aerodinamica f. alcrudo area de mecánica de fluidos cps – universidad de zaragoza...

AERODINAMICA

F. AlcrudoArea de Mecánica de Fluidos

CPS – Universidad de [email protected]

mailto:[email protected]

F. AlcrudoUniversidad de Zaragoza

Curso de Aerodinámica y MFCUniversidad de Navarra, Pamplona, España, 3-9 Octubre 2007 2

CONTENIDO

I. INTRODUCCION

• Conceptos básicos• Perfiles alares• Fuerzas y Momentos• Distribución de presiones• Centro de presión• Centro aerodinámico• Coeficiente de presión• Coeficientes aerodinámicos

II. FLUJO POTENCIAL

• Flujo de un fluido ideal• Ecuaciones de Euler• La ecuación de Bernoulli• El potencial de aceleraciones• Circulación de velocidades• Teorema de Bjerness-Kelvin• Flujo Potencial• Caso incompresible• Caso bidimensional• Soluciones elementales



CONTENIDO

III. VARIABLE COMPLEJA

• Revisión de variable compleja• Teorema del Resíduo• Fórmulas de Cauchy• El potencial complejo• Teorema de Blasius• Teorema de Joukowskii• Condición de Kutta• Flujo en torno a un cilindro• Transformación Conforme

IV. TEORIA LINEALIZADA

• Planteamiento del problema• Superposición del flujo libre y del

potencial de perturbación• El coeficiente de presión linealizado• Condiciones de contorno• Separación del problema simétrico

y sustentador• Solución mediante distribución de

singularidades• Condición de Kutta• Métodos de paneles



CONTENIDO

V. CAPA LIMITE VISCOSA

• Generalidades de capa límite• Número de Reynolds• Capa límite turbulenta• Espesores de desplazamiento y de

cantidad de movimiento• El esfuerzo en la pared• Capa límite sobre placa plana• Capa límite en gradiente de presión• Gradiente adverso –

desprendimiento• Formación de la estela• Succión de capa límite

VI. PERFILES ALARES

• Curvaturas y espesores• Parámetros prácticos• Nomenclatura de perfiles• Las series NACA de 4 y 5 dígitos• Resistencia• Perfiles de flujo laminar• Desprendimiento y entrada en

pérdida• Presentación gráfica: Polar del perfil



CONTENIDO

VII. ALAS DE GRAN ALARGAMIENTO

• Flujo potencial tridimensional• Flujo de un fluido ideal con

vorticidad• Teoremas de Helmholtz• Ley de Biot-Savart• Campo de velocidades inducido por

un filamento de vorticidad• Sistema de torbellino en torno a un

ala finita• Vórtices en herradura• Campo de velocidades inducidas

VII. ALAS DE GRAN ALARGAMIENTO (Cont.)

• Angulo efectivo de ataque• Teoría de la línea sustentadora de

Prandtl• Ecuación integral de Prandtl• Solución de la ecuación de Prandtl• Las cargas aerodinámicas• Resistencia inducida• Coeficientes. Descripción del

rendimiento de un ala



I. INTRODUCCION. CONCEPTOS BASICOS

OBJETIVOS

• DISTRIBUCION DE PRESIONES

• DISTRIBUCION DE VELOCIDADES

• RESOLVER EL CAMPO FLUIDO

• FORMA GEOMETRICA MAS FAVORABLE

• CUERPOS FUSELADOS O AERODINAMICOS

RESULTADOS

• FUERZA DE SUSTENTACION, L

• FUERZA DE ARRASTRE, D

• COEFICIENTES AERODINAMICOS

CL, CD

• DESPRENDIMIENTOS

• ESTELAS

• NIVEL DE TURBULENCIA



I. INTRODUCCION. PERFILES ALARES

CUERPOS FUSELADOS O AERODINAMICOSFRENTE A

CUERPOS ROMOS




NO SIEMPRE UN CUERPO FUSELADO ES VENTAJOSO




NOMENCLATURA DE UN PERFIL ALAR

Borde de ataque Borde de salida

Extradós

Intradós

Cuerda

Espesor

Línea de curvatura media

Curvatura

Viento relativo:•Magnitud•Angulo de ataque



I. INTRODUCCION. FUERZAS Y MOMENTOS

DESCOMPOSICION DE LA FUERZA AERODINAMICAEN SUSTENTACIÓN, L, Y RESISTENCIA, D



I. INTRODUCCION. DISTRIBUCION DE PRESIONES

EL ORIGEN DE LAS FUERZAS ES (PRINCIPALMENTE)LA DISTRIBUCION DE PRESION SOBRE EL CONTORNO DEL PERFIL

dsnnpFPerfil ˆˆ

dsxnnpDPerfil ˆˆˆ

dsynpdsynnpLPerfilPerfil ˆˆˆˆˆ

y

n xO

dxppLcx

x ext

0 int



I. INTRODUCCION. MOMENTO DE CABECEO

MOMENTO CREADO POR LA DISTRIBUCION DE PRESIÓN

y

n x

dsnprdsnnprMPerfilPerfil

o ˆˆˆ

r

dxxppMcx

x exto

0 int

APROXIMACION USUALO




APROXIMACION USUAL PARA EL CALCULODE FUERZAS Y MOMENTOS

dxppLcx

x ext

0 int

dxxppMcx

x exto

0 int




LA DISTRIBUCION DE PRESIONES VARIA CON:

• LA FORMA DEL PERFIL• EL ANGULO DE ATAQUE• LA VELOCIDAD



I. INTRODUCCION. CENTRO DE PRESION

LA DISTRIBUCION DE PRESIONES ACTUA COMO UN SISTEMA (DISTRIBUCION) DE FUERZAS COPLANARES

UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES SE REDUCE A UNA FUERZA Y A UN MOMENTO

POR TANTO SE PUEDE DEFINIR UN PUNTO DE MODO QUE EL SISTEMA QUEDA REDUCIDO A UNA SOLA FUERZA APLICADA EN DICHO PUNTO:

EN AERODINAMICA DICHO PUNTO SE LLAMA

CENTRO DE PRESION, CP

dspp

dsxpp

L

Mx cx

x ext

cx

x extoCP

0 int

0 int



I. INTRODUCCION. CENTRO AERODINAMICO

LA DISTRIBUCION DE PRESION DEPENDE DE:

• FORMA DEL PERFIL• EL ANGULO DE ATAQUE• (VELOCIDAD DE LA CORRIENTE)

RESULTADO

EL CP PARA UN PERFIL DADO SE MUEVE AL VARIAR EL ANGULO DE

ATAQUE (Y LA VELOCIDAD)

CENTRO AERODINAMICO, AC

PUNTO EN EL INTERIOR DEL PERFIL PARA EL QUE EL MOMENTO AERODINAMICO NO VARIA CON EL ANGULO DE ATAQUE

(EN GENERAL XAC≈C/4)



I. INTRODUCCION. COEFICIENTE DE PRESION

2

21

U

pxpxCp

EXPRESA LA DISTRIBUCION DE PRESION SOBRE EL PERFIL NORMALIZADA RESPECTO A LA PRESION ESTATICA Y DINAMICA EN EL INFINITO

CP=1 en el punto de remanso

COEFICIENTE DE DISTRIBUCION SUSTENTACION, Cl(x)

xCxCxC ppl extint



I. INTRODUCCION. COEFICIENTES AERODINAMICOS

cU

LCl

2

21 cU

DCd

2

21

EXPRESAN LAS FUERZAS SOBRE EL PERFIL DE FORMA NORMALIZADA Y ADIMENSIONAL

COEFICIENTEDE SUSTENTACION

COEFICIENTEDE RESISTENCIA

COEFICIENTEDE MOMENTO

22

21

cU

MC AC

m

dCC ll 1

0

c

x

dCC ll 1

0



II. FLUJO POTENCIAL

• Flujo de un fluido ideal

• Ecuaciones de Euler

• La ecuación de Bernoulli

• El potencial de aceleraciones

• Circulación de velocidades

• Teorema de Bjerness-Kelvin

• Flujo Irrotacional

• Ecuación del potencial

• Caso incompresible

• Caso bidimensional

• Soluciones elementales



II. FLUJO POTENCIAL. FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL

• FLUIDO IDEAL: VISCOSIDAD NULA

CONDUCTIVIDAD TERMICA NULA

SIN FUENTES DE CALOR

SIN REACCION QUIMICA

• ECUACIONES DE NAVIER-STOKES SIMPLIFICAN A ECS. DE EULER

Ipvvt

v

Tkvv

hvv

et

22

22

0

vt

Tce v Tch p

vx

v

x

vij

i

j

j

iij



II. FLUJO POTENCIAL. ECUACIONES DE EULER

• FLUIDO IDEAL: VISCOSIDAD NULA

CONDUCTIVIDAD TERMICA NULA

SIN FUENTES DE CALOR

SIN REACCION QUIMICA

• ECUACIONES DE NAVIER-STOKES SIMPLIFICAN A ECS. DE EULER

0

Ipvv

t

v

022

22

v

hvv

et

0

vt

Tce v Tch p



II. FLUJO POTENCIAL. ECUACIONES DE EULER

• PARA LA PARTICULA FLUIDA • MOVIMIENTO ADIABATICO

– Cada partícula fluida no intercambia calor con sus vecinas

– Cada partícula fluida no sufre fricción con sus vecinas

• FLUJO ISENTROPICO

(HOMENTROPICO)pDt

vD

1

t

pvh

Dt

D

1

2

2

0 vDt

D

0Dt

Ds



II. FLUJO POTENCIAL. ECUACION DE BERNOULLI

• DE LA ECUACION DE LA ENTALPIA PARA FLUJO ESTACIONARIO

• EN FLUJO ESTACIONARIO LAS TRAYECTORIAS Y LAS LINEAS DE CORRIENTE SON LO MISMO

• A LO LARGO DE UNA LINEA DE CORRIENTE

• DE LA ECUACION DE MOVIMIENTO SE LLEGA A:

• PROYECTANDO SOBRE LA DIRECCION DE LA VELOCIDAD (LINEA DE CORRIENTE) EN ESTACIONARIO

02

2

vh

Dt

D

.2

2

Ctev

h

vvpv

t

v

1

2

2

01

2

2

dl

dpv

dl

d

v



II. FLUJO POTENCIAL. ECUACION DE BERNOULLI

• DE LA CONDICION DE ISENTROPIA

• DE LA DEFINICION DE ENTALPIA

• A LO LARGO DE UNA LINEA DE CORRIENTE

• CON

• DE LA ECUACION DE MOVIMIENTO SE LLEGA A:

• O DE NUEVO

v

0Dt

Ds

dpdsTdh1

dl

dp

dl

dsT

dl

dh

1

0dl

ds

02

2

h

v

dl

d

0dl

ds

.2

2

Ctev

h



II. FLUJO POTENCIAL. EL POTENCIAL DE ACELERACIONES

• DE LA ECUACION DE EULER

• LAS VARIACIONES DE ENTALPIA

• EN EL ESPACIO

• SI EL FLUJO ES HOMENTROPICO

(s=Cte. en todo el campo fluido)

• NOTAR QUE NO ES SUFICIENTE QUE EL FLUIDO SEA IDEAL PARA VERIFICAR ESTA CONDICION

• ENTONCES

• Y LA ACELERACION DERIVA DE UN POTENCIAL

• RECORDAR LA RELACION DE CROCCO

dpdsTdh1

psTh 1

pDt

vD

1

0s

ph 1

hDt

vDa

vvsTv

h

2

2



II. FLUJO POTENCIAL. CIRCULACION DE LA VELOCIDAD

• CIRCULACION, : • TEOREMA DE STOKES

CC dlv

CSCdSnvdlv ˆ

C

v

dl

C

v

dl

n̂v

dS



II. FLUJO POTENCIAL. TEOREMA DE BJERNESS-KELVIN

0 f

f CC dlvdt

d

dt

d

Cf(t)

v

dl

LA CIRCULACION A LO LARGO DE UNA LINEA FLUIDALA CIRCULACION A LO LARGO DE UNA LINEA FLUIDASE MANTIENE CONSTANTE EN FLUJO HOMENTROPICOSE MANTIENE CONSTANTE EN FLUJO HOMENTROPICO

Cf(t+dt)

ff CC

dlDt

vDdlv

dt

d

0 ff CC

dlhdt

ddl

Dt

vD

Cf(t-dt)



II. FLUJO POTENCIAL. FLUJO IRROTACIONAL

SI EL ROTACIONAL DE LA VELOCIDAD ES CERO EN TODO EL CAMPO FLUIDO

EL TEOREMA DE BJERNESS-KELVIN GARANTIZA QUE EL FLUJO SEGUIRA SIENDO POTENCIAL INDEFINIDAMENTE SI EN EL INSTANTE INICIAL LO ERA

• ARGUMENTO SUTIL EN LAS FRONTERAS• DESPRENDIMIENTO, VORTEX SHEETS

IMPLICA EXISTENCIA DE FUNCION POTENCIAL DE VELOCIDADES

0 v

A

B

C C1

C2

0ˆ21

CSCCC

dSnvdlvdlvdlv

ABdlvdlvB

A

B

A

C1 C2

o

r

rrdlvr

o

rv



II. FLUJO POTENCIAL. REGIONES MULTIPLEMENTE CONEXAS

REGIONES CON AGUJEROSAGUJEROS: OBSTACULOS EN 2-D O TOROS EN 3-D

LA FUNCION POTENCIAL PUEDE SER MULTIVALUADA

0ˆ212121

CCSCC

dlvdlvdSnvdlvCC

B

A

B

Adlvdlv

C2 C3

A

B

C1

C2

C3

0 v

0 v

?

?ˆ3232 CCSCC

dSnvdlv

B

A

B

AdlvAdlvAB

C2 C3



II. FLUJO POTENCIAL. REGIONES MULTIPLEMENTE CONEXAS

LA CIRCULACION VALE CERO PARA CUALQUIER CURVA QUE NO ABARQUE AL OBSTACULO

PARA UN PATRON DE FLUJO DETERMINADO LA CIRCULACION EN TORNO AL OBSTACULO ES UNICA Y VALE LO MISMO PARA CUALQUIER CURVA QUE LO RODEE

0ˆ ABCDSABCD

dSnvdlvBA

CD

0 v

0 v

?

CDABdlvdlv

HACIENDO EL LIMITE AB Y CD



II. FLUJO POTENCIAL. ECUACION DE BERNOULLI DE NUEVO

LA ECUACION DE MOVIMIENTO

01

2

2

vvpv

t

v

ph 1

rv

02

2

hv

t

0)(2

2

tChv

t

RELACION DE HOMENTROPIA(Proviene de ausencia de vorticidady flujo homentalpico)

FLUJO POTENCIAL

0 v

ECUACION DE BERNOULLI

IMPORTANTE

LA CONSTANTE ES UNIVERSAL EN TODO EL CAMPO FLUIDO

EN FLUJO ESTACIONARIO

Chv

t

2

2



II. FLUJO POTENCIAL. ECUACION DEL POTENCIAL

• SE OBTIENE DE LA ECUACION DE CONSERVACION DE LA MASA

• EN 2-D QUEDA (AÑADANSE LOS TERMINOS EN z PARA 3-D)

• HAY QUE AÑADIR LA VELOCIDAD DEL SONIDO COMO

21 v

Dt

D

ytyxtxttxyyxxyyxyyyxxx cc 22222222

22222

2

1

2

1xxUcc

A PESAR DE SER UNA ECUACION PARA EL POTENCIAL ESCOMPLEJA Y RARAMENTE SE RESUELVE COMO TAL

2

2

22 tDt

Dc



II. FLUJO POTENCIAL. FLUIDO INCOMPRESIBLE

• ANALOGAMENTE SE TIENE

• CONDICIONES DE CONTORNO

– PAREDES SOLIDAS

– INFINITO

• OBSERVESE QUE EL TIEMPO NO APARECE EN LA ECUACION. LA DEPENDENCIA TEMPORAL SOLO ENTRA DE FORMA PARAMETRICA A TRAVES DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO

• ESTO SE TRADUCE EN QUE EL FLUJO SE ADAPTA INSTANTANEMAENTE A LAS CONDICIONES DE CONTORNO SI ESTAS DEPENDEN DEL TIEMPO

• EQUIVALE A DECIR QUE LA VELOCIDAD DEL SONIDO ES INFINITA

• LA PRESION SE OBTIENE DE LA ECUACION DE BERNOULLI

02

paredla de Normal Velocidad ˆ

nn VVn

nv

infinito el en Velocidad UrUr

.2

2

Ctevp

t

rv



II. FLUJO POTENCIAL. FLUIDO INCOMPRESIBLE BIDIMENSIONAL

• POR SER FLUJO INCOMPRESIBLE 2-D SE PUEDE DEFINIR UNA FUNCION DE CORRIENTE

• LA ECUACION DE CONTINUIDAD SE VERIFICA AUTOMATICAMENTE

• LAS LINEAS CONSTANTE SON LINEAS DE CORRIENTE

• SI EL FLUJO ES POTENCIAL LA FUNCION ES ARMONICA

x

ψvv

y

ψvu

r

y

x

que tal

yxyxy

v

x

uv

22

0

0

vdyudxdyy

dxx

d

20

y

u

x

vv Z



II. FLUJO POTENCIAL. SOLUCIONES ELEMENTALES 2-D

• FUENTE/SUMIDERO PUNTUAL

• DOBLETE

• VORTICE IRROTACIONAL

0

12

2ln

2

r

v

r

q

rv

qr

q r

SS

2

2

2

sin12

cossin

2

cos

2r

k

rv

r

k

rv

r

k

r

k r

DD

rr

v

rv

rr

VV

2

1

0ln

22



III. VARIABLE COMPLEJA

• Revisión de variable compleja

• Teorema de Cauchy

• Serie de Laurent

• Fórmula del Residuo

• El potencial complejo

• Teorema de Blasius

• Teorema de Joukowskii

• Condición de Kutta

• Flujo en torno a un cilindro

• Transformación Conforme



III. VARIABLE COMPLEJA. REVISION

FUNCION DE VARIABLE COMPLEJA

iyxz

f ES ANALITICA SI EXISTE SU DERIVADA

DERIVADA DE f

izf

yi

yxi

xzf

dz

zfd

CONDICIONES DE CAUCHY-RIEMANN

f ANALITICAxyyx

C

R

TEOREMA DE CAUCHY

f(z) analítica en una región R y su frontera C C

dzzf 0)(

Corolario: f(z) analítica en y entre dos curvas C1 y C2

21

)()(CC

dzzfdzzf C1C2



III. VARIABLE COMPLEJA. SERIE DE LAURENT

SERIE DE LAURENT

f(z) analítica en y entre 2 círculos concéntricos C1 y C2 con centro en punto a

C1

C2

a

2212

210az

a

az

aazaazaazf

C nn az

dzzf

ia

1

)(

2

1

,2,1,0 n

21 C y C ente (curva) CírculoC

RESIDUO DE f EN a, a-1 Cdzzf

ia )(

2

11

TEOREMA DEL RESIDUO

f(z) analítica en una región R y su frontera C,excepto en singularidades a, b, c …, entonces C

cbaidzzf 1112)(

C

a

b

c



III. VARIABLE COMPLEJA. POTENCIAL COMPLEJO

POR LAS CONDICONES DE CAUCHY CUALQUIER FUNCION ANALITICA fREPRESENTA UN FLUJO POTENCIAL INCOMPRESIBLE 2-D CON VELOCIDADES

VELOCIDAD COMPLEJA w(z)

xy

vyx

u izf

ir eivvivu

xi

xzf

dz

zfdzw

)(

POTENCIAL COMPLEJO f(z)

FLUJO UNIFORME zWzf

U

QV

ieQiVUWzw

FUENTE PUNTUAL

zq

zfS ln2

DOBLETE

z

kzfD

1

2

VORTICE IRROTACIONAL

zi

zfV ln2



III. VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE BLASIUS

TEOREMA DE BLASIUS

Para flujo potencial incompresible 2-D, exterior a un cuerpo rígido B con frontera ∂B descrito poruna velocidad compleja w(z) la fuerza ejercida sobre el cuerpo por la corriente es F

ivuzw

*2

2 Byx dzw

iiFF

F

Igualmente para el Momento M se obtiene:

Bz dzzwMM 2

2Re

B

B



III. VARIABLE COMPLEJA. TEOREM KUTTA-JOUKOWSKII

TEOREMA KUTTA-JOUKOWSKII

Para flujo potencial incompresible 2-D, exterior a un cuerpo rígido B con frontera ∂B cuya velocidad enel infinito es (U∞ , V∞), la fuerza ejercida sobre B es, F:

iUViFF yx FB

B

ieQiVUW

U

QV

F

UF

VF

y

x

DEM: Es una consecuencia directa del teorema de Blasius y del teorema del Resíduo junto conla expansión en serie de Laurent

221

0 z

a

z

aazw iVUa0

2

2120102

02 22

z

aaa

z

aaazw

idzzf

ia

C 2)(

2

11

*1022

2 aaii

F



III. VARIABLE COMPLEJA. FLUJO EN TORNO A UN CILINDRO

FLUJO EN TORNO A UN CILINDRO

Para flujo potencial incompresible 2-D, exterior a un cuerpo rígido B con frontera ∂B descrito poruna velocidad compleja w(z) la fuerza ejercida sobre el cuerpo por la corriente es F

i

ai

aeQeQf ii

ln

2)(

2

a

Q

1

2)( 2

2

i

aeQeQ

d

fdw ii

00

ieaCilindro




EN EL CILINDRO (r=a)

PUNTOS DE REMANSO w=0

aeQw i

cil

4sin2)(

ieaCil

sin4

sin

a

SI

0sin

Q

0




PUNTOS DE REMANSO w=0

a4SI

sinsin

Q



III. VARIABLE COMPLEJA. TRANSFORMACION CONFORME

16limlim

2cz

z



III. VARIABLE COMPLEJA. TRANSFORMACION CONFORME

TRANSFORMACION DE JOUKOWSKII

16

2cz

Q

a

x

y

PLANO PLANO Z

16limlim

2cz

z Si z es analítica se dice transformaciónConforme y mantiene proporcionalidadesentre angulos de distintas curvas



III. VARIABLE COMPLEJA. TRANSFORMACION JOUKOWSKII

OBTENCION DEL CAMPO TRANSFORMADO

z

0d

dz

zff INVERTIR z SUSTITUIR

EN LA PRACTICA NO ES NECESARIO YA QUE SE BUSCAN VELOCIDADES

d

fdw

dz

zfdzw

REGLA DE LA CADENA

ddzd

fd

dz

d

d

fdzw

1

22 161

1

cwzw

PUNTOS CRITICOS4

ccrit

2

czcrit

critzw




ESTRATEGIA GENERAL

• ESCONDER EL PUNTO CRITICO ANTERIOR EN EL INTERIOR DE LA FIGURA (PERFIL)• HACER COINCIDIR EL PUNTO CRITICO POSTERIOR CON EL PUNTO DE REMANSO DE SALIDA

PUNTO CRITICO POSTERIOR = BORDE SALIDA DEL PERFIL O TRAILING EDGE, te

0SI FINITO161 22

tete

te wc

wzw

CIRCULACION MAGICA

ite ea

a

iiii

te aeiea

aeQeQw

1

2)(

22

2

a

eieiQw

ii

te

2sin2)(

0sin4 Qa

sin4 Qa




CIRCULACION MAGICA

sin4 Qa

0

SIN CIRCULACION




PLACA PLANA ac 4

sin

sin)(

c

cQzw cil

sin Qc

cos2Cil

cz

cQcQQFL 22 sin

221 2

cQ

LCl 0dC

PLACA CURVAcos4ac

sincos

sin4 Qc

Qa

cos

sin2

21 2

cQ

LCl 0dC

im sinam

a

4c 4c

m2 x

y

2c 2c




PERFIL GRUESO 14ac

sin1sin4 QcQa

sin1221 2

cQ

LCl 0dC

4

c 0 3.1c

t

a

4

c

4

c

4

c

t x

y

2c 2c




RESUMEN CURVAS DE SUSTENTACION

lC

8 12

Placa plana

Joukowskii gruesoPlaca curva




NOMENCLATURA DE UN PERFIL ALAR



CONTENIDO

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