algebra 4to sec

Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista

55

CAPÍTULO I

TEORÍA DE EXPONENTES Y RADICALES I Propiedades de la Potenciación 1. Multiplicación de Potencias de Bases

Iguales.

am

. an = a

m + n

2. División de Potencias de Bases iguales

am

: an = a

m – n ó a

m = a

m – n

an

Casos particulares: 1. Si m = n, entonces: a

m = a

m – n

an

1 = a0 / a 0

3. Potencia de una Multiplicación

(a . b)n = a

n . b

n

Ejemplos: __ 2 2 __ 1

(1) 1 . 10 = 1 . (10 ) 4 4 1 x 10 = 10 16 16

4. Potencia de una División

a n = a

n / b 0

b bn

Ejemplos: __ 4 __ 4

(1) 2 = 2

3 35

2

2 = 4

81 81

5. Potencia de Potencia

(am

)n = a

mn

Ejemplos:

3

(1) [(0,5)2] = (0,5)

6

6. Exponente Negativo:

a

-n = 1 ó 1 = a

n

an

Ejem: 7

–2 3

2

3 7 1

–1 3

1

3 1

EJERCICIOS 1. Reducir M a su mínima expresión:

M = [(x

2y

3)2]

x12

y18

2. Hallar el valor de Q en: E = 2

a+3 = 64

23

3. Efectuar: 156 x 12

4 x 5

9 x 6

3 =

1011

x 313

x 54

a) 2 b) 3 c) 1 d) 5 e) 4

4. Efectuar: 311

+ 212

= 3x3

7 4

3 x (-2)

5

a) 15 b) 10 c) –25 d) 25 e) 27


56

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN __

Por definición: na = r a = r

n

__

Ejemplo: 3 8 = 2 2

3 8

1) Raíz de una Potencia:

__ m m n

a = an

___

18

Ejm: 3a

18 = a

3 = a

6

2) Raíz de una Multiplicación:

_____ __ __ n a x b =

n a x

n b

______ __ __

Ejm: 4 x 16 = 4 x 6 2 x 4 = 8

3) Raíz de una División: ___

n a =

n a b 0

b n b

Ejm: __

(1) 3 x

4 =

3 x

4

y 3 y

4) Raíz de Raíz:

m n p m x n x p

a = a Ejm: 5 3 12

32

32 = 32 = 2

5) Potencia de una Raíz __ m ___

n a =

n a

m

Ejm: __ 2 ___

1) 3 4 =

3 4

2

___ __

2) 3 2

3 = (

3 2 )

3

3) Efectuar: E = [32 – 32

0,8 , 32

0,6 – 32

0,4]

a) 4 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64

PROBLEMAS PARA LA CLASE Teoría de exponentes y Radicales (I) (1) Reducir:

0 25-1

__ 28

7 3-8 + 3

5 + (-3)

0

a) 5 b) 25 c) 1/5 d) 3 e) 0

(2) Efectuar:

7

-70

2562

a) 16 b) 18 c) 12 d) 10 e) 13


57

(3) Efectuar:

-70

-4-2

1259

a) 25 b) 5 c) 15 d) 125 e) 1

(4) Efectuar: 0

2

-2-8

[0,01]

-4

a) 10 b) 1 c) 5 d) 2 e) 100

(5) Reducir: 32

__

P = 2 2 2 2 2 a) 2 b) 8 c) 2

32 d) 2

3 e) 2

31/32

(6) Reducir:

E = 7

n+2 – 7(

7n)

7(7n-1

) a) 10 b) 25 c) 5 d) 42 e) 21

(7) Reducir: 12

3 x 6

3

94 x 2

10

a) 4 b) 2 c) 2

5 d) ½ e) ¼

(8) Hallar el valor de “m” para que se cumpla la sgte. igualdad: y

3 x

8m+1

y6

(9) Efectuar: [0,01]

4[0,0001]

3

[0,0000001]2

a) 0,01 b) 1/5 c) 0,1 d) ½ e) 10

-6

(10) Calcular “x” si: x =

25 (0,0001)

5 (0,001)

3

(0,01)2

__

a) 1 b) 2510 c) 0,1

d) 0,001 e) 10

(11) Reducir: _____ 1-10

0

-70 +

357658 + (-7)

0

a) 7 b) 1 c) 2 d) 13 e) 0

(12) Simplificar: 5(4

x-1)__

4x-2

+ 22x-2

a) –4 b) 1 c) 16 d) 2 e) 4

(13) Simplificar:

-1

-16-2

1 -16

100 a) 6 b) 8 c) 10 d) 100 e) 2

(14) Si: 5x + 5

x+1 + 5

x+2 = 3875

Hallar: “x” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


58

PRÁCTICA DOMICILIARIA 1. Simplificar:

3a+2

+ 3a(3

3)

3a+1

+ 3a+2

a) 3 b) 6 c) 1 d) 9 e) 12

2. Efectuar: [0,02]

2 [0,003]

3___

(0,0108)(0,000000001) a) 10 b) 2 c) –1 d) 1 e) 0

3. Efectuar: 3

8 + 2

10_

35 4

3(-2)

3

a) 15 b) 10 c) –25 d) 25 e) 27

4. Simplificar:

3x+1

+ 3x+2

9[3

x-2]

a) 15 b) 9 c) 3 d) 12 e) 18

5. Reducir:

F = 7n+2

– 7(7n)

7(7n-1

) a) 10 b) 26 c) 5 d) 42 e) 21

6. Reducir:

F = 5(4x-1

)_ 7

x+2 + 2

2x-2

a) –4 b) 1 c) 16 d) 2 e) 4

7. Reducir: 70

4-2

2

–2 + 4

–1 + 1

–3

5 7 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Reducir: 5(6

x)_____

[2x+3

– 2x+1

– 2x]

a) 3

x b) 6 c) 2 d) 1 e) 8

9. Reducir: pq (p

q)r-p

. (qp)q-r

(qp . p

-q)-r

a) 1 b) p c) q d) pq e) q/p

10. Calcular: 20

n+1___ 5

n-1 + 3

n-1

n 4

n+2 + 2

2n+2 +

n-1 5

1-n + 3

1-n

a) 1 b) 5 c) 15 d) 20 e) 25

11. Reducir: m-n

6m

.3n + 2

m+n

6n.3

m + 4

n

a) m b) n c) 1 d) 2 e) N.A.

12. Calcular: x = 25

(0.0001)5 + (0.001)

3

(0.01)2

__

a) 1 b) 2510 c) 0.1 d) 0.01 e)

10

13. Calcular:

0

4-5

E = 516

a) 1 b) 5 c) 25 d) 8 e) N.A.

14. Calcular el valor de “m” en la siguiente igualdad: x

m x

m+2 = x

3

a) 1 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3


59

CAPÍTULO II

TEORÍA DE EXPONENTES Y RADICALES (II) (1) Indicar cuál es falso:

-6-2

-90

I. –3 = – 1 -3

27

II. 1

–1 + 1

–1 + 1

–1 = 12

5 3 4

III. 2n+8

: 2n+3

= 32 a) solo I b) solo II c) solo III d) I y II e) N.A.

(2) Simplificar:

R = nnn

nn

52

52

a) 7 b) 3 c) 10

d) n 10 e) n 5

(3) Simplificar: T = 2

n+8 + 2

n+7 + 2

n+5

26. (2n)

a) 8 b) 64 c) 32 d) 16 e) 4

(4) Simplificar: 8

n+2 + 8

n – 4 x 2

n-2

–1

(4n) (2

n) 2

n+5 + 4 x 2

n

a) 12 b) 28 c) 29 d) 16 e) 72

(5) Simplificar:

2 -3

0

-16-2

1 -16

: 4 x 8m+1

– 2 x 8m

81 8

m + 2

3m+1

a) 1 b) 2 c) ½ d) 1/3 e) -1

(6) Simplificar: E = [32 – 32

0.8 – 32

0.6 – 32

0.4]1.5

a) 64 b) 24 c) 32 d) 8 e) 16

(7) Simplificar:

Q = 6432

432

222

222

xxx

xxx

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 24

(8) Reducir:

1

E = [(32)-0,4

– (32)-0,6

]2

_ _

a) 0,5 b) 2 c) 2 d) 4 e) 3

(9) Simplificar: -2

-1 -2

-1

A = [16-4

]

(10) Hallar E, en: E = 8 4

–2 – 2

–3 – 8

–1

5 3 9 a) 3 b) –2 c) 1 d) 2 e) 4

(11) Efectuar:

R = 2

1

223 2253627111

a) 1 b) 2 c) 4 e) ½ e) ¼


60

PRÁCTICA DOMICILIARIA (1) Reducir:

5,0

322

3

1

3

12

2

1

a) 6 b) 6 c) 7

d) 7 e) 7

7

(2) Simplificar:

5 _

5 55 5 _

(210

) – 5 55

a) 2 b) 3 c) 1/3 d) ½ e) ¼

(3) Hallar el valor del exponente de x si: E = x : x : x a) ¾ b) 3/8 c) ½ d) 5/16 e) 8/3

(4) Hallar x, si: 9

x-1 – 6 = 3

x-1

_

a) ½ b) -2 c) –2 d) 2 e) 1

(5) Hallar x, si:

8x+1

= 4x-2

a) 4 b) 7 c) –2 d) –7 e) –1

(6) Calcular x, si:

x

232

= 256 a) 3/5 b) 5/3 c) 4/3 d) ¾ e) 4

(7) Si: xx-2

= 16 El valor de “x” es: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4

(8) Hallar el valor de x, si:

xx+1

= 81 a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 1

(9) Hallar x, si: 12

2x+1 = 3

x+3

4x+3

a) 4 b) 3 c) –3 d) 2 e) 1

(10) Hallar x, en: 9x+2

= 720 + 9x

a) 4 b) 1 c) –4 d) 2 e) 3 x

(11) Si xx = 2, hallar:

x x x

E = x x + x + x

a) 8 b) 4 c) 32 d) 16 e) N.A.

(12) Simplificar: E =

a-b 5

a-b + 2

a-b

5b-a

+ 2b-a

a) 10 b) 18 c) 6 d) 4 e) 2

(13) Efectuar:

F = (64) 3

1

+ (–32) 3

1

a) 3 b) 4 c) 5 d) 1 e) 2

(14) Hallar “x” si: 7

3x-2 + 7

2 = 50

a) 1/3 b) ¾ c) 2 d) 2/3 e) 0

(15) Calcular el valor de:

n9 + 1

n

9 90

9 9 9

n + 2 + 3

2n

+ 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 10 e) 12

(16) Calcular: -1

-32-5

E = 1616

a) 1 b) –1 c) 4 d) 2 e) ½

3

1


61

CAPÍTULO III

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Es un conjunto finito de constantes y variables con exponentes racionales fijos, relacionados por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Consta de 3 partes: Ejemplos: Exponentes – 2 x a Signo Variables

Coeficiente

Términos Semejantes y Reducción a) –2x

3, 4x

3, -6x

3, x

3 Son semejantes

Aplicación: -Sea: (2a-1)x

a+3 , (a+1)x

5

Semejantes Reducir

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1) Reducir si son semejantes las expresiones:

T1 = 2c x c+9

; T2 = (2+c)x 4c-3

a) 14x

3 b) 16x

3 c) 17x

12

d) 17x11

e) 14x12

2) Reducir si son semejantes: 7ax

a + 3ax

2a-3

a) 3 b) 10 c) 30 d) a e) N.A.

3) Si A y B son términos semejantes. Hallar: x+y A = 12a

4x-6 b

15 ; B = 6a

18b

5+2y

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

4) Reducir si los términos son semejantes.

P(x) = (a – c)x

a+1 – 3acx

10 + (a+c)x

4-c

a) 50 b) 100 c) 150 d) 180 e) 200

5) En la siguiente expresión señalar el valor

de “C” bx

2a-5 + cx

4-a = ax

b-3

a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2

6) Reducir si sus términos son semejantes: P(x) = (a+b)x

a + 3(a+2b)x

b – 5abx

2

a) 2x

2 b) x

2 c) -2x

2 d) 4x

2 e) 6x

2

7) Reducir si son semejantes. -6mz

m + 5mz

8 – 3mz

8

a) 32z

8 b) –16z

8 c) –32z

8 d) z

8

e) imposible

8) El siguiente polinomio es reducible a un solo término ¿cuál es el coeficiente de dicho término?

P(x) = (a-b)xa+1

– 3acx7 + (a+c)x

5-c

a) 40x

7 b) 25x

7 c) 48x

7 d) 17x

7 e) x

7


62

9) En la siguiente expresión señalar el valor m, son semejantes. cx

2 + bx

b-1 + ax

c-2 = mx

a+3

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

10) Si los términos son semejantes. Hallar “m” 3x

2a+b y

2m-4 + x

c+d y

4m+b = 4x

p y

5m-4

a) 20 b) 25 c) 22 d) 24 e) 23

TAREA DOMICILIARIA 1) Relacione la columna A con la columna B.

I. Termino Algebraico ( ) -4 II. Parte variable ( ) 5xy + 4x

3

III. Expresión algebraica ( ) x3 y

2

IV. Constante ( ) 2mn + 4mn Términos semejantes ( ) 12xyz

2) Calcular el valor de 2a+3b; si los tres términos son semejantes.

__

a ya+b

; 3y7+b

; 4y9

a) 10 b) 15 c) 20 d) 21 e) 22

3) Calcular 4m+2, sabiendo que T1 y T2 son

semejantes: T1 = 2x

m+3 ; T2 = 4x

10

a) 10 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35

4) ¿Cuál es el triple de a, si los siguientes

términos son semejantes? 6x

3a-2 ; -2x

13

a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15

5) Si A y B son términos semejantes. Hallar: 2x-y A = 6a

3x-4 b

16 B = 8a

17b

2y-2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6) La siguiente expresión es reducible a un solo término ¿cuál es el coeficiente de dicho término? Q(x) = mx

2a-5 + (m+n)x

7 + 6x

2m+n

a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15

7) En la expresión calcular “c” si son semejantes. bx

20-4 + cx

3a-8 = a2x

2b+2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8) En la expresión, calcular “m” mx

4 + nx

n-3 + px

p-4 = 4x

r

a) 12 b) 11 c) –11 d) 10 e) 9

9) Reducir si los términos son semejantes: (m + t)y

m+1 + y

8 – (m – t)y

t+7

a) y

8 b) 6y

8 c) 15y

8 d) 3y

8 e)

9y8

10) Reducir si son semejantes los términos.

P(x) = (a+b)x9 + (a+1)x

b+1 – abx

5

a) 8x

5 b) 5x

5 c) –1x

5 d) –5x

5 e)

N.A.

11) Sabiendo que la expresión mostrada: a

2+b

2

F(x) = 6x + bx2ab

– 2ax32

Hallar: a+b a) 5 b) 6 c) 8 d) 2 e) 1


63

CAPÍTULO IV

POLINOMIOS EN IR Es una expresión algebraica racional entera que consta de 2 o más términos unidos por las operaciones ya conocidas. Nota.

Cantidad finita de términos.

Los exponentes de las variables deben ser enteros positivos o cero.

Los denominados no deben tener variables Ejm: 1) 4x

2 – 5x + 1

2

_______

2) 3 x2 +x +1

3) 5x

-1 + 4x

Notación Polinómica

P(x) = a0x0 + a1x

1 + a2x

2 + a3x

3 + ....... anx

n

VALOR NUMÉRICO Es el número real que resulta al reemplazar valores dados de las variables en un determinado polinomio y efectuar las operaciones indicadas. Ejm: (1) Hallar el v.n. de:

S = (2x-1)

2 + (2y-1)

2 + (2z-1)

2

Para x = -2 y = -1 z = -3 Rpta. 83

(2) Calcular: M = P(2) + P(-1)

P(0) – P(1) Si: P(x) = x

3 + 3x

2 + 3x + 1

a) 27 b) 13 c) 54 d) –27 e) 0

(3) Si F (x+2) = x + F(x) y F(3) = 1 Hallar F(5) + F(1)

a) 2 b) 1 c) 6 d) –4 e) 4

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) Hallar el valor numérico de:

2xy2 + 3x

2y, para x = -3; y = -1

a) 24 b) –28 c) –33 d) –15 e) 52

2) Si: P(x,4) = x3 + 3x + 8

Hallar: P(6) a) 20 b) 26 c) 18 d) 24 e) 22


64

3) Si: x = -2 ; y = -1 ; z = 10, hallar: E

2 (x,y,z) = 2z + xy – 6

a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 5

4) Se sabe que:

F(x) = 2(x-1); x Z+, hallar F(C)

Si: C = F(6) + F(2) – 12 a) –4 b) –2 c) 0 d) 2 e) 4

5) Sean: F(x) = x + 5 2

G(x) = x

2 + x – 3

Hallar: F[G(2)] a) 5 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

6) Sabiendo que: F(a) = a + 2 a – 1

Hallar: F[F[F[F(2)]]] a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

7) Si P(x) = 2x – 3 Hallar P(x+2) a) 2x+7 b) x+3 c) 2x+1 d) 2x+3 e) x+7

8) Si P(x) = x3 – 2x

2 + 1

Hallar: M = P[P[P[P(0)]]] a) 1 b) 0 c) 16 d) 2 e) N.A.

9) Si: P(2x-1) = 8x+4 Hallar: P(x) a) 4x+7 b) 4x+6 c) 4x+3 d) 4x+8 e) N.A.

10) P(x) = 2x – 5 Además: P(3x –1) = ax+b Hallar (a+b) a) 6 b) –7 c) –1 d) –2 e) N.A.

11) P(x) = 2x+1 Q(x) = x – 3 Hallar: P[Q(x)] a) 2x+5 b) 2x-5 c) 2x+1 d) 2x-1 e) N.A.

PRÁCTICA DOMICILIARIA 1. Si: P(x) = 5x+4

Q(x) = x-3 Calcular: P[Q(5)] a) 2 b) 4 c) 10 d) 14 e) 18

2. Si: P(x) = 2x+3 Q(x) = 3x+2

Calcular: P[Q(x)] – Q[P(x)] a) 1 b) -2 c) -3 d) -4 e) –10


65

3. Si: F(x) = 2x2 – 1

Hallar: E = F(2)

F(1) – F(0)

F(-2) + F(-1) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1

4. Si: P(x) = ax2 + b

Además P[P(x)] = 8x4 + 24x

2 + c

Hallar: I = a+b+c a) 12 b) 28 c) 30 d) 40 e) 26

5. Si:

x = 1 F(x) = x+1 x-1

Calcular: F[F(x)] a) x b) x

2 c) 1 d) –x e) 8x

x

6. Si: P(x) = x2 – 1

Hallar: S = P[P(x)] – x

2 P(x)

a) –x b) –x

2 c) –x

3 d) –x

4 e) –x

8

7. Si: R(x-1) = 16x

96 – 2x

99 + 2x + 3

Hallar: R(1) a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9

8. Si: P(x) = x y P[F(x) + G(x)] = x+4 P[F(x) – G(x)] = x – 2 Calcular:

F[G(1)] a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 10

CAPÍTULO V

GRADO DE UN POLINOMIO

1) MONOMIO a) Grado Absoluto de un Monomio (GA)

Es la suma de los exponentes de las variables. 1. 3x

3y

4 GA = 3+4 = 7

b) Grado Relativo de un Monomio (GR) Está dado por el exponente de la variable referida.

Ejm:

5x

3y

7z

4 GRx = 3 , GRy = 7 , GRz = 4

2) POLINOMIO a) Grado Absoluto de un Polinomio

Está dado por el mayor de los grados absolutos de sus términos. Ejm: _

1. x5 + 5 x

2y

6 – y

3 = P(x,y)

5° 8° 3° P(x,y) es GA = 8°

b) Grado Relativo de un Polinomio Está dado por el mayor de los exponentes de las variables referidas. 1. 3x

4y – 5x

3y

7 + 2x

5y – y

4

GRx = 5 GRy = 7 2. P(a,b,c) = 5a

3b – b

4 + bac

3

GRa = 3 GRb = 4 GRc = 3


66


1) En: M(x,y) = 2ab2x

2a+5by

5a+2b

Si: G.A (M) = 35 G,Ry = 13 Hallar el coeficiente: a) 64 b) 32 c) 16 d) 8 e) 48

2) En el siguiente polinomio: P(x) = 2x

a-2 + 6x

a-4 + 8x

a-6

Calcular el valor de “a”. Si: GA = 13 a) 15 b) 14 c) 13 d) 10 e) 12

3) En: P(x,y) = mx3n

+ x3n-1

y5m+2

+ y5m-6

Si: G.Ry = 2G.Rx. Hallar G.A. a) 13 b) 17 c) 14 d) 10 e) 8

4) El grado de P(x) es 24 Hallar “m” en: P(x) = (x

m+3) (x

m+1) (x

m+2)

a) 1 b) 2 c) 6 d) 7 e) 8

5) En el polinomio: P(x,y) = ax

a-4 + 3x

ay

3 + 2y

6

Calcular la suma de sus coeficientes. Si: GA = 12 a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16

6) Indicar la suma de coeficientes del

polinomio: P(x,y) = ax

a-4y

b–2 + bx

a+2y

b – 4x

a-2y

b+3

Siendo GA = 8 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7) Calcular el valor de “n” en: n n

P(x,y) = 6x2y

3 + 2x

2y

2 + 1, siendo: G.A = 5

a) 6 b) 8 c) 4 d) 5 e) 2

8) Dado el monomio:

M(x,y) = 4a

bx

2a+3by

5b-a

Si GA(M) = 10 GR(x) = 7 Señalar su coeficiente. a) 2 b) 4 c) 8 d) 16

9) Dado el monomio: M(x,y) = (a+b)x

2a-2y

3b

Donde: Coef(M) = 7 y G.Rx = 6 Hallar a . b a) 5 b) 7 c) 12 d) 35 e) 42

10) Hallar “n”, si la expresión es de 2° grado.

42

42

3232

xx

xxx

n

nn


67

TAREA DOMICILIARIA 1) La suma de coeficientes del polinomio:

P(x) = 4x5 + 5x

4 – 6x

3 – (7-n)x + 3n es de 16

Señalar el término independiente: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9

2) En el polinomio: P(x,y) = x

7 – 4x

2y

b + by

b+3

Calcular la suma de coeficientes. Si GRy = 10 a) 0 b) 1 c) 2 d) 6 e) 4

3) En el polinomio: P(x,y) = nx

n-3 + 2x

ny

2 + 4yn

Calcular la suma de sus coeficientes, si: GA = 8 a) 10 b) 11 c) 12 d)14 e) 15

4) Señalar la suma de coeficientes del polinomio:

n n

P(x) = nx2 + 2nx

3 + 3x

7-n – 4x

n-5

Si: n < 9 a) 19 b) 17 c) 15 d) 13 e) 11

5) Determine el mayor grado relativo de una de sus variables: P(x,y) = x

2k+4y

k+2 + x

2k-1y

k+1 + 4x

k+2y

2k-1

Sabiendo que Ga del polinomio es 15. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 13

6) En el siguiente polinomio: n-3 6-3n

P(x,y) = (n + 3)x 2 + 2ny

3

Calcular: “n” Si GRx = 2 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7

7) Dado el polinomio: P(x,y) = a

a-2y

b+5 + 2x

a-3y

b + x

a-1y

b+6

Donde: G.A. = 17 G.R(x) = 4 Hallar: (a – b)

2

a) 2 b) –2 c) 4 d) –4 e) 16

8) Si, el G.A de: P(x,y) = x

2n-3y

2n – 3x

n-3y

3n-1 + 5x

2n+1y

2n-5

es 17, Hallar (n-1)2

a) 4 b) 9 c) 16 d) 25 e) 36

9) Hallar: G.A, en: P(x,y) = 5y

2n + 6x

n+2y

3 – x

ny

2n+1 – 3

Si: G.Ry = 7 a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

10) Hallar (m+n), si en: P(x,y) = (m-2)x

3y

n-2; además el coeficiente

es 5 y G.Ry = 4 a) 17 b) 14 c) 15 d) 20 e) 13

11) Sea P(x,y) = mxm+2

yn + nx

2m+2y

n+1 si la

suma de coeficientes es 7 y G.Ry = 5; hallar G.A a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15


68

CAPÍTULO VI

POLINOMIOS ESPECIALES 1. Polinomios Completos y Ordenados:

Son los que presentan un orden ascendente o descendente en los exponentes de sus variables teniendo todos desde el mayor hasta cero y viceversa. Ejemplo: __

P(x) = 3x4 – 2x

3 + 1x

2 – 5 x – 1

2

2. Polinomios Homogéneos: Son aquellos cuyos grados de sus términos son iguales. 1) P(x,y) = x

3 + x

2y + xy

3 – 5y

3

3° 3° 3° 3° Cada término es de grado 3

3. Polinomios Idénticos () Es cuando tienen el mismo valor numérico para cada término asignado.

ax2 + bx + c mx

2 + nx + p

a = m , b = n , c = p

4. Polinomio Idénticamente nulo.

Es aquel que se anula para cualquier valor de sus variables.

Es decir si: ax2 + bx + c 0

a = 0 , b = 0 , c = 0

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

b a

1. Si: P(x,y,z) = xa + x

7y

b + (y

2z

2)8

Es homogéneo, hallar:

a2 + b

2 + b

a + b a) 7 1/9 b) 55 c) 14 d) 5 e) 31

2. Calcular la suma de coeficientes de P(x) sabiendo que es polinomio completo y ordenado ascendentemente P(x) = mx

m+n + nx

m-1 – px

p+1 + tx

t

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Si tienen los polinomios: M(x) = 3x

2 +(b+3)x + c

2 –3

N(x) = (7-a)x2 + (2b+1)x + 1

Donde: M(x) N(x) Hallar: E = a – b – c a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

4. Dados los polinomios idénticos M(x) = 3x

4 – (a + b)x

a

N(x) = (b+n)xa+1

– x3

______

Calcular: E = 2a+b+n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Si el polinomio P(x) 0 y

P(x) (a+b-2)x3 + (a+c-3)x

2 + b+c-5

Hallar: a – b + c a) –2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

6. Si el polinomio está ordenado en forma ascendente: P(x) = 5x

3 + 7x

8 + 9x

m+3 + bx

n+2 + x

11

a) 10 b) 15 c) 17 d) 21 e) 35


69

7. Calcular: (a+b+c)

Si: P(x) Q(x) Siendo: P(x) = 4x

2 + 3x + 2

Q(x) = (a+b-1)x2 + (b-c+2)x + (c-n+4)

a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

8. Indicar el grado de homogeneidad de: P(x,y) = x

a+by

3+a-b + 5x

a+17 + 7x

4y

b+5

a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 33

9. Hallar “m” si:

P(x) = 2x2m-5

y4n

– 3x2m-4n

y3 – x

4y

9

Es homogéneo. a) 1 b) 3 c) 7 d) 8 e) 12

TAREA DOMICILIARIA 1. Se dan los polinomios:

P(x) = (a-3)x2 + (b

2 - 2)x + 1

Q(x) = 5x2 + 2x+c

Donde: P(x) Q(x) Hallar: E = a+b-c a) 2 b) 3 c) 4 d) 9 e) 10

2. Dados los polinomios idénticos: P(x) = x

3 – 4x

a

Q(x) = xa+2

+ (b-2a)x. Calcular: a+b a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2

3. El polinomio es idénticamente nulo: P(x) = (m– 3)x

4 + (n

2 – 4)x

3 + (n-2) + px + c – 4

Hallar: M = m+n+p c+1 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

4. Si: Q(x) es completo y ordenado: Hallar: “m

2” _

Q(x) = mxm+1

+ 5xm

+ 5x2m-4

+ nx a) 2 b) 4 c) 3 d) 1 e) 9

5. Si el polinomio está ordenado en forma ascendente:

P(x) = mxn+1

+ bx3 + 5x

4 + 3x

5

Hallar: “n” a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

6. Calcular: (m+n+p)

Si: P(x) M(x) Siendo: P(x) = 3x

3 + 4x

2 + 2x + 1

Q(x) = (m+n – 1)x3 + (n+p – 2)x

2 + (p)x + 1

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12

7. Sea P(x) un polinomio idénticamente nulo: P(x) = (m+n+3)x

2 + (2m+n – 1)x + n – 2

Hallar: E = (m+n)

50

a) 3000 b) b-1 c) 0 d) 1 e) m+n – mn

8. Indicar el GR(x) si el grado de homogeneidad de M(x,y,) es 12. M(x,y) = 5x

a+b + 3x

by

b + 4x

my

n

(Donde m<4) a) 8 b) 10 c) 21 d) 12 e) 14

9. Señale el grado del polinomio completo y ordenado en forma estrictamente decreciente. P(x) = x

12-2a + x

2a-4 + x

4-2a

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

10. Hallar: (a+b+c) si: P(x) = x

3a-b – x

2a – 3x

3b-c – 12y

3+b+c

Es completo y ordenado. a) 8 b) 7 c) 4 d) 0 e) –1

11. Si P(x), es completo y ordenado en: P(x) = ax

a-b – bx

b-c – cx

c+d + dx

d+e – ex

e-2

Hallar la suma de coeficientes. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6


70

CAPÍTULO VII

OPERACIONES CON POLINOMIOS ADICIÓN DE POLINOMIOS Se reduce utilizando los términos semejantes. Ejemplo: Efectuar: P(x) + Q(x) si:

SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Se suma utilizando el opuesto del segundo término. Así

M + ( – S) = D

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Recordando: am

x an = a

m+n

Propiedad Distributiva a(b+c) = ab + ac


(1) Reducir: E = 2(x

2 + x –1)+3(x

2 – x +1) – 5 x

2 – 1 x – 2

5

a) 7x b) 2x2 –1 c) x

2 + x +1

d) 11 e) 0

(2) Reducir: M = 5a (b+c) – 5b(a+c) – 5c(a+b) a) –8bc b) –10bc c) bc d) bc+ab e) 5bc – ab

(3) Reducir: 5x – [7y-2x – (3x-2y)]+9y a) 3x b) 2x+y c) 10x d) 10x+3y e) x+y

(4) Simplificar: (a+b)x + (b+c)y-(a-b)x+(b-c)y a) 2b(x+y) b) 2a(x-y) c) xa + yb d) xa – yb e) 0

(5) Reducir: 7a

2 – {a(7a-b)+2a[b-a]} – a(2a-b)

a) a+b b) 0 c) a+2b d) 2-2b e) a-b

(6) Simplificar: 3xy-[2x(x+y) – 3y(2x-y)] – x(7y-2x) a) y

2 b) –y

2 c) 3y

2 d) 3x

2 e) –3y

2

(7) Restar 7-x de 2-x a) 6x-5 b) 8x c) 5 d) –5 e) 6x-2

(8) Si P(x) = 1 –x2 +x, Q(x) = 2-x, R(x) = x

2+2,

¿cuánto le falta a la resta de Q menos R para ser igual a la suma de P más Q? a) 3+x b) 2x

2 –x-2

c) x2 –x+1 d) x-3x

2+1 e) 1 –3x+x

2

(9) Sea: P(x) = 2x2 + 3x – 5

R(x) = 2x – x2 + 3

Si: 2P(x) – 3R(x) = ax2 + bx + c

Hallar: a + b + c

a) –7 b) –10 c) –12 d) 26 e) 1


71

PRÁCTICA DOMICILIARIA 1. ¿Cuánto le falta a E para que sumado con

C dé A? A = x + 1 ; B = 2x – 1 ; C = 1 – x 2 3 2 a) x – 1 b) 1 x + 6 c) x + 1 2 2 2 d) – 1 x – 1 e) 1 – x 2 6 3

2. Efectuar: (x+a)(a+b) + (a-b)(x-b) – (a+b)(a-b) – 2b2

2

a) 2ax b) ax+b c) ax-b

2

d) ax+2b e) –2ax

3. Efectuar: (32x

2 – 20x

3)+(2x – 1)(5 + 10x

2 – 15x)

5 a) 11x-6 b) 12x+3 c) 13x-1 d) 17x-1 e) 6x+2

4. Restar de A, lo que queda de quitarle C a B. A = 5x

2 + x+3 B = 12x

2 – 5

C = 3x2 + 2x –7

a) 3x

2+x-1 b) 13x

2 –5

c) 2x-x2+2 d) 1x

2 – 5x + 1

e) x2 –x +8

5. Efectuar: 6+(x

2 + x –1)(x+2) –x(x

2 +3 +1)

a) 5 b) 2x c) 4 d) x-1 e) x+1

6. Efectuar: (x-2)(2+x)+4 a) 2x

2 b) x+5 c) x

2 d) x

2 +1

e) 2x2 –3

7. Hallar A-B, si:

A = (x

2 + 5)(x

2 +1) –6x

2 –5

B = (x2 + 2)(x

2 –3) + (x

2 +6)

a) –x

2 b) 0 c) x

4 d) 2x

4 e) x

4 –1

8. Efectuar:

(x2 –1)(x

2 +2) – (1+x

2)(x

2 –2)

a) x

2 +1 b) –2x

2 c) x

2 –1

d) x+1 e) 2x2

9. Efectuar:

E = (2m-3)2 +2(2m-3)(1-2m)+(1-2m)

2

a) 4 b) 5 c) –3m d) m+1 e) 3m-1

10. Efectuar: 7(x-7)2 –7(x+7)

2

a) 196 b) 196x c) –196 d) 192x e) -192x

algebra 4to sec

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