actividades, evaluaciones, juegos de ingenio. hipertexto santillana matemáticas 10º

Saltos en atletismo

El salto de altura es una prueba de atletismo que consiste en sobrepasar una barra horizontal, llamada listón, ubicada a una altura determinada entre dos soportes verticales separados una longitud de aproximadamente 4 metros.

El salto de altura en su modalidad masculina ha sido una prueba oficial de los Juegos Olímpicos modernos desde su primera edición, celebrada en Atenas en 1896. La modalidad femenina debutó hasta los Juegos de Ámsterdam en 1928.

El campeón olímpico en los Juegos de Atenas en 1896 en salto de altura masculino, fue Ellery Clark de Estados Unidos, con una marca de 1,81 m. Actualmente el récord mundial en salto de altura masculino, lo impuso en Salamanca el atleta Javier Sotomayor de Cuba en 1993, con una marca de 2,45 m. En la modalidad femenina, la primera campeona olímpica fue Ethel Catherwood de Canadá con una marca de 1,59 m durante los Juegos Olímpicos de Ámsterdam en 1928. Esta marca fue superada en los Juegos Olímpicos de los Ángeles de 1932 por la norteamericana Jean Shiley con 1,65 m. Actualmente, el récord mundial femenino lo estableció en Roma. Stefka Kostandinova de Bulgaria en 1987, con una marca de 2,09 m

El salto de longitud es otra prueba de atletismo, consiste en recorrer la máxima distancia posible en el plano horizontal a partir de un salto, después de haber realizado una carrera dentro de un área asignada que tiene una tabla de batida indicando el punto límite para realizar el impulso. Consta de cuatro partes: carrera, impulso, vuelo y caída, esta última parte tiene lugar sobre un foso de arena húmeda de 3 m de ancho y 10 m de largo. La distancia del salto se mide desde la tabla de batida hasta la marca más retrasada sobre la arena hecha por cualquier parte del cuerpo del atleta.

El salto de longitud en la categoría masculina es una prueba olímpica desde los Juegos de Atenas en 1896, y fue ganada por Ellery Clark con una marca de 6,35 m. La categoría femenina de la prueba empezó en los Juegos Olímpicos de Londres en 1948 y fue ganada por Olga Gyarmati de Hungría con 5,69 m. Actualmente, el récord de longitud masculino es 8,95 m, establecido por Mike Powell en 1991 en Tokio, y el récord femenino es 7,52 m, establecido por Galina Chistyakova en 1988 en Leningrado.

1 de 4

HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 10 EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS

Nombre: ______________________________________________ Curso: ______________ Fecha: ________________

Evaluación por competencias

Competencia interpretativa

1 ¿En qué consiste el salto de altura? ___________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

2 ¿De cuántos metros es la diferencia entre el récord de salto de altura masculino y el femenino? _______________________________________________________ ______________________________________________

3 Representa gráficamente el foso de arena en el salto de longitud.

4 Si un atleta al realizar un salto de longitud deja una marca de su pie a 7,51 m y otra a 7,09 m, ¿cuál es la longi-tud oficial del salto? _________________________ _______________________________________________

5 Se puede afirmar que los soportes que sostienen el listón en el salto de altura son:

a. Secantes c. Perpendicularesb. Paralelos d. Coincidentes

6 La trayectoria del salto de altura y del salto de longitud puede modelarse mediante la siguiente sección cónica:

a. Una hipérbola c. Una parábolab. Una circunferencia d. Una elipse

Competencia propositiva

7 La trayectoria del salto de altura realizado por Jean Shiley, en 1932, se puede modelar por la ecuación

− −( ) =355

1,65 2y x . Determina el foco, el vértice y la ecuación de la directriz de la parábola.

8 Realiza una gráfica de la parábola que describe la trayectoria del salto de Jean Shiley.

2 de 4


9 Determina el dominio y el rango de la función que modela la trayectoria del salto de Jean Shiley. ________

_________________________________________________________________________________

10 Escribe la ecuación general de la parábola que describe la trayectoria del salto de Jean Shiley.

11 Si durante su salto de longitud, Mike Powell ascendió hasta una altura máxima de 1,1 m, ¿cuáles son las coorde-nadas del vértice de la parábola que modela su trayectoria? _______________________________________

12 Encuentra las coordenadas del foco de la parábola que modela la trayectoria del salto de Mike Powell y la ecua-ción de la directriz. _________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

13 Determina la ecuación canónica de la parábola que modela la trayectoria del salto de Mike Powell.

14 Determina la ecuación general de la parábola que modela la trayectoria del salto de Mike Powell.

15 Grafica la parábola que modela la trayectoria del salto de Mike Powell.

16 Determina el intervalo en el cual la función que modela la trayectoria del salto de Mike Powell es decreciente.

_________________________________________________________________________________

3 de 4


17 Realiza un diagrama del vector velocidad inicial en un salto de longitud. Luego, encuentra sus componentes horizontal y vertical en función de un ángulo .

Competencia argumentativa

18 Determina si 2,45 es un número real y explica por qué. ____________________________________________

_________________________________________________________________________________

19 Explica por qué se puede afirmar que la ecuación que modela la trayectoria de un salto de altura o de longitud, es una función.

_________________________________________________________________________________

20 Determina si la función que modela la trayectoria del salto de Jean Shiley es inyectiva y explica por qué.

_________________________________________________________________________________

21 Determina si la función que modela la trayectoria del salto de Mike Powell es par o impar y explica por qué.

_________________________________________________________________________________

22 Determina qué clase de función modela la trayectoria del salto alto y el salto de longitud y explica por qué.

_________________________________________________________________________________

23 Explica por qué la ecuación − −( ) =355

1,65 2y x determina una función. ____________________________

_________________________________________________________________________________

24 Determina con respecto a cuál eje es simétrica la parábola − −( ) =355

1,65 2y x . Explica tu razonamiento.

_________________________________________________________________________________________

4 de 4


Los tsunamis

Un tsunami es una ola o serie de olas que son producidas en una masa de agua al ser empujada violentamente por una fuerza y que llegan a la costa. Este fenómeno periódico que ocurre en el mar, generado por un disturbio externo (terremoto submarino, erupción volcánica submarina, deslizamiento submarino o caída de un meteorito), que impulsa y desplaza verticalmente la columna de agua originando un tren de ondas largas que se propagan a gran velocidad en todas las direcciones y que al aproximarse a las costas alcanzan grandes alturas, descargando su energía con gran fuerza destructiva. El término tsunami proviene del japonés TSU: puerto o bahía y NAMI: ola y fue adoptado su uso desde 1963. Las olas de tsunami en la parte profunda del océano, pueden viajar a altas velocidades durante largos períodos de tiempo, perdiendo muy poca energía en el proceso. En cualquier punto del océano, la velocidad de propagación del tsunami v se puede calcular en función de la profundidad oceánica d, mediante la siguiente ecuación:

v g h= ⋅ con g = fuerza de gravedad (9,8 m/s2)

Cuando las olas llegan a la costa, su velocidad de propagación disminuye hasta 50 o 60 km/h y se ven comprimidas, de manera que reducen su longitud de onda y dirigen su energía hacia arriba, incrementando considerablemente su altura.

Los tsunamis tienen longitudes de onda entre 50 km y 1.000 km, con períodos que oscilan entre 12 y 60 minutos. La longitud de onda (L) de un tsunami se puede calcular como:

l = v x t con v la velocidad de propagación y t el período.

La mayor parte de los tsunamis tienen lugar en el océano Pacífico ya que este ocupa más de un tercio de la superficie terrestre y está rodeado por cadenas de montañas, grandes fosas oceánicas y un arco de islas denominado “cinturón de fuego”, lugar donde se producen la mayor parte de los terremotos. Entre 1900 y 1986 fueron observados 247 tsunamis en el océano Pacífico, el 29% de ellos generados cerca de Japón. El terremoto ocurrido el 23 de mayo de 1960 en Chile, generó un tsunami cerca de Hawái que se pudo modelar para un intervalo de tiempo, mediante la siguiente función:

y t= 2,4 sen6π

donde y es la altura en metros y t el tiempo en minutos.

L: Longitud de onda

h

h: Amplitud Relieve marino

1 de 4


Nombre: ______________________________________________ Curso: _______________ Fecha: ________________

Evaluación por competencias

Competencia interpretativa

Responde las siguientes preguntas:

1 ¿Qué es un tsunami y cuáles son las causas? ____________________________________________________

_________________________________________________________________________________________

2 ¿Hace cuántos años fue adoptado el término tsunami? ___________________________________________

3 Explica cómo es la variación de la velocidad de un tsunami con respecto a la profundidad. ______________

_________________________________________________________________________________________

4 Determina si g representa una variable o una constante. __________________________________________

5 Determina la variable dependiente y la variable independiente en la función y t= 2,4 sen6π

? ___________

_________________________________________________________________________________________

6 ¿Qué ocurre con la velocidad y la altura cuando un tsunami llega a la costa? __________________________

_________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________

7 Aproximadamente, ¿cuántos terremotos fueron observados entre 1900 y 1986 cerca de Japón? __________

_________________________________________________________________________________________

8 Determina el dominio y el rango de la función y t= 2,4 sen6π

_________________________________________________________________________________________

9 ¿Qué significado tiene el período t en la función y t= 2,4 sen6π

?

_________________________________________________________________________________________

Selecciona la respuesta correcta.

10 La función y t= 2,4 sen6π

es una función:

a. Cuadrática

b. Exponencial

c. Cúbica

d. Trigonométrica

2 de 4


Competencia propositiva

11 Usa la ecuación v g h= ⋅ para completa la siguiente tabla que relaciona la velocidad de propagación V de los tsunamis con la profundidad d.

Profundidad (m) Velocidad de propagación (m/s)

4.000

3.5002.800

1.550

600

20

12 En la ecuación v g h= ⋅ despeja la variable d.

13 Con base en la ecuación que modela el tsunami de 1960, establece la altura cuando t = 4 minutos.

14 Con base en la ecuación que modela el tsunami de 1960, calcula el período t en minutos. Luego, expresa el periodo T en horas.

15 Usa la ecuación v g h= ⋅ para calcular la velocidad de propagación del tsunami de 1960, en m/s, si se sabe que la profundidad promedio del océano Pacífico es de 4.000 m.

3 de 4


16 Expresa la velocidad de propagación v, del tsunami de 1.960 en Km/h.

17 Con base en la ecuación L = v. t, calcula la longitud de onda L, del tsunami de 1960.

18 Elabora una gráfica de la función que modela el tsunami de 1960. ______________________________________

_________________________________________________________________________________________

19 Determina en cuáles intervalos la función y = 2,4sen2πt es creciente y en cuáles es decreciente. ________

_________________________________________________________________________________________

Competencia argumentativa

20 Determina si la relación expresada por la ecuación v g h= ⋅ es una función y explica por qué.

_________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________

21 Explica por qué un tsunami se puede modelar mediante la función seno.

_________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________

22 Determina si hay algún desfase en la función y = 2,4sen2πt . Explica tu razonamiento. _________________

_________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________

23 Explica las transformaciones que se deben hacer para obtener la gráfica de y = 2,4sen2πt a partir de la gráfica de

y = sin x. _________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________

24 Determina si la función y = 2,4sen2πt es par o impar y explica por qué. _____________________________

_________________________________________________________________________________________

4 de 4


HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 10 EVALUACIÓN

1 Determina cuáles de las siguientes relaciones son funciones. Justifica tu respuesta.

a. c.

b. d.

2 Realiza la gráfica de las siguientes funciones.

a. y 5 25x 2 3 e. f x x( ) 34

3� �

b. f(x) 5 x2 1 2 f. y x � � 2

c. g(x) 5 (x 2 1)2 1 1 g. f x x( ) 23

2� � �

d. h(x) 5 *x 2 2* h. f(x) 5 x3 1 2

3 Escribe en forma verbal y elaborar la tabla de valo-res las siguientes funciones.

a. y x � � �32

3 e. f x x( ) 34

1� �

b. f(x) 5 x3 f. y x � � 1

c. g(x) 5 (x 2 3)2 g. f(x) 5 23x 1 2

d. h(x) 5 *2x* h. f(x) 5 3x 1 5

4 Analiza las gráficas de las funciones y determina el dominio y el rango de cada una.

a. b.

5 Sea f una función cuya gráfica se muestra a conti-nuación.

Responde:

a. ¿Cuál es el dominio y el rango de f?

b. ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento de f?

c. ¿Cuáles son los intervalos de decrecimiento de f?

d. ¿En qué intervalos f es inyectiva y en cuáles biyectiva?

6 Determina si las siguientes funciones son inyecti-vas, sobreyectivas o biyectivas. Justifica tu respues-ta.

a. c.

b. d.

UNIDAD 1

1 de 2

Nombre: ______________________________________________ Curso _______________ Fecha: ________________

�1�1

�2

�2

�3�4 1 2 3 4 5 x

12y

�1�1

�2

�2

�3 1 2 3 x

12y

�1�1

�2

�2

�3 1 2 3 x

12345y

�1�1

�2 1 2 x

1234y

�1�1

�2�3 1 2 3 x

123y

�1�1

�2�3 1 2 3 x

1234y

�1�1�2

1 2 3 4 5 x

12y

�1�1

�2

�2

�3

�3�4

1 2 3 x

123y

�1�1

�2

�2

�3 1 2 3 x

12y

�1�1

1 2 3 4 5 x

123y

�1�1

�2

�2

�3

�3

1 2 3 x

1234y

Funciones


11 Determina si las funciones dadas son pares o impa-res.

a. y 5 2x2 c. y 5 *x*b. y 5 (x 1 1)3 d. y

x 5 1

12 Realiza la gráfica de las siguientes funciones cua-dráticas y determina el rango de cada una a partir de su vértice.

a. y 5 x2 1 3x 2 4

b. y 5 2x2 2 x 2 3

c. y 5 2x2 2 5x 1 6

d. y 5 23x2 2 7x 1 4

e. y x x � � �12

6 42

13 Una partícula se lanza hacia arriba y su movimiento se describe por medio de la ecuación y 5 10t 2 5t2.

a. Determina la altura máxima que alcanza la partícula.

b. ¿En qué momento toca el suelo?

14 Encuentra una función que relacione el área de un rectángulo inscrito en la gráfica de la función y 5 5 2 x2 como muestra la siguiente gráfica.

15 Encuentra la expresión algebraica de la función que representa cada gráfica.

a. b.

7 Encuentra la función inversa de cada función. Si no son inyectivas realiza una restricción de dominio para poder calcular su inversa. Realiza la gráfica.

a. y x � � �23

3 e. y 5 (x 2 2)3

b. f(x) 5 x2 2 1 f. f x x( ) 3 � �

c. y x � �3 12

g. y x � � 53

d. h x x( )2

3 5

h. g xx

( ) 12

� �

8 Traza la gráfica de las siguientes funciones en una tabla de valores y escribe qué comportamiento observas de la función y 5 x2.

a. y 5 x2 e. y 5 (x 1 1)2

b. y 5 x2 2 2 f. y 5 2x2

c. y 5 (x 2 1)2 g. y 5 2 2 x2

d. y 5 x2 1 2 h. y 5 2(x 2 1)2

¿Qué puedes concluir?

9 Realiza la gráfica de las siguientes funciones con tabla de valores y determina el dominio y el rango.

a. y 5 x2 2 1 c. f(x) 5 *x 1 3*

b. f x x( ) 32

3 � �

d. f x x( ) 3 1 � � �

10 Relaciona cada función con su respectiva gráfica.

a. y 5 x2 2 3x 1 2 c. g(x) 5 *x 2 2* 1 1

b. f x x( ) 2 � �

d. y 5 x3 1 2

1. 3.

2. 4.

UNIDAD 1

�1�1

�2 1 2 3 4 x

12345y

�1�1

�2 1 2 3 4 x

12345y

(x,y)

�1�1

�2�3 1 2 3 x

12345y

�1�1

�2 1 2 3 4 x

12345y

�1�1�2�3

1 2 3 4 5 x

123y

�1�1

�2

�2

�3

�3�4

�4 1 2 x

12y

�1�1

�2

�2

1 2 3 4 x

1234y

2 de 2

HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 10

10

45º

45º

10 21

30º

60º

23

85ºS

5,2 cm

34 cm

28 cm�

100 cm

105º

R

S

25 cm

13�6

EVALUACIÓN

1 Encuentra la medida de cada ángulo en radianes y dibújalos en posición normal.

a. 225° f. 320°

b. 2330° g. 625°

c. 2405° h. 1.000°

d. 720° i. 2390°

e. 135° j. 2810°

2 Convierte la medida de cada ángulo en grados.

a. 35°25'55''

b. 2225°48'22''

c. 180°15’

d. 76°56’12’’

e. 750°40'

3 Encuentra un ángulo entre 0 y 2p que sea cotermi-nal a los siguientes ángulos.

a. 278° f. 2450°

b. 40° g. 285°

c. 2720° h. 595°

d. 330° i. 582°

e. 21.080° j. 2967°

4 Determina el valor que falta en cada sector circular.

a. c.

b. d.

UNIDAD 2

1 de 2


5 Resuelve

a. Encuentra la medida del área de un sector circular

cuyo radio es 35 cm y el ángulo es 58p .

b. Una llanta de 20 cm de radio gira a razón de 25 revoluciones por segundo. ¿Cuál es la velocidad angular de la llanta?, ¿cuál es la velocidad lineal de la llanta?

6 Encuentra el valor de las seis funciones trigono-métricas de los ángulos a y b en los siguientes triángulos.

a. b.

7 A partir de los siguientes triángulos completa la tabla

Función trigonométrica

Ángulo Valor

45° 22

cos 32

tan 60°

60° 3

sec 2

4

4

�

�

8

17

�

�

Funciones trigonométricas


12 Resuelve:

a. Desde la parte superior de un faro de 12 m de altura se divisa un barco. El ángulo que forma el barco con el punto más alto del faro es de 45°. ¿A qué distancia se encuentra el barco del faro?

12 m

45ºx

b. Una escalera está inclinada 30° sobre el suelo y su base se encuentra a una distancia de 120 cm de la pared. ¿Cuál es la longitud de la escalera?

x

30º120 cm

c. Una persona visualiza un globo a 500 m. ¿Cuál es la altura a la que se encuentra el globo?

500 m

60º

h

d. Una persona se ubica a 100 m de un edificio y observa la parte superior formando un ángulo de 45° con la horizontal. Calcula la altura del edificio.

45º100 m

x

8 Un árbol proyecta una sombra de 1,5 m de largo formando un ángulo de 30° desde la parte más alta con el extremo de la sombra. ¿Cuál es la altura del árbol?

9 Encuentra la coordenada que falta del punto P y ubícalo sobre una circunferencia unitaria.

a. P y2 12, ( ) en el tercer cuadrante.

b. P x , 32

2( ) en el cuarto cuadrante.

c. P y222

, ( ) en el segundo cuadrante.

d. P x , 13( ) en el segundo cuadrante.

10 Ubica los ángulos dados en un círculo unitario y determina el punto P(x, y) asociado a cada ángulo.

a. � �54

f. 32p

b. 113p g. � 11

3�

c. �83

�

h. �9

4�

d. 134p i. 7

4p

e. � �34

j. � �56

11 Calcula el valor de cada función trigonométrica.

a. cos 94

� � f. csc 72

� �

b. cos 53p g. cot 10

3p

c. tan 330° h. sen 405°

d. sec 225° i. sen 34

� �

e. sen 154p j. tan 1

6� �

UNIDAD 2

30º

1,5 m

2 de 2


�1�2�3

x

12y

2��2

3�2 �1

�2�3

x

12y

2��2

3�2

EVALUACIÓN

1 Responde verdadero o falso. Justifica tu respuesta.

a. La función coseno es positiva para valores de x en el II cuadrante.

b. La función seno tiene su valor máximo en 1 para

valores de x n� � � �2 2 .

c. La función coseno decrece para valores de x en el II cuadrante y es una función par.

d. La función tangente es creciente en todo su dominio.

e. La función cotangente tiene asíntotas en valores de x de la forma x n� �

2 con n impar.

f. La función secante tiene dominio.

2 Para cada función dada gráficamente determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

a.

�1�2

x

12y

�2� ��2

�3� 2

2��1

3�2

�

b.

�1�2

x

12y

�2� ��2

�3� 2

2��1

3�2

�

c.

�1�2

x

12y

�2� ��2

�3� 2

2��1

3�2

�

3 Responde:

a. ¿Por qué la función coseno es una función par?

b. ¿Por qué la función seno es impar?

c. ¿En qué puntos la función tangente no está definida?

4 Identifica las transformaciones que sufrió la fun-ción y 5 cos x.

a. b.

�1�2

x

12

y

2��2

3�2

�1�2

x

12y

2��2

3�2

5 Traza la gráfica de las siguientes funciones usando traslaciones de las gráficas de las funciones sen, cos y tan.

a. y 5 sen(x 2 2p)

b. f x x ( ) cos2

� � �( )c. g x x ( ) 2 cos

4� � � � �( )

d. f x x ( ) 1 sen2

� � � �( )e. y 5 2 1 cos(x 1 p)

f. f x x ( ) tan4

1� � � �( )g. f x x ( ) 1 tan

2� � � �( )

6 Traza la gráfica de las siguientes funciones usando reflexiones, compresiones y alargamientos de las gráficas de las funciones sen, cos y tan.

a. y 5 2 cos x b. f(x) 5 2 cos(2x)

c. g(h) 5 22 sen x d. f x x( ) 12sen5

e. y x � � 32cos

f. f x x( ) 1

4tan5

g. f(x) 5 2 tan(2x)

7 Determina la expresión algebraica de las funciones cuya gráfica se muestra a continuación.

a. b.

UNIDAD 3

1 de 2


Gráfica de las funciones trigonométricas

EVALUACIÓNHIPERTEXTO MATEMÁTICAS 10

13 Encuentra el valor del ángulo u a partir de los va-lores de los lados.

14 Resuelve:

a. Un niño eleva una cometa, cuando lleva 30 m de pita la cometa ha alcanzado una altura de 20 m. ¿Cuál es el ángulo de elevación de la cometa?

30 m 20 m

x

b. Un faro alumbra un bote pesquero que está a 200 m del faro. Si la distancia del bote a la punta del faro es de 500 m, ¿cuál es el ángulo que forma el destello del luz con el faro?

200 mx

500 m

c. Un objeto pende de un resorte, el movimiento de este está representado mediante la ecuación y 5 5 sen 2pt, donde t se mide en segundos y y en centímetros. Encuentra la amplitud y el período del movimiento del objeto. Realiza la gráfica de la función.

d. El movimiento de un péndulo se describe mediante la función y 5 10 cos 4pt. Encuentra la amplitud del movimiento y realiza la gráfica.

e. Una partícula registra un movimiento armónico simple descrito por la ecuación

y t � �12sen 2

2�( ) . Determina la amplitud del

movimiento, el período y el desplazamiento.

8 Identifica el período, la amplitud y el desfase de las siguientes funciones.

a. y 5 22 cos(x 2 p) e. y x � �3 tan2�( )

b. y x � �12sen

4�( ) f. y x � �1

4sen 3

2�( )

c. y 5 3 cos(x 2 p) g. y x � �13cot

2�( )

d. y x � �43sen

2�( ) h. y 5 22 sec(x 2 p)

9 Para la función y 5 2 cos21 x determina:

a. Gráfica

b. Dominio

c. Rango

d. Intervalos de crecimiento.

e. Intervalos donde la función es positiva.

10 Para la función y = 1 + 12sen-1 x determina:

a. Gráfica

b. Dominio

c. Rango

d. Intervalos de crecimiento.

e. Intervalos donde la función es positiva.

11 Determina el valor de cada función inversa.

a. tan21 3( )

b. sen21 222( )

c. cos21 12( )

d. cos21 22( )

e. cot21 2 3( )f. csc21 2 2( )

12 Despeja x en cada expresión.

a. y 5 2 sen 3xb. y x � �1

2sen( )�

c. y x 5 cos2

-1( )d. y 5 tan (cos21 2x)

UNIDAD 3

1,32,3

�

2 de 2


10

12

35º

x

�

15

1753º

�

x

20

2322º

x

2518º

21x �

EVALUACIÓN

1 Halla el valor de x en los siguientes triángulos.

a. c.

b. d.

2 Encuentra el valor de la incógnita en cada caso.

a.

40º 28º50

x

b.

31º 20ºh

x 100

c. x

15º18º

20

3 Un edificio proyecta una sombra de 20 m. Si los rayos del sol caen con una inclinación de 20° ¿cuál es la altura del edificio?

20 m

h

20º

4 Dos caminantes avanzan por un sendero, cuando están separados 20 m visualizan la cima de una colina. Los ángulos de elevación de cado uno son 25° y 30°. ¿Cuál es la altura de la colina?

28º

h

20 m

5 Una persona está en la terraza de su casa cuya al-tura es de 5 m visualizando el frente de un edificio de 15 m de alto. Si el ángulo de elevación hacia la parte superior del edificio es de 52° y el ángulo de depresión a la parte inferior es de 34°, ¿a qué distancia está la casa del edificio?

15 m52º34º x

5 m

6 Un reflector proyecta la luz hacia el cielo con un ángulo de elevación de 70°. Una persona observa la proyección de la luz desde una distancia de 800 m con un ángulo de elevación de 43°. ¿Cuál es la altura que alcanza el proyector hasta las nubes?

70º 43º800 m

h

7 En un entrenamiento de tiro al blanco, se lanzan discos al aire con un ángulo de elevación de 79°. Si una persona dispara al disco y acierta desde una distancia de 20 m desde donde fue lanzado for-mando un ángulo de elevación de 55°, ¿qué altura alcanzó el disco?

UNIDAD 4

1 de 2


Aplicaciones de las funciones trigonométricas


12 Un fotógrafo desea tomar fotos desde la terraza de un edificio de 25 m. Si observa una persona en la calle ubicada a 12 m del edificio, ¿cuál debe ser el ángulo de depresión para que pueda tomarle la foto?

13 Dos casas se encuentran ubicadas a 380 m una de la otra. Una persona observa las casas desde cierta distancia formando un triángulo, si el ángulo del vértice donde se ubica la persona es de 98° y está a 120 m de una de las casas, ¿qué tan alejado se encuentra de la otra casa?

380 m

120 m98º

14 Un barco emite señales a dos puestos de control separados 300 m. Si el barco se encuentra a 120 m y 150 m de cada estación respectivamente, ¿cuál es el ángulo que forma las señales desde el barco?

300 m

120 m 150 mx

15 Un topógrafo desea medir la distancia que hay entre dos poblaciones vecinas separadas por un lago. Si el topógrafo se ubica en una colina que se encuentra a 620 m de la población A y 800 m de la población B formando un ángulo de 105° con las dos poblaciones, ¿cuál es la distancia de las dos poblaciones?

A

B

C

800 m

620 m105º

8 Dos personas separadas 50 metros observan la parte alta de un edificio, los ángulos de elevación de cada uno son 67° y 72°, respectivamente. En-cuentra la altura del edificio.

67º 72º

x

50 m

9 Dos barcos se acercan a un faro en direcciones opuestas, el faro alumbra a uno de los barcos for-mando un ángulo de depresión de 28° y al otro con un ángulo de 33°. Si los barcos están a 60 metros de distancia, ¿cuál es la altura del faro?

60 m28º33º

10 Dos personas observan un globo en la misma dirección, si las personas están separadas 250 m y forman ángulos de elevación de 79° y 86°, respec-tivamente, ¿a qué altura se encuentra el globo?

79º 86º250 m

11 Un árbol de 3 m proyecta una sombra de 2,5 m. De-termina el ángulo de elevación de la sombra hacia la copa del árbol.

2,5 mx

3 m

UNIDAD 4

2 de 2


20

21

�

EVALUACIÓN

1 Encuentra el valor de la función trigonométrica solicitada a partir de la información dada.

a. tan a si cos 12

� � �

b. cos a si cot 43

� �

c. csc b si tan 43

� �

d. sec a si cos 512

� � �

e. sen a si csc 75

� �

f. tan a si csc 32

� �

2 Simplifica las siguientes expresiones trigonométri-cas.

a. sec csc

tan xx

x ?

f. csc 11 cot

x x

��

b. csc a ? (tan a 1 cot a) g. sec2 a(tan a 1 cot a)

c. sec a 1 csc a h. tan cos cot

sec

2

2

� � � �

�

d. csc sen sec cos

tan � � �

� � ��

i. sec

tan 1

tan

2xx x 2

e. csc 1cot 1

� ��

j. sec csctan cos

2 2y yy y�

�

3 Escribe falso o verdadero según corresponda.

a. La función seno se puede expresar como � �1 cos2 x

b. La función tangente se puede expresar como cos

1 cos2x

x2 c. La función cosecante se puede expresar en

términos de secante como ��

sec sec 12

xx

d. Al simplificar la expresión sec2 x 1 csc2 x se obtiene sec2 x ? csc2 x

4 Demuestra si las siguientes igualdades son identi-dades trigonométricas.

a. tan2 x ? csc2 x 5 1 1 tan2 x

b. sectan

cot 12

22x

xx � �

c. cos x ? tan x 2 sec x ? cot x 5 2cot x ? cos xd. cot x ? tan x(sec2 x 2 csc2 x) 5 sec2 x ? csc2 x

5 Determina el valor exacto de cada función dada haciendo uso de las identidades trigonométricas de suma y resta de ángulos.

a. sen 135° f. tan 315°

b. tan 300° g. cos 720°

c. cos 405° h. tan 94p

d. sec 150° i. cos 134p

e. sen 315° j. sen 136p

6 Demuestra las siguientes identidades para la suma o resta de ángulos.

a. sen(x 2 p) 1 sen x � �2( ) 5 cos x 2 sen x

b. cos

2sen

1

�

�

x

x

�

��

( )( )

c. tancos

tan sec x x

x x�

��

�

�

( )( )

d.

sen cos2

sen2

tan x x

x x

� � �

��

� �

�

( ) ( )( )

7 Encuentra tan(a 1 b) y tan(a 2 b).

a. c.

b. d.

UNIDAD 5

1 de 2


5

7

�

5

12

�

6

10

�

Trigonometría analítica


11 Demuestra las siguientes identidades trigonomé-tricas para ángulos dobles y ángulos medios.

a. cos 3x 2 cos3 x 5 23 sen2 x cos xb. sen 3x 2 sen3 x 5 3 cos2 x sen x c. cos 4x 2 8 sen2 x cos2 x 5 1

d. sen 42 cos 1

4 sen cos 2x

x x x

��

e. 2 csc 2tan

csc2xx

x 5

f. sen 4sen 2 cos 2

2xx x

5

g. sen 21 cos 4

12sen 2

3 xx

x�

�

h. cos1 cos 2

12cos

3xx

x�

�

i. csc 2x 5 12

csc x sec x

12 Una partícula describe un movimiento senosoidal cuya expresión trigonométrica es f(x) 5 sen 3t 1 cos 2t 1 cos t.

Determina los valores de t cuando f(x) 5 0.

13 Un proyectil describe su movimiento con la expre-

sión y x= 1.600 sen64

2. ¿Cuál debe ser el ángulo

para que el proyectil alcance la máxima altura?

8 Resuelve cada ecuación con soluciones en el inter-valo [0, 2p].

a. ( 2 sen x 1 1)(2 cos2 x 2 1) 5 0

b. cos2 a 2 3 cos a 2 4 5 0

c. 33

cos x 5 sen x

d. sen2 x 1 cos x 2 2 5 0

e. 2 cos2 x 2 1 5 0

f. 3 sen2 x 2 2 5 1

g. tan x (csc x 2 cot x) 5 1

9 Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a. cos 2 sen 22

-1 2

b. tan(sec21(2))

c. cos 2 sen 12

-1( )( )10 Responde:

a. ¿Para qué valores de u es verdadera la ecuación cos(sen21 u) 5 u?

b. Encuentra el dominio de la función y 5 csc21 x.c. ¿La ecuación tan21(sen x) 5 x tiene solución?

d. ¿Para qué valores de x tiene solución la ecuación sen2 x 2 cos2 x 5 2?

UNIDAD 5

2 de 2


�1 1 2 3 4 5 x

123456y

�1�1

�2�3 1 2 3 4 5 x

1234567y

EVALUACIÓN

1 Determina el punto medio y la distancia entre cada par de puntos dados.

a. A y B f. G y Db. H y C g. A y Ec. D y F h. B y Dd. G y E i. A y Fe. A y H j. C y E

2 Determina la ecuación de la recta que está repre-sentada gráficamente.

a. c.

b. d.

3 Escribe verdadero o falso. Justifica.

a. Si una recta tiene pendiente positiva es creciente.

b. Si una recta tiene pendiente cero es vertical.

c. Si una recta es paralela al eje y su pendiente es indeterminada.

4 Encuentra la ecuación de la recta a partir de las condiciones dadas.

a. Tiene pendiente 24 e intercepta al eje y en 22.

b. Tiene pendiente 2 e intercepta al eje x en 5.

c. Tiene pendiente 23

y pasa por el punto (2, 21).

d. Tiene pendiente 2 12

y pasa por 23, 1

32( ) .

e. Pasa por los puntos (23, 1) y (2, 0).

f. Pasa por los puntos (22, 21) y 12, 52( )

g. Pasa por (1, 3) y es paralela a la recta x 1 2y 5 1.

h. Pasa por (22, 23) y es paralela a la recta y 5 22x 1 1.

5 Determina si los puntos A(22, 4), B(5, 4) y C(8, 22) y D(1, 22) corresponden a los vértices de un para-lelogramo.

6 Escribe la ecuación canónica de las circunferencias.

a. b.

7 Identifica las coordenadas del centro y el radio a partir de la ecuación de circunferencia y traza la gráfica de cada una.

a. x2 1 y2 1 2x 2 6y 1 8 5 0

b. x2 1 y2 2 4x 2 4y 2 1 5 0

c. x2 1 y2 2 6x 1 6y 1 6 5 0

d. 2x2 1 2y2 2 16x 1 20y 5 262

e. 3x2 1 3y2 1 2x 2 2y 5 30

UNIDAD 6

1 de 2


�1�1

�2

�2

�3

�3

�4

�5

�4�5 1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5y

A

B

CD

E

F

GH

�1�1

�2

�2

�3

�3

1 2 3 x

123y

�1�1

�2

�2

�3

�3

1 2 3 x

123y

�1�1

�2

�2�3

1 2 3 4 x

123y

�1�1

�2

�2

�3

�3

1 2 3 x

123y

Geometría analítica


�1�1

�2

�2

�3�4

�3

1 2 3 4

x123y

�1�1

�2

�2

�3

�3�4

1 2 3

x1234

y

�1�1

�2

�2

�3

�3�4

1 2 3

4

x123

y

12 Identifica los elementos de cada elipse y determina su ecuación.a. c.

b.

13 Dadas las siguientes ecuaciones encuentra:

• Centro

• Focos.

• Gráfica.

• Longitud del eje mayor.

• Longitud del eje menor.

• Excentricidad.

a. 9x2 1 4y2 1 36x 1 24y 1 36 5 0

b. 25x2 1 4y2 2 100x 2 24y 5 39

c. 16x2 1 25y2 2 16x 2 100y 2 299 5 0

d. 3x2 1 5y2 1 30x 2 30y 1 105 5 0

14 Determina la ecuación canónica de cada hipérbola que cumple las condiciones dadas y realiza la grá-fica.

a. Focos (22, 2) y (5, 2), asíntotas y x5 34

,

y x� � 34

.

b. Centro (2, 4), vértices del eje focal (2, 0) y (2, 8) y longitud del eje conjugado 6.

c. Centro (21, 23), longitud del eje transverso 6 y longitud el eje conjugado 8.

d. Asíntotas y x5 512

, y x� � 512

.

8 Determina la ecuación de la circunferencia de acuerdo con las condiciones dadas.

a. Tiene centro (3, 1) y es tangente a los ejes x y y.

b. El centro es (3, 2) y es tangente al eje x.

c. Tiene diámetro (23, 22) y (22, 3).

d. Está en el II cuadrante, es tangente tanto al eje x como al eje y y tiene radio 2.

9 Halla la ecuación de las siguientes parábolas.

a.

b.

10 Determina el centro, el vértice, los focos y las ecu-aciones de las asíntotas de la hipérbola 2x2 2 3y2 2 20x 1 6y 1 41 5 0.

11 Determina el vértice, foco, ecuación de la directriz, los puntos extremos del lado recto y realiza su gráfica.

a. x2 5 6y f. (x 1 2)2 5 8(y 2 3)

b. y2 5 25x g. (y 1 3)2 5 28x c. 2y2 2 12x 5 0 h. (x 2 3)2 5 210(y 1 3)

d. 4x2 5 3y i. (y 2 4)2 5 2(x 2 3)

e. 4x2 5 16y j. x y � � � 1 23

22( ) ( )

UNIDAD 6

�1�1

�2

�2

�3

�3�4

�4�5 1 2 3 4 5 x

1234y

�1�1

�2

�2

�3

�3�4

1 2 3 4 5 x

1234y

2 de 2


1 Los siguientes datos corresponden al número de veces que 36 usuarios utilizan el sistema TransMi-lenio para transportarse durante un mes.

25 30 25 15 36 58

45 35 48 59 55 52

20 30 18 35 39 42

40 25 19 28 31 17

26 39 50 16 37 18

16 55 52 42 30 20

a. Realiza un diagrama de tallo y hojas con la anterior información.

b. Determina el rango de los datos.

c. Elabora una tabla de frecuencias completa.

d. Halla la media de los datos agrupados.

e. Encuentra la mediana de los datos agrupados.

f. Determina la moda de los datos.

g. Calcula el valor que está por debajo del 90% de los datos.

h. Encuentra el valor de los cuartiles y realiza una interpretación de estos valores.

i. Si se agregan 10 datos de 60 cada uno y 10 datos de 15, ¿cómo afectan a la media, la mediana y la moda?

j. Elabora un histograma para frecuencias absolutas.

k. Halla la desviación típica y un intervalo del 95% de confianza.

2 Se realizó una encuesta a 8 estudiantes de grado décimo para determinar el número de horas que se dedican diariamente al uso de Internet según sus intereses.

Consulta 2 1 3 4 2 1 1,5 2,5

Chat 2 2 1 1,5 1 2 4 3

Juegos 3 4 2 5 2 1 5 2

a. Encuentra la media de cada actividad y la media total.

b. Determina la moda de cada actividad.

c. Encuentra la varianza y la desviación estándar de los datos de cada actividad.

d. ¿Cuál de las tres actividades presenta una mayor dispersión en los datos con respecto a la media?

3 Realiza una tabla de contingencia relativa y una tabla marginal a partir de la siguiente información y presenta un informe:

10 A 10 B 10 C Totales

Matemáticas 55 59 61 175

Lenguaje 52 55 58 165

Total 107 114 119 340

4 Se realizó un estudio sobre las razones que tienen los clientes de un banco para abrir una cuenta. La muestra se realizó a 850 personas y las opciones dadas eran para ahorrar, créditos o por consig-nación de nómina.

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

Ahorros NóminaCrédito

MujerHombre

a. Elabora las tablas de contingencia para cada diagrama de barras.

b. Elabora un diagrama circular que represente la anterior información.

c. Determina la probabilidad de que al seleccionar un cliente del banco ocurra:

- Ahorre y sea hombre.

- Tenga crédito y sea mujer.

- Sea hombre y tenga cuenta de nómina.

d. ¿Cuántas personas del estudio tienen cuenta de nómina?

e. ¿Cuántas mujeres participaron en el estudio?

5 Teniendo en cuenta el experimento “extraer 3 bom-billos y clasificarlos en bueno o defectuoso”.

Determina:

a. El espacio muestral del experimento.

b. El evento “el primer tornillo es defectuoso”.

c. El evento “ningún tornillo es defectuoso”.

d. El evento “al menos un tornillo es defectuoso”.

UNIDAD 7

1 de 2


Estadística y probabilidad


13 ¿De cuántas maneras se puede elegir personero y representante de un curso si hay 8 candidatos?

14 En una universidad se registra el número de estu-diantes inscritos a dos carreras, Ingeniería ambi-ental e Ingeniería industrial y a dos asignaturas, Matemáticas y Ciencias.

Matemáticas Ciencias Total

Ingeniería ambiental

85 76 161

Ingeniería química

90 89 179

Total 175 165 340

Si se elige un estudiante aleatoriamente, determina cuál es la probabilidad de que el estudiante sea:

a. De ingeniería y tome matemáticas.

b. De ingeniería ambiental.

c. Ingeniería química y tome ciencias.

d. Tome matemáticas.

e. Tome ciencias dado que es ingeniero químico.

f. Tome matemáticas dado que es ingeniero ambiental.

15 Un número de cuatro cifras se forma con los dígitos 0, 1, 2, 3.

a. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?

b. ¿Cuántos números se pueden formar repitiendo dígito?

c. ¿Cuántos dígitos se pueden formar sin repetir dígito?

d. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un número que sea par?

e. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un número que termine en 0?

16 Una urna contiene 3 bolas rojas, 2 bolas blancas, 4 bolas azules. El experimento consiste en extraer una bola de la caja.

a. Si se extrae una bola sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca?

b. Si hay reposición, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bola azul?

6 Se lanzan dos dados de diferente color, el resultado del primer dado es X y el resultado del segundo dado es Y.

Determina:

a. El número de elementos del espacio muestral.

b. Los elementos del evento “X 1 Y 5 10”.

c. Los elementos del evento “X 1 Y , 12”.

d. Los elementos del evento “X par y Y impar”.

7 ¿De cuántas maneras se puede en organizar cinco estudiantes en un círculo?

8 ¿Dé cuántas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas en una fila?

9 Un restaurante ofrece cinco variedades de entra-das, tres platos fuertes y cuatro tipos de postres. ¿De cuántas maneras se puede organizar el menú en el restaurante?

10 Se desea escoger la titular de baloncesto para par-ticipar en un torneo intercolegiado. Si el equipo del colegio está integrado por 8 personas, ¿de cuántas maneras se puede hacer la selección?

11 Un examen tiene 15 preguntas con 4 opciones de respuesta.

a. ¿De cuántas maneras un estudiante puede escoger una respuesta?

b. ¿De cuántas maneras se puede escoger una respuesta de las 4 opciones y tener todas las respuestas erradas?

12 Las placas de un carro se forman con tres letras y tres números. Si se toman 10 dígitos y 26 letras:

a. ¿De cuántas maneras se pueden formar placas con repetición de número y letra?

b. ¿Cuántas placas se pueden formar sin repetición de número y letra?

c. ¿Cuántas placas se pueden formar con solo tres dígitos y las 26 letras?

d. ¿Cuántas placas se pueden formar con las letras ABC?

UNIDAD 7

2 de 2

1 ¿Cuánto mide el ángulo a?

60º

63ºA

BC

m

l

l m

¿El ABC es equilátero?

2 ¿Cierto o falso?

95º

50º 40º

3 La siguiente suma es incorrecta. ¿Cuál es el mayor dígito que puede cambiarse para que la suma sea correcta?

6 4 18 5 29 7 3

2 4 5 6

4 Qué valores deben tener las letras para que se veri-fique:

(HE)2=SHE

5 Encontrar el intruso en la sucesión de Fibonacci.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 11, 21,…

6 En una finca hay gallinas y conejos. Si se cuentan en total 72 ojos y 122 patas ¿Cuántas gallinas y conejos hay?

7 Unir todos los puntos usando ocho líneas rectas.

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

8 ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

9 ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectán-gulo cuyos catetos miden 3 y 4 centímetros?

10 ¿Cuántas parejas de números se pueden obtener al lanzar dos dados?

HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 10 AMPLIACIÓN Y REFUERZOUNIDAD 1

1 de 1

Juegos de ingenio

1 Trazar tres segmentos de tal manera que se formen cuatro triángulos congruentes.

2 Trazar la estrella sin levantar el lápiz ni repetir líneas.

3 ¿Cuál es el siguiente término de la sucesión?

1, 8, 27, 64, 125, 216, , …

4 ¿Cierto o falso?

90º

60º

30º

5 Completar el cuadrado

2

7

12

6 Un reloj digital muestra las horas y los minutos con a.m. y p.m. Si se suman los dígitos que muestra el reloj, ¿cuál es el mayor valor que se puede obtener?


1 de 1

Juegos de ingenio


1 de 2

1 Hallar el número cuadrado de tres dígitos, cuya suma y producto de sus dígitos sean también nú-meros cuadrados.

2 ¿Es cierto que la gráfica puede representar a la función seno?

1

�1

�2

��3� 2

2��

23� 2

3 ¿Cuál número se debe borrar para que la suma de los números restantes sea un número primo?

28 14 4

21 3 12 36

4 ¿Cuántos polígonos cóncavos hay en la figura?

5 ¿El producto

−

( )

−

12

312

33

es un número natural?

6 ¿Qué fracción del círculo está sombreada?

30ºC

7 Cuál estructura es más estable?

8 ¿Cuáles números faltan?

12 16

5

21 7 �9 ?

?

17�14

9 Si ll m, ¿cuál es la diferencia entre las áreas de los triángulos ABC y ABD?

7 cm

C D

A B9 cm

l

m

10 Diana tiene 7 años más que Luisa. Si la suma de am-bas edades es de 33 años, ¿qué edad tiene Luisa?

11 Escribir las letras A, E, I, O y U, de manera que cada una no aparezca más de una vez en cada fila, co-lumna y diagonal.

12 Andrea pensó tres números. Sumándolos de dos en dos obtiene 12, 17 y 20.

¿Cuáles números pensó?

Juegos de ingenio

HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 10 AMPLIACIÓN Y REFUERZO

2 de 2

13 ¿Cuál es el valor de los ángulos A, B y S?

15º

30º

40º

� �

�

v

14 ¿Se puede trazar la figura sin levantar el lápiz ni repetir línea?

15 ¿Cierto o falso? l es paralela a m.

140º

40º

l

m

16 ¿Hay más primos menores que 100 terminados en 3 o terminados en 7?

UNIDAD 2

1 ¿Cierto o falso?

El producto

(22) 3 (21)3 3 (3 2 5) es negativo.

2 En las casillas hay seis números enteros diferentes. La suma de los tres horizontales es igual al produc-to de los tres verticales. Llenar las casillas.

21 9 6

3 Pedro compra en tres días 185 canicas. Si cada día compró los de lo que compró el día anterior, ¿cuán-tas canicas compró el tercer día?

4 Hallar la medida de a y b.

30º

65º

�

�

5 Si A, B, C y D son consecutivos, EFG es un número cuadrado y se cumple que

A B

+ C D

E F G

¿Cuál es el valor de cada letra?

6 ¿Cuántas placas diferentes se pueden formar con las letras y números de esta placa?

ATJ 723

No se puede repetir ni letras ni números.

7 Si x es un número natural mayor que 3 y menor que 9, ¿cuál es el menor valor que puede tomar la expresión

x 2 2 ?

1 2 x

8 ¿Cuántos ejes de simetría tiene este polígono cón-cavo?

9 El reloj marca las tres menos diez minutos. ¿Qué hora sería si el horario y el minutero cambiaran de sitio?

10 Llenar las casillas de esta figura con los números de 1 a 8 sin que las casillas de dos números consecuti-vos se toquen ni siquiera en las esquinas.

11 Si BCEF es un paralelogramo, ¿cuál es el área de la región sombreada?

7 cm

EF

A B C8 cm

12 Si al cuadrado de un número se le suma siete veces este número, el resultado es 44. ¿Qué número es?

13 ¿Entre las letras del abecedario es más probable ele-gir una vocal o una consonante?


1 de 2

Juegos de ingenio

14 ¿Cuáles números faltan?

? 4

12

3 �6

3

�8 �4

?

?

15 ¿Cuál es la medida del ángulo a?

50º C

�

16 Se hace el siguiente arreglo con palillos. Quitar dos palillos para que queden sólo dos cuadrados.


2 de 2

UNIDAD 4


1 de 2

1 El siguiente arreglo se hizo con palillos.

Sin mover ni quitar palillos, hacer que la ecuación se cumpla.

2 En la siguiente sucesión hay un número errado. Descubrir cuál es.

60, 52, 45, 39, 35, …

3 Hallar el valor de a y b.

100º

� �

4 Hallar un número cuadrado de tres cifras que sea capicúa, es decir, que se lea igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha.

5 Falso o verdadero.

33

3=

6 ¿A qué fracción del polígono corresponde la región sombreada?

7 Un hombre gana al día $5.000 y gasta $3.500. ¿Cuántos días necesita para ahorrar $18.000?

8 ¿El área del triángulo es un número irracional?

4 2 cm

3 2 cm

9 ¿Cuántos triángulos se pueden construir con los segmentos dibujados?

2 cm

4 cm

5 cm

7 cm

8 cm

10 Dentro del cuadrado ABCD se ha inscrito el cuadra-do EFGH. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado EFGH?

A F B

G

CH

E

D12 cm

5 cm

11 Alejandro pensó un número, le sumó 29 y el resulta-do lo dividió entre 7. Si el resultado que obtuvo fue 7, ¿cuál número pensó?

12 1Si se sabe que C es el doble de A, F es múltiplo de E y se cumple

A B

+ C D

E F

¿Cuál es el valor de cada letra?

Juegos de Ingenio


13 ¿Cuál igualdad no es cierta? cos2 sen2 5 1

cot2 1 1 5 csc2

tan2 1 1 5 sec2 u

csc2 1 sec2 5 2

14 Dividir la siguiente figura en cuatro partes de igual área e igual forma

15 ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

16 De una estaca de 24 cm de largo se deben sacar dos estacas, de manera que una sea tres veces más larga que la otra. ¿Cuánto debe medir cada estaca?

2 de 2

UNIDAD 5


1 de 2

1 ¿Cierto o falso?

r

l

La recta l es tangente a la circunferencia.

2 Determinar si los cuerpos son diferentes

3 Mover tres círculos para que el vértice del triángulo apunte hacia abajo.

4 ¿Qué figura está inscrita? ¿Qué figura está circuns-crita?

5 ¿Es cierto que el valor de

8 22−

está entre 0 y 1?

6 Al duplicar el lado de un cubo, ¿qué ocurre con su volumen?

7 La suma de los números de cada cara del cubo debe ser igual. Completar el cubo.

?

?4

5

8

2

7

8 1.999 5 a3 1 b3 1 c3 1 d3 1 e

¿Cuánto vale a 1 b 1 c 1 d?

9 Si GHI es el mayor número cuadrado de tres dígitos, ¿cuánto valen las otras letras?

A B C

D E F

G H I

10 ¿Cuál es el área de la región sombreada?

r

11 ¿Cuántos polígonos convexos hay en la figura?

12 ¿Qué relación hay entre la región sombreada y la no sombreada?

Juegos de ingenio


13 Si P es un dígito par e I es un dígito impar y además todos los dígitos son diferentes, hallar tres solucio-nes para

I P

+ I P

I P I

14 Los números capicúas son los números que se leen igual de izquierda a derecha que derecha a izquier-da, por ejemplo, 43134.Hay cinco números primos capicúas entre 100 y 200. ¿Cuáles son?

15 ¿X 1 Y 1 Z 1 M 1 N?

M N

X

Y

Z

16 ¿Qué fracción del círculo pequeño es el área del círculo grande?

2 de 2

UNIDAD 4


1 de 2

1 1. ¿Cierto o falso?

343 7 7=

¿El ABC es equilátero?

2 Probar que el área sombreada es menor que del área del rectángulo.

60º 60º

60º 60º

3 Dibujar el árbol sin levantar el lápiz ni repetir línea.

4 ¿Cuál de los siguientes números no se puede escri-bir como la suma de dos números primos?

12, 18, 24, 31, 36

5 Si E, F, G y H son los puntos medios de los lados del cuadrado ABCD. ¿Qué fracción del cuadrado está sombreada?

A E B

F

CG

H

D

6 El promedio de cinco números naturales consecuti-vos es 9.¿Cuáles son los números?

7 Divida el hexágono equilátero en tres cuadriláteros equiláteros.

�=135º

� �

�

� �

8 ¿Qué relación hay entre el área de la corona circular y el área del círculo inscrito en el cuadrado?

9 ¿Cuántos números primos menores que 100 hay?

10 Encontrar tres números de tres cifras, pares, divisi-bles entre 9 y cuya suma digital sea 9.

11 a, b, c, d y e son cinco dígitos tales que b, c y d son el promedio de sus dos vecinos inmediatos. Hallar dos soluciones para a, b, c, d y e.

a b c d e

12 ¿Es cierto que en todo cuadrilátero la suma de la medida de sus diagonales es menor que su períme-tro?

13 Hallar el valor del ángulo a.

45º

�

14 Un sastre tiene una pieza de tela de 12 m de largo. Si cada día corta 1,5 m, ¿en cuántos días terminará de cortar la tela?

Juegos de ingenio


2 de 2

UNIDAD 4

15 Si el segmento BC es el triple de CD y DE 5 CD 5 30 m, ¿cuánto mide el segmento AB?

CD

E

A

B

16 ¿Cuántos trapecios con dos ángulos rectos hay en la figura?


1 Representa gráficamente cada relación y deter-mina cuáles de ellas son funciones y cuáles no. Justifica la respuesta.

a. R 5 {(2, 3), (3, 5), (4, 3), (5, 5)}

b. R 5 {(x, y)/ y 5 x y 0 x 10, y 0 y 10}

c. R 5 {(x, y)/ y2 5 x y 0 x 3, y 29 y 9}

d. R 5 {(x, y)/ zyz 5 x y 0 x 10, y 0 y 10}

2 Representa verbalmente, en tabla de valores y realiza la gráfica de las siguientes funciones.

a. y x � � 12

2

b. f(x) 5 x3 2 1

c. g(x) 5 (x 1 4)2

d. h(x) 5 z3xz 2 3

e. f(x) 5 3x 1 5

f. y x � � 2

3 Analiza las gráficas de las funciones y determina el dominio y el rango de cada una.

a.

b.

UNIDAD 1

1 de 2


4 Sea f una función cuya gráfica se muestra a con-tinuación.

Responde:a. ¿Cuál es el dominio y el rango de f?

b. ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento de f?

c. ¿Cuáles son los intervalos de decrecimiento de f?

5 Responde falso o verdadero según el caso.

a. La función f(x) 5 x2 es inyectiva cuando el dominio {x [ R/ x $ 0}

b. La función y x � � � 2 2 es sobreyectiva.

c. La función y 5 x3 1 2 es inyectiva.

d. La función h(x) 5 zxz es biyectiva en todo su dominio.

6 Decide cuáles de las siguientes funciones son inyectivas. Justifica tu respuesta.

a.

b.

c.

�1�1

�2

�2

�3

�3�4�5�6

1 2 3 x

123y

�1�1

�2

�2

�3�4�5 1 2 3 4 x

1234y

�1�1

�2

�2

1 2 3 4 5 6 x

1234567y

�1�1

�2

�2

�3

�3�4

1 2 3 4 x

1234y

�1�1

�2

�2

�3�4�5 1 2 3 x

123456y

PREPÁRATE PARA TU EVALUACIÓN

Funciones

HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 10 PREPÁRATE PARA TU EVALUACIÓN

12 Relaciona cada función con su respectiva grafica.

a. y 5 x2 2 x 2 2 c. g x x( ) � � �1 3

b. f(x) 5 z2x 1 4z d. y 5 (Log3 x) 1 2

1. 3.

2. 4.

13 Encuentra la expresión algebraica de cada función dada gráficamente.

a. c.

b. d.

7 Realiza la gráfica de una función que cumpla con las siguientes condiciones:

a. El dominio de la función es [210, 10].

b. El rango de f está dado por el intervalo [22, 2].

c. Es una función impar.

d. Crece en el intervalo [25, 5].

e. Decrece en los intervalos [210, 25] y [5, 10].

8 Dadas las siguientes funciones, escribe el tipo de función y determina el dominio y el rango en cada una.

a. y x � � � 34

6

b. f(x) 5 x3 2 3x2 1 1

c. g xx

( ) � � 55

1

d. f(x) 5 22 1 6

e. y 5 2x2 2 x 1 3

9 Realiza la gráfica de las siguientes funciones con tabla de valores y determina el dominio y el rango.

a. y 5 z3x 1 2z

b. f x x( ) � � �13

2

c. g(x) 5 (x 2 2)2

d. y 5 x2 2 3

e. h(x) 5 22x

10 Realiza la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas y determina el rango de cada una a partir de su vértice.

a. y 5 x2 1 3x 1 2

b. y 5 3x2 2 x 2 4

c. y 5 x2 1 5x 2 6

d. y 5 22x2 2 8x 1 6

e. y x x � � � 13

4 92

11 Relaciona cada función con su inversa.

f x x( ) � � � 43

14

f21(x) 5 (x 1 3)2 2 2

f x x( ) � � � 2 3 f21(x) 5 2x3 1 3

f x x( ) /

� � 32

1 3

f x x−1 12 3

16( )

� � �

UNIDAD 1

�1�1

�2

�2

�3�4 1 2 x

123445y

�1�1

�2

�2�3

1 2 4 5 63 x

12y

�1�1

�2

�2

�3�4�5 1 2

x123456y

�1�1

�2

�2

�3 1 2 43 x

123456y

�1�1

�2

�2

1 2 4 5 63 x

1234y

�1�1

�2

�2

�3 1 2 3

x1234y

�1�1

�2

�2

�3

�3�4�5�6

1 2 3 x

12

y

�1�1

�2

�2

�3

�3�4�5�6

1 2 3 x

12y

2 de 2


1 Expresa los siguientes ángulos en grados y dibuja cada uno en posición normal.

a. 23p f. 7

4p

b. 310p g. p

8

c. �56�

h. 12

5p

d. �25� i. �

133�

e. �94� j. 23p

2 Expresa la medida de los siguientes ángulos en grados, minutos y segundos.

a. 12,158 f. 2144,178

b. 113,258 g. 1.134,288

c. 330,698 h. 450,618

d. 289,98 i. 230,308

e. 2385,238 j. 150,38

3 Realiza la conversión a radianes de los siguientes ángulos medidos en grados.

a. 2388 f. 4058

b. 408 g. 7208

c. 22708 h. 21.0008

d. 3308 i. 1.0808

e. 21358 j. 24208

4 Encuentra dos ángulos positivos y dos ángulos ne-gativos que sean coterminales a cada ángulo dado.

a. 308 e. 27208

b. 2108 f. 23p

c. 2458 g. �45�

d. 23158 h. �79�

UNIDAD 2

1 de 2


5 Resuelve:

a. Un sector circular tiene un arco de 50 cm de longitud y radio 12 cm. ¿Cuál es la medida del ángulo del sector?

b. Una rueda tiene 600 cm de longitud, ¿cuál es la medida del radio?

c. Una rueda de radio 25 cm gira a razón de 18 rpm. ¿Cuál es la velocidad angular de la rueda?

6 Encuentra el valor del lado que falta y determina el valor de las seis funciones trigonométricas de los ángulos a y b en los siguientes triángulos.

a. c.

b. d.

7 Completa la tabla.

Función Ángulo Cuadrante Signo Valor

sen II12

2408 1 3

IV32

cot 23158

4,5

1,2 �

�

12

8

�

�

7

�

�

7 2

2

2 3

�

�


Funciones trigonométricas


12 Encuentra el valor de todas las funciones trigono-métricas a partir de la información dada.

a. sen 56

12

� � e. sec ��

53

2�

b. cos��

32

0� f. csc 34

2� �

c. tan 330 33

� � � g. sen ( )� � �405 22

d. cot(22258) 5 21 h. cos��

�54

22

�

13 Escribe falso o verdadero según el caso.

a. La función seno es positiva en los cuadrantes I y III.

b. La función tangente vale 1 para los ángulos np

4

con n impar.

c. Todas funciones trigonométricas son positivas en el I cuadrante.

d. Las funciones que no están definidas para los

ángulos np

2con n impar son tan y csc.

14 Resuelve.

a. 2 53

5 34

cos sen� � � �

b. sec csc23

56

� � �

c. 12

74 3

tan cos��

��

d. 33

56

2

cot p

e. sen cos94

3 74

2 2�

��

15 Representa gráficamente el problema y resuélvelo.

a. Una colina tiene una pendiente de 308.¿Cuánto debe avanza una persona para llegar a una altura de 500 metros?

b. Un barco se encuentra a 150 km de distancia de un faro, el ángulo que se forma desde el barco a la parte mas alta del faro con la horizontal es de 458, ¿cuál es le altura del faro?

c. Un objeto atado a una cuerda se hace irar con una velocidad angular de 25prad por minuto. ¿Cuál es la longitud de la cuerda y la velocidad lineal del objeto?

8 Realiza las operaciones indicadas:

a. sen2 45 1 cos2 45

b. cos2 30 2 sen2 60

c. 2 cos 458

d. sen 308 1 cos 608

e. 3 60 60sen � �� cos

9 Dibuja una circunferencia unitaria y encuentra la coordenada que falta del punto P y ubícalo sobre la circunferencia.

a. P y32,

en el segundo cuadrante.

b. P x , 2 22

en el tercer cuadrante.

c. P y212,

en el tercer cuadrante.

d. P x , 245

en el cuarto cuadrante.

10 Ubica cada ángulo en posición normal y determina su ángulo de referencia.

a. 2258 e. �136�

b. 23308 f. 52p

c. 4058 g. �154

�

d. 58p h. �

193�

11 Calcula el valor de cada función trigonométrica.

a. sen�54�

b. cos 113p

c. tan�83

�

d. sen 134p

e. sec �34�

f. csc 32p

g. cot 113p

UNIDAD 2 PREPÁRATE PARA TU EVALUACIÓN

2 de 2


1 Identifica la función trigonométrica que cumple cada condición.

a. Es creciente de 21 a 1 para valores de x en el III cuadrante.

b. Tiene su valor máximo en 1 para valores de

x n � � �

�2

2 , decrece de 1 a 0 para valores de x

en el II cuadrante y es una función impar.

c. Es positiva solamente en el I y II cuadrante y no está

definida para valores de x de la forma x n � �

2con

n impar.

d. Tiene dominio x x n n , � � / � p

2impar{ }, es una

función par y tiene asíntotas en x n � �

2, n impar.

2 Responde falso o verdadero según el caso. Justifica tu respuesta.

a. La función seno es creciente para valores de x en el primer y tercer cuadrante.

b. La función coseno tiene valores máximos para x 5 nx con x par.

c. El período de las funciones tangente y cotangente tienen período 2p.

d. La función secante es una función impar.

3 Relaciona cada gráfica con su respectiva función trigonométrica.

a.

b.

UNIDAD 3

1 de 2


c.

d.

1. y 5 senx 3. y 5 tanx

2. y 5 cosx 4. y 5 cotx

4 Explica las variaciones que sufrieron las siguientes funciones trigonométricas.

a.

b.

c.

d.

�1�2

x

12y

��2

�3� 2

2��1

3�2

�

�1x

1y

��2

�3� 2

2��1

3�2

�

�1x

12y

��2

�3� 2

2��1

3�2

�

�1x

1y

��2

�3� 2

2��1

3�2

�

�1�1

�2 1 2 4 5 6 73 x

12

y

�1�1�2

�2

1 2 4 5 6 73

1y

y

�1�1

�2

�2

1 2 4 5 6 73 x

12y

�1�1

�2 1 2 4 5 6 73 x

12y


Gráfica de las funciones trigonométricas


�1�2

x12y

��2

2��1

3�2

��1

x

12y

��2

2��1

3�2

�

9 Realiza la gráfica de la función arcsen y determina:

a. Dominio.

b. Rango.

c. Intervalos de crecimiento.

d. Intervalos donde la función es positiva.

10 Determina el valor de cada función inversa.

a. tan21(0) f. cot− ( )1 3

b. sen−

1 12

g. sec−

1 2 33

c. cos−

1 12

2 h. csc21(21)

d. cos−

1 22

i. cot21(0)

e. tan−

1 33

2 j. tan− ( )1 32

11 Efectúa las siguientes operaciones:

a. sen ( )− −

1 112

5 1 � � �cos

b. tan cos− −

1 133

12

� �

c. sec21 2 1 3 csc21(22) 5

d. tan− −( )1 13 2 33

� � � cot

e. sen cos− −

1 122

1� � �

12 Despeja x en cada expresión.

a. y 5 sen 2x

b. y 5 cos (2x 2 p)

c. y 5 arccos (x 2 2)

d. y 5 3 2 2 sen21 x

13 Responde falso o verdadero. Justifica.

a. La función seno es inyectiva en todo su dominio.

b. La función arcocoseno tiene dominio [21, 1].

c. La función arcotangente tiene dominio todo R.

d. La función arcosecante tiene dominio R 2 [21, 1].

e. Arcsen (22) no existe.

5 Traza la gráfica de las siguientes funciones usando la gráfica de las funciones sen, cos y tan.

a. y 5 3 sen (x 2 p)

b. f x x( ) cos � � � 24�

c. g x x( ) cos � � � � 22�

d. f x x( ) sen � � � 14�

e. y 5 22 2 cos(x 2 p)

f. f x x( ) tan � � �

2

g. f x x( ) tan � � � 12�

6 Determina la expresión algebraica de las funciones cuya gráfica se da a continuación.

a. b.

7 Identifica el período, la amplitud y el desfase de las siguientes funciones.

a. y 5 23 sen(x 2 2p)

b. y x � � 32 3sen �

c. y x � �22

cos −

�

d. y x � � � 23 4cos �

e. y 5 2tan(x 1 p)

8 Encuentra una función que cumpla con las condi-ciones dadas:

a. Forma A cos (Bx 1 C), amplitud 4, período 2p y desfase 308.

b. Forma A sen (Bx 2 C), amplitud 22, período p

2 y

desfase 608.

c. Forma A cos (x 2 C), amplitud 12

, período 2p y desfase 458.

d. Forma A cos (x 2 C), amplitud 12

, período 2p y desfase 458.

e. Forma Atan(x 2 C), amplitud 12

, período 2p y desfase 2p8.


2 de 2


1 Resuelve los siguientes triángulos.

a. c.

b. d.

2 Calcula el área sombreada de las siguientes figuras.

3 Un edificio proyecta una sombra de 50 m, el án-gulo de elevación que se forma entre el final de la sombra y el techo del edificio es de 658. ¿Cuál es la altura del edificio?

UNIDAD 4

1 de 2


52º5

3 x

�

37º 11

9

x �

18º

5

7

x

�

8

13x

�

25º

24

12 2

30

54º 54º18

18y

x

y

x

50m65º

h

350 m35º 50º

x

h


4 Dos barcos están separados 350 m, el primer barco forma un ángulo de elevación de 358 con el extremo superior de un faro y el segundo barco un ángulo de 508. Determina la altura del faro.

5 Dos niños observan un globo con direcciones opuestas. El primer niño lo observa formando un ángulo de elevación de 658 y el otro niño con un ángulo de elevación de 558. Si el globo está a una al-tura de 800 metros, ¿a qué distancia están ubicados los niños del globo?

6 Una persona se encuentra a 2.500 m sobre una coli-na y observa que persona empieza a subir otra. Si el ángulo de depresión que se forma entre la primera persona y el que se dispone a subir por la colina es de 478. ¿Qué distancia separa a las dos personas?

7 Desde lo alto de un edificio, una mujer observa un vehiculo estacionado cerca al edificio, el ángulo de depresión que se forma entre la línea horizontal de la mujer y el vehiculo es de 538. Si el edificio mide 45 m, ¿a que distancia del edificio se encuentra le vehiculo?

8 Una persona que mide 85 cm, observa una casa de 250 cm de altura, el ángulo de elevación de la persona es de 258 y el ángulo de depresión hacia el suelo es de 158. ¿A que distancia de la casa se encuentra ubicada la persona?

47º

2500 m

Aplicaciones de las funciones trigonométricas


13 Dos escaladores se encuentran subiendo una montaña que tiene una pendiente de 358. Cuando están separados 50 m observan un globo cerca de la cima de la montaña. ¿Qué tan lejos se encuentra el globo de cada escalador?

14 Un barco costero envía señales a dos puestos de control separados 2,5 km. ¿A qué distancia se en-cuentra el barco de cada puesto de control?

15 Un avión se dirige de la ciudad A a la ciudad B que están separadas 250 km, pero al llegar a la ciudad B cambia su rumbo 558 para dirigirse a la ciudad C ubicada a 300 km de la ciudad B. ¿Cuál será la distancia que separa a la ciudad A de la ciudad C?

16 Una lancha se encuentra varada en un río, a 25 m de la lancha se encuentra una casita a la orilla del río y a 20 m desde la lancha se encuentra un señor pescando en la orilla. ¿Cuál es la longitud del río?.El ángulo de la lancha hacia la casa y hacia el señor es de 898

9 Dos jóvenes observan el mismo avión cuando se encuentra a 3.000 m de altura. Los ángulos de ele-vación son 258 y 388 respectivamente, y los jóvenes están separados 100 m, ¿a qué distancia de cada una se encontraba el avión?

10 Un apartamento ubicado a 5 m de altura se está in-cendiando, los bomberos se ubican a 3 metros del edificio, ¿cuál debe ser el ángulo de elevación que deben tener en cuenta para acertar a las llamas?

11 Una escalera de 20 pies de largo está apoyada contra una pared. Si la parte inferior de la escalera está a 12 pies de la pared, ¿cuál es el ángulo que se formó entre la escalera y el piso?

12 Un helicóptero es observado por dos personas separadas 150 m, con ángulos de elevación 808 y 508 hacia el helicóptero respectivamente. ¿A qué distancia se encuentra cada observador del heli-cóptero?

UNIDAD 4

25º 38º

100 m

x3 m

5 m

20 pies

x12 pies

35º

35º

2,5 km30º 25º

250 km

300 km

A

B

C


2 de 2


1 Determina el valor de cada función trigonométrica a partir de las condiciones dadas.

a. sen a si csca 5 23

b. cot a si tan � �43

c csc b si tan� � �33

d. tan a si cot� � 32

e. sec a si cos� � 12

f. cos a si sec� � �32

2 Encuentra el valor de las 5 funciones trigonométri-cas que faltan.

a. tanx � 125

con x en el III cuadrante.

b. sec x � 54

con x en el IV cuadrante.

c. cos x � 35

con sen x , 0.

d. csc x � 108

con cos x x . 0.

e. cos x � �512

con x en el II cuadrante.

f. senx � 25

con x en el I cuadrante.

g. cot x � �125

, con x en el III cuadrante.

h. cos x � 35

, con x en el IV cuadrante.

3 Escribe cada expresión en términos de seno y coseno y simplifica.

a. tan

seccot

�

�� f. sec

csc

cotx

x

x �

b. sec a ? tan a g. sec a(sen a 1 cot a)

c. tan a 1 cot a h. cot b 2 sec a cot b

d. csc

seccot

�

�� i.

csc

cot

sec

tan

2

2

2

2

x

x

x

x �

e. csc

tan

cot

sec

�

�

�

� � j. sec2 y 1 tan2 y

UNIDAD 5

1 de 2


4 Simplifica las siguientes expresiones trigonométri-cas.

a. sec2 x ? cot2 x f. cos sec

tan

� �

�

�

b. tan2 x ? csc2 x g. sec

csctan

x

xx �

c. sen sen cos

cos

x x x

x

� � h. cot

tan

�

�

�

�

1

1d. sec2 a 2 tan2 a i. tan x 1 cot x

e. sen

tan

cos

cot

2

2

2

2

x

x

x

x � j. 1 2 � sen

cos sen

�

� �

5 Demuestra si las siguientes igualdades son identi-dades trigonométricas.

a. sen

tan

cos

cotsen cos

2 2

2x

x

x

xx x � � �

b. sec2u(csc2 u 2 1) 5 csc2u

c. 1

11

2

�

� � �

sen

sensen

x

xx

d. cos cot

sen tancot

2

22� �

� �

�

� ��

e. sen

sensec tan

x

xx x

1 2− � �

f. cot2 y 2 tan2 y 5 sec2 y (csc2 y 2 2)

g. 11csc cot

sen

cosx x

x

x

� �

�

h. secu(secu 1 1) 5 cscu(cscu 1 cotu)

i. cos

sec tansen

x

x xx

� � � 1

j. sec

tansen

� �

��

��

cos

6 Determina el valor exacto de cada función dada haciendo uso de las identidades trigonométricas de suma y resta de ángulos.

a. sen 1508 f. tan 3158

b. cos 2208 g. csc 1358

c. tan 4058 h. tan 154p

d. sen 24508 i. sen 74p

e. cos 5408 j. cos 133p


Trigonometría analítica


12

25

B

h. sen cot

sen cos

x x

x x

11

�

� �

( )

i. csc ( cos )2

21 2x x � �

j. tan cot cscu u u2 � �

10 Resuelve cada ecuación con soluciones en el inter-valo [0, 2p].

a. 2 2sen x � �

b. 4cos2x 2 3 5 0

c. 3 3 0tanx � �

d. (senx 1 1)(2cosx 2 1) 5 0

e. sen2a 2 4sena 5 23

f. 2 2 1 2 22cos ( )cosx x � � �

g. sec cos

sec

u u

u

� �

12

h. tanx ? cscx 5 22

i. seccsc

xx � 1

j. senx 1 tanx ? cosx 5 1

11 Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a. sen cos2 12

1−

b. tan sen3 23

1−

2

c. cos cos2 113

22

−

d. sen cos2 32

1−

2

e. csc cos3 13

1−

f. sec tan3 31−( )

g. tan cot22 33

1−

12 Responde.

a. ¿Para qué valores de u es verdadera la ecuación tan (sen21u) 5 u?

b. Encuentra el dominio de la función y 5 csc21x

c. ¿La ecuación cos21(senx) 5 x tiene solución?

7 Determina el valor de sen (x 1 y), sen (x 2 y), cos (x 1 y) y cos (x 2 y)

a. sen cosx y , � � 35

2129

, con x en el primer y cuarto

cuadrantes.

b. sen cosx y , � � � 1213

941

, con x, en el cuarto

cuadrante.

d. sen cosx y , � � �1160

4041

, con x en el segundo

cuadrante

e. sen cosx y , � � � 817

1237

, con x en el tercer y

primer cuadrantes.

8 Encuentra cos (α 1 b) y sen (α 1 b)

a. c.

b. d.

9 Demuestra las siguientes identidades

a. sen ( sen cos )x x x � � � �

612

3

b. tan ( )tan

tan45

1

1� � �

�

� y

y

y

c. 2cosx 5 1 1 cos2x

d. cot sec (csc )2 12

2� � � � �

e. sen2x 5 (senx 1 cosx)2 2 1

f. cos3a 5 cosa(1 2 4sen2a)

g. cos

sencos cot csc

3

22 3

2

x

xx x x � �

UNIDAD 5

4

2

�

3

5

�

5 7�


2 de 2


1 Determina el punto medio y la distancia entre cada par de puntos dados.

a. (22, 5) y (0, 3) f. (21, 3) y (3, 2)

b. (25, 6) y (21, 22) g. (22, 9) y (2, 3)

c. (4, 21) y (22, 5) h. (12, 25) y (0, 22)

d. (6, 5) y (2, 26) i. (6, 11) y (26, 1)

e. (7, 23) y (3, 25) j. (32, 40) y (18, 10)

2 Determina la ecuación de la recta que cumple las condiciones dadas y realiza su gráfica.

a. Pasa por P(21, 2) y tiene pendiente m 5 23.

b. Pasa por los puntos P (23, 2) y Q(5, 24)

c. Tiene ángulo de inclinación 608 y pasa por P (2, 1)

d. Pasa por (3, 4) y es paralela a 2x 1 4y 5 1.

e. Pasa por P (0, 4) y Q(25, 0)

f. Pasa por P(23, 5) y es perpendicular a la recta

y x= −23

5.

g. Tiene pendiente m 5 22 y tiene intercepto con el eje x 5 5.

h. Pasa por (23, 2) y (4, 5) y es perpendicular a la recta que pasa por (26, 4) y (12, 5).

i. Tiene pendiente 24 y es paralela a la recta que pasa por y en 2 y en x en 21.

3 Determina si los puntos A (1, 2), B (2, 22) y C (7, 22) corresponden a los vértices de un triangulo rectán-gulo.

4 Demuestra que los puntos P (24, 2), Q (2, 2), R(4, 23) y S(22, 23) son los vértices de un parale-logramo.

5 Encuentra el valor de k de tal manera que las rectas 5x 2 ky 5 3 y 3kx 1 2y 5 4 sean perpendiculares.

6 Identifica las coordenadas del centro y el radio a partir de la ecuación de circunferencia y traza la gráfica de cada una.

a. x2 1 y2 2 6x 1 10y 1 31 5 0

b. x2 1 y2 1 2x 2 8y 1 8 5 0

c. 16x2 1 16y2 2 8x 1 16y 2 11 5 0

Nombre: ______________________________________________ Curso _______________ Fecha: ________________

7 Determina la ecuación de la circunferencia de acuerdo con las condiciones dadas.

a. Tiene centro (22, 4) y pasa por (4, 4).

b. Los vértices del diámetro son (23, 2) y (2, 22)

c. El centro es (24, 6) y es tangente al eje y.

d. Está en el IV cuadrante y es tangente tanto al eje x como al eje y y tiene radio 3.

8 Determina la posición relativa de la recta 3x 1 3y 5 12 con respecto a la circunferencia x2 1 y2 1 2x 2 4y 2 4 5 0.

9 Escribe la expresión algebraica de cada gráfica.a.

b.

c.

10 Determina el vértice, el foco, la ecuación de la di-rectriz, los puntos extremos del lado recto y realiza su gráfica.

a. x2 5 212y c. (x 1 5)2 5 (y 2 3)

b. y2 5 3x d. y + 12=

4

3x - 2( ) ( )

UNIDAD 6

�1�1

�2

�2

�3�4�5

�3

1 2 4 53 x

1234y

�1�1

�2

�2

�3

�3

1 2 4 5 63 x

123y

�1�1

�2

�2

�3

�3�4

1 2 4 5 63 x

12y


1 de 2

Geometría analítica


15 Determina la ecuación canónica y realiza la gráfica de la hipérbola que cumple:

• Centro (21, 3).

• Un foco en (25, 3).

• Longitud del eje conjugado 8.

• Eje focal paralelo al eje x.

16 Determina el centro, los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola 9x2 2 16y2 2 72x 2 32y – 16 5 0

17 Encuentra la cónica que está representada por cada ecuación y traza su gráfica.

a. 2x2 1 3y2 2 20x 1 6y 1 47 5 0

b. x2 2 6x 2 20y 5 72

c. x2 1 y2 1 8x 2 14y 2 19 5 0

d. 4x2 2 25y2 1 24x 1 150y 2 289 5 0

18 Resuelve.

a. Un puente colgante tiene cables en forma de parábolas. La longitud del puente es de 30 m. Los cables cuelgan de dos columnas de 5 m de altura. Si el punto más bajo de los cables está a 2 m del extremo superior de las columnas, ¿cuál será la altura de un punto sobre el cable a situado a 10 m de una de las columnas?

b. Una pista de patinaje tiene forma elíptica de 48 m de largo y 24 m de ancho. ¿Cuál será el ancho de la pista a 12 m de un extremo?

11 Encuentra la ecuación general de cada parábola a partir de los elementos dados.

a. Foco (21, 3), vértice (21, 1).

b. Directriz x 5 2 4 Foco (0, 0) y eje focal x.

c. Lado recto 8, vértice (23, 24) y eje focal paralelo al eje x.

d. Eje de simetría paralelo al eje y pasa por los puntos (0, 3), (2, 21) y (3, 0).

12 Identifica los elementos de cada elipse y determina su ecuación.a.

b.

c.

13 Halla la ecuación de la elipse que cumpla con las siguientes condiciones y realiza su gráfica.

a. Centro (25, 6)

b. Eje focal paralelo al eje x.

c. Un foco en (21, 6)

d. Excentricidad e 5 4/5

14 Encuentra los elementos de la elipse 9x2 1 4y2 118x 2 24y 1 9 5 0 y realiza su gráfica.

UNIDAD 6

�1�1

�2

�2

�3

�3

1 2 3 x

123y

�1�1�2�3�4�4

1 2 4 5 6 73 x

12y

�1�1

�2

�2

�3

�3�4�5

1 2 4 5 6 73 x

1y 5 m

30 m

10 m

48 m

24 m12 m


2 de 2


1 Una compañía de teatro realizó una gira por la ciudad. La siguiente tabla muestra la asistencia de público a las funciones de lunes a sábado durante 8 semanas.

L M M J V S

1 56 52 64 59 70 64

2 64 58 69 63 69 69

3 70 60 50 70 68 70

4 68 65 62 55 70 68

5 53 50 62 50 61 70

6 55 52 68 52 63 69

7 65 60 69 58 58 70

8 70 61 70 56 69 65

a. Realiza un diagrama de tallo y hojas con la anterior información.

b. Determina el rango.

c. Encuentra la longitud de los intervalos.

d. Elabora una tabla de frecuencias completa.

e. Halla la media de los datos agrupados.

f. Encuentra la mediana de los datos agrupados.

g. ¿Cuál es la moda de los datos?

h. Calcula el número de personas que asistieron y que están por debajo del 80% de los datos.

i. Encuentra el primer y tercer cuarto y realiza una interpretación de estos valores.

j. Elabora un histograma para frecuencias absolutas.

k. Representa en una ojiva las frecuencias relativas.

l. Halla la desviación típica y un intervalo del 95% de confianza.

2 La siguiente tabla registra los resultados de la prue-ba final de trigonometría en tres cursos décimo.

10 A 70 75 80 75 70 71 72 85

10 B 65 85 89 71 70 75 65 70

10 C 60 90 85 95 70 70 68 65

a. Encuentra la media de cada curso y la media total.

b. Encuentra la varianza y la desviación estándar de los datos de cada curso.

c. ¿Cuál de los tres cursos presenta una mayor dispersión en los datos con respecto a la media?

UNIDAD 7

1 de 2


3 Una firma de consultoría realizó una encuesta a 1204 persona para conocer su opinión sobre temas políticos de la actualidad. La siguiente tabla describe el nivel educativo de los encuestados.

Bachillerato completo 12% 16%

Bachillerato incompleto 8% 10%

Primaria completa 6% 6%

Sin estudios o primaria sin terminar 4% 6%

Universitario completo 4% 6%

Técnico o tecnólogo completo 8%

Universitario incompleto 7%

Técnico o tecnólogo incompleto 4%

Estudios de postgrado, 2% Hombre

Especialización, maestría, doctorado Mujer

Determina la probabilidad de que al seleccionar una persona encuestada esta:

a. Sea hombre y universitario completo

b. Sea mujer y bachiller completo.

c. Sea hombre y haya hecho estudios de postgrado.

d. Sea mujer y técnica o tecnóloga completa.

e. Sea hombre sin estudios.

4 Encuentra el espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos:

a. Extraer una bola de una urna que contiene 5 bolas numeradas del 1 al 5 de las cuales 2 son blancas y 3 son rojas.

b. Sacar 3 tornillos de una caja y clasificarlos en buenos o defectuosos.

c. Lanzar una moneda y luego un dado.

d. Escoger una muda de ropa con 2 pares de zapatos, 3 camisas y 3 pantalones diferentes.

e. Ordenar cinco dígitos diferentes para formar un número de dos cifras.

5 Un tour por la ciudad ofrece un recorrido por cinco lugares diferentes durante cuatro días ¿De cuántas maneras puede escoger una persona su tour?


Estadística y probabilidad


13 La tabla muestra el número de horas a la semana que un estudiante usa Internet en su casa para diferentes actividades.

Hombre Mujer Total

Tareas 5 6 11

Información general

7 5 12

Msn 5 7 12

Otros 4 1 5

Total (horas) 21 19 40

Determina las siguientes probabilidades:

a. Un estudiante sea hombre y use msn.

b. Sea mujer y busque tareas.

c. El estudiante use Internet para otras actividades no académicas.

d. El estudiante busque información dado que es hombre.

14 En grado décimo se va a realizar una evaluación con 5 preguntas de selección múltiple con 4 opcio-nes de respuesta.

a. ¿De cuántas maneras un estudiante puede escoger entre las 4 opciones una respuesta?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiantes escoja una respuesta para cada pregunta y tenga todas las respuestas erradas?

15 Se escoge la palabra SUERTE.

a. Determina el número de permutaciones diferentes que se puede hacer con las letras.

b. ¿ Cuántas permutaciones empiezan con la letra R?

c. ¿Cuántas permutaciones inician con la letra T?

16 Para ir a una obra de teatro se reunieron tres pare-jas de novios.

a. Determina de cuántas maneras diferentes pueden sentarse en las seis sillas que compraron sin restricciones.

b. Encuentra el número de formas que pueden acomodasen si se sientan por parejas.

c. Halla el número de maneras que se pueden sentar los hombres a un lado de las mujeres.

6 En un salón de clase hay seis candidatos para personero y presidente estudiantil. ¿Cuántas mane-ras hay para seleccionar a los dos ganadores?

7 ¿De cuántas maneras se pueden acomodar 5 per-sonas en una sala con 5 sillas?

8 Para un curso de tenis hay 5 profesores y tres niveles, avanzado, medio e introducción. Encuentra el número de formas en que se pueden asignar los profesores sin que ninguno tenga más de un nivel.

9 Si un examen tiene 5 preguntas de verdadero y falso, ¿de cuántas maneras puede contestarlo un estudiante?

10 Una constructora diseña 4 tipos diferentes de ca-sas, con dos tipos de patio y tres tipos diferentes de sala. Determina el espacio muestral a partir de un diagrama de árbol.

11 Una empresa contrató 80 personas para trabajar tiempo completo y medio tiempo en la planta de producción como se indica en la tabla:

Tiempo Completo

Medio tiempo

Total

Mujer 10 25 35

Hombre 30 15 45

Total 40 40 80

Si se elige una persona aleatoriamente de la planta, determina cuál es la probabilidad de que la persona sea:

a. Hombre.

b. Mujer.

c. Hombre y trabaje tiempo completo

d. Mujer y trabaje medio tiempo.

e. Trabaje tiempo completo dado que es mujer.

f. Trabaje medio tiempo dado que es hombre.

12 Un número de tres cifras se forma con los dígitos 1, 2, 3, 4.

a. Determina el número de elementos del espacio muestral.

b. Encuentra la probabilidad de obtener un número par.

c. Halla la probabilidad de obtener un número que no tenga cifras repetidas.

d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número con todas las cifras repetidas?


2 de 2

PRUEBA ICFESHIPERTEXTO MATEMÁTICAS 10

Matemáticas 10° grado

Instrucciones1. Escribe primero tu nombre y apellido, en el espacio correspondiente, en tu hoja de respuestas. 2. En esta prueba encontrarás 25 preguntas a partir de diferentes situaciones .3. Para contestar, en la hoja de respuestas, hazlo de la siguiente manera. Por ejemplo, si la respuesta co-

rrecta a la pregunta 1 es B.

1 hora y 30 minutos.

Tiempo disponible

PRUEBA ICFES

MARCA ASÍ:

NO MARQUES

ASÍ:

ASÍ, TAMPOCO:

PARA CORREGIR, BORRA

COMPLETAMENTE

A

1.

A

1.

A

1.

A

1.

B B B

C C C C

D D D D

B


Hoja de respuestas

Nombre

Curso Fecha

PRUEBA ICFES

1. A B C D 14. A B C D

2. A B C D 15. A B C D

8. A B C D 21. A B C D

5. A B C D 18. A B C D

3. A B C D 16. A B C D

9. A B C D 22. A B C D

6. A B C D 19. A B C D

4. A B C D 17. A B C D

10. A B C D 23. A B C D

11. A B C D 24. A B C D

12. A B C D 25. A B C D

13. A B C D

7. A B C D 20. A B C D


Responde las preguntas 1 a 5 de acuerdo con la siguiente información.

1. Según el plano cartesiano, ¿cuánto tiempo se espera que tarde en realizar todo el recorrido?

A. 1 hora y 15 minutos C. 1 hora y 45 minutos B. 1 hora y 30 minutos D. 1 hora y 50 minutos

2. La cima más alta la alcanzan:

A. 15 minutos después de iniciada la etapa. B. 30 minutos después de iniciada la etapa. C. 45 minutos después de iniciada la etapa. D. 1 hora después de iniciada la etapa.

3. Van más rápido en el tramo que va:

A. Del punto A al punto B C. Del punto C al punto D B. Del punto B al punto C D. Del punto A al punto C

4. La distancia del punto C al punto D es:

A. 250 m. C. 25 km. B. 10 km. D. 35 km.

5. ¿Cuál es la velocidad media que consiguieron? (Recuerda que v � d/t)

A. 5 km/h C. 15 km/h B. 10 km/h D. 20 km/h

A continuación se muestran las gráfi cas de una etapa ciclística cuyo itinerario se describe en el siguiente gráfi co.


6. La función de costos de producción se minimiza al producir aproximadamente:

A. 1.000 bombillos C. 2.500 bombillosB. 2.000 bombillos D. 3.000 bombillos

7. Teniendo en cuenta los costos de producción y la cantidad de ingresos por ventas, para la empre-

sa NO es rentable producir más de:

A. 1.000 bombillos C. 3.400 bombillosB. 2.500 bombillos D. 4.400 bombillos

8. Después de un estudio, en la empresa logran identifi car el máximo número de bombillos que deben producir para que el negocio no implique pérdidas. ¿Cuánto es el valor máximo de ingreso por ventas para la empresa?

A. Aproximadamente 2 millones de pesos B. Poco más de 5 millones de pesos C. Poco más de 12 millones de pesos

D. Más de 14 millones de pesos

9. La ganancia neta de la empresa se obtiene al hacer la diferencia entre los ingresos por ventas y los costos de producción. Puesto que el interés natural de una empresa es hacer que su ganancia neta sea lo más alta posible entonces la empresa deberá:

A. Mantener producciones periódicas entre 1.000 y 4.000 bombillos para equilibrar los ingresos por ventas y los costos de producción.

B. Mantener un producción constante de aproximadamente 2.000 bombillos ya que esta cantidad maximiza la ganancia.

C. Producir menos 1.000 bombillos pues cuanto menor sea la producción, más bajos serán los costos. D. Producir más 4.000 bombillos pues cuanto mayor sea la producción, más alta será la ganancia.


La función de costos C(b) de producción de bombillos ahorradores de energía está dada por la expresión: C(b) � (b � 1)2 � 2 , donde b representa el número de bombillos. En la gráfi ca siguiente se muestran las funciones de costo y de la cantidad de ingresos por ventas.


10. Si la función de ingreso por venta es: I(b) � 3b, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la función de ganancia neta?

A. G(b) � � (b2 � b � 3) C. G(b) � b2 � 5b � 3B. G(b) � b2 � b � 3 D. G(b) � � (b2 � 3b � 1)


De acuerdo con ciertos datos estadísticos en 1987 la población mundial había llegado a los 5 mil millones de ha-bitantes y crecía a razón de 2,78% anual aproximadamente. Suponiendo que las tasas de mortalidad y natalidad son constantes, con estos datos logran encontrar que la expresión que representa la población del mundo P(t) al cabo de t años está dada por:

11. ¿Con cuál de las siguientes expresiones se puede saber cuándo la población se duplicará a 10 mil millones de habitantes?

A. 2 � e(0,0278)t C. P(t) � 5e(0,0278)2t

B. 10 � 5e(0,0278)2t Q D. P(t) � 10e(0,0278)t

12. ¿Cuál de las siguientes gráfi cas representa la ecuación de la población del mundo al cabo de t años?

13. Una persona necesita para su alimentación aproximadamente 0,5 km2 de tierra para cultivo. Si en la Tierra hay alrededor de 40 � 109 km2 de tierra cultivable, ¿mediante qué expresión en términos de t podemos saber hasta qué año podremos alimentarnos de las riquezas de la tierra?

A. C.

B. D.

14. Si al cabo de 25 años la población del mundo es el doble de la población que había en 1987 y se cree que por cada hombre habrá tres mujeres, ¿cuántas mujeres habrá en el año 2012?

A. 2.500 millones de mujeres C. 6.600 millones de mujeres B. 3.300 millones de mujeres D. 7.500 millones de mujeres

P(t) � 5e(0,0278)t

A.

B.

C.

D.


15. En un estudio médico realizado en 1987 descubrieron que de cada 1.000 habitantes, 10 han sufrido varicela. Aunque se han hecho varios esfuerzos para reducir la cifra de afectados, en la práctica, se ha observado que cada 5 años la cifra de personas que han padecido esta enferme-dad se esta duplicando. ¿Cuál es la expresión que representa el número de personas que han padecido varicela?

A. para t � 5, 10, 15, 20, …

B. para t � 1, 2, 3, 4,

C. para t � 5, 10, 15, 20, …

D. para t � 1, 2, 3, 4, …

Para ir de la población A hasta la población C, se debía pasar antes por la población B, y la población P. Responde las preguntas 16 a 20 de acuerdo con la siguiente información.

Hace poco se construyó un túnel que permite hacer el recorrido de una población a otra directamente, como se observa en la fi gura.

16. Una vez construido el túnel, para ir de la población A a la población C, una persona ahorra:

A. 40 km C. 140 kmB. 100 km D. 240 km

17. Si el triángulo formado por los puntos PBC es isósceles, entonces, se puede afi rmar que:

Recuerda que: .

A. sen � � sen � C. sen � � sen �B. sen � sen � D. sen � � sen �

18. Si suponemos que de la población P a la población C se construyó otro túnel que comunica am-bas poblaciones, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la longitud L del recorrido desde la población A hasta la población C, pasando por la población P?

A. C.

B. D.


21. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola negra?

A. C.

B. D.

22. Si extraemos una bola de cada una de las tres bolsas, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las cifras sea 5?

A. C.

B. D.

19. Otra forma de expresar la longitud L es la siguiente:

Si dicha longitud (del camino desde la población A hasta la población C pasando por la población

P) es de 110 km, ¿cuál es la distancia entre la población A y la población P?

Recuerda que: tan ��2 tan (�/2)

1�tan2 (�/2)

A. 20 km C. 45 km B. 35 km D. 50 km

20. Si suponemos que la distancia entre la población A y la población P es igual a la distancia entre la población P y la población C, ¿qué relación hay entre los ángulos � y �?

A. � � � � 180 C. � � 2�B. � � 2� D. � � � � 90

Responde la pregunta 21 de acuerdo con la siguiente información:

El siguiente gráfi co muestra dos bolsas A y B, con 10 bolas cada una. Se lanza un dado de seis caras, si sale un número par se saca una bola de la bolsa A, y si sale un número impar se saca una bola de la bolsa B.

uestra dos bolsas A y B, con 10 bolas cada una. Se lanza un dadna bola de la bolsa A, y si sale un número impar se saca una bola de


23. Se quiere pintar cada una de las cuatro zonas: A, B, C y D del siguiente diagrama, ¿De cuántas formas distintas se puede hacer si hay pintura roja, verde, amarilla y negra?

A. De 8 formas B. De12 formas C. De 16 formas D. De 24 formas

24. ¿Cuántas arreglos de tres letras (con o sin sentido) se pueden formar con las letras de la palabra RISA? IRA, RIA, ISA, SRS, IAI son algunos de esos arreglos.

A. 12 palabras C. 64 palabrasB. 24 palabras D. 81 palabras

25. Si llevas monedas de distinto valor ($50, $100, $200 y $500) en el bolsillo y alguien de la calle te pide que lo ayudes con algo de dinero, ¿de cuántas maneras distintas puedes ayudar a la perso-na? Ten en cuenta que tú puedes decidir no darle ninguna moneda, darle sólo una moneda, darle dos monedas, darle tres monedas o darle todas tus monedas.

A. De 4 maneras C. De 16 maneras B. De 14 maneras D. De 24 maneras

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