ajustes de modelos teóricos a datos experimentales: el...

Ajustesdemodelosteóricosadatosexperimentales:elmétododecuadradosmínimos

LucianoA.Masullo

Laboratorio 1(1erCuatrimestre 2018)Departamento deFísica

FacultaddeCienciasExactasyNaturalesUniversidaddeBuenosAires

Planteo delproblema• Tenemosunconjuntodemediciones {𝑥#}#$%,…,(

Planteo delproblema• Tenemosunconjuntodemediciones {𝑥#}#$%,…,(• Tenemos otro conjuntodemediciones {𝑦# }#$%,…,(

Planteo delproblema• Tenemosunconjuntodemediciones {𝑥#}#$%,…,(• Tenemos otro conjuntodemediciones {𝑦# }#$%,…,(• Tenemos como hipótesis una relación funcionalentrelasmediciones𝑥 e𝑦delaforma 𝑦 = 𝑓(𝑥).Esteesnuestromodeloteórico.

• Porejemplo:• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞esunarelaciónlineal entre𝑥 e𝑦• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐴sin 𝜔𝑥 + 𝜙 + 𝑐 esunarelaciónno-lineal entre𝑥 e𝑦



Asumiendounciertomodeloteórico (p.ej.𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞)¿Cómoencuentrolosparámetrosdelmodelo(p.ej.𝑚y𝑞) quemejor explican* mis datosexperimentales?

*Sedicetambién“quemejorajustana”ydeahívienehablarde“ajuste”



Asumiendounciertomodeloteórico (p.ej.𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞)¿Cómoencuentrolosparámetrosdelmodelo(p.ej.𝑚y𝑞) quemejor explican* mis datosexperimentales?

*Sedicetambién“quemejorseajustana”ydeahívienehablarde“ajuste”

Tiene solución analítica

Tiene solución numérica

• Criterio:quiero encontrar lafunción 𝑓 𝑥 queminimicelasuma delas diferencias alcuadrado entrelapredicción 𝑓 𝑥# ylamedición 𝑦#

• Hipótesis adicionales:lavariablealeatoria𝑦 tienedistribucióngaussianaconvalormedio𝑓 𝑥 .Ademáselerrorrelativoen𝑥 esmuchomenorqueelerrorrelativoen𝑦.

• Cuadradosmínimos casolineal:asumocomomodeloteórico𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞, luego

Método decuadradosmínimos

Datos experimentales

𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞

𝛿#


Minimización deSenfunción demyq


Encontramos losparámetros𝑚 y𝑞queminimizan lasuma cuadráticadelas

diferenciasentreelmodelo ylosdatos

Minimización deSenfunción demyq


Detodas las posibles funciones lineales,lafunción 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞es laque minimiza S


Algunas consideraciones importantes:

• ¿Es mejor unajusteque esté contenidodentro delas barras deerrordetodos lospuntos que uno que no?

• ¿Quérelaciónhayentrelacantidaddepuntosdentrodecuyasbarrasdeerrorpasaelajusteyelerrordelasmediciones?

• ¿Cuántospuntosesperodecada“lado”delarecta?¿Porqué?

ParámetrosdeunMRUVporcuadradosmínimos

• Posición enfuncióndeltiempo

• Velocidad enfunción deltiempo

• Aceleración enfuncióndeltiempo

ParámetrosdeunMRUVporcuadradosmínimos

• Posición enfuncióndeltiempo

• Velocidad enfunción deltiempo

• Aceleración enfuncióndeltiempo

𝑥 𝑡 = 𝑥; + 𝑣;(𝑡 − 𝑡;) +12 𝑎(𝑡 − 𝑡;)A 𝑥((𝑡 − 𝑡;)A) = 𝑥; +

12 𝑎(𝑡 − 𝑡;)ASi𝑣;= 0

lineal

𝑣 𝑡 = 𝑣; + 𝑎(𝑡 − 𝑡;)

𝑎 𝑡 = 𝑎

Limitacionesdelmétodoycriterios

Siempreesesencialevaluarcríticamenteelresultadodeunajuste:

• ¿Essiempreelmejormodeloelquemejorseajustaalosdatos?

• ¿Eselmejormodeloelquemenoshipótesishacesobreelproblema?

• ¿Esrazonableplantearunmodeloqueseajustamuybienperoquenopuedopredecirconrazonamientosyargumentosfísicos?

Limitacionesdelmétodoycriterios(ejemplo#1)

¿Quéajusteelegirían?¿Porqué?

Posic

ión(m

m)

Posic

ión(m

m)

Tiempo(ms)Tiempo(ms)

Estosdatosajustan exactamenteigual debien auna misma funciónlineal𝑦 = 3𝑥 + 0,5

Tabladecuatro conjuntosdedatos

Adaptado de F.J. Anscombe, "Graphs in Statistical Analysis," American Statistician, 27 (1973), 17-21


Tabladecuatro conjuntosdedatos

Estosdatosajustan exactamenteigual debien auna misma funciónlineal𝑦 = 3𝑥 + 0,5

Loscuatro conjuntosdedatosgraficados

Adaptado de F.J. Anscombe, "Graphs in Statistical Analysis," American Statistician, 27 (1973), 17-21

I II

III IV


Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:

“Chicuadrado”


“Chicuadrado”

𝑘 = 10

𝜒A

Distribución deprobabilidad de𝜒A

• 𝜒A es una variablealeatoria,por lotanto tiene unadistribución deprobabilidad asociada


“Chicuadrado”


𝑘 = 10

𝜒A


• 𝑘 eslacantidaddemedicionesdelexperimento(laformadeladistribuciónde𝜒A vaadepender de𝑘)


“Chicuadrado”


𝑘 = 10

𝜒A



• 𝐸(𝜒A) = 𝑘

• 𝑉𝐴𝑅(𝜒A) = 2𝑘 ; 𝑆𝐷(𝜒A) = 2𝑘


“Chicuadrado”


𝑘 = 10𝐸(𝜒A)

𝐸(𝜒A) +2𝑆𝐷(𝜒A)

𝜒A



• 𝐸(𝜒A) = 𝑘

• 𝑉𝐴𝑅(𝜒A) = 2𝑘 ; 𝑆𝐷(𝜒A) = 2𝑘


“Chicuadrado”



• 𝐸(𝜒A) = 𝑘

• 𝑉𝐴𝑅(𝜒A) = 2𝑘 ; 𝑆𝐷(𝜒A) = 2𝑘

• Elvalorde𝜒A esunamedida(no laúnica)delaprobabilidad dequelosdatos{𝑦#}provengandeunfenómeno físicoconmodelo teórico𝑦 = 𝑓(𝑥),esdecir,𝜒A esuna medida delaverosimilitud delmodelooajuste


𝑘 = 10𝐸(𝜒A)

𝐸(𝜒A) +2𝑆𝐷(𝜒A)

𝜒A

¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?Posic

ión(m

m)

Tengo 10mediciones yquiero evaluar laverosimilituddemimodelo teórico

Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒A

Tiempo(ms)

¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?Posic

ión(m

m)

Tiempo(ms)

Tengo 10mediciones yquiero evaluar laverosimilituddemimodelo teórico

𝜒A = 7,42


¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?

𝑘 = 10

𝜒A = 7,42


𝜒A


𝑘 = 10

𝜒A = 7,42

𝜒A = 7,42 estácontenidoenelintervalo𝐸(𝜒A) ± 𝑆𝐷(𝜒A),eraunresultadoesperable

Resultados poco probables Resultados más probables Resultados poco probables


𝜒A

𝑘 = 10


𝜒A = 22

𝜒A = 22 estáafueradelintervalo𝐸(𝜒A) ± 2𝑆𝐷(𝜒A),es unresultadopoco esperable dadoelmodelo teórico


𝜒A

𝜒A reducidoSepuededefinirenformaanálogaal𝜒A ,un𝜒Areducido :

• Sirveparaindependizarelvalormediodelacantidaddemediciones𝑘

• Elprograma Origincomputa 𝜒APQR envezdel𝜒A

• “Cuadradosmínimos”esunmétodo(noelúnico)quesirveparaencontrarlosparámetrosquemejorseajustanalosdatosexperimentalesdadounmodeloteórico

• Sibien es unmétodo poderosoymuyútil,hayque tener cuidado yevaluarlosresultados delosajustes concriterio ysinperder devistalafísica delexperimento

• 𝜒A esunestadístico (yunavariablealeatoria)quedaunamedida(nolaúnica)delaverosimilituddelajusteefectuadoalosdatosexperimentales

Resumen

𝑘 = 10

Extra:Testdehipótesisyp-valor


• Recordemos que laintegraldeladensidad deprobabilidad da1

• Sedefineelvalorpcomo laprobabilidaddeobtener unconjunto demedicionescomo elque obtuve omás extremo(menosprobableaún)dadaunaciertahipótesisomodelo

• Sesuele*tomarvalorp<0,05(que asuvez defineun𝜒A umbral)pararechazarunmodelo (oaceptarelcontrario)

• Elvalorpdeterminaelniveldesignificacióndeladiscrepanciadelmodeloconlosdatos

𝜒A = 22

*Laelección esarbitraria ydehechoactualmente hayunfuertedebateenelámbitodelascienciasbiomédicas, verporejemplo:S.Wellek “Acritical evaluation ofthe current ‘p-value controversy’”, Biometrical Journal, 59,5(2017)

𝜒A

valorp

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