SACO OLIVEROS

ALGEBRA

6 PRIM.

ALGEBRA-JUNIO-JULIO-AGOSTO-

SACO OLIVEROS PRIMARIA

LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616

LGEBRAtc "LGEBRA"tc ""tc ""Niels Henrik Abel, nacido el 5 de Agosto de 1802, y muerto el 16 de Abril de 1829, fue un brillante matemtico noruego. Gan un ancho reconocimiento a la edad de 18 con su primer trabajo, en que prob que la ecuacin general de quinto grado es insoluble por procedimientos algebraicos.tc "Niels Henrik Abel, nacido el 5 de Agosto de 1802, y muerto el 16 de Abril de 1829, fue un brillante matemtico noruego. Gan un ancho reconocimiento a la edad de 18 con su primer trabajo, en que prob que la ecuacin general de quinto grado es insoluble por procedimientos algebraicos."tc ""Abel fue instrumental en establecer el anlisis matemticos en una base rigurosa. En su mayor trabajo "Recherches fonctions elliptiques" (Investigaciones en funciones elpticas, 1827), revolucion la comprensin de las funciones elpticas al estudiar el universo de estas funciones.tc "Abel fue instrumental en establecer el anlisis matemticos en una base rigurosa. En su mayor trabajo \"Recherches fonctions elliptiques\" (Investigaciones en funciones elpticas, 1827), revolucion la comprensin de las funciones elpticas al estudiar el universo de estas funciones."EXPRESIN ALGEBRAICAtc "EXPRESIN ALGEBRAICA"tc ""Es un conjunto de constantes y variables con exponentes racionales, relacionados a travs de las operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin, es un nmero finito de veces.tc "Es un conjunto de constantes y variables con exponentes racionales, relacionados a travs de las operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin, es un nmero finito de veces."tc ""Ejms :

4x2 + 2x 1tc "Ejms \:

4x2 + 2x 1"

x2 2xy + tc "

x2 2xy + "tc ""

xy2 + x2y + 1tc "

xy2 + x2y + 1"tc ""ELEMENTOS DE UNA EXPRESIN ALGEBRAICAtc "ELEMENTOS DE UNA EXPRESIN ALGEBRAICA"

tc "

"

tc "

"

tc "

"

tc "

"tc ""

tc "

"CLASIFICACINtc "CLASIFICACIN"tc ""MONOMIO:Un monomio de una variable es una expresin de la forma:tc "MONOMIO\:Un monomio de una variable es una expresin de la forma\:"

axn tc "

axn "Donde a es una consonante (coeficiente del monomio) y n es un entero positivo.tc "Donde a es una consonante (coeficiente del monomio) y n es un entero positivo."tc ""POLINOMIO: Es una expresin algebraica que consta de dos o ms trminos en una cantidad finita de estos.tc "POLINOMIO\: Es una expresin algebraica que consta de dos o ms trminos en una cantidad finita de estos."tc ""A los polinomios de dos trminos se les denomina BINOMIOS, a los de tres trminos TRINOMIOS; a los de cuatro trminos CUATRINOMIOS; en general se les llamar POLINOMIOS.tc "A los polinomios de dos trminos se les denomina BINOMIOS, a los de tres trminos TRINOMIOS; a los de cuatro trminos CUATRINOMIOS; en general se les llamar POLINOMIOS."tc ""Ejemplos :

tc "Ejemplos \:

"tc ""

tc "

"tc ""I.GRADOS DE UN MONOMIOtc "I.GRADOS DE UN MONOMIO"tc ""

1.GRADO ABSOLUTO DE UN MONOMIO (G.A.)tc "1.GRADO ABSOLUTO DE UN MONOMIO (G.A.)"

Est dado por la suma de exponentes de sus variables.tc "

Est dado por la suma de exponentes de sus variables."tc ""

2.GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO (G.R.)tc "2.GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO (G.R.)"

Est dado por el exponente de la variable referida.tc "

Est dado por el exponente de la variable referida."tc ""Ejemplo :

tc "Ejemplo \:

"

tc "

"tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""II.GRADOS DE UN POLINOMIO (G.A.)tc "II.GRADOS DE UN POLINOMIO (G.A.)"tc ""

1.GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO (G.A.)tc "1.GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO (G.A.)"

Est dado por el MAYOR GRADO de los monomios.tc "

Est dado por el MAYOR GRADO de los monomios."tc ""

2.GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO (G.R.)tc "2.GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO (G.R.)"

Est dado por el MAYOR DE LOS EXPONENTES de la variable referida.tc "

Est dado por el MAYOR DE LOS EXPONENTES de la variable referida."tc ""Ejemplos :tc "Ejemplos \:"tc ""A)

Dado el Polinomio :tc "A)

Dado el Polinomio \:"tc ""tc ""

tc "

"B)

Dado el Polinomio :tc "B)

Dado el Polinomio \:"

tc "

"

tc "

"

tc ""Halla:tc "Halla\:"1.

El grado relativo de cada polilnomio con respecto a la variable x tc "1.

El grado relativo de cada polilnomio con respecto a la variable x "2.

El grado absoluto de cada polinomio.tc "2.

El grado absoluto de cada polinomio."

tc "

"tc ""

tc ""Halla :tc "Halla \:"1.

El grado relativo de cada polinomio con respecto a la variable m.tc "1.

El grado relativo de cada polinomio con respecto a la variable m."2.

El grado absoluto de cada polinomio.tc "2.

El grado absoluto de cada polinomio."

tc "

"

tc " "tc ""TRMINOS SEMEJANTEStc "TRMINOS SEMEJANTES"tc ""

Son aquellos que tienen la misma parte variable.tc "Son aquellos que tienen la misma parte variable."tc ""Ejemplo : ; ; ; ; tc "Ejemplo \: ; ; ; ; "tc ""

a)Los trminos , y tienen la misma parte variable , por lo tanto son SEMEJANTES.tc "a)Los trminos , y tienen la misma parte variable , por lo tanto son SEMEJANTES."tc ""

b) Los trminos y no tienen la misma parte variable, por lo tanto NO SON SEMEJANTES.tc "b) Los trminos y no tienen la misma parte variable, por lo tanto NO SON SEMEJANTES."tc ""tc ""REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTES :tc "REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTES \:"tc ""Es un proceso que consiste en transformar dos o ms trminos semejantes en uno solo, sumando o restando los coeficientes y escribiendo a continuacin del resultado la misma PARTE VARIABLE que aparece en los trminos.tc "Es un proceso que consiste en transformar dos o ms trminos semejantes en uno solo, sumando o restando los coeficientes y escribiendo a continuacin del resultado la misma PARTE VARIABLE que aparece en los trminos."tc ""Ejemplos : tc "Ejemplos \: "tc ""Reducir :tc "Reducir \:"tc ""1.

tc "1.

"tc ""2.

tc "2.

"tc ""3.

Reduce los siguientes trminos semejantes :tc "Reduce los siguientes trminos semejantes \:"tc ""1.

2x2y x2y + 3x2y

=tc "1.

2x2y x2y + 3x2y

="tc ""2.

18x 10x +7x

=tc "2.

18x 10x +7x

="

tc ""3.

14m 3m + 4m

=tc "3.

14m 3m + 4m

="tc ""4.

n2y + 20n2y 19n2y

=tc "4.

n2y + 20n2y 19n2y

="tc ""5.

43x 21x

=tc "5.

43x 21x

="tc ""6.

8a + 9a 16a

=tc "6.

8a + 9a 16a

="tc ""7.

ab2 + 7ab2 + 9ab2

=tc "7.

ab2 + 7ab2 + 9ab2

="tc ""8.

m5 + 4m5 + 6m4 2m4

=tc "8.

m5 + 4m5 + 6m4 2m4

="

tc ""9.

3xm + 5xm 6xm

=tc "9.

3xm + 5xm 6xm

="tc ""10.26x3 8x3 + 9x2

=tc "10.26x3 8x3 + 9x2

="tc ""11.7x2y + 8x3y4 5x3y4 6x2y=tc "11.7x2y + 8x3y4 5x3y4 6x2y="tc ""12.5m6 + 4m5 2m6

=tc "12.5m6 + 4m5 2m6

="tc ""13.3m7n + 2m5n4 m7n m5n4=tc "13.3m7n + 2m5n4 m7n m5n4="tc ""14.5a7b2 3a7b2 + 10ax5 5ax5=tc "14.5a7b2 3a7b2 + 10ax5 5ax5="tc ""15.8x4y + 7x4y2 6x4y 2x4y2=tc "15.8x4y + 7x4y2 6x4y 2x4y2="tc ""16.x5 + 4x6 + 2x5

=tc "16.x5 + 4x6 + 2x5

="tc ""17.m5 + m4 + 3m4

= tc "17.m5 + m4 + 3m4

= "tc ""18.4x + 3x2 + 5x3 + 6x

=tc "18.4x + 3x2 + 5x3 + 6x

="tc ""19.7m8n4 5m9n8 + 2m8n4

=tc "19.7m8n4 5m9n8 + 2m8n4

="tc ""20.4xy5 + 2xy6 xy5

=tc "20.4xy5 + 2xy6 xy5

="tc ""tc "3.

"tc ""tc ""

LGEBRAtc "LGEBRA"tc ""LAGRANGE, JOSEPH LOUIS DEtc "LAGRANGE, JOSEPH LOUIS DE"tc ""El fsico francs Joseph Louis, conde de Lagrange, nacido en Ene. 25, 1736, muerto en Abr. 10, 1813, fue uno de los cientficos matemticos y fsicos ms importantes de finales del siglo XVIII. Invent y madur el clculo de variaciones y ms tarde lo aplic a una nueva disciplina la Mecnica Celestial, sobre todo al hallazgo de mejores soluciones al problema de tres cuerpos. Tambin contribuy significativamente con la solucin numrica y algebraica de ecuaciones y con la teora numrica y algebraica de ecuaciones y con la teora numrica. En su clsica Mecanique analytique (Mecnicas Analticas, 1788), transform las mecnicas en una rama del anlisis matemtico. El tratado resumi los principales resultados sobre mecnicas que se saben del siglo XVIII y es notable por su uso de la teora de ecuaciones diferenciales. Otra preocupacin central de Lagrange fueron los fundamentos de clculo. En un libro de 1797 l enfatiz la importancia de la serie de Taylor y el concepto de funcin. Su busqueda por rigurosas fundaciones y generalizaciones le pone la base a Augustin Cauchy, Niels Henrik Abel, y Karl Weierstrass en el siguiente siglo.tc "El fsico francs Joseph Louis, conde de Lagrange, nacido en Ene. 25, 1736, muerto en Abr. 10, 1813, fue uno de los cientficos matemticos y fsicos ms importantes de finales del siglo XVIII. Invent y madur el clculo de variaciones y ms tarde lo aplic a una nueva disciplina la Mecnica Celestial, sobre todo al hallazgo de mejores soluciones al problema de tres cuerpos. Tambin contribuy significativamente con la solucin numrica y algebraica de ecuaciones y con la teora numrica y algebraica de ecuaciones y con la teora numrica. En su clsica Mecanique analytique (Mecnicas Analticas, 1788), transform las mecnicas en una rama del anlisis matemtico. El tratado resumi los principales resultados sobre mecnicas que se saben del siglo XVIII y es notable por su uso de la teora de ecuaciones diferenciales. Otra preocupacin central de Lagrange fueron los fundamentos de clculo. En un libro de 1797 l enfatiz la importancia de la serie de Taylor y el concepto de funcin. Su busqueda por rigurosas fundaciones y generalizaciones le pone la base a Augustin Cauchy, Niels Henrik Abel, y Karl Weierstrass en el siguiente siglo."tc ""Lagrange sirvi como profesor de geometra en la Escuela Real de Artillera en Turn (1755 - 66) y ayud all a fundar la Academia Real de Ciencias en 1757. A causa del exceso de trabajo y pobre paga, su salud desmojor, dejndolo con una debilidad de por vida. Cuando Leonhard Euler dej la Academia de Ciencias de Berlin, Lagrange tuvo xito como director de la seccin matemtica en 1766. En 1787 sali de Berln para llegar a ser miembro de la Academia de Ciencias de Paris, donde se mantuvo por el resto de su carrera.tc "Lagrange sirvi como profesor de geometra en la Escuela Real de Artillera en Turn (1755 - 66) y ayud all a fundar la Academia Real de Ciencias en 1757. A causa del exceso de trabajo y pobre paga, su salud desmojor, dejndolo con una debilidad de por vida. Cuando Leonhard Euler dej la Academia de Ciencias de Berlin, Lagrange tuvo xito como director de la seccin matemtica en 1766. En 1787 sali de Berln para llegar a ser miembro de la Academia de Ciencias de Paris, donde se mantuvo por el resto de su carrera."tc ""Un hombre dcil y diplomtico, Lagrange sobrevivi la revolucin francesa. Durante los 1790s trabajo en el sistema mtrico y defendi la base decimal. Tambin ense en el Ecole Polytechnique, que ayud a fundar. Napolen lo nombr miembro de la legin de Honor y del Imperio en 1808.tc "Un hombre dcil y diplomtico, Lagrange sobrevivi la revolucin francesa. Durante los 1790s trabajo en el sistema mtrico y defendi la base decimal. Tambin ense en el Ecole Polytechnique, que ayud a fundar. Napolen lo nombr miembro de la legin de Honor y del Imperio en 1808."tc ""OPERACIONES CON POLINOMIOStc "OPERACIONES CON POLINOMIOS"tc ""tc ""1)ADICIN DE POLINOMIOStc "1)ADICIN DE POLINOMIOS"

tc ""

*La suma suele indicarse incluyendo los sumandos dentro del parntesis; as:tc "*La suma suele indicarse incluyendo los sumandos dentro del parntesis; as\:"

tc ""

Ejemplo:

Dado los polinomios:tc "Ejemplo\:

Dado los polinomios\:"

tc "

"

tc "

"

Ahora colocamos todos los trminos de estos polinomios unos a continuacin de

otros con sus propios signos y tendremos:tc "Ahora colocamos todos los trminos de estos polinomios unos a continuacin de

otros con sus propios signos y tendremos\:"

tc "

"

tc ""

A+B = 4x2 + xy + 3y2tc "

A+B = 4x2 + xy + 3y2"tc ""

tc ""

*En la prctica, suelen colocarse los polinomios unos debajo de otros de modo que los trminos semejantes queden en columna, luego se efecta la reduccin de dichos trminos.tc "*En la prctica, suelen colocarse los polinomios unos debajo de otros de modo que los trminos semejantes queden en columna, luego se efecta la reduccin de dichos trminos."

tc "

"

tc "

"

OBSERVACIN:Un signo de agrupacin precedido del signo (+) se elimina, sin cambiar de signo a todos los trminos escritos dentro del signo de agrupacin tc "OBSERVACIN\:Un signo de agrupacin prededido del signo (+) se elimina, sin cambiar de signo a todos los trminos escritos dentro del signo de agrupacin "2)SUSTRACCIN DE POLINOMIOStc "2)SUSTRACCIN DE POLINOMIOS"

tc "

"

Ejemplo:Dados polinomiostc "Ejemplo\:Dados polinomios"tc ""

P = 6x4 + 4x2 + 4tc "

P = 6x4 + 4x2 + 4"

Q= 4x4 + 2x2 + 3

Hallar P Qtc "

Q= 4x4 + 2x2 + 3

Hallar P Q"tc ""

*La sustraccin se indica incluyendo el sustraendo en un parntesis precedido del signo - as:tc "*La sustraccin se indica incluyendo el sustraendo en un parntesis precedido del signo - as\:"tc ""

P Q= 6x4 + 4x2 + 4 ( 4x4 + 2x2 + 3)tc "

P Q= 6x4 + 4x2 + 4 ( 4x4 + 2x2 + 3)"tc ""

Ahora dejamos el minuendo con su propio signo y a continuacin escribimos el sustraendo cambindole el signo a todos sus trminos.tc "

Ahora dejamos el minuendo con su propio signo y a continuacin escribimos el sustraendo cambindole el signo a todos sus trminos."

tc "

"

tc ""

P Q = 10x4 + 2x2 + 1tc "

P Q = 10x4 + 2x2 + 1"tc ""

*En la prctica, suele escribirse el sustraendo con sus signos cambiados debajo del minuendo, de modo que los trminos semejantes queden en columna, luego se efcta la reduccin de dichos trminos.tc "*En la prctica, suele escribirse el sustraendo con sus signos cambiados debajo del minuendo, de modo que los trminos semejantes queden en columna, luego se efcta la reduccin de dichos trminos."

tc "

"

tc "

"

OBSERVACIN: "Un signo de agrupacin precedido del signo () se elimina, cambiando de signo a todos los trminos escritos dentro del signo de agrupacin".tc "OBSERVACIN\: \"Un signo de agrupacin precedido del signo () se elimina, cambiando de signo a todos los trminos escritos dentro del signo de agrupacin\"."tc ""

IMPORTANTE

tc "IMPORTANTE

"tc ""tc ""tc ""Ejemplo :tc "Ejemplo \:"

Efectuar : 8x2 + 7x + 6 (2x2 + 5x 9)tc "Efectuar \: 8x2 + 7x + 6 (2x2 + 5x 9)"

Solucin :tc "

Solucin \:"

tc "

"

tc "

"tc ""tc ""1.

Dados los polinomios :tc "1.

Dados los polinomios \:"

A = 5x3 + 6x2 + 6x + 9tc "

A = 5x3 + 6x2 + 6x + 9"

B = 2x3 2x2 4x + 6tc "

B = 2x3 2x2 4x + 6"

C = x3 3x2 + 3x 8tc "

C = x3 3x2 + 3x 8"

Hallar A + B + Ctc "

Hallar A + B + C"tc ""tc ""tc ""2.

Dados los polinomios :tc "2.

Dados los polinomios \:"

A = 3x4 + 8x2 + 2x3 + x + 6tc "

A = 3x4 + 8x2 + 2x3 + x + 6"

B = 6x2 x3 + 8 + 5x4tc "

B = 6x2 x3 + 8 + 5x4"

C = 9x4 7x2 + 13x 4tc "

C = 9x4 7x2 + 13x 4"

Calcular A + B + Ctc "

Calcular A + B + C"tc ""tc ""tc ""3.

Hallar A B sabiendo que :tc "3.

Hallar A B sabiendo que \:"

A = 4x3 + 5x2 + x + 8tc "

A = 4x3 + 5x2 + x + 8"

B = 3x2 + 6tc "

B = 3x2 + 6"tc ""4.

Hallar A B sabiendo que :tc "4.

Hallar A B sabiendo que \:"

A = 10x2 7x4 + 6x + 9tc "

A = 10x2 7x4 + 6x + 9"

B = 4x2 5 + 3xtc "

B = 4x2 5 + 3x"tc ""tc ""tc ""tc ""5.

Dados los polinomios :tc "5.

Dados los polinomios \:"

A = 3x5 + 2x4 + 6x + 16tc "

A = 3x5 + 2x4 + 6x + 16"

B = 10x4 + 2x3 5x + 4tc "

B = 10x4 + 2x3 5x + 4"

C = 2x5 8x4 + x3 + 12tc "

C = 2x5 8x4 + x3 + 12"

Calcular : (A + B C)tc "

Calcular \: (A + B C)"tc ""tc ""tc ""tc ""6.

Elimina los signos de agrupacin y halla el resultado :tc "6.

Elimina los signos de agrupacin y halla el resultado \:"tc ""

a) 6x4 (3x4 2x + 1) =

tc "

a) 6x4 (3x4 2x + 1) =

"

tc ""

b)2x3 ( 4x 2x3) =tc "

b)2x3 ( 4x 2x3) ="

tc ""

c)7x4 ( 6x 5 2x4) =tc "

c)7x4 ( 6x 5 2x4) ="tc ""

d)8x3 3x4 + 1 + (2x2 + 3x2 + 5) =tc "

d)8x3 3x4 + 1 + (2x2 + 3x2 + 5) ="tc ""

e)5x3 (2x3 4) + (3x2 + 6) =tc "

e)5x3 (2x3 4) + (3x2 + 6) ="tc ""

f)3x4 [ 3x4 + 6x2 + x (2x4 + 3)] =tc "

f)3x4 [ 3x4 + 6x2 + x (2x4 + 3)] ="tc ""

g)8x4 + [ 5x4 (2x4 3x + 4)] =tc "

g)8x4 + [ 5x4 (2x4 3x + 4)] ="

tc ""tc ""1.Dados los polinomios :tc "1.Dados los polinomios \:"

A = 3x5 + 2x4 + 7x2 + 8x + 9tc "

A = 3x5 + 2x4 + 7x2 + 8x + 9"

B = 5x4 + 8x3 5x2 3x + 4tc "

B = 5x4 + 8x3 5x2 3x + 4"

C = 2x5 2x2 6tc "

C = 2x5 2x2 6"

Hallar :tc "Hallar \:"

a)A + B

b)A + C

c)A + B + C

d)A Ctc "a)A + B

b)A + C

c)A + B + C

d)A C"tc ""2.Dados los polinomios :tc "2.Dados los polinomios \:"

A = 3x4 + 2x2 + 6x3 + 8tc "

A = 3x4 + 2x2 + 6x3 + 8"

B = 7x2 + 9x + 11tc "

B = 7x2 + 9x + 11"

C = 7x + 5x3 tc "

C = 7x + 5x3 "

D = x2 4x4 + 1tc "

D = x2 4x4 + 1"

Hallar :tc "Hallar \:"

a)A + B

b)B + C

c)B + Dtc "a)A + B

b)B + C

c)B + D"

d)B D

e)A + B + C

f) A Ctc "d)B D

e)A + B + C

f) A C"tc ""3.

Elimina los signos de agrupacin y halla el resultado :tc "3.

Elimina los signos de agrupacin y halla el resultado \:"tc ""

a) (a + b) + (b + c) + (c + d) + (a c)=tc "

a) (a + b) + (b + c) + (c + d) + (a c)="tc ""

b) (5x + 7y + 8) (2x + 3y 4)

=tc "

b) (5x + 7y + 8) (2x + 3y 4)

="tc ""

c)(a + b + c) + (2a + 2b c)

=tc "

c)(a + b + c) + (2a + 2b c)

="tc ""

d)(m2 + 2mn) (mn + n2)

=tc "

d)(m2 + 2mn) (mn + n2)

="tc ""

e)(x3 + 8xy2 + y3) (5xy2 + x3 y3)

=tc "

e)(x3 + 8xy2 + y3) (5xy2 + x3 y3)

="tc ""

f)

(5ab 3bc + 4cd) + (2ab 3cd)

=tc "

f)

(5ab 3bc + 4cd) + (2ab 3cd)

="tc ""MULTIPLICACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAStc "MULTIPLICACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS"tc ""Para multiplicar expresiones algebraicas, estudiaremos los siguientes casos :tc "Para multiplicar expresiones algebraicas, estudiaremos los siguientes casos \:"tc ""MULTIPLICACIN DE MONOMIOStc "MULTIPLICACIN DE MONOMIOS"Se multiplican los coeficientes y las partes literales de cada monomio.tc "Se multiplican los coeficientes y las partes literales de cada monomio."tc ""Ejem. :Multiplicar :(2a2) (3a3) tc "Ejem. \:Multiplicar \:(2a2) (3a3) "

(2a2) (3a3) = 2.3.a2.a3 = 6a2+3 = 6a5tc "

(2a2) (3a3) = 2.3.a2.a3 = 6a2+3 = 6a5"

tc "

"MULTIPLICACIN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIOtc "MULTIPLICACIN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO"Se multiplica el monomio por cada uno de los trminos del polinomio, teniendo en cuenta, en cada caso, la regla de los signos y se separan los productos parciales con sus propios signos.tc "Se multiplica el monomio por cada uno de los trminos del polinomio, teniendo en cuenta, en cada caso, la regla de los signos y se separan los productos parciales con sus propios signos."tc ""Ejem. :Multiplica :tc "Ejem. \:Multiplica \:"

(3x2 6x + 7) (4ax2)tc "

(3x2 6x + 7) (4ax2)"

(3x2 6x + 7) (4ax2)= 3x2 (4ax2) 6x (4ax2) + 7 (4ax2)tc "

(3x2 6x + 7) (4ax2)= 3x2 (4ax2) 6x (4ax2) + 7 (4ax2)"

= 12ax4 24ax3 + 28ax2tc "

= 12ax4 24ax3 + 28ax2"tc ""MULTIPLICACIN DE UN BINOMIO POR UN POLINOMIOtc "MULTIPLICACIN DE UN BINOMIO POR UN POLINOMIO"Se multiplican todos los trminos del 1er. factor por cada uno de los trminos del 2do. factor; y SE REDUCEN LOS TRMINOS SEMEJANTES.tc "Se multiplican todos los trminos del 1er. factor por cada uno de los trminos del 2do. factor; y SE REDUCEN LOS TRMINOS SEMEJANTES."tc ""Ejem. :Multiplica :tc "Ejem. \:Multiplica \:"

(a2 - 2a + a3) (a3 + 1)tc "

(a2 - 2a + a3) (a3 + 1)"

Existen 2 formas de desarrollar que son :tc "

Existen 2 formas de desarrollar que son \:"tc ""

Primera Forma:tc "

Primera Forma\:"

(a2 2a + a3) (a3 + 1) =tc "

(a2 2a + a3) (a3 + 1) ="

a2 (a3) + a2 (1) 2a (a3) 2a (1) + a3 (a3) + a3 (1) =tc "

a2 (a3) + a2 (1) 2a (a3) 2a (1) + a3 (a3) + a3 (1) ="

a5 + a3 2a4 2a + a3 + a3tc "

a5 + a3 2a4 2a + a3 + a3"

Ordenando :tc "

Ordenando \:"

a5 + a2 2a4 2a + a6 + a3 tc "

a5 + a2 2a4 2a + a6 + a3 "tc ""

Segunda Forma:tc "

Segunda Forma\:"

(a2 2a + a3) (a3 + 1) =tc "

(a2 2a + a3) (a3 + 1) ="

Ordenando :tc "

Ordenando \:"

a3 + a2 2atc "

a3 + a2 2a"

a3 + 1tc "

a3 + 1"

__________tc "

__________"

+ a3 + a2 2atc "

+ a3 + a2 2a"

a6 + a5 2a4tc "

a6 + a5 2a4"

________________________tc "

________________________"

a6 + a5 2a4 + a3 + a2 2atc "

a6 + a5 2a4 + a3 + a2 2a"tc ""tc ""tc ""tc ""Multiplicar:tc "Multiplicar\:"1.

(x2+xy + y2) (x y)

2.(a2+b2 - 2ab) (a b)tc "1.

(x2+xy + y2) (x y)

2.(a2+b2 - 2ab) (a b)"tc ""3.(a2 + b2 + 2ab) (a + b)

4.(x3 3x2 + 1) (x + 3)tc "3.(a2 + b2 + 2ab) (a + b)

4.(x3 3x2 + 1) (x + 3)"tc ""5.(a3 a + a2) (a 1)

6.(m4 + m2n2 + n4) (m2 n2)tc "5.(a3 a + a2) (a 1)

6.(m4 + m2n2 + n4) (m2 n2)"tc ""7.(x3 2x2 + 3x 1) (2x + 3)

8.(3y3 + 5 6y) (y2 + 2)tc "7.(x3 2x2 + 3x 1) (2x + 3)

8.(3y3 + 5 6y) (y2 + 2)"

tc ""tc ""1.(m3 m2 + m) (am + a)tc "1.(m3 m2 + m) (am + a)"tc ""tc ""2.(3a2 5ab + 2b2) (4a 5b)tc "2.(3a2 5ab + 2b2) (4a 5b)"tc ""tc ""3.(5m4 3m2n2 + n4) (3m n)tc "3.(5m4 3m2n2 + n4) (3m n)"tc ""tc ""4.(a2 + a + 1) (a + 1)tc "4.(a2 + a + 1) (a + 1)"tc ""tc ""5.(x3 + 2x2 x) (x2 2x)tc "5.(x3 + 2x2 x) (x2 2x)"tc ""tc ""6.(x2 + 1 + x) (x2 + x)tc "6.(x2 + 1 + x) (x2 + x)"tc ""tc ""7.(m3 4m + m2) (m3 + 1)tc "7.(m3 4m + m2) (m3 + 1)"tc ""tc ""8.(n2 2n + 1) (n2 1)tc "8.(n2 2n + 1) (n2 1)"tc ""tc ""9.(2y3 + y 3y2) (2y + 5)tc "9.(2y3 + y 3y2) (2y + 5)"tc ""tc ""10.(3x3 a3 + 2ax2) (2a2 x2)tc "10.(3x3 a3 + 2ax2) (2a2 x2)"tc ""

tc "

"

GAUSS, CARL

Carl Friedrich Gauss, nacido el 30 de Abril de 1777 y muerto el 23 de Febrero de 1855, fue un matemtico alemn quien domin la comunidad matemtica durante y despus de su vida. Un prodigio de nio, Gauss aprendi a leer y la aritmtica a la edad de tres aos. Al reconocer su talento, el Duque de Brunswick en 1792 le provey con un sueldo para as permitirle seguir su educacin. Mientras todava asiste a la Universidad de Caroline (1792-95), Gauss formul el mtodo de los menos-cuadrados y una conjetura en la distribucin de nmeros primos entre todos los nmeros; el ms reciente fue probado por Jacques Hadamard en 1896. Durante este perodo Gauss no tena acceso a una buena biblioteca matemtica y por eso redescubri muchos teoremas ya aceptados. La situacin cambi en 1795, cuando fue a Gottingen con su excelente biblioteca.

En 1795 Gauss descubri el teorema fundamental de residuos cuadrticos, que tratan del concepto de congruencia en la teora del nmero. En 1796 hizo su primera marca como un matemtico serio por probar la posibilidad de construir un polgono regular de 17 lados usando slo una regla y un comps. Los prximos 4 aos le fueron muy productivos. Le venan ideas tan rpidamente que podra seguir slo algunas de ellas. En 1799 la Universidad de Helmstedt le concedi a Gauss un Ph.D. grado por una disertacin que dio la primera prueba del teorema fundamental del lgebra.

Gauss tuvo dos realizaciones mayores en 1801. La primera fue la publicacin de su Disquisiciones aritmticas, un tratado en teora del nmero, que contuvo sus soluciones a muchos problemas sin liquidar. Este libro fija bases para investigaciones futuras dndole un mayor reconocimiento entre los matemticos de su tiempo. La segunda fue debido al descubrimiento del asteroide Ceres. Se haba observado brevemente en el enero de 1801 pero entonces haba desaparecido de vista. Gauss calcul la rbita usando una mejor teora y predijo donde y cuando Ceres reaparecera. Cuando la prediccin fue probada correcta, la fama de Gauss se extendi a lo lejos y ancho. Subsiguientemente acept una segura posicin financiera como astrnomo en el Observatorio Gottingen.

Para cumplir su sentido de responsabilidad cvica, Gauss emprendi un estudio gegrafo de su pas el cual le dio mucho campo de trabajo. En su trabajo terico en topografa, Gauss desarroll resultados que requiri de estadsticas y geometra diferencial. Durante los 1820 con la colaboracin del fsico Wilhelm Weber, explor muchas reas de fsica, incluso magnetismo, mecnica, acstica, y ptica. En 1833 construy el primer telgrafo. Se pulieron las publicaciones de Gauss y se finalizaron algunos de sus trabajos lo que abri nuevos caminos para la investigacin y sembr semillas para mucho trabajo en el futuro. Hasta la fecha se han publicado 12 volmenes de su trabajo.

Sabias que!!

Las reas de las figuras geomtricas nos permiten "demostrar" identidades algebraicas. Ejemplo:

DIVISIN DE MONOMIOS

Para dividir monomios, procedemos a dividir los coeficientes y aplicamos la teora de exponentes (divisin de bases iguales) para la parte literal.

Ejemplo:

DIVISIN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO

El procedimiento para dividir un polinomio entre un monomio es el mismo que realizamos en la divisin entre monomios slo que ahora el monomio dividir a cada trmino del polinomio.

Ejemplo:

tc ""Dividir :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

TRABAJEMOS EN CASA tc ""Dividir :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

PRODUCTOS NOTABLES

Son aquellos productos que al presentar cierta forma particular, evita que se efectu la operacin de multiplicacin escribiendo directamente el resultado.

I. CUADRADO DE UN BINOMIO

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

5.

tc ""Efectuar :

1.(x + 1)2 =

2.(m 8)2 =

3.(x4 + 3)2 =

4.(4x + y)2 =

5.(2a b)2 =

6.(3a3 + 8b)2 =

7.(x7 6)2 =

8.(2a + 6b)2 =

9.(2a3 + 4b4)2=

10.(x4 3y3)2

=

tc ""tc ""PRACTIQUEMOS EN CASA tc ""Resolver :

1.(3x + 8b)2

2.(7x + 11)2 3.(a2 + 10b)2

4.(m + n)25.(y + 4)2

6.(6 + a)27.(2a b2)2

8.(10m3 8y5)2

9.(x 3)2

10.(m3 - 4)2tc ""tc ""tc ""II.CUBO DE UN BINOMIO

tc ""Ejemplos :

1.

2.

3.

4.

tc ""tc ""Efectuar :

1.(4x + 5)3 =

2.(a + 3)3 =

3.(2m + 3n)3 =

4.(a2 2b)3 =

5.(2a + x)3 =

tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""6.(1 + x)3 =

7.(a2 + 8)3 =

8.(a2 + 2b)3 =

9.(1 b2)3 =

10.(1 3m)3 =

tc ""tc ""tc ""PRACTIQUEMOS EN CASA

Resolver :

1.(x 1)3

2.(x 2)3

3.(4a + 5)3

4. (m2 3n)35.(n + 2)3

6.(a 1)3

7.(x + 3)3

8. (a 4)3

9.(2x + 1)3

10.(4c 3)3tc ""

ALGEBRA

ALGEBRA

ALGEBRA