algebra de boole circuitos y puertas logicas

AlgebradeBooleycircuitoscon

puertaslogicas

Loscircuitosquecomponen una computadorasonmuydiversos: loshaydestinadosaaportar

laenergıanecesaria para lasdistintas partes quecomponen lamaquinayloshay dedicados a

generar, procesar ypropagar senalesquecontieneninformacion.Dentrodeestesegundogrupo

sedistinguenasuvezcircuitos quetrabajanconinformacionanalogicaylosquetratancon

valoresdigitales.Estecapıtulosecentraenelestudiodeestosultimos,loscircuitosdigitalesy

sepresentalabaseofundamentoteoricodelosmismos,queeselalgebradeBoole.

Laspuertaslogicassonunamanera muyconvenientederealizar circuitoslogicosporloque

sonusadas enlascomputadoras digitales.Nohay espaciopara describirlas endetalle,porlo

queseexplicanlosdiversostiposmostrandocomosepuedenrealizarciertasfuncionesconellas.

3.1 AlgebradeBoole En1854GeorgeBoolepublicounlibrotitulado”Investigacionsobrelasleyesdelpensamiento”,

formulandoun metodosimbolicopara elestudiodelasrelaciones logicas.Susideastuvieron

largotiempodespuesunarepercusionmuyimportanteendiversasareas.Enelesquemaideado

porBoole,lasproposicionesosentenciassolopuedenclasificarseendosgrupos: lasverdaderas y

lasfalsas. Elresultadodecombinar ciertonumerodesentenciasesfacilmentededucibleusando

laspropiedades delasoperaciones enelalgebra.En 1938Shannon encontrouna aplicacion:

loscircuitoselectricosconinterruptores. Estospueden seranalizados ydisenadosempleando el

algebradeBooleyhanhallado aplicacionendiversoscamposcomolaautomatizacion.

Lascomputadoras digitales usan codificacionbinaria, porloqueuna unidad elementalde

informacionpuede tomarsolodosvalores: ceroouno,locualdejaabiertalapuertaalusode

lastecnicasdeShannon. Enefecto,labasedelascomputadorassoncircuitoslogicoscomoelde

lafigura3.1,loscualessonanalizados medianteelalgebradeBoole.Endichafiguraelcircuito

sepuede considerar comouna maquinaquetransformasenalesdeentrada(laposiciondelos

interruptoresa,b,yc)ensenalesdesalida(elestadodelalamparaL).

23

b a

0 1

0

0

1

1

1

1

b a batería

a

c interruptor b L

L

c

lámpara

Figura 3.1:Ejemplodecircuitologicoconunabaterıa,tresinterruptoresa,b,ycyunalampara

L.

3.1.1 Elementosbasicos

Desdeunpuntodevistaformal,elalgebradeBoolesecomponededoselementos:variablesy

operaciones, quesecomentanacontinuacion.

•Variableslogicas.solopueden tomarun valor entredosopcionesexcluyentes 0y1. En

loscircuitosconinterruptoresuninterruptorpuede estarabierto(0)ocerrado (1). Una lamparapuedeestarencendida (1)oapagada (0). Deestemodo,elestadodelosdistintos

elementosdelcircuito,sedescribeusando variables logicas.

•Operaciones.Lasoperaciones permitencombinar variables logicaspara obtenercomore- sultadootrasvariables. Lasoperaciones basicasdelalgebradeBoolesedescriben acon- tinuacion.

•Sumalogica.Sesimbolizacomoa+b. Elvalordelasumaes1siysolosialgunoo

variosdelossumandos vale1. Elcircuitodelafigura3.2esunejemploquerealiza lasuma logica.Elvalordelavariable fasociada alestadodelalamparasepuede obtenercomosumalogicadelasvariables aybcorrespondientesalosinterruptores. Alaizquierda enlafiguraseindicalatabladesumar.

a

f = a+b

b

Figura 3.2:Tabla deverdad ycircuitodelasumalogicadelasvariables ayb.

Lasuma logicaequivale alaoperacionOpuestoquea+bproduce unvalorcierto

(1)siysolosisecumple que”aesciertoobescierto”.Enelcircuitodelafigura

3.2secomprueba quelalamparalucesiysolosi”aestapulsado obestapulsado”.

•Productologico.Sesimbolizacomoa·b.Elproductodosvariables es1solosiambas valen1;encualquier otrocasovale0. Elcircuitodelafigura3.3realiza lafuncionf=a·b.

ElproductologicoequivalealaoperacionYpuestoquea·bproduce unvalorcierto (1)siysolosisecumple que”aesciertoybescierto”.Enelcircuitodelafigura

3.2secomprueba quelalamparalucesiysolosi”aestapulsado ybestapulsado”.

•Negacion.Estaoperacionactuasobre una solavariable ysesimboliza comoa. La negacionproduce comoresultadoelvalorcontrarioaldado;esdecir,siunavariable

b a

0 1

0

0

0

1

0

1

a b

f=ab

Figura 3.3:Elcircuitomostradoilustralaoperacionproductologico.

vale1sunegadoes0ysivale0sunegadoes1. Estopuede serilustradomediante la figura

3.4. Sila variable apasa a valer 1, elinterruptorsecierra, por loque la

intensidadelectricadeja de pasar por la lamparapor tenerelinterruptoruna

resistenciamuchomenor. Lalamparaseapaga porloquef=0.Esfacilverquesi

a=0lalamparavuelvealucirf=1.

a a

0 1 a

1 0

f= a

Figura 3.4:Elcircuitoilustralaoperaciondenegacion.

LanegacionequivalealaoperacionNOpuestoqueatomaelvalorciertosiysolosi

”anoescierto”. 3.1.2 Representación de circuitos

Enlos diagramas delos circuitosconinterruptoresseindicanlos distintoselementos(baterıa,in-

terruptoresylampara)mediantesımbolosconvencionales. Elestadoenquesedibuja

elsımbolonoindicalasituaciondelcomponente.Esdecir,uninterruptorabiertoyunocerrado

serepre- sentandelmismomodo. Eselvalordelavariable

asociadaquienindicaelestadodelelemento. Deestemodo,silavariable asociada

auninterruptorvale1indicaqueelcircuitoestacerrado, peroeldibujonosemodifica.

Estasituacionsecomplicaavecesendiagramas enlosqueintervieneninterruptores”nor-

malmentecerrados”. Estosinterruptoressedibujan enposicioncerrada porqueeseessuestado

cuando lavariable asociada tomaelvalor cero. Afortunadamenteestaclasedeinterruptores

pueden obviarseennuestradescripciondecircuitoslogicos.

Loscircuitosconinterruptoreshan sidousados enlaautomatizaciondetareascomoelen-

cendidogradual demotores,el movimientodeascensores,el ciclodelucesensemaforos,alarmas,

etc.porloqueeshabitualtoparseconlasrepresentaciones esquematicascorrespondientes en

areasdiversas.

3.1.3 Propiedades

Lasoperaciones definidas enelalgebrapresentanuna seriedepropiedades que seindican a

continuacion:

•Existenciadeelementosneutros.Paralasumael elementoneutroesel cero,puesa+0= a.Paraelproductoelelementoneutroeseluno,puesa·1=a.

•Conmutatividad.Estapropiedad expresa quea+b=b+apara lasuma yqueab=ba paraelproducto.

•Asociatividad.Losparentesisindicancomoeshabitualelordenenelquesehanderealizar

lasoperaciones. Estapropiedad indicaque(a+b)+c=a+(b+c)y(ab)c=a(bc). •Distributividad.Estapropiedad involucra dosoperaciones, lasuma logicayelproducto

logicoypuedeexpresarse como(a+b)c=ac+bcya+(bc)=(a+b)(a+c). •LeyesdeDeMorgan. Finalmente,estapropiedad permiterealizartransformacionesdesu-

masyproductosconvariablesnormalesynegadas. Sepuedenexpresardelsiguientemodo: a+b=ab,yab=a+b

Existedualidad entrelasumayelproducto,detalformaque,siunapropiedad escierta,la

queresultadecambiar lasumaporelproductoy0por1tambienescierta.

3.1.4 Funcionesbooleanas

Lasoperacionesconvariablesbooleanassepuedencomponerparaformarfunciones.

Unafuncionesportantounaexpresionquecontieneoperaciones booleanas.

Paraunosvaloresdadosdelas variables booleanas laexpresionsepuede evaluar

obteniendoseelresultado.Un ejemplo de funcionbooleana detresvariables es:

f:(a,b,c)7→f(a,b,c)=c(a+b)

Lafuncionpuededefinirsedeformaexplıcitadando losvaloresquetomapara cadaposible

combinaciondeentradas.Estarepresentacionsellama tabladeverdad.Paraelejemplo

anteriorlatabladeverdad semuestraenlafigura 3.5. Ademas,seha dibujado un circuito

coninterruptoresquerealizalamismafuncion.Puedecomprobarse

queelestadodelalamparaLvienedeterminadocompletamenteporelvalordelasvariables

aybatravesdelatablade verdad.

Esinteresanteobservar queLatabladeverdad,

elcircuitologicoylaexpresionanalıticaf(a,b,c)=c(a+b)proporcionan lamisma

informacion;esdecir, sontresrepresentacionesde una misma cosa. Deestemodo esposible

pasar decualquiera deellasalasdemascomose muestraacontinuacion.

a b c L

0

0

0

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

a c

b L=f(a,b,c)=c(a+b)

Figura 3.5:Ejemplodefuncionbooleana, tabladeverdad ycircuitoconinterruptores.

3.1.5 Obtenciondefuncionesbooleanasapartirdetablasdeverdad

Existenvariosmetodospara describir unafuncionbooleana. Unodeellosesmediantelatabla

deverdad, queproporciona losvaloresdelasalidaparatodaslascombinacionesdelasentradas.

Alternativamentesepuede expresar lafuncionbooleana usando elproductologicoylasuma

logica.Enesteapartadoseindicaelmetodopara obtenertalesexpresionesapartirdelatabla

deverdad. Lajustificaciondelmetodonoseproporciona peropuedehallarse

enlabibliografıarecomendada.

Dada unatabladeverdad como

a b s

0 0 0

0 1 1

1 0 0

1 1 1

estamosinteresados enhallar una expresions=f(a,b).Estosevaaconseguir abasede sumas

deproductos logicosdelasvariables aybylosnegados deestas.Paraellosehan de

senalarlasfilasdelatabladeverdad enlasquelasalidaesuno.

a b s

0 0 0

0 1 1

1 0 0

1 1 1

cadaunadeestasfilasrepresentaracomoveremosunsumando enunasumadeproductos.

Elproductoseformatomandolasvariables aybosusnegadosenfunciondequeelvalordela

mismaenlafilasenaladaseaceroouno. Tomemos porejemplolafila2:lavariable avalecero

endichafila,porloquesetomaranegada, lavariablebvaleuno,porloquesetomarasinnegar.

Elproductocorrespondienteaestafilaesab.Esteterminohadesumarse alcorrespondientea

lasdemasfilassenaladas.

a b c s

0

0

0

0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

f(a,b,c) = abc + abc +abc

Figura 3.6:Obtenciondeunafuncionbooleanacomosumadeproductosapartirdelatablade

verdad.

Pasamosalasiguientefilaconsalida uno,queeslacuarta.Lavariable avaleuno,porlo

quesetomarasinnegar, lavariable bvaleuno, porloquesetomarasinnegar. Elproducto

correspondienteaestafilaesab.

Deestemodoseobtienequelafuncionbooleanaesf(a,b)=ab+ab.Esposiblecomprobar

laequivalencia entres yfobteniendotodoslosposiblesvaloresdefycomparando conlatabla

deverdad.

Elmetodoexplicadoproporciona funcionesbooleanas quesonamenudo simplificables;por

ejemplo, lafuncionanteriorpuede expresarse comof(a,b)=ab+ab=(a+a)b=b. Esta

ultimaformadeexpresar fcontienemenosterminosyportantosedicequeestasimplificada.

Elproblema delasimplificacionnoseratratadoaquı.

Enlafigura3.6seilustraotroejemplo,obteniendoseunafuncionbooleanaf(a,b,c)apartir

delatabladeverdad. Sehaindicado mediantelıneaselorigendecadaunodelossumandos.

3.2 Puertaslogicas

Loscircuitos coninterruptores mecanicospodrıanusarse para construircomputadoras,pero

tienenciertas desventajas,como son su altoconsumo, dificultadde miniaturizaciony baja

velocidad debido a la existenciade piezas moviles.Las puertaslogicasson dispositivos

electronicosquerealizan funcionesbooleanas ynocontienencontactosmoviles.Loselementos

basicosconlosqueseconstruyenlaspuertas logicassoncomponentes semiconductores como

soneldiodoyeltransistor.

Laspuertaslogicassonusadasenmuchasaplicacioneselectricasoelectronicas.Cadapuerta

logicatienesusımbolotalycomosemuestraenlafigura3.7. Sedescribeacontinuacioncada

unadeellas.

a

b a+b+c

a a+b

a a

c O b NO-O NO

a ab a

b b

Y c

aabc NO-Y b

a b

Oexclusivo

Figura 3.7:Sımbolospara laspuertaslogicas.

•Sumalogica.SimbolizadanormalmentecomopuertaO1puestoquelaoperacionquerealiza eselOlogico.Latabladeverdad deunapuertaOdedosentradasaybes:

a b s

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

•Productologico.Lapuertaquerealiza elproductologicoestambienllamada puertaY. Latabladeverdad para dosentradasquedacomosigue:

a b s

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

•Complementacion.:LapuertacomplementadoraestambienllamadapuertaNO.Latabla

deverdad es:

a s

0 1

1 0

quecoincideconladelanegacion,comoseesperaba.

•Sumalogicaexclusiva.Lafuncionsumalogicaexclusiva2 serepresentamedianteelsımbolo ⊕.Latabladeverdad es:

a b s=a⊕b 0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Estafuncionpuede obtenersecomocombinaciondelasfuncionesconocidasdelsiguiente modo: a⊕b=a·b+a·b,porloqueesposibleconstruirunapuertaO-exclusivoapartir depuertassuma,productoynegacion.

1EninglespuertaOR. 2Llamada eninglesfuncionXOR

•OnegadoeYnegado.Elcomplementariodelaoperacionsuma logicarecibeelnombre

defuncionNO-Oyeslafunciona+b.Similarmente,lafuncionNO-Yeselnegadodela

operacionproductologico.Pararealizar ambas funcionesbastaconconectarenserieuna

puertaO(oY)conunnegador. Enlapracticaexistencircuitosquerealizandirectamente

lasfuncionesNO-OyNO-Y.Elsımbolodeestaspuertasconsisteenanadiruncırculoen

lasalidacomosepuedeverenlafigura3.7.

En lafigura3.7puede versequealgunas puertas logicastienenmasdedosentradas.No

setratadeunerror, existencircuitosquerealizan elproductoolasuma logicademasdedos

variables ysurepresentacioneslaindicada enlafigura.

3.3 Ejemplosdecircuitoslogicos

Loscircuitos logicospermitenrealizar muchas funciones diferentes;por ellohan encontrado

aplicacionenlaautomatizaciondetareas.Equipostalescomo:semaforos,alarmas, interruptores

automaticos,etc.funcionangraciasacircuitosquecontienenpuertaslogicas.Enelambitode

lainformaticaestoscircuitossonlabasepara memorias, unidades decalculo,etc.

Amododeejemplosevanadescribir algunoscircuitosquetienenutilidadenmaquinasde

calculoautomatico.Enuncapıtuloposteriorsemostraranotroscircuitosqueforman partede

launidad aritmetico-logica.

3.3.1 Paridad

Estecircuitoproporciona unvalorunosielnumerodeentradasconvalorunoespar. Amodo

deejemploconsideremos uncircuitodedosentradasayb.Lasalidaphadevalerunocuando

ambosaybvalenceroocuandoambosvalen1.Aplicandoestareglalatabladeverdad resulta:

a b p

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

dedondesededucequep=ab+ab.

Laparidad detres bits a,bycpuede calcularse deforma parecida, resultandolafuncion

q =abc+abc+abc+abccomoesfacilcomprobar.

a b

S1

S2

S3

Figura 3.8:Circuitocomparador realizado conpuertaslogicas. 3.3.2 Comparador

Undispositivocomparador permiteaveriguar larelacionentredosbitsayb.Lassituacionesque

puedendarseson:a>b,a=boa<b,portanto,eldispositivocomparador hadeproporcionar

unodetres valores posibles. Considereseelcircuitodelafigura3.8seobserva quetienetres

salidass1,s2ys3.Elsignificadoeselsiguiente:

sia>b =⇒ s1=1,s2=s3=0 sia=b =⇒ s2=1,s1=s3=0 sia<b =⇒ s3=1,s1=s2=0

Esdecir,lasalidas1seactivacuando elprimer bitesmayorqueelsegundo. Lasegunda se

activacuando sonigualesylaterceracuando elsegundobitesmayorqueelprimero. Latabla

deverdad para lasdistintassalidasesfacildeobtener:

a b s1 s2 s3

0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0

Poraplicaciondelaregladesumasdeproductosalatablaanteriorseobtieneque

s1=a·b s2=a·b+a·b

s3=a·b

Conestasexpresionesesfacilcomponer eldiagrama mostradoenlafigura3.8.

3.3.3 Mayorıa

Uncircuitomayorıaadmiteun numeroNdeentradas quepueden valer 0o1. Lasalida del

circuitoesunosiysolosilamayorıadelassenalesdeentradavalen 1. Esdecir, elvalor de lasalida

eselindicado poreldelamayorıadelasentradas,porloqueestedispositivopuede usarsepara

calcular elganador deunavotacionenlaquehaydospropuestas.

Paraconcretarconsidereselafigura3.9donde elbloque simboliza elcircuitomayorıa.Se

hantomadotresentradasquesonlassenalese1,e2 ye3.Pordefinicion,lasalidashadevaler

unosiexistendosomasentradasquevalenuno;encasocontrariolasalidavalecero. Latabla

deverdad es:

e1 e2 e3 s

0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

e1 e2 e3

e1

e2 s s

e3

Figura 3.9:Circuitopara calcular lamayorıa.

Deestatablaseobtienelafuncionbooleana queverificaelcircuitomayorıa.

s=e1e2e3+e1e2e3+e1e2e3+e1e2e3

Larealizaciondelcircuitoconpuertas logicasnopresentaninguna dificultad,comopuede

verseenlamencionada figura 3.9. Nuevamenteseha obviado laposible simplificaciondela

funcionobtenida.

3.4 Ejercicios propuestos

Lossiguientes ejercicios sirven para consolidar las ideas masimportantes de

estetema.No simplificarlasfuncioneslogicaspara

eldisenodeloscircuitosconpuertaslogicas.

1. Sedeseaconstruiruncircuitoconpuertas logicas.Lasentradas

a,bycrepresentanlos bitsdeunnumerobinario

enterononegativo,ylasalidafvale”1”sielnumeroesuna

potenciaexactade2yceroencasocontrario.

2. Sedeseadisenaruncircuitoconpuertaslogicaspara convertirunnumerobinario,

detres bits,codificadoencomplementoa2alformatosigno-valorabsoluto.

3. Sedeseadisenaruncircuitoconpuertaslogicasqueduplique

unnumerobinarioenterode

3bitsnonegativo.

Álgebra De Boole

y

Puertas Lógicas

SUMA

0 + 0 = 0 1 + 1 = 1

0 + 1 = 1 1 + 0 = 1

MULTIPLICACIÓN

010

000

COMPLEMENTACION

001

111

0 = 1

1 = 0

Ejemplo con otros signos:

AAA

AA

A

A

AA

AA

AAA

AAA

1

11

11

0

0

001

010

1

1

00

00

1

0

A

AAA

AA

AA

A

A

AAA

TEOREMA DE MORGAN

CBACBA

CBAABC

Ejemplo:

CDABDADCBADBCADBCA )(

ABAABA )1( Factor Común

Ejercicios:

BABAA BABABAABAABAA )(

AB)A(A 1)1( ABAABAA

BCA

C)B)(A(A

BCBA

BCBAACABCABCBAACAA

)1(

)()1(

ABCABCCBA CBACBACBA

BAAC

C)AB)((A

)1()1(

)(

CBABAC

BCAABCBAACAABCBAACBCBAAC

1ABCCBA ABCABC

WY

W)(Y)YX(Z

WXZY

WYYXZWYXYZWYYXZ

)1)((

)()()()(

YXXYYX

)XYY)(XYX( YYXYYXXXYXYXYXXYXYYXYX ))(()())((

YXZZXY

)ZXZX(YXYZ ZX))ZXZX((Y)ZXZX(YZYX 1

1

ZWZYXYX

WWZWZX

WZZYYXXWZZYXYX

111

CBAB)AC(D

DCBAABCDCBCDBADCBA

CBADBDACCBADACCBADCBADACBCBAD

ABCDBBDACDBACBAABCDBBDACCCDBADDCBA

DCBAABCDDABCDACBDCBACDBADCBADCBADDABC

AADCBCDBADCBA

)()(

)(()()(

)(

)(

Puertas Lógicas

PUERTA NOT O INVERSORA

Se trata de una operación que solo maneja una variable de entrada y otra de salida. La salida

toma el estado opuesto o inverso del que tiene la entrada.

Tabla De La Verdad De La Puerta Inversora NOT

VALOR EN LA ENTRADA VALOR EN LA SALIDA

0 1

1 0

PUERTA OR O SUMADORA

Cuando distintas variables lógicas se combinan mediante la función OR, el resultado toma el

estado alto, verdadero o 1 si alguna de ellas tiene dicho estado. La ecuación que

representa la función OR de dos variables de entrada es la siguiente:

ENTRADA/INPUT SALIDA/OUTPUT

BAX

X = A + B

Tabla De La Verdad De La Puerta Sumadora OR

VALOR EN LA PARTE A VALOR EN LA PARTE B

VALOR OBTENIDO EN LA

SALIDA

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

PUERTA NOR O SUMADORA INVERSORA

Esta puerta produce la función inversa de la puerta OR, es decir, la negación de la suma lógica

de las variables de entrada. Su comportamiento es equivalente a la de la puerta OR

seguida de una NOT.

Tabla De La Verdad De La Puerta Sumadora Inversora NOR



SALIDA

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

PUERTA AND O MULTIPLICADORA

Cuando varias variables lógicas, de tipo binario, se combinan mediante la operación lógica

AND, producen una variable de salida, que solo toma el nivel lógico 1, estado alto o

verdadero, si todas ellas tienen dicho nivel o estado. La ecuación lógica de la función

AND para dos variables de entrada es la siguiente:

Tabla De La Verdad De La Puerta Multiplicadora AND



SALIDA

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

PUERTA NAND O MULTIPLICADORA INVERSORA

La puerta NAND produce la función inversa de la AND, o sea, la negación del producto lógico

de las variables de entrada. Actúa como una puerta AND seguida de una NOT.

BAX

Tabla De La Verdad De La Puerta Multiplicadora Inversora NAND



SALIDA

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

PUERTA OR EXCLUSIVA (OREX)

La salida de esta compuerta es 1, estado alto o verdadero si cada entrada es 1 pero excluye la

combinación cuando las dos entradas son 1. La función OR exclusiva tiene su propio

símbolo gráfico o puede expresarse en términos de operaciones complementarias AND,

OR.

Tabla De La Verdad De La Puerta OR Exclusiva (OREX)

VALOR EN LA PARTE A VALOR EN LA PARTE B VALOR OBTENIDO EN LA

COMPUERTA OREX

A

B

BABABAX

SALIDA

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

PUERTA NOR EXCLUSIVA (NOREX)

Tabla De La Verdad De La Puerta NOR Exclusiva (NOREX)



SALIDA

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

COMPUERTA NOREX

BAABBAX

PILA (1)

Ejercicios:

Implementar solo con NAND las puertas: NOT, OR, NOR y AND.

NOT OR

NOR AND

Implementar solo con NOR laspuertas: NOT, OR, NAND y AND

NOT OR

MASA (0)

AL AIRE (1)

AAA

BABA A

A

B

A

A

B

AB A + B

A + B BA

NAND AND

Implementar solo con NAND la puerta OREX.

Implementar solo con NOR la puerta OREX

Implementar solo con NAND la puerta NOREX

AAA

BA BA

A

B

BA

A

B

BA

BA

BABABA

A B

A

B

BA BA

A

B

BA

BA

BABA BAABBA

Implementar solo con NOR la puerta NOREX

Implementar Y+W con NAND Implementar Y+W con NOR

Implementar YXZ con AND

Implementar YXZ con NOR

A

B

BA

A + B

BABAAB

A

B

BA

BA ABBA

Y

W

WY

WY

WY

BABAAB

YX YXZYXZ

Ejercicios Hoja1:

A) Obtener simplificada la señal de salida.

B) Implementar con puertas la salida ya simplificada.

Esquema 1

Implementar con NOR Implementar con NAND

Implementar con las menos puertas posibles

Y

X

YX

Z

XY

YXZ

YXZ

A

BA

BA*

A BA BA BA

A BA

BAABA BAAABAA )(*

B

Esquema 2

BA

AB))(BABA((AB))BABA(*

BABAABAABAABABBABABAAB

BABAABBBAABABBAABAABBABABAABABAB

BABABAABBABA

)()(

)()())(()(

))(())()((

A)BB)(A(A** AAABBABABAABBBABAAA )(



01B1

A

0

10B

A

BA

B

ABBA

BA BA*

A**

Esquema 3

BA

AB))(BABA((AB))BABA(*

BABAABAABAABABBABABAAB

BABAABBBAABABBAABAABBABABAABABAB

BABABAABBABA

)()(

)()())(()(

))(())()((

BAB))(ABA( ABABABBAABBAABBABBABBAAA ))((**


111B

A

BA

ABBA

BA

BA*

B*A*

A

B BA

BA BABA

BA

A

B BA

BA

Esquema 4

BA

BCACABBCACAB*

)()1(

)()(

CCACACAB

BCCAABACBBCABBCACAB

ABCABCBA ABCABCABCBA ))((**

Implementar solo con NOR Implementar solo con NAND


Esquema 5

BA BA

B

ABC

CA

BA*

*ABC*

AB

BA

BA*

A

B

BA

C

BA

ABC

ABC

BA

BA

ABCBA

ABC

BA)BB)(AA( BABAABBABABABBBABAAA ))((*


Esquema 6


Esquema 7

A

B

BA

BA

BA BA

A

B

BA

BA

BA

BA

BA

BA

BA

A

B

BA

BA

BA BA

A

B

BA

BA

BA

Implementar con NOR

Implementar con NAND

Aplicación de Boole

Nada que use sistemas digitales podría haber sido diseñado sin las bases teóricas que definió

Boole.

Toda operación que se realiza en un sistema digital, ya sea un computador, un teléfono móvil,

un reloj o una calculadora utiliza las operaciones definidas por el álgebra de Boole para realizar

sus funciones. Unas veces estas funciones vendrán implementadas por software y otras por

hardware. Tengamos en cuenta que el álgebra de bool se extiende a partir de la lógica para

definir todas las operaciones aritméticas como la suma o la multiplicación.

AB

BA

BA BA

A

B BA

BA BABA

BA

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