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Aire Húmedo

Transferencia de Masa

Departamento de Ingenierıa Mecanica Facultad de IngenierıaUniversidad de Buenos Aires

9 de junio de 2020

(FI UBA) 1 / 33

Organizacion de la clase

1 ObjetivosMezclas no homogeneas

2 El fenomeno de DifusionDifusionDifusion: VariablesmacroscopicasDifusion: Difusion de un gas enotro en reposo

3 Ley de FickDifusion: Coeficiente dedifusion

4 Ecuaciones de transferencia decalor y masa

Planteo GeneralForma general de lasecuaciones de conservacionSistema de ecuacionessimplificadoTriple AnalogıaEvaporacion de un lıquido enuna mezcla gas-vapor

5 Conclusiones

(FI UBA) 2 / 33

5 Conclusiones

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5 Conclusiones

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5 Conclusiones

(FI UBA) 2 / 33

5 Conclusiones

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5 Conclusiones

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5 Conclusiones

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5 Conclusiones

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5 Conclusiones

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5 Conclusiones

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5 Conclusiones

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5 Conclusiones

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5 Conclusiones

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5 Conclusiones

(FI UBA) 2 / 33

5 Conclusiones

(FI UBA) 2 / 33

2 El fenomeno de DifusionDifusionDifusion: Variables macroscopicasDifusion: Difusion de un gas en otro en reposo

3 Ley de FickDifusion: Coeficiente de difusion

4 Ecuaciones de transferencia de calor y masaPlanteo GeneralForma general de las ecuaciones de conservacionSistema de ecuaciones simplificadoTriple AnalogıaEvaporacion de un lıquido en una mezcla gas-vapor

5 Conclusiones

(FI UBA) 3 / 33

Objetivos

Considerar el estudio de la Transferencia de Calor y Masa de una mezclano homogenea de fluidos.

Estudiar las variaciones en el tiempo y volumen de las concentracionesde los mismos, excluir el analisis de reacciones quımicas.

Producir modelos simplificados de estudio. Difusion pura.

Sentar bases para el analisis de problemas acoplados de transporte.

(FI UBA) 4 / 33

Objetivos

(FI UBA) 4 / 33

Objetivos

(FI UBA) 4 / 33

Objetivos

(FI UBA) 4 / 33

5 Conclusiones

(FI UBA) 5 / 33

El fenomeno de DifusionMezclas no homogeneas

A traves del tiempo una mezcla no homogenea varıa la distribucion de suconcentracion punto a punto en el espacio. Esta variacion tiene dos causas:

El movimiento macroscopico del fluido, conveccion, que da origen a unmezclado mecanico.

El transporte molecular de sustancia de la mezcla de una region delfluido a la otra. El transporte por esta vıa se llama difusion.

(FI UBA) 6 / 33

El fenomeno de DifusionDifusion

La difusion tiene su origen en los gradientes de concentracion de una especie en la mezcla.

La concentracion local de especies quımicas puede ser expresada de varias formas.

Una de ellas es el numero de moleculas de una especieNi por unidad de volumen.

Si el numero de las moleculas totales de todas las especies presentes por unidad devolumen se denotaN , se define el numero fraccionario de especies i como:

ni =Ni

N N =∑Ni (1)

donde la suma es sobre todas las especies presentes, i = 1, 2, . . . , n.

Las definiciones anteriores describen conceptos microscopicos y son utilizadas, porejemplo, allı donde la teorıa cinetica de gases se aplica para describir procesos detransferencia.

(FI UBA) 7 / 33

ni =Ni

N N =∑Ni (1)

(FI UBA) 7 / 33

ni =Ni

N N =∑Ni (1)

(FI UBA) 7 / 33

ni =Ni

N N =∑Ni (1)

(FI UBA) 7 / 33

ni =Ni

N N =∑Ni (1)

(FI UBA) 7 / 33

ni =Ni

N N =∑Ni (1)

(FI UBA) 7 / 33

El fenomeno de DifusionDifusion: Variables macroscopicas

En terminos macroscopicos, se establece que la concentracion de masa de la especie i es ladensidad parcial ρi[kg/m3].La concentracion total de masa, la densidad, debe cumplir que ρ =

∑ρi. La fraccion de masa

de la especie i se define segun:mi =

Por otro lado, la concentracion molar de la especie i es ci =ρi

Mi, donde Mi es la masa

molecular de la especie i.La concentracion molar total es c =

∑ci y la fraccion molar se define como:

xi =ci

(FI UBA) 8 / 33

xi =ci

(FI UBA) 8 / 33

xi =ci

(FI UBA) 8 / 33

xi =ci

(FI UBA) 8 / 33

Una serie de relaciones utiles sigue directamente desde estas definiciones. La masa molecularmedia de una mezcla se denota M y puede expresarse segun:

xiMi (4)

Y deben cumplirse: ∑xi = 1

∑mi = 1 (5)

Es posible, para mezclas de gases ideales, relacionar lo anterior con las presiones parciales, deacuerdo a la ley de estado y la ley de Dalton:

= ciRTP

= xicRT

(FI UBA) 9 / 33

xiMi (4)

∑mi = 1 (5)

= ciRTP

= xicRT

(FI UBA) 9 / 33

xiMi (4)

∑mi = 1 (5)

= ciRTP

= xicRT

(FI UBA) 9 / 33

xiMi (4)

∑mi = 1 (5)

= ciRTP

= xicRT

(FI UBA) 9 / 33

xiMi (4)

∑mi = 1 (5)

= ciRTP

= xicRT

(FI UBA) 9 / 33

El fenomeno de DifusionDifusion: Difusion de un gas en otro en reposo

Considerese un recipiente con gas de fondo en equilibrio y que, en algun lugardel recipiente, se introduce una pequena cantidad de gas especial.La difusion esta controlada principalmente por choques que las moleculas delgas especial reciben de las moleculas del gas de fondo.Es posible estimar la velocidad a la que tiene lugar este fenomeno.

(FI UBA) 10 / 33

Consideremos primero el flujo en una direccion x. Para obtener el flujo neto son contadaspositivas las moleculas que cruzan en la sentido positivo de x y negativas aquellas que cruzanen sentido contrario.Las que atraviesan este plano en un intervalo ∆t seran aquellas que estan comprendidas en elvolumen V∆t inmediatamente “pegado“ al plano Ω, donde V= velocidad molecular.Jx, la densidad de corriente molecular segun la direccion x, resulta:

Jx ' −~nN−~V∆t − N+

~V∆t∆t

= −(N− − N+)~V ·~n (7)

Donde ~n es la normal a Ω.(FI UBA) 11 / 33

Jx ' −~nN−~V∆t − N+

~V∆t∆t

= −(N− − N+)~V ·~n (7)

Jx ' −~nN−~V∆t − N+

~V∆t∆t

= −(N− − N+)~V ·~n (7)

Jx ' −~nN−~V∆t − N+

~V∆t∆t

= −(N− − N+)~V ·~n (7)

Jx ' −~nN−~V∆t − N+

~V∆t∆t

= −(N− − N+)~V ·~n (7)

Considerando la funcion distribucion espacial de moleculas especiales N(x, y, z) una funcioncontinua en el espacio y el libre camino medio L,

(N− − N+) =dNdx

dx ' dNdx

Luego,

Jx ' −dNdx

L~V ·~n (9)

Sin la hipotesis simplificativa de flujo unidimensional, el calculo correcto del flujo resulta:

Jx ' −13

L~V ·~n (10)

(FI UBA) 12 / 33

(N− − N+) =dNdx

dx ' dNdx

Luego,

Jx ' −dNdx

L~V ·~n (9)

Jx ' −13

L~V ·~n (10)

(FI UBA) 12 / 33

(N− − N+) =dNdx

dx ' dNdx

Luego,

Jx ' −dNdx

L~V ·~n (9)

Jx ' −13

L~V ·~n (10)

(FI UBA) 12 / 33

(N− − N+) =dNdx

dx ' dNdx

Luego,

Jx ' −dNdx

L~V ·~n (9)

Jx ' −13

L~V ·~n (10)

(FI UBA) 12 / 33

5 Conclusiones

(FI UBA) 13 / 33

Ley de FickDifusion: Difusion de un gas en otro en reposo

Para poder trabajar con magnitudes mas practicas, se puede expresar, en lugar del flujomolecular, el flujo masico.

~J = −LV3∇ρ [kg/(m2s)] (11)

La magnitud (LV).tiene las caracterısticas de un coeficiente que llamaremos coeficiente dedifusion DA−B. La ecuacion que vincula la densidad de flujo masico con el gradiente deconcentracion se escribe como

~J = −DA−B∇ρ [kg/(m2s)] (12)

y es conocida como la ley de Fick.

(FI UBA) 14 / 33

~J = −LV3∇ρ [kg/(m2s)] (11)

~J = −DA−B∇ρ [kg/(m2s)] (12)

(FI UBA) 14 / 33

~J = −LV3∇ρ [kg/(m2s)] (11)

~J = −DA−B∇ρ [kg/(m2s)] (12)

(FI UBA) 14 / 33

Ley de FickDifusion: Coeficiente de difusion

Puede demostrarse, a partir de la teorıa cinetica de gases, que

D =LV3

= µkT (13)

La llamada ecuacion de Nernst-Einstein, siendo k la constante de Boltzmann,k = 1,38110− 23JK−1..

El coeficiente de difusion de un componente A en otro B es simetrico es decirDA−B = DB−A.

El coeficiente de difusion es siempre positivo.

Las unidades del coeficiente de difusion son [L]2[t]−1 por ejemplo m2/s. Destaquemosque este tipo de unidades tambien las tiene la difusividad termica y la viscosidadcinematica.

Ejemplos de valores para gases y lıquidos:

(FI UBA) 15 / 33

D =LV3

= µkT (13)

(FI UBA) 15 / 33

D =LV3

= µkT (13)

(FI UBA) 15 / 33

D =LV3

= µkT (13)

(FI UBA) 15 / 33

D =LV3

= µkT (13)

(FI UBA) 15 / 33

D =LV3

= µkT (13)

(FI UBA) 15 / 33

(FI UBA) 16 / 33

5 Conclusiones

(FI UBA) 17 / 33

Ecuaciones de transferencia de calor y masaPlanteo General

Designaremos como flujo masico o densidad de flujo masico de la especie i con respecto a unaterna de referencia a

~Ji = ρi~Ui (14)

Se define la velocidad media del elemento de volumen o velocidad baricentrica por:

~U =1ρm

n∑i=1

ρi~Ui (15)

El flujo masico con respecto a la velocidad media del elemento de volumen

~ji = ρi(~Ui − ~U) (16)

este flujo masico lo llamaremos flujo de difusion o vector densidad flujo de difusion.Resumimos

~Ji =~ji + ρi~U (17)Entonces el movimiento de masa se descompone en:

un movimiento de conveccion definido por la velocidad baricentrica (14).

un movimiento de difusion caracterizado para cada componente i por el vector densidad de flujo de difusion.

(FI UBA) 18 / 33

~Ji = ρi~Ui (14)

~U =1ρm

n∑i=1

ρi~Ui (15)

~ji = ρi(~Ui − ~U) (16)

(FI UBA) 18 / 33

~Ji = ρi~Ui (14)

~U =1ρm

n∑i=1

ρi~Ui (15)

~ji = ρi(~Ui − ~U) (16)

(FI UBA) 18 / 33

~Ji = ρi~Ui (14)

~U =1ρm

n∑i=1

ρi~Ui (15)

~ji = ρi(~Ui − ~U) (16)

(FI UBA) 18 / 33

~Ji = ρi~Ui (14)

~U =1ρm

n∑i=1

ρi~Ui (15)

~ji = ρi(~Ui − ~U) (16)

(FI UBA) 18 / 33

~Ji = ρi~Ui (14)

~U =1ρm

n∑i=1

ρi~Ui (15)

~ji = ρi(~Ui − ~U) (16)

(FI UBA) 18 / 33

~Ji = ρi~Ui (14)

~U =1ρm

n∑i=1

ρi~Ui (15)

~ji = ρi(~Ui − ~U) (16)

(FI UBA) 18 / 33

~Ji = ρi~Ui (14)

~U =1ρm

n∑i=1

ρi~Ui (15)

~ji = ρi(~Ui − ~U) (16)

(FI UBA) 18 / 33

Ecuaciones de transferencia de calor y masaForma general de las ecuaciones de conservacion

Ecuacion de conservacion de la masa

∂ρm

∂t+∇ · (ρ~U) = 0 (18)

Ecuacion de conservacion de la masa de un solo componente

∂ρi

∂t+∇ · (ρ~Ui) =

∂ρi

∂t+∇ · (ρ~U +~ji) (19)

Ecuacion de conservacion de la cantidad de movimiento.Supongamos que cada uno de los constituyentes i es sometido a una fuerza masicaparticular~fi . La resultante~f de las diferentes fuerzas masicas esta definida por

ρm~f =

n∑i=1

ρi~fi

(FI UBA) 19 / 33

∂ρm

∂t+∇ · (ρ~U) = 0 (18)

∂ρi

∂t+∇ · (ρ~Ui) =

∂ρi

∂t+∇ · (ρ~U +~ji) (19)

ρm~f =

n∑i=1

ρi~fi

(FI UBA) 19 / 33

∂ρm

∂t+∇ · (ρ~U) = 0 (18)

∂ρi

∂t+∇ · (ρ~Ui) =

∂ρi

∂t+∇ · (ρ~U +~ji) (19)

ρm~f =

n∑i=1

ρi~fi

(FI UBA) 19 / 33

∂ρm

∂t+∇ · (ρ~U) = 0 (18)

∂ρi

∂t+∇ · (ρ~Ui) =

∂ρi

∂t+∇ · (ρ~U +~ji) (19)

ρm~f =

n∑i=1

ρi~fi

(FI UBA) 19 / 33

∂ρm

∂t+∇ · (ρ~U) = 0 (18)

∂ρi

∂t+∇ · (ρ~Ui) =

∂ρi

∂t+∇ · (ρ~U +~ji) (19)

ρm~f =

n∑i=1

ρi~fi

(FI UBA) 19 / 33

Ecuacion de conservacion de la cantidad de movimiento. En estas condiciones lautilizacion de la ecuacion de la conservacion de la cantidad de movimiento conduce a:

ρmD~UDt

= ρm~f +∇¯T (20)

Ecuacion de conservacion de la energıa

Variacion de energıa interna= Variacion de energıa por deformacion + variacion de energıapor disipacion viscosa + variacion debido a las fuerzas volumetricas+ variacion debido a ladiferencia entre los flujos de difusion y de conduccion del calor entrantes y salientes.

ρmDEDt

= ¯T · ¯∇~U +n∑

~ji~fi −∇ ·~jE −∇ ·~q (21)

(FI UBA) 20 / 33

ρmD~UDt

= ρm~f +∇¯T (20)

ρmDEDt

= ¯T · ¯∇~U +n∑

~ji~fi −∇ ·~jE −∇ ·~q (21)

(FI UBA) 20 / 33

ρmD~UDt

= ρm~f +∇¯T (20)

ρmDEDt

= ¯T · ¯∇~U +

n∑i=1

~ji~fi −∇ ·~jE −∇ ·~q (21)

(FI UBA) 20 / 33

ρmD~UDt

= ρm~f +∇¯T (20)

ρmDEDt

= ¯T · ¯∇~U +

n∑i=1

~ji~fi −∇ ·~jE −∇ ·~q (21)

(FI UBA) 20 / 33

ρmD~UDt

= ρm~f +∇¯T (20)

ρmDEDt

= ¯T · ¯∇~U +

n∑i=1

~ji~fi −∇ ·~jE −∇ ·~q (21)

(FI UBA) 20 / 33

Resumiendo, las incognitas y las ecuaciones:

Incognitas Ecuaciones

Temperatura T (1)Presion P (1)

Velocidades baric. U (3)Densidad de la mezcla ρm (1)

Concentracion. xi

Flujo de calor ~q(3)Flujo masico ~J (3)

Conservacion de la masa total (1)Cons. de la masa de c/componente (1)

Ecuacion del movimiento N.S. (3)Ecuacion de transporte de energıa (1)

Ecuacion de estado (1)

(FI UBA) 21 / 33

A partir de consideraciones de la Teorıa Cinetica de gases, se establecen relacionespara el flujo de calor y de materia:

~j = −ρmD(∇ρi

T∇T +

P∇P)

[kT ρm

∂ρi

∣∣∣∣P,T

− T∂µ

∣∣∣∣P,ρi

]~j− λ∇T (23)

la difusion puede tener un origen termico, efecto Soret.

kTD, coeficiente de termodifusion y el producto kpD coeficiente de difusionbarometrica.

2do Principio Termodinamica −→ D > 0 pero kT ≷ 0, kp ≷ 0

Para una mezcla binaria kT < 0,1 y kP:

kP =ρ1ρ2

M2 −M1

En una mezcla de dos gases A y B en general se verifica que si Ma > Mb las moleculas del gas A

van a la region de temperaturas mas bajas y a la region de mayor presion.

(FI UBA) 22 / 33

~j = −ρmD(∇ρi

T∇T +

P∇P)

[kT ρm

∂ρi

∣∣∣∣P,T

− T∂µ

∣∣∣∣P,ρi

]~j− λ∇T (23)

kP =ρ1ρ2

M2 −M1

(FI UBA) 22 / 33

~j = −ρmD(∇ρi

T∇T +

P∇P)

[kT ρm

∂ρi

∣∣∣∣P,T

− T∂µ

∣∣∣∣P,ρi

]~j− λ∇T (23)

kP =ρ1ρ2

M2 −M1

(FI UBA) 22 / 33

~j = −ρmD(∇ρi

T∇T +

P∇P)

[kT ρm

∂ρi

∣∣∣∣P,T

− T∂µ

∣∣∣∣P,ρi

]~j− λ∇T (23)

kP =ρ1ρ2

M2 −M1

(FI UBA) 22 / 33

~j = −ρmD(∇ρi

T∇T +

P∇P)

[kT ρm

∂ρi

∣∣∣∣P,T

− T∂µ

∣∣∣∣P,ρi

]~j− λ∇T (23)

kP =ρ1ρ2

M2 −M1

(FI UBA) 22 / 33

En relacion al flujo de calor,[kT ρm

∂ρi

∣∣∣∣P,T− T

∣∣∣∣P,ρi

]~j (25)

que indica que si hay flujo de masa, hay flujo de calor, fenomeno conocidocomo efecto Dufour.Si consideramos el caso en el que no hay flujo de materia (~j = 0) tendremostermoconduccion pura y la condicion (22) que deben cumplir los gradientesde concentracion, temperatura y presion para que esto ocurra es(

∇ρi

T∇T +

P∇P)

Si no hay gradiente de presion, vemos que esta condicion de equilibrioestablece que un gradiente de temperatura esta asociado con una diferencia deconcentraciones.

(FI UBA) 23 / 33

∂ρi

∣∣∣∣P,T− T

∣∣∣∣P,ρi

]~j (25)

∇ρi

T∇T +

P∇P)

(FI UBA) 23 / 33

∂ρi

∣∣∣∣P,T− T

∣∣∣∣P,ρi

]~j (25)

∇ρi

T∇T +

P∇P)

(FI UBA) 23 / 33

∂ρi

∣∣∣∣P,T− T

∣∣∣∣P,ρi

]~j (25)

∇ρi

T∇T +

P∇P)

(FI UBA) 23 / 33

Ecuaciones de transferencia de calor y masaSistema de ecuaciones simplificado

Consideremos a continuacion las siguientes hipotesis simplificativas:

Los coeficientes de difusion, termodifusion y barodifusion sonindependientes de la temperatura y la concentracion.

El termino del gradiente de presion es despreciable frente al resto.

No hay movimiento macroscopico del fluido.

Las fuerzas masicas son despreciables.

El producto del flujo masico con el potencial quımico es despreciable.

∂ρi

∂t= D

(∇2ρi +

T∇2T

∂T∂t− kT

∂ρi

∣∣∣∣P,T

∂ρi

∂t= a∇2T (27)

(FI UBA) 24 / 33

∂ρi

∂t= D

(∇2ρi +

T∇2T

∂T∂t− kT

∂ρi

∣∣∣∣P,T

∂ρi

∂t= a∇2T (27)

(FI UBA) 24 / 33

∂ρi

∂t= D

(∇2ρi +

T∇2T

∂T∂t− kT

∂ρi

∣∣∣∣P,T

∂ρi

∂t= a∇2T (27)

(FI UBA) 24 / 33

∂ρi

∂t= D

(∇2ρi +

T∇2T

∂T∂t− kT

∂ρi

∣∣∣∣P,T

∂ρi

∂t= a∇2T (27)

(FI UBA) 24 / 33

∂ρi

∂t= D

(∇2ρi +

T∇2T

∂T∂t− kT

∂ρi

∣∣∣∣P,T

∂ρi

∂t= a∇2T (27)

(FI UBA) 24 / 33

∂ρi

∂t= D

(∇2ρi +

T∇2T

∂T∂t− kT

∂ρi

∣∣∣∣P,T

∂ρi

∂t= a∇2T (27)

(FI UBA) 24 / 33

Cuando la concentracion tiende a cero (o a 1), hay un solo fluido−→ kT = 0, kP = 0En esa situacion las ecuaciones (26) y (27) se desacoplan y la ecuacion (26) sereduce a

∂ρi

∂t= D∇2ρi (28)

Ejemplos de condiciones de borde:En la superficie de dos cuerpos insolubles, tipo Neumann es:

∂ρi

∂n= 0

Difusion de un cuerpo soluble: la concentracion es igual a laconcentracion de saturacion.

ρi|s = ρsat

Si una superficie absorbe al constituyente,

ρi = 0(FI UBA) 25 / 33

∂ρi

∂t= D∇2ρi (28)

∂ρi

∂n= 0

ρi|s = ρsat

ρi = 0(FI UBA) 25 / 33

∂ρi

∂t= D∇2ρi (28)

∂ρi

∂n= 0

ρi|s = ρsat

ρi = 0(FI UBA) 25 / 33

∂ρi

∂t= D∇2ρi (28)

∂ρi

∂n= 0

ρi|s = ρsat

ρi = 0(FI UBA) 25 / 33

∂ρi

∂t= D∇2ρi (28)

∂ρi

∂n= 0

ρi|s = ρsat

ρi = 0(FI UBA) 25 / 33

Ecuaciones de transferencia de calor y masaTriple Analogıa

Analogıa entre los procesos de difusion puros, los de conduccion puros yflujos de muy bajos numeros de Reynolds

T → ρi → u

a→ D→ ν

Soluciones analıticas:Por ejemplo, para el caso de un pulso de temperatura puntual

ρi(r) =M

8ρm(πDt)3/2 e−r2

4Dt (29)

donde M es la cantidad total de la sustancia disuelta.El orden de magnitud es L2/Dt ' 1. Luego, L ' (Dt)1/2 El tiempo que setarda para la igualacion de concentraciones es del orden de τ ' L2/D.

(FI UBA) 26 / 33

T → ρi → u

a→ D→ ν

ρi(r) =M

4Dt (29)

(FI UBA) 26 / 33

T → ρi → u

a→ D→ ν

ρi(r) =M

4Dt (29)

(FI UBA) 26 / 33

T → ρi → u

a→ D→ ν

ρi(r) =M

4Dt (29)

(FI UBA) 26 / 33

T → ρi → u

a→ D→ ν

ρi(r) =M

4Dt (29)

(FI UBA) 26 / 33

Ecuaciones de transferencia de calor y masaEvaporacion de un lıquido en una mezcla gas-vapor

Consideremos una fase lıquida y la fase de vapor quedifunde en un gas.La capa inmediatamente “pegada” a la superficie estapracticamente saturada en vapor. −→ La velocidadcon que las moleculas son removidas de esta capa esinferior a la velocidad con cual se incorporan.

flujo de StefanSi por encima de esta capa el gas no esta saturado envapor, se origina un flujo de masa con direccion desdela superficie lıquida hacia el medio gaseoso.

(FI UBA) 27 / 33

La cantidad de calor que se consume por evaporacion es igual a Qev = hfgj,donde hfg el calor latente de vaporizacion y j = |~j|.Se pueden realizar algunos calculos practicos basados en una analogıa con laley de Newton para transferencia de calor, proponiendo la ley:

j = β(ρiw − ρ0) (30)

que asumiendo la ley de los gases perfectos se puede escribir como

j = βP(Piw − P0) (31)

Ambos coeficientes estan relacionados segun:

βP =β

RT(32)

Se puede demostrar que el valor del coeficiente de proporcionalidad ocoeficiente de transferencia de masa vale

βP = −DPv

Pvw − Pv0

∂y(33)

donde indicamos con v al vapor, con g al gas, con w a la interfase, lacoordenada y normal a la superficie del lıquido y con 0 a un punto alejado dela superficie.

(FI UBA) 28 / 33

j = β(ρiw − ρ0) (30)

j = βP(Piw − P0) (31)

βP =β

RT(32)

βP = −DPv

Pvw − Pv0

∂y(33)

(FI UBA) 28 / 33

j = β(ρiw − ρ0) (30)

j = βP(Piw − P0) (31)

βP =β

RT(32)

βP = −DPv

Pvw − Pv0

∂y(33)

(FI UBA) 28 / 33

j = β(ρiw − ρ0) (30)

j = βP(Piw − P0) (31)

βP =β

RT(32)

βP = −DPv

Pvw − Pv0

∂y(33)

(FI UBA) 28 / 33

j = β(ρiw − ρ0) (30)

j = βP(Piw − P0) (31)

βP =β

RT(32)

βP = −DPv

Pvw − Pv0

∂y(33)

(FI UBA) 28 / 33

j = β(ρiw − ρ0) (30)

j = βP(Piw − P0) (31)

βP =β

RT(32)

βP = −DPv

Pvw − Pv0

∂y(33)

(FI UBA) 28 / 33

Flujo de Stefan

La presion total de la mezcla es cons-tante.

∂y= −∂pv

Existe un gradiente de concentraciondel gas que difunde en sentido opuestoal del vapor.El vapor es libre de difundir en el me-dio gaseoso en tanto que el lıquidoconstituye una barrera infranqueablepara el gas.En el estado estacionario los perfilesde presion parcial y concentracion sonpermanentes en el tiempo.

(FI UBA) 29 / 33

Flujo de Stefan

∂y= −∂pv

(FI UBA) 29 / 33

Flujo de Stefan

∂y= −∂pv

(FI UBA) 29 / 33

Flujo de Stefan

∂y= −∂pv

(FI UBA) 29 / 33

Flujo de Stefan

La acumulacion que se produce en lainterfase debe ser compensado por unflujo→ Stefan.El flujo masico es entonces suma de unflujo por difusion mas un flujo convec-tivo , expresamos:

jvw = −DPv∂Pv

∣∣∣∣w+ ρvwwsw (34)

En la superficie del lıquido, ws = wsw.El gas no difunde en el lıquido =⇒

jgw = −DPg∂Pg

∣∣∣∣w+ ρgwwsw = 0

(35)(FI UBA) 30 / 33

Flujo de Stefan

jvw = −DPv∂Pv

∣∣∣∣w+ ρvwwsw (34)

jgw = −DPg∂Pg

(35)(FI UBA) 30 / 33

Flujo de Stefan

jvw = −DPv∂Pv

∣∣∣∣w+ ρvwwsw (34)

jgw = −DPg∂Pg

(35)(FI UBA) 30 / 33

Y deducimos una expresion para el flujo de Stefan:

wsw = −DPv

∣∣∣∣w

Sustituyendo este valor en la ecuacion (34), resulta:

jvw = −DPvPv + Pg

∣∣∣∣w

∣∣∣∣w= −DPv

∣∣∣∣w

El flujo de Stefan modifica la ley de Fick de difusion pura expresada en la

ecuacion (12). Se introduce el factorPPg|w el cual da cuenta de la conveccion

resultante de la impermeabilidad de la superficie que evapora respecto del gas.El flujo masico de evaporacion en la coordenada y = w se determina a partirde (31) ası como tambien puede hacerse a partir de (37). El gradiente de lapresion parcial de vapor y la presion parcial del gas en (37) se evaluan en lasuperficie del lıquido.

(FI UBA) 31 / 33

wsw = −DPv

∣∣∣∣w

jvw = −DPvPv + Pg

∣∣∣∣w

∣∣∣∣w= −DPv

∣∣∣∣w

(FI UBA) 31 / 33

wsw = −DPv

∣∣∣∣w

jvw = −DPvPv + Pg

∣∣∣∣w

∣∣∣∣w= −DPv

∣∣∣∣w

(FI UBA) 31 / 33

wsw = −DPv

∣∣∣∣w

jvw = −DPvPv + Pg

∣∣∣∣w

∣∣∣∣w= −DPv

∣∣∣∣w

(FI UBA) 31 / 33

Ecuaciones de transferencia de calor y masaConclusiones

La existencia del flujo de Stefan, es de destacar que se modifica elespesor de la capa lımite a partir de la inyeccion de fluido.

Ccurre una disminucion en el gradiente de temperaturas y provoca unadisminucion del calor que puede intercambiarse.

En la practica puede reconocerse como causa de discrepancias en eldiseno de evaporadores. Este flujo tambien aparece en los fenomenos decondensacion en el caso de una mezcla de gases y vapor.

(FI UBA) 32 / 33

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