MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS Y SISTEMAS ESTRUCTURALESConvo atoria extraordinaria 1999/2000 11 JULIO 2000Apellidos: Grupo:Nombre: Tutor: Expediente:Examen FinalEste ejer i io debe realizarse individualmente, sin onsultar ningún tipo de apuntes, y on la solaayuda de una al uladora aritméti a, on las opera iones +, −, ×, ÷ y √ (aunque la mayoría de lasopera iones aritméti as pueden ha erse mejor grá� amente, o a mano, on lápiz y papel).Las respuestas deben darse en las unidades que �guran a la dere ha del re uadro para ello. Noindique signo, salvo uando se pida expresamente y se enun ie un onvenio para su signi� ado.Si desea trabajar sobre los dibujos, ompruebe primero si están a es ala.El ejer i io onsta de 3 preguntas bási as: 1, 2 y 3; y 12 preguntas puntuables. Contestar o-rre tamente las tres bási as es impres indible para que el examen sea ali� ado, aunque estasrespuestas no puntuan. Las 12 puntuables valen 1 punto ada una, de manera que se aprueba elejer i io respondiendo bien 5 de ellas y las tres bási as.Si le queda tiempo y ganas, le rogamos onteste las uestiones que sobre el propio examen �guranen la última página. No es obligatorio ha erlo.A. La balanza de la �gura, de brazos desiguales, está enequilibrio. Si el peso Q es de 12, ¾ uanto vale P ?1. Peso P : 2 m 3 mQ P

B. El uerpo de la �gura es un ubo de lado a = 2 y peso P = 8.El oe� iente de rozamiento on el suelo es 0,5. ¾Cual es el mínimovalor de la fuerza Q para provo ar el deslizamiento?2. Q: P

Q

a

a0,1aC. La viga de la �gura, en la que L = 5, soporta una argaQ = 12. ¾Cuál es el valor absoluto del momento máximo?3. Momento:

L 0,5L Q

D. La viga de la �gura soporta dos argas Q = 12,¾ uál es el valor de la rea ión en el apoyo simple de ladere ha? 4. Rea ión:Q

Q

2 2 2 31,5

E. La pieza de la �gura, de área onstante de 1.000 y de 4 de longitudtotal, está ompuesta de dos trozos fuertemente unidos. El primero,de 1 de longitud, es de un aluminio, uyo módulo de Young vale 100y uyo límite elásti o es de 250. El resto de la pieza es de a ero, onmódulo de Young de 200 y 400 de límite elásti o. Sometida a unafuerza Q = 200, ¾ uál será el desplazamiento del extremo dere ho?(El peso de la pieza es despre iable)5. Desplazamiento:Q1 4

F. En la estru tura de la �gura, la viga AD se supondráindeformable y de peso despre iable. Los ablesAB yACson de igual área, 900, de un a ero on módulo de Youngde 200, límite elásti o de 400 y deforma ión de rotura de50. Bajo la a ión de la arga Q, el able AC se alarga 3.¾Cuál es la tensión en el able AB?6. Tensión σAB: A

B CD

Q

6 m4 m 3 m

G. El able funi ular de la �gura, de 900 de área, está en equilibrio onlas a iones Q = 40 indi adas. ¾Cuál es la máxima tensión en el able? (La�gura está a es ala.) 7. Tensión:Q

Q

a a a

3a

H. La viga de ordones paralelos de la �gura,de anto h = 1, está sometida a las fuerzas exte-riores indi adas. ¾Cuál es la soli ita ión normalen la barra AB? Indi ar signo: positivo paratra ión, negativo para ompresión.8. ±NAB: A BC D129 38h

h

I. La estru tura de la �gura, de anto a = 2, está sometida a la a iónde una arga Q = 12. La barra AC está dimensionada de tal forma quese a orta a razón de 0,9 bajo di ha a ión. Si se desea que el punto A nodes ienda más de 5, ¾ uál es el máximo valor absoluto de la deforma ióna la que puede trabajar la barra AB? (Indi ar signo negativo si ladeforma ión de la barra AB es de ompresión.)9. (±) Deforma ión:AB

CQa

a

J. La viga de la �gura está fabri ada on dos tablones de madera de 200 ×

100 de se ión. La madera resiste on seguridad tensiones normales de 12 ytangen iales de 2. La iner ia de la se ión respe to de su entro de gravedades de 308. Cal ular los máximos momento y esfuerzo ortante que la se iónpuede resistir on seguridad. (La unión entre los tablones está garantizada.)10. Momento seguro:11. Cortante seguro: 175125

K. La estru tura de la �gura está onstruida on unper�l de a ero de módulo de Young de 200. El áreadel per�l es de 1,000, su módulo resistente es de 500y su iner ia, 10. La longitud total es L = 5. Sobre laestru tura a túan dos argas Q = 12. Cal ular y di-bujar a es ala el diagrama de momentos, dibujándolospor el lado en que produ en tra iones, indi ando elvalor absoluto del máximo momento. ¾Cuál es la �e- ha en el entro del vano? Indique signo negativosi el entro as iende. ¾Cuál es la máxima tensión detra ión en el per�l? 12. Mmax:13. (±) Fle ha:14. Tensión:

LL/2

Q

Q

M

L. Un soporte de madera, de se ión uadrada de 70 de lado, de 3 de altura, está empotrado en subase y libre en su abeza. La madera tiene un módulo de Young de 100. El área del per�l es de 4.900y su iner ia, 2. Antes de argarlo se observa que tiene un desplome ini ial en abeza de 10 respe toa la verti al de su base. ¾Cuál será el desplome total uando se aplique en la abeza del soporte unafuerza verti al de 20? 15. Desplome:

El ejer i io le ha pare ido: fá il, difí il, raro, largo, bien, mal.Piensa que sa ará ___ puntos. Copyleft Vázquez, 2000.

Mecanica de Solidos y Sistemas EstructuralesDepartamento de Estructuras de Edificacion

Escuela Tecnica Superior de de Arquitectura de MadridAA 06/07 4-7-2007 Hoja de resultados

Apellidos: Grupo:

Nombre: Tutor: Expediente:

ℵ Examen final extraordinario ℵEste ejercicio debe realizarse individualmente, sin consultar ningun tipo de apuntes, y con la sola ayuda de unacalculadora (aunque la mayorıa de las operaciones matematicas pueden realizarse mejor graficamente, o a mano, conlapiz y papel). Si desea trabajar sobre los dibujos, compruebe primero si estan a escala.

Las respuestas numericas deben darse en las unidades que figuran a la derecha del recuadro para ello. No indiquesigno, salvo cuando se pida expresamente y se enuncie un convenio para su significado.

Cada pregunta o diagrama vale un punto.

A. En el funicular de la figura, la tension maximadel cable es de 25N/mm2. Si se acortara el cable desuerte que su flecha fuera la mitad (lınea a trazos),permaneciendo iguales las cargas verticales y la sec-cion del cable, ¿cual serıa ahora la maxima tensionen el cable? (La figura esta a escala.)

1. Tension maxima: N/mm2

a a 2a

a

1,5a

B. Para colgar la carga p, de 25 kN/m, se ha dispuestoun cable de acero entre los anclajes A y B. La lınea ABforma un angulo β de 20o con la horizontal, mientras queel arranque del cable en A forma un angulo α de 15o. Elacero a emplear resiste con seguridad tensiones normalesde 300N/mm2. Se pide calcular las reacciones verticalesen los anclajes, ası como la reaccion horizontal en ambos;tambien el area del cable estrictamente necesaria para laseguridad.

A

B

p

6 m 21 m 18 m

β

α

2. VA: kN 3. VB : kN

4. H : kN 5. area: mm2

C. Dibuje primorosamente el diagrama de momentos del voladizo de la figura, utilizando la escala y elconvenio de signos indicados, y acotando los valores en ambos extremos y en la mitad del vuelo (sin los queno se calificara la respuesta).

1,4 kN/m1,9 kN/m

5,4 kN

5,4 kN

2 m 2 m

10 mkN

10 mkN

M (mkN)

D. Dibuje los diagramas de momentos, cortantes y normales de la estructura dela figura. Dibuje a escala cada diagrama, indicando la escala empleada en cadauno, y con los convenios de signos indicados. Acote al menos los valoresmaximo y mınimo de cada diagrama, y los valores en la posicion delas cargas (si son diferentes).

3 m

5 m

8 m

2,4 m 3,6 m

7 kN 5 kN

M (mkN) V (kN) N (kN)

E. Estructura sometida a carga. Se muestran cuatro diagramas de momentos, todosellos bien dibujados a escala, con el criterio de representar el momento por la caratraccionada de la pieza (el habitual). ¿Cuales de entre ellos no pueden cumplir en

ningun caso con las ecuaciones de equilibrio de la estructura a la vista de la carga y lasustentacion? Conteste con los rotulos correspondientes, o con ‘‘todos’’ o ‘‘ninguno’’.(Sugerencia: estudie como son las reacciones en los vınculos. . . )

10. Diagramas incorrectos:

A B C D E

Copyle

ftc ©

2007,V

azq

uez

Esp

ı.P

rinte

dw

ith

free

software

:G

NU

/Lin

ux/emacs/LA

TEX

2ε/Postscript.

Mecánica de Sólidos y Sistemas EstructuralesDepartamento de Estructuras de Edificación

Escuela Técnica Superior de de Arquitectura de MadridAA 09/10 7–6–2010 Hoja de resultados

Apellidos: Grupo:

Nombre: Tutor: Expediente:

Examen final de junio no 1

⋆Este ejercicio debe realizarse individualmente, sin consultar ningún tipo de apuntes, y con la sola ayuda de unacalculadora (aunque la mayoría de las operaciones aritméticas pueden realizarse mejor gráficamente, o a mano, con lápizy papel). ⋆Las respuestas deben darse en las unidades que figuran a la derecha del recuadro para ello. No indique signo,salvo cuando se pida expresamente y se enuncie un convenio para su significado. ⋆El ejercicio consta de 3 preguntasbásicas: 1, 2 y 3; y 12 preguntas puntuables, numeradas del 4 al 15. Contestar correctamente las tres básicas esimprescindible para que el examen sea calificado, aunque estas respuestas no puntuan. Las 12 puntuables valen unpunto cada una. Se aprueba el ejercicio respondiendo bien 5 de ellas y las tres básicas.

A. La balanza de la figura, de brazos desiguales, está en equilibrio.Si el peso Q1 es de 6 kN, ¿cuanto vale P? ¿cuánto vale la reacciónvertical en la articulación A?

1. Peso P : kN

2. Reacción en A: kN

A

2 m 3 mQ1 P

B. La viga de la figura, en la que L = 4 m, soporta sendas cargasQ2 = 100 kN. Su peso propio es despreciable. ¿Cuál es el valor de lareacción vertical en A?

3. Reacción vertical en A: kN

5

16L 3

16L 3

16L 5

16L

3

16L

3

16L

Q2

Q2

A BC

C. El cable de la figura es de un acero de 500 N/mm2 de límite elástico y 78,5 kN/m3 de pesoespecífico; el área de su sección es de 400 mm2. Además de su propio peso, soporta un pesoQ1 = 6 kN en su extremo inferior. ¿Cuál es la máxima longitud que puede alcanzar sin romperse?

4. Máxima longitud L: mQ1

L

D. En la estructura de la figura, la barra AB se supondrá indeformable e infinitamenteresistente. Está articulada en B y sustentada por dos cables verticales, doblemente articula-dos. Ambos son de la misma sección, 100 mm2, y del mismo acero, de 260 N/mm2 de límiteelástico, 200 kN/mm2 de módulo de Young, y 20 mm/m de deformación de rotura. El pesode la propia estructura es despreciable. ¿Qué peso habría que colgar de C para romper laestructura? (La figura está a escala.)

5. Peso último en C: kN

3 m

3 m

1 m3 m

A

B

C

E. El cable funicular de la figura (a escala) está en equilibrio bajo las cargas indicadas(Q1 =6 kN). ¿Cuál es la solicitación en el cable en la sección 2? (Indique signo negativo

si es una compresión. No es necesario saber la longitud del cable, pero si necesita una,suponga una cualquiera.)

6. N2 (negativo para la compresión): kN Q1

Q1

1

2

3

F. En la estructura de la figura, la barra AB es indeformable e infinitamenteresistente. La barra CD es un cable de acero de altísima resistencia, de 1000 mm2

de sección. El módulo de Young del acero es de 200 kN/mm2. En el extremo B actúauna fuerza Q6 = 50 kN. El peso propio de ambas barras es despreciable. Se pideel valor de la solicitación en el cable CD, y el descenso vertical de B. (Indiquesigno positivo para la tracción y el descenso.)

7. NCD (negativa si es compresión): kN

8. Descenso en B (negativo si es ascenso): mm

2,25 m

2,25 m

3 m 1 mA

B

C

D

Q6

G. La sección de la figura, de canto 150 mm, tiene una inercia de 40 mm2m2 y sucentro de gravedad está 100 mm por encima de su base. Dibujar el diagrama de

tensiones normales cuando está solicitada por un momento flector de 8 mkN, quetracciona su cara superior, indicando el máximo valor absoluto de la tensión normal.(El dibujo no está a escala en lo que se refiere a los anchos y espesores de la secciónde la viga.)

9. Máximo valor absoluto de la tensión normal: N/mm2

100 mm

50 mm

σ100 mm

50 mm

H. Dibuje una viga cuyo diagrama de momentosflectores sea el de la figura, en la que los momen-tos están dibujados del lado de las tracciones. Ensu dibujo incluya los vínculos y el conjunto deacciones exteriores que ha de soportar, indican-do sus magnitudes.

10. Dibujo de la viga:

x

M

−8 mkN

2 m

I. La viga de la figura, en la que L = 2 m, soporta sendas cargasQ3 = 6 kN. Su peso propio es despreciable. Calcular el máximovalor absoluto del momento flector y el mínimo valor del móduloresistente de un perfil de acero que fuera seguro en los tramos AC yCB. Si la distorsión tolerable en C fuera de 4 mm/m, ¿cuál sería lainercia mínima de un perfil ACB suficientemente rígido? El aceroempleado resisten con seguridad una tensión normal de 180 N/mm2

y su módulo de Young es de 200 kN/mm2.

11. Máximovalor absolutodel momento: mkN

12. Mínimomóduloresistente: mm2 m

13. Mínimainercia: mm2 m2

5

16L 3

16L 3

16L 5

16L

3

16L

3

16L

Q3

Q3

A BC

J. Máximo valor absoluto del momentoflector de la estructura de la figura, en laque Q3 =6 kN, a=4 m y b=2 m.

14. Máximo momento flector: mkN

a b a+ b

Q3

K. El soporte de la figura está en equilibrio bajo una carga Q5 =300 kN. Se observa una flechatotal de valor e= 20 mm. La sección del soporte es cuadrada de 100 mm de lado. ¿Cuál es elmáximo valor absoluto de la tensión normal?

15. Máxima tensión normal: N/mm2

e

Q5

Copyle

ft

c ©

2010,

Vázq

uez

Esp

í.v201065

Pri

nte

dw

ith

free

soft

ware

:G

NU

/L

inu

x/emacs/LA

TE

X2ε/Postscript.

Mecánica de Sólidos y Sistemas EstructuralesDepartamento de Estructuras de Edificación

Escuela Técnica Superior de de Arquitectura de MadridAA 13/14 ℵ 2–7–2014 ℵ Hoja de resultados

Apellidos: Grupo:

Nombre: Tutor: Expediente:

Exámen final extraordinarioEste ejercicio debe realizarse individualmente, sin consultar ningún tipo de apuntes, y con la sola ayuda de unacalculadora (aunque la mayoría de las operaciones matemáticas pueden realizarse mejor gráficamente, o a mano, conlápiz y papel). Si desea trabajar sobre los dibujos, compruebe primero si están a escala.

Las respuestas numéricas deben darse en las unidades que se indican y basta con tres cifras significativas. Ni se leocurra responder cosas como 2

√2, 2/π ó cos 45o, porque su respuesta no será calificada. No indique signo, salvo cuando

se pida expresamente y se enuncie un convenio para su significado.Cada pregunta vale un punto.

A. La viga, cuya sección transversal se representa en la figura esque-máticamente y sin escala, está construida con cuatro chapas de aceroperfectamente soldadas, de ancho a = 500 mm y espesor e = 12 mm.El acero empleado tiene un límite elástico de 275 N/mm2, módulo deYoung de 200 kN/mm2, y una deformación de rotura de 20 mm/m. Sepide calcular:

1. Esfuerzo flector de rotura de la secciónpara la flexión simple respecto al eje y (cargavertical):

1024,65

1138,5

1252,35

mkN

2. Radio de curvatura con que se alcanza ellímite elástico en el punto de máxima tensiónnormal, para flexión simple respecto al mismoeje:

163,62

181,8

199,98

m

e a e

a

e

2e

e

y

z

B. El arco de la figura está construido con perfiles de acero, de133 mm2m2 de inercia. Bajo la carga de servicio, no representada,el diagrama de curvaturas es el indicado en la figura (a escala),con la curvatura dibujada del lado de la tracción, siendo la cur-vatura máxima 3,1 km−1. La deformación debida a los esfuerzosnormales se considera despreciable frente a la debida a la cur-vatura de las barras. El requisito de rigidez exige que, en valorabsoluto, tanto el desplazamiento vertical de B como el horizon-tal de C producidos por la carga sean menores que 2 milésimasde h. Observe el convenio de signos indicados para los

desplazamientos.

3. Valor y signo del desplazamientovertical de B:

54,7047

60,783

66,8613

mm

4. Valor y signo del desplazamientohorizontal de C:

109,4094

121,566

133,7226

mm

5. ¿Cuál debería ser la inercia del perfilpara cumplir estrictamente con elrequisito de rigidez?:

1323

1470

1617

mm2m2

A

B

C

h h

h = 5,5 m

+

√2h/2

√2h/2

curvaturas

C. Se desea disponer un IPE600 de acero como una viga simplemente apoyada en sus extremos y sometidaexclusivamente a su propio peso. El acero empleado resiste con seguridad una tensión normal de 180 N/mm2,su módulo de Young es de 200 kN/mm2 y su peso específico es de 78,5 kN/m3. Se desea limitar la flecha a 1,2milésimas de su longitud. En estas condiciones ¿cuál es la máxima longitud que puede tener el IPE para cumplirel requisito de rigidez? ¿Cuál será entonces —con esa longitud— su máxima tensión normal bajo su propiopeso?

IPE600: 15600 mm2 de área, 600 mm de canto, 3070 mm2m de módulo resistente y 921 mm2m2 de inercia.

6. Máxima longitud:21,6198

24,022

26,4242

m

7. Máxima tensión normal:25,893

28,77

31,647

N/mm2

D. La viga de la figura se quiere construir a base de tablonesde madera, de 240×70mm2 de sección y de longitud suficiente,yustapuestos por simple contacto, es decir, sin considerar el usode adhesivos, tornillos u otras formas de unión; dentro de esola forma de disponer los tablones es libre con la condición deque el número de tablones necesarios sea el menor posible. Lamadera resiste con seguridad tensiones normales de 12 N/mm2

y tangenciales de 1,5 N/mm2. Las cargas Q y p son las indicadasen la figura. El peso de los tablones se considera, en todo caso,despreciable.

8. Número mínimo de tablonesnecesarios para resistir los esfuerzoscortantes:

2,43

2,7

2,97

9. Número mínimo de tablones pararesistir los momentos flectores:

4,536

5,04

5,544

10. Número mínimo de tablones paraque la viga sea segura si, además dela carga de la figura, actúa una cargapuntual de 23 kN en el centro del vano:

6,93

7,7

8,47

En este último caso, dibuje proporcionadamente la sección dise-ñada para la viga, acotando sus dimensiones, mostrando comose agrupan los tablones necesarios.

p=14 kN/mQ=10 kN

1,8 m 5,4 m

Pro memoria:

3

8

5

8

3

4

1

4

2

3

1

34

48·

QL

4EIL2

5

48·

pL2

8EIL2

∫

b

af(x) dx ≈

b − a

6

{

f(a) + 4f(a + b

2) + f(b)

}

, , f derivable

Copyle

ft

c ©2014,

Vázq

uez

Esp

í.v201473

Pri

nte

dw

ith

free

soft

ware

:G

NU

/L

inu

x/emacs/LA

TE

X2ε/Postscript.