Aplicacin de Elementos finitos

Taller I Andrs Stiven Molina (235053), Juan Camilo Carrillo(235020)

Universidad Nacional de Colombia asmolinab@unal.edu.co jccarrilloc@unal.edu.co

Solucin Primer Punto.

Para solucionar este ejercicio primero se tiene que tener claro en donde estn los nodos de la

estructura, para ayuda de esto se realiza la siguiente tabla con las coordenadas de cada nodo:

Coordenadas

Nodos x y z 1 0 mm 0 mm 0 mm

2 6 mm 0 mm 0 mm

3 6 mm 6 mm 0 mm

4 0 mm 6 mm 0 mm

5 1,5 mm 1,5 mm 3 mm

6 4,5 mm 1,5 mm 3 mm

7 4,5 mm 4,5 mm 3 mm

8 1,5 mm 4,5 mm 3 mm

9 1,5 mm 1,5 mm 6 mm

10 4,5 mm 1,5 mm 6 mm

11 4,5 mm 4,5 mm 6 mm

12 1,5 mm 4,5 mm 6 mm

13 1,5 mm 1,5 mm 9 mm

14 4,5 mm 1,5 mm 9 mm

15 4,5 mm 4,5 mm 9 mm

16 1,5 mm 4,5 mm 9 mm

17 2,25 mm -1,5 mm 9 mm

18 3,75 mm -1,5 mm 9 mm

19 3,75 mm -1,5 mm 7,5 mm

20 2,25 mm -1,5 mm 7,5 mm

21 3 mm -4,5 mm 9 mm

22 2,25 mm 7,5 mm 9 mm

23 3,75 mm 7,5 mm 9 mm

24 3,75 mm 7,5 mm 7,5 mm

25 2,25 mm 7,5 mm 7,5 mm

26 3 mm 10,5 mm 9 mm

A continuacin se muestra la notacin de los nodos que se uso en este desarrollo:

(Nota: Lo ejes no se escogieron igual que en el problema)

Ahora se procede a ingresar los nodos en el Software Z88, para esto se le da en la opcin

Pre-procesor en la que se abre el siguiente men:

Se da en la opcin Nodes and Create element en la que sale el siguiente men

Le damos en la opcin Create node y Aqu podemos ingresar los nodos de la siguiente manera,

ingresamos las coordenadas en las casillas y le damos en el botn Add para agregar el nodo.

Entonces se comienzan a ingresar los nodos de esta manera.

En las siguientes imgenes se muestra cmo va quedando los nodos al ingresarlos (En este caso se

ingresan las distancias en mm).

Ahora se crean los elementos o barras que van de nodo a nodo, esto se hace dndole en la opcin

Create element en donde se abre el siguiente men:

Aqu elegimos el tipo de estructura que en este caso es Truss No.4, luego se seleccionan los nodos

entre los cuales va el elemento (los nodos se seleccionan oprimiendo la tecla control + click sobre los

nodos que queremos seleccionar, luego se oprime el botn Insert selected) y se inserta el elemento

oprimiendo el botn Add. Para este caso se escogen los nodos segn la notacin que se uso y el

plano de la torre, a continuacin se muestra el proceso de insercin de los elementos,

Se observa que en total hay 74 elementos como inicialmente se dijo en el problema.

Ahora se seleccionan las propiedades de los elementos:

1- Se selecciona la seccin del elemento, esto se hace seleccionando el men Pre-processor y

se da la opcin Section

Se despliega el siguiente men:

Aqu seleccionamos la seccin que necesitamos, pero debido a que no hay secciones en L se hace

necesario introducir las caractersticas del perfil del problema, las cuales son las siguientes:

Perfil L 1x1x1/4''

Propiedades m in

I 1,54006E-08 0,037

x & y 0,0086106 0,339

A 0,00028258 0,438

Se ingresan estas propiedades en el programa y se crea el perfil (Las propiedades se ingresan en mm

ya que se esta trabajando en mm).

2- Se selecciona el material de los elementos, esto se hace seleccionando el men Pre-

processor y se da la opcin Database

Donde se despliega el siguiente men:

Aqu se le da en la opcin Add para crear un nuevo material con las propiedades del material

del problema, las cuales son las siguientes:

Acero A 36

Propiedades m mm

Mdulo de Elasticidad 200.000.000.000 200.000

Esfuerzo de Fluencia 250.000.000 250

Coeficiente de Poisson 0,26 0,26

Las propiedades del material se ingresan en mm ya que en este caso el problema se esta

desarrollando en mm.

Ahora que se creo el material se define este como el material de los elementos, para esto se le da

en la opcin Define

Ya que las propiedades de los elementos estn definidas se procede a crear las restricciones de

cada uno de los nodos, segn lo que se propuso en el problema.

A continuacin se muestra una tabla con cada nodo y sus respectivas restricciones y/o fuerzas.

Nodo Restricciones

1 Tiene solo restricciones en el eje z

2 Tiene restricciones en todos los ejes

3 Tiene solo restricciones en el eje z

4 Tiene restricciones en todos los ejes

26 Fuerza en X de 15 KN y fuerza en Z de -16KN

21 Fuerza en X de 15 KN y fuerza en Z de -16KN

Se agregan las restricciones a los nodos de la siguiente manera:

Primero se define cada set para cada restriccin y/o fuerza en cada uno de los nodos, por ejemplo

en el nodo 21 hay dos fuerza distintas en dos ejes distintos por lo que se hace necesario dedinir

dos sets, los sets se agregan con la opcin Picking en el men Pre-processor.

Se despliega el siguiente men:

Seleccionamos en View la opcin Selected Nodes, ahora se selecciona cada nodo con control

+ click y le damos en el botn Add Set, de esta manera aadimos el nodo.

A continuacin se muestra el proceso:

En total se tienen 6 nodos con restricciones y/o fuerzas.

Ahora que se definieron los nodos se crean las restricciones de los nodos, esto se hace de la

siguiente manera: Se la abre la opcin Define en el men Pre-processor, donde se abre el

siguiente men:

Los sets para cada nodo se muestran a continuacin, adems se muestra el destino propuesto para

cada set:

Set Nodo Destino

3 1 Restriccin en z

4 2 Restriccin en todos los ejes

5 3 Restriccin en z

6 4 Restriccin en todos los ejes

7 21 Fuerza en x

8 21 Fuerza en z

9 26 Fuerza en x

10 26 Fuerza en z

Aqu seleccionamos cada set y le agregamos la restriccin correspondiente, a continuacin se

muestra la creacin de la restriccin para cada nodo:

Nodo 1: Segn la tabla este nodo tiene una

restriccin de desplazamiento en el eje z,

entonces:

Nodo 2: Tiene una restriccin de

desplazamiento en todos los ejes,

entonces:

Nodo 3: Tiene una restriccin de

desplazamiento en el eje z, entonces:

Nodo 4: Tiene una restriccin de

desplazamiento en todos los ejes,

entonces:

Nodo 21: Tiene una fuerza en x de 15 kN

(15.000.000 kg*mm/s^2) y otra en z de -

16 kN (-16.000.000 kg*mm/s^2),

como son dos fuerzas distintas se tiene que

hacer una restriccin para cada una,

entonces:

Fuerza en x:

Fuerza en z:

Nodo 26: Tiene una fuerza en x de 15 kN

(15.000.000 kg*mm/s^2) y otra en y de -

16 kN (-16.000.000 kg*mm/s^2),

como son dos fuerzas distintas se tiene que

hacer una restriccin para cada una,

entonces:

Fuerza en x:

Fuerza en z:

Ya que se tiene todas las restricciones

puestas se puede simular el problema, para

esto vamos a la opcin Solver, la cual

despliega el siguiente men:

Se oprime el botn Start calculation y

arroja la siguiente ventana:

Lo que quiere decir que al simulacin se

hizo correctamente. Se obtienen los

resultados en el men Post-processor, el

cual abre el siguiente men:

Donde podemos seleccionar los datos que

quiero ver, que en este caso me resulta til

ver el desplazamiento total, y el esfuerzo

en cada elemento, graficas que se

muestran a continuacin:

Para obtener la grfica de desplazamiento

total se llen el men de la siguiente

manera

Para obtener la grafica de esfuerzo para

cada elemento se lleno el men de la

siguiente manera.

Grafica de desplazamiento total.

Grafica de esfuerzo en cada elemento.

Para analizar si hay elementos que van a fallar se obtiene los mximos esfuerzos que hay en la

estructura y se evala si estn por debajo del esfuerzo permisible.

El esfuerzo permisible se obtiene con los valores que se conocen que son el factor de seguridad

el cual es igual a 2, y el esfuerzo de fluencia que es igual a 250 MPa.

=

=250

2= 125

Se observa que todos los elementos a tensin cumplen con el factor de seguridad, pero al observar

la tabla z88o3.txt la cual es la tabla de esfuerzos por elemento se observa que hay tres elementos

que estn fuera del factor de seguridad, y adems hay otros 4 elementos que estn muy cerca del

lmite estos se muestran a continuacin

A continuacin se muestra una tabla con los esfuerzos en cada elemento.

Elemento Esfuerzo

1 -1,614MPa

2 -1,359MPa

3 -1,332MPa

4 -1,24MPa

5 -1,239MPa

6 -1,21MPa

7 -1,21MPa

Por lo tanto los elementos 1,2,3 deben ser cambiados para que la estructura cumpla el factor de

seguridad deseado, adems los elementos 4,5,6,7 estn muy cerca del factor, por lo que se podran

cambiar si se deseara mayor confiabilidad en el diseo

Anlisis de resultados

Se observa que el desplazamiento mximo es de 34,6 mm lo que no es demasiado en comparacin

con la dimensin de la estructura.

Se observa que las mayores deformaciones se encuentran en los lugares donde estn las fuerzas

y las menores estn los apoyos, es ms son igual a 0 en los nodos 2 y 4, adems las deformaciones

son simtricas, estos son resultados esperados, lo cual de buena fe de que la simulacin es

correcta.

En la grfica de esfuerzos por elemento se observa que hay elementos sometidos a compresin y

a tensin, los que estn de color azul tienen el ms alto esfuerzo de compresin, mientras que los

que estn de color rojo tiene el mayor esfuerzo a tensin.

5

1

3

2

6

7

4

Solucin Segundo Punto

1. D

Figura 1. Viga

Datos mecnicos

= 30000 .

= 0.3

Datos geomtricos

Perfil cuadrado HSS2x2x1/8 (Tomado de:

http://www.engineersedge.com/materials/aisc_structural_shapes/aisc_structural_shapes_vie

wer.htm)

= = 2

() = 0.116

= 0.84 2

= = 0.486 4

1.1. Modele la viga con elementos de longitud l=2in. Para la geometra de elementos de la viga utilice el Square Profile con las medidas de la referencia HSS2X2X1/8. Halle la curva

elstica de la viga.

Para empezar a modelar la viga en el software z88aurora es necesario transformar la fuerza

distribuida a un sistema equivalente fuerza-momento mediante:

Figura 2. Sistema equivalente fuerza-momento

Lo cual nos resulta:

2=

(40)(12)

2= 240

2

2=

(40)(12)2

2= 480

Tambin es necesario convertir la fuerza den 400 lb que esta aplicada a un acople soldado a

la viga a un sistema fuerza-momento aplicado a la viga en el punto D.

= (400)(4)

= 1600

La viga a modelar resulta entonces:

Figura 3. Viga equivalente para modelar

1.1.1. Creacin de nodos.

El primer paso para crear la geometra de la viga es crear los nodos. Se escogen nodos

equidistantes de 2 in.

Figura 4. Ingreso de los nodos

El resumen de los nodos ingresados al software se puede apreciar en la Tabla 1.

Tabla 1. Nodos ingresados al software

1.1.2. Creacin de elementos.

Como estamos modelando una viga el elemento apropiado es Beam No. 13 para

elementos coplanares.

1.1.3. Ingreso de las propiedades geomtricas de la viga

Con los datos obtenidos en la pgina web se procede a crear la seccin transversal de la

viga.

1.1.4. Seleccin del material

Para la seleccin del material se procede a agregar un material e ingresar las

propiedades mecnicas del material.

Luego de aadir el material damos clic en Define para asignarle el material a los elementos

BEAM.

1.1.5. Creacin de sets

Para la creacin de set nos podemos guiar de la Tabla 2.

Tabla 2. Sets

Figura 5. Distribucin de sets por nodo

1.1.6. Creacin de las restricciones

Con ayuda de la Tabla 2 podemos crear las restricciones del modelo

1.1.7. Solucin

Damos clic en star calculation y se observa que la solucin convergi.

Luego de esto en post-proceso podemos observar la curva elstica de la viga.

El resumen de los desplazamientos nodales en X e Y:

Tabla 3. Desplazamientos nodales en X e Y

La mayor deflexin en la viga se encuentra en la mitad (nodo 9) con un valor de -0.02811 in.

Tambin se observa una deflexin levemente mayor en la parte derecha de la viga que en la

izquierda, que es contrario a lo que la intuicin nos indicara; esto se debe a que si se grafican

el diagrama de momento flector, la parte derecha presenta valores de momento mayores que

la parte izquierda.

2. Halle los diagramas de fuerza cortante y momento flector a mano.

2.1. Diagrama de cuerpo libre

Figura 6. DCL viga

2.2. Ecuaciones de equilibrio

= 0 + = 400 + 480

+ = 880

= 0 32 = 480(6) + 400(22)

= 365

= 515

2.3. Diagramas de fuerza cortante y momento flector

Para realizar el diagrama de fuerza cortante y momento flector en la viga convertimos la

fuerza del acople soldado a un sistema equivalente fuerza-momento resultando:

Figura 7. DCL para diagrama fuerza cortante y momento flector

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15 20 25 30 35

V [

lb]

x [in]

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 5 10 15 20 25 30 35

M [

lb in

]

x [in]

3. Con los datos de fuerzas internas de los elementos, dibuje los diagramas de cortante y momento flector, ya sea en Matlab o Excel. Compare con los diagramas obtenidos a mano.

Cabe resaltar que al realizar el sistema equivalente de la carga distribuida en el primero nodo

se est sumando una fuerza y un momento que en realidad no estn actuando en la viga,

entonces, se hace necesario tratar los datos de la siguiente manera:

Para la reaccin en A

240 = 274.807

= 514.807

Y para el momento en A

+ 480 = 480.218

= 0.218

Cabe resaltar que como se cambi la condicin de carga distribuida a un sistema equivalente

todos los nodos hasta el 7 arrojan un valor constante de fuerza cortante. No obstante, sabemos

que esto es errneo en la viga real; es por esto que tomamos solo el valor del nodo 7 para

graficar el diagrama.

Graficando en Excel con los valores arrojados por el software

Figura 8. Grafica fuerza cortante con datos Z88aurora

La grafica de momento flector tiene esta forma con poca precisin debido a que Excel une

los puntos como una funcin, como tenemos pocos puntos la exactitud de la grfica es poca.

As pues, entre mayor sea la cantidad de nodos en que se divida la viga mejor ser la

definicin o exactitud de la grfica del momento flector.

Figura 9. Grafica momento flector con datos Z88aurora

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15 20 25 30 35

V [

lb]

x [in]

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 5 10 15 20 25 30 35

M [

lb in

]

x [in]

CONCLUSIONES

El software de elementos finitos brindan una herramienta muy fuerte para realizar anlisis de

problemas complejos en diversos campos como lo son estructurales, fluidos, trmicos, entre

otros.

Entre mayor sea el nmero de nodos en los que se divida un problema o ms refinado se haga

el enmallado, ms precisos sern los resultados. No obstante, el costo computacional que esto

implica es ms alto.