activitats de reforç i ampliació

Activitats de reforç i ampliació

© 209


Nom: Data:

Activitats de reforç

Expressa en forma d’interval i representa:a) –3 < x � 5b) x � 2c) –5 � x �

Expressa en forma de desigualtat:

Representa en la recta real els següents nombres enters o decimals exactes, 0, 3, 4,3,69, 10.

3 7

— — — — — — — — — — —

–5

— — — — — — — — — — —

–2 6

— — — — — — — — — — —

3

2

12

1

Unitat didàctica 1. El nombre real

©210


Representa en la recta els nombres següents: ,

Aplica les propietats dels radicals i resol:

a) · ·

b) 5 + – 8 + c) Racionalitza

5√3 + 13√13

4 15

69

5

��ab3

��a3

b2

4

��b5

a7

6

√12 √27 √75 √48


© 211


Activitats d’ampliació

Representa les semirectes A = (–∞, –3] i B = [–8, +∞)Expressa gràficament i en forma d’interval:a) A ∩ Bb) A ∪ B

Per a quins valors de x són vàlides les expressions següents:a) b)

Racionalitza (Atenció: caldrà racionalitzar dos cops)

Resol aplicant les propietats de potències i arrels:4

51 –√2 + 1√3

3

√2x – 2√x – 3

2

1


a 3 · ( )2

· 1√a 6

( : )–a 2 · bb 3

a 2

b 3 √b 3

√b – a 9

a 5

b 2

1

© 215


Nom: Data:


Factoritza el polinomi següent:x 4 – 2x 3 – 5x 2 + 6x

Troba el m.c.m i el m.c.d dels polinomis següents:P (x ) = x 2 + x – 2Q (x ) = x 3 – 7x + 6

Fes les operacions següents:

a) – ; b) · ; c) :

Si P(x) = x5 + 5x – 3x2 + 1 i Q(x) = x2 + 3x + 2, calcula:P + Q, P – Q, 2P + 3Q

4

x (x + 1)x 2

x (x – 1)x + 3

x 2

3x – 4x + 5x – 2

x 2 + 3x – 3

xx – 4

3

2

1

Unitat didàctica 2. Polinomis i fraccions algebraiques

©216


Extreu factor comú:a) 15xy – 21xy 2 + 9x 2y 2 – 6xy 4

b) x 2 – x 3 + x

c) ab 2 + 5a 2b + 3a 2b 2 – 6abd) 2x (x 2 + 2x + 1) – 2x 2 (2x – 1) – 4x 2 (5x – 3)


Resol l’equació següent:x 4 – 2x 3 – 5x 2 + 6x = 0

Simplifica aquesta expressió:

–

Donat el polinomi següent,x 4 + 2x 3 – 21x 2 – kx + 40Calcula k perquè 5 sigui una arrel del polinomi:

3

1a + b

a 2 – a + abab + b 2

2

1

26

14

12

5


© 217


Si P (x) = x4 + x3 + 2x2 + 1 i Q(x) = x2 + 3, calcula:

a) P (x ) – 2Q (x ); b) P (x ) – Q (x ); c) P (x ) · Q (x )

Treu factor comú i simplifica quan sigui possible:

a) ; b)

c) ; d) 9x 2 – 19x 2 + 6x + 1

(x + 1) (x – 1)(x 2 – 1)2

9x 2 – 30x + 25(3x – 5)3

3xy + 6yz + 3y3y 2 + 6xy 2z + 3y

5

12

12

4


© 221


Nom: Data:


Resol els sistemes d’equacions següents:

Resol:

a) – = 0; b) = 3 + 2x; c) + =

Resol els sistemes següents:

a) b)

Resol:

a) > 0; b) ≤ 02 – xx – 7

x – 5x + 2

4

2 = y + 12x – 3y = 1⎧⎨⎩

√x + 1x 2 + y 2 = 34x 2 – y 2 = 16⎧⎨⎩

3

9960

6 – x5

√x 2 + 94

√5x + 6√3 – x√x 2 + 3

2

b) x – = 12

+ = 15

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2y5

x – y3

x + y2

a) 3x + = 15

4y – = 29

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y5

31x4

1

Unitat didàctica 3. Equacions, inequacions i sistemes

©222


El passeig circular que envolta una font té 2 m d’ample. Calcula els radis de les circum-ferències interior i exterior si la superfície del passeig és de 113,04 m3. (Pren π = 3,14.)


Resol en funció del paràmetre a:

Resol els sistemes següents:

a) b)

Resol les equacions següents:a) x 4 – 10x 2 + 9 = 0 b) x 4 + x 2 = 0c) 4x 2 – 17x + 4 = 0 d) + = 4

Resol:

a) < 0; b) > 0x 2 – 1x2 + 1

x + 1x 2

4

√5x – 6√2x

3

y 2 + 2y + 1 = x+ y = 5

⎧⎨⎩√x

2x + y = 2xy + y 2 = 0

⎧⎨⎩

2

ax + y = 4x + 3y = 6

⎧⎨⎩

1

5


© 223


Escriu una equació de tercer grau amb les dues úniques solucions i – .

En una fàbrica de calçat es confeccionen dos tipus de sabates, A i B. Per atendre els seusclients, han de fabricar entre 200 i 1000 unitats del tipus A i no més de 500 del tipusB, de manera que entre totes no sobrepassin les 1200 unitats al mes.Representa el recinte corresponent a aquesta producció.

6

12

12

5


© 227


Nom: Data:


La lliura és una mesura de pes que equival a 0,45 kg.a) Completa la taula següent:

b) Representa la funció que converteix lliures en quilos.

Representa les rectes següents i indica quin és el pendent de cadascuna.a) 2x – 3y = 8; b) 2y = –x + 1; c) 0,1x + 0,1y = 0,1

2

x (lliures) 0,5 1 1,5 2 3 4

y (kg)

1

Unitat didàctica 4. Funcions elementals I

©228


Representa gràficament les funcions següents:

f (x ) = g (x ) =

Indica on són discontínues.

Troba l’equació de les rectes següents:a) Té pendent m = 1 i passa per (1, 2).b) Passa pels punts (–1, 1), (3, –2).c) Els talls amb els eixos són els punts (1, 0), (0, –3).

4

⎧⎨⎩

–(x + 1) si x < 0x + 1 si x > 0

2x + 1 si x < –13x – 2 si –1 ≤ x < 11 si x ≥ 1

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

3


© 229



Representa les funcions:

f (x ) = ; g (x ) =

Escriu en funció de x l’àrea de la part ombrejada en cada una d’aquestes figures:

Calcula el domini de les funcions següents:

a) f (x ) = ; b) f (x ) = ; c) f (x ) = √x + x√x – 13x – 22x + 1

x + 1√x 2 – 1

3

a) b) c)

6

6

6

6

6

6

x x x

x

2

⎧⎨⎩

|x + 1| si x < 0|x – 1| si x > 0

x + si x < 1/2

3x – 1 si x ≥ 1/2

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

12

14

1


©230


Escriu l’expressió analítica de la funció que correspon a aquest gràfic:

Dibuixa el gràfic d’una funció el domini de definició de la qual sigui Á – {–1, 1} i quesigui decreixent en tot el seu domini.

12

1 3 6

5

4


© 235


Nom: Data:


Indica el domini de definició de les funcions següents:

a) y = b) y = c) y =

d) y = e) y = f ) y =

Representa en uns mateixos eixos les funcions següents:

a) y = 3x b) y = ( )x

Resol les equacions següents:

a) 3x + 31 – x = 4 b) = 8

c) 342x = 16 807 d) 2x + 2 · 4x + 8x = 0

1x +1

4x – 1

3

13

2

√x 2 – 9√4 – x 2√2x 2 – 5x

1x 2 – 4

1x 2

31 – x

1

Unitat didàctica 5. Funcions elementals II

©236


Digues en què s’assemblen i en què es diferencien els gràfics de les funcions següents:

a) y = x 2; b) y = (x – 2)2 + 5; c) y = (x + 1)2 +

Representa les funcions següents:

a) y = ; b) y = –2


Representa aquestes funcions i digues quins són els dominis de definició:

a) y = – ; b) y = – + 4

c) y = –2 ; d) y = –2 – 1√x + 4√x + 4

√4x + 4√4x + 4

1

√2 – x√2x + 7

5

23

4


© 237


Representa:

a) y = + 3; b) y = – 1

Resol el sistema següent:

a)

Resol les equacions següents:

a) 2–x 2 – 1 = ; b) 54x 2 – 8x + 3 = 1; c) 55x – 2 = 390 625; d) 3x – 3x – 1 = 18164

4

y =

y =

⎧⎪⎨⎪⎩

1x – 1–x 2 + 4x – 2

2

3

(x + 1)2

21x

2


© 241


Nom: Data:


En dos triangles semblants ABC i A'B'C', se sap que AB = 8 cm, BC = 4 cm i AC = 15cm. Si A'C' = 10 cm, calcula els altres dos costats del triangle A'B'C'.

Les àrees de dos triangles semblants són respectivament, 600 i 1200 cm2. Troba la longi-tud del costat homòleg a un costat de longitud 20 cm, corresponent al primer triangle.

Una empresa ha construït dos dipòsits cilíndrics, un al costat de l’altre. Un és gran, fa10 metres d’alçada i té un volum de 240 m3. Si sabem que el del costat és semblant algran i que té un volum de 30 m3, quina serà la seva alçada?

Un avió fa una ruta de la ciutat A a la ciutat B. Normalment, però, fa escala a la ciu-tat C. A partir del dibuix, i tenint en compte que l’avió té una autonomia de vol que lipermet fer 5500 km sense repostar, sabries dir si l’avió és capaç de fer la ruta A-B sen-se fer cap escala?

A

C

B

110º

4000 km

3000

km

4

3

2

1

Unitat didàctica 6. Semblança

©242



A determinada hora del dia, l’ombra que projecta un pal sobre el terra és igual a l’al-çada d’aquest pal. Si considerem que el Sol surt a les 6 del matí i s’amaga a les 6 de latarda, quina hora creus que pot ser? A quina hora creus que l’ombra serà més llarga?I més curta?

Volem fer un model a escala 1:10 d’un cotxe de ral·lis. Ja tenim fets tots els elementsdel motor i el xassís i només falten per construir les rodes. No tenim, però, la mida reald’aquestes rodes. Si sabem, però, perquè ho hem llegit en una revista, que quan la ro -da d’aquest cotxe fa una volta, el cotxe s’ha desplaçat 2 metres. Quin és el radi de laroda que hem de construir pel nostre model?Quina amplada haurà de tenir la nostra roda si, tenint en compte només la forma,ocupa 79,42 dm3 en el cotxe de ral·lis? (El volum d’un cilindre és igual a l’àrea de labase × altura.)

2

1


© 243


Tenim un quadrat de costat l. Calcula l’àrea d’aquest quadrat i la del quadrat que hiqueda inserit a dins. Quina relació hi ha? Aquesta relació es manté, a mida que inserimmés quadrats de la mateixa manera?

Demostra el teorema de Pitàgores a partir dels dibuixos següents:

aa

a

a

c b

c

b

cb

c

b

c

b

b

c

4

l?

3


© 247


Nom: Data:


Calcula les altres dues raons trigonomètriques dels angles α i β si sin α = 0,6 i tg β = 3i estàs en el primer quadrant.

Calcula l’àrea del triangle ABC:

Calcula, raonadament, les raons trigonomètriques dels angles següents:a) 1 035°; b) –3 400°; c) 10 000°; d) 2 700°

Calcula l’altura d’una torre sabent que l’ombra que projecta és de 108 metres quan elSol està elevat un angle de 50° sobre l’horitzó.

4

3

b = 10 cm

30° 40°

B

A C

2

1

Unitat didàctica 7. Trigonometria

©248


Troba el valor de l’angle α de la figura següent:


Calcula la resta de raons trigonomètriques de α si:

a) sin α = , < α < π; b) tg α = 2, π < α < ; c) cos α = , < α < 2π

Calcula els valors de les expressions següents:a) 2 tg 30° + 5 tg 240° – cos 270°b) cos 60° + sin 150° + sin 210° + cos 240°

2

3π2

3π2

25

π2

23

1

α β

18 cm

18 cm

27 cm

5


© 249


De les igualtats següents, indica quines són certes. Justifica-ho.

a) sin (x + ) = cos x; b) (cos x)2 = [sin ( – x)]2

c) tg (π + x) = –tg x; d) tg x · sin x = cos x

Resol les equacions següents:a) tg 2 x – tg x = 0b) 2 sin x · (cos x)2 – 6 (sin x)3 = 0

Un avió que vola a 3000 m d’altura, veu un poble A sota un angle de 40° respectea l’horitzontal de vol (angle de depressió) i un altre poble B sota un angle de 15°.Quina distància hi ha entre A i B?

5

4

π2

π2

3


© 253


Nom: Data:


D’una mostra de 75 bateries elèctriques s’han obtingut aquestes dades sobre la sevaduració:

Calcula la x_

i la σ.

En preguntar a un grup de persones quant de temps van dedicar a veure la televisió uncap de setmana, es van obtenir els resultats següents:

Troba la x̄ i la σ.

En una distribució de les notes d’un examen, el primer quartil va ser 4. Què significaaixò?

3

Temps (hores) Nombre de persones

[0; 0,5) 10[0,5; 1,5) 10[1,5; 2,5) 18[2,5; 4) 12[4; 8) 12

2

Temps (hores) Nombre de piles

[25, 30) 3[30, 35) 5[35, 40) 21[40, 45) 28[45, 55) 12[55, 70) 6

1

Unitat didàctica 8. Estadística

©254


En una cursa d’atletisme, els temps dels participants, en segons, són els següents:

a) Calcula x_

i la σ.b) Ordena els valors i calcula la mediana i els quartils.


Un dentista observa el nombre de càries de cada un dels 100 nens i nenes d’un col·legii obté els resultats resumits en aquesta taula:

a) Completa la taula.b) Calcula el nombre mitjà de càries.

Dues distribucions estadístiques, A i B, tenen la mateixa desviació típica.a) Si la mitjana de A és més gran que la de B, quina té un coeficient de variació més gran?b) Si la mitjana de A és el doble que la de B, com seran els seus coeficients de variació?

2

Nombre de càriesFreqüència absolutaFreqüència relativa

0 1 2 3 425 20 y 15 x

0,25 0,2 z 0,15 0,05

1

Temps

43,7 52 49,5 47,3 42,551,6 50,2 48,4 39,8 40,641,2 41,8 44 54 45,246,4 42,8 49 50,8 58

4


© 255


En un sondeig d’opinió entre joves catalans de 15 a 29 anys, una de les preguntes era:«Justifiques que algú accepti un soborn a la seva feina?»

Resposta

En una mostra de 2 000 individus es va obtenir una puntuació de 2,63.a) Expressa aquest resultat sabent que en la fitxa tècnica es diu que l’error màxim és de ±1,22amb un grau de confiança del 95 %.b) Si l’error màxim fos de ±0,6, el grau de confiança seria més gran o més petit?

Només un dels procediments següents permet obtenir una mostra aleatòria. Digues quini comenta el sentit del biaix i la seva importància.a) Per estudiar les freqüències relatives de les lletres, es prenen a l’atzar 20 llibres de la bi-blioteca d’un centre escolar i es compta el nombre de vegades que apareix cada lletra a lapàgina 20 dels llibres seleccionats.b) Per conèixer l’opinió dels seus clients sobre el servei ofert per uns grans magatzems, se se-lecciona a l’atzar, entre els que posseeixen targeta de compra, 100 persones entre les que hangastat menys de 1 000 € l’últim any, 100 entre les que han gastat entre 1000 € i 5000 €i 100 més entre les que han gastat més de 5000 €.c) Per calcular el nombre mitjà de persones per targeta en un CAP, els metges prenen notade les targetes de les persones que van a les consultes al llarg d’un mes.

3

4

mai → 1 a vegades → 5sempre → 10⎧⎨⎩


activitats de reforç i ampliació

Documents