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expresiones Racionesles y EcuacionesTRANSCRIPT
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366
Captulo 6
Expresiones racionales y ecuaciones
6.1 Simplificacin de expresiones racionales
6.2 Multiplicacin y divisin deexpresiones racionales
6.3 Suma y resta de expresiones racionales con denominador comn y determinacin del mnimocomn denominador
6.4 Suma y resta de expresiones racionales
6.5 Fracciones complejas
6.6 Solucin de ecuaciones racionales
6.7 Ecuaciones racionales:aplicaciones y solucin deproblemas
6.8 Variacin
Resumen del captuloEjercicios de repaso del
captuloExamen de prctica del
captuloExamen de repaso
acumulativo
L os avances tecnolgicos en la transportacin durante los ltimos 50 aos han cambia-do la forma de viajar de las personas, y han reducido de manera significativa la duracinde los viajes. En Japn, los usuarios del tren se han beneficiado del comit para trenes de al-ta velocidad del pas. En el ejercicio 24 de la pgina 424, utilizamos una ecuacin racional pa-ra determinar la distancia entre dos ciudades comparando el tiempo que hace un viajero enlos nuevos trenes bala de Japn, con el tiempo que habra hecho en uno de los viejos trenes.
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Seccin 6.1 Simplificacin de expresiones racionales 367
Avance de la leccin uando estudi las fracciones,en aritmtica, trabaj con nmeros racionales.Aho-ra ampliar sus conocimientos incluyendo las fracciones que contienen variables
y que se conocen como expresiones racionales.En las secciones 6.1 a 6.5 emplear losmismos procedimientos bsicos que utiliz para simplificar (o reducir), sumar, restar,multiplicar y dividir fracciones aritmticas,esta vez para las expresiones racionales.Esconveniente que revise la seccin 1.3, ya que el material presentado en este captulose examinar a partir de los procedimientos que se presentaron all.
Muchos problemas de la vida real incluyen ecuaciones que tienen expresio-nes racionales, a las cuales se les denomina ecuaciones racionales. En la seccin 6.6resolveremos ecuaciones, y en las secciones 6.6 a 6.8 veremos aplicaciones reales deecuaciones racionales, incluyendo el uso de algunas frmulas comunes.
Para tener xito en este captulo necesita comprender completamente la facto-rizacin, la cual se present en el captulo 5. Las secciones 5.3 y 5.4 son especial-mente importantes..
C
6.1 SIMPLIFICACIN DE EXPRESIONES RACIONALES
1 Determinar los valores para los que est definida una expresin racional.
2 Entender los tres signos de una fraccin.
3 Simplificar expresiones racionales.
4 Factorizar un 1 negativo en un polinomio.
1 Determinar los valores para los que est definida una expresin racional
Iniciamos este captulo definiendo una expresin racional.
Una expresin racional es una expresin de la forma donde p y q son polinomios y
Ejemplos de expresiones racionales
El denominador de una expresin racional no puede ser igual a 0, ya que la
divisin entre 0 no est definida. En la expresin el valor de x no puede ser
0, ya que el denominador tendra un valor 0. Decimos que la expresin est
definida para todos los nmeros reales excepto 0. No est definida cuando x es 0.
En el valor de x no puede ser 3, ya que el denominador tendra un valor
0. Qu valores de x no pueden utilizarse en la expresin Si respondi 2
y 2, contest correctamente. Siempre que tengamos una expresin racional conuna variable en el denominador, supondremos hemos excluido el valor o valores de la variable que hacen al denominador igual a cero.
Un mtodo para determinar el valor o los valores de la variable que se ex-cluyen consiste en igualar el denominador y despus despejar a la variable de laecuacin resultante.
EJEMPLO 1 Determinemos el valor o los valores de la variable para los que est definida la expresin racional. a) b) c)
x + 3x2 + 6x - 7
x + 12x - 7
1x - 4
x
x2 - 4 ?
x2 + 4xx - 3
,
x + 3x
x + 3x
,
45
, x - 6
x,
x2 + 2xx - 3
, a
a2 - 4
q Z 0.p>q,
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368 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
Solucin a) Necesitamos determinar el valor o los valores de x que hacen a x 4 igual a 0y excluirlos.Analizando el denominador podemos ver que cuando x 4, el deno-minador es 4 4 o 0. As, no tomamos en cuenta a x 4 cuando consideremos la
expresin racional Esta expresin est definida para todos los nmeros
reales, excepto 4. En ocasiones simplificamos nuestra respuesta y escribimosb) Necesitamos determinar el valor o los valores de x que hacen a 2x 7 igual a0 y excluir estos valores. Podemos hacer esto, haciendo 2x 7 igual a 0 y despejara x en esta ecuacin.
Por tanto, no tomamos en cuenta cuando consideremos a la expresin ra-
cional Esta expresin est definida para todos los nmeros reales excepto
En ocasiones abreviamos nuestra respuesta y escribimos
c) Para determinar el valor o los valores que se excluyen, hacemos al denomina-dor igual a cero y resolvemos la ecuacin.
Por tanto, no tomamos en cuenta los valores x 7 o x 1 cuando consideremos
la expresin racional Tanto x 7 como x 1 hacen que el deno-
minador sea igual a cero. Esta expresin est definida para todos los nmeros rea-les, excepto x 7 y x 1. Por tanto, y
2 Entender los tres signos de una fraccin
Toda fraccin tiene asociados tres signos: el del numerador, el del denominador yel de la propia fraccin.
Siempre que omita cualquiera de los signos, supondremos que es positivo. Porejemplo,
a
b
-ab
- a
b
significa
significa
significa
+ +a+b
+ -a+b
- +a+b
Signo del numerador
Signo de la fraccin
Signo del denominador
+ -a+b
x Z 1.x Z -7
x + 3x2 + 6x + 7
.
x = -7 x = 1 x + 7 = 0 o bien x - 1 = 0
1x + 721x - 12 = 0 x2 + 6x - 7 = 0
x Z72
.x =72
.
x + 12x - 7
.
x =72
x =72
2x = 7 2x - 7 = 0
x Z 4.
1x - 4
.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15
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Seccin 6.1 Simplificacin de expresiones racionales 369
Al cambiar dos de los tres signos de una fraccin no se cambia el valor de la fraccin.As,
Por lo general, no escribimos una fraccin con un denominador negativo.
Por ejemplo, la expresin se escribira como o como La expresin
puede escribirse ya que (4 x) 4 x o x 4.
3 Simplificar expresiones racionales
Una expresin racional est simplificada o reducida a su mnima expresin cuan-do el numerador y el denominador no tienen factores comunes distintos de 1. Lafraccin no est simplificada, ya que 9 y 12 tienen como factor comn el nme-ro 3. Cuando se factoriza el nmero 3, la fraccin simplificada es
La expresin racional no est simplificada, ya que el numerador y
el denominador tienen el factor comn b. Para simplificar esta expresin, factori-ce b en cada trmino del numerador; luego divida entre b.
As, se convierte en cuando se simplifica.
Para simplificar expresiones racionales
1. Factorice el numerador y el denominador tanto como sea posible.
2. Divida el denominador y el numerador entre los factores comunes.
EJEMPLO 2 Simplifique
Solucin Factorice el mximo factor comn, 5x, de cada trmino en el numerador. Como 5xes un factor comn tanto del numerador como del denominador, divida entre l.
5x3 + 10x2 - 25x
10x2=
5x 1x2 + 2x - 52 5x # 2x =
x2 + 2x - 52x
5x3 + 10x2 - 25x10x2
.
a - b2
ab - b2
2b
ab - b2
2b=
b 1a - b22 b
=a - b
2
ab - b2
2b
912
= 3 1 # 3
3 1
# 4 =34
34 .
912
x
x - 4x
-14 - x2-
25
.-25
2-5
-ab
= - a
b=
a
-b
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 33
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370 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
SUGERENCIA En el ejemplo 2, estamos simplificando un polinomio dividido entre un monomio usan-do factorizacin. En la seccin 4.6 dividimos polinomios entre monomios escribiendocada trmino en el numerador entre la expresin en el denominador. Por ejemplo,
La respuesta anterior, es equivalente a la obtenida al factorizar en
el ejemplo 2, como se muestra a continuacin.
Escriba cada trmino con el mcd 2x.
Cuando se pidi simplificar una expresin factorizamos los numeradores y los deno-minadores, tanto como sea posible, luego dividimos entre los factores comunes. Esteproceso se ilustr en el ejemplo 2 y se mostrar en los ejemplos 3 a 5.
EJEMPLO 3 Simplifique
Solucin Factorice el numerador; luego divida entre el factor comn.
EJEMPLO 4 Simplifique
Solucin Factorice el numerador; luego divida entre los factores comunes.
EJEMPLO 5 Simplifique .
Solucin Factorice el numerador; y el denominador; luego divida entre los factores comunes.
Observe que no puede simplificarse ms. 3x + 2x + 7
3x2 - 10x - 8x2 + 3x - 28
=13x + 22 1x - 42 1x + 72 1x - 42 =
3x + 2x + 7
.
3x2 - 10x - 8x2 + 3x - 28
r2 - 25r - 5
=1r + 52 1r - 52
r - 5 = r + 5
r2 - 25r - 5
.
x2 + 2x - 3x + 3
= 1x + 32 1x - 12
x + 3 = x - 1
x2 + 2x - 3x + 3
.
=x2 + 2x - 5
2x
=x2
2x+
2x2x
-5
2x
= x
x# x2
+
2x2x
-5
2x
x
2+ 1 -
52x
x2 + 2x - 52x
,
x
2+ 1 -
52x
,
=x
2+ 1 -
52x
5x3 + 10x2 - 25x
10x2=
5x3
10x2+
10x2
10x2-
25x10x2
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 41
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Seccin 6.1 Simplificacin de expresiones racionales 371
Recuerde: al dividir expresiones slo se pueden eliminar factores comunes.
CORRECTO INCORRECTO
En el denominador del ejemplo a la izquierda, 4x, el 4 y la x son factores, ya que estnmultiplicndose. El 4 y la x tambin son factores del numerador 20x2, que puede escri-birse como 4 x 5x.
Algunos estudiantes dividen trminos de manera incorrecta. En la expresin
la x y 4 son trminos del denominador, no son factores, y por tanto no pue-
den dividirse.
4 Factorizar un 1 negativo en un polinomio
Recuerde que al factorizar 1 de un polinomio, cambia el signo de cada trminode ste.
Ejemplos
Siempre que los trminos del numerador y del denominador difieran slo porsus signos (uno es el opuesto o inverso aditivo del otro), podemos factorizar 1en el numerador o en el denominador (no en ambos) y luego dividir entre el fac-tor comn. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 6.
EJEMPLO 6 Simplifique
Solucin Como cada trmino en el numerador slo difiere en el signo de su trmino seme-jante en el denominador, factorizaremos 1 en cada trmino del denominador.
SUGERENCIAEn el ejemplo 6 determinamos que Observe que el numerador, 3x 7,
y el denominador, 7 3x, son opuestos ya que slo difieren en el signo. Esto es,
Siempre que tengamos el cociente de dos expresiones que son opuestas, como
el cociente puede remplazarse por 1.a - bb - a
, a Z b,
3x - 77 - 3x
=3x - 7
-13x - 72 = -1
3x - 77 - 3x
= -1.
= -1
= 3x - 7
- 13x - 72
3x - 77 - 3x
=3x - 7
-11-7 + 3x2
3x - 77 - 3x
.
-2x2 + 3x - 4 = -112x2 - 3x + 42 = -12x2 - 3x + 42 5 - 2x = -11-5 + 2x2 = -12x - 52
-3x + 7 = -113x - 72 = -13x - 72
x2 - 20x - 4
,
##
x2 x
- 20 5
x 1
- 4 1
20 5
x2 x
4 1
x 1
= 5x
CMO EVITAR ERRORES COMUNES
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7. 7. and 8. The denominator cannot be 0. 8.x + 3x2 + 4
x - 6x2 + 2
372 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
En el ejemplo 7 utilizaremos la Sugerencia dada en la pgina anterior.
EJEMPLO 7 Simplifique
SolucinLos trminos en n 6 slodifieren en el signo de los tr-minos en 6 n.
Remplace con 1.
Observe que tambin es una respuesta aceptable. -4n - 1 = -14n + 12
n - 66 - n
= 14n + 12 1-12
4n2 - 23n - 6
6 - n=14n + 12 1n - 62
6 - n
4n2 - 23n - 66 - n
.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 49
Conjunto de ejercicios 6.1
Ejercicios conceptuales
1. a) Con sus propias palabras defina una expresin racional.
b) Proporcione tres ejemplos de expresiones racionales.
2. Explique cmo determinar el valor o los valores de la va-riable que hacen que una expresin racional no est defi-nida.
3. En cualquier expresin racional con una variable en el de-nominador, qu es lo que siempre suponemos acerca dela variable?
4. Con sus propias palabras, explique cmo simplificar unaexpresin racional.
Explique por qu las siguientes expresiones no pueden simplificarse.
5. 6.5x + 4y
12xy5. and 6. There is no factor common to both thenumerator and the denominator.
2 + 3x4
Explique por qu x puede representar cualquier nmero real en las siguientes expresiones.
En los ejercicios 9 y 10, determine los valores (si los hay), que x no puede representar. Explique.
9. 10.
11. La expresin es igual a 1? Explique. no 12. La expresin es igual a 1? Explique.- 3x + 2
-3x - 2-
x + 55 - x
x Z 4x
1x - 422x Z 2x + 3x - 2
Prctica de habilidades
Determine el valor o valores de la variable en donde cada expresin est definida.
13. all real numbers except 14. all real numbers except
15. all real numbers except 16. all real numbers except
17. all real numbers except 18. all real numbers except x = -5, x = 17
x2 + 4x - 5x = 2, x = -2
x + 4x2 - 4
x =32
52x - 3n = 3
74n - 12
r = -43
r + 4x = 0x - 3
x
-
Seccin 6.1 Simplificacin de expresiones racionales 373
Simplifique las expresiones racionales siguientes que tienen un monomio dividido entre otro monomio. Este material se es-tudi en las secciones 4.1 y 4.2, y le ayudarn a prepararse para la siguiente seccin.
25. 26. 27. 28.14r2 s32213r4 s23
4
b512a4 b5232a12 b20
4
5xy324x3 y2
30x4 y5x
3y47x3 y
21x2 y5
Simplifique
29. 30. 31. 5
32. 33. 34.
35. 36. 37.
38. 39. 40.
41. 42. 43.
44. 45. 46.
47. 48. 49.
50. 51. 52.
53. 54. 55.
56. 57. 58.
59. 60. 61.
62. 63. 64.
65. 66.31k - r2k + 2r
3k2 + 6kr - 9r2
k2 + 5kr + 6r22
x - y4x + 6y
2x2 + xy - 3y2
1a - 4b
a + 4ba2 - 16b2
3s + 4t9s2 - 16t2
3s - 4tx2 + 5x + 25
x + 5x3 - 125x2 - 25
a2 + 2a + 4a3 - 8a - 2x + 1
x3 + 1x2 - x + 1
x - 4x + 4
2x2 - 8x + 3x - 122x2 + 8x + 3x + 12
x - 22x + 3
x2 - 2x + 4x - 82x2 + 3x + 8x + 12
x + 4x2 - 3x + 4x - 12
x - 33t - 56t2 - 7t - 5
2t + 1
2x - 36x2 - 13x + 6
3x - 24x + 316x2 + 24x + 9
4x + 3x - 5x + 5
x2 - 251x + 522
2x - 5x - 3
2x2 - 11x + 151x - 322
14m - 5
m - 24m2 - 13m + 10
x + 5x + 2
x2 - 25x2 - 3x - 10
-1x + 322x2 + 5x - 31 - 2x3p + 2
3p2 - 13p - 10p - 5-
x + 62x
x2 + 3x - 18-2x2 + 6x
- 1
s - 57 - s
s2 - 12s + 35-1x + 22x
2 - 2x - 84 - x-2
8a - 63 - 4a
-12x - 33 - 2x
2x + 4x - 3
4x2 - 12x - 402x2 - 16x + 30
x + 1x + 2
x2 - 2x - 3x2 - x - 6
z - 5z + 5
z2 - 10z + 25z2 - 25
k - 3k + 3
k2 - 6k + 9k2 - 9
x + 63
x2 + 3x - 183x - 9
x
x + 2x2 + 2x
x2 + 4x + 41
b - 6b - 2
b2 - 8b + 12r - 2
r2 - r - 2r + 1
x2 y - 2x + 3x2 y2 - 2xy + 3y
yx2 + 6x + 3
2
x3 + 6x2 + 3x2x
x + 2x + 3
3x2 + 6x3x2 + 9x
5x + 15x + 3
x
x + 33x
3x + 91
1 + yx
x + xy
19. all real numbers except 20.
21. all real numbers 22.
23. all real numbers except 24.3
9r2 - 16p =
52
, p = - 52
p + 44p2 - 25
69 + x2
x
x2 + 16
x2 + 32x2 - 13x + 15
x =32
, x = 3x - 3
2x2 - 9x + 9
Solucin de problemas
Simplifique, si es posible, las siguientes expresiones. Trate el smbolo desconocido como si fuese una variable.
67. 68. 69.
70. 71. 72.1 - 322
2 - 6 + 9-1
3 - 22 - 3
+ 2
2 + 22 + 4 + 4
2 + 3
714 + 21
11 + 7
+ 72
4
3
12
-
Actividad en grupo
73. 74.2x2 + 11x + 12
= x + 4x + 2x2 - x - 6
= x - 3
374 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
Determine el denominador que hace verdadera cada proposicin. Explique cmo obtuvo su respuesta.
Determine el numerador que hace verdadera cada proposicin. Explique cmo obtuvo su respuesta.
75. 76.
x - 5= 2x - 1x2 + 7x + 12
x + 4= x + 3
Problemas de reto
En los ejercicios 77 al 79, a) determine el valor o valores que x no puede representar. b) Simplifique la expresin.
77. a) b) 78. a) b)
79. a) b)1
x12x - 32x Z 0, x Z -5, x Z32
x + 52x3 + 7x2 - 15x
12x - 5
x Z 4, x Z52
x - 42x2 - 5x - 8x + 20
1x - 2
x Z -3, x Z 2x + 3
x2 - 2x + 3x - 6
Simplifique. Explique cmo determin su respuesta.
80. 81. 1 82. -115 x
5 - 23 x423 x
4 - 15 x5
15 x
5 - 23 x415 x
5 - 23 x415
x -23
15 x
5 - 23 x4
x4
En grupo, analice y responda el ejercicio 83.
e) Miembro 3 del grupo: sustituya 2 en la expresin ori-ginal y en la expresin simplificada en la parte b). Com-pare sus respuestas.
f) Como grupo, analicen los resultados del trabajo de laspartes c) a e).
g) Ahora, en grupo, sustituyan 5 en la expresin originaly en la expresin simplificada.Analicen sus resultados.
h) La expresin siempre es igual a su
forma simplificada, para cualquier valor de x? Expli-que su respuesta.
x2 - 25x3 + 2x2 - 15x
83. a) Como grupo, determinen los valores de la variable en
donde la expresin no est definida.
b) Como grupo, simplifiquen la expresin racional.
c) Miembro 1 del grupo: sustituya 6 en la expresin origi-nal y evale.
d) Miembro 2 del grupo: sustituya 6 en la expresin sim-plificada de la parte b) y compare su resultado con eldel miembro 1 del grupo.
11198 =
118
x2 - 25x3 + 2x2 - 15x
Ejercicios de repaso acumulativo
[3.1] 84. Despeje y de la frmula .
[3.4] 85. Tringulo Determine las medidas de los tres ladosde un tringulo, si un ngulo es 30 mayor que elngulo ms pequeo, y el tercer ngulo es 10 ma-yor que 3 veces el ngulo ms pequeo.
[4.1] 86. Simplifique
[4.4] 87. Reste6x2 - 10x - 17
3x2 - 4x - 8 - 1-3x2 + 6x + 92.
16
81x4 y24x2 y2
9x4 y3 2.
y = x - 2zz =x - y
2[5.3] 88. Factorice completamente .
[5.7] 89. Determine la longitud de la hipotenusa del trin-gulo rectngulo.
12 pulg.
5 pulg.
3a2 - 30a + 72
-
Seccin 6.2 Multiplicacin y divisin de expresiones racionales 375
6.2 MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE EXPRESIONES RACIONALES
1 Multiplicacin de expresiones racionales.
2 Divisin de expresiones racionales.
1 Multiplicacin de expresiones racionales
En la seccin 1.3 revisamos la multiplicacin de fracciones numricas. Recuerdeque para multiplicar dos fracciones debemos multiplicar tanto sus numeradores co-mo sus denominadores.
Para multiplicar dos fracciones
EJEMPLO 1 Multiplique
Solucin Primero divida entre los factores comunes; luego multiplique.
El mismo principio se aplica cuando multiplicamos expresiones racionales
que tienen variables.Antes de multiplicar, primero debemos dividir entre los fac-tores comunes del numerador y el denominador.
Para multiplicar expresiones racionales
1. Factorice por completo todos los numeradores y los denominadores.
2. Divida entre los factores comunes.
3. Multiplique los numeradores por los numeradores y los denominadores por losdenominadores.
EJEMPLO 2 Multiplique
Solucin Este problema puede representarse como
Ahora multiplique entre s los numeradores que quedan; haga lo mismo con los de-nominadores.
2xy2
1 o bien 2xy2
Divida el 4 y el 2 entre 2 y divida las y.
3 1
x 1
x
2 1
y 1
# 4 2
y 1
yy
3 1
x 1
Divida entre los 3 y entre las x. 3 1
x 1
x
2y# 4yyy
3 1
x 1
3xx2y
# 4yyy3x
3x2
2y# 4y3
3x.
3 1
5# -2
9 3
=1 # 1-22
5 # 3 = - 215
a35b a -2
9b .
a
b# cd
=a # cb # d , b Z 0 y d Z 0
-
376 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 43
En lugar de ilustrar completamente este proceso cuando se multiplican ex-presiones racionales, con frecuencia procedemos como sigue:
EJEMPLO 3 Multiplique
Solucin En el ejemplo 3, cuando se dividi y2 en el numerador y el denominador no
colocamos un 1 arriba y abajo de los factores de y2. Cuando se factoriza en el de-nominador y en el numerador un factor, por lo comn no se muestran los unos.
EJEMPLO 4 Multiplique
Solucin
EJEMPLO 5 Multiplique
Solucin
En el ejemplo 5 podramos haber multiplicado los factores en el denominador
para obtener sta es tambin una respuesta correcta. En esta seccin
dejaremos las respuestas racionales con el numerador como un polinomio (en for-ma no factorizada) y los denominadores en forma factorizada, como se dio en elejemplo 5. Esto es consistente con la forma como dejaremos respuestas raciona-les cuando sumemos y restemos expresiones racionales en secciones posteriores.
EJEMPLO 6 Multiplique
Solucin
Este problema an no est completo. En la seccin 6.1 mostramos que 4 a es1(4 a) o bien 1(a 4). Por tanto,
21a - 42
4 - a=
2 1a - 42 -1 1a - 42 = -2
a - 4 3 1
a # 6
2 a
4 - a=
21a - 424 - a
.
a - 43a
# 6a4 - a
.
x + 22x2 - 4x
.
= 1x + 22 1x + 22
6 2
x2 x
# 3 1
x 1
1x + 22 1x - 22 =x + 2
2x1x - 22
1x + 222
6x2# 3xx2 - 4
=1x + 221x + 22
6x2# 3x1x + 221x - 22
1x + 2226x2
# 3xx2 - 4
.
1x - 62 # 5x3 - 6x2
= x - 6
1# 5x2 1x - 62 =
5x2
1x - 62 # 5x3 - 6x2
.
- 3 y2
2 x3 x
# 5 x2 7 y2
= - 15
14x
- 3y2
2x3# 5x27y2
.
= 3 1
x2 x
2 1
y 1
# 4 2
y3 y2
3 1
x 1
= 2xy2
3x2
2y# 4y3
3x
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 13
-
Seccin 6.2 Multiplicacin y divisin de expresiones racionales 377
SUGERENCIA Cuando en un problema de multiplicacin, un numerador y un denominador slo difie-ren en el signo, factorice 1 de cualquiera de ellos, y luego divida entre el factor comn.
EJEMPLO 7 Multiplique
Solucin Factorizar.
Dividir entre los factores comunes.
Observe que el factor (1 2x) en el numerador de la segunda fraccin slo difie-re en signo de 2x 1, el denominador de la primera fraccin. Por tanto; factoriza-mos 1 de cada trmino de (1 2x) en el numerador de la segunda fraccin.
Factorizar 1 del segundo numerador.
Dividir entre los factores comunes.
EJEMPLO 8 Multiplique
Solucin Factorizamos completamente los numeradores y denominadores, y luego dividimosentre los factores comunes.
EJEMPLO 9 Multiplique
Solucin
=-21x - 62
9y=
-2x + 129y
= 2 x 1x - 62 1x - 12
6 3
y2 y
# -2 y 3 x 1x - 12
=2x1x - 621x - 12
6y2# -2y3x1x - 12
2x3 - 14x2 + 12x
6y2# -2y3x2 - 3x
=2x1x2 - 7x + 62
6y2# -2y3x1x - 12
2x3 - 14x2 + 12x6y2
# -2y3x2 - 3x
.
= 12x - 32 1x + 42
12x - 32 13x - 12 # 13x - 12 1x + 12 1x + 12 1x + 42 = 1
2x2 + 5x - 126x2 - 11x + 3
# 3x2 + 2x - 1x2 + 5x + 4
=12x - 321x + 4212x - 3213x - 12 #
13x - 121x + 121x + 121x + 42
2x2 + 5x - 126x2 - 11x + 3
# 3x2 + 2x - 1x2 + 5x + 4
.
=-41
= -4
= 3x + 2 2x - 1
# -4 12x - 12 3x + 2
= 3x + 2 2x - 1
# 41-1212x - 12 3x + 2
= 3x + 2 2x - 1
# 411 - 2x2 3x + 2
.
3x + 22x - 1
# 4 - 8x3x + 2
=3x + 22x - 1
# 411 - 2x23x + 2
3x + 22x - 1
# 4 - 8x3x + 2
.
a - bx
# y
b - a
= a - b
x# y
-1 1a - b2 = - y
x
-
378 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
EJEMPLO 10 Multiplique
Solucin
2 Divisin de expresiones racionales
En el captulo 1 aprendimos que para dividir una fraccin entre otra, invertimosel divisor y multiplicamos.
Para dividir dos fracciones
EJEMPLO 11 Divida a) b)
Solucin a) b) Para dividir expresiones racionales se utilizan los mismos principios.
Para dividir expresiones racionales
Obtenga el inverso del divisor (la segunda fraccin) y multiplique.
EJEMPLO 12 Divida
Solucin Obtenemos el inverso del divisor (la segunda fraccin), y luego multiplicamos.
EJEMPLO 13 Divida
Solucin
Factorizar y dividirentre los factores comunes.
=1x + 32 1x - 32
x + 4 # x + 4
x - 3 = x + 3
Obtener el inverso deldivisor y multiplicar.
x2 - 9x + 4
,x - 3x + 4
=x2 - 9x + 4
# x + 4x - 3
x2 - 9x + 4
,x - 3x + 4
.
8x3
z,
5z3
3=
8x3
z# 35z3
=24x3
5z4
8x3
z,
5z3
3.
34
,56
=3
4 2
# 6 3
5=
3 # 32 # 5 =
910
27
,57
=2
7 1
# 7 1
5=
2 # 11 # 5 =
25
34
,56
27
,57
a
b,
c
d=
a
b# d
c=
ad
bc, b Z 0, d Z 0, y c Z 0
=x + 2y2x + y
= 1x + y2 1x - y2
x + y # x + 2y12x + y2 1x - y2
x2 - y2
x + y# x + 2y2x2 - xy - y2
=1x + y21x - y2
x + y# x + 2y12x + y21x - y2
x2 - y2
x + y# x + 2y2x2 - xy - y2
.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 19
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 25
-
Seccin 6.2 Multiplicacin y divisin de expresiones racionales 379
EJEMPLO 14 Divida
Solucin
Factorizar 1, luego dividirentre los factores comunes.
EJEMPLO 15 Divida
Solucin (w 5)2 significa Factorizamos el numerador de la primera fraccin; lue-
go obtenemos el inverso del divisor y multiplicamos.
EJEMPLO 16 Divida
Solucin
=412x - 12
3=
8x - 43
=2 13x - 42 12x - 12
3 x # 2 x 1x + 22
13x - 42 1x + 22
=216x2 - 11x + 42
3x# 2x1x + 2213x - 421x + 22
12x2 - 22x + 8
3x,
3x2 + 2x - 82x2 + 4x
=12x2 - 22x + 8
3x# 2x2 + 4x3x2 + 2x - 8
12x2 - 22x + 83x
,3x2 + 2x - 8
2x2 + 4x.
=w - 6
w21w - 52
=1w - 62 1w - 52
w2# 1
1w - 52 1w - 52
w2 - 11w + 30
w2, 1w - 522 = w2 - 11w + 30
w2# 11w - 522
1w - 5221
.
w2 - 11w + 30w2
, 1w - 522.
=1-121-12112132 =
13
=-1
2x - 3 # -1 12x - 32
3
Obtener el inverso deldivisor y multiplicar.
-12x - 3
,3
3 - 2x=
-12x - 3
# 3 - 2x3
-12x - 3
,3
3 - 2x.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35
Conjunto de ejercicios 6.2
Ejercicios conceptuales
1. En sus palabras, explique cmo multiplicar expresionesracionales.
2. En sus palabras, explique cmo dividir expresiones racio-nales.
-
3. 4.
numerator must be numerator must be
5. 6.
denominator must be denominator must be 12x - 121x - 622x2 - 13x + 6;1x - 521x + 32x2 - 2x - 152x - 1x - 3
# x - 3
=1
x - 6x - 5x + 5
# x + 5
=1
x + 3
1x + 2212x - 322x2 + x - 6;1x - 421x + 22x2 - 2x - 8;x - 5x + 2
# x - 5
= 2x - 3x + 3x - 4
# x + 3
= x + 2
Qu polinomio debe colocarse en el rea sombreada de la segunda fraccin para hacer verdadera cada una de las proposi-ciones? Explique cmo determin su respuesta.
380 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
Prctica de habilidades
Multiplique.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15. 1
16. 17. 18.
19. 20. 21.
22. 23. 24.x + 3x - 3
x3 + 8x2 - x - 6
# x + 3x2 - 2x + 4
x + 3x + 3x - 3
# x3 - 27x2 + 3x + 9
2t2 - t - 62t2 - 3t - 2
# 2t2 - 5t - 32t2 + 11t + 12
x + 2x + 3
3x2 - 13x - 10x2 - 2x - 15
# x2 + x - 23x2 - x - 2
12
2x2 - 9x + 98x - 12
# 2xx2 - 3x
6x2 - 14x - 126x + 4
# x + 32x2 - 2x - 12
t - 63t
t2 - 36t2 + t - 30
# t - 53t
1
a2 - b2a
a2 - b2# a + ba2 + ab
b + 42
b2 + 7b + 122b
# b2 - 4bb2 - b - 12
x2 + 7x + 12x + 4
# 1x + 3-
3m2m + 5
m - 52m + 5
# 3m-m + 5
-3x + 23x + 2
3x - 23x + 2
# 4x - 11 - 4x
x + 3x + 4
x2 - 9x2 - 16
# x - 4x - 3
36x9 y2
25z76x5 y3
5z3# 6x45yz4
- 1
24m37n3
32m# -421m2 n3
80x4
y616x2
y4# 5x2
y23x2
y
15x3 y2
z# z5xy3
xy
8
5x4y
# y210
Divida.
25. 26. 27.
28. 29. 30.
31. 32. 33.
34. 35. 36.
37. 38. 39.
40. 41. 42.7n - 1n + 2
7n2 - 15n + 2n2 + n - 6
,n2 - 3n - 10n2 - 2n - 15
x + 1x - 4
5x2 - 4x - 15x2 + 6x + 1
,x2 - 5x + 4x2 + 2x + 1
6xy3 - 6y49x2 - 9y2
6x2 y2,
3x + 3y12x2 y5
-1x2 - y2
x2 - 2xy + y2,
x + yy - xax
2 + bx2a2 - b2
9,
3a - 3b27x2
x + 3x - 1
2x2 + 9x + 4x2 + 7x + 12
,2x2 - x - 11x + 322
a2 + 2a + 191a + b22
a - b9a + 9b
,a2 - b2
a2 + 2a + 1x2 - 12x + 32x2 - 6x - 16
,x2 - x - 12
x2 - 5x - 241
x2 + 7x - 18,
1x2 - 17x + 30
x + 7x2 + 5x - 14
x,
x - 2x
x
2y1x + 32x - 3
4y2,
x2 - 92xy
5r10r + 5
r,
2r + 1r2
z2
2y2xz ,
4xy
z5
6ab25xy
7ab2,
6xy
724
7xz
36y
7z2,
3xy
2z
9zx
15xy2
4z,
5x2 y2
12z236x3 y2
9x3
4,
116y2
3x2 y9x3
y2,
3xy3
Realice cada una de las operaciones que se indican.
43. 44. 45.
46. 47. 48.
49. 50. 51.12
13x + 52 # 16x + 10-
36z
y4-18x2 y
11z2# 22z3x2 y5
8mx7
3y2100m6
21x5 y7# 14x12 y5
25m5
9
5xy427x5y2
, 3x2 y23y2
a2-xy
a,
-2ax6y
- wy
3x
-2xwy5
,6x2
y6
7c
4ab263a2 b3
16c3# 4c49a3 b5
3x2 z2
8
5z3
8# 9x215z
4x2 y29x6y2
# 24x2 y49x
-
81. x2 - 5x + 6, x2 - x - 20
# x2 + 3x - 4x2 - 4x + 3
=x - 2x - 5
Seccin 6.2 Multiplicacin y divisin de expresiones racionales 381
52. 5 53. 54.
55. 56. 57.
58. 59. 60.
61. 62. 63.
64. 65. 66.2z - 3z + 3
2z2 + 9z + 94z2 - 9
,1z + 32212z - 322
2n + 33n - 1
4n2 - 99n2 - 1
# 3n2 - 2n - 12n2 - 5n + 3
q2 - 11q + 302q2 - 7q - 15
,q2 - 2q - 24q2 - q - 20
x + 5x - 4
2x2 - 19x + 24x2 - 12x + 32
,2x2 + x - 6
x2 + 7x + 102w - 7w + 1
2w2 + 3w - 35w2 - 7w - 8
# w2 - 5w - 24w2 + 8w + 15
3z + 2z - 2
3z2 - 4z - 4z2 - 4
# 2z2 + 5z + 22z2 - 3z - 2
p - 3p
p2 - 5p + 6p2 - 10p + 16
,p2 + 2p
p2 - 6p - 16x - 4x - 3
x2 - 10x + 24x2 - 8x + 12
,x2 - 7x + 12x2 - 6x + 8
z + 2z + 4
z2 - z - 20z2 - 3z - 10
# 1z + 2221z + 422
r + 2r - 3
r2 + 5r + 6r2 + 9r + 18
# r2 + 4r - 12r2 - 5r + 6
9r3
2s83r5 s2
1r2 s323 #6r4
4s8
m4 n1114m22
8n3,
m6 n8
4
2x3 y5
9z2x2 y5
3z,
3z2x
7xy
14x2 y2
,1
28x3 y1
4x - 3# 120x - 152
Solucin de problemas
Realice cada operacin que se indica. Trate a y como si fuesen variables.
67. 68.
69. 70.2 - 2
2 - 2 + 2,
+ -
+ 91 - 2
- 9 - 9
,2 - 2
2 + 2 + 2
- 2
2 + 5 - 6
2 + 5# 2
- + 61
6362
12# 12365
Para cada ecuacin, escriba un binomio o trinomio en el rea sombreada para hacer verdadera la proposicin. Expliquecmo determin su respuesta.
71. 72. 73.
74. 75. 76.
x2 + 3x - 10
x + 4x2 + 9x + 20
# x - 2
= 1x2 - 3x + 2
x2 - 4# x + 2x - 1
= 1x - 2
x2 - 7x + 10=
1x - 5
x2 - 3x - 10
x - 5= x + 2x2 - 9
x + 3
=1
x - 3x2 + 3x + 2
x + 2= x + 1
Problemas de reto
Simplifique.
77. 78.
79. 1 80.
1x + 1221x - 1221x + 224
x2 + 4x + 3x2 - 6x - 16
,x2 + 5x + 6x2 - 9x + 8
# x2 - 1x2 + 4x + 4
x2 + 4x + 3x2 - 6x - 16
, x2 + 5x + 6x2 - 9x + 8
# x2 - 1x2 + 4x + 4
x - 1x - 3
x2 - x - 62x2 - 9x + 9
,x2 + x - 12x2 + 3x - 4
# 2x2 - 5x + 3x2 + x - 2
x - 3x + 3
x + 2x2 - 4x - 12
# x2 - 9x + 18x - 2
, x2 + 5x + 6x2 - 4
Para los ejercicios 81 y 82, determine los polinomios que cuando son colocados en el rea sombreada hacen verdadera laproposicin. Explique cmo determin su respuesta.
82.
x2 + 2x - 3, x2 + 9x + 20
x2 + x - 2# x2 + 6x + 8
=x + 3x + 5
-
382 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
Actividad en grupo
83. Consideren los tres problemas siguientes:
(1)
(2)
(3)1x + 2221x - 323a
x + 2x - 3
b , x2 - 5x + 6x - 2
# ax + 2x - 3
b
1x + 2221x - 323x + 2x - 3 , x2 - 5x + 6x - 2 # ax + 2x - 3 b
1x - 3
ax + 2x - 3
b , x2 - 5x + 6x - 2
# x + 2x - 3
a) Sin resolverlo, en grupo decidan cules de ellos ten-
drn la misma respuesta.
b) De forma individual, simplifique cada uno de los tresproblemas
c) Compare sus respuestas de la parte b) con los otrosmiembros de su grupo. Si no obtuvo las mismas res-puestas, explique por qu.
Ejercicios de repaso acumulativo
[3.6] 84. Remolcador Un remolcador deja el puerto y viajaa un promedio de 15 millas por hora hacia un bar-co de fiestas para remolcarlo hacia el puerto. En elviaje de regreso, jalando el barco de fiestas, el re-molcador promedia 5 millas por hora. Si el viaje deregreso al muelle le tom 2 horas ms que el viajede ida, determine el tiempo que tard el remolcadoren llegar al barco de fiestas.
[4.5] 85. Multiplique
[4.6] 86. Divida
[5.4] 87. Factorice
[5.6] 88. Resuelva 5, -23x2 - 9x - 30 = 0.
31x - 521x + 223x2 - 9x - 30.
2x2 + x - 2 -2
2x - 14x3 - 5x2x - 1
.
20x4 y5 z1114x3 y2 z4215xy3 z72.
6.3 SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES CON DENOMINADOR COMN Y DETERMINACIN DEL MNIMO COMN DENOMINADOR
1 Sumar y restar expresiones racionales con un denominadorcomn.
2 Determinar el mnimo comn denominador (mcd).
1 Sumar y restar expresiones racionales con un denominador comn
Recuerde que cuando sumamos (o restamos) dos fracciones aritmticas con undenominador comn, sumamos (o restamos) los numeradores y conservamos el de-nominador comn.
Para sumar o restar dos fracciones
a
c+
b
c=
a + bc
, c Z 0 a
c-
b
c=
a - bc
, c Z 0
-
Seccin 6.3 Suma y resta de expresiones racionales con denominador comn y... 383
EJEMPLO 1 a) Sume b) Reste
Solucin a) b)
En el ejemplo 1a) observe que no simplificamos a Las fracciones se dancon un denominador comn, 16. Si se simplificase a perderamos el denomi-nador comn que se necesita para sumar o restar fracciones.
Cuando sumamos o restamos expresiones racionales que tienen variables,se aplican los mismos principios.
Para sumar o restar expresiones racionales con un denominador comn
1. Sume o reste los denominadores.
2. Coloque la suma o diferencia de los numeradores que determin en el paso 1 so-bre el denominador comn.
3. Si es posible, simplifique la fraccin.
EJEMPLO 2 Sume .
Solucin
EJEMPLO 3 Sume
Solucin
Ahora, de cada trmino en el numerador, factorice 2x y simplifique.
EJEMPLO 4 Sume x2 + 3x - 2
1x + 521x - 22 +4x + 12
1x + 521x - 22 .
= 2x 1x + 32
x + 3 = 2x
=2x2 + 6x
x + 3.
=2x2 + 5 + 6x - 5
x + 3
2x2 + 5x + 3
+6x - 5x + 3
=12x2 + 52 + 16x - 52
x + 3
2x2 + 5x + 3
+6x - 5x + 3
.
3x - 4
+x + 2x - 4
=3 + 1x + 22
x - 4=
x + 5x - 4
3x - 4
+x + 2x - 4
12 ,
816
12 .
816
59
-19
=5 - 1
9=
49
516
+8
16=
5 + 816
=1316
59
-19
.5
16+
816
.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 21
-
384 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
Solucin
Cuando reste expresiones racionales, asegrese de restar el numerador com-
pleto de la fraccin que ser restada. Estudie detenidamente el siguiente recuadrode Cmo evitar errores comunes.
Considere la sustraccin
Muchas personas resuelven de forma incorrecta problemas de este tipo. Aqu estn lasformas correcta e incorrecta de resolver este problema.
CORRECTA INCORRECTA
Observe que todo el numerador de la segunda fraccin (y no slo el primer trmino) de-be restarse.Tambin note que cambiar el signo de cada trmino del numerador que serestar cuando se eliminan los parntesis.
EJEMPLO 5 Reste
Solucin
=2
x + 3
Factorizar, dividir entre elfactor comn.
=2 1x + 42
1x + 32 1x + 42
Reducir trminos semejantes. =
2x + 8x2 + 7x + 12
Eliminar parntesis. =
x2 - 2x + 3 - x2 + 4x + 5x2 + 7x + 12
Escribircomouna solafraccin.
x2 - 2x + 3x2 + 7x + 12
-x2 - 4x - 5
x2 + 7x + 12=1x2 - 2x + 32 - 1x2 - 4x - 52
x2 + 7x + 12
x2 - 2x + 3x2 + 7x + 12
-x2 - 4x - 5
x2 + 7x + 12.
=2x - 1x - 2
=4x - 2x - 1
x - 2
4xx - 2
-2x + 1x - 2
=4x - 2x + 1
x - 2
4xx - 2
-2x + 1x - 2
=4x - 12x + 12
x - 2
4xx - 2
-2x + 1x - 2
CMO EVITAR ERRORES COMUNES
=x + 2x - 2
Factorizar, dividir entre elfactor comn.
= 1x + 52 1x + 22 1x + 52 1x - 22
Reducir trminos semejantes.
=x2 + 7x + 101x + 521x - 22
Quitar parntesis enel numerador.
=x2 + 3x - 2 + 4x + 121x + 521x - 22
Escribircomo unasola fraccin.
x2 + 3x - 21x + 521x - 22 +
4x + 121x + 521x - 22 =
1x2 + 3x - 22 + 14x + 1221x + 521x - 22
-
Seccin 6.3 Suma y resta de expresiones racionales con denominador comn y... 385
La variable que se utiliza cuando se trabaja con expresiones racionales es irre-levante. En el ejemplo 6, trabajamos con expresiones racionales con la variable r.
EJEMPLO 6 Reste .
Solucin Escribir como una solafraccin.
Eliminar parntesis.
Reducir trminos semejantes.
Factorizar un 1.
2 Determinar el mnimo comn denominador (mcd)
Para sumar dos fracciones con denominadores diferentes, primero debemos obte-ner un denominador comn.Ahora explicamos cmo determinar el mnimo comndenominador (mcd) para expresiones racionales. Utilizaremos esta informacin enla seccin 6.4, cuando sumemos y restemos expresiones racionales.
EJEMPLO 7 Sume
Solucin El mnimo comn denominador (mcd) de las fracciones y es 21. Veintiuno esel nmero ms pequeo que es divisible entre ambos denominadores, 7 y 3. Escri-bimos nuevamente cada fraccin de modo que su denominador sea 21.
Para sumar o restar expresiones racionales, debemos escribir cada expresin
con un denominador comn.
Para determinar el mnimo comn denominador de expresiones racionales
1. Factorice completamente cada denominador. Cualesquiera factores que aparez-can ms de una vez deben expresarse como potencias. Por ejemplo, (x 3)(x 3)debe expresarse como (x 3)2.
2. Liste todos los factores diferentes (distintos de 1) que aparezcan en cada uno delos denominadores. Cuando aparezca el mismo factor en ms de un denominador,escriba ese factor con la potencia ms alta con que aparezca.
3. El mnimo comn denominador es el producto de todos los factores que se lista-ron en el paso 2.
=1521
+1421
=2921
o bien 1 821
57
+23
= 33
# 57
+23
# 77
23
57
57
+23
.
= -14r - 32 o bien -4r + 3Factorizar, dividir entre el factor comn. =
-14r - 32 1r - 52 r - 5
=-14r2 - 23r + 152
r - 5
=-4r2 + 23r - 15
r - 5
=6r - 4r2 + 17r - 15
r - 5
6r
r - 5-
4r2 - 17r + 15r - 5
=6r - 14r2 - 17r + 152
r - 5
6rr - 5
-4r2 - 17r + 15
r - 5
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 43
-
386 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
EJEMPLO 8 Determine el mnimo comn denominador.
Solucin El nico factor (distinto de 1) del primer denominador es 3. El nico factor (dis-tinto de 1) del segundo denominador es y. Por tanto el mcd es
EJEMPLO 9 Determine el mcd.
Solucin Los factores que aparecen en los denominadores son 7 y x. Liste cada factor consu exponente ms grande. El mcd es el producto de estos factores
EJEMPLO 10 Determine el mcd.
Solucin Escriba 18 y 27 como productos de factores primos: y 27 33. Si olvi-d cmo escribir un nmero como un producto de factores primos, lea ahora la sec-cin 5.1 o el apndice B.
Los factores que aparecen son 2, 3, x y y. Liste las potencias ms grandes de estosfactores.
EJEMPLO 11 Determine el mcd.
Solucin Los factores en el denominador son x y x 3. Observe que x en el segundo deno-minador, x 3, es un trmino, no un factor.
EJEMPLO 12 Determine el mcd.
Solucin Factorice ambos denominadores.
=7
3x1x - 22 +x2
1x - 222
7
3x2 - 6x+
x2
x2 - 4x + 4=
73x1x - 22 +
x2
1x - 221x - 22
73x2 - 6x
+x2
x2 - 4x + 4
mcd = x1x + 32
5x
-7y
x + 3
mcd = 2 # 33 # x3 # y3 = 54x3 y3
118x3 y
+5
27x2 y3=
12 # 32 x3 y +
533 x2 y3
18 = 2 # 32
118x3 y
+5
27x2 y3
Mayor potencia de x.
mcd = 7 # x2 = 7x2
5x2
-3
7x
3 # y = 3y.
13
+1y
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 61
-
Seccin 6.3 Suma y resta de expresiones racionales con denominador comn y... 387
Los factores en los denominadores son 3, x y x 2. Liste la potencia ms grandede cada uno de estos factores.
EJEMPLO 13 Determine el mcd.
Solucin Factorice ambos denominadores.
Los factores en los denominadores son x 3, x 4 y x 3.
Aunque x 4 es un factor comn de cada denominador, la potencia ms grande conque aparece ese factor en cada denominador es 1.
EJEMPLO 14 Determine el mcd.
Solucin Factorice el denominador del primer trmino.
Como el denominador de es 1, la expresin puede volverse a escribir como
Por tanto, el mcd es o simplemente 1w - 521w - 92.11w - 521w - 92
6w1w - 521w - 92 +
w + 51
w + 5
6ww2 - 14w + 45
+ w + 5 =6w2
1w - 521w - 92 + w + 5
6ww2 - 14w + 45
+ w + 5
mcd = 1x + 321x - 421x - 32
5xx2 - x - 12
-6x2
x2 - 7x + 12=
5x1x + 321x - 42 -
6x2
1x - 321x - 42
5xx2 - x - 12
-6x2
x2 - 7x + 12
mcd = 3 # x # 1x - 222 = 3x1x - 222.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 89
Conjunto de ejercicios 6.3
Ejercicios conceptuales
1. Con sus palabras, explique cmo sumar o restar expresio-nes racionales con un denominador comn.
2. Cuando se restan expresiones racionales, qu debe pa-sarle al signo de cada trmino del numerador que se res-tar? signs change
3. Con sus palabras, explique cmo determinar el mnimocomn denominador de dos expresiones racionales.
4. En la suma el mnimo comn denominador
es x, x 1 o x(x 1)? Explique.
1x
+1
x + 1,
Determine el mcd que se utilizar para realizar cada operacin que se indica. Explique cmo determinar el mcd. No realicelas operaciones.
5. 6. 7. 8.6
x - 3+
1x
-13
3x1x + 322x + 3
+1x
+13
51x - 222x - 2
+35
x1x + 625x + 6
-2x
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 85
-
13. 14. 15.
16. 17. 18. 9
19. 20. 21.
22. 23. 24.
25. 26. 27. 0
28. 29. 30.
31. 32. 33.
34. 35. 1 36.
37. 4 38. 39.
40. 41. 42.
43. 44. 45.
46. 47. 48.20x2 + 5x + 16x2 + x - 2
-8x2 - 12x - 56x2 + x - 2
6x + 1x - 8
5x2 + 40x + 8x2 - 64
+x2 + 9xx2 - 64
x + 33x + 8
4x2 + 59x2 - 64
-x2 - x + 29
9x2 - 64
x2 + 3x - 6x2 - 5x + 4
--2x2 + 4x - 4
x2 - 5x + 43x2 + 15x
x3 + 2x2 - 8x+
2x2 + 5xx3 + 2x2 - 8x
3x2 - 4x + 43x2 + 7x + 2
-10x + 9
3x2 + 7x + 2
x - 5x3 - 10x2 + 35x
x1x - 62 -x2 + 5xx1x - 62
34
3x2 - 7x4x2 - 8x
+x
4x2 - 8xx - 5
x2 - 13x + 5
-12
x + 5
x2 + 2x1x + 621x - 32 -
151x + 621x - 32
x - 3x - 1
x2 - 2x2 + 6x - 7
--4x + 19
x2 + 6x - 7t - 3t + 3
--3t - 15
t + 3
-14x + 123 - x
-3x + 153 - x
b2 - 2b - 3b2 - b - 6
+b - 3
b2 - b - 6x - 4
x2
x + 4-
16x + 4
12
3x + 112x + 10
-21x + 322x + 10-
23x + 6
-4x + 23x + 6
+41x - 123x + 6x - 3
x2 + 4x + 3x + 2
-5x + 9x + 2
-4x - 13x
x2 - 63x
-x2 + 4x - 5
3xp - 10p - 5
2p - 5p - 5
-p + 5p - 5
2m + 51m + 421m - 32 -
m + 11m + 421m - 32
x + 43x + 2
-x + 4
3x + 21
x - 4-x - 4x2 - 16
+21x + 42x2 - 16
1x - 4
5x + 4x2 - x - 12
+-4x - 1
x2 - x - 12
3w + 5w2 + 2w + 1
+-2w - 4
w2 + 2w + 1t + 3
5t24t + 7
5t2-
3t + 45t2
2x - 11x - 7
4x - 3x - 7
-2x + 8x - 7
5x + 7x - 1
x
x - 1+
4x + 7x - 1-
10x
x - 6x
-x + 4
x-
12n
n - 5n
-n + 7
n
3x + 4x + 1
+6x + 5x + 1
x + 6x
2x
+x + 4
xx + 3
3x + 62
-x
2
3r - 14
3r + 24
-34
2x - 135
2x - 75
-65
3x - 27
x - 27
+2x7
388 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
En los ejercicios 9 a 12 a) explique por qu la expresin a la izquierda del signo = no es igual a la expresin del lado derecho;b) muestre qu debe hacerse a la expresin del lado derecho para que sea igual a la del lado izquierdo.
9. 10.
11.
12.4x + 5x2 - 6x
--x2 + 3x + 6
x2 - 6xZ
4x + 5 + x2 + 3x + 6x2 - 6x
6x - 2 - 3x2 + 4x - 5x2 - 4x + 3
6x - 2x2 - 4x + 3
-3x2 - 4x + 5x2 - 4x + 3
Z6x - 2 - 3x2 - 4x + 5
x2 - 4x + 3
5x + 3x + 72x - 3
5x2x - 3
--3x - 72x - 3
Z5x + 3x - 7
2x - 34x - 3 - 2x + 7
5x + 44x - 35x + 4
-2x - 75x + 4
Z4x - 3 - 2x - 7
5x + 4
Prctica de habilidades
Sume o reste.
Determine el mnimo comn denominador de cada expresin.
49. 5 50. 3 51.
52. 53. 54.
55. 56. 57.
58. 59. 60.
61. 62. 63. 18r4 s74
2r4 s5-
59r3 s7
40x4 y5-3
8x2 y2+
6
5x4 y536x3 y
x + 112x2 y
-7
9x3
21x3x
3x2+
97x3
x212x + 32x2x + 3
+4x2
14xx + 4
2x+
37x
3m - 4m + 33m - 4
+ m1x + 321x - 422xx + 3
+6
x - 4p3
6p
+3p3
2x5
2x+ 120x
35x
+74
71x + 121x + 1
-47
5n1n
+1
5n2 + r
3-
123
x
5+
x + 45
-
Seccin 6.3 Suma y resta de expresiones racionales con denominador comn y... 389
64. 65. 66.
67. 68. or 69.
70. or 71.
72. 73.
74. 75.
76. 77.
78. 79.
80. 81.
82. 83.
84. 85.
86. 87.
88. 89.
90. 91.
92. 93.
94.3x + 1
6x2 + 5x - 6+
x2 - 59x2 - 12x + 4
2x - 34x2 + 4x + 1
+x2 - 4
8x2 + 10x + 312x + 121x + 2213x - 22-4x + 7
2x2 + 5x + 2+
x2
3x2 + 4x - 4
t - 13t2 + 10t - 8
-6
3t2 + 11t - 41x + 521x - 52x - 1
x2 - 25+ x - 4
1x - 621x - 128x2
x2 - 7x + 6+ x - 31n + 521n + 221n - 327n + 71n + 521n + 22 -
3n - 51n - 321n + 52
1x - 3223x - 5x2 - 6x + 9
+3
x - 31x + 2226x + 5x + 2
+4x
1x + 222
2xx2 + 6x + 5
-5x2
x2 + 4x + 31x + 1221x - 123x + 5
x2 - 1+
x2 - 81x + 122
71a - 422 -
a + 2a2 - 7a + 12
1n + 221n - 221n - 724nn2 - 4
-n - 3
n2 - 5n - 14
x - 2x2 - 5x - 24
+3
x2 + 11x + 241x + 921x + 221x - 52x + 1
x2 + 11x + 18-
x2 - 4x2 - 3x - 10
1x + 621x + 529x + 4x + 6
-3x - 6x + 5x - 3
6x2 +9x
x - 3
61x + 421x + 2233x + 12
+3x + 62x + 41p + 521p - 52
p2 - 4p2 - 25
+3
p - 5
120x2 y321
24x2 y+
x + 415xy3
1x + 421x + 22101x + 421x + 22 -5 - xx + 2
52q2 + 2q
-5
3q2p12p + 12p
4p2 + 2p-
32p + 1
64k - 5r
-5
-4k + 5r -2a + 3b2a - 3b3
-2a + 3b-
12a - 3b
n
4n - 1+
n - 21 - 4n5 - tt - 5
4tt - 5
+2
5 - tx1x + 125x - 2x2 + x
-x2
x
x - 32x + 5
-6
x - 536w1w + 52w2 - 7
12w-
w + 391w + 5236w5 z4
3
4w5 z4+
29wz2
Solucin de problemas
Liste los polinomios que deben colocarse en cada rea sombreada para hacer que la proposicin sea verdadera. Expliquecmo determin su respuesta.
95. 96.
sum of numerators must be difference of numerators must be
97. 98.
sum of numerators must be difference of numerators must be x2 + 3x-4x2 - 3x - 9,5x - 7x2 + 9x - 10,
-3x2 - 91x + 421x - 22 -
1x + 421x - 22 =x2 + 3x
1x + 421x - 22-x2 - 4x + 3
2x + 5+
....2x + 5
=5x - 72x + 5
2x2 + x - 32x2 - 7x - 4,2x2 - 5x - 6.x2 + x - 9,
4x2 - 6x - 7x2 - 4
-....x2 - 4
=2x2 + x - 3
x2 - 4x2 - 6x + 3
x + 3+
...x + 3
=2x2 - 5x - 6
x + 3
Determine el mnimo comn denominador de cada expresin.
99. 100.
101. 102. \6
+ 3-
+ 52 - 4 + 3
1 + 321 - 3282 - 9
-2
+ 3
404 55
82 2+
6
54 55
3
+4
5
-
390 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
Problemas de reto
Realice cada operacin que se indica.
103. 104.x2 - 8x + 2
x + 7+
2x2 - 5xx + 7
-3x2 + 7x + 6
x + 7-3x2 + 12x + 4
x2 - 254x - 1x2 - 25
-3x2 - 8x2 - 25
+8x - 3x2 - 25
Determine el mnimo comn denominador de cada expresin.
105. 106.
107. 108.
1x - 221x + 2213x - 121x - 421x + 321x - 224
x2 - 4-
113x2 + 5x - 2
+5
3x2 - 7x + 24
x2 - x - 12+
3x2 - 6x + 8
+5
x2 + x - 6
1x - 321x + 3212x - 3
-5
x2 - 9+
7x + 330x
12 y9
7
6x5 y9-
92x3 y
+4
5x12 y2
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.3] 109. Reste
[2.5] 110. Resuelva 6x 4 (x 2) 3x 4.
[2.6] 111. Alimento para colibr Las instrucciones en una bo-tella de alimento concentrado para colibres indicaque deben mezclarse 6 onzas del concentrado con1 galn (128 onzas) de agua. Si desea mezclar elconcentrado con slo 48 onzas de agua, cunto con-centrado debe utilizar?.25 oz
9245
or 2 245
4 35
- 2 59
. [3.3] 112. Gimnasio El Gimnasio Norteo tiene dos planes depago.Plan 1,es un pago de $125 por membresa anualms $2.50 por hora de uso de la cancha de tenis. Plan2, es un pago de membresa anual de $300 sin cobropor el uso de la cancha de tenis. Cuntas horas en unao debe jugar Malcolm Wu para hacer que el costodel Plan 1 sea igual al costo del Plan 2? hrs
[4.3] 113. Utilice la notacin cientfica para evaluar
Deje su respuesta en notacin cientfica.
[5.6] 114. Resuelva 2x2 3 x.2.0 * 1011
420,000,0000.0021
.
6.4 SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES
1 Suma y resta de expresiones racionales.
En la seccin 6.3 analizamos cmo sumar y restar expresiones racionales con undenominador comn. Ahora estudiamos la suma y resta de expresiones raciona-les que no tienen un denominador comn.
1 Suma y resta de expresiones racionales
El mtodo utilizado para sumar y restar expresiones racionales con denominado-res no comunes se bosqueja en el ejemplo 1.
-
Seccin 6.4 Suma y resta de expresiones racionales 391
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15
(contina en la pgina siguiente)
EJEMPLO 1 Sume
Solucin Primero determinamos el mcd como se expuso en la seccin 6.3.mcd xy
Escribimos cada fraccin con el mcd. Hacemos esto, multiplicando ambos, numera-dor y denominador de cada fraccin,por los factores necesarios para obtener el mcd.
En este problema, la fraccin de la izquierda debe multiplicarse por y lafraccin de la derecha debe multiplicarse por
Al multiplicar el numerador y el denominador por el mismo factor, en realidad es-tamos multiplicando por 1, lo cual no cambia el valor de la fraccin, slo su apa-riencia. As, la nueva fraccin es equivalente a la fraccin original.
Ahora sumamos los numeradores, y dejamos el mcd solo en el denominador.
Para sumar o restar dos expresiones racionales con denominadores no comunes
1. Determine el mcd.
2. Reescriba cada fraccin como una fraccin equivalente con el mcd. Esto se hacemultiplicando el numerador y el denominador por los factores necesarios para ob-tener el mcd.
3. Sume o reste los numeradores y conserve el mcd.
4. Cuando sea posible, factorice el numerador que queda y simplifique la fraccin.
EJEMPLO 2 Sume
Solucin El mcd es 28x2y3; debemos escribir cada fraccin con el denominador 28x2y3. Pa-ra hacer esto, multiplicamos la fraccin de la izquierda por y la fraccin dela derecha por
SUGERENCIAEn el ejemplo 2 multiplicamos la primera fraccin por y la segunda fraccin por
para obtener dos fracciones con un denominador comn. Cmo sabemos por culfraccin multiplicar? Muchos de ustedes pueden determinar esto observando el mcdy luego determinando por qu factor es necesario multiplicar cada denominador paraobtener el mcd. Si esto no es obvio, puede dividir el mcd por el denominador dado pa-ra determinar el factor por el que debe multiplicarse el numerador y el denominador
2x2x
7y2
7y2
=35y2 + 6x
28x2 y3 o bien
6x + 35y2
28x2 y3
=35y2
28x2 y3+
6x28x2 y3
5
4x2 y+
314xy3
= 7y2
7y2# 54x2 y
+3
14xy3#
2x2x
2x>2x. 7y2>7y2
54x2 y
+3
14xy3.
7yxy
+3xxy
=7y + 3x
xy o bien
3x + 7yxy
7x
+3y
= y
y# 7x
+3y
# xx
=7yxy
+3xxy
x>x. y>y
7x
+3y
.
-
392 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
de cada fraccin. En el ejemplo 2, el mcd es 28x2y3. Si dividimos 28x2y3 entre cada de-nominador dado, 4x2y y 14xy3, podemos determinar cul es el factor por el que debemultiplicarse el numerador y el denominador de cada fraccin,
As, debe multiplicarse por y debe multiplicarse por para obtener
el mcd, 28x2y3.
EJEMPLO 3 Sume
Solucin Debemos escribir cada fraccin con el mcd, que es x(x 2). Para hacer esto, mul-tiplicamos la fraccin de la izquierda por y la fraccin de la derecha por
Propiedad distributiva.
SUGERENCIAMire la respuesta al ejercicio 3, Observe que el numerador podra factorizarse
para obtener Tambin note que el denominador podra multiplicarse para
obtener Las tres respuestas son equivalentes y cada una de ellas es correcta.
En esta seccin, cuando escribamos las respuestas, a menos que exista un factor comnen el numerador y el denominador, dejaremos el numerador sin factorizar y el deno-minador en forma factorizada. Si tanto el numerador como el denominador tiene unfactor comn, factorizaremos el numerador y simplificaremos la fraccin.
EJEMPLO 4 Reste
Solucin El mcd es (w 7)(w 4). La fraccin de la izquierda debe multiplicarse porpara obtener el mcd. La fraccin de la derecha debe multipli-
carse por para obtener el mcd.1w - 72>1w - 721w - 42>1w - 42
w
w - 7-
3w - 4
.
8x + 10x2 + 2x
.
214x + 52x1x + 22 .
8x + 10x1x + 22 .
Reducir trmi-nos semejantesen el numerador.
=8x + 10x1x + 22
Eliminar parntesisen el numerador. =
3x + 5x + 10x1x + 22
Escribir como una so-la fraccin. =
3x + 15x + 102x1x + 22
=3x
x1x + 22 +5x + 10x1x + 22
Reescribir cada frac-cin como una fraccinequivalente con el mcd.
=3x
x1x + 22 +51x + 22x1x + 22
3
x + 2+
5x
= xx
# 3x + 2
+5x
#
x + 2x + 2
1x + 22>1x + 22. x>x
3x + 2
+5x
.
2x2x
314xy3
7y2
7y25
4x2 y
28x2 y3
4x2 y=
7y2 28x2 y3
14xy3=
2x
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 25
-
Seccin 6.4 Suma y resta de expresiones racionales 393
Propiedad distributiva.
EJEMPLO 5 Reste
Solucin El mcd es (x 4)(x 4).
Utilice el mtodo PIES para multiplicar cada numerador.
Considere el problema
Cmo sumamos estas expresiones racionales? Podramos escribir cada fraccincon el denominador (x 2)(2 x). Sin embargo, hay una forma ms sencilla. Es-tudie la siguiente Sugerencia.
SUGERENCIA Cuando sumamos o restamos fracciones cuyos denominadores son opuestos (y portanto slo difieren en signos), multiplique el numerador y el denominador de cual-quiera de las fracciones por 1. De esta forma, ambas fracciones tendrn el mismo de-nominador.
=x - ya - b
=x
a - b+
-ya - b
x
a - b+
y
b - a=
x
a - b+
y
b - a# -1
-1
6x - 2
+x + 32 - x
Reducir trminossemejantes en elnumerador.
=7x + 20
1x + 421x - 42
Eliminar parntesisen el numerador. =
x2 + 6x + 8 - x2 + x + 121x + 421x - 42
Escribir como una sola fraccin. =
1x2 + 6x + 82 - 1x2 - x - 1221x + 421x - 42
=x2 + 6x + 81x + 421x - 42 -
x2 - x - 121x + 421x - 42
Reescribir cada frac-cin como una fraccinequivalente con el mcd.
=1x + 421x + 221x + 421x - 42 -
1x + 321x - 421x + 421x - 42
x + 2x - 4
-x + 3x + 4
= x + 4
x + 4# x + 2x - 4
-x + 3x + 4
#
x - 4x - 4
x + 2x - 4
-x + 3x + 4
.
Reducir trminossemejantes en elnumerador.
=w2 - 7w + 211w - 421w - 72
Eliminar parntesisen el numerador. =
w2 - 4w - 3w + 211w - 421w - 72
Escribir como una sola fraccin. =
1w2 - 4w2 - 13w - 2121w - 421w - 72
=w2 - 4w
1w - 421w - 72 -3w - 21
1w - 421w - 72
Reescribir cada frac-cin como una fraccinequivalente con el mcd.
=w1w - 42
1w - 421w - 72 -31w - 72
1w - 421w - 72
w
w - 7-
3w - 4
= w - 4
w - 4# ww - 7
-3
w - 4#
w - 7w - 7
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 37
-
394 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
EJEMPLO 6 Sume
Solucin Como los denominadores slo difieren en signo, podemos multiplicar por 1 el nu-merador y el denominador de cualquiera de las fracciones. Aqu multiplicaremosel numerador y el denominador de la segunda fraccin por 1 para obtener el de-nominador comn x 2.
Resolvamos otro ejemplo en donde los denominadores slo difieren en el signo.
EJEMPLO 7 Reste .
Solucin Los denominadores de las dos fracciones slo difieren en el signo. Resolveremoseste problema de una manera anloga a como resolvimos el ejemplo 6. Multipli-caremos por 1 el numerador y el denominador de la segunda fraccin para ob-tener el denominador comn 3a 4.
EJEMPLO 8 Sume
Solucin
El mcd es (x 2)(x 3)(3x 1).
3x2 + 5x + 6
+1
3x2 + 8x - 3=
31x + 221x + 32 +
113x - 121x + 32
3x2 + 5x + 6
+1
3x2 + 8x - 3.
Reducir trminossemejantes en elnumerador.
=3a - 103a - 4
Eliminar los parnte-sis en el numerador.
a - 5 + 2a - 53a - 4
Escribir como una sola fraccin. =
1a - 52 - 1-2a + 523a - 4
=a - 5
3a - 4-1-2a + 52
3a - 4
Multiplicar el numera-dor y el denominadorpor 1.
a - 53a - 4
-2a - 54 - 3a
=a - 5
3a - 4-
2a - 54 - 3a
# -1
-1
a - 53a - 4
-2a - 54 - 3a
Reducir trminossemejantes en elnumerador.
=-x + 3x - 2
Eliminar parntesisen el numerador. =
6 - x - 3x - 2
Escribir como una sola fraccin. =
6 + 1-x - 32x - 2
=6
x - 2+1-x - 32
x - 2
Multiplicar por 1 elnumerador y el denominador.
6
x - 2+
x + 32 - x
=6
x - 2+
x + 32 - x
# -1
-1
6x - 2
+x + 32 - x
.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 31
-
Seccin 6.4 Suma y resta de expresiones racionales 395
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 55
EJEMPLO 9 Reste
Solucin
El mcd es 5x(x 5).
Factorizar el numerador.
Simplificar.
Un error comn en un problema de suma o resta es sumar o restar los numeradores ylos denominadores. Aqu est un ejemplo de ello.
CORRECTO INCORRECTO
1x
-x
1=
1 - xx - 1
=1 + x2
x o bien
x2 + 1x
=1x
+x2
x
1x
+x
1=
1 + xx + 1
1x
+x
1=
1x
+x
1# x
x
CMO EVITAR ERRORES COMUNES
=-11x + 52
5x o bien -
x + 55x
=-1 1x - 52 1x + 52
5x 1x - 52
5 - x = - 11x - 52 = -11x - 521x + 525x1x - 52
=15 - x215 + x2
5x1x - 52
=25 - x2
5x1x - 52
=25
5x1x - 52 -x2
5x1x - 52
= 55
# 5x1x - 52 -
x
51x - 52 # xx
5
x2 - 5x-
x
5x - 25=
5x1x - 52 -
x
51x - 52
5x2 - 5x
-x
5x - 25.
=10x - 1
13x - 121x + 221x + 32
=9x - 3 + x + 2
13x - 121x + 221x + 32
=19x - 32 + 1x + 22
13x - 121x + 221x + 32
=9x - 3
13x - 121x + 221x + 32 +x + 2
13x - 121x + 221x + 32
= 3x - 1
3x - 1# 31x + 221x + 32 +
113x - 121x + 32 #
x + 2x + 2
(contina en la pgina siguiente)
-
396 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
Conjunto de ejercicios 6.4
Ejercicios conceptuales
1. Cuando suma o resta fracciones con denominadores nocomunes, cmo puede determinar por cul factor debemultiplicar cada denominador para obtener el mcd?
2. Cuando multiplica tanto el numerador como el denomina-dor de una fraccin por los factores necesarios para obte-ner el mcd, por qu no cambia el valor de la fraccin?
3. a) Explique con sus propias palabras un procedimientopaso a paso para sumar o restar dos expresiones racio-nales que tienen denominadores diferentes.
b) Utilice el procedimiento descrito en la parte a), parasumar
4. Explique cmo sumar o restar fracciones cuyos denomina-dores son opuestos. Proporcione un ejemplo.
x2 + x - 91x + 221x - 321x - 22
x
x2 - x - 6+
3x2 - 4
.
5. Considere
a) Cul es el mcd?
b) Realice la operacin que se indica.
c) Si al sumar, por error utiliza 24z2 en lugar del mcd, aunas podra obtener la respuesta correcta? Explique.
6. Utilizara el mcd para realizar las operaciones siguien-tes? Explique.
a) yes b) no
c) yes d) no5
x2 - 9,
2x - 3
x +23
1x + 2
# 5x
3x + 3
-4x
+53
y
4z+
56z2
Prctica de habilidades
Sume o reste.
7. 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14.
15. 16. 17. 18.
19. 20. 21. 22.
23. 24. 25. 26.
27. 28. 29.-6d2 + 15d + 25
6d13d + 525
6d-
d
3d + 52a2 - b2
a1a + b2a
a + b+
a - ba
11p + 6p1p + 32
9p + 3
+2p
6x - 21x - 3
6 -3
x - 311x - 12x1x - 32
4x
+7
x - 34x - 13
4x
x - 3x
-1
4x20a2 - 4b
5a2 b
4b
-4
5a2
6p - 2510p2
35p
-5
2p24x2 + 2y
xy
4xy
+2y
xy5n + 3
n
3n
+ 59a + 16a
3a - 12a
+2
3a
xy + xy
x +x
y3y2 + x
y3y +
x
y25y2 - 12x2
60x4 y35
12x4 y-
15x2 y3
35y + 12x20x2 y2
74x2 y
+3
5xy2
3x - 5x2
3x
-5x2
3x + 105x2
2x2
+3
5x25y + 18
30y25
6y+
35y2
3x + 5x
3 +5x
2x2 - 1x2
2 -1x2
3x + 102x2
5x2
+3
2x5
4x
14x
+1x
134x
14x
+3x
Recuerde que para sumar o restar fracciones primero debe tener un denominador co-mn. Despus sume o reste los numeradores conservando el denominador comn.
Otro error comn es tratar un problema de suma o resta como un problema demultiplicacin. Puede dividir entre los factores comunes cuando se multipliquen frac-ciones, no cuando se sumen o resten.
CORRECTO INCORRECTO
= 1 + 1 = 2 = 1 # 1 = 1 1x
+x
1=
1 x 1
+ x 1
1 1x
# x1
=1
x 1
# x 1
1
-
Seccin 6.4 Suma y resta de expresiones racionales 397
30. 31. 32.
33. 34. 35.
36. 37. 38.
39. 40. 41.
42. 43. 44.
45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
53. 54.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
61. 62.
63. 64.8
1m - 4226m
3m2 - 24m + 48-
2m - 4
921r - 32
3r2r2 - 10r + 12
+3
r - 2
1x - 7
5x + 10x2 - 5x - 14
-4
x - 71
w - 33w + 12
w2 + w - 12-
2w - 3
3x2 - 11x - 215x + 121x - 2213x - 12
x
5x2 - 9x - 2-
23x2 - 7x + 2
2x2 - 3x - 414x + 321x + 2212x - 12
x
4x2 + 11x + 6-
28x2 + 2x - 3
x2 + 13x + 1013x + 2212x + 121x - 22
x
6x2 + 7x + 2+
52x2 - 3x - 2
3x2 - 8x - 312x + 1213x - 221x + 32
x
2x2 + 7x + 3-
33x2 + 7x - 6
x2 - x - 212x - 121x + 421x - 52
x
2x2 + 7x - 4+
2x2 - x - 20
5x + 51x + 3221x - 22
2x2 + 6x + 9
+3
x2 + x - 6
2a + 41a + 521a - 321a + 32
3a2 + 2a - 15
-1
a2 - 92a + 13
1a - 821a - 121a + 225
a2 - 9a + 8-
3a2 - 6a - 16
x + yx1x - y2
x
x2 - xy-
y
xy - x2x2 + 3x - 181x + 522
x - 3x2 + 10x + 25
+x - 3x + 5
-x2 + 2x + 31x - 222
x + 1x2 - 4x + 4
-x + 1x - 2
6x - 81x + 421x - 22
x2
x2 + 2x - 8-
x - 4x + 4
-x - 11x - 521x + 22
x + 3x2 - 3x - 10
-2
x - 5r + 10
1r - 421r - 623r + 2
r2 - 10r + 24-
2r - 6
8x - 41x + 221x - 221x + 32
31x - 221x + 32 +
51x + 221x + 32
-x + 61x + 221x - 22
x + 2x2 - 4
-2
x + 2
2x + 131x + 422
51x + 422 +
2x + 4
5z - 161z + 421z - 42
z
z2 - 16+
4z + 4
k2 + 18k41k - 221k + 22
5k4k - 8
-k
k + 2
13w + 5621w + 521w + 22
32w + 10
+5
w + 23x2 - 4x + 412x1x - 12
x
4x - 4-
13x
-19n - 123n12n + 12
56n + 3
-4n
14x + 581x + 321x + 72
x + 7x + 3
-x - 3x + 7
20x1x - 521x + 52
x + 5x - 5
-x - 5x + 5
7y + 11y + 121y - 12
4y - 1
+3
y + 1
a + 1221a - 22
6a - 2
+a
2a - 411
7x - 16
7x - 1-
51 - 7x
14x + 7
9x + 7
-5
-x - 7
4n - 5
3n - 5
-1
5 - n2
p - 34
p - 3+
23 - p
-2x + 101x - 321x - 12
2x - 3
-4
x - 1
Solucin de problemas
Para qu valor(es) de x est definida cada expresin?
65. all real numbers except 66. all real numbers except
67. all real numbers except 68. all real numbers except x = -3x = 3,4
x2 - 9-
1x + 3x = -6x = 4,
5x - 4
+7
x + 6
x = 0x = 1,2
x - 1-
3x
x = 02x
+ 6
Sume o reste. Trate cada smbolo desconocido como si fuesen las variables.
69. 70.
22 + 7 - 4+
22 - - 20
4 - 2
3 - 2
-1
2 -
-
398 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
Realice cada operacin que se indica.
73. 0 74. 1
75. 76.
77. 78.3x3 - 6x2 + 16x - 8
1x + 221x - 221x2 - 2x + 423x
x2 - 4+
4x3 + 8
6x + 51x + 221x - 321x +12
2x2 - x - 6
+3
x2 - 2x - 3+
1x2 + 3x + 2
8x3 - 8x2 - 14x + 331x + 221x - 3212x + 32
3x - 1x + 2
+x
x - 3-
42x + 3
2x - 32 - x
x + 64 - x2
-x + 3x + 2
+x - 32 - x
5xx2 + x - 6
+x
x + 3-
2x - 2
x
x2 - 9+
3xx + 3
+3x2 - 8x
9 - x2
Actividad en grupo
En grupo, analicen y respondan el ejercicio 79.
f) Miembro 3 del grupo: sume las fracciones numricasque se encontraron en las partes d) y e).
g) En forma individual, sustituya 2 por x y 1 por y en lasexpresiones obtenidas en la parte b) y evale.
h) De forma individual, sustituya 2 por x y 1 por y en la ex-presin que obtuvo en la parte c), evale y comparesus respuestas.
i) En grupo, analicen lo que descubrieron con base en es-ta actividad.
j) Cree que sus resultados habran sido similares paracualesquiera nmeros sustituidos por x y y (para losque el denominador no es 0)? Por qu?
79. a) Como grupo, determinen el mcd de
b) Como grupo, realicen la operacin que se indica, perono simplifiquen su respuesta.
c) Como grupo, simplifiquen su respuesta.
d) Miembro 1 del grupo: sustituya 2 por x y 1 por y en lafraccin de la izquierda en la parte a) y evale.
e) Miembro 2 del grupo: sustituya 2 por x y 1 por y en lafraccin de la derecha en la parte a) y evale.
x + 3yx2 + 3xy + 2y2
+y - x
2x2 + 3xy + y2
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.6] 80. White Pass Railroad es una estrecha va que atra-viesa lentamente las montaas de Alaska. Si el trenviaja a 22 millas en 0.8 horas, cunto tardar en re-correr 42 millas? Suponga que el tren viaja con lamisma rapidez durante todo el viaje.
[2.7] 81. Resuelva la desigualdad 3(x 2) 2 4(x 1) ygrafique la solucin en una recta numrica.x 7 -8,
6
[4.6] 82. Divida
[6.2] 83. Multiplique
-1
x2 + xy - 6y2
x2 - xy - 2y2# y2 - x2x2 + 2xy - 3y2
.
4x - 3 -4
2x + 3
18x2 + 6x - 132 , 12x + 32.
Problemas de reto
Bajo qu condiciones est definida cada expresin? Explique sus respuestas.
71. all 72.x + 2
x + 5y-
y - 32x
5a + b
+3a
-
Seccin 6.5 Fracciones complejas 399
6.5 FRACCIONES COMPLEJAS
1 Simplificar fracciones complejas por medio de reduccin detrminos.
2 Simplificar fracciones complejas, multiplicando primero paraeliminar fracciones.
1 Simplificar fracciones complejas por medio de reduccin de trminos
Una fraccin compleja es aquella que tiene una fraccin en su numerador o en sudenominador, o en ambos.
Ejemplos de fracciones complejas
La expresin sobre la lnea principal de la fraccin es el numerador, y la que estdebajo es el denominador de la fraccin compleja.
Existen dos mtodos para simplificar fracciones complejas. El primero refuer-za muchos de los conceptos utilizados en este captulo, ya que en ocasiones hay quesumar, restar, multiplicar y dividir fracciones ms simples cuando simplificamos lafraccin compleja. Muchos estudiantes prefieren utilizar el segundo mtodo, ya quela respuesta puede obtenerse de manera ms rpida.Daremos dos ejemplos utilizan-do el primer mtodo y luego resolveremos tres ejemplos con el segundo mtodo.
Mtodo 1Para simplificar una fraccin complejareduciendo trminos
1. Sume o reste las fracciones en el numerador y en el denominador de la fraccincompleja para obtener fracciones sencillas, tanto en el numerador como en el de-nominador.
2. Obtenga el inverso del denominador de la fraccin compleja y multiplquelo porel numerador.
3. Si es posible, simplifique posteriormente.
EJEMPLO 1 Simplifique
Solucin Como tanto el numerador como el denominador ya son fracciones sencillas, omi-timos el paso 1 e iniciamos con el paso 2. Cuando obtenemos el inverso del deno-minador de la fraccin compleja y lo multiplicamos por el numerador, obtenemoslo siguiente.
ab2
c3
a
bc2
.
Numerador de lafraccin compleja
Denominador de la fraccin compleja
Lnea principal de la fraccin.a + b
ae
a + ba
e
354
x + 1x
2x
xy
x + 1
a + ba
a - bb
-
400 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
Por tanto, la expresin se simplifica a
EJEMPLO 2 Simplifique
Solucin Exprese tanto el numerador como el denominador de la fraccin compleja comofracciones sencillas. El mcd del numerador es x y el mcd del denominador es a.
Ahora calcule el inverso del denominador y multiplique el numerador por l.
En el ejemplo 4 de la siguiente pgina volveremos a resolver el ejemplo 2. Sin em-bargo, se har por medio del mtodo 2. La mayora de los estudiantes coincidirnen que el mtodo 2 es ms sencillo de usar en problemas de este tipo, en donde elnumerador o el denominador consisten en una suma o diferencia de trminos.Aqu ilustramos el ejemplo 2 para mostrarle que el mtodo 1 funciona para pro-blemas de este tipo, y le proporcionamos ms prctica con el mtodo 1.
2 Simplificar fracciones complejas, multiplicando primero para eliminar fracciones
Aqu est el segundo mtodo para simplificar fracciones complejas.
Mtodo 2Para simplificar una fraccin compleja multiplicando primero
1. Determine el mnimo comn denominador de todos los denominadores que apa-recen en la fraccin compleja.
2. Multiplique el numerador y el denominador de la fraccin compleja por el mcdque se determin en el paso 1.
3. Simplifique cuando sea posible.
EJEMPLO 3 Simplifique
Solucin Los denominadores en la fraccin compleja son 3 y 5. El mcd de 3 y 5 es 15. Asque 15 es el mcd de la fraccin compleja. Multiplique el numerador y el denomi-nador de la fraccin compleja por 15.
13
+45
45
-13
.
= ax + 1
x# a
ax + 1 =
ax
a +1x
x +1a
=
xx# a + 1
x
aa# x + 1
a
=
axx
+1x
axa
+1a
=
ax + 1x
ax + 1a
a +1x
x +1a
.
b3
c.
ab2
c3
a
bc2
= a b2
c3 c
# b c2 1
a =
b3
c
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 11
-
Seccin 6.5 Fracciones complejas 401
Ahora simplifique.
Ahora volveremos a resolver el ejemplo 2, por medio del mtodo 2.
EJEMPLO 4 Simplifique
Solucin Los denominadores en la fraccin compleja son x y a. Por tanto, el mcd de la frac-cin compleja es ax. Multiplique tanto el numerador como el denominador de lafraccin compleja por ax.
Observe que las respuestas a los ejemplos 2 y 4 son iguales.
EJEMPLO 5 Simplifique
Solucin Los denominadores en la fraccin compleja son x y y. Por tanto, el mcd de la frac-cin compleja es xy. Multiplique el numerador y el denominador de la fraccincompleja por xy.
=x2 y
y + x
=x2 y
xya 1xb + xya 1
yb
x
1x
+1y
= xy
xy
# xa 1
x+
1yb
x
1x
+1y
.
=a 1ax + 12 x 1ax + 12 =
ax
a +
1x
x +1a
=
ax
ax
#aa + 1
xb
ax + 1ab
=a2 x + aax2 + x
a +1x
x +1a
.
=5 + 1212 - 5
=177
13
+45
45
-13
= 15
15
#a1
3+
45b
a45
-13b
=15a1
3b + 15a4
5b
15a45b - 15a1
3b
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 9
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 17
-
402 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
Cuando se le pida simplificar una fraccin compleja, puede utilizar cualquie-ra de los mtodos, a menos que su profesor le pida utilizar un mtodo especfico.Lea la siguiente Sugerencia.
SUGERENCIA Hemos presentado dos mtodos para la simplificacin de fracciones complejas. Culmtodo debe utilizar? Aunque se puede utilizar cualquiera de ellos, la mayora de losestudiantes prefieren usar el mtodo 1 cuando el numerador y el denominador cons-tan de un solo trmino, como en el ejemplo 1. Cuando la fraccin compleja tiene unasuma o diferencia de expresiones en el numerador o el denominador, como en losejemplos 2, 3, 4 o 5, la mayora prefieren utilizar el mtodo 2.
Conjunto de ejercicios 6.5
Ejercicios conceptuales
1. Qu es una fraccin compleja?
2. Cul es el numerador y cul el denominador de cada frac-cin compleja?
a) b)
3. Cul es el numerador y cul el denominador de cada frac-cin compleja?
a) b)
12y
+ x
3y
+ x
x + 34
7
x2 + 5x + 6
53
x2 + 5x + 65
3
x2 + 5x + 6
4. a) Seleccione el mtodo que prefiera para simplificar frac-ciones complejas. Luego escriba con sus propias pala-bras un procedimiento paso a paso para la simplificacinde fracciones complejas utilizando ese mtodo.
b) Por medio del procedimiento que escribi en la partea), simplifique la fraccin compleja siguiente.
2x
-3y
x +1y
Prctica de habilidades
Simplifique.
5. 2 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.ab + 1
a
a +1b
a
b
ab - a1 + a
a -a
b
1 + a
b
12x3
y6
36x4
5y4 z5
9xy2
15z5
2ab3
15c2
6a2b
5
9ac2
b2
48a
b5
12ab3
b2
4
x3 y2
27
xy2
9
3x2
y - xxy
1 -x
y
x3
448
27
-14
6 -23
6576
14
+56
23
+35
5732
2 +38
1 +13
30435
3 +45
1 -9
16
4 +23
2 +13
-
MaSeccin 6.5 Fracciones complejas 403
17. 18. 19. 20.
21. 22. 23. 24.
25. 26. 27. 28.
29. 30. 31. 32.
33. 34. 1 35. 36.x2 - yx + y2
x
y-
1x
y
x+
1y
ab2 + b2
a21b + 12
3a
+3a2
3b
+3b2
4x2
+4x
4x
+4x2
1y - x
1xy
1x
-1y
b + ab
1a
+1b
1a
a2 + bb1b + 12
a
b+
1a
b
a+
1a
b - aa + b
1a
-1b
1a
+1b
b - a
1a
-1b
1ab
b + aa2 b2
1a
+1b
aba21a - b2
a2 - b2
a
a + ba3
-1
x
y- 2
-xy
+ 2-1
5 -a
b
a
b- 5
1 - 3x3x2 + 1
1x2
-3x
3 +1x2
- a
b
a2
b- b
b2
a- a
x
1 + xy1
1x
+ y
m - nm
m
n-
n
m
m + nn
y
x1x - y2
x
x - y
x2
y
5x - 14x - 1
5 -1x
4 -1x
7
3a2
3a
+1
2a
a +a
2
3x
9x
+3x2
3 +1x
Solucin de problemas
Para las fracciones complejas en los ejercicios 37 al 40,
a) Determine cul de los dos mtodos estudiados en esta seccin utilizara para simplificar la fraccin. Explique por qu.b) Simplifique por medio del mtodo que seleccion en la parte a).c) Simplifique por medio del mtodo que no seleccion en la parte a). Si sus respuestas a las partes b) y c) no son las mismas,
explique por qu.
37. 38. 39. 40.
En los ejercicios 41 y 42, a) escriba la fraccin compleja, y b) simplifquela.
25x - y
+4
x + y5
x - y-
3x + y
x - yx + y
+3
x + y
2 -7
x + y
x3 + x2 y - x4
x - y + 5x5
x + yx3
-1x
x - yx5
+ 5-
224155
5 +35
18
- 4
41. El numerador de la fraccin compleja consta de un trmi-no: 5 se divide entre 12x. El denominador de la fraccincompleja consta de dos trminos: 4 dividido entre 3x quese resta de 8 dividido entre x2.
42. El numerador de la fraccin compleja consta de dos trmi-nos: 3 dividido entre 2x que se resta de 6 dividido entre x.El denominador de la fraccin compleja consta de dos tr-minos: la suma de x y la cantidad 1 dividida entre x.
Simplifique. (Sugerencia: consulte la seccin 4.2, que analiza los exponentes negativos.)
43. 44. 45. 46.x-2 - y-2
y-1 - x-1x + y
x-1 + y-1
x-1 y-1y + x
y
x-1 + y-1
x-1y + x2xy
x-1 + y-1
2
-
404 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
Problemas de reto
47. La eficiencia de un gato mecnico, E, se expresa por me-
dio de la frmula donde h se determina por
el paso de la rosca del gato. Determine la eficienciade un gato, si h es
a) b)413
45
27
23
E =12 h
h + 12,
Paso
Simplifique.
48. 49. 50.x
1 +x
1 + x
a3 b + a2 b3 - ab2
a3 - ab3 + b2
a
b+ b -
1a
a
b2-
b
a+
1a2
x2 + y2 + yx2 + xy2
x
y+
y
x+
1x
x
y+ y
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.5] 51. Resuelva la ecuacin
[4.4] 52. Qu es un polinomio?n expression containing a fi-nite number of terms of the form where a is a realnumber and n is a whole number.
axn
1729x - 31x + 22.=2x - 815 - x2
[5.3] 53. Factorice .
[6.4] 54. Restex
3x2 + 17x - 6-
2x2 + 3x - 18
.
x2 - 13x + 42
6.6 SOLUCIN DE ECUACIONES RACIONALES
1 Solucionar ecuaciones racionales con denominadores enteros.
2 Solucionar ecuaciones racionales en donde una variableaparece en el denominador.
1 Solucionar ecuaciones racionales con denominadores enteros
En las secciones 6.1 a 6.5 nos enfocamos a cmo sumar, restar, multiplicar y divi-dir expresiones racionales; ahora estamos preparados para resolverlas. Una ecua-cin racional es aquella que tiene una o ms expresiones racionales (o fraccionales).Una expresin racional puede ser una que tenga coeficientes racionales, como
o bien o una que tenga trminos racionales con una
variable en el denominador, como En las secciones 4.4 y 4.5 resolvimos
ecuaciones lineales con coeficientes racionales.En esta seccin haremos nfasis en la solucin de ecuaciones racionales en
donde aparece una variable en un denominador. El siguiente procedimiento queutilizaremos, en esta seccin, para resolver ecuaciones racionales es muy similar alprocedimiento que utilizamos en el captulo 2.
3x - 2
= 5.
x
2+
3x5
= 8,12
x +35
x = 8
-
Seccin 6.6 Solucin de ecuaciones racionales 405
Para resolver ecuaciones racionales
1. Determine el mnimo comn denominador (mcd) de todas las fracciones en laecuacin.
2. Multiplique ambos lados de la ecuacin por el mcd. Esto tendr como resultadoque todos los trminos en la ecuacin sean multiplicados por el mcd.
3. Elimine todos los parntesis, si los hay, y reduzca los trminos semejantes en cadalado de la ecuacin.
4. Resuelva la ecuacin por medio de las propiedades analizadas en los captulos an-teriores.
5. Compruebe su solucin en la ecuacin original.
El propsito de multiplicar ambos lados de la ecuacin por el mcd (paso 2) es eli-minar todas las fracciones de la ecuacin. Despus de que ambos lados de la ecua-cin se multiplican por el mcd, la ecuacin resultante no debe tener fracciones.Omitiremos algunas de las comprobaciones para ahorrar espacio.
Antes de resolver ecuaciones racionales en donde una variable aparece enun denominador, revisaremos cmo resolver ecuaciones con coeficientes raciona-les. Los ejemplo 1 y 2 ilustran el procedimiento.
EJEMPLO 1 Despeje t de .
Solucin El mcd de 4 y 5 es 20. Multiplique ambos lados de la ecuacin por 20.
Multiplicar ambos lados por el mcd, 20.
Propiedad distributiva.
Comprobacin
Verdadero.
EJEMPLO 2 Resuelva .
Solucin El mnimo comn denominador es 30. Multiplique ambos lados de la ecuacinpor 30.
Multiplicar ambos lados por el mcd, 30.
Propiedad distributiva. x - 5 = 30 a45b - 30 ax - 1
10b
30 ax - 530
b = 30 a45
-x - 1
10b
x - 5
30=
45
-x - 1
10
x - 530
=45
-x - 1
10
1 = 1 5 - 4 =? 1
204
-205
=? 1
t
4-
t
5= 1
t = 20 5t - 4t = 20
20a t4b - 20a t
5b = 20
20 a t4
-t
5b = 20 # 1
t
4-
t
5= 1
t
4-
t
5= 1
TEACHING TIPPoint out that the strategy we willuse to solve rational equations isto change the rational equationinto the kind of equation we cansolve.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 13
-
406 Captulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
Propiedad distributiva.
Reducir trminos semejantes.
Se sum 3x a ambos lados.
Se sum 5 a ambos lados.
Ambos lados se dividieron entre 4.
Una comprobacin mostrar que la respuesta es 8. Sugerimos que compruebe es-ta respuesta ahora, para ganar prctica en la verificacin de respuestas. En el ejemplo 2, la ecuacin tambin podra haber sido escrita como
Para ejemplos adicionales de resolucin de ecuaciones racionales con enteros enlos denominadores, revise las secciones 2.4 y 2.5.
2 Solucionar ecuaciones racionalesen donde una variable aparece en el denominador
Ahora estamos preparados para resolver ecuaciones racionales en donde una va-riable aparece en el denominador. Al resolver este tipo de ecuaciones debe com-probar su respuesta. Vea la siguiente advertencia!
Advertencia Siempre que una variable aparezca en algn denominador de unaecuacin racional, es necesario comprobar su respuesta en la ecuacin original. Sila respuesta obtenida hace que algn denominador sea igual a cero, ese valor noes una solucin de la ecuacin. Tales valores se denominan races extraas o solu-ciones extraas.
EJEMPLO 3 Resuelva la ecuacin
Solucin Multiplique ambos lados de la ecuacin por el mcd, 2x.
Multiplicar ambos lados por el mcd, 2x.
Propiedad distributiva.
5x se rest de ambos lados.Se sum 8 a ambos lados.
Comprobacin
Verdadero.
Como 8 cumple, es la solucin de la ecuacin.
52
=52
3 -12
=?52
3 -48
=?52
3 -4x
=52
x = 8 x - 8 = 0
6x - 8 = 5x
2x132 - 2 x a 4 x b = a 5
2 b # 2 x
2x a3 - 4xb = a5
2b # 2x
3 -4x
=52
.
130
1x - 52 = 45
-110
1x - 12.
x = 8 4x = 32
4x -