ACTIVIDAD 3B. AP11. Identidades. Factorizacin. Definimos las identidades algebraicas que nos permitirn pensar las sumas de trminos como un producto de factores y viceversa. Factorice las expresiones completando el cuadrado y ratifique usando la identidad factorizada.

f) 42 24 + 36

Extraer factor comn de 4

4(2 6 + 9) = 0

2 6 + 9 Esta es una ecuacion con la incognita x, de grado 2. Responde al patrn de un trinomio cuadrado perfecto y vale la identidad algebraica ( 3)2 Ahora la ley de anulacin del producto nos plantea una ecuacin lineal cuya solucin es fcil de determinar:

22( 3)( 3) = 22( 3)2 = (2 6)2 = 0

Donde vemos que las races son = 3 = 3

Si reemplazamos x por 3 en la ecuacin de partida se cumple 4. 32 24.3 + 36 = 0; si reemplazamos por -3 el resultado es distinto a cero por lo que el valor 3 verifica la ecuacin. Concluimos que 3 es la solucin buscada.

AP25. El concepto de potencia, de raz, de logaritmo, de cociente, las propiedades de los nmeros reales, de las operaciones y de la igualdad, as como el uso de las identidades nos permiten resolver ciertas ecuaciones que no son lineales. Muchas ecuaciones NO son lineales pero se pueden linealizar Resuelva paso a paso:

) 3 + 7

2= 0

Restriccin Al dividir, el divisor no puede ser nulo. a : 0 no define un nmero real por lo tanto +2 Si multiplicamos ambos miembros por 2

( 2)(3 + 7)

( 2)= 0 ( 2)

Simplificamos nos queda

3 + 7 = 0 Restamos -7: 3 + 7 7 = 0 7

Dividimos por 3: 3

3=

7

3

= 7

3

Verificamos:

3 (73) + 7

(73) 2

= 0

AP41. Algunas ecuaciones que en principio no son de segundo grado en una incgnita, al trabajarlas para explicitar el valor de la incgnita nos conducen a ecuaciones de segundo grado .Toda ecuacin no cuadrtica con la incgnita en el numerador y/o en el denominador de distintos trminos, debe llevarse a otra con uno de

Expresamos como

potencia 4 = 22

sus miembros iguales a cero. Esto lleva a resolver, en forma simultnea, dos ecuaciones. Una de esas ecuaciones est relacionada a las restricciones del denominador que no puede anularse. Resuelva:

) +16

= 8

Sacamos factor comn

+16

8 =

2 + 16 8

= 0

Esta igualdad nos lleva a resolver dos ecuaciones en forma simultnea:

2 8 + 16 = 0 0

Aplicando la frmula 1,2 =24

2

1,2 =(8) (8)2 4.1.16

2.1

Esta frmula, segn el valor del radicando 2 4, dar un nmero real si ste es nulo

1,2 =8

2= 4 = 4

Verificacin:

4 +16

4= 8

AP47. Al trabajar con logaritmo siempre debe considerar sus restricciones que son: base positiva distinta de 1 y argumento positivo. De otro modo no define un nmero real. De manera similar al ejemplo precedente resuelva:

a) log4( + 3) + log4( 3) = 2

Procedemos as con nuestro razonamiento:

log4( + 3)( 3) = 2 42 = ( + 3) ( 3)

El argumento del logaritmo establece restricciones que son: Segn propiedades de los logaritmos. log(. ) = log + log a 1+ , x+ , y+ . ( + 3) ( 3) deben ser ambos positivos. La ecuacin de partida impone las restricciones x 3 0 (porque tomamos su logaritmo) y x 3 0 (porque tomamos su logaritmo), luego tenemos la restriccin

x 3.

42 = ( + 3)( 3) 16 = 2 9

2 9 16 = 0

2 25 = ( + 5)( 5)

Luego la incgnita vale 5 o su opuesto. Pero el opuesto lo descartamos por la restriccin anterior. Con la solucin = 5 = 5. la segunda no cumple la restriccin, as que = 5

Verificacion: log4(5 + 3) + log4(5 3) = log4 23 + log4 2 =

3

2+

1

2= 2

nulo