ACTIVIDAD NRO 5

MATEMATICA I – IUA

Alumno: Cabrera Sebasti á n Ariel

Parte A. Individual.

Retome el SEL de la Actividad 2C y cambie de modelo matemático. Esto es:

1. Escriba su forma matricial AX=B.2. Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como está hecho en los

ejemplos del material de lectura obligatorio digital (para observar su grado de comprensión).

3. Exprese el conjunto solución en términos de vectores, identifique una base de vectores para dicho conjunto.

4. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

5. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

Puntaje máximo:   10 puntos.

Parte B. Individual.

Retome el SEL de la Actividad 4B y cambie de modelo matemático. Esto es:

1. Escriba su forma matricial AX=B.2. Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como está hecho en los

ejemplos del material de lectura obligatorio digital (para observar su grado de comprensión).

3. Exprese el conjunto solución en términos de vectores, identifique una base de vectores para dicho conjunto.

4. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

5. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

Puntaje máximo:   10 puntos.

 

Parte C. Individual.

Retome la Actividad 3B, aquella en que identificó los vértices de la letra N para modificar su posición en el plano multiplicando matrices,  y cambie el modelo matemático. Lo pensará como una transformación lineal:

1. Identifique la primera  transformación lineal que identificaremos por  T.2. Identifique el espacio de salida y el de llegada.3. Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de salida.4. Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de llegada.

5. Repita 1)  2), 3) y 4) para la segunda transformación lineal que identificaremos por S.

6. Repita 1)  2), 3) y 4) para la composición de ambas transformaciones

lineales que identificaremos por .7. Repita 1)  2), 3) y 4) para la composición de ambas transformaciones

lineales que identificaremos por .8. Repita 1)  2), 3) y 4) para la transformación inversa de T.

Parte A

1. SEL de la Actividad 2C

{ 3 x+ y=452 z+2q=48x+2 y+z=53x+2 y+q=41

Su Matriz es:

[3 1 0 00 0 2 21 2 1 01 2 0 1

]=[ 45485341

]AX=B

[3 1 0 00 0 2 21 2 1 01 2 0 1

] [ xyzq]=[45

485341

]Si hacemos el producto de matrices obtenemos el SEL original.

2. Utilizando la forma matricial AX=B, obtenemos 4 EL y con ellas su forma vectorial:A1 X1+A2 X2+A3 X3+A4 X4=B

x [3011]+ y [102

2]+z [021

0]+q [020

1]=[45

485341

]

3. Obtenemos el conjunto solución:

S={[ xyzq] / x=11 , y=12 , z=18 , q=6 }

La matriz corresponde a un SEL consistente de solución única:

{x=11y=12z=18q=6

Lo escribimos vectorialmente:

[3011]11+[102

2]12+[021

0]18+[020

1]6=[45

485341

]Planteo vectorial de conjunto solución:

S={[ xyzq] / x=11 , y=12 , z=18 , q=6 }=[11

12186

]4. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas

de A.

Gen {[3011] ,[102

2] , [021

0] ,[020

1]} [301

1] x+[102

2] y+[021

0] z+[020

1]q=¿

Le damos un valor distinto a x,y,z, q por ejemplo:

a. Reemplazamos x=0, y=0, z=0, q=0 en la ecuación anterior y obtenemos el vector [0000]

b. Reemplazamos x=3, y=5, z=2, q=8 en la ecuación anterior y obtenemos el vector [14201521

]5. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las

columnas de A.

No hay, al ser una matriz cuadrada 4x4 siempre tiene solución, siempre habrá un vector que sea combinación lineal de los otros cuatro del espacio generado

Parte B

1. SEL de la Actividad 4B

{ A x2+Bx+Cy+D=0A (−1)2+B (−1 )+C10+D1=0

A02+B0+C5+D 1=0A32+B3+C2+D 1=0

Su Matriz es: la que equivale a la formula AX=B

[ x2 x y 1

1 −1 10 10 0 5 19 3 2 1

][ ABCD

]=[0000]

Si hacemos el producto de matrices obtenemos el SEL original

2. Utilizando la forma matricial AX=B, obtenemos 4 EL y con ellas su forma vectorial:A1 X1+A2 X2+A3 X3+A4 X4=B

A[ x2

109

]+B[ x−103

]+C [ y1052

]+D [1111]=[000

0]

3. Obtenemos el conjunto solución:

S={[ABCD

]/A=12 ,B=−48 ,C=−12 , D=60}La matriz corresponde a un SEL cosistente de solución única:

{ A=12B=−48C=−12D=60

Lo escribimos vectorialmente:

[ x2

109]12+[ x

−103

](−48)+[ y1052

](−12)+[1111]60=[12 x2−48 x−12 y+60

000

]4. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas

de A.

Gen {[ x2

109] , [ x

−103

] , [ y1052

] ,[1111]} [ x

2

109] A+[ x

−103

]B+[ y1052

]C+[1111]D=¿

Le damos un valor distinto a A,B,C, D por ejemplo:

Reemplazamos A=0, B=0, C=0, D=0 en la ecuación anterior y obtenemos el vector [0000]

Reemplazamos A=6, B=-24, C=-6, D=30 en la ecuación anterior y obtenemos el vector

[6 x2−24 x−6 y+30000

]5. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las

columnas de A.

No hay, al ser una matriz cuadrada 4x4 siempre tiene solución, siempre habrá un vector que sea combinación lineal de los otros cuatro del espacio generado

Parte C

1 Identifique la primera  transformación lineal que identificaremos por  T.

T=[1 00 −1] donde D↦T (D )=T . D

2 Identifique el espacio de salida y el de llegada.

El espacio de salida es R2 y el espacio de llegada es R2, es decir:

T :R2⟶ R2

3 Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de salida.

D=[ x1

x2]ϵ R

Espacio de salidaR2={[ x1

x2] / x1 ϵ R∧ x2 ϵ R }

4 Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de llegada.

T . D=H [1 00 −1] .[ x1

x2]=[ x1

−x2]

Espacio de llegada R2={[ x1

−x2]/ x1ϵ R∧ x2 ϵ R}

5 Repita 1)  2), 3) y 4) para la segunda transformación lineal que identificaremos por S.

D↦ S (D )=S . DS :R2⟶ R2

S=[k 00 1] , (k∈R ,0<k>1 )

k=12

S=[ 12

0

0 1]D=[ x1

x2]ϵ R

S .D=H=[ 12

0

0 1] .[ x1

x2]=[ 12x

1

x2]

Espacio de salidaR2={[ x1

x2] / x1 ϵ R∧ x2 ϵ R }

Espacio de llegada R2={[ 12x

1

x2]/ x1 ϵ R∧ x2ϵ R}

6 Repita 1)  2), 3) y 4) para la composición de ambas

transformaciones lineales que identificaremos por .

T :R2⟶ R2

D↦T (D )=T . DS :R2⟶ R2

D↦ S (D )=S . D

D↦T (D )=T . D↦ S (T .D )=S (T . D )=(S .T ) D=Q . DS∘T=Q :R2⟶R2

D↦ S∘T (D )=Q (D )=(S .T ) .D=Q .D=J

T=[1 00 −1] , S=[ 1

20

0 1 ] ,D=[ x1

x2]J=S .T . D=[ 1

20

0 1] .[1 00 −1] . [x1

x2]=[ 12

0

0 −1] . [x1

x2]=[ 12x

1

−x2]

Espacio de salidaR2={[ x1

x2] / x1 ϵ R∧ x2 ϵ R }

Espacio de llegada R2={[ 12x

1

− x2]/ x1 ϵ R∧ x2ϵ R}

7 Repita 1)  2), 3) y 4) para la composición de ambas

transformaciones lineales que identificaremos por .

T :R2⟶ R2

D↦T (D )=T . DS :R2⟶ R2

D↦ S (D )=S . D

D↦T (D )=T . D↦ S (T .D )=S (T . D )=(S .T ) D=R . DS∘T=R :R2⟶R2

D↦ S∘T (D )=R (D )=(S .T ) . D=R . D=K

T=[1 00 −1] , S=[ 1

20

0 1 ] ,D=[ x1

x2]

K=T .S . D=[1 00 −1] .[ 1

20

0 1] . [x1

x2]=[ 12

0

0 −1] . [x1

x2]=[ 12x

1

−x2]

Espacio de salidaR2={[ x1

x2] / x1 ϵ R∧ x2 ϵ R }

Espacio de llegada R2={[ 12x

1

− x2]/ x1 ϵ R∧ x2ϵ R}

8 Repita 1)  2), 3) y 4) para la transformación inversa de T.

T=[1 00 −1] , T−1=[1 0

0 −1] , D=[x1

x2]

T−1:R2⟶ R2

D↦T−1 (D )=T−1 . D

T−1 . D=M [1 00 −1] .[ x1

x2]=[ x1

−x2]

Espacio de salidaR2={[ x1

x2] / x1 ϵ R∧ x2 ϵ R }

Espacio de llegada R2={[ x1

−x2]/ x1ϵ R∧ x2 ϵ R}