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Perspectivas. Caballera
En este nuevo tema ampliaremos los conceptos y procedimientos sobre la perspectiva caballera, aprendidos en elcurso pasado. No obstante, te recomendamos que repases los contenidos desarrollados en el tema 3(axonometría oblicua: caballera) de la Unidad Didáctica IV, los sistemas de representación.
Aprenderás a proyectar las superficies poliédricas y radiadas en posiciones más complejas respecto de los ejes decoordenadas axonométricos. Y a determinar la intersección de un plano sobre dichas superficies.
En la imagen superior puedes ver un "trampantojo" realizado en una de las capillas de la catedral de Santa deCecilia en Albi (Francia), observa cómo la ubicación de cada perspectiva del prisma rectangular concede a lacomposición una mayor profundidad.
Actividad
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Archivo noencontrado
Firefox no puede encontrar el archivo en /embed/9Dd8DhpyZmI.
Antes de empezar te aconsejamos que visualices el vídeo superior, en él puedes ver cómo trazala perspectiva caballera de una figura.
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1. Generalidades
A diferencia de la axonometría ortogonal (isometría) en la perspectiva caballera es aconsejable aplicar siempre elcoeficiente de reducción. Recordarás que este lo hacíamos de dos maneras sobre cada magnitud del dibujorelacionada con el eje Y (profundidades):
Matemáticamente: aplicamos el coeficiente (1/2 = 0,5)
Gráficamente: construimos el vector dirección de reducción según el coeficiente dado, y medianteparalelas lo aplicamos.
Como ya hemos hecho en la perspectiva isométrica, en este tema también aplicaremos un método ya aprendidoen el sistema diédrico: el abatimiento; pero solamente los planos XOY e YOZ, ya que el XOZ está en verdaderamagnitud.
Además aprenderás a determinar la intersección entre recta y plano, y entre planos.Antes de empezar te aconsejamos que repases los contenidos y procedimientos del curso anterior explicados enel tema 3. Axonometría Oblicua: Caballera, de la unidad didáctica IV, los sistemas de representación (II).
En la imagen superior puedes ver algunas varias figuras planas representadas en perspectiva caballera, según undeterminado coeficiente de reducción.
Conocimiento previo
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Perspectiva caballera y Arte.
Mediante esta aplicación alojada en la web oficial de la Galería Nacional de Arte (NGA) de laciudad de Washington (USA) podemos diseñar figuras geométricas quitando cubos (hexaedros)visualizándolas además desde distintos puntos de vista.
Pulsa sobre la imagen para acceder a la web.
Pregunta Verdadero-Falso
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Verdadero Falso
Verdadero Falso
Verdadero Falso
Según lo explicado en el curso anterior determina si las siguientes afirmaciones sobre elcoeficiente de reducción son ciertas:
Es la relación entre la proyección de un segmento del eje X, y su longitud real en elespacio.
Es la relación entre la proyección de un segmento del eje Y, y su longitud real en elespacio.
Es la relación entre la proyección de un segmento del eje Z, y su longitud real en elespacio.
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1.1. Coeficiente de Reducción
Podemos determinar el coeficiente de reducción usando cualquier eje (X o Z); pero por comodidadusaremos la prolongación del eje Z (-Z).
Actividad
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Coeficiente de reducción 2/3.
En la siguiente animación puedes ver cómo hemos determinado la perspectiva caballera de un triángulo ABC,según los siguientes datos:
Lado AC paralelo a un eje axonométrico (X).Ángulo XOY = 135º (perfil derecho).CR = 2/3.
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Coeficiente de reducción 1/2.
En la siguiente animación te mostramos cómo hemos determinado la perspectiva caballera de un cuadrado ABCD,según los siguientes datos:
Lados oblicuos a los ejes axonométricos.Ángulo XOY = 45º (perfil izquierdo).CR = 1/2.
Objetivos
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Mediante el siguiente vídeo puedes repasar cómo se determina gráficamente el vector direcciónque representa al coeficiente de reducción.
Archivo noencontrado
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1.2. Intersecciones
Para determinar la perspectiva caballera de la intersección entre dos planos, o entre una recta y un plano debemosrepresentar sus proyecciones axonométricas, aplicando el coeficiente de reducción mediante abatimiento.
Se entiende que la recta o el punto intersección es la proyección directa.
En la imagen superior puedes ver cómo se ha determinado la intersección entre dos planos paralelos a la línea detierra, lógicamente la recta solución será una recta paralela a dicha línea.
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Intersección entre planos.
La intersección de las trazas de los planos nos determinará la proyección directa de la recta intersección.
En la siguiente animación te mostramos cómo se determina la recta intersección entre dos planos paralelos a laLT.
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Intersección entre recta y plano.
La proyección directa del punto intersección quedará determinada por la intersección entre una de las trazas delplano y la proyección secundaria correspondiente de la recta.
En la animación inferior te mostramos cómo se ha determinado la intersección de una recta de perfil con un planoparalelo a la LT. En este caso la intersección de la traza del plano con la proyección secundaria (perfil) nosdetermina la proyección directa del punto intersección.
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1.3. Circunferencia por afinidad
Dependiendo de cómo esté dispuesta la circunferencia respecto de los planos del triedro, obtendremos dos tiposde proyecciones:
Circunferencia: si la curva está contenida o es paralela al plano XOZ.
Elipse: si la curva contenida o es paralela a los planos XOY, YOZ.
Así pues para este último caso, podemos aplicar los conceptos y procedimientos aprendidos en los temas de laUnidad Didáctica II: Curvas y transformaciones proyectivas de Dibujo Técnico II, para representar la perspectivacaballera de la circunferencia.
En la imagen superior puedes ver cómo se ha obtenido la perspectiva caballera de la circunferencia, contenida enel plano XOY, aplicando dos métodos (abatimiento y afinidad).La elipse proyección se ha obtenido determinado sus diámetros conjugados (abatimiento) y en los ejes (afinidad).Para simplificar su trazado la hemos inscrito en un cuadrado.
Actividad
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Recuerda que las diagonales de un cuadrado que circunscribe a una circunferencia, determina enesta unos puntos específicos.
En el siguiente vídeo puedes ver la relación que se establece entre dichos puntos y las distintasperspectivas de la circunferencia.
Archivo noencontrado
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Métodos.
En el tema 1, curvas cónicas (I), de la Unidad Didáctica II: Curvas y Transformaciones Proyectivas, vimos variosmétodos que nos permitían representar la perspectiva isométrica y caballera de una circunferencia, obteniendosiempre la posición exacta de los ejes de simetría de la elipse, pero no su magnitud; pero en cambio, sí podíamossituar dos de sus diámetros conjugados y las longitudes de ambos.
En este tema vamos a estudiar de manera detenida dichos métodos, lo que nos permitirá determinar de manerarápida y sencilla los puntos de la elipse, perspectiva caballera de la circunferencia.
Por puntos. Método general similar al usado en isométrico, establecemos una afinidad entre los puntos dela circunferencia del plano ZOX y la elipse del YOX.
Por abatimiento. Abatimos el plano YOX sobre el plano del cuadro ZOX, u otro plano paralelo a este.También se establece una relación de afinidad.
Por Afinidad. La circunferencia del plano ZOX y la elipse del YOX son afines, siendo el eje X el eje deafinidad, la dirección de afinidad queda determinada por el segmento que uno los centros de las curvas.
En la animación inferior puede ver de manera detallada el procedimiento que debes seguir para obtener laperspectiva caballera, mediante afinidad, de una circunferencia contenida en el plano XOY.
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El trazado de la perspectiva caballera de la circunferencia es parte esencial en la construcción desuperficies radiadas como el cono y el cilindro.
En el siguiente vídeo puedes ver cómo a partir de la perspectiva caballera de la circunferenciabase de un cilindro recto de revolución se obtiene la perspectiva de dicha superficie.
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Compruebe que el nombre dearchivo no tiene errores deescritura, incluyendo el uso demayúsculas.
Compruebe si el archivo ha sidomovido, renombrado o eliminado.
Objetivos
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En la imagen superiorpuedes ver cómo se hatrazado la perspectivacaballera de unacircunferencia contenida enel plano XOY, según losparámetros establecidos.
Dicha circunferencia estangente a los plano XOZe YOZ, por tanto serátambién tangente a los ejesaxonométricos X e Y.
Te pedimos que apliqueslos contenidos yprocedimientos adquiridoshasta ahora para trazar laperspectiva caballeramediante las herramientasde dibujo tradicionales.
Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.
Caso de estudio
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2. Poliedros
Como hicimos en el tema anterior, perspectiva isométrica, también vamos a estudiar solamente los siguientespoliedros: tetraedro, hexaedro y octaedro.
En la imagen superior puedes ver la perspectiva caballera de estos poliedros.
Para representar cualquier poliedro primero debemos representar su proyección sobre el plano enel que está apoyado y finalmente levantaremos sus alturas.
Actividad
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2.1. Tetraedro
La perspectiva caballera del tetraedro no presenta dificultad alguna, salvo la determinación de su altura.
Podemos aplicar lo aprendido en su representación para obtener la perspectiva caballera de las pirámidesregulares.
En la imagen superior puedes ver cómo se ha determinado la perspectiva caballera de un tetraedro cuyas aristasbásicas son oblicuas a los ejes de coordenadas axonométricos.
Recuerda que para obtener las proyecciones diédricas de un tetraedro solamente necesitamosconocer la longitud de su arista, ya que altura la podemos determinar mediante el abatimiento desu sección principal.
Actividad
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Arista base paralela a un eje axonométrico.
En este caso una de las aristas base está contenida en uno de los ejes de coordenadas axonométrico.
En la siguiente animación puedes ver cómo se ha trazado la perspectiva caballera de dicho poliedro según uncoeficiente de reducción dado.
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Aristas bases oblicuas a los ejes axonométricos.En este caso particular hemos dispuesto una de las aristas base con un ángulo de 15º grados respecto del eje decoordenadas axonométrico X.
En la animación inferior te mostramos cómo se determina la perspectiva de dicho poliedro.
Caso práctico
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En la imagen superior puedes ver cómo se ha trazado la perspectiva caballera de un tetraedro apoyado por su caraABC en el triedro XOY, según los parámetros establecidos.
Conocemos las proyecciones diédricas del poliedro.
Te pedimos que apliques los contenidos y procedimientos adquiridos hasta ahora para trazar la perspectiva caballeramediante las herramientas de dibujo tradicionales.
Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.
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2.2. Hexaedro
Como ya vimos en el tema anterior la representación de la perspectiva del Hexaedro es la más sencilla derepresentar ya que su altura se corresponde con la longitud de su arista.
Podemos aplicar lo aprendido en su representación para obtener la perspectiva caballera de los prismas regulares.
En la imagen superior te mostramos cómo se ha determinado la perspectiva caballera de un hexaedro cuyasaristas básicas son oblicuas a los ejes de coordenadas axonométricos.
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Arista base paralela a un eje axonométrico.Como la base es un cuadrado si una arista base es paralela a uno de los ejes de coordenadas axonométricos, lasotras lo serán al otro correspondiente.
En este caso particular la arista está contenida en el eje X.
En la animación inferior te mostramos el procedimiento a seguir para trazar la perspectiva de dicho poliedro.
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Aristas bases oblicuas a los ejes axonométricos.
En este caso particular hemos dispuesto una de las aristas base con un ángulo de 30º grados respecto del eje decoordenadas axonométrico X.
En la animación inferior te mostramos cómo se determina la perspectiva de dicho poliedro.
Objetivos
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En el siguiente vídeo puedes ver cómo, a partir de la construcción de varios hexaedros, podemosobtener la perspectiva caballera de formas más complejas.
Archivo noencontrado
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Caso práctico
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En la imagen superior te mostramos cómo se ha trazado la perspectiva caballera de un hexaedro ABCDEFGHapoyado sobre el triedro XOY por una de sus caras (ABCD), siendo las secciones principales perpendicular y paralelaal plano XOZ.
Conocemos las proyecciones diédricas de dicho poliedro.
Te pedimos que apliques los contenidos y procedimientos adquiridos hasta ahora para su resolución mediante lasherramientas de dibujo tradicionales.
Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.
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2.3. Octaedro
Como ya vimos en el tema anterior, dada la complejidad de este poliedro solamente vamos a determinar laperspectiva caballera a partir de una posición particular: apoyado en el plano YOX por un vértice de la aristaprincipal, perpendicular a dicho plano.
Recuerda que cuando un octaedro está apoyado en el plano de proyección por una de sus diagonales principales,perpendicular a dicho plano, cuatro de sus aristas tienen la misma cota, por lo que estarán contenidas en un planohorizontal.
En la imagen superior puedes ver cómo hemos determinado la perspectiva caballera de un octaedro siendo susaristas horizontales oblicuas a los ejes de coordenadas axonométricos.
Recuerda que para poder representar la perspectiva de un octaedro necesitamos conocer, comomínimo, la medida de su arista, ya que su altura vendrá dada por su diagonal principal.
Actividad
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Aristas horizontales paralelas y perpendiculares a los ejes axonométricos.En este caso dos de las aristas horizontales están en planos del triedro (XOZ e YOZ).
En la siguiente animación te mostramos el procedimiento a seguir.
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Aristas horizontales oblicuas a los ejes axonométricos.En este caso particular hemos dispuesto una de las aristas horizontales con un ángulo de 30º grados respecto deleje de coordenadas axonométrico X.
En la animación inferior te mostramos cómo se determina, mediante abatimiento de la planta sobre el plano XOZ,la perspectiva de dicho poliedro.
Caso de estudio
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En la imagen superior te mostramos cómo se ha trazado la perspectiva caballera de un octaedro ABCDEF apoyadosobre el triedro XOY por una de sus diagonales principales (AF), siendo una de las diagonales principales una rectaparalela a la LT.
Conocemos las proyecciones diédricas de dicho poliedro.
Te pedimos que apliques los contenidos y procedimientos adquiridos hasta ahora para su resolución mediante lasherramientas de dibujo tradicionales.
Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.
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3. Superficies radiadas
La realización de la perspectiva caballera de las superficies radiadas nos permitirá acometer el trazado de figurasmás complejas.
En la imagen superior te mostramos la perspectiva caballera de un prisma y una pirámide regulares; y de uncilindro y un cono rectos de revolución.
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3.1. Pirámides
Como vimos en el tema anterior, el trazado de su perspectiva es similar al del Tetraedro, salvo por ladeterminación de su altura que siempre nos vendrá dada.
Dado que la base de estas superficies debe ser un polígono regular (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono,hexágono, etc..) la resolución de cualquier perspectiva caballera debe pasar primero por la de dicha figura plana.
Así pues, siempre comenzaremos dibujando la perspectiva de la planta y luego determinaremos el vértice de laaltura.
En la imagen superior te mostramos la perspectiva de una pirámide regular de base cuadrangular, según susvistas diédricas dadas.
Vuelve a repasar los conceptos y procedimientos sobre polígonos regulares.
Actividad
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Aristas bases oblicuas a los ejes axonométricos (base triangular).Como la pirámide es regular la base debe ser un triángulo equilátero, por lo que tendrá cierta similitud con eltrazado del Tetraedro.
En este caso particular uno de los vértices está contenido el centro O del triedro.
En la animación inferior te mostramos el procedimiento a seguir para trazar la perspectiva caballera de dichapirámide.
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Aristas bases oblicuas a los ejes axonométricos (base cuadrangular).En este caso particular hemos dispuesto una de las aristas base con un ángulo de 30º grados respecto del eje decoordenadas axonométrico X.
En la animación inferior te mostramos cómo se determina, mediante abatimiento de la planta sobre el plano XOZ,la perspectiva de dicho poliedro.
Caso de estudio
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En la imagen superior te mostramos cómo se ha trazado la perspectiva caballera de una pirámide regular ABCDEFGde base hexagonal apoyada en el triedro XOY por su base ABCDEF.
Conocemos sus proyecciones diédricas, siendo sus aristas bases oblicuas a los ejes axonométricos.
Te pedimos que apliques los contenidos y procedimientos adquiridos hasta ahora para su resolución mediante lasherramientas de dibujo tradicionales.
Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.
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3.2. Prismas
La determinación de su perspectiva es similar al del Hexaedro, excepto por la altura que siempre nos vendrá dada.
Como la base de estas superficies debe ser un polígono regular (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono,hexágono, etc..) la resolución de cualquier perspectiva caballera debe pasar primero por la de dicha figura plana.
Por tanto, debemos comenzar trazando la perspectiva de la planta, aplicando el coeficiente de reducción dado, yfinalmente dibujar las aristas laterales.
En la imagen superior puedes ver la perspectiva de un prisma regular de base triangular, dibujada según sus vistasdiédricas dadas.
Nosotros solamente vamos a estudiar los cilindros rectos de revolución y los prismas regulares.
Actividad
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Arista base paralela a un eje axonométrico.Como las bases del prisma son pentágonos regulares solamente puede tener una arista paralela a uno de los ejesde coordenadas axonométrico.
En este caso particular la arista está contenida en el eje X.
En la animación inferior te mostramos el procedimiento a seguir para trazar la perspectiva caballera de dichoprisma.
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Aristas bases oblicuas a los ejes axonométricos.En este caso particular hemos dispuesto una de las aristas bases con un ángulo de 30º respecto del eje decoordenadas axonométrico X, además un vértice de la base está contenido en el centro O del triedro.
En la animación inferior puedes ver cómo se ha determinado la perspectiva de dicho prisma.
Caso práctico
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En la imagen superior te mostramos cómo se trazado la perspectiva caballera de un prisma regular ABCDEFGIJKLMde base hexagonal apoyado el triedro XOY.
Conocemos sus proyecciones diédricas, siendo sus aristas bases oblicuas a los ejes axonométricos.
Te pedimos que apliques los contenidos y procedimientos adquiridos hasta ahora para su resolución mediante lasherramientas de dibujo tradicionales.
Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.
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4. QCAD. Ejercicios
En esta unidad didáctica continuamos aplicando los conceptos y procedimientos aprendidos sobre el manejo de laaplicación QCAD para resolver ejercicios, en este caso el trazado de perspectivas caballeras de superficiespoliédricas y radiadas.
Debes crear en cada archivos dxf una capa llamada trazado para realizar en ella los trazados.
Recuerda que no pretendemos que aprendas nuevas herramientas o comandos, solamente te pedimos querepases las prácticas que has realizado hasta ahora.
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4.1. Poliedros
Aplicando los conceptos y procedimientos aprendidos sobre el programa QCAD realiza los siguientes ejercicios:
En la imagen superior puedes ver cómo se ha trazado la perspectiva caballera de un tetraedro seccionado por unplano P paralelo a la LT (paralelo al eje X).
Para su dibujo conocemos las proyecciones del poliedro y de las trazas del plano secante P.
Te pedimos que, mediante las herramientas de la aplicación QCAD, determines la perspectiva caballera del tetraedroseccionado, según los parámetros establecidos.
Para realizar este ejercicio debes descargar este archivo dxf.
Caso de estudio
Caso práctico
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En la imagen superior te mostramos cómo hemos determinado la perspectiva caballera de un hexaedro seccionadopor un plano P proyectante vertical (de canto).
Para su dibujo conocemos las proyecciones del poliedro y las trazas del plano P.
Te pedimos que, mediante las herramientas de la aplicación QCAD, determines la perspectiva del hexaedroseccionado, según los parámetros establecidos.
Para realizar este ejercicio debes descargar este archivo dxf.
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4.2. Superficies radiadas
Aplicando los conceptos y procedimientos aprendidos sobre el programa QCAD realiza los siguientes ejercicios:
En la imagen superior puedes ver cómo se ha trazado la perspectiva caballera de una pirámide regular de basepentagonal seccionada por un plano P proyectante vertical (plano de canto).
Para su dibujo conocemos las proyecciones de la pirámide y la perspectiva caballera del plano secante P.
Te pedimos que, mediante las herramientas de la aplicación QCAD, determines la perspectiva caballera de lapirámide seccionada, según los parámetros establecidos.
Para realizar este ejercicio debes descargar este archivo dxf.
Caso práctico
Caso práctico
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En la imagen superior te mostramos cómo se ha trazado la perspectiva caballera de un prisma regular de basehexagonal seccionado por un plano P plano paralelo a la LT (eje isométrico X).
Para su dibujo conocemos las proyecciones del prisma y de las trazas del plano P.
Te pedimos que, mediante las herramientas de la aplicación QCAD, determines la perspectiva caballera del prismaseccionado, según los parámetros establecidos.
Para realizar este ejercicio debes descargar este archivo dxf.
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