Universidad Andres BelloFacultad de IngenierıaDepartamento de Matematicas

Algebra (FMM013)SOLEMNE 2

Mayo 20, 2011.Duracion: 90 minutos.

Importante: No se asignaran puntos por respuestas sin justificacion.

Problema 1 : Considere los conjuntosA = {2, 1, −1, 23}

B =

{−4, −1

2, 1

}Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones

a) (0,6 puntos) (∃x ∈ A)(∀y ∈ B) [(x− 3y ≤ 1) ⇒ (2x+ 3y < 2)]

b) (0,6 puntos) (∀x ∈ A)(∃y ∈ B) [(x− 3y ≤ 1) ∧ (2x+ 3y < 2)]

Solucion:

a) La proposicion es verdadera pues para x = 23 se cumple que(∀y ∈ B) [(x− 3y ≤ 1) ⇒ (2x+ 3y < 2)]lo vemos para cada y ∈ B: con y = −4, tenemos (23 − 3(−4) ≤ 1) ⇒ (2(23) + 3(−4) < 2) esverdadero.con y = − 1

2 , tenemos (23− 3(− 12 ) ≤ 1) ⇒ (2(23) + 3(− 1

2 ) < 2) es verdadero.con y = 1, tenemos (23− 1) ≤ 1) ⇒ (2(23) + 3(1) < 2) es verdadero.

b) La proposicion es falsa pues si tomamos x = 2, no existe y ∈ B tal que (x−3y ≤ 1)∧(2x+3y < 2).Lo vemos para cada y ∈ B:para y = −4 tenemos (2− 3(−4) ≤ 1) ∧ (2(2) + 3(−4) < 2) es falsa.para y = −1

2 tenemos (2− 3(−12 ) ≤ 1) ∧ (2(2) + 3(− 1

2 ) < 2) es falsa.para y = 1 tenemos (2− 3(1) ≤ 1) ∧ (2(2) + 3(1) < 2) es falsa.

Problema 2 : (1,2 puntos) Sean p y q proposiciones. Determine si la proposicion

[p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q

es una tautologıa, una contradiccion, o una contingencia.

Solucion:

Problema 3 :

[p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q ≡ ∼ [p ∧ (p ⇒ q)] ∨ q

≡ ∼ [p ∧ (∼ p ∨ q)] ∨ q

≡ [∼ p∨ ∼ (∼ p ∨ q)] ∨ q

≡ [∼ p ∨ (p∧ ∼ q)] ∨ q

≡ [(∼ p ∨ p) ∧ (∼ p∨ ∼ q)] ∨ q

≡ [V ∧ (∼ p∨ ∼ q)] ∨ q

≡ [∼ p∨ ∼ q] ∨ q

≡ ∼ p ∨ [∼ q ∨ q]

≡ ∼ p ∨ V

≡ V.

Por lo tanto la proposicion es una tautologıa.

Problema 4 : (1,2 puntos) Considere una sucesion {xi}i∈N tal que

9∑i=1

x2i = 160

8∑i=1

xi = 120 x9 = 6

Calcule9∑

i=1

xi(xi − 2)

Solucion:

9∑i=1

xi(xi − 2) =9∑

i=1

(x2i − 2xi)

=9∑

i=1

x2i − 2

9∑i=1

xi)

= 160− 2

(8∑

i=1

xi + x9

)= 160− 2(120 + 6)

= −92

Problema 5 : (1,2 puntos) Demuestre que para todo n ∈ N se tiene que 7n − 4n es multiplo de 3.

Solucion:

i) Para n = 1, se tiene 71 − 41 = 3, por lo que se verifica facilmente la propiedad.

ii) Hipotesis de induccion: Supongamos validez para n = k, esto es 7k − 4k = 3 · q1 donde q1 ∈ N.iii) Debemos demostrar la validez para n = k + 1, es decir, 7k+1 − 4k+1 = 3 · q2. En efecto,

7k+1 − 4k+1 = 7k · 7− 4k · 4= 7(7k) + (3− 7) · 4k

= 7(7k − 4k) + 3 · 4k

= 7 · 3q1 + 3 · 4k

= 3 (7q1 + 4k)︸ ︷︷ ︸q2

.

Por el principio de induccion tenemos entonces que la proposicion es valida para todo n ∈ N

Problema 6 : (1,2 puntos) Considere el polinomio p(z) = 2z3 + z2 + 8z + 4. Se sabe que tiene una raızimaginaria pura. Encuentre todas sus raıces.Sugerencia: busque directamente una raız de la forma z = bi con b ∈ R.

Solucion:Tenemos:2(bi)3 + (bi)2 + 8(bi) + 4 = 02b3i3 + b2i2 + 8bi+ 4 = 02b3(−i) + b2(−1) + 8bi+ 4 = 0−2b3i− b2 + 8bi+ 4 = 0(−2b3 + 8b)i+ 4− b2 = 0Por lo tanto:{

−2b3 + 8b = 04− b2 = 0

De la segunda ecuacion obtenemos b = ±2, que verfifica tambien la primera ecuacion.Por lo tanto tenemos las raıces complejas z = 2i y z = −2i.Para buscar la restante raız notamos que el polinomio debe ser divisible por (z− 2i)(z+2i) = (z2 +4)Efectuando la division obtenemos:2z3 + z2 + 8z + 4 = (z2 + 4)(2z + 1)Por lo tanto la tercera raız es z = − 1

2 .