fugacidad, este clculo se halla con la Ecuacin No. 9

Se procede a calcular el valor del coeficiente de fugacidad de cada uno de los componentes. Ecuacin No. 27


ln

11,880838-0,0913020,912742

22,476647-0,1652490,847683


Con este ltimo calculo, se obtuvieron los datos de los coeficientes de fugacidad de los dos componentes en el estado de vapor. Ahora se prosigue con todos los clculos para llegar al coeficiente de fugacidad en el lquido.

7.2 Calculo de las Propiedades en Liquido para (T+T)Como se menciono con anterioridad, debemos hallar un valor de los coeficientes de distribucin en un valor de la temperatura menos un delta. Al igual que en el punto del vapor, las temperaturas reducidas cambian ya que dependen del cambio de la temperatura inicial, por tal motivo se presenta una tabla con las temperaturas reducidas de los componentes.

Igualmente que en el caso anterior, los valores de a cambian ya que dependen de la temperatura reducida; quedando constantes los valores de b.

TrXma (barcm6/mol2)b (cm3/mol)

0,8038610,22609215759785,774767,580732

0,5975340,77390827325964,740474,369094

Tabla No. 43 Propiedades de cada uno de los componentes

En este caso los valores de las propiedades de mezcla cambian ya que en el estado lquido las fracciones cambian y la temperatura tambin lo hace, por tal motivo, se deben calcular los nuevos valores de estos. Con las Ecuaciones No. 14 y 15 se hallan b y a de mezcla respectivamente.

Continuamos hallando el valor de A* y B* con las Ecuaciones No. 16 y 17 respectivamente.



A*B*

124434223,42462672,8342980,1566030,013038

2


Teniendo los valores expresado en la Tabla No. 44, se procede a hallar el valor del factor de compresibilidad, en donde nuevamente se utiliza la Ecuacin No. 18. Al igual que en los dems procesos iterativos expresados a lo largo del trabajo, por la complejidad de la ecuacin, no se despeja el valor de Z sino que en cambio se estima un primer valor de Z y es as como se va variando el valor de Z hasta que cumpla el criterio de convergencia.

Remplazando en las Ecuaciones No. 19, 20 y 21 se tiene que.

Al hallar el primer valor de Z, se observa que no cumple con el criterio de convergencia por tal razn, se emplea un mtodo iterativo, que en este caso como se ha mencionado se utilizara Newton-Rapson.


Kf(z)f'(z)ZError

10,1411851,1560930,877877

0,8778770,0282010,7091600,8381113,9767E-02

0,8381110,0025410,5829380,8337514,3592E-03

0,8337510,0000290,5696790,8337015,0803E-06

Tabla No.45 Newton-Rapson para el primer factor de compresibilidad

Al llegar a un criterio menor o igual a 10-6 se tiene el valor del primer factor de compresibilidad, con el cual se obtienen los otros dos valores de Z. Los valores de alfa, beta y gamma se hallan con las Ecuaciones No. 24 y 25

Con estos valores y con el primer Z se procede a calcular el valor de los otros dos Z. Con la Ecuacin No. 22 se obtienen.

EC. CUADRATICA

Z10,833701

Z20,136877

Z30,016384


Como en este punto nos referimos a todo lo del lquido, es por esta razn que el factor de compresibilidad que se debe usar es el menor de los tres, ya que este representa dicho factor en el estado de estudio. Con el dato de compresibilidad se realizan los siguientes datos a estos.

Se comienza con el clculo de de cada uno de los componentes. Ecuacin No. 16

Al tener estos valores de las variables anteriores, se contina con el clculo del logaritmo natural del coeficiente de fugacidad de cada uno de los componentes con la Ecuacin No. 9

Se hallan los valores de los coeficientes de fugacidad con la Ecuacin No. 27


ln

11,6062230,5473421,728652

22,115039-2,1421820,117398


7.3 Calculo de los Coeficientes de Distribucin para (T+T)Al tener los valores de los coeficientes de fugacidad tanto del vapor como del lquido se procede a hallar el valor de los coeficientes de distribucin. Estos clculos se realizan con la Ecuacin No. 1

COMPONENTESKm

11,893911

20,138493


7.4 Calculo de las Fracciones Normalizadas para (T+T)Con los coeficientes de distribucin se halla el nuevo valor de las fracciones en el liquido a estas condiciones de (T+T). Con la Ecuacin No. 28 se calcula el nuevo valor de estas fracciones.

Al evaluar las nuevas fracciones en el liquido, se observa que la suma de estas fracciones no es igual a la unida, es por eso que se prosigue con la normalizacin de estas fracciones con el fin que el valor al sumarlos sea la unidad. Con la Ecuacin No. 29 se cumple la normalizacin para cada uno de los componentes.


11,8939110,4224060,226307

20,1384931,4441120,773693


Con este ultimo valor de las nuevas fracciones del liquido normalizadas se acaba la parte de los clculos con un T+T. A continuacin se presentaran los clculos para los mismos parmetros pero con un T-T.

8. Clculos para (T-T)As mismo como en los clculos para un ms delta se hallaron los valores por el cambio de temperatura, igualmente para este punto se deben recalcular los valores de los coeficientes de fugacidad y de distribucin para el vapor. A continuacin se mostrara una tabla que contenga los datos a trabajar en este proceso.

1 CUADRO

(ESPECIFICACIONES)

P(Bar)5,000000

P(KPa)500,000000

Y10,800000

Y20,200000


X10,226092

X20,773908

T (K)335,733401

Tabla No. 50 Especificaciones para (T-T)

Como se puede visualizar en la Tabla No. 50, la presin, las fracciones tanto en el liquido y en el vapor son constantes para trabajar en los dos deltas, lo que se varia en este proceso es la temperatura, y a este nuevo valor de T se recalcularan todos los parmetros vistos en el proceso de un delta positivo.

8.1 Calculo de las Propiedades en Vapor para (T-T)Para empezar vale aclarar que los procesos de clculos son exactamente los mismos que en el tem 7, con la diferencia que en este punto se variara la temperatura indicada en la Tabla No. 50. Es as como en este proceso solo daremos los parmetros a evaluar y por ende sus datos en tablas.

Se comienza con el clculo de la temperatura reducida con la Ecuacin No. 13

Al cambiar la temperatura se recalcula el valor de a, pero el valor de b no se recalcula ya que no depende ni de las fracciones ni de la T. Con la Ecuacin No. 11 calculamos a.


10,8033820,66368015765011,504867,580732

20,5971780,68946827333463,572474,369094


Calculo de los parmetros de mezcla aunque el valor de b de mezcla no se halla porque no cambiaron las b individuales. Ecuacin No. 15




A*B*

117825643,13310468,9384040,1143840,012348

2


Con estos valores se calcula en nuevo valor de Z. Como ya se haba explicado ser con el mtodo iterativo que se ha venido trabajando en el desarrollo del trabajo. As que utilizamos las Ecuaciones No. 19, 20 y 21.

Se repetir este proceso hasta encontrar un valor de Z que cumpla con el criterio de convergencia.


Kf(z)f'(z)ZError

10,1003201,1139260,909940

0,9099400,0155910,7757950,8898432,0097E-02

0,8898430,0006960,7069820,8888599,8381E-04

0,8888590,0000020,7036760,8888572,3120E-06

Con este nuevo valor de Z hallamos los parmetros y as mismo los otros dos valores de factor de compresibilidad.


EC. CUADRATICA

Z10,888857

Z20,081408

Z30,017386






ln

11,880852-0,0914600,912598

22,476593-0,1655270,847447



8.2 Calculo de las Propiedades en Liquido para (T-T)Al igual que en el punto del vapor, las temperaturas reducidas cambian ya que dependen del cambio de la temperatura inicial, por tal motivo se presenta una tabla con las temperaturas reducidas de los componentes.


COMPONENTESXma (barcm6/mol2)b (cm3/mol)

10,22609215765011,504867,580732

20,77390827333463,572474,369094






A*B*

124441182,32122372,8342980,1568340,013046

2





Kf(z)f'(z)ZError

10,1414041,1563240,877712

0,8777120,0282750,7088450,8378243,9889E-02

0,8378240,0025560,5822910,8334354,3892E-03

0,8334350,0000290,5689480,8333835,1540E-05




EC. CUADRATICA

Z10,833383

Z20,137182

Z30,016389






ln

11,6062610,5432361,721568

22,115028-2,1488530,116618


8.3 Calculo para los Coeficientes de Distribucin para (T-T)Al tener los valores de los coeficientes de fugacidad tanto del vapor como del lquido se procede a hallar el valor de los coeficientes de distribucin. Estos clculos se realizan con la Ecuacin No. 1

COMPONENTESKm

11,886448

20,137611


8.4 Calculo de las Fracciones Normalizadas para (T-T)Con los coeficientes de distribucin se halla el nuevo valor de las fracciones en el liquido a estas condiciones de (T+T). Con la Ecuacin No. 28 se calcula el nuevo valor de estas fracciones.



11,8864480,4240780,225879

20,1376111,4533740,774121


Con estos ltimos valores tenemos los clculos completos para las dos fases que se presentan en el problema.

9. Calculo de las Funciones Objetivos.En este punto del trabajo se realiza el clculo de la funcin objetivo para cada uno de los casos, es decir, una funcin para un T normal o inicial, uno para un T+T y el ultimo para un T-T.

Con el clculo de estos valores y hallando la derivada se puede determinar la nueva temperatura, la cual ser utilizada para una segunda iteracin. A continuacin se mostrara el clculo de las funciones en cada uno de los casos.

Primero se hallara el valor de la funcin objetivo para la T inicial. Para ello se mostrara una tabla que contiene los valores necesarios para el clculo mencionado, y se continuara con la utilizacin de la Ecuacin No. 34.

DATOS LAZO INTERNO (T)

X10,226092

X20,773908

Y10,8

Y20,2

K11,890184

K20,138051

Tabla No. 60 Datos del 1 Lazo interno

Al tener el valor de la funcin objetivo principal, se proceder con el valor de las funciones evaluadas en T ms y menos el delta. As mismo como la Tabla No. 60 se mostrara una tabla para cada uno de los casos con sus respectivos clculos utilizando la misma ecuacin. (Ecuacin No. 34)

DATOS LAZO INTERNO (T+T)

X10,226307

X20,773693

Y10,8

Y20,2

K11,893911

K20,138493

Tabla No. 61 Datos del 1 Lazo interno (T+T)

DATOS LAZO INTERNO (T-T)

X10,225879

X20,774121

Y10,8

Y20,2

K11,886448

K20,137611

Tabla No. 62 Datos del 1 Lazo interno (T-T)

10. Calculo de la Derivada y T1Con los valores de las funciones evaluadas en el tem anterior, se rosigue con el clculo de la derivada de la misma funcin. Vale aclarar que la derivada es una derivada por diferencias centrales. Con la Ecuacin No. 36 evaluamos la derivada.

El objetivo de evaluar esta derivada es porque el valor de la funcin objetivo principal no llego al punto de convergencia deseado, que para este caso es de 10-6. El clculo de la derivada est dado.

Con el resultado de esta derivada podemos hallar un valor nuevo para la temperatura. Con la ecuacin mostrada a continuacin se evaluara el nuevo valor para T1.

El objetivo de este punto de la nueva temperatura es reevaluar todos los parmetros del trabajo desde que dependan de la temperatura. Con esta nueva temperatura lo que se busca es repetir el proceso en donde esta T1 sea la temperatura inicial para la segunda iteracin y que al sumarle y restarle el delta nuevamente se tengan datos de los coeficientes y fracciones; y que al realizar la funcin objetivo se llegue hasta una convergencia de 10-6.A continuacin se mostrara el proceso detallado del segundo lazo externo tomando como y temperatura inicial la ultima T que se hallo con la Ecuacin No. 37

11. Clculos para (T) Segundo Lazo ExternoA continuacin se dar una tabla de las especificaciones que se tiene.

1 CUADRO

(ESPECIFICACIONES)

P(Bar)5,000000

P(KPa)500,000000

Y10,800000

Y20,200000


X10,226092

X20,773908

T (K)351,784949

Tabla No. 63 Especificaciones para (T)

Como se puede observar de la Tabla No. 63 el valor de la temperatura varia siendo esta temperatura la ultima evaluada con la derivada de diferencias centrales. A continuacin se presentara el proceso para el clculo de cada uno de los parmetros con esta nueva temperatura.

11.1 Calculo de las Propiedades en Vapor para (T) Segundo Lazo ExternoAhora se proceder a calcular las propiedades mencionadas anteriormente. Se comenzara con el clculo de las propiedades reducidas, las cuales dependen de la temperatura que se est variando. Para ellos se remite a la Ecuacin No. 13.



10,8417920,66368015353132,678867,580732

20,6257290,68946826741758,833474,369094







A*B*

117379682,09952868,9384040,1015770,011785

2







Kf(z)f'(z)ZError

10,0883191,1011600,919795

0,9197950,0124260,7977470,9042191,5576E-02

0,9042190,0004260,7433000,9036465,7302E-04

0,9036460,0000010,7413240,9036457,6354E-07




EC. CUADRATICA

Z10,903645

Z20,067161

Z30,017409






ln

11,879782-0,0798290,923274

22,480870-0,1450950,864940



11.2 Calculo de las Propiedades en Liquido para (T) Segundo Lazo ExternoComo se menciono con anterioridad, debemos hallar un valor de los coeficientes de distribucin en un valor de la temperatura menos un delta. Al igual que en el punto del vapor, las temperaturas reducidas cambian ya que dependen del cambio de la temperatura inicial, por tal motivo se presenta una tabla con las temperaturas reducidas de los componentes.


COMPONENTESTrXma (barcm6/mol2)b (cm3/mol)

10,8417920,22609215353132,678867,580732

20,6257290,77390826741758,833474,369094






A*B*

123892194,04853172,8342980,1396400,012451

2






Kf(z)f'(z)ZError

10,1251421,1391750,890146

0,8901460,0229600,7332290,8588333,1314E-02

0,8588330,0016190,6307750,8562652,5674E-03

0,8562650,0000100,6226360,8562481,6794E-05




EC. CUADRATICA

Z10,856248

Z20,115276

Z30,016024







ln

11,6032470,8522362,344883

22,115909-1,6424000,193515


11.3 Calculo de los Coeficientes de Distribucin para (T+T) Segundo Lazo ExternoAl tener los valores de los coeficientes de fugacidad tanto del vapor como del lquido se procede a hallar el valor de los coeficientes de distribucin. Estos clculos se realizan con la Ecuacin No. 1

COMPONENTESKm

12,539748

20,223732


11.4 Calculo de las Fracciones Normalizadas para (T+T) Segundo Lazo ExternoCon los coeficientes de distribucin se halla el nuevo valor de las fracciones en el liquido a estas condiciones de (T+T). Con la Ecuacin No. 28 se calcula el nuevo valor de estas fracciones.



12,5397480,3149920,260557

20,2237320,8939260,739443



12. Clculos para (T+T) Segundo Lazo ExternoAs mismo como en los clculos para un ms delta se hallaron los valores por el cambio de temperatura, igualmente para este punto se deben recalcular los valores de los coeficientes de fugacidad y de distribucin para el vapor. A continuacin se mostrara una tabla que contenga los datos a trabajar en este proceso.

1 CUADRO

(ESPECIFICACIONES)

P(Bar)5,000000

P(KPa)500,000000

Y10,800000

Y20,200000


X10,226092

X20,773908

T (K)351,884949

Tabla No. 76 Especificaciones para (T+T)

Como se puede observar en la Tabla No. 34, el valor de las fracciones en el gas son las propuestas en el ejercicio mientras que las fracciones del liquido son las halladas con le ultimo mtodo de iteracin. Vale aclarar que para estos casos en donde se vari la temperatura, la presin y las fracciones de las dos fases sern constantes en todos los casos done se trabajen con ellas.

12.1 Calculo de las Propiedades en Vapor para (T+T)Ahora se proceder a calcular las propiedades mencionadas anteriormente. Se comenzara con el clculo de las propiedades reducidas, las cuales dependen de la temperatura que se est variando. Para ellos se remite a la Ecuacin No. 13.



10,8420310,66368015350613,384167,580732

20,6259070,68946826738135,412374,369094







A*B*

117376953,55240968,9384040,1015030,011781

2







Kf(z)f'(z)ZError

10,0882501,1010870,919852

0,9198520,0124080,7978770,9043001,5552E-02

0,9043000,0004250,7435080,9037295,7113E-04

0,9037290,0000010,7415390,9037287,5841E-07




EC. CUADRATICA

Z10,903728

Z20,067080

Z30,017410






ln

11,879776-0,0797630,923335

22,480897-0,1449780,865041



12.2 Calculo de las Propiedades en Liquido para (T+T) Segundo Lazo ExternoComo se menciono con anterioridad, debemos hallar un valor de los coeficientes de distribucin en un valor de la temperatura menos un delta. Al igual que en el punto del vapor, las temperaturas reducidas cambian ya que dependen del cambio de la temperatura inicial, por tal motivo se presenta una tabla con las temperaturas reducidas de los componentes.


COMPONENTESXma (barcm6/mol2)b (cm3/mol)

10,22609215350613,384167,580732

20,77390826738135,412374,369094






A*B*

123888832,91789872,8342980,1395410,012447

2






Kf(z)f'(z)ZError

10,1250491,1390760,890219

0,8902190,0229310,7333750,8589523,1267E-02

0,8589520,0016150,6310560,8563932,5591E-03

0,8563930,0000100,6229410,8563761,6681E-06




EC. CUADRATICA

Z10,856376

Z20,115154

Z30,016022







ln

11,6032280,8540362,349108

22,115914-1,6394200,194093


12.3 Calculo de los Coeficientes de Distribucin para (T+T)Al tener los valores de los coeficientes de fugacidad tanto del vapor como del lquido se procede a hallar el valor de los coeficientes de distribucin. Estos clculos se realizan con la Ecuacin No. 1

COMPONENTESKm

12,544155

20,224374


12.4 Calculo de las Fracciones Normalizadas para (T+T)Con los coeficientes de distribucin se halla el nuevo valor de las fracciones en el liquido a estas condiciones de (T+T). Con la Ecuacin No. 28 se calcula el nuevo valor de estas fracciones.



12,5441550,3144460,260775

20,2243740,8913690,739225



13. Clculos para (T-T)As mismo como en los clculos para un ms delta se hallaron los valores por el cambio de temperatura, igualmente para este punto se deben recalcular los valores de los coeficientes de fugacidad y de distribucin para el vapor. A continuacin se mostrara una tabla que contenga los datos a trabajar en este proceso.

1 CUADRO

(ESPECIFICACIONES)

P(Bar)5,000000

P(KPa)500,000000

Y10,800000

Y20,200000


X10,226092

X20,773908

T (K)351,684949

Tabla No. 89 Especificaciones para (T-T)

Como se puede visualizar en la Tabla No. 50, la presin, las fracciones tanto en el liquido y en el vapor son constantes para trabajar en los dos deltas, lo que se varia en este proceso es la temperatura, y a este nuevo valor de T se recalcularan todos los parmetros vistos en el proceso de un delta positivo.

13.1 Calculo de las Propiedades en Vapor para (T-T)Para empezar vale aclarar que los procesos de clculos son exactamente los mismos que en el tem 7, con la diferencia que en este punto se variara la temperatura indicada en la Tabla No. 89. Es as como en este proceso solo daremos los parmetros a evaluar y por ende sus datos en tablas.

Se comienza con el clculo de la temperatura reducida con la Ecuacin No. 13

Al cambiar la temperatura se recalcula el valor de a, pero el valor de b no se recalcula ya que no depende ni de las fracciones ni de la T. Con la Ecuacin No. 11 calculamos a.


10,8415530,66368015355652,538367,580732

20,6255510,68946826745383,015174,369094


Calculo de los parmetros de mezcla aunque el valor de b de mezcla no se halla porque no cambiaron las b individuales. Ecuacin No. 15




A*B*

117382411,24873968,9384040,1016510,011788

2


Con estos valores se calcula en nuevo valor de Z. Como ya se haba explicado ser con el mtodo iterativo que se ha venido trabajando en el desarrollo del trabajo. As que utilizamos las Ecuaciones No. 19, 20 y 21.

Se repetir este proceso hasta encontrar un valor de Z que cumpla con el criterio de convergencia.


Kf(z)f'(z)ZError

10,0883881,1012340,919737

0,9197370,0124430,7976170,9041371,5600E-02

0,9041370,0004270,7430910,9035625,7491E-04

0,9035620,0000010,7411090,9035617,6871E-07


Con este nuevo valor de Z hallamos los parmetros y as mismo los otros dos valores de factor de compresibilidad.


EC. CUADRATICA

Z10,903561

Z20,067242

Z30,017408






ln

11,879789-0,0798960,923213

22,480844-0,1452110,864840



13.2 Calculo de las Propiedades en Liquido para (T-T)Al igual que en el punto del vapor, las temperaturas reducidas cambian ya que dependen del cambio de la temperatura inicial, por tal motivo se presenta una tabla con las temperaturas reducidas de los componentes.






A*B*

123895555,89341272,8342980,1397390,012454

2





Kf(z)f'(z)ZError

10,1252361,1392740,890074

0,8900740,0229900,7330820,8587133,1360E-02

0,8587130,0016240,6304940,8561382,5758E-03

0,8561380,0000110,6223300,8561211,6909E-05




EC. CUADRATICA

Z10,856121

Z20,115399

Z30,016026






ln

11,6032660,8504342,340662

22,115903-1,6453820,192939


13.3 Calculo para los Coeficientes de Distribucin para (T-T)Al tener los valores de los coeficientes de fugacidad tanto del vapor como del lquido se procede a hallar el valor de los coeficientes de distribucin. Estos clculos se realizan con la Ecuacin No. 1

COMPONENTESKm

12,535345

20,223092


13.4 Calculo de las Fracciones Normalizadas para (T-T)Con los coeficientes de distribucin se halla el nuevo valor de las fracciones en el liquido a estas condiciones de (T+T). Con la Ecuacin No. 28 se calcula el nuevo valor de estas fracciones.



12,5353450,3155390,260339

20,2230920,8964910,739661


Con estos ltimos valores tenemos los clculos completos para las dos fases que se presentan en el problema.

14. Calculo de las Funciones Objetivos.En este punto del trabajo se realiza el clculo de la funcin objetivo para cada uno de los casos, es decir, una funcin para un T normal o inicial, uno para un T+T y el ultimo para un T-T.

Con el clculo de estos valores y hallando la derivada se puede determinar la nueva temperatura, la cual ser utilizada para una segunda iteracin. A continuacin se mostrara el clculo de las funciones en cada uno de los casos.

Primero se hallara el valor de la funcin objetivo para la T inicial. Para ello se mostrara una tabla que contiene los valores necesarios para el clculo mencionado, y se continuara con la utilizacin de la Ecuacin No. 34.

DATOS LAZO INTERNO (T)

X10,260557

X20,739443

Y10,8

Y20,2

K12,539748

K20,223732

Tabla No. 102 Datos del 1 Lazo interno

Al tener el valor de la funcin objetivo principal, se proceder con el valor de las funciones evaluadas en T ms y menos el delta. As mismo como la Tabla No. 60 se mostrara una tabla para cada uno de los casos con sus respectivos clculos utilizando la misma ecuacin. (Ecuacin No. 34)

DATOS LAZO INTERNO (T+T)

X10,260775

X20,739225

Y10,8

Y20,2

K12,544155

K20,224374

Tabla No. 103 Datos del 1 Lazo interno (T+T)

DATOS LAZO INTERNO (T-T)

X10,260339

X20,739661

Y10,8

algoritmo de rachford y rice (5bar)....1

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