alfredo gonzález beatriz rodríguez pautt carlos...
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FERNANDO DAVID ANILLO
1
Alfredo González
Beatriz Rodríguez Pautt
Carlos Alfaro
2
1. Números reales ………………….……………….. 03
2. Transformación de un decimal a fracción… 05
3. Propiedades de los números reales …………. 6
4. Propiedades de las fracciones ……….……….. 8
5. La recta real ……………………………………….. 10
6. Intervalos ………………………………………….. 10
7. Valor absoluto …………………………………….. 11
8. Taller ………………………………..……………….. 12
Webgrafía ………………………………………………. 15
3
Los diferentes tipos de números reales fueron inventados para satisfacer
necesidades específicas. Por ejemplo los se necesitan para
contar, los para describir una deuda, temperaturas bajo
cero, los para conceptos como “medio litro de leche” y
para medir ciertas magnitudes como la diagonal de un
cuadrado.
Repasemos los tipos de números que conforman el sistema de números reales.
Empecemos con los
Los constan de los números naturales junto con sus
negativos y el cero.
Construimos los al tomar razones de enteros, entonces
cualquier número racional puede expresarse como donde 𝑚 𝑦 𝑛 son
enteros y como ejemplo tenemos:
Recuerda que una división entre cero siempre se excluye, de modo que
expresiones como 3
0 𝑦
0
0 no están definidas.
También hay números reales tales como √2, que no se pueden expresar como
una razón entre enteros y por lo tanto se denominan . Se
puede demostrar, con diferentes grados de dificultad que estos números
también son irracionales:
1, 2, 3, 4, 5, …
…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
1/2, -3/7, 46=46/1, 0,17=17/100
√𝟑 √𝟓 𝝅 𝟑
𝝅𝟐
1. NÚMEROS REALES
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Por lo general el conjunto de todos los se denota con el
símbolo . Cuando usamos la palabra número sin más detalle, queremos decir
“número real”
Todo número real tiene una representación decimal. Si el número es racional,
entonces su correspondiente decimal es periódico.
La barra sobre el número indica que la sucesión de dígitos se repite por
siempre.
Si el número es irracional la representación decimal no es periódica.
Como por ejemplo: √
Si detenemos la expansión decimal de cualquier número en cierto lugar,
obtenemos una aproximación al número. Por ejemplo podemos escribir
𝟏
𝟓= 𝟎. 𝟓𝟎𝟎𝟎 … = 𝟎. 𝟓𝟎̅̅̅̅
𝟐
𝟑= 𝟎. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 … = 𝟎. �̅�
𝟏𝟓𝟕
𝟒𝟗𝟓= 𝟎. 𝟑𝟏𝟕𝟏𝟕𝟏𝟕𝟏𝟕 … = 𝟎. 𝟑𝟏𝟕̅̅̅̅
𝟗
𝟕= 𝟏. 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒 … = 𝟏. 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
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Donde el símbolo ≈ se lee “es aproximadamente igual a”. Cuantos más lugares
decimales retengamos, mejor es nuestra aproximación.
Los números decimales pueden clasificarse de la siguiente manera:
Un número decimal periódico como es un número racional.
Para convertirlo a una razón entre dos enteros, escribimos:
La idea es multiplicar 𝑥 por las potencias apropiadas de 10 y luego restar para
eliminar la parte periódica.
2. TRANSFORMACIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL A FRACCION
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Todos sabemos que etc. en algebra
expresamos todos estos hechos así: donde 𝑦 son números
cualesquiera. En otras palabras es una forma de decir que cuando
sumamos dos números, el orden de adición no importa. Este hecho se conoce
como propiedad conmutativa de la adición. La palabra conmutativa viene de
conmutar que significa cambiar, observe que se ha cambiado la posición de los
números en los ejemplos anteriores.
Las siguientes propiedades también son válidas
a.- (𝑥 + 3) = . 𝑥 + . 3 Propiedad distributiva
= 2𝑥 + 6 Simplificando
b.- ( )(𝑥 + 𝑦) = ( )𝑥 + ( )𝑦 Propiedad distributiva
= (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥) + (𝑎𝑦 + 𝑏𝑦) Propiedad distributiva
= 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 Propiedad asociativa de la adición
3. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
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Para adicionar dos números reales se debe tener en cuenta las siguientes
consideraciones:
Que los números , como por ejemplo
Tienen signo ∶ 𝑦
Tienen signo ∶ 𝑦
Como puedes observar estos números se suman y se escribe el signo de los
números, o según sea el caso.
Que los números , como por ejemplo
Tienen distinto signo 𝑦 ;
Tienen distinto signo 𝑦 ;
En este caso se puede ver que los números tienen diferentes signos, entonces
se resta el número mayor del número menor y a continuación se escribe el
signo que posee el número mayor.
Para multiplicar o dividir dos números reales se debe tener en cuenta la ley de
los signos:
Observe que el producto o cociente de dos números reales con igual
signo siempre será (+) positivo, y el producto o cociente de dos números reales
con distinto signo siempre será (−) negativo.
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1.
Para multiplicar fracciones, multiplique numeradores y denominadores entre sí.
2.
Para dividir fracciones multiplíquese por el reciproco del divisor
3. Para sumar fracciones con igual denominador, sume los numeradores y escriba el mismo denominador
Un error que se comete con mucha frecuencia es que la ley de los signos
única y exclusivamente se aplica para la multiplicación o división y no para
la adición.
Suele suceder que si se propone una operación como por ejemplo:
se da como respuesta , lo cual es totalmente erróneo, esto no es
una multiplicación es una adición de números reales con igual signo. El
resultado correcto es
4. PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES
9
4. Para sumar fracciones con denominadores diferentes, encuentre un común denominador y a continuación sume los numeradores
5 Cancele números que sean factores comunes en numerador y denominador
6
𝒂𝒔𝒊 𝒒𝒖𝒆
Multiplicación cruzada
Para sumar fracciones con denominadores diferentes, por lo general no usamos
la propiedad 4. En cambio, reescribimos las fracciones de modo que tengan el
mínimo denominador común que sea posible, y luego usamos la propiedad 3.
Este denominador es el Mínimo Común Denominador (MCD) que se describe
en el siguiente ejemplo:
Descomponemos los denominadores en sus factores primos
Encontremos el mínimo común denominador (MCD) al formar el producto de
todos los factores presentes en estas factorizaciones, usando la máxima
potencia de cada factor.
Entonces el MCD es
Luego
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Los números reales pueden ser ubicados por puntos en una recta
Localización de números sobre la recta real. corresponde a ,
corresponde a y corresponde a
Los números reales son ordenados. Decimos que 𝒂 𝒆𝒔 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒃 y
escribimos si es un número positivo
Algunos conjuntos de números reales, denominados Intervalos, se presentan
con mucha frecuencia en el cálculo y son segmentos de rectas.
Todo intervalo tiene dos extremos, uno inferior y otro superior y se simbolizan
ya sea con paréntesis o con corchetes así:
Los intervalos pueden ser abiertos, cerrados, semi abiertos o semi cerrados.
= Intervalo abierto, No incluye sus extremos.
a. no incluye a 1 ni a 6 puesto que es abierto. Se representa con
paréntesis.
b. si incluye al 1 y 6 puesto que es cerrado. Se representa con
corchetes
c. incluye el extremo izquierdo ya que es cerrado y no incluye al
extremo derecho ya que es abierto. Es un intervalo semi abierto por la
derecha o es semi cerrado por la izquierda.
Los intervalos pueden extenderse hasta el infinito en una dirección o en
ambas. La siguiente tabla sigue una lista de posibles tipos de intervalos.
5. LA RECTA REAL
6. INTERVALOS
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Exprese cada intervalo en términos de desigualdades y, a continuación,
grafique el intervalo.
a.
b.
c.
El valor absoluto de un número , denotado por es la distancia que existe
entre b y cero en la recta de números reales
Entonces el valor absoluto de es y el valor absoluto de es , como se
7. VALOR ABSOLUTO
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puede apreciar en el grafico anterior.
:
Si b es un número real, entonces el valor absoluto de b es:
este hecho es porque
1. El valor absoluto de un número siempre es positivo.
2. Un número y su negativo tienen el mismo valor absoluto.
3. El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos.
4. El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos
1. De un ejemplo de.
a. Un numero natural
b. Un entero que no sea natural
8. TALLER
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c. Un numero racional que no sea entero
d. Un numero irracional
2. El conjunto de números entre 3 y 6 pero que no los incluye, se puede
escribir como sigue:
____________________ En notación de conjuntos
____________________ En notación de intervalos
3. El símbolo |𝑥| representa la _______________________ del número 𝑥. Si 𝑥 no
es 0, entonces el signo |𝑥| es siempre______________
Exprese la propiedad de los números reales que se está utilizando:
4. −2 + 7 = 7 + (−2) ______________________
5. −1 + (3 − 8) = (−1 + 3) + (−8)________________________
6. 9(5 + 6) = 9 ∗ 5 + 9 ∗ 6 ___________________________________
Reescriba la expresión usando la propiedad dada de los números reales
7. Propiedad Conmutativa de la adición. 𝑥 + 3 =
8. Propiedad Asociativa de la multiplicación 8(2𝑥) =
9. Propiedad distributiva 9(𝑀 + 𝑁) =
Realizar las operaciones indicadas:
10. (6 +2
5) (2 −
2
3)
11. 0.19(7
6+
1
2 )
12.
23
+12
27
3
15
Escriba el símbolo correcto: ( >. <. =)
13. 3 ____ 2
7
14. |1.36| _____|−1.36|
15. −3 ______ − 7
2
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Decida verdadero o falso
16. −5 < −9
17. √2 =1.41
18. 7 ≤ 8
19. 10 ≤ 10
Exprese el intervalo como una desigualdad y grafique el intervalo
20. (−2,5)
21. [1,7]
22. [−3,10)
Exprese la desigualdad en notación de intervalos
23. 𝑥 ≤ 0
24. −2 ≤ 𝑥 ≤ 3
25. 4 ≤ 𝑥 ≤ 4
Evaluar las expresiones
26. |√5 − 5|
27. ||−6| − |−15||
28. |6−11|
|11−6|
La adición, la sustracción y el producto de dos números irracionales son
números racionales.
1
3+ √3 ¿es racional o irracional?
1
3∗ √3 ¿es racional o irracional? Que se
puede decir a cerca de la suma de un racional y un irracional y que se
puede decir del producto?
La adición y la multiplicación son operaciones que gozan de la
propiedad conmutativa:
a. ¿La sustracción es conmutativa?
b. ¿La división de números reales diferentes de cero es conmutativa?
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Las maravillas de las matemáticas
https://matematicasftg.wordpress.com/once/
Educ.ar Operaciones con Números Reales
http://www.educ.ar/dinamico/UnidadHtml__get__8790e2a7-c857-11e0-80e7-e7f760fda940/index.htm
ANAYA. Los Números Enteros
http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/dat
os/04/01.htm
ANAYA. Operaciones con fracciones
http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/dat
os/08/unidad_08.htm
GenMagic. Números Reales
http://www.genmagic.net/mates5/numeros_reales/mat4eso1_1c.swf
WEBGRAFÍA