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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA

Volumen 21

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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA VOLUMEN 21

Editora: Patricia Lestón

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C. Editores Asociados: Cecilia Crespo Crespo, Carlos Oropeza Legorreta y Hugo Parra

Diseño de portada y CD: Liliana Álvarez Díaz

Dirección de Educación Continua del Instituto Politécnico Nacional Janet Ramírez Sandoval

CICATA‐IPN, Legaria Diseño de interiores: José Francisco Canché Gómez

CICATA‐IPN, Legaria Digitalización: Juan Gabriel Molina Zavaleta Christian Pérez Bohorquez

CICATA‐IPN, Legaria Edición: ©2008. Colegio Mexicano de Matemática Educativa A. C.

CMM 040505 IC7 Paseo de las Lomas 67. Parque Residencial Coacalco, CP 55720 Coacalco, Estado de México México

www.cmmedu.com ISBN: 978‐970‐9971‐15‐6

©2008. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C. www.clame.org.mx

Se autoriza la reproducción total o parcial, previa cita a la fuente:

Lestón, P. (Ed.). (2008). Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, Vol. 21. México, DF: Colegio Mexicano de Matemática Educativa A. C. y Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

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Consejo Directivo Gustavo Martínez Sierra

Presidente [email protected]

Germán Beitía Secretario

[email protected]

Joaquín Padovani Tesorero

[email protected]

Juan Raúl Delgado Rubí Vocal Caribe

[email protected]

Edison de Faria Vocal Centroamérica

[email protected]

Gisela Montiel Espinosa Vocal Norteamérica

[email protected]

Cecilia Crespo Crespo Vocal Sudamérica

[email protected]

20

04

- 2

00

08

iv

Consejo

Consultivo

Comisión

de Admisión

Egbert Agard

Ricardo Cantoral

Fernando Cajas

Guadalupe de Castillo

Evarista Matías

Rosa María Farfán

Teresita Peralta

Sandra Castillo

Eugenio Carlos

Liliana Homilka

Comisión de

Promoción Académica

Comité

Internacional de Relme

Javier Lezama

Edison de Faria

Yolanda Serres

Leonora Díaz Moreno

Mayra Castillo

Uldarico Malaspina

Leonora Díaz Moreno

Miguel Solís

Gustavo Bermúdez

Olga Pérez

v

Comité Científico de Evaluación

Alanís, Juan Antonio Aparicio, Eddie Arcos, Ismael Ardila, Analida Arrieche Alvarado, Mario Ávila Godoy, Ramiro Bermúdez, Gustavo Blanco, Haydeé Blanco, Ramón Buendía Abalos, Gabriela Cabañas Sánchez, María Guadalupe Cadoche, Lilian Camacho, Alberto Campistrous, Luis Cantoral, Ricardo Carlos Rodríguez, Eugenio Carrasco, Eduardo Carrillo, Hugo Castañeda, Apolo Castillo, Sandra Cordero Osorio, Francisco Cortés Zabala, Carlos Crespo Crespo, Cecilia Dalcín, Mario De Faria, Edison Delgado, Raúl Delgado, César Díaz Moreno, Leonora Dolores, Crisólogo Engler, Adriana Espinoza, Lorena Espinoza, Pedro Farfán, Rosa María Gaita Ipaguirre, Rosa Cecilia García Zatti, Mónica Grijalva, Agustín Gutiérrez Alvarez, Milagros Homilka, Liliana Ibarra Olmos, Silvia Lara Galo, Claudia Lanza, Pierina

Lestón, Patricia Lezama, Javier Mántica, Ana María Marcolini Bernardi, Josefina Marta Mariscal, Elizabeth Martínez Sierra, Gustavo Mingüer Allec, Luz María Miranda Montoya, Eduardo Molfino, Verónica Molina, Juan Gabriel Montiel Espinsa, Gisela Muñoz, Germán Ochoviet, Teresa Cristina Ojeda Salazar, Ana María Olave, Mónica Oropeza Legorreta, Carlos Ortega del Rincón, Tomás Osorio Abrego, Héctor Parra, Hugo Pérez González, Olga Lidia Pérez, María del Carmen Piceno Rivera, Juan Carlos Ponteville, Christiane Reséndiz, Evelia Rey, José Luis Rizo Cabrera, Celia Rosas Mendoza, Alejandro Ruiz, Blanca Salat, Ramón Sánchez Aguilar, Mario Sardella, Oscar Scaglia, Sara Serna, Luis Arturo Serres, Yolanda Sierra, Modesto Tejada de Castillo, Guadalupe Testa Rodríguez, Yacir Valdivé, Carmen Valero, Socorro Velázquez Bustamante, Santiago Zúñiga, Leopoldo

vi

Tabla de Contenidos

CATEGORÍA 1: Análisis del currículum y propuestas para la enseñanza de las matemáticas Transformación lineal en contexto geométrico

Juan Gabriel Molina Zavaleta

1

Una reflexión sobre el propio aprendizaje. Su análisis desde la perspectiva de los estilos de aprendizaje Mercedes Anido, Ana María Craveri, María del Carmen Spengler

11

La visualización, como estrategia de estudio en el concepto de dependencia e independencia lineal

Carlos Oropeza Legorreta, Javier Lezama Andalón

23

Algunas reflexiones sobre resolución de problemas en matemáticas Edison De Faria Campos

32

Las competencias matemáticas en la formación del profesional de ciencias económicas Margarita del Valle Veliz, Blanca E. Lezana, María Angélica Pérez

40

Diferentes marcos en la resolución de problemas por demostrar Nora Ferreira, Estela Rechimont, Carlos Parodi

50

La ubicación del problema en la planificación de clase Mercedes Anido, Patricia Có, Martha Guzmán

60

Resolución de problemas en los programas de estudio de matemática del ministerio de educación pública de Costa Rica

Edison De Faria Campos

69

Organización del contenido de la disciplina matemática para ciencias técnicas José Manuel Ruiz Socarras, Gaspar Barreto Argilagos, Ramón Blanco Sánchez

78

El currículo escolar mexicano de las ciencias en el nivel medio Adriano Balám Narváez, Eddie Aparicio Landa

89

Un estudio del currículo matemático en sistemas educativos de nivel medio, una visión prospectiva

Erika Canché Góngora, Landy Sosa Moguel

99

Los contenidos de geometría en textos oficiales y su tratamiento didáctico Martha Imelda Jarero Kumul, María Guadalupe Ordaz Arjona

109

vii

Un estudio sobre el discurso en los libros de texto de matemáticas. Su relación con la práctica escolar

Mildred Maldonado, María Ordaz, María Rodríguez, Jorge Tuyub

118

Sistema de ecuaciones lineales: secuencia didáctica para su enseñanza María Rey Genicio, Clarisa Hernández, Silvia Forcinito

128

La producción de textos: una alternativa para evaluar en matemáticas Sandra Evely Parada Rico, Diana Jaramillo

139

Una clasificación de libros de cálculo basada en los programas de curso María Rosado, Ángel Estrella‐González, Belén Gamboa

150

Creencias y matemática: un estudio de casos Edison De Faria Campos

159

Actitudes generalizadas sobre la enseñanza de la matemática en el nivel medio Eduardo Canul Pech, Eddie Aparicio Landa

169

Aspectos afectivos intervinientes en el aprendizaje de la estadística: las actitudes y sus formas de evaluación

Ana Sofía Aparicio, Jorge Luis Bazán

180

Secuencia didáctica para la enseñanza de Programación Lineal María Rey Genicio, Clarisa Hernández, Silvia Forcinito

190

Un estudio del concepto de variable en los libros de texto Lina Morales Peral, José Luis Díaz Gómez

201

La comprensión de un concepto matemático y los registros de representación semiótica Estela Rechimont, Nora Ferreyra, Nora Andrada, Carlos Parodi

212

Una experiencia de autoevaluación y coevaluacion en grupos numerosos Marisa Angélica Digión, Beatriz del Carmen Autino

222

Enseñanza y comprensión de estocásticos en tercer grado de secundaria Orlando Vázquez Pérez; Ana María Ojeda Salazar

234

El concepto de función: una mirada desde las matemáticas escolares. Jhony Alexánder Villa Ochoa

245

Resultados académicos conforme a los hábitos y estrategias de aprendizaje Marta Golbach, Analía Mena, Graciela Abraham, María Rosa Rodríguez, Graciela Galindo, Mabel Rodríguez Anido

255

Algunas estrategias de la educación a distancia en la educación matemática universitaria tradicional

María del Carmen Spengler, Luisina Egidi, Ana María Craveri

267

viii

Adquisición de la noción de cantidad: niños preescolares con lenguaje limitado Ignacio Garnica y Dovala, Hilda Eneyda González Ortiz

278

Modelos de enseñanza sobre razón y proporción Elena Fabiola Ruiz Ledesma, Marta Elena Valdemoros Álvarez

289

La factorización de polinomios. Una experiencia docente. Mariana Morales Vilorio

299

Dificultades conceptuales y procedimentales en el aprendizaje de funciones en estudiantes de bachillerato

Jesús López Cahun, Landy Sosa Moguel

308

Significados elementales y sistémicos de una ecuación de segundo grado Luis E. Capace P., Mario Arrieche

319

Las ideas previas sobre el cálculo integral en los alumnos de primer año de la universidad

Liliana Milevicich

329

La enseñanza y aprendizaje del cálculo integral en el contexto de primer año de la universidad

Liliana Milevicich

339

La integral definida como objeto de una ingeniería didáctica Ileana Pluss

350

Mostrando los conceptos didácticos en una clase de análisis matemático Ana Elisa Ibañez

362

Matemática aplicada a crisis empresariales María Rosa Rodríguez, Jesús A. Zeballos, Eduardo M. Nieto

373

Implicaciones epistemológicas en la comprensión de probabilidad en tercer grado de secundaria

Saúl Elizarrarás Baena, Ana María Ojeda Salazar

383

Las hipótesis previas para la enseñanza de la estadística básica en la universidad Teresita E. Terán, Mercedes Anido de López

394

Libros de texto y programas de cómputo en el aula del tercer ciclo de educación primaria María Patricia Flores Marroquín, Ana María Ojeda Salazar

406

Una actividad para el aprendizaje de la probabilidad, diseñada con el método histórico cultural de Vygotski y la teoría de la actividad de Leontiev

Jorge Gómez Arias

416

ix

Modelos matemáticos a partir del modelo nomológico – deductivo de la explicación científica

Horacio A. Caraballo. Cecilia Z. González

427

Un estudio interpretativo sobre errores detectados en alumnos universitarios al calcular integrales

Raúl Katz, Natalia Sgreccia

436

¿Sobre qué nos enseñan los errores de nuestros alumnos? 25 años despues… Mónica Caserio, Martha Guzmán, Ana María Vozzi

447

Utilizacion del modelo de Lagrange para la Enseñanza de extremos condicionados Martha Beatriz Fascella, Hugo Víctor Masía

457

Estudio del comportamiento de la función a partir de la derivada. Análisis de una secuencia didáctica.

Adriana Engler, Silvia Vrancken, María Inés Gregorini, Daniela Müller, Marcela Hecklein, Natalia Henzenn

466

Identificación de dificultades en la enseñanza y el aprendizaje del cálculo a partir de los resultados de exámenes colegiados

José Alvaro Encinas Bringas, Luís Ángel Contreras Niño, Ruth Elba Rivera Castellón, Maximiliano De Las Fuentes Lara, Enrique René Bastidas Puga

477

Transformaciones básicas de las funciones Tulio Rafael Amaya De armas

487

Adquisición de la noción de cantidad: niños preescolares con lenguaje limitado Ignacio Garnica y Dovala, Hilda Eneyda González Ortiz

496

Dificultades para el aprendizaje de matemática discreta Mónica del Sastre, Erica Panella

507

x

CATEGORÍA 2: El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación profesional Programa de matemática educativa en línea del Cicata ‐ IPN

Elizabeth Mariscal, Alejandro Miguel Rosas, Mario Sánchez

517

Prácticas docentes y errores de los alumnos Patricia Có, Mónica del Sastre, Erica Panella

527

La integración de una componente didáctica en la formación de profesores universitarios

Anido, M., Rubio Scola, H.

532

Estrategia de capacitación para la profesionalidad del docente de matemática en UNAPEC

Génova Féliz, Nancy Montes de Oca Recio

550

Contribuciones teóricas para caracterizar clases reflexivas de matemática en la escolaridad básica

Natalia Sgreccia, Marta Massa

560

Formación y capacitación de profesores. Una experiencia de fortalecimiento del discurso matemático escolar

Santiago Ramiro Velázquez, Oliver Texta Mongoy

571

La praxis de la didáctica de la matemática Martín Andonegui Zabala

582

Los primeros pasos de los futuros profesores de matemática Nilda Etcheverry, Norma Evangelista, Estela Torroba, Marisa Reid

594

La observación en el aula, como instrumento de evaluación. Una experiencia didáctica Lidia B Esper, Lidia Bénitez, Marta Torres, Sonia Benítez

605

Reconocimiento de algunas dificultades en la práctica docente sobre la enseñanza de fracciones: estudio de caso

Marta Elena Valdemoros Álvarez, Elena Fabiola Ruiz Ledezma

616

Un estudio cualitativo sobre las prácticas docentes en las aulas de matemáticas en el nivel medio

Martha Imelda Jarero Kumul, Mayra Anaharely Sarai Báez Melendres, Cristy Arely Cantú Interián, Karla Margarita Gómez Osalde

627

xi

Criterios de idoneidad y argumentación en la evaluación de los cambios dentro de una comunidad de profesores de matemática

Vicenç Font, Ana B. Ramos

636

El diálogo asíncrono docente‐ investigador, como proceso de construcción colaborativa del conocimiento

María Eugenia Ramírez Solís, Liliana Suárez Téllez, Pedro Ortega Cuenca

646

Aproximación a la dimensión normativa en didáctica de las matemáticas desde un enfoque ontosemiótico

Juan D. Godino, Vicenç Font, Miguel R. Wilhelmi, Carlos de Castro

656

Metáforas y ontosemiótica. El caso de la representación gráfica de funciones en el discurso escolar

Vicenç Font, Jorge I. Acevedo, Marina Castells, Janete Bolite

667

Interpretación de los profesores del saber a enseñar. Reporte de una experiencia con profesores universitarios de álgebra en facultades de ingeniería

Silvia Elena Ibarra Olmos, Ramiro Ávila Godoy

677

Significados personales del paralelismo y geometría de los cuadriláteros en la formación de profesores de matemática

Mary Arrieche, Mario Arrieche, Belén Arrieche

686

¿Qué se investiga en educación matemática? Perspectivas de un investigador en desarrollo

Mario José Arrieche Alvarado

695

Procesos en matemáticas. Una perspectiva ontosemiótica Vicenç Font, Norma Rubio, Ángel Contreras

706

xii

CATEGORÍA 3: Consideración de aspectos socioepistemológicos en el análisis y el rediseño del discurso matemático escolar Intuición y razón en la construcción del conocimiento matemático

Cecilia Crespo Crespo

717

El concepto de significado en la reconstrucción del conocimiento matemático Alberto Camacho Ríos

728

Socioepistemología y matemáticas Ricardo Cantoral, Rosa María Farfán

740

Significados asociados al punto de inflexión Alberto Camacho Ríos

754

Lo periódico en la relación de una función y sus derivadas Gabriela Buendía Abalos

765

Una visión socioepistemológica de la residencia Liliana Homilka, Javier Lezama

776

Identificando a geometria nas construções indígenas Lucélida de Fátima Maia da Costa

787

El contexto, la predicción y el uso de herramientas; elementos socioepistemológicos de la matematización de la economía.

Saúl Ezequiel Ramos Cancino

795

Euler: su concepto de serie numérica infinita y su influencia en la matemática del siglo XVIII.

Alejandro Miguel Rosas Mendoza

806

Las prácticas sociales que conforman la cultura matemática de los profesores del Instituto Tecnológico de Oaxaca.

Luz María Mingüer Allec

815

Acerca de la existencia de formas de argumentación construidas fuera de escenarios escolares que llegan al aula de matemática

Cecilia Crespo Crespo, Rosa M. Farfán, Javier Lezama

825

Construcción del infinito en escenarios no escolares Patricia Lestón, Apolo Castañeda

836

xiii

Comunicando cambios en el tiempo: elementos para una situación didáctica

Eduardo Carrasco Henríquez, Leonora Díaz Moreno

846

Sobre las rupturas conceptuales en la construcción escolar de las funciones trigonométricas

Gustavo Martínez Sierra

857

Desarrollo de la noción de graficación en la antigüedad Apolo Castañeda Alonso

868

Matrices de sentido para las nociones de velocidad y tiempo Leonora Díaz Moreno

878

Docencia en matemáticas: hacia un modelo del profesor desde la perspectiva de la socioepistemología

Javier Lezama, Elizabeth Mariscal

889

Una visión socioepistemológica a través de la predicción en la conservación de la energía Hipólito Hernández Pérez

901

Elementos teóricos de la investigación: la formación de los docentes y sus creencias en el enfoque de la enseñanza de las matemáticas a través de la resolución de problemas

Leticia Téllez Hernández, Gustavo Martínez Sierra

911

Elementos históricos, epistemológicos y didácticos del concepto de función cuadrática Yadira Marcela Mesa, Jhony Alexánder Villa Ochoa

922

La integral definida: simplificación del límite en el proceso de enseñanza de la definición Eugenio Carlos Rodríguez

931

El carácter evolutivo de las prácticas sociales. El caso de la predicción Iván López‐Flores, Carolina Carrillo, Herminio Alatorre

939

xiv

CATEGORÍA 4: Uso de la tecnología en el proceso de aprendizaje de las matemáticas La interacción docente ante la vinculación del entorno tecnológico en el ámbito escolar

Juana Acosta Ganém, Miguel Ángel Cruz Castillo

951

Los medios tecnológicos de apoyo en la enseñanza de las matemáticas Rogelio Ramos Carranza, Miguel Álvarez Gómez

962

La enseñanza y aprendizaje del cálculo integral mediante el uso de ordenador Liliana Milevicich, Alejandro Lois

973

La genesis instrumental en una situación de modelación del movimiento Eduardo Carlos Briceño Solís, Francisco Cordero Osorio

983

Experiencia de cátedra usando herramientas informáticas y el aprendizaje cooperativo María E. Ascheri, Rubén A. Pizarro

993

Introducción al lenguaje OCTAVE: aplicaciones a problemas de matemática María E. Ascheri, Rubén A. Pizarro

1004

Una propuesta didáctica para el estudio de funciones con la utilización de un software Daniela Müller, Adriana Engler, Silvia Vrancken

1015

Evaluación de un texto interactivo para enseñar funciones José Luis Díaz Gómez, Lina Morales Peral

1026

Diseño de actividades de matemáticas con el uso de tecnología Landy Sosa Moguel, Eddie Aparicio Landa, Jorge Tuyub Moreno

1036

Modelación del movimiento en un ambiente tecnológico: Una categoría de modelación‐graficación para el cálculo

Liliana Suárez Téllez, Francisco Cordero Osorio

1046

Un laboratorio tecnológico como sistema didáctico para el aula de matemáticas Gabriela Buendía Abalos, Adriana Cordero Guadarrama

1057

Actividades de probabilidad y estadística con tecnologías de la información y la comunicación

José Luis Torres Guerrero, Liliana Suárez Téllez, Blanca Ruiz Hernández, Pedro Ortega Cuenca, María Eugenia Ramírez Solis.

1067

Desarrollo de un tutorial web de cálculo numérico con herramientas de gestión de curso para la Universidad Nacional Experimental de Guayana

Sandra Castillo, Luzmín Núñez, Guillermo Perozo

1077

xv

Acercamiento intuitivo al concepto de función derivada José Carlos Cortés Zavala

1088

Aproximaciones al valor de la integral definida utilizando una calculadora graficadora. Esther Ansola Hazday, Eugenio Carlos Rodríguez, Nelson Hernández Reyes, Pablo Gómez Fuentes, Débora Oliva Alfonso, Danelia Sánchez Camaraza

1099

Construcciones geométricas con calculadoras graficadoras Nelson Hernández Reyes, Esther Ansola Hazday, Eugenio Carlos Rodríguez, Pablo Gómez Fuentes

1109

Asistente matemático. Herramienta necesaria en la enseñanza de la matemática Pedro Castañeda Porras, Arely Quintero Silverio, Eugenio Hernández Vargas

1118

Enseñanza‐aprendizaje de ecuaciones diferenciales ordinarias con el uso de TIC’s Estela Torroba, Marisa Reid, Nilda Etcheverry

1127

Uso de la calculadora básica en la resolución de problemas aditivos Eduardo Basurto Hidalgo

1136

Cursos de matemáticas en la red. Cómo buscan los alumnos y qué los moviliza a abrir un sitio

Ana Lasserre, Josefina Royo, Celia Torres, Edna Agostini, Mercedes Naraskevicins

1144

Proyecto educativo. Procad Dora Fernández de Musomecci, Marta Susana Golbach, Ida Cristina Kempf de Gil, Carolina Ana Rotger

1155

Propuesta para la enseñanza del concepto de derivada, un acercamiento visual con Geogebra

Armando López Zamudio

1166

Un tutor interactivo para la enseñanza del álgebra: análisis de las condiciones para su implementación

Analía Mena de Pappalardo, Marta Golbach

1176

xvi

Presentación El Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (Alme) presenta una nueva edición. Y mantiene como lo hiciera desde su origen su espíritu de difusión e intercambio de producciones de profesores e investigadores en Matemática Educativa de toda Latinoamérica.

Los trabajos que integran esta edición fueron presentados durante Relme 21, Vigésimo Primera Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa, llevada a cabo en la ciudad de Maracaibo, Venezuela. Una vez finalizada la reunión, los ponentes sometieron sus trabajos a una nueva evaluación para incluirlos en esta Acta, con la intención de hacer llegar sus propuestas e investigaciones a un cada vez mayor número de colegas interesados y comprometidos con el crecimiento de nuestra disciplina.

Se busca con esta publicación un fortalecimiento de la profesionalización de la tarea docente y de la investigación en matemática educativa, observando las características locales compartidas por los colegas de Latinoamérica y distinguiendo en esta tarea la necesidad de generar un campo de conocimiento científico, reconocido dentro y fuera de nuestra comunidad. Año tras año, la difusión mediante una publicación de nivel académico, del estado del arte en materia de docencia e investigación en el campo de la matemática educativa en Latinoamérica es otro de los objetivos que el Comité Latinoamericano de Matemática Educativa cumple con esta publicación periódica.

Los trabajos han sido organizados según cuatro categorías:

Categoría 1: Análisis del Currículum y Propuestas para la Enseñanza de las Matemáticas.

Categoría 2: El Pensamiento del Profesor, sus Prácticas y Elementos para su Formación.

Categoría 3: Consideración de Aspectos Socioepistemológicos en el Análisis y Rediseño del Discurso Matemático Escolar.

Categoría 4: Uso de la Tecnología en el Proceso de Aprendizaje de las Matemáticas.

Los integrantes del Comité Editor y Comisión Académica del ALME 21, agradecen a todos los profesores e investigadores que enviaron sus artículos. Todo el trabajo que se requirió para llegar a este documento fue realizado con atención y dedicación, y especialmente, orgullo de poder haber colaborado con esta tarea.

Se agradece especialmente a los árbitros por su contribución solidaria y profesional, como asimismo y de manera especial a todos los colegas que de manera generosa y entusiasta nos regalaron su tiempo, inteligencia y creatividad para la realización de este proyecto.

Comisión Académica del

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 2008

Mayo 2008

Categoría 1

Análisis del currículum y

propuestas para la

enseñanza de las

matemáticas

Categoría 1 Análisis del currículum y propuestas para la enseñanza de las matemáticas

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

1

Resumen. En este documento se discuten algunas ideas producto de la investigación de Molina (2004) que se trabajaron en un taller de la XXI Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa. El tema a discusión, los modelos mentales intuitivos (en el sentido de Fischbein, 1987, 1989) que un grupo de estudiantes manifestó acerca de la Transformación Lineal (TL) en un contexto geométrico.

Palabras clave: intuición, modelos mentales, transformación lineal

Introducción y objetivo

Este taller tuvo dos propósitos, en principio hacer concientes a los participantes acerca de

los modelos intuitivos que pudiesen tener acerca de la Transformación Lineal en contexto

geométrico, y por otra parte compartir los resultados de la investigación realizada por

Molina (o.p.) acerca de las concepciones de un grupo de estudiantes sobre la TL. Lo que

entendemos por intuición y por modelos intuitivos está en términos de la teoría de

Fischbein (o.p.) sobre el tema y que abordaremos en el siguiente apartado.

La mecánica del taller fue la siguiente, plantear a los asistentes como tarea seis

actividades tomadas del intrumento diseñado en la investigación citada y posteriormente

discutirlas, señalando el origen y propósito de éstas en terminos de el acercamiento

teórico del trabajo. La primera actividad estuvo compuesta por cuatro preguntas abiertas

acerca de la TL. Las siguientes cinco tareas fueron preguntas acerca de la existencia de la

TL, presentadas en formato geométrico.

La intuición

Según Fischbein, las personas tenemos la necesidad de entrar en un estado de

convencimiento acerca de los conceptos matemáticos con los que nos encontramos, es

TRANSFORMACIÓN LINEAL EN CONTEXTO GEOMÉTRICO Juan Gabriel Molina Zavaleta Programa de Matemática Educativa, CICATA‐IPN Mé[email protected] Campo de investigación: Modelos mentales Nivel: Superior



2

decir, tener certeza de ellos. Lograr ese estado de convencimiento es mediado por la

intuición, a través de modelos intuitivos. Con respecto a la intuición señala que este

término no tiene definición única y lo que debemos entender por ella, se refiere a aquellas

ideas que son aceptadas como ciertas por ser evidentes por sí mismas, es decir, no

requieren argumentación para ser aceptadas.

La intuición no es la principal fuente de conocimientos evidentes y verdaderos, pero parece serlo,

porque su papel es exactamente: crear aparición de certeza, conferir a distintas interpretaciones o

representaciones un carácter de certeza intrínseca e incuestionable (Fischbein, 1987, p. 12, nuestra

traducción)

Fischbein (1987) hace una delineación detallada acerca de la intuición, discutiendo los

rasgos característicos que pueden tener las nociones intuitivas.

Los modelos intuitivos

La delineación que es fundamental para dar sentido a este trabajo es la referente a qué se

entiende por modelo intuitivo y cómo el modelo intuitivo influye en la cognición.

Para Fischbein, los modelos intuitivos son nociones intuitivamente aceptables que se

desempeñan como un sustituto de otras nociones:

Los modelos representan una herramienta esencial para moldear o para darle forma a las

cogniciones intuitivamente inaceptables. Cada vez que una persona se tiene que enfrentar con una

noción que es intuitivamente inaceptable, tiende a producir (algunas veces deliberadamente, otras

veces inconscientemente) substitutos de esa noción que son intuitivamente más accesibles. Tales

sustitutos son comúnmente llamados modelos intuitivos (Fischbein, 1987, p.121, nuestra traducción y

énfasis).

Con respecto a los modelos, Fischbein entiende un modelo en el sentido de Gentner

(1983):



3

Generalmente hablando, un sistema B representa un modelo de un sistema A si, en la base de un

cierto isomorfismo, una descripción o una solución producida en términos de A puede ser reflejada

consistentemente en términos de B y viceversa (Gentner, 1983, citado en Fischbein, 1987, p.121).

En su trabajo, Fischbein realiza una categorización amplia acerca de los modelos, sin

embargo, para nuestros fines, solamente retomaremos la siguiente:

Modelos explícitos y modelos implícitos (o tácitos)

En esta clasificación distingue entre los modelos explícitos y los implícitos. Los modelos

explícitos se construyen o se escogen en forma consciente para facilitar a conseguir una

solución. Por ejemplo, si consideramos alguna función que da información del volumen de

un recipiente en términos de alguno de sus lados; esta función nos facilitaría encontrar las

dimensiones que debería tener tal lado para que el recipiente contenga el mayor volumen

posible.

Un modelo es implícito o tácito cuando el sujeto no está consciente de su influencia o del

alcance de éste. Esta distinción juega un papel importante en la investigación.

Los modelos intuitivos y la cognición, según Fischbein

El papel de los modelos intuitivos en nuestro pensamiento, es el siguiente:

…Los modelos tácitos o intuitivos (ambos, paradigmáticos y analógicos), juegan un rol fundamental

en cualquier proceso de razonamiento productivo. No puede existir una actividad de razonamiento

productivo sin eventos productivos que consisten en globalización, concretización, extrapolación, etc.

Los modelos intuitivos son genuinamente benéficos con respecto a todos estos aspectos. Un modelo

ofrece a quien resuelve, un sustituto del original, que por medio de sus cualidades es mejor adaptado

a la naturaleza del pensamiento humano que el original. Nosotros pensamos mejor con lo

perceptible, con lo prácticamente manipulable, con lo familiar, con lo que se le puede controlar su

comportamiento, con la validez implícita, que con lo abstracto, lo que no se puede representar, lo

incierto, lo infinito (Fischbein, 1987, p.122, nuestra traducción y énfasis)



4

Linchevski y Vinner (1988, citados en Fischbein, 1989, p. 10) comentan que existen varias

concepciones erróneas en estudiantes respecto al concepto de conjunto, como por

ejemplo considerar que los elementos de un conjunto deben poseer una cierta propiedad

explícita común y pensar que un conjunto debe estar compuesto por más de un elemento.

Si el modelo intuitivo que sustituye el concepto de conjunto es el de la colección de

objetos, estas concepciones erróneas son previsibles:

El modelo intuitivo manipula de tras de escena el significado, el uso, las propiedades del concepto

formalmente establecido. El modelo intuitivo parece ser más fuerte que el concepto formal. El

estudiante tiende a olvidar las propiedades formales y tiende a mantener en mente aquéllas

impuestas por un modelo. La explicación parece ser muy simple: las propiedades impuestas por el

modelo concreto constituyen una estructura coherente, mientras las propiedades formales,

aparecen, al menos a primera vista, más bien como una colección arbitraria (Fischbein, 1989).

Para los fines de la investigación es importante identificar qué modelos intuitivos tienen

los estudiantes sobre la TL porque estos son fundamentales en sus razonamientos

productivos. Los modelos que los estudiantes tengan sobre la TL determinarán las

concepciones que de tal concepto se formen: “lo que un individuo puede aprender, y

cómo lo aprende, depende de los modelos con que cuenta” (Papert, 1981, p.13).

En Fischbein (1989) se explica, entre otras cosas, que los modelos tácitos en los

estudiantes no son inalterables, que con la intervención apropiada se pueden modificar,

con el objeto de afectar benéficamente el entendimiento de los conceptos matemáticos

en los estudiantes. Dentro de sus conclusiones, a manera de sugerencia, indica que un

primer paso para definir la estrategia para conseguir tal modificación consiste lógicamente

en identificar los modelos tácitos en los estudiantes con respecto al concepto matemático

de interés.



5

Mediante la discusión de las respuestas a las actividades y del acercamiento teórico

discutido anteriormente se pretende alcanzar el primer objetivo de este taller. El segundo

propósito se procurará comentando los resultados de la investigación que nos ocupa.

Las actividades y sus aportes

A continuación se discuten las actividades y los aportes de éstas al trabajo de Molina

(2004). Es importante señalar que muchos de los detalles no se retoman, pero se pueden

consultar en la fuente en cuestión.

Actividad 1

Contestar las siguientes preguntas:

a) ¿Qué entiendes por transformación lineal?

b) Propón un ejemplo de una transformación lineal y argumenta por qué es lineal.

c) Propón un ejemplo de una transformación no lineal y argumenta por qué es no

lineal.

d) ¿Qué significa lineal en la transformación lineal?

Con respecto a estas preguntas se reporta lo siguiente:

Inciso a. La mayoría de los estudiantes entienden la TL como una especie de función, que a

un conjunto de vectores los convierte en otro, pero no hicieron referencia a las dos

propiedades que debe cumplir para ser lineal. Solamente dos estudiantes de los cinco

entrevistados afirmaron que se trataba de una función y que cumplía dos propiedades.

Inciso b. La mayoría pudo plantear un ejemplo (algunos con errores en la sintaxis), sin

embargo solo dos estudiantes pudieron demostrar algebraicamente que sus ejemplos

correspondían con una TL. Cabe mencionar que los estudiantes del estudio tenían largo

tiempo de haber tomado algún curso de álgebra lineal. Esta situación no afectó el estudio



6

porque según la teoría de referencia los modelos o nociones intuitivas que los estudiantes

se forman entorno a los conceptos matemáticos predominan con el tiempo.

Inciso c. Esta cuestión en general casó dificultad, solo dos personas pudieron dar un

ejemplo, ambos ejemplos incluían un término 2x .

Inciso d. Esta pregunta fue contestada por todos, aquí salieron a la luz nociones intuitivas

asociadas a ese término. Un estudiante lo relacionaban con segmentos de recta, “lineal

viene de línea”; otro estudiante con un orden en el cuál se hacen operaciones; otro pupilo

con ecuaciones de primer grado. Sin embargo ninguno hacía referencia a que éste es un

adjetivo que se le da a un operador cuando satisface las dos condiciones para cualquier

escalar k y cualesquiera vectores 2,u v∈ℜ , ( ) ( )T ku kT u= y ( ) ( ) ( )T u v T u T v+ = + . En

palabras de Fischbein podemos decir “el modelo intuitivo parece ser más fuerte que el

concepto formal. El estudiante tiende a olvidar las propiedades formales y tiende a

mantener en mente aquéllas impuestas por un modelo”.

Actividades trabajadas

Las actividades presentan la siguiente pregunta:

Diga si es posible que exista una transformación lineal que convierta los vectores de la

Figura 1 en los vectores de la Figura 2. Argumente por qué.

Actividad, inciso a

Figura 1 Figura 2



7

Por motivos de espacio no incluimos las restantes actividades, estas se pueden consultar

en el siguiente hipervínculo:

http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=33500204&iCveNum=6262

El resultado principal que reporta es que los modelos intuitivos detectados en todos los

estudiantes sobre la TL son una serie de casos particulares de transformaciones lineales.

Éstas son transformaciones lineales que se conocen en el ambiente escolar como

expansiones, contracciones, reflexiones, rotaciones y composiciones de éstos. Los

estudiantes, con el conjunto anterior de transformaciones lineales en 2ℜ como universo,

cuando las preguntas involucran sólo estas transformaciones, en la mayoría de los casos

determinan si la transformación involucrada en la cuestión es lineal; en caso de que tal

transformación no forme parte de su universo, ésta es excluida de la clase TL. Para

justificar lo antes dicho retomamos un caso en que se refleja esta situación.

El caso de Hermes: En el transcurso de la entrevista este alumno contestó con

desenvoltura y correctamente cada uno de los casos que se le plantearon, mostrando

facilidad para transitar entre las representaciones gráficas y las algebraicas. Sin embargo

cuando llegó a la actividad l tuvo dificultades.

Ante esta situación, de entrada Hermes contesta negando la existencia de la TL; con

seguridad dice:

H159: No, ésta no, porque está dejando fijo a B y este, está transformando a, A (señala la figura 2), y

pues no.

Resulta importante lo repentina y contundente de la reacción de Hermes al negar la

posible existencia de la TL, porque dos rasgos de la intuición son su evidencia y certeza;

son nociones que quien las experimenta no siente necesidad de argumentos para aceptar

como ciertas y Hermes parece estar seguro de su respuesta. Ante la reacción de Hermes

intervenimos pidiendo que agregara detalles a su explicación. Como respuesta Hermes

intentó dar una justificación algebraica que respaldara su afirmación, no la consiguió, sin



8

embargo mantuvo su postura. A continuación al pasar a la siguiente pregunta (actividad

m):

Figura 1 Figura 2

Hermes estaba en profundas meditaciones, repentinamente tomó la hoja en la que estaba

plasmado el caso anterior, la actividad l y a continuación desarrolló un elaborado

argumento a favor de la existencia de la TL, recurriendo a ideas relativas a los vectores

base de una transformación; aquí nos interesa resaltar que con mucha seguridad cambió

de postura, y mostró que en el caso de la actividad l sí podría existir una transformación

lineal y comentó que lo mismo ocurriría con la actividad m. Cuando Hermes descubrió que

sí podría existir la TL, nos explicó los rasgos que él consideraba de la transformación lineal

y qué fue con los que se apoyaba para argumentar:

H181(Fragmento):…Pues tendría que cambiar de opinión en varias de esas, pero […]

E182: Mjm, ¿en cuáles tendrías que cambiar de opinión?

H183: Pues en un montón, sí porque estaba yo pensando, considerando transformaciones solamente

rotación y por escalar, y no o sea, no necesariamente, de hecho ésta va a ser una transformación,

transformación lineal, además.

Posiblemente lo que condujo inicialmente a Hermes a concluir la no existencia de la TL es

que él pensaba en la transformación lineal como una función que tiene el mismo simple

efecto geométrico en todos los vectores del plano (expande todos, contrae todos, rota

todos, etc); cuando observa que el vector B se mantiene constante, interpreta que la



9

transformación no afectó a un vector, entonces concluye que no es una TL. En otras

palabras, Hermes tiene en mente ciertos modelos intuitivos acerca de cómo se comportan

las transformaciones lineales, de tal forma que cuando se enfrenta a una situación que no

encaja dentro de su universo de modelos, rechaza la existencia de la transformación

lineal, como en la actividad l.

Hermes pensaba la transformación lineal en términos de movimientos geométricos

simples, la expansión, compresión, la rotación y combinaciones de ellos. Cuando abordó la

actividad m, él percibió una transformación lineal que tenía un comportamiento que

consideraba imposible en ellas, que un vector se contraiga y otro se expanda, teniendo

como resultado el cambió de postura, esta observación la respaldan con el diálogo H109 y

en H183; aunque en este caso su argumento está basado en el no cumplimiento de la

propiedad de la multiplicación por un escalar.

H109: Porque como están alineados, deberían de cumplir este, esto deberían de cumplir (señala

, ( ) ( )A B T A T Bλ λ= = ), a esto, si se cumple esto, eso se debe cumplir y veo que, que no pues,

un vector se estira y el otro se encoge, eso es lo que veo que no se puede.

Como discutimos en los párrafos anteriores, inicialmente Hermes se mostró reacio en

aceptar la existencia de la TL. Su reacción, firmeza en no aceptar la existencia, no poder

argumentar, podría ser la manifestación de su intuición ejerciendo influencia en él. Por

otra parte, su cambio de postura después de observar el caso siguiente es un ejemplo de

cómo una noción intuitiva puede ser modificada, cuando otro modelo intuitivo entra en

juego. Al reflexionar sobre la pregunta, lo que era implícito volvió explícito [ver 183 arriba]

y esto permitió el cambio en su postura. La pregunta planteada en la actividad m tiene un

formato diferente a las anteriores, esto también podría tener el efecto de evocar modelos

mentales de otra naturaleza en Hermes (uno con figuras que para él sí es una TL, porque

tal vez lo asocia con la fórmula 1

2

2x x

Ty y⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

que sí cumple las propiedades), él logra



10

percibir en la actividad m que si los lados que determinan la figura 1 representan vectores,

ocurría algo semejante a lo planteado en la actividad m: una TL que afecta en forma

diferente a los vectores, por consiguiente deduce que en tal caso sí podría existir.

Conclusiones

El álgebra lineal es una materia muy importante en el currículo escolar en México, por ello

es importante mostrar explícitamente a profesores y estudiantes cómo los modelos

intuitivos influyen implícitamente en nuestro razonamiento, esto brinda una comprensión

profunda del concepto TL, pues permite que nuestro conocimiento sobre el tema se

aproxime mejor al que la matemática le asigna.

Referencias bibliográficas

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lineal en contexto geométrico. Tesis de maestría no publicada. México: Cinvestav‐IPN.

Papert, S. (1981). Desafío a la mente. Argentina: Ediciones Galápago.



11

Resumen. En este trabajo se analiza una encuesta de opinión de los alumnos sobre una modalidad de aprendizaje que incorpora la herramienta computacional y su vinculación con la Teoría de los Estilos de Aprendizaje en la concepción de Alonso, Gallego y Honey (1999), a modo de evaluación de una experiencia de aprendizaje de temas introductorios al Álgebra Lineal, en un Laboratorio de Informática de la Facultad de Ciencias Económicas y Estadística de la Universidad Nacional de Rosario (FCE y E de la UNR). Se trata de contar con una autoevaluación, que en un proceso de metacognición, aporte elementos para evaluar la comprensión, el interés, el esfuerzo personal en el desarrollo de los temas propuestos, para orientar la programación de actividades y elaboración de material didáctico que potencien los procesos de indagación, reflexión, abstracción y aplicación.

Palabras clave: estilos de aprendizaje, encuesta de opinión, metacognición

Introducción

Se trata de relacionar las siguientes indagaciones realizadas con alumnos de primer año de

la carrera de Contador que cursan Matemática I. en la FCE y E de la UNR.:

a) los Estilos de Aprendizaje de la población de análisis mediante la aplicación del

Cuestionario Honey – Alonso de Estilos de Aprendizaje (CHAEA).

b) la opinión de los alumnos a través de una encuesta sobre la motivación, facilitación y

utilidad del trabajo interactivo con el computador en temas de Álgebra Lineal

Surge así, como objetivo de este trabajo: contar con una autoevaluación que constituya a

su vez una estrategia de metacognición de un proceso de aprendizaje y a partir de ella

mejorar el diseño de las actividades de enseñanza con herramientas CAS (Computer

Algebraic System)

UNA REFLEXIÓN SOBRE EL PROPIO APRENDIZAJE. SU ANÁLISIS DESDE LA PERSPECTIVA DE LOS ESTILOS DE APRENDIZAJE. Mercedes Anido, Ana María Craveri, María del Carmen SpenglerFacultad de Ciencias Económicas y Estadística de la Universidad Nacional de Rosario

Argentina

[email protected], [email protected], [email protected] de investigación: Didáctica de la Matemática Nivel: Superior



12

Problema de investigación

¿Qué relación existe entre las repuestas del alumno a la encuesta y su estilo de

aprendizaje predominante?

¿Se insinúan tendencias entre las formas en que los alumnos reflexionan sobre su trabajo

y su estilo personal de aprender?

La determinación de los estilos de aprendizaje

¿Qué entendemos por Estilos de Aprendizaje?

Las Teorías de los Estilos de Aprendizaje han venido a confirmar la diversidad y relatividad

del aprendizaje y demostrado que las personas piensan de manera distinta, captan la

información, la procesan, la almacenan y la recuperan de forma diferente. Proponen un

camino para mejorar el aprendizaje por medio de la conciencia personal del docente y del

alumno, de las peculiaridades diferenciales, es decir, de los Estilos Personales de

Aprendizaje (Alonso et al. 1999)

Existen distintas teorías de Estilos de Aprendizaje y cada una de ellas aporta su

correspondiente instrumento de diagnóstico. En este tema nuestros referentes han sido

los Dres. Catalina Alonso y Domingo Gallego Gil y el instrumento de diagnóstico el CHAE.

La definición de estilo que se adopta es la que propone Keefe (1982), quien considera los

Estilos de Aprendizaje como los rasgos cognitivos, afectivos y fisiológicos que sirven como

indicadores relativamente estables, de cómo los alumnos perciben, interaccionan y

responden a sus ambientes de aprendizaje.

Para Honey y Mumford (1986), los Estilos de Aprendizaje se corresponden con el

recorrido cíclico de cuatro etapas de Kolb (1984): experimentación concreta, observación

reflexiva, conceptualización abstracta, experimentación activa y son cuatro

respectivamente:



13

Activo: Se entusiasman frente a tareas nuevas. Pasan rápidamente de una actividad a

otra. Se aburren con tareas de largo plazo. Tienden a centrar a su alrededor todas las

actividades.

Reflexivo: Les gusta considerar y observar las experiencias desde diferentes perspectivas.

Recogen datos y los analizan detenidamente antes de llegar a alguna conclusión. Son

prudentes. Observan y escuchan a los demás. Intervienen sólo cuando se han adueñado

de la situación.

Teórico: Adaptan e integran las observaciones dentro de teorías lógicas. Tienden a ser

perfeccionistas. Analizan y sintetizan Buscan la racionalidad y la objetividad. Huyen de lo

subjetivo y ambiguo.

Pragmático: Su punto fuerte es la aplicación práctica de las ideas. Actúan rápidamente y

con seguridad con aquellas ideas y proyectos que los atraen. Se impacientan ante

personas que teorizan. Su filosofía es: siempre se puede hacer mejor, si funciona es

bueno.

El CHAEA consta de 80 ítems breves y se estructura en cuatro grupos o secciones de 20

ítems correspondientes a los cuatro Estilos de Aprendizaje: Activo‐Reflexivo‐Teórico‐

Pragmático.

Todos los ítems están distribuidos aleatoriamente formando un solo conjunto. Cada ítem

es una afirmación que el alumno marcará con un signo + sólo si se siente identificado con

ella. La última hoja del cuestionario contiene cuatro columnas (una por cada Estilo) donde

figuran impresos todos los 80 números predistribuidos por estilo por los autores del

Cuestionario y donde según corresponda el alumno marcará con un círculo los números

de los ítems a los que señaló con signo +. La puntuación absoluta que el sujeto obtenga

en cada grupo de 20 ítems, es el número de marcas que cuenta en cada una de las cuatro

columna, será el nivel que alcance en cada uno de los cuatro Estilos de Aprendizaje.



14

La fiabilidad y validez del CHAEA ha sido demostrada a través de las investigaciones

llevadas a cabo por Catalina Alonso en 1371 estudiantes de las Facultades y Escuelas

Universitarias, pertenecientes a las Universidades Complutense y Politécnica de Madrid.

La elección del CHAEA estuvo basada además en la factibilidad de su aplicación en grupos

numerosos de alumnos.

Los estilos de aprendizaje en nuestra experiencia

La interpretación del puntaje es relativa a la población donde se toma el cuestionario, por

lo que para interpretar las puntuaciones del mismo, se construye un baremo de

interpretación. a partir de una muestra de 381 alumnos

La siguiente tabla contiene los límites de los intervalos que resultan del análisis de las

estructuras de percentiles de las distribuciones de los puntajes para cada estilo. Esto

permite clasificar a los alumnos en la categoría de preferencia que le corresponde de

acuerdo al puntaje declarado en cada una de las columnas del cuestionario CHAEA.

Baremo General. Preferencias en Estilos de Aprendizaje. FCEyE UNR

Muy baja Baja Moderada Alta Muy alta

Activo 0 ‐ 6 7 ‐ 8 9 – 13 14 ‐ 15 16 – 20

Reflexivo 0 ‐ 9 10 ‐ 12 13 – 16 17 ‐ 18 19 – 20

Teórico 0 ‐ 8 9 ‐ 11 12 – 14 15 ‐ 16 17 – 20

Pragmático 0 ‐ 7 8 ‐ 10 11 – 14 15 16 – 20

¿Cómo interpretar el puntaje del CHAEA, con nuestro baremo?

Un alumno que ingresa al primer año de la FCEyE de la UNR que obtuvo, por ejemplo 9

puntos en cada Estilo de Aprendizaje, tiene:



15

Preferencia moderada en Estilo Activo

Preferencia muy baja en Estilo Reflexivo

Preferencia baja en Estilo Teórico

Preferencia baja en Estilo Pragmático

La encuesta de opinión como estrategia de metacognicion

¿Por qué consideramos que la encuesta, además de su carácter como instrumento

evaluativo de un proceso de aprendizaje, constituye una estrategia de metacognición?

Cuando hablamos de metacognición hablamos de la conciencia y el control que los

individuos tienen sobre sus procesos cognitivos. (Terán y Anido, 2007)

El término metacognición de acuerdo a la mayoría de los autores alude a dos

componentes básicos, el saber acerca de la cognición y la regulación de la cognición. El

primer componente se refiere a la capacidad de reflexionar sobre nuestros propios

procesos cognitivos, y la regulación metacognitiva implica el uso de estrategias que nos

permiten controlar esfuerzos cognitivos. El propósito fundamental al enseñar a los

estudiantes los mecanismos de la metacognición es hacer posible que ellos asuman la

responsabilidad de sus propias actividades de aprendizaje y de comprensión. Los

psicólogos basándose en los planteos de Vygotsky (1978) consideran que la mejor forma

de lograr este objetivo es transferir gradualmente a los jóvenes la responsabilidad de la

regulación.

Hawkins y Pea (1987) se basan explícitamente en la obra de Vygotsky al abogar por un

enfoque del aprendizaje que promueva la transición de la heterorregulación (ser regulado

por los otros) a la autorregulación. Johnson (1985) comenta también la importancia de

que los estudiantes asuman el control de su propio aprendizaje de la ciencia y sostiene

que cuando los estudiantes aprenden que tienen cierto control sobre la información a la



16

que acceden, pueden verse a sí mismos como directores responsables de su propio

aprendizaje y no como receptáculos inertes de información que otros les vuelcan.

En este caso se pide a los alumnos una reflexión sobre la comprensión de temas de un

área específica, en relación a su capacidad de aplicación y la interpretación de su propia

experiencia en un trabajo de Laboratorio, en cuanto al interés despertado y el esfuerzo

demandado. Se trata de que los estudiantes tomen conciencia del conocimiento adquirido

y de las experiencias realizadas. A ese fin la encuesta de opinión constituye una estrategia

para esa toma de conciencia.

Metodología

Se indagó la opinión del alumno con relación a las siguientes variables técnicas:

• Realización de cursos previos de computación

• Acceso a una computadora

• Comprensión de los temas

• Interpretación y abstracción de situaciones problemáticas

• Necesidad de recurrir al docente

• Esfuerzo demandado por la tarea

• Preferencia

• Valoración de los problemas presentados

El Diseño integra tres análisis:

a) El análisis descriptivo de cada una de las variables que intervienen en la encuesta.

b) El análisis de la asociación entre algunas variables de la encuesta consideradas

relevantes. En este punto se indaga sobre la posibilidad de que los alumnos que no han



17

realizado cursos previos de computación son impactados de manera diferente por la

modalidad de trabajo en el Laboratorio que aquellos que podrían tener mayores

facilidades a la hora de manejar una computadora.

Se analiza la significación de la asociación entre “realización de cursos previos de

computación” y/o “tener acceso a una computadora” y la adaptación a la modalidad de

trabajo propuesta. Para esto se cruzan las respuestas a cada variable del cuestionario con

la variable “realización de cursos previos de computación” y a continuación con la variable

“acceso a una computadora”.

c) La vinculación entre las respuestas del alumno y su “estilo de aprendizaje”

predominante. En este punto se indaga sobre la relación entre las respuestas a la encuesta

de opinión y el Estilo de Aprendizaje predominante en el alumno. Por ejemplo, al respecto

se preestablece que en un alumno predomina el estilo Activo, si en este estilo ha obtenido

el puntaje más alto respecto de los demás estilos.

Este último análisis, da respuesta al segmento de la investigación que se enfoca en esta

presentación.

Algunos resultados

La mayoría de los alumnos posee conocimientos sobre computación (74,6%), en general

adquiridos durante la escuela secundaria. Además, sólo un 16,7% declara no tener acceso

a una computadora (Gráficos Nº1 y Nº2)



18

El 79,8% de los alumnos opinan que han comprendido satisfactoria o muy

satisfactoriamente los temas trabajados con esta modalidad, el 16,7 % medianamente y

reconocen que ha sido poco satisfactoria el 3,5%.

El 73,6% de los alumnos encuestados declaran que la modalidad de trabajo lo ha ayudado

mucho en la interpretación y abstracción de situaciones problemáticas, el 26,4% considera

que la ayuda ha sido escasa o nula.

El 70,8% de los alumnos dicen preferir esta metodología por sobre la tradicional, el 23,6 %

se manifiesta por la no preferencia y el 5,6% no contesta.

La opinión de los alumnos respecto de la demanda de esfuerzo para la resolución de los

ejercicios planteados en el Laboratorio comparativamente con el esfuerzo realizado para

resolver los ejercicios de las prácticas anteriores es dispar. El 48,6% opina que el esfuerzo

fue igual, un 37,8% entiende que realizó un menor esfuerzo y a un 11,8% le demandó un

esfuerzo mayor (Gráfico Nº 3). Los ejercicios planteados durante el curso le parecieron

interesantes a la mayoría de los alumnos encuestados (83,3%). El 2,1% de los alumnos los

consideraron triviales (Gráfico Nº 4).



19

Todos los alumnos requirieron al menos ocasionalmente la orientación o apoyo del

docente para resolver las aplicaciones planteadas durante el curso. El 6,3% manifiesta que

“siempre” necesitó de la orientación del docente para resolver los problemas planteados.

Esto podría indicar que la asistencia de la herramienta computacional no implica el

reemplazo del docente, sino que funcionaría como un efectivo complemento

b) El análisis de la asociación entre algunas variables de la encuesta consideradas

relevantes.

La variable “Realización de cursos previos de computación” es independiente de:

• “Comprensión de los temas”(p=0.813)

• “Esfuerzo empleado en la resolución de los ejercicios” (p=0.998)

• “Percepción sobre los problemas presentados en la práctica” (p=0.556)

La variable “Acceso a una computadora”, sólo se detectó asociada a la variable “Esfuerzo

empleado en la resolución de los ejercicios” (p=0.018 de que sean independientes)

c) La vinculación entre las respuestas del alumno y su “estilo de aprendizaje”

predominante.

Con respecto a la “Comprensión de los temas de Álgebra Lineal”, el único estilo que

presenta diferencia en la distribución de las respuestas es el estilo Activo (p=0.029). Una

mayor proporción de alumnos se han pronunciado por las categorías extremas (superior o

inferior) de esta variable comparativamente con los restantes estilos que se pronunciaron

mayormente por la categoría central. Con respecto a la “Preferencia por esta modalidad”



20

la diferencia en las respuestas se detecta también en los alumnos predominantemente

activos (p=0.038), quienes se manifiestan por la no preferencia por esta modalidad

diferenciándose así de los restante Estilos.

Conclusiones

El alto porcentaje de alumnos que manifiestan tener conocimientos de computación y

disponer de una computadora fuera de la Facultad, lleva a suponer condiciones adecuadas

para acceder en forma casi inmediata a la utilización de programas CAS en las clases

prácticas, la nivelación de los pocos ‘no preparados’ es factible. En relación al esfuerzo que

significó para el alumno trabajar con esta modalidad, comparativamente al realizado con

la metodología tradicional (clase expositiva), poco más del 10% percibe un esfuerzo

mayor, al cruzar esta información con la referida a la posibilidad de acceder a una

computadora fuera del Laboratorio, como era de esperar, menos del 10% de los alumnos

que pueden acceder a una computadora percibieron haber realizado un mayor esfuerzo,

mientras que este porcentaje se eleva a casi el 30% en los alumnos que no tienen

disponible un computador fuera de las horas asignadas al Laboratorio. Por otra parte, la

mayoría prefiere esta modalidad a la metodología tradicional y considera que esta

propuesta de trabajo contribuye satisfactoriamente a la comprensión e interpretación de

los problemas de Álgebra Lineal. Sobre la posible existencia de una relación entre las

respuestas del alumno y su estilo personal de aprendizaje, independientemente del ‘estilo

predominante’, la mayoría ha recibido bien esta modalidad. No obstante llaman la

atención algunos resultados observados en los alumnos predominantemente activos en lo

que se refiere a preferir esta modalidad (Laboratorio de Computación) por sobre la

metodología tradicional (Clase Expositiva). El 40% de los alumnos predominantemente

activos manifiestan no preferir la modalidad de trabajo en el Laboratorio, es en el único

‘estilo’ donde se observa tan alta proporción por la no preferencia. Este es un resultado

inesperado si se tiene en cuenta la ‘interactividad’ (respuesta rápida, manejo de



21

comandos, posibilidad de verificaciones inmediatas, etc.) que ofrece el trabajo frente a un

computador.

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diagnóstico y mejora. Bilbao: Ediciones Mensajero

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23

LA VISUALIZACIÓN, COMO ESTRATEGIA DE ESTUDIO EN EL CONCEPTO DE DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Carlos Oropeza Legorreta, Javier Lezama AndalónFESC ‐ UNAM, CICATA ‐ IPN Mé[email protected], [email protected] de investigación: Pensamiento matemático avanzado Nivel: Superior

Resumen. En este trabajo nos apoyamos de experiencias en clase con estudiantes del curso de Álgebra Lineal, en las que se les proponen actividades que los conducen a elaborar representaciones de carácter geométrico de los conceptos de combinación lineal, dependencia e independencia lineal. Estas experiencias ponen su atención en representaciones geométricas, que nos brindarán elementos para problematizar la adquisición de los conceptos de dependencia e independencia lineal, reconociendo en ellos una especial complejidad debido al nivel de abstracción que presentan. Es en los escenarios geométricos que podremos, a partir de la actividad matemática desarrollada por los estudiantes, encontrar los indicios de comprensión o no de dichos conceptos y estructurar preguntas precisas sobre la adquisición de los conceptos en Álgebra Lineal por parte de los estudiantes.

Palabras clave: visualización, combinación lineal, dependencia e independencia lineal

Introducción

La enseñanza y aprendizaje del álgebra lineal en las escuelas de ingeniería representa un

conjunto de dificultades diferentes a las que se presenta, por ejemplo en el cálculo. En

esta materia, es frecuente motivar la enseñanza de los conceptos a partir de otros

conocimientos físicos o geométricos presentados previamente, pero en el álgebra lineal la

mayor parte de conceptos son presentados por los libros de texto recomendados para su

estudio, como definiciones formales de objetos cuya existencia no tiene (en la mayoría de

los casos) conexión con conocimientos previos ni argumentos geométricos o físicos que

motiven la definición presentada. En el ámbito escolar, el carácter abstracto de esta

materia ha obligado a la comunidad matemática de esta especialidad ha reflexionar con

relación a la búsqueda de representaciones diferentes del tema. Con el fin de clarificar las

dificultades que enfrentan los alumnos al estudiar el concepto matemático de



24

dependencia e independencia lineal en polinomios de segundo grado que se aborda en la

asignatura de álgebra lineal, en esta investigación se pretende hacer uso de las

representaciones visuales para que los alumnos puedan incorporarlas en la búsqueda de

significados en el concepto antes referido. Tradicionalmente los problemas asociados se

resuelven usando la definición dada junto con argumentos derivados de la lógica. Esto

hace que muchos estudiantes sientan que la materia es demasiado abstracta (se ha

observado que en curso convencional los estudiantes son capaces de determinar si un

conjunto de vectores forman o no un espacio vectorial, es decir pueden aplicar los

axiomas con la dificultad inherente correspondiente, pero cuando se les cuestiona

respecto a su significado, ellos no pueden articular una respuesta, entendemos este hecho

como una manipulación algebraica carente de significado) y que los contenidos son

objetos que no tienen relación con algo que se pueda aplicar en la realidad. Entre los

problemas relativos al aprendizaje del álgebra lineal, están las diferentes representaciones

que puede tener un mismo objeto y para las cuales no resulta muy claro para un

estudiante que se trata del mismo objeto. Por ejemplo en un momento dado se puede

presentar al conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo

como un subespacio vectorial y en otro momento ese mismo conjunto se puede presentar

como el núcleo de una transformación lineal o bien es frecuente ayudarse de la geometría

en R2 o R3 para visualizar la suma de vectores, pero es difícil usar la geometría para

visualizar las sumas en espacios vectoriales como polinomios o matrices. El alumno se

encuentra, entonces, con dos representaciones diferentes de la suma de vectores, una

geométrica con una definición formal y otra enteramente formal para espacios vectoriales

generales.

En busca de un Marco Teórico

Es mi interés encontrar un punto de vista que me permita reflexionar estrategias de la

visualización, dentro de las perspectivas generales, los investigadores han desarrollado



25

múltiples marcos teóricos locales y metodologías que caracterizan de formas distintas el

modo en que las preguntas de investigación se eligen y expresan y el modo en que son

abordadas (afectando, por tanto, el tipo de resultados que se puede obtener y el modo en

que son descritos). Artigue (2003). El desarrollo de las teorías que fortalecen la

importancia de la visualización matemática, considerada como la habilidad para

interpretar y representar de manera diferente la información percibida y la reflexión

extraída de información visual, impone a los autores de textos considerar estas ideas para

presentar nuevas propuestas de enseñanza. (Hitt, 2002). Arcavi (1999), admite haber

combinado las definiciones de Zimmermann y Hershkowitz, declarando que la

visualización es la capacidad, el proceso y el producto de creación, interpretación, empleo

de reflexión sobre cuadros, imágenes, diagramas, en

acta latinoamericana declame.org.mx/documentos/alme21.pdfvii un estudio sobre el discurso en los...

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