actividad de aprendizaje 1

Nombre de la asignatura: Matemática Niv. Administrativas

Parcial de estudio: Primer

1

Introducción En este primer parcial va a estudiar agrupaciones, que en la vida diaria es común hacerlos con el lenguaje matemático y se llaman conjuntos, que es una agrupación cualquiera de objetos con una característica específica que permite determinar con certeza si un objeto pertenece o no a la agrupación; la lógica matemática hace de las ciencias un proceso en el que está la ordenación, estructuración y análisis de las verdades conocidas, así como también las expresiones algebraicas donde se aplicarán las leyes de los exponentes y radicales, operaciones con polinomios, productos y cocientes notables, el binomio de Newton, descomposición factorial. El principio fundamental de las fracciones es que podemos ser capaces de simplificarlas; este principio permite realizar operaciones entre numerador y denominador de una fracción entre la misma cantidad diferente de cero; la fracción resultante será equivalente a la original, fracciones con sus respectivas operaciones hasta racionalización. Para posteriormente hacer aplicaciones de las expresiones algebraicas en la resolución de ecuaciones de primero, segundo grado y polinómicas, como en los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales; además de aplicaciones en la resolución de problemas de aplicación y de descomposición de una fracción en fracciones parciales o simples.

Asesoría didáctica

Para el estudio de este parcial usted revisará el texto guía Álgebra Intermedia de Allen R. Ángel, donde encontrará la información necesaria para el desarrollo de las actividades de aprendizaje. Adicional a esto usted dispondrá de un archivo en PDF sobre Elementos de lógica y teoría de conjuntos, donde constan los temas a tratarse en este parcial. Este material lo encontrará en la Sección Contenidos del aula virtual. Lógica matemática Lógica es el estudio del razonamiento; se refiere específicamente a si el razonamiento es correcto. La lógica se centra en la relación entre las afirmaciones y no en el contenido de una afirmación en particular. Cuando deseamos establecer una verdad, cuando queremos convencer a alguien de que nuestra posición o nuestras ideas son las correctas, recurrimos a un razonamiento o presentamos evidencia que respalda nuestras opiniones. Este razonamiento o evidencia presentada con el propósito de demostrar algo es un argumento. Por supuesto hay buenos y malos argumentos, en términos muy vagos, la lógica es la ciencia que trata de distinguir los buenos argumentos de los malos argumentos. La vaguedad de la definición anterior estriba en que no hemos dicho qué entendemos por buen argumento "o mal argumento", de hecho, ni siquiera hemos dicho en forma precisa qué es un argumento. Y un argumento es un conjunto de una o más oraciones. La última de ellas se denomina conclusión, las anteriores se llaman premisas. Intuitivamente, las premisas son la evidencia o razones que nos deben convencer de la veracidad de la conclusión. El argumento es la concatenación de las primeras con la última.

Asesoría didáctica 1.1. Para realizar estas actividades, estudie el archivo adjunto Elementos de lógica y teoría de conjuntos, capítulos 4, 5, 6, desde la página 35 hasta la 52. Revise los problemas resueltos sobre estos temas y es importante que resuelva algunos de los ejercicios propuestos.



2

Lógica, cuantificadores y otros conectivos, capítulos 4, 5 y 6. Con esta revisión, aprendizaje y conocimientos ya puede resolver las tareas de la actividad de aprendizaje 1.1., que no son sino aplicaciones de estos temas. Teoría de conjuntos Olvide todo lo que sabe sobre números. Olvídese de que sabe lo que es un número. Aquí es donde empiezan las matemáticas. En vez de matemáticas con números, vamos a hacer matemáticas con "cosas". La teoría de conjuntos es la rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el de infinito. En esta actividad se introduce el concepto de conjuntos de una forma activa, con las actividades propuestas se pretende adquirir los conceptos relativos a la representación en diagramas y llaves, definición de conjuntos y operaciones entre conjuntos.

Asesoría didáctica 1.2.

Para realizar estas actividades, estudie lo que se encuentra en el archivo adjunto de Elementos de lógica y teoría de conjuntos, en los capítulos 1 y 2, desde la página 7 hasta la 24. Revise los problemas resueltos sobre estos temas y es importante que resuelva algunos de los ejercicios propuestos.

La teoría básica de conjuntos y operaciones con conjuntos, capítulos 1 y 2.

Con esta revisión, aprendizaje y conocimientos ya puede resolver las tareas de la actividad de aprendizaje 1.2., que no son sino aplicaciones de estos temas. Expresiones algebraicas El álgebra le proporcionará los conocimientos básicos necesarios, es fundamental porque los va a requerir en la preparación de su carrera; le permitirá seguir los estudios de: funciones matemáticas, cálculo diferencial e integral, matemática financiera y afines, sin ninguna dificultad. Este parcial está diseñado para ofrecer un breve repaso sobre algunos términos y métodos para el desarrollo de las matemáticas; aunque usted ya conoce este material con anterioridad, sin embargo, estos temas son importantes para otras matemáticas que estudiará después, por lo que resultará de beneficio un repaso de ellos. Dedique el tiempo que sea necesario para las secciones que requiere el repaso

Asesoría didáctica 1.3. Estudie y repase con atención en el texto guía Álgebra Intermedia de Allen R. el capítulo 1, desde la página 40 hasta la 57, capítulo 7, desde la página 449 hasta la 480.

a. La teoría de la clasificación de los números: 1.2; las propiedades de los números reales: 1.3 operaciones con los números reales (suma, resta, multiplicación, división, otros): 1.4 orden de los números reales. Capitulo 1 desde la página 6 hasta la 40.

http://enciclopedia.us.es/index.php/Matem%C3%A1tico

http://enciclopedia.us.es/index.php/Alemania

http://enciclopedia.us.es/index.php/Georg_Cantor

http://enciclopedia.us.es/index.php/Georg_Cantor

http://enciclopedia.us.es/index.php/Siglo_XIX



3

b. La teoría de los exponentes y sus propiedades. Exponentes: 1.5, notación científica:

1.6

c. La teoría de las raíces y radicales. Raíces y Radicales: 7.1; exponentes racionales: 7.2; simplificación de radicales: 7.3; y, suma resta multiplicación de radicales: 7.4.

Con esta revisión, aprendizaje y conocimientos ya puede resolver las tareas de la actividad de aprendizaje 1.3., que no son sino aplicaciones de estos temas.


Para realizar estas actividades, estudie en su libro de consulta el capítulo 5, pp. 298-326. Revise los problemas resueltos sobre estos temas y es importante que resuelva algunos de los ejercicios propuestos.

a. La teoría de suma resta de polinomios 5.1

b. Multiplicación de polinomios 5.2

c. División de polinomios y división sintética: 5.3 Con esta revisión, aprendizaje y conocimientos ya puede resolver las tareas de la actividad de aprendizaje 1.4., que no son sino aplicaciones de estos temas.


Para realizar estas actividades, estudie en su libro el capítulo 5, pp. 327-357 y revise los problemas resueltos sobre estos temas, además es importante que resuelva algunos de los ejercicios propuestos.

a. La teoría de factorización de un monomio de un polinomio 5.4

b. Factorización de trinomios 5.5

c. Fórmulas especiales de factorización 5.6

d. Repaso general de factorización 5.7 Con esta revisión, aprendizaje y conocimientos ya puede resolver las tareas de la actividad de aprendizaje 1.5., que no son sino aplicaciones de estos temas.



a. La teoría de multiplicación división de expresiones racionales 6.1

b. Suma resta de expresiones racionales 6.2

c. Fracciones complejas 6.3 Con esta revisión, aprendizaje y conocimientos ya puede resolver las tareas de la actividad de aprendizaje 1.6., que no son sino aplicaciones de estos temas.



4



La teoría de división de radicales 7.5 Con esta revisión, aprendizaje y conocimientos ya puede resolver las tareas de la actividad de aprendizaje 1.7., que no son sino aplicaciones de estos temas. Ecuaciones y sistemas Cuando se trabaja con un problema de aplicación de la vida real, con frecuencia nos encontramos con una o más ecuaciones que modelan dicha situación. Muchos fenómenos pueden descubrirse utilizando ecuaciones lineales, que son el tipo más simple para trabajar. Estudie las ecuaciones equivalentes y desarrolle técnicas para resolver ecuaciones lineales, que incluyen las ecuaciones con literales. Cuando resolvemos una ecuación, podemos aplicar ciertas reglas para obtener ecuaciones equivalentes; esto es, ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones que la ecuación dada originalmente. Conoceremos también cómo modelar situaciones que se describen por medio de ecuaciones cuadráticas. En la mayoría de los casos para resolver problemas prácticos, las relaciones establecidas deben traducirse a símbolos matemáticos, estos se conocen como modelado. Si un problema está expresado en palabras, se debe transformarlo a una ecuación, debe plantearse los enunciados en forma de ecuación o de una desigualdad. Esto se conoce como modelado matemático. Es importante que primero se lea el problema algunas veces, de modo que entienda con claridad la información y qué es lo que se pide encontrar; después seleccionar la incógnita con una letra que quiera determinar. Utilice las relaciones o información del problema, forme una ecuación que incluya la letra dicha y resulta la ecuación. Además conozca el procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones lineales con 2 y 3 variables, por medio de la técnica de eliminación, por adición o por restitución. Cuando una situación debe describirse matemáticamente, no es raro que surja un conjunto de ecuaciones, a este conjunto lo llamamos sistema; el problema es encontrar valores de x i y, para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas de manera simultánea; estos valores se denominan soluciones del problema.


Para realizar estas actividades, estudie en su libro, el capítulo 2, desde la página 66 hasta la 77; el capítulo 6, desde la página 409 hasta la 418; y, el capítulo 7, desde la página 489 hasta la 496 y revise los problemas resueltos sobre estos temas, además es importante que resuelva algunos de los ejercicios propuestos.

a. La teoría de la resolución de ecuaciones lineales 2.1.



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b. Resolución de ecuaciones racionales 6.4

c. Resolución de ecuaciones con radicales 7.6 Con esta revisión, aprendizaje y conocimientos ya puede resolver las tareas de la actividad de aprendizaje 1.8., que no son sino aplicaciones de estos temas.


Para realizar estas actividades, estudie en su libro el capítulo 4, desde la página 233 hasta la 251; el capítulo 6, desde la página 409 hasta la 418; y, el capítulo 8 desde la página 518 hasta la 539, y revise los problemas resueltos sobre estos temas, además es importante que resuelva algunos de los ejercicios propuestos de cada uno de los temas.

a. La teoría de la resolución de sistemas de ecuaciones con 2 variables 4.1

b. Resolución de sistema de ecuaciones con 3 variables 4.2

c. La teoría de la resolución de ecuaciones racionales 6.4

d. resolución de ecuaciones cuadráticas 8.1; 8.2. Con esta revisión, aprendizaje y conocimientos ya puede resolver las tareas de la actividad de aprendizaje 1.9., que no son sino aplicaciones de estos temas.


Para realizar estas actividades, estudie en su libro, el capítulo 8, pp. 549-555; el capítulo 5, pp. 358-367; revise los problemas resueltos sobre estos temas, además es importante que resuelva algunos de los ejercicios propuestos de cada uno de los temas.

a. La teoría de planteamiento de ecuaciones en forma cuadrática 8.4

b. La teoría de ecuaciones poli nómicas 5.8 Con esta revisión, aprendizaje y conocimientos ya puede resolver las tareas de la actividad de aprendizaje 1.10., que no son sino aplicaciones de estos temas.


Para realizar estas actividades, estudie en su libro, el capítulo 10, pp. 682-689; revise los problemas resueltos sobre estos temas, además es importante que resuelva algunos de los ejercicios propuestos de cada uno de los temas.

a. La teoría de sistemas de ecuaciones no lineales 10.4

b. La teoría de resolución y planteamiento de ecuaciones y sistemas de ecuaciones que se encuentran en todos los capítulos del texto guía.

c. Como la teoría de descomposición de fracciones parciales no existe en el texto guía

Álgebra Intermedia de Allen R., a continuación se describe toda la teoría de fracciones parciales para que usted la pueda revisar, además lo que respecta a



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ejercicios resueltos para que así pueda resolver los ejercicios planteados en la actividad de aprendizaje.

Fracciones parciales Las fracciones parciales es el proceso inverso a las operaciones con fracciones y se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples y son de la forma:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )xDxN

xDxN

xDxN

xDxN

xDxN

n

n++++= ...3

3

2

2

1

1

Para descomponer en fracciones parciales o simples se deben analizar los siguientes aspectos: 1. Analizar el grado del numerador ( )xN° con el grado del denominador ( )xD° y si: 1.1. Si ( ) ( )xDxN °≥° , se aplica el algoritmo de la división o sea se divide por cualquier método estudiado:

( )( ) ( ) ( )

( )xDxRxQ

xDxN

+=

Para posteriormente descomponer en fracciones parciales en: ( )( )xDxR

1.2. Si ( ) ( )xDxN °° , se descompone en fracciones parciales directamente. 2. El denominador debe ser factorizable para proceder a descomponer en fracciones parciales ya que del número de factores que tenga este existirá las fracciones simples de la siguiente manera:

Si el denominador al factorizar nos queda ( ) ( ) ( )mn edxcxbaxxD +++= 2, entonces el

número de fracciones parciales es mn + . 3. El descomponer en fracciones parciales es realizar operaciones exclusivamente con el denominador más no con el numerador para lo cual hay cuatro casos: 3.1. Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal. 3.2. Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido. 3.3. Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible. 3.4. Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido. 1. Descomposición en fracciones parciales en las cuales cada denominador es lineal Procedimiento Paso 1. Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de la función del numerador. Paso 2. Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales, px +q, o factores cuadráticos irreductibles cbxax ++2 , y agrupar los factores repetidos para



7

que la función del denominador sea un producto de factores diferentes de la forma

( )mqpx + , donde 1≥m o ( )ncbxax ++2 los números m y n no pueden ser negativos. Paso 3. Si es descomposición en fracciones parciales en las cuales cada denominador es lineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido.

...factor factor

++segundo

Bprimer

A

Ejemplos 1. Determinar la descomposición en fracciones parciales de:

xxxxx

329134

23

2

−+−+

Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3, por lo tanto, no tengo que hacer una división larga. Segundo. Factorizo el denominador.

( ) ( )( )133232 223 −+=−+=−+ xxxxxxxxx Tercero. Coloco cada factor obtenido de la siguiente forma:

13329134

23

2

−+

++=

−+−+

xC

xB

xA

xxxxx

Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.

( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx Podemos resolverlo por sistemas lineales o por el método de eliminación de términos siempre y cuando el denominador tenga factores lineales. 1. Aplicando sistemas de ecuaciones lineales. Opero los paréntesis.

( ) ( ) ( )xxCxxBxxAxx 3329134 2222 ++−+−+=−+ Ahora formo mi primera ecuación con los términos al cuadrado, así:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ACBAxCBAxxxACxBxAxCxBxAxxx

CxCxBxBxAAxAxxxCxCxBxBxAAxAxxx

xxCxxBxxAxx

33291343329134

33291343329134

3329134

22

2222

2222

2222

2222

−+−+++=−+

−+−+++=−+

++−+−+=−+

++−+−+=−+

++−+−+=−+

Mis tres ecuaciones son:

Multiplico las letras en los paréntesis.

Quito los paréntesis.

Los ordeno.

Agrupo términos semejantes.



8

4111 =+++ CBA

13312 +=+− CBA

A39 −=− Tomo la tercera ecuación y encuentro el valor de A:

A39 −=−

A39 =

A

A

=

=

339

Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones:

( )( )

13443

4134111

=+−=+=++

=++=+++

CBCB

CBCB

CBA

( )( )

736133

133613332

13312

=+−−=+−

=+−=+−

+=+−

CBCB

CBCB

CBA

Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo así los valores de B y C:

731 =+−=+

CBCB

84 =C 2C =

121121

−=−==+=+

BBB

CB

Coloco las respuestas en la letra correspondiente:

13329134

23

2

−+

++=

−+−+

xC

xB

xA

xxxxx

12

313

329134

23

2

−+

+−=

−+−+

xxxxxxxx

2. Hay otro método que se puede usar únicamente cuando los términos son lineales y no repetidos que es mucho más fácil.

13329134

23

2

−+

++=

−+−+

xC

xB

xA

xxxxx

Método de eliminación de términos



9

Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.

( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial

0=x 3

03−==+

xx

1

01=

=−xx

Ahora sustituyo los valores de x en la igualdad, así: a) Si x = 0

( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )

AA

CBACBA

=−=−

++−=−+++−+−+=−+

339

00139003001001030901304 2

b) Si x = -3

( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3331331333931334 2 +−−+−−−+−−+−=−−+− CBA

( )( ) ( )( ) ( )( )

BB

CBA

=−=−

−+−−+−=−−

11212

03434093936

c) Si x = 1

( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

CC

CBACBA

==

++=−+++−+−+=−+

248

41010491343111111131911314 2

Respuesta: 1

23

131332

913423

2

−+

+−=

−+

++=

−+−+

xxxxC

xB

xA

xxxxx

2. Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido Ejemplo. Descomponer en fracciones parciales:

( )22

33610

−−+

xxxx

Notamos en el ejercicio que hay un término lineal repetido que es ( )23−x . Entonces lo colocamos así:



10

( )233 −+

−+

xC

xB

xA

Si fuera al cubo el término repetido ( )33−x lo pondríamos:

( ) ( )32 333 −+

−+

−+

xD

xC

xB

xA

Ejemplo resuelto por pasos

( )22

33610

−−+

xxxx

Primero escribimos en el denominador del término lineal x, luego escribimos en el denominador el término repetido elevado a la 1 y por último escribimos en el denominador el término repetido elevado al cuadrado, así:

( ) ( )22

2

3333610

−+

−+=

−−+

xC

xB

xA

xxxx

Como tenemos un término repetido ya no podemos usar la forma fácil de resolverlo, únicamente hay que hacer por sistemas de ecuaciones. Para esos operamos con el mínimo común denominador y le igualamos al numerador.

( ) ( )( ) ( )xCxxBxAxx +−+−=−+ 333610 22 Operamos los paréntesis

( ) ( ) ( )xCxxBxxAxx +−++−=−+ 3963610 222

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ACBAxBAxxxACxBxAxBxAxxx

CxBxBxAAxAxxxCxBxBxAAxAxxx

93636109363610

39636103963610

22

222

222

222

++−−++=−+

++−−+=−+

+−++−=−+

+−++−=−+

Formo mis 3 ecuaciones

369:1036:

1:

0

1

2

−=

=+−−

=+

AxCBAx

BAx

Resolviendo me queda:

4369

−=−=

AA

Sustituyo valores en la primera ecuación:


Los ordeno.





11

514

141

=+==+−=+

BB

BBA

Sustituyo valores en la segunda ecuación:

1036 =+−− CBA 101524 =+− C

1910

109

=−==+

CC

C

Respuesta: ( ) ( )22

2

31

354

33610

−+

−+

−=

−−+

xxxxxxx

3. Descomposición de una fracción parcial que contiene un factor cuadrático irreducible Ejemplo. Descomponer en fracciones parciales:

48229154

23

23

−+−−+−

xxxxxx

Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar la división: 2

2915 4 23 −+− xxx 482 23 −+− xxx

8 1624 23 +−+− xxx

2x x− 21−

482212

48229154

23

2

23

23

−+−−−

+=−+−−+−

xxxxx

xxxxxx

Factorizo el denominador:

( ) ( ) ( )( )12412412482 2223 −+=−+−=−+− xxxxxxxx

Donde 42 +x es un término cuadrático irreducible por lo que ahora opero así:

12448221

223

2

−+

++

=−+−

−−xC

xBAx

xxxxx

Operamos el mínimo común denominador:




12

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )CBBAxCAxxxCBBxAxCxAxxxCCxBBxAxAxxx

xCxBAxxx

422214222142221

41221

22

222

222

22

+−++−++=−−

+−+−+=−−

++−+−=−−

++−+=−−

Formar las ecuaciones:

( )( )( )3214:212:112:

0

1

2

−=+−

−=+−

=+

CBxBAx

CAx

Puedes resolverlo por el método que quieras, en este caso seguiremos practicando la resolución por reducción. Con las ecuaciones 1 y 3, eliminamos C, multiplicando la 1 por 4 y la 3 por -1:

21444 8A

=−=+

CBC

25B8A =+ Esta ecuación resultante hacemos sistema con la ecuación 2 y tenemos:

( )( ) 2584

12B A- 2 =+−=+

BA

Eliminamos A, multiplicando la 2 por 8 y la 4 por 1:

258816B 8A-

=+−=+

BA

1717B = 1B =

Con el valor de B determinamos el valor de A y C en las ecuaciones 2 y 3:

5204

1214214

214

−=−=

+−=+−=−=+−

CCC

BCCB

32121

12

=+=+==−

AA

BABA

1242

48229154

223

23

−+

++

+=−+−−+−

xC

xBAx

xxxxxx

125

4132

48229154

223

23

−−

+++

+=−+−−+−

xxx

xxxxxx

RESPUESTA:12

54132

48229154

223

23

−−

++

+=−+−−+−

xxx

xxxxxx


Los ordeno.




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Ejemplos de aplicación Descomponer en fracciones parciales, las siguientes fracciones:

a) 24

23 3422xx

xxx+

−++

Esta fracción la descomponemos en fracciones simples directamente ya que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, pero debemos facturar el denominador:

( )134223422

22

23

24

23

+−++

=+

−++xx

xxxxx

xxx

Entonces se descompone en tres fracciones simples:

( ) 113422

2222

23

++

++=+

−++x

DCxxB

xA

xxxxx

Eliminamos denominadores:

( ) ( ) ( )DCxxxBxAxxxx +++++=−++ 22223 113422

E igualamos los coeficientes de cada término algébrico:

=−

=

+=

+=

BxAx

DBxCAx

3:4:2:2:

0

1

2

3

Entonces A = 4 y B = - 3; con estos valores determinamos C y D:

2=+CA 2=+ DB 24 =+C 23 =+− D

2−=C 5=D

Entonces la solución es: ( ) 15234

13422

2222

23

++−

+−

+=+

−++x

xxxxx

xxx

( ) 15234

13422

2222

23

+−

−−=+

−++xx

xxxxxxx

b) ( ) ( )31

10332

234

−++−−

xxxxx

En esta fracción el grado del numerador es menor que el grado del denominador, por lo que debemos primero dividirla y expresar a la fracción con el algoritmo de la división:



14

( )( ) ( ) ( )

( )xDxRxQ

xDxN

+=

Para dividir el denominador hay que multiplicarlo:

( ) ( ) ( )( ) 3531231 2322 −−−=−++=−+ xxxxxxxx

Entonces la fracción nos queda 351033

23

234

−−−+−−

xxxxxx

; que vamos a dividir:

10033 234 −+−− xxxx 3523 −−− xxx

xxxx 35 234 +++− 2−x

10322 33 +++− xxx

61022 33 −−−− xxx

47 +− x

Al dividir nos da: ( )( )223

234

13472

351033

+−+−

+−=−−−+−−

xxxx

xxxxxx

( )( )223

234

13472

351033

+−−

−−=−−−+−−

xxxx

xxxxxx

Entonces la fracción que vamos a descomponer en fracciones simples es:

( )( ) ( ) ( ) ( )3111347

22 −+

++

+=

+−−

xC

xB

xA

xxx

Eliminamos denominadores:

( )( ) ( ) ( )2131347 ++−++−=− xCxBxxAx

E igualamos los coeficientes de cada término algébrico:

( )( )( )

+−−=−

++−=

+=

3334:2227:10:

0

1

2

CBAxCBAx

CAx

Entonces resolvemos el sistema de ecuaciones y vamos a multiplicar por 3 a la ecuación (2) y sumamos con la ecuación (3):

( )( )

+−−=−++−=

3334263621

CBACBA

( )47917 CA +−=

De la ecuación (1) 0=+CA , despejamos CA −= y reemplazamos en la ecuación (4):



15

( )47917 CA +−= ( ) CC 7917 +−−=

CC 7917 += C1617 =

1617

=C y 1617

−=A

Para determinar el coeficiente B vamos a utilizar la ecuación (2):

722 =++− CBA

( ) 722 =++−− CBC 722 =++ CBC

74 =+ BC 716174 =+

B

4

177 −=B 4

11=B

Entonces la fracción nos queda:

( )( ) ( ) ( ) ( )31617

14

11

11617

1347

22 −+

++

+

−=

+−−

xxxxxx

( )( ) ( ) ( ) ( )31617

1411

11617

1347

22 −+

++

+−

=+−

−xxxxx

x

La fracción total queda al descomponer en fracciones simples así:

( ) ( ) ( )

−+

++

+−

−−=−−−+−−

31617

1411

116172

351033

223

234

xxxx

xxxxxx

Entonces la solución es:

( ) ( ) ( )31617

1411

116172

351033

223

234

−−

+−

++−=

−−−+−−

xxxx

xxxxxx

Con esta revisión, aprendizaje y conocimientos ya puede resolver las tareas de la actividad de aprendizaje 1.11., que no son sino aplicaciones de estos temas.



16

Actividades de aprendizaje

Actividad de aprendizaje 1.1.

Planteamientos

1. Del archivo en PDF de la página 40, resuelva el ejercicio 1.

Evalúa cada proposición según los valores de verdad p = F, q = V, r = F.

a) ￢(p ∨ q) ∧ (￢p ∨ r) b ) p ∨ ￢ (q ∧ r)

2. Del archivo en PDF de la página 41 resuelva el ejercicio 3.

Suponga que a, b y c son números reales. Represente en forma simbólica los enunciados dados tomando en cuenta que: p: a < b, q: b < c, r: a < c.

a) No es cierto que ( a < b y a < c) b) a < b < c


Escriba las siguientes frases con notación lógica y también sus negaciones. Cuando use cuantificadores especifique los universos, utilice R si no se especifica ningún universo.

a) Para toda m, n ∈ N existe p en N tal que m < p y p < n. c) Para cada n ∈ N existe m ∈ N tal que m < n.


Sean p, q, r las proposiciones siguientes:

p: “está lloviendo” q: “el sol está brillando” r: “hay nubes en el cielo”

Traduzca lo siguiente a notación lógica, utilizando p, q, r y conectivos lógicos.

a) Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo. b) El sol está brillando si y solo si no está lloviendo.


Para la siguiente proposición compuesta, elabore las tabla de verdad correspondiente:

a) ￢(p ∧ q) ∨ (r ∧ ￢p)

Objetivo

Aplicar leyes de la lógica en la simplificación de expresiones lógicas.

Orientaciones didácticas

Revise la teoría presentada en el PDF adjunto de Elementos de Lógica y Teoría de Conjuntos y sobre todo la asesoría didáctica para estos temas,



17

en especial lógica.

1. El archivo adjunto tiene ejemplos similares a los propuestos. 2. Invierta su tiempo de manera constante y óptima. 3. Utilice el editor de ecuaciones en sus documentos para que me los

envíe.

Criterios de evaluación

En todos los trabajos y pruebas escritas, los ejercicios deben desarrollarse completamente y se evaluarán los siguientes conceptos:

1. Presentación. Expresión de ideas y relaciones. 2. Operación y razonamiento. 3. Capacidad de análisis de los conjuntos de datos.


Planteamientos


Para cada uno de los siguientes pares de conjuntos A y B definir por extensión A y B y decir si A ⊆ B, B ⊆ A o ninguna de las anteriores.

A = {x ∈ N | x es impar y x2 ≥ 4 y x2 ≤ 141} B = {x ∈ N | x - 1 es par y x ≤ 9}


Describe por extensión el conjunto de partes del siguiente conjunto y calcula su cardinal.

S = {1, 2,3}.


Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , 12}, A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11}, C = {2, 3, 6, 12} y D = {2, 4, 8}. Determine los conjuntos

a) (C ∪ D) ∩ BC

b) (A − D) ∪ (C − B) 4. Del archivo en PDF de la página 25, resuelva el ejercicio 4.

De un total de 60 alumnos de un colegio: 15 estudian francés solamente, 11 estudian francés e inglés; 12 estudian alemán solamente; 8 estudian francés y alemán; 10 estudian inglés solamente; 5 estudian inglés y alemán; y 3 los tres idiomas. Determina:

a) ¿Cuántos no estudian ningún idioma? b) ¿Cuántos estudian alemán? c) ¿Cuántos estudian alemán e inglés solamente? d) ¿Cuántos estudian francés?




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Utilizando las propiedades de asociatividad, conmutatividad y distributividad de la unión y la intersección, y las Leyes de Morgan, compruebe las siguientes identidades. Ilustre cada caso con un diagrama de Venn. Recuerde que A − B = A ∩ BC.

a) (A C ∩ B)C = A ∪ BC b) (A ∪ B) ∩ (A ∪ BC) = A

Objetivo

Aplicar leyes de la teoría de conjuntos para realizar operaciones con conjuntos.


Revise la teoría presentada en el PDF adjunto de Elementos de Lógica y Teoría de Conjuntos y sobre todo en la asesoría didáctica para estos temas, en especial de conjuntos.

1. El archivo adjunto tiene ejemplos similares a los propuestos. 2. Invierta su tiempo de manera constante y óptima. 3. Utilice el editor de ecuaciones en sus documentos para que me los

envíe.



1. Presentación. Expresión de ideas y relaciones. 2. Operación y razonamiento. 3. Capacidad de análisis, de los conjuntos de datos.


Planteamientos

1. Del texto guía Álgebra Intermedia de Allen R. Ángel de la página

26, resuelva sin usar calculadora el ejercicios 108.

108) 2. Del texto guía de la página 48, resuelva el ejercicio 113.

3. Del texto guía de la página 49, resuelva el ejercicio 137.

136) Determine cuál exponente debe ser colocado en vez de “a” y de “b” para hacer verdadera la proposición. Explique cómo determinó su respuesta.



19


Objetivo

Aplicar leyes de los exponentes en la simplificación de expresiones algebraicas.


Revise la teoría presentada en el texto guía Álgebra Intermedia de Allen R. Ángel, y sobre todo en la asesoría didáctica para estos temas, en especial las propiedades y operaciones de los números, exponentes y radicales.

1. El texto guía tiene ejemplos similares a los propuestos. 2. Invierta su tiempo de manera constante y óptima. 3. Utilice el editor de ecuaciones en sus documentos para que me los

envíe.


Planteamientos



3. Del texto guía de la página 325, resuelva los ejercicios 59 y 91.

91) Determine el residuo por el Teorema del Residuo:

Objetivo

Operar con polinomios.


Revise la teoría presentada en el texto guía Álgebra Intermedia de



20

Allen R. Ángel, y sobre todo en la asesoría didáctica para estos temas, en especial polinomios y sus operaciones.


envíe.





Planteamientos

1. Del texto guía de la p. 333, resuelva el ejercicio 79.

Factorice completamente los siguientes polinomios:

2. Del texto guía de la p. 344, resuelva el ejercicio 88.



Objetivos

Operar con productos y cocientes notables. Desarrollar y operar el binomio de Newton con coeficientes binomiales. Factorizar polinomios completos hasta grado cuatro.


Revise la teoría presentada en el texto guía Álgebra Intermedia de Allen R. Ángel, y sobre todo en la asesoría didáctica para estos temas, en especial los productos notables y descomposición de factores.




21

envíe.





Planteamientos





Objetivo Operar con fracciones algebraicas.


Revise la teoría presentada en el texto guía Álgebra Intermedia de Allen R. Ángel, y sobre todo en la asesoría didáctica para estos temas, en especial de fracciones y sus operaciones.


envíe.





22



Planteamientos

1. Del texto guía p. 478, resuelva el ejercicio 99.

Simplifique:


3. Del texto guía de la página 487, resuelva los ejercicios 125 y 129.

Objetivo Racionalizar monomios y binomios.


Revise la teoría presentada en el texto guía Álgebra Intermedia de Allen R. Ángel, y sobre todo en la asesoría didáctica para estos temas, en especial de racionalización.


envíe.



1. Presentación: Expresión de ideas y relaciones. 2. Operación y razonamiento. 3. Capacidad de análisis de los conjuntos de datos.



23


Planteamientos

1. Del texto guía de la página 75, resuelva el ejercicio 107,

107) Resuelva la ecuación y compruebe su resultado:

2. Del texto guía de la página 75, resuelva el ejercicio 124. 124) Determine el conjunto solución e indique si la ecuación es condicional, una identidad o una contradicción en:




Objetivo

Resolver ecuaciones de primer grado y reducibles a primer grado.


Revise la teoría presentada en el texto guía Álgebra Intermedia de Allen R. Ángel, y sobre todo en la asesoría didáctica para estos temas, en especial de ecuaciones lineales.


envíe.



1. Presentación: Expresión de ideas y relaciones. 2. Operación y razonamiento. 3. Capacidad de análisis de los conjuntos de datos.



24


Planteamientos



16) Resuelva el sistema de ecuaciones:

3. Del texto guía de la página 250, resuelva el ejercicio 33. 33) Determine si el sistema es inconsistente, dependiente o ninguno de estos:


5. Del texto guía de la página 538, resuelva el ejercicio 106. 106) Resuelva la ecuación:

Objetivos

Resolver sistemas de ecuaciones lineales hasta de orden 3x3. Resolver ecuaciones de segundo grado.


Revise la teoría presentada en el texto guía Álgebra Intermedia de Allen R. Ángel, y sobre todo en la asesoría didáctica para estos temas, en especial de sistemas de ecuaciones lineales y de la ecuación de segundo grado.


envíe.



25





Planteamientos



3. Del texto guía de la página 366, resuelva los ejercicios 51 y 58. Resuelva: 51) 58) 0483 24 =− xx 4. Del texto guía de la página 366, resuelva el ejercicio 81. 81) Utilice el teorema de Pitágoras para determinar “x”. x+3 x+4 x+2

Objetivos

Resolver ecuaciones reducibles a segundo grado. Resolver ecuaciones polinómicas con raíces reales.


Revise la teoría presentada en el texto guía Álgebra Intermedia de Allen R. Ángel, y sobre todo en la asesoría didáctica para estos temas, en especial las ecuaciones reducibles a cuadráticas y polinómicas.




26

envíe.





Planteamientos

1. Del texto guía de la página 688, resuelva el ejercicio 21. Determine todas las soluciones reales para el sistema de ecuaciones:

2. Del texto guía de la página 690, resuelva los ejercicios 58. 58) Para las ecuaciones de costo ( C ) y de ingreso ( R ) dadas, determine el o los puntos de equilibrio.

3. Descomponer en fracciones parciales, las siguientes fracciones:

Objetivos

Resolver sistemas de ecuaciones no lineales hasta de orden 3x3. Resolver problemas de ecuaciones de primer grado o reducible a la misma. Descomponer en fracciones parciales.


Revise la teoría presentada en el texto guía Álgebra Intermedia de Allen R. Ángel, y sobre todo en la asesoría didáctica para estos temas, en especial las de sistemas de ecuaciones no lineales, problemas de ecuaciones de primer grado y segundo grado y descomposición de fracciones parciales.

• El texto guía tiene ejemplos similares a los propuestos. • Incluir el desarrollo completo de los ejercicios. • Invierta su tiempo de manera constante y óptima.





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Puntaje por actividad

El examen será SIN CONSULTA, por lo que le recomiendo revisar muy bien el texto guía y las actividades de

aprendizaje.

El tutor de la asignatura

1. Presentación. Expresión de ideas y relaciones. 2. Operación y razonamiento. 3. Capacidad de análisis, de los conjuntos de datos.

Formato de entrega

Archivo de Microsoft Word (.doc), hasta versión Microsoft Office 2003.

Enviar a

Envíe la guía didáctica a través de la plataforma, mediante la sección Contenidos, en un archivo cuyo nombre debe ser: Formato: G#.Apellido.Apellido.Nombre.Algebra

Preguntas o dudas

Envíe sus preguntas o dudas a través de la plataforma: utilice la sección Enviar correo y marque el nombre de su tutor.

Actividades de aprendizaje Puntaje

Actividad de aprendizaje 1.1. 0,50 Actividad de aprendizaje 1.2. 0,50 Actividad de aprendizaje 1.3. 1,00 Actividad de aprendizaje 1.4. 1,00 Actividad de aprendizaje 1.5. 1,00 Actividad de aprendizaje 1.6. 1,00 Actividad de aprendizaje 1.7. 1,00 Actividad de aprendizaje 1.8. 1,00 Actividad de aprendizaje 1.9. 1,00 Actividad de aprendizaje 1.10. 1,00 Actividad de aprendizaje 1.11. 1,00

Total 10,00

actividad de aprendizaje 1

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