Algebra abstracta Semestre 4

Fascículo No. 6

Tabla de contenido Tuplas, sucesiones y conjuntos de potencia

Par ordenado

Producto cartesiano

Colecciones de conjuntos

Sucesiones y cadenas

Resumen

Bibliografía recomendada

Párrafo nexo

Autoevaluación formativa

Tuplas, sucesiones y conjuntos de potencia

En esta parte del curso, estudiarás los conceptos de tuplas, sucesiones y

conjuntos de potencia; se analizará el comportamiento de par ordenado, producto

cartesiano, colecciones de conjuntos, sucesiones y cadenas, de tal manera, que

se estudien cierto número de estructuras relacionadas con los conjuntos.

Entenderás que las tuplas son útiles para organizar datos y muchos archivos que

contienen registros y comprenderás que ellas están relacionadas con las

sucesiones y cadenas y que éstas últimas son muy importantes en informática.

Indicadores de logro Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:

•

•

•

•

Reconoce y da ejemplos de tuplas.

Analiza el concepto de sucesiones y cadenas.

Diferencia par ordenado y producto cartesiano.

Analiza las colecciones de conjuntos.

Tuplas Dos objetos dados en cierto orden forman un par. Por ejemplo:

1. Un matrimonio es un par, que consta de esposa y esposo.

2. En el directorio telefónico de algunas compañías, cada entrada consta de un

par, un nombre y un número de teléfono.

3. Un punto del hemisferio norte puede expresarse mediante un par de números:

su longitud y su latitud.

En general, si x e y son dos objetos, se puede formar un par de forma que consta

de x e y, y este par se denota como (x, y). Es importante tener en cuenta el orden

del par, por ejemplo, en el caso del ejemplo 3, un punto en el hemisferio norte

puede ser representado por (x, y), donde x es la latitud y y es la longitud. Por lo

cual, si se tiene (41, 74) es un punto con latitud 41 y longitud 74, y este punto está

muy cercano a la ciudad de Nueva York. Pero, si el punto fuera (74, 41), es un

punto con latitud 74 y longitud 41, situado en medio de Groenlandia; de tal

manera, que es muy importante tener en cuenta el orden del par.

Los dos elementos que forman el par no necesitan pertenecer al mismo conjunto.

Por ejemplo, los pares encontrados en el directorio telefónico, constan de un

nombre, que es un elemento del conjunto de nombres, junto con un número, que

es un elemento del conjunto de los números.

Los pares constan de dos objetos; por lo general se pueden crear n-tuplas, que

constan de n objetos, colocados en cierto orden. En lugar de n-tuplas, se utiliza el

término tuplas.

Par ordenado

Un par ordenado de elementos, se denota por (a, b), el cual se considera distinto

del par ordenado (b, a), a menos que, a = b.

Si se expresa de otra manera, se tiene:

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d

Producto cartesiano

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. El conjunto de todos los pares ordenados

tal que el primer miembro del par ordenado es un elemento de A y el segundo

miembro es un elemento de B, se llama el producto cartesiano de A y B y se

escribe A x B. Por lo cual:

A x B = {(x, y) ⎟ (x ∈ A) ∧ (y ∈ B)}

Ejemplo

Sea A = {Mary, Rosa} y B = {Jaime, Beni, Braulio}. Halle el conjunto A x B.

Entonces se tiene:

El conjunto A x B es el conjunto de todas las parejas en las cuales el primer

elemento es Mary o Rosa y el segundo Jaime, Beni o Braulio. Entonces, se puede

escribir en forma de conjunto o en forma tabular:

En forma de conjunto:

A x B = {(Mary, Jaime), (Mary, Beni), (Mary, Braulio), (Rosa, Jaime),(Rosa, Beni),

(Rosa, Braulio)}

En forma tabular:

Jaime Beni Braulio

Mary (Mary, Jaime) (Mary, Beni) (Mary, Braulio)

Rosa (Rosa, Jaime) (Rosa, Beni) (Rosa, Braulio)

Propiedades

1. Si A ≠ ∅ ∧ B ≠ ∅ ∧ A ≠ B → A x B ≠ B x A

2. Si A x B = ∅ ⇔ A = ∅ ∨ B = ∅

3. (A U B) x C = (A x C) U (B x C)

4. (A ∩ B) x C = (A x C) ∩ (B x C)

5. (A - B) x C = (A x C) - (B x C)

Ejemplo

A x B = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B}

Entonces, se tiene que:

A = {1, 2, 3} B = {a, b, c, d}

Luego:

A x B = {[(1, a), (1, b), (1, c), (1, d), (2, a), (2, b), (2, c), (2, d), (3, a), (3, b), (3, c),

(3, d)]}

B x A = {[(a,1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (d, 1), (d, 2), (d,

3)]}

Ojo: elaborar gráfica según modelo.

Observación

Puedes darte cuenta que A x B ≠ B x A, por lo cual se concluye que no es

conmutativa.

Actividad 6.1

1. Si A = {α, β} y B ={1, 2, 3}, ¿qué son A x B, B x A y B x B?

2. Halle, {a} x N, a ∈ N

Colecciones de conjuntos Una familia de conjuntos de A1, A2, A3...An... finita o infinita, la notaremos: Ai y las

operaciones, entonces, pueden ser generalizadas, por lo cual:

iIi

i AxIiAx ∈∈∃⇔∈∈

,∪

iIi

i AxIiAx ∉∈∀⇔∉∈

,∪{ }iAxxA

Iii ∃∈=

∈

,/∪

iIi

i AxIiAx ∈∈∀⇔∈∈

,∩i

Iii AxIiAx ∉∈∃⇔∉

∈

,∩},/{ iAxxA i

Iii ∀∈=

∈∩

Propiedades:

''

.2 ∪∩Ii

iIi

i AA∈∈

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛''

.1 ∩∪Ii

iIi

i AA∈∈

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3. Si A es un conjunto y Bi ⊂ A. ∀i entonces:

∩∪Ii

iIi

i BABAa∈∈

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− )(. ∪∩

Iii

Iii BABAb

∈∈

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− )(.

∪ ∩∩ ∪Ii

iiIi

i BBBBc∈∈

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ )(. ( )∩ ∪∪ ∩Ii

iIi

i BBBBd∈∈

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

∪ ∩∩ ∪∪JjIi

jiIi

iIi

i BABA∈∈∈∈

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ )(.4

∩ ∪∪ ∩∩JjIi

jiJj

jIi

i BABA∈∈∈∈

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ )(.5

Actividad 6.2

Demuestre las siguientes propiedades:

''

∪∩Ii

iIi

i AA∈∈

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∪∩Ii

iIi

i BABA∈∈

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− )(

Sucesiones y cadenas Se necesita un conjunto inicial A, donde A puede ser el conjunto de los números

naturales, el conjunto de los enteros, el conjunto {0, 1}, o el conjunto de todos los

caracteres ASCII, de tal manera, que se pueda formar una sucesión.

Se puede formar una sucesión siempre y cuando todos los elementos sean

miembros de A, y así, se dice que la sucesión está sobre A.

Observación

Las sucesiones se denotan con corchetes angulares.

Ejemplo

⟨2, 4, 8, 16,...⟩

⟨1, 2, 1, 2, 1,...⟩

⟨3, 5, 3, 7,...⟩

⟨ ⟩

Estos tres ejemplos son sucesiones sobre N.

Las dos primeras sucesiones son sucesiones infinitas, es decir, que no tienen

final; en cambio, la tercera sucesión es finita y tiene una longitud de 4. La longitud

de una sucesión es el número de objetos en la sucesión, contado cada objeto con

la multiplicidad con que aparece. La última de estas sucesiones es una sucesión

vacía y se representa por ε.

Ladillo Longitud de una sucesión: es el número de objetos en la sucesión, contado cada objeto con la multiplicidad con que aparece.

Una sucesión de longitud n, es una n-tupla. Entonces, cada sucesión de longitud n

sobre A debe de ser un miembro del producto cartesiano An. El conjunto de las

sucesiones no vacías de longitud no menor está dado por:

A1 U A2 U ... U An

El conjunto de todas las sucesiones finitas no vacías, usualmente denotado por A+

es por tanto,

A+ = A1 U A2 U A3...

Si A0 es el conjunto que contiene la sucesión vacía ⟨ ⟩ como único miembro,

entonces el conjunto de todas las sucesiones, incluyendo la sucesión vacía, se

convierte en:

A* = A0 U A+ = A0 U A1 U A2 U A3 ...

Ejemplo

Sea B = {0, 1} el conjunto de bits. Un byte, que son 8 bits, es entonces, una

sucesión de longitud 8 sobre B; quiere decir, es un miembro de B8.

Las sucesiones de caracteres son obviamente de gran importancia en informática,

y se llaman cadenas (o arreglos) ("strings"). El conjunto de caracteres sobre el

cual se forma la cadena se llama, alfabeto.

Ladillo Alfabeto: conjunto de caracteres sobre el cual se forma una cadena.

Las cadenas están limitadas por una comilla simple, como en el caso de la cadena

'abdx'. Esta cadena consta de cuatro caracteres a, b, d, y x en ese orden. La

cadena vacía se representa por ε, como en el caso de cualquier otra sucesión, o

por ``, o por λ.

Una operación importante en las sucesiones es la concatenación. Para concatenar

dos sucesiones x e y, primero se escriben todos los elementos de x, y después

todos los de y . La concatenación es una operación sobre las sucesiones,

incluyendo las cadenas. El símbolo de la concatenación está dado por: �

Ladillo Concatenación: operación que se realiza sobre las sucesiones, incluyendo las cadenas. No es conmutativa pero sí asociativa. Ejemplo

La concatenación dada para: ⟨3, 5, 4⟩ y ⟨4, 2, 7⟩, está dada por:

⟨3, 5, 4⟩ � ⟨4, 2, 7⟩ = ⟨3, 5, 4, 4, 2, 7⟩

La concatenación al ser una operación, no es conmutativa, es decir, x � y = y s x

no es necesariamente verdadera. La concatenación es asociativa, no importa el

orden en que se efectúe la concatenación. Por ejemplo, ('ab' � 'cd') � 'ef' y 'ab' �

('cd' � 'ef'), producen 'abcdef'.

Ejemplo

La solución de X � 'no' = 'camino' para X produce X = 'cami'.

Si existen valores X e Y tales que X � Z � Y = U, entonces se dice que Z es una

subcadena de U. Por ejemplo, 'min' es una subcadena de 'camino' porque hay

valores de X e Y, esto es, X = 'ca' e Y = 'no',

tales que X � 'mi' � Y = 'camino'.

Resumen En este fascículo se estudiaron los conceptos de tuplas, sucesiones y conjuntos

de potencia; se analizó el comportamiento de par ordenado, producto cartesiano,

colecciones de conjuntos, sucesiones y cadenas.

Bibliografía recomendada JOHNSONBAUGH, Richard. Matemáticas discretas. México: Grupo Editorial

Iberoamérica, 1988, capítulo 2.

GROSSMAN, Stanley. Matemática discreta y lógica. México: Grupo Editorial

Iberoamérica, 1988, capítulo 5. Párrafo nexo En el siguiente fascículo, se estudiarán las relaciones, se analizarán los conceptos

de relación, relación binaria, digrafos, dominios y rangos, relación inversa,

composición de relaciones, reflexiva, simétrica, antisimétrica, transitiva y relación

de equivalencia .

Autoevaluación formativa 1. Un byte es un 8-tupla de bits. Exprese el conjunto de todos los bytes como un

producto cartesiano.

2. Un restaurante sirve cuatro entradas:

r = costillas n = ensalada s = salami f = queso fundido

y tres platos principales:

c = pollo b = bistec t = trucha

Defina el producto cartesiano A x M, donde A es el conjunto de entradas y M es el

conjunto de platos principales.

3. Demuestre las siguientes propiedades:

∩ ∪∪ ∩∩JjIi

jiJj

jIi

i BABA∈∈∈∈

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ )(

4. Halle, N x Z