ACTIVIDAD 2 SEGUNDA PARTE.

Funcin racional.

Si una funcin puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales, se denomina: funcin racional. En general, cualquier funcin racional tiene la forma

f(x) =g(x)

h(x), en donde g(x) y h(x) son polinomios en x

Las funciones racionales estn definidas o tienen su dominio de definicin en todos los valores de x que no anulen el denominador. Esta definicin puede extenderse a un nmero finito pero arbitrario de variables, usando polinomios de varias variables.

La palabra "racional" hace referencia a que la funcin racional es una razn o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser nmeros racionales o no. Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del anlisis numrico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones ms complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Ejemplos de funciones racionales.

() =235+3

+5 Es una funcin racional pues tanto numerador como denominador son funciones polinmicas. Observe

que esta funcin racional no est definida para x = -5, por lo que Df = { 5}

() = 32 + 2 4 Es una funcion racional ya que () = 3

2 + 2 4 =32+24

1

De hecho, toda funcin polinmica es tambin una funcin racional cuyo polinomio del denominador es el 1.

Una funcin racional es () =()

() , donde el numerador y el denominador son formas polinmicas y f(x) es irreducible.

Para analizar una funcin racional debemos tener en cuenta las siguientes caractersticas observables: El dominio est formado por los valores de R excepto los que anulan el denominador. Para cada valor de x que anula el denominador tenemos una asntota vertical: Q(a)=0 implica que x=a es una asntota vertical de f(x). Si x=a es una raz simple de Q(x)=0, las ramas laterales de la asntota x=a tienen sentidos distintos, una hacia + infinito y la otra a - infinito. Si x=a es una raz doble, ambas ramas van o hacia + infinito o hacia - infinito. Si el grado de P(x) es una unidad mayor que el grado de Q(x) existe una asntota oblicua, la misma, tanto si x tiende a + como si x tiende a . Si P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, hay una asntota horizontal en y=m/n. Siendo m y n los coeficientes respectivos de mayor grado de P(x) y Q(x). Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x), hay una asntota horizontal en y=0. Podemos encontrar puntos singulares y puntos de inflexin.

Analizando una funcin racional Dado la siguiente funcin:

() =2

2 1

Analizar y representar. El dominio de la funcin no est definida para: 2 1 = 0 ( + 1)( 1) = 0 Esto quiere decir, que el Denominador se anula para x=1 y x=-1.

= {1, 1} La funcin es par pues () = (), por lo que es simtrica respecto del origen (0,0).

Regiones:

X (-,-1) (-1,0) (0,1) (1,+)

2 + + + + + 1 - + + + 1 - - - + () - + - +

Asntotas: Verticales: x=-1 , x=1 Horizontal: () = 1 , () = 1 Grafico.

Aplicacin de las funciones racionales. Dosis de medicamentos: La regla de Young es una frmula que se usa para modificar las dosis de medicamentos de adultos, a fin de adaptarlas a nios. Si d representa la dosis de un adulto, en miligramos, y t es la edad del nio en aos, entonces, la dosis del nio puede representarse, por medio de la siguiente funcin:

F (t) = (t . d) / (t +12)

La ley de Boyle, nos dice que para un gas a temperatura constante, se verifica la siguiente relacin entre la presin y el volumen:

= =

Su representacin grafica es una hiperblica equilateral cuyas asntotas coinciden con los ejes de coordenadas. En este caso se representa mediante la rama positive de la hiprbola, pues no tiene sentido hablar de presiones o volmenes negativos. Ley de la gravitacin universal de newton y la ley de Coulomb. Newton enuncio que la fuerza con que se atraen dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masa e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que les separa, se expresa:

=

2

Tambin la Ley de Coulomb nos dice que la fuerza de atraccin o de repulsin de dos cargas es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de a distancia que las separa, se expresa matemticamente como:

=

2