act_3_mrey__hfarias_gr1_3_corregido_26-09-2015 (1)

MATEMATICA 1 / ACTIVIDAD 3 INGENIERIA DE SISTEMAS

Alumnos: REY, MARIO ADRIAN / FARIAS, HORACIO

GRUPO 1

Comisión IS-MA1-COR-aolmos-DIST-A

ACTIVIDAD 3

PARTE A

La actividad consiste en seleccionar un modelo, entre los titulados modelos 1 a 4

inclusive (abajo mencionados) y resolverlo recreando el contexto. Donde por recrear entendemos complejizar así:

agregando dos nodos o vértices involucrados (que pueden ser personas,

objetos, ciudades, etc.),

agregando tres conexiones entre ellos (influencias, flujo, etc.),

realizando todas las operaciones matriciales mostradas en los ejemplos afines al

modelo. No es necesario explicar o fundamentar, como en la guía, que esa

operación da respuesta a la pregunta. Basta con plantear la pregunta y

contestarla usando la operación matricial.

También, analice y responda si las matrices intervinientes deben ser necesariamente ¿cuadradas? ¿Simétricas? ¿Invertibles? Fundamente.

Para operar use los ya conocidos paquetes Wolfram Alpha, Wiris y OnLineMSchool. Capture imágenes con la tecla Imr Pant, con el paquete

PhotoScape o similar.

Interprete la información dada por cada una de las matrices (generadas ya se con

información de partida o por operatoria matricial): en forma general la matriz en su

totalidad, y en forma más específica una entrada genérica i,j y una entrada particular 2,3 por ejemplo.

Todo ello lo orienta a dejar indicios de que comprende la modelización matemática de

la situación contextual planteada.

Puntaje máximo: 25 puntos.

http://www.wolframalpha.com/examples/Matrices.html

http://www.wolframalpha.com/examples/Matrices.html

http://es.onlinemschool.com/math/assistance/matrix/






GRUPO 1


Resolución de actividad:

Modelo seleccionado para la PARTE A.

Modelo 1. Ejemplos 5, 21, 25 y 26 del material de lectura obligatorio,

responden al mismo modelo donde las matrices y los escalares, según

corresponda, se suman, restan, multiplican para obtener nuevas matrices que brindan la información requerida.

Ejemplo 5:

Sea 𝑎𝑖𝑗 el número de vuelos realizados por avionetas con la finalidad i a la localidad

j.

La matriz:

𝐴 = [2 9 4 00 3 2 1

]

Condensa los registros del mes de marzo e indica en el renglón 1 los vuelos de

avionetas de la Secretaría de Agricultura de la Provincia de Córdoba con fines de

fumigación de cultivos y en el renglón 2 los de avionetas de la Secretaría de Salud

con fines de prestación de servicios de medicina preventiva. La primera columna

hace referencia al Departamento Colón, la segunda al Departamento Punilla, la

tercera al Departamento J. Celman y la cuarta al Departamento Tercero Arriba.

Análogamente la matriz:

𝐵 = [3 2 5 11 0 3 1

]

Condensa los registros correspondientes al mes de abril.

La suma de estas matrices

𝐴 + 𝐵 = [2 9 4 00 3 2 1

] + [3 2 5 11 0 3 1

]

𝐴 + 𝐵 = [5 11 9 11 3 5 2

]



GRUPO 1


Reúne los resultados de la actividad desarrollada en el segundo bimestre del año en

cada localidad y por cada secretaría.

Ejemplo 5 Recreado:

La matriz A Condensa los registros del mes de marzo e indica en el renglón 1 los

vuelos de avionetas de la Secretaría de Agricultura de la Provincia de Córdoba con

fines de fumigación de cultivos , en el renglón 2 los de avionetas de la Secretaría de

Salud con fines de prestación de servicios de medicina preventiva y el tercer renglón

representa los vuelos del Ministerio de Industria a fin de verificar el estado de las

maquinarias y herramientas utilizadas en la producción. La primera columna hace

referencia al Departamento Colón, la segunda al Departamento Punilla, la tercera al

Departamento J. Celman , la cuarta al Departamento Tercero Arriba y la quinta

columna al departamento de Tulumba .

Análogamente la matriz A (Marzo) se corresponde a

𝐴 = [2 9 4 0 20 3 2 1 31 3 0 6 4

]

Análogamente la matriz B (Abril) se corresponde a

𝐵 = [3 2 5 1 31 0 3 1 12 4 5 2 4

]

Los viajes totales realizados en el semestre se determinan realizando la suma de las matrices A y B

𝐴 + 𝐵 = [2 9 4 0 20 3 2 1 31 3 0 6 4

] + [3 2 5 1 31 0 3 1 12 4 5 2 4

]

Viajes totales: 𝐴 + 𝐵 = [5 11 9 1 51 3 5 2 4 3 7 5 8 8

]



GRUPO 1


Resolución mediante Wiris:

Representando por medio de tablas es posible representar el ejercicio:

MES MARZO (A) Localidades

Colon Punilla J.Celman Tercero Arriba Tulumba

Secretaria de Agricultura 2 9 4 0 2

Secretaria de Salud 0 3 2 1 3

Ministerio de Industria 1 3 0 6 4

MES ABRIL (B) Localidades





BIMESTRE (A +B) Localidades







GRUPO 1


Ejemplo 21 – Recreado

Tenemos la matriz de resultados de confrontación directa (pasa de 4x4 a 5x5):

𝑅 =

[ 0 1 0 0 10 0 1 1 11 0 0 0 11 0 1 0 00 0 0 1 0]

Donde



GRUPO 1


Sabemos (por el enunciado) que:

Es la fórmula para asignar la puntuación a cada jugador.

𝑅 =

[ 0 1 0 0 10 0 1 1 11 0 0 0 11 0 1 0 00 0 0 1 0]

a) Determine el número de participantes: el número de participantes es cinco, que viene

dado por el número de filas.

b) Construya el vector de puntuación:

Calculamos con Wiris el cuadrado de R:

𝑅2 =

[ 0 0 1 2 12 0 1 1 10 1 0 1 11 1 0 0 21 0 1 0 0]

Reemplazando:

𝑃 =

[ 0 1 0 0 10 0 1 1 11 0 0 0 11 0 1 0 01 0 0 1 0]

.

[ 11111]

+1

2.

[ 0 0 1 2 12 0 1 1 10 1 0 1 11 1 0 0 21 0 1 0 0]

.

[ 11111]

Resolviendo nuevamente con Wiris, obtenemos el vector puntuación:



GRUPO 1


𝑃 =

[

411/27/242 ]

De donde sacamos las siguientes conclusiones:

a) Se confirma que son cinco los participantes.

b) El participante dos fue el que obtuvo la mejor calificación (11/2).

Sobre correcciones de la profesora:

¿Cómo se logra un puntaje, esto es cómo se interpreta la operatoria que corresponde a P?

¿Qué aporta cada sumando en el contexto del problema?

Para el jugador 1, por ejemplo:

𝑃1 = 0 ∙ 1+1∙ 1 + 0 ∙ 1 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ 1 +1

2(0 ∙ 1 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ 1 + 2 ∙ 1 + 1 ∙ 1) = 4

En rojo la suma de la primera fila de R y en azul la mitad de la primera fila de R2.

Si los vectores de 1 multiplicaran a izquierda en vez de derecha ¿qué información daría la

nueva suma planteada similar a P?

Si multiplicamos por la izquierda debemos hacerlo por las transpuestas de R y R2,

obteniéndose un vector fila equivalmente al vector columna anteriormente logrado.



GRUPO 1


¿Puede construirse una R que no sea cuadrada?

No. Pues en la confrontación el número de filas viene dado por la cantidad de jugadores, al

igual que número de columnas.



GRUPO 1


Ejemplo 25

Una empresa que comercializa productos informáticos posee tres sucursales dedicadas a la

venta directa al público. El inventario de final de año muestra las existencias de cada

sucursal:

PCs PC portatiles CDs Impresoras

Sucursal 1 10 5 150 8

Sucursal 2 15 4 200 7

Sucursal 3 9 10 400 5

Se solicita a cada una de las sucursales que realice el pedido de productos teniendo en

cuenta que estarán un período de tres meses sin abastecimiento. Dichos pedidos son:


Sucursal 1 3 2 50 2

Sucursal 2 4 3 30 2

Sucursal 3 5 0 0 1

Después de tres meses se informa a la empresa sobre las nuevas existencias:


Sucursal 1 7 1 180 6



Sabiendo que el precio en $ de cada uno de los productos es:


1800 2500 11 500

a) Obtenga la matriz de ingreso de la empresa.

b) Si el beneficio para la empresa es del 25% de los ingresos, determine los beneficios por

sucursal y el beneficio total de la empresa.



GRUPO 1


c) ¿Puede llegar a los mismos resultados usando las respectivas matrices transpuestas a las

definidas?

¿Por qué? ¿Son simétricas sus matrices? Fundamente su respuesta Confronte con la

solución nº 47

Ejemplo 25 Recreado

Una empresa que comercializa productos informáticos posee cuatro sucursales dedicadas a

la venta directa al público. El inventario de final de año muestra las existencias de cada

sucursal:

Stock inicial (A) PCs PC portatiles CDs Impresoras Discos Rigidos

Sucursal 1 10 5 150 8 3

Sucursal 2 15 4 200 7 4

Sucursal 3 9 10 400 5 2

Sucursal 4 5 1 210 3 1

Se solicita a cada una de las sucursales que realice el pedido de productos teniendo en

cuenta que estarán un período de tres meses sin abastecimiento. Dichos pedidos son:

Pedidos (B) PCs PC portatiles CDs Impresoras Discos Rigidos

Sucursal 1 3 2 50 2 2

Sucursal 2 4 3 30 2 3

Sucursal 3 5 0 0 1 3

Sucursal 4 2 5 100 2 4

Después de tres meses se informa a la empresa sobre las nuevas existencias:

Existencias finales (C) PCs PC portatiles CDs Impresoras Discos Rigidos

Sucursal 1 7 1 180 6 1

Sucursal 2 8 2 150 0 0

Sucursal 3 0 3 350 0 1

Sucursal 4 3 2 150 2 0

Sabiendo que el precio en $ de cada uno de los productos es:

PCs PC portatiles CDs Impresoras Discos Rigidos

1800 2500 11 500 500



GRUPO 1


a) Obtenga la matriz de ingreso de la empresa.

Matriz de stock inicial (A):

𝐴 = [

10 5 150 8 315 4 200 7 49 10 400 5 25 1 210 3 1

]

Matriz de Pedidos (B):

𝐵 = [

3 2 50 2 24 3 30 2 35 0 0 1 32 5 100 2 4

]

Matriz de existencias finales (C):

𝐶 = [

7 1 180 6 18 2 150 0 00 3 350 0 13 2 150 2 0

]

Matriz de precio por producto (P):

𝑃 = [1800 2500 11 500 500]

La matriz de ventas (V) está dada por la suma de la Matriz de stock inicial (A) + Matriz de

Pedidos (B), restando la Matriz de Existencias Finales (C).

𝑉 = (𝐴 + 𝐵 − 𝐶)

V=[

10 5 150 8 315 4 200 7 49 10 400 5 25 1 210 3 1

] + [

3 2 50 2 24 3 30 2 35 0 0 1 32 5 100 2 4

] − [

7 1 180 6 18 2 150 0 00 3 350 0 13 2 150 2 0

]

𝑉 = [

6 6 20 4 411 5 80 9 714 7 50 6 44 4 160 3 5

]



GRUPO 1


Resolución de 𝑉 = (𝐴 + 𝐵 − 𝐶) mediante wiris:

La matriz de ingresos está dada por el producto entre la matriz de ventas (V) y la

transpuesta de la matriz de precios por producto (P)

𝑃 = [1800 2500 11 500 500]

𝐻 = 𝑉𝑃𝑡 = [

6 6 20 4 411 5 80 9 714 7 50 6 44 4 160 3 5

] .

[ 1800250011500500 ]

=[

30020411804825022960

]

Total de ingresos por sucursal, determinado por Hij:

𝐻 = [

30020411804825022960

]



GRUPO 1


Calculo de ingresos totales mediante wiris:

Ingreso total de la empresa 𝑡𝐻:

𝑡𝐻 = [1 1 1 1]. [

30020411804825022960

] = [142410]

Ingresos totales de la empresa 142410 $.

b) Si el beneficio para la empresa es del 25% de los ingresos, determine los beneficios

por sucursal y el beneficio total de la empresa.

Los Beneficios de la empresa (D) por sucursal están dados por el producto de 25% y

los ingresos por sucursal:

D =0.25x[

30020411804825022960

] = [

750510295

12062.55740

]

Los beneficios para la sucursal 1 son 7505 $, para la Sucursal 2 10295 $, para la

sucursal 3 12062,5$ y para la sucursal 4 de 5740 $.



GRUPO 1


El beneficio total de la empresa está dado por la suma de los beneficios individuales

de todas las sucursales:

Beneficio total = suc 1 + Suc 2 + Suc 3 + Suc 4 = 7505 + 10295 + 12062,5 + 5740=

Beneficio Total = 35602,5$

El beneficio total de la empresa es de 35602,5$

c) ¿Puede llegar a los mismos resultados usando las respectivas matrices

transpuestas a las definidas?

Si, debido a que Ht = P.V

t y V

t =(A+B-C)

t = A

t +B

t -C

t

d) ¿Por qué? ¿Son simétricas sus matrices? Fundamente su respuesta Confronte

con la solución nº 47

Definición de matriz simétrica: Una matriz es simétrica si es una matriz cuadrada, la

cual tiene la característica de ser igual a su traspuesta.

Para el presente ejercicio, como las matrices utilizadas no son cuadras, por

definición no pueden ser simétricas sus traspuestas.


No queda clara la definición de la matriz C como “de resultados de venta” será “de

resultados post venta” pues es lo que queda sin vender, no lo vendido. Y esto es lo que

indica la operación realizada para obtener V.

Corregido. La matriz C es de Existencias Finales

Al obtener H queda planteada una matriz intermedia incorrecta porque faltan signos de

suma por renglón. Corregir esto o borrar esa matriz de suma parcial que confunde.

Corregido

T es un vector de unos. El producto Ht devuelve una matriz 4x4 porque si t es un vector fila

se tiene: 4x1, 1x4. Conclusión: el ingreso total está mal planteado matricialmente.

Corregido



GRUPO 1


La matriz B no se ha definido entonces tampoco existe BT.

Se plantea la matriz B.

Está faltando precisión en el uso del simbolismo y la operatorio matricial.

Corregido.

¿Podría plantearse el producto entre V y P viniendo P por la izquierda?

No está definido pues sería P (1x5) x V(4x5) por lo cual no existe consistencia en el

producto de matrices.



GRUPO 1


Ejemplo 26

En el siguiente cuadro de doble entrada se muestran los requerimientos técnicos de

insumos, por unidad de producto, para la producción de los artículos I, II y III en una

fábrica. Además, el plan de producción proyectado es: 50 unidades del artículo I, 30 del II y

20 unidades del artículo III.

Articulo 1 Articulo 2 Articulo 3

mano de obra (en hs-hombre p/unidad de producto)

15 2 13

tiempo de máquina (en hs-máquina p/unidad de producto)

1 17 6

Sucursal 3tiempo control de calidad (en hs-hombre p/unidad de producto)

4 4 4

Calcule las horas-hombre y las horas-máquina que se deben disponer para satisfacer el plan

de producción proyectado.



GRUPO 1


Ejemplo 26 Recreado

En el siguiente cuadro de doble entrada se muestran los requerimientos técnicos de

insumos, por unidad de producto, para la producción de los artículos I, II ,III,IV y V en una

fábrica. Además, el plan de producción proyectado es: 50 unidades del artículo I, 30 del II

,20 unidades del artículo III, 10 del artículo IV y 60 del artículo 5.

Articulo 1 Articulo 2 Articulo 3 Articulo 4 Articulo 5


15 2 13 10 4


1 17 6 3 7


4 4 4 2 8

Calcule las horas-hombre y las horas-máquina que se deben disponer para satisfacer el plan

de producción proyectado.

Matriz A correspondiente a requerimientos técnicos por artículo:

𝐴 = [15 2 13 19 41 17 6 3 74 4 4 2 8

]

50 unidades del artículo I, 30 del II ,20 unidades del artículo III, 10 del artículo IV y 60 del

artículo 5.

Matriz P Correspondiente a cantidad de producción proyectada

𝑃 = [50 30 20 10 60]



GRUPO 1


Tiempo T empleado es el producto de Matriz A por la traspuesta de P (Pt)

T= A. Pt

𝑇 = [15 2 13 19 41 17 6 3 74 4 4 2 8

] .

[ 5030201060]

𝑇 = [15001130900

]

Verificación de tiempo empleado mediante Wiris:



GRUPO 1


Tabla de hs empleadas:

Total Hs


1500


1130


900

Se necesitan 1130 Hs máquina y 2400 Hs hombre para alcanzar la producción deseada.


Al obtener T queda planteada una matriz intermedia incorrecta porque faltan signos de

suma por renglón. Corregir esto o borrar esa matriz de suma parcial que confunde.

Corregido.

Si a la matriz de requerimientos la pre-multiplicamos por un vector de unos ¿qué info nos

da? ¿y si la post multiplicamos?

Premultiplicando:

[1 1 1]. [15 2 13 19 41 17 6 3 74 4 4 2 8

]

Que es la suma total de tiempo (mano de obra+horas maquinas+ctrl calidad) por articulo.



GRUPO 1


Post-multiplicando:

[15 2 13 19 41 17 6 3 74 4 4 2 8

] .

[ 11111]

Que es la suma total de tiempo para cada etapa (mano de obra, maquina, ctrl de calidad).

¿Tiene sentido en el contexto calcular las potencias 2, 3 etc de dicha matriz de

requerimientos?

No se puede multiplicar sucesivamente pues no es una matriz cuadrada.

¿Qué información da la entrada 2, 2 de A?

17 hs necesarias para la producción de un ítem de la unidad 2.



GRUPO 1


PARTE B

La actividad consiste en recrear el Ejemplo 28 del material de estudio. Para recrearlo:

1) Reemplace la matriz T de la Guía de estudio por otra de la lista siguiente, y observe la acción que, sobre la letra N realiza el pre multiplicar la matriz D por T.

Nombres identificatorios:

T= nueva matriz de transformación

D= matriz de coordenadas. TD=H=nueva matriz del transformado por T.

¿Qué matriz calcularía y cómo la usaría con la matriz del transformado H, para obtener

la matriz de coordenadas original? Esto es, ¿cómo procedería, operando con matrices, para obtener las coordenadas de la letra original?

Dibuje. Realice los cálculos con los ya conocidos paquetes Wolfram Alpha, Wiris, OnLineMSchool. Capture pantallas.

2) Seguidamente, seleccione otra matriz de la lista, llámela S, y repita el proceso pero ahora tomando como matriz de coordenadas a H.

Nuevos nombres identificatorios:

S= nueva matriz de transformación

H= nueva matriz de coordenadas. SH=J=nueva matriz del transformado por S.

La idea es aplicar un movimiento atrás de otro y estudiar como cambia de posición la

letra N (esto es, hacer una composición). Así se trabajan las imágenes en una pantalla.

Puntaje máximo: 20 puntos.

Finalmente, con las partes A y B, arme el documento de texto, súbalo a Scribd o

plataformas similares, copie el código de inserción y embébalo en el foro-pizarrón para compartir el trabajo.

La idea es contar con producciones que muestren diversas aplicaciones de las

matrices.

http://aula7.iua.edu.ar/foros.cgi?wIdPost=9679879&wVer=L&id_curso=666&wAccion=vertema



GRUPO 1


A partir de las retroalimentaciones recibidas por parte de la tutora corrija el trabajo y

envíe nuevamente en este espacio (abajo, en Realizar actividad) resaltando las mismas.

Lista de Matrices para la PARTE B.

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5.

6.

7.



GRUPO 1


Primera parte

Partimos de la matriz de puntos:

𝐷 = [0 0.5 6 5.5 0.5 0 5.5 60 0 0 1.58 6.42 8 8 8

]

Graficando:

Donde la primera fila corresponde a la coordenada x, la segunda fila a la y.

Tomando la matriz de transformación T.

𝑇 = [𝑘 00 1

] , (𝑘 ∈ ℝ, 𝑘 > 1)

Aplicando el producto:

𝑇𝐷 = [𝑘 00 1

] . [0 0.5 6 5.5 0.5 0 5.5 60 0 0 1.58 6.42 8 8 8

]

Operando con Wiris:

𝑇𝐷 = 𝐻 = [0 0.5𝑘 6𝑘 5.5𝑘 0. 𝑘5 0 5.5𝑘 6𝑘0 0 0 1.58 6.42 8 8 8

]

Como observamos el cambio es únicamente en la primera fila (coordenada x).

Asignemos a K el valor 2, tendremos una expansión en factor de 2.



GRUPO 1


𝐻 = [0 1 12 11 1 0 11 120 0 0 1.58 6.42 8 8 8

]

a) ¿Qué matriz calcularía y cómo la usaría con la matriz del transformado H, para

obtener la matriz de coordenadas original? Esto es, ¿cómo procedería, operando

con matrices, para obtener las coordenadas de la letra original?

Partimos de:

𝑇𝐷 = 𝐻 = [0 0.5𝑘 6𝑘 5.5𝑘 0. 𝑘5 0 5.5𝑘 6𝑘0 0 0 1.58 6.42 8 8 8

]

Tomando la matriz:

𝑇′ = [1/𝑘 00 1

] , (𝑘 ∈ ℝ, 𝑘 > 1)

Y pre-multiplicándola por H, obtenemos:

𝐷 = 𝑇′𝐻 = [0 1/𝑘 12/𝑘 11/𝑘 1/𝑘 0 11/𝑘 12/𝑘0 0 0 1.58 6.42 8 8 8

]

Aplicando Wiris (para k=2)

Donde vemos que obtenemos la matriz original.



GRUPO 1


Segunda Parte

Escogemos la matriz de transformación:

𝑆 = [1 𝑘0 1

] , (𝑘 ∈ ℝ)

Tomando k=2

𝑆𝐻 = 𝐽 = [1 20 1

] [0 1 12 11 1 0 11 120 0 0 1.58 6.42 8 8 8

]

𝐽 = [0 1 12 14.16 13.84 16 27 280 0 0 1.58 6.42 8 8 8

]

Graficando.


No premultiplicaron por H para obtener D, postmultiplicaron (porque aparece H a la

derecha)

Corregido

¿Cómo describen en palabras el efecto de T sobre D? ¿qué hace?

Se produce un estiramiento en la coordenada de x, manteniéndose en y.

¿Qué efecto produce S sobre H? ¿Cómo lo describen en palabras?

Adiciona un término constante k a la coordenada x, produciendo el efecto de inclinación.

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