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MATEMATICA I

Alumnos: REY, MARIO ADRIAN / FARIAS, HORACIO

Grupo 1

Comisión IS-MA1-COR-aolmos-DIST-A

Enunciado 3

Una empresa tiene dos sucursales: A y B; en cada una de ellas se venden sólo tres productos que

llamaremos P, Q, R.

En A, por cada unidad vendida de P se obtiene una ganancia de $2, por cada unidad vendida de Q se

obtiene una ganancia de $3 y por cada unidad vendida de R se obtiene una ganancia de $4. En cambio, en

la sucursal B y por diversas razones los márgenes de ganancia son menores: $1, $2 y $3 es la ganancia

que se obtiene por la venta de cada unidad de P, Q, R respectivamente. Diariamente, la sucursal A

pretende ganar $500 y B $400.

El empresario le propone a usted analizar la situación para determinar cuántas unidades diarias de cada

producto deberán vender para satisfacer dichas pretensiones. SE venden la misma cantidad por producto

en ambas sucursales

a) Plantee el SEL que modeliza la situación. Previamente explicite datos conocidos y datos

desconocidos, explicite las vinculaciones entre datos conocidos y desconocidos que dan origen a

cada EL.

b) Resuelva el SEL por método de Gauss-Jordan usando los paquetes informáticos OnlineMSchool

http://es.onlinemschool.com/math/assistance/, Wolfram Alpha

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve{x%2B2y%2Bz%3D0%2C+x-y%2Bz%3D1, wiris

https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=v2pmA6HmYRA y también

http://www.wiris.net/demo/wiris/es/. Analice los resultados obtenidos.

c) Construya la expresión paramétrica del conjunto solución y analice las restricciones de los

parámetros en el contexto del problema.

d) Analice si es posible determinar gráficamente la solución. Explique sus conclusiones, grafique si es

posible.

e) ¿Pueden construirse otras expresiones paramétricas del conjunto solución que difieran en el

parámetro elegido? Fundamente.

f) Identifique una solución particular. Verifique.

g) Suba el trabajo a la plataforma Scribd o similar, tome el código de inserción y embébalo en el foro

de la actividad. Así compartirá con sus pares la respuesta. Cuide de comunicar asegurando que el

mensaje llegue de forma clara, correcta y completa.

http://es.onlinemschool.com/math/assistance/

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%7bx%2B2y%2Bz%3D0%2C+x-y%2Bz%3D1%7d

https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=v2pmA6HmYRA

MATEMATICA I


Grupo 1


Soluciones:

a) Plantee el SEL que modeliza la situación. Previamente explicite datos conocidos y datos

desconocidos, explicite las vinculaciones entre datos conocidos y desconocidos que dan origen a

cada EL.

Utilizando el método de Polya, se realiza la resolución del ejercicio utilizando las diferentes fases.

Fase 1: Identificación.

Declaración de Variables:

La empresa que cuenta con dos sucursales (A Y B ) realiza la producción de 3 tipos de productos

(P,Q,R), los cuales se definen de la siguiente manera:

Producto P, se identifica con el primer coeficiente X1.

Producto Q, se identifica con el segundo coeficiente X2.

Producto R, se identifica con el tercer coeficiente X3.

Las ganancias de la empresa en $ representan el término independiente de la ecuación.

Descripción particular para Sucursal A:

A (2)P + (3)(Q)+(4)R = 500$

Ecuación lineal correspondiente:

Siendo P = X1, Q=X2,R= X3

EL A →

Descripción particular para Sucursal B:

B (1)P + (2)(Q)+(3)R = 400$

Ecuación lineal correspondiente:

$

Siendo P = X1, Q=X2, R= X3

El dato desconocido en cada ecuación es la cantidad de producto necesario (X1, X2, X3) a vender en cada

sucursal a fin de lograr la ganancia deseada.

MATEMATICA I


Grupo 1


Ejemplo gráfico de relación de variables:

Venta diaria

producto P

Venta diaria

producto Q

Venta diaria

producto R

Ganancia diaria

total

Sucursal A $2 $3 $4 $500

Sucursal B $1 $2 $3 $400

Fase 2: Establecimiento del plan.

Debido a que todas las variables se encuentran relacionadas (“SE venden la misma cantidad por producto

en ambas sucursales”) es necesario realizar un sistema de ecuaciones lineales para resolver el problema.

Cada ecuación lineal se compone por la producción y ganancia correspondiente a cada sucursal.

EL A →

$

Sistema de ecuaciones lineal propuesto: {

MATEMATICA I


Grupo 1


b) Resuelva el SEL por método de Gauss-Jordan usando los paquetes informáticos

OnlineMSchool http://es.onlinemschool.com/math/assistance/, Wolfram Alpha

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve{x%2B2y%2Bz%3D0%2C+x-y%2Bz%3D1,

wiris https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=v2pmA6HmYRA y

también http://www.wiris.net/demo/wiris/es/. Analice los resultados obtenidos.

Solución: propuesta por

http://es.onlinemschool.com/math/assistance/equation/gaus/

Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos

por el método de eliminación de Gauss-Jordan

2 3 4 500

1 2 3 400

0 0 0 0

Dividamos 1-ésimo por 2

1 1.5 2 250

1 2 3 400

0 0 0 0

de 2 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 1

1 1.5 2 250

0 0.5 1 150

0 0 0 0

Dividamos 2-ésimo por 0.5

1 1.5 2 250

0 1 2 300

0 0 0 0

de 1 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 1.5

1 0 -1 -200

0 1 2 300

0 0 0 0

Resultado:

x1 + (-1)x3 = -200

x2 + 2x3 = 300

http://es.onlinemschool.com/math/assistance/

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%7bx%2B2y%2Bz%3D0%2C+x-y%2Bz%3D1%7d

https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=v2pmA6HmYRA

MATEMATICA I


Grupo 1


Solución propuesta utilizando WolframAlpha.net:

Solución propuesta utilizando Wiris.net:

c) Construya la expresión paramétrica del conjunto solución y analice las restricciones de los

parámetros en el contexto del problema.

Podemos continuar el análisis, haciendo:

x1 + (-1)x3 = -200

x2 + 2x3 = 300

Se determina utilizar X3 parametrizada debido a que es la única variable común a ambas soluciones.

MATEMATICA I


Grupo 1


x1 = -200 +x3

x2 = 300 -2x3

x3=parámetro

Analizamos los valores en función de las restricciones siguientes:

a) Los valores de x1 deben ser positivos, mayores que 0.

b) Los valores de x2 deben ser positivos, mayores que 0.

c) Los valores de x3 deben ser positivos, mayores que 0.

Nota: Los valores de X1, X2, X3, deben ser positivos debido a que no es posible sumar cantidades

negativas de producto.

Análisis de parametrización:

x1 >0 => -200 + x3>0 => x3>200

x2 >0 => 300 -2x3>0 => 2x3<300 => x3<150

x3=parámetro

Donde vemos que x3 debe ser mayor a 200 y menor a 150 simultáneamente.

Resolución:

Tomando en cuenta las restricciones del ejercicio, se determina que el sistema indicado no presenta

solución ya que X3 debería tomar valores mayores a 200 (X3>200) y valores menores a 150 (X3<150). El

sistema indicado es un sistema incompatible.

Conjunto solución:

MATEMATICA I


Grupo 1


d) Analice si es posible determinar gráficamente la solución. Explique sus conclusiones, grafique

si es posible.

No hay conjunto solución para el sistema por lo que la representación gráfica son dos planos paralelos

(que no se interceptan).

{𝟐𝒙𝟏 𝟑𝒙𝟐 𝟒𝒙𝟑 𝟓𝟎𝟎𝟏𝒙𝟏 𝟐𝒙𝟐 𝟑𝒙𝟑 𝟒𝟎𝟎

MATEMATICA I


Grupo 1


e) ¿Pueden construirse otras expresiones paramétricas del conjunto solución que difieran en el

parámetro elegido? Fundamente.

Usando x1: Podemos hacer (cambiando el orden de las variables en la ecuación):



3 4 2 500

2 3 1 400

0 0 0 0


1 4/3 2/3 500/3

2 3 1 400

0 0 0 0


1 4/3 2/3 500/3

0 1/3 -1/3 200/3

0 0 0 0

Dividamos 2-ésimo por 1/3

1 4/3 2/3 500/3

0 1 -1 200

0 0 0 0

de 1 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 4/3

1 0 2 -100

0 1 -1 200

0 0 0 0

Resultado:

x2 + 2x1 = -100

x3 + (-1)x1 = 200

x1=parámetro

x2 = -100-2x1

x3=200+x1

MATEMATICA I


Grupo 1


Usando x2

Podemos hacer (cambiando el orden de las variables en la ecuación):



2 4 3 500

1 3 2 400

0 0 0 0


1 2 1.5 250

1 3 2 400

0 0 0 0


1 2 1.5 250

0 1 0.5 150

0 0 0 0


1 0 0.5 -50

0 1 0.5 150

0 0 0 0

Resultado:

x1 + (0.5)x2 = -50

x3 +(0.5)x2 = 150

x1=-50-0.5x2

x2=parámetro

x3=150-0.5x2

MATEMATICA I


Grupo 1


f) Identifique una solución particular. Verifique.

No hay soluciones particulares que presenten solución al sistema.

g) Propuesta de trabajo: cambien el término independiente 400 por "a". Apliquen Gauss-

Jordan al nuevo SEL. Les dará una solución en términos de "a". sabiendo que las incógnitas

de nuestro SEL deben ser positivas analicen en qué rango de valores posibles debe moverse (

o puede tomar "a"). A mi me dá 250<a<1000/3. Si resuelva ahora el sistema reemplazando

"a" por 300 (que sería el segundo término independiente) obtengo que x=100, y=100

Parte A:

Sistema de ecuaciones lineales original: {

Sistema de ecuaciones lineales propuesto: {

Resolución por método Gauss Jordan:

2 3 4 500 1 2 3 a

1 2 3 a 2 3 4 500

1 2 3 a (-2)

2 3 4 500 +

1 2 3 a 0 -1 -2 -2a+500

1 2 3 a 0 1 2 2a-500 (-1)

1 0 -1 -3a+1000 +

0 1 2 2a-500 (-2)

MATEMATICA I


Grupo 1


Parte B: Restricciones:

Las restricciones para el presente ejercicio indican que deben poseer valores positivos

(>0).

Para :

Para :

Para :

Se cumple en la resolución con la solución brindada 250<a<1000/3

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Grupo 1


Parte C:

Solución: propuesta por

http://es.onlinemschool.com/math/assistance/equation/gaus/



2 3 4 500

1 2 3 300

0 0 0 0


1 1.5 2 250

1 2 3 300

0 0 0 0


1 1.5 2 250

0 0.5 1 50

0 0 0 0

Dividamos 2-ésimo por 0.5

1 1.5 2 250

0 1 2 100

0 0 0 0

de 1 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 1.5

1 0 -1 100

0 1 2 100

0 0 0 0

Resultado:

x1 + (-1)x3 = 100

x2 + 2x3 = 100

Reemplazando solución propuesta con restricciones:

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Grupo 1


MATEMATICA I


Grupo 1


h) Suba el trabajo a la plataforma Scribd o similar, tome el código de inserción y embébalo en

el foro de la actividad. Así compartirá con sus pares la respuesta. Cuide de comunicar

asegurando que el mensaje llegue de forma clara, correcta y completa.

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