Actividad NRO 6

Grupos y subgrupos

Definiciones y propiedades

Definici ó n 1 : Un grupo es un conjunto G dotado de una operación binaria * que satisface los siguientes axiomas:

Operación interna: ∀x, y ∈ G, x∗y ∈ G

Propiedad asociativa: ∀x, y, z ∈ G, (x∗y)∗z = x∗(y∗z)

Existencia de elemento neutro: ∃e ∈ G: ∀g ∈ G, e∗g = g∗e = g

Existencia de elemento inverso: ∀g ∈ G, ∃g−1 ∈ G: g∗g−1 = e = g−1∗g

De fi nici ó n 2 : Se dice que un grupo (G,∗) es abeliano si para todos x,y ∈ G se cumple x∗y = y∗x.

De fi nici ó n 3 : Sea (G,∗) un grupo. Se llama orden de (G,∗) al cardinal |G| del conjunto subyacente. Se dice que (G,∗) es finito si dicho cardinal lo es, e infinito en caso contrario.

Propiedades cancelativas: Sea (G,∗) un grupo. Para todos a,b,c ∈ G se cumple

a∗c = b∗c =⇒ a = b

c∗a = c∗b =⇒ a = b

Ejemplo.

Dado c ∈ G, el axioma (G4) asegura la existencia de un elemento c−1 ∈ G tal que c∗c−1 = e. Entonces, componiendo a∗c = b∗c por la derecha con c−1, se tiene

(a∗c)∗c−1 = (b∗c)∗c−1 utilizando Propiedades asociativas

a∗(c∗c−1) = b∗(c∗c−1) utilizando Existencia de elemento inverso

a∗e = b∗e utilizando Existencia de elemento neutro

a = b

Análogamente, y dado que c−1 ∗c = e, componiendo c∗a = c∗b por la izquierda con c−1,

c−1 ∗(c∗a) = c−1 ∗(c∗b) utilizando Propiedades asociativas

(c−1 ∗c)∗a = (c−1 ∗c)∗b utilizando Existencia del elemento inverso

e∗a = e∗b utilizando Existencia del elemento neutro

a = b

El elemento neutro e de un grupo (G,∗) es unico.

Supongamos que existiesen en (G,∗) dos elementos neutros distintos e,f ∈ G. Entonces, utilizando el axioma (Existencia del elemento neutro), e = e ∗ f = f.

El elemento inverso de cualquier elemento g de un grupo (G,∗) es u´nico.

Supongamos que existiesen dos elementos gn,g−1 ∈ G tales que g∗g−1 = g−1∗g=e y g∗gn = gn∗g=e. Entonces, g∗g−1 =g∗gn, y, utilizando la propiedad cancelativa por la izquierda, se tiene g−1=gn.

Sea (G,∗) un grupo. Para todo g ∈ G se tiene que (g−1)−1=g

Dada la unicidad del elemento inverso, basta observar que g∗g−1=g−1∗g=e

Sea (G,∗) un grupo. Para todos x,y ∈ G se tiene que ( x∗y )−1= y−1∗x1.

La unicidad del elemento inverso y las relaciones

( x∗y )∗( x∗y )−1=x∗( y∗y−1 )∗x−1=x∗e∗x−1=x∗x−1=e

( x∗y )−1∗( x∗y )= y−1∗(x−1∗x )∗y= y−1∗e∗y= y−1∗y=e

Demuestran el enunciado.

Sea (G,∗) un grupo. Entonces,

(G,∗)es abeliano ⇐⇒ ∀x,y ∈ G, (x∗y)−1 = x−1 ∗y−1 ( x∗y )−1=x−1∗y−1

De la definición de grupo abeliano, ( x∗y )−1= y−1∗x−1=x−1∗y−1.

Recíprocamente, si para todos x,y ∈ G se tiene ( x∗y )−1=x−1∗y−1 , entonces, utilizando

sucesivamente las proposiciones (Para todo g ∈ G se tiene que (g−1)−1=g¿ y (Para todos x,y ∈ G se tiene que ( x∗y )−1= y−1∗x1), la hipótesis y de nuevo la proposición

x∗y=(x−1 )−1∗( y−1 )−1=( y−1∗x−1 )−1=( y−1 )−1∗(x−1 )−1= y∗x

Subgrupos

Definición. Dado un grupo (G,∗) y un subconjunto H ⊆ G, se dice que (H,∗) es un subgrupo de (G,∗), y se denota (H,∗)≤(G,∗), si H es un grupo con respecto a la operación ∗ definida en G.

Sea (G,∗) un grupo. Los subconjuntos G y {e} reciben el nombre de subgrupos impropios de G. El resto de subgrupos de G reciben el nombre de subgrupos propios de G.

Sea (G,∗) un grupo, y sea H ⊆ G,H ≠ ∅. (H,∗) es un subgrupo de (G,∗) si y sólo si para todos x,y ∈ H se cumple x∗y−1∈ H.

Ejemplo.

Sea H un subgrupo de G. Si x,y ∈ H entonces, por (Existencia de elemento inverso), y−1∈ H, y, por (Operación interna), x∗y−1∈ H.

Recíprocamente, sea x ∈ H. Entonces x∗x−1=e∈H y e∗x−1= x−1∈H , demostrando (Existencia de elemento neutro) y (Existencia de elemento inverso). Para probar (Operación interna), basta observar que x∗y=x∗( y−1 )−1∈H . Por último, la asociatividad de la operación en H se deduce de la asociatividad de la operación en G.

Sea I un conjunto de índices, y sean H i ,i∈ I subgrupos de un grupo (G,∗). Entonces, ∩i∈ IH i es un subgrupo de G.

Ejemplo.

Sean x , y∈H i para todo i∈ I . Por ser H i subgrupos, x∗y−1∈H i para todo i∈ I . Entonces,

x , y , x∗y−1∈∩i∈I H i.

Sea X un subconjunto cualquiera de un grupo G. Se llama subgrupo generado por X, y se denota ⟨ X ⟩, a la intersección de todos los subgrupos de G que contienen a X.

En las condiciones de la dentición anterior,

⟨ X ⟩={x1a1∗x2a2∗…∗xnan : x1 , x2 ,…, xn∈ X ,a1 , a2 ,…,an∈Z }

Ejemplo.

Sea H xel conjunto del miembro derecho de la igualdad. Es claro que H xes un subgrupo de G. Como X⊆H x y ⟨X ⟩ es el mínimo subgrupo que contiene a X, se tiene que ⟨ X ⟩⊆H x.

Falta probar la inclusión contraria. Puesto que ⟨ X ⟩ es un subgrupo de GyX⊆ ⟨X ⟩ , si x i∈X , x i ⟨X ⟩ para todo i=1,2 ,…,n de donde

x1a1∗x2

a2∗…∗xnan∈ ⟨ X ⟩ y H x⊆ ⟨X ⟩.

Se llama retículo de los subgrupos de un grupo (G, ∗) al conjunto de todos los subgrupos de (G,∗), junto con sus relaciones de inclusión.

Homomorfismos de grupos

Definición. Sean ¿ grupos, y sea f: G1 −→ G2 una aplicación entre ellos. Se dice que f es un homomorfismo de grupos si

f ( x∗y )=f ( x )o f ( y )

Un homomorfismo inyectivo recibe el nombre de monomorfismo; un homomorfismo suprayectivo, epimorfismo; un homomorfismo biyectivo, isomorfismo; y un isomorfismo de G en sí mismo, automorfismo.

Si existe un isomorfismo entre ¿, se dice que ambos grupos son isomorfos, y se denota ¿.

Sean ¿ grupos, y sea f: G −→ H un homomorfismo entre ellos. Entonces, para todos x, y ∈ G,

f (x∗y−1 )=f ( x )o f ( y )−1

f ( y−1∗x )=f ( y )−1o f ( x )

Ejemplo.

Utilizando que f es un homomorfismo,

f (x∗y−1 )o f ( y )=f (( x∗y−1 )∗y )=f ( x )

y basta componer con f ( y )−1 por la derecha. La demostración del segundo aserto es análoga.

Sean ¿ grupos, y sea f: G −→ H un homomorfismo entre ellos. Entonces,

1. f (eG )=eH.

2. Para todo g∈G , f (g−1)=f (g )−1.

Ejemplo.

1. Basta aplicar la proposición anterior al caso x= y .

2. Basta aplicar la proposición anterior al caso x=eG , y=g .

La relación de isomorfía de grupos es una relación de equivalencia.

Ejemplo.

Sean G, H, K grupos.

La aplicación idG :G⟶G es claramente un isomorfismo, por lo que G≅G.

Si ϕ es un isomorfismo de G en H, ϕ−1 existe y es una biyección de H en G. Si x1 , x2 ,∈G, y1 , y2∈H , entonces ϕ−1 ( y i )=x i si y sólo si ϕ (x i )= y i. Además, ϕ (x1 x2 )= y1 y2, de donde ϕ−1 ( y1 y2)=x1 x2. Así,

ϕ−1 ( y1 )ϕ−1 ( y2 )=x1 x2=ϕ−1 ( y1 y2 )

Demostrando que ϕ−1 es un homomorfismo. Por tanto, H ≅G.

Finalmente, si φ es un isomorfismo de G en H, y ψ es un isomorfismo de H en K, ψ ◦ φ es una biyección de G en K. Además,

ψoϕ ( xy )=ψ (ϕ ( xy ) )

¿ψ (ϕ (x )ϕ ( y ) ) por ser ϕhomomorfismo

¿ψ (ϕ (x ) )ψ (ϕ ( y ) ) por serψ homomorfismo

¿ (ψoϕ (x ) ) (ψoϕ ( y ) )

de modo que ψ◦φ es un homomorfismo, y G≅ K .

Sean ¿ grupos, y sea f: G −→ H un homomorfismo entre ellos. Se llaman núcleo e imagen de f a los conjuntos

kerf= {g∈G : f (g )=e }

imf=f (G )= {h∈H :∃ g∈G : f (g )=h}

Sean G, H grupos, y f : G −→ H un homomorfismo. Si G es abeliano, f(G) es abeliano.

Ejemplo.

f ( x ) f ( y )=f ( xy )=f ( yx )=f ( y ) f (x)

El conjunto Aut G de automorfismos de un grupo G es un grupo bajo la operación de composición.

Ejemplo.

Sean f, g : G −→ G automorfismos de G. Entonces, tanto f 1o f 2 como f 2o f 1 son biyecciones de G en G. Para demostrar que son automorfismos, basta, por tanto, comprobar que son homomorfismos.

( f 1o f 2 ) (gh )=f 1(f 2 (gh ))

¿ f 1¿

¿ f 1 ( f 2 (g ) ) f 1 (f 2 (h )) por ser f 1homomorfismo

¿( f 1o f 2)(g)( f 1o f 2)(h)

con demostración análoga para f 2o f 1.

La asociatividad se deduce de la asociatividad de la composición de aplicaciones.

La aplicación identidad es, evidentemente, un automorfismo, y cumple f o idG=idGo f=f , demostrando la existencia de elemento neutro.

Por último, la inversa de una aplicación biyectiva es biyectiva, y, si g ´=f −1 (g ) yh ´=f−1(h),

f−1 (gh )=f −1(f (g ´ ) f (h´ ))

¿ f−1 ( f (g ´ h´ ) ) por se f homomorfismo

¿ g´ h ´=f −1(g)h−1(h)

demuestra que es un homomorfismo.

FUENTE http://www.math.toronto.edu/agraboso/files/TGrup.pdf