act. 2. razon de cambio y tangente de una curva

Cálculo diferencial Unidad 1. Números reales y funciones

Actividad 2. Razón de cambio y tangente de una curva.

Resuelve los siguientes problema<sobre razón de cambio y tangente de una curva.

1. Un recipiente en forma de cono invertido de de altura y de radio está lleno con un líquido, este sufre una avería y el líquido comienza a fluir con una

velocidad de . ¿Con qué velocidad baja el líquido cuando ha descendido

de altura?Sea r el radio y h la altura de la superficie del agua en el instante t y V el volumen de agua que contiene el cono

V = (1/3)Pi·h·r^2Cada segundo pierde 0.8m^3, el volumen en el momento t esV(t) = 40Pi/3 - 0.8t

Calculamos la derivada V'(t) = - 0.8r/h = 2/10r = 2h/10 = h/5El volumen en función de la altura quedaV(h) = (1/3)Pi·h·(h/5)^2 = Pi·h^3 / 75

V'(h) = Pi ·3h^2 / 75 = Pi·h^2 / 25

V'(t) = V'(h) · h'(t)

En el momento en que ha bajado 4 m el nivel tenemos h=6h'(t) = -20/(pi·6^2) = -20/(36pi) = -5/(9Pi) = - 0.17 m/s decreciendo

2. Se infla un globo en forma esférica de modo que su volumen se incrementa con

una velocidad de . ¿A qué razón aumenta el diámetro cuando éste es de

?Si el volumen es una función del diámetro y el diámetro una función del tiempo…V(t) = 3tCon t en minutos y V en m^3Derivamos dV/dt = 3

Y el volumen como función del diámetro aplicando la fórmula del volumen de la esferaV(d) = (4/3)Pi (d/2)^3

Derivamos pues con respecto a t teniendo en cuenta que d es una función del tiempo


dVdt

=dVdd ( dddt )=43 π ∙3( d2 )

2

∙12∙ddtt

=π d2

2∙dddt

luegodddt

=dVdt∙2

π d2entonces como

dVdt

=3

dddt

= 6

π d2

Y la derivada cuando d=10 será dddt

= 6

π 102= 350 π

3. Un niño juega con un papalote a que está a una altura de corriendo

horizontalmente con una velocidad de . Si hilo que sujeta el papalote esta

tenso, ¿a qué razón se afloja cuando la longitud del hilo suelto es de ?Llamemos x(t) a la distancia que ha recorrido el niño en el suelo.x(t) = 0.75tdx/dt = 0.75

Llamemos x a la función del hilo que se ha soltado h(t) y aplicando teorema de Pitágorasx^2 + 25^2 = h^2x = sqrt(h^2 - 625)

calculamos ahora de derivada de x respecto de t por la regla de la cadena siendo x función de h y h función de t

dxdt

=dxdh∙dhdt

0.75= h

√h2−625∙dhdt

dhdt

=0.75√h2−625h

el hiloa60mdhdt

=0.75√602−625

60=0.682m /s

4. Un helicóptero vuela hacia el norte con una velocidad de a una altura de

, en ese instante, el rayo de luz de un faro ubicado en la tierra señala la parte inferior del helicóptero. Si la luz de mantiene señalando al helicóptero, ¿con qué


velocidad gira el rayo de luz cuando el avión se encuentra a una distancia

horizontal de al sur del faro?

Este problema está mal escrito. Comienza siendo un helicóptero, luego un avión, vuela hacia el norte y pregunta la distancia cuando está al sur.Suponiendo que se quiere saber la velocidad del rayo con el helicóptero a 1500m al norte.

Ho es el helicóptero al principio y H(t) en el instante t y F es el foco. El ángulo será el dado por estos tres puntos Ho-F-H(t).

El ángulo alfa se puede calcular como aquel cuya tangente es H(t) / 70 = 50t/70 = 5t/7alfa(t) = arctg(5t/7)

Calcularemos de forma indirecta la derivada haciendo derivación en cadena de H comoFunción de alfa.

H(t) = 50tdH/dt = 50H(alfa) / 70 = tg(alfa)H(alfa) = 70·tg(alfa)

50=dHdt

=dHdα∙dαdt

=70∙(1+ t g2α )∙ dαdt

dαdt

= 50

70(1+t g2α )= 5

7(1+ t g2α)

Estando el helicóptero a 1,500m la tengente es 1500/70=150/7

dαdt

= 5

7(1+t g2α )= 3522549

rad /s

5. Dada la función , hallar la ecuación de la recta tangente a dicha

función que es paralela a la recta normal que pasa por el punto .

f ( x )=x2−2xPendiente de la recta normal p= -1/f(xo)f '(xo) = -1/4 2xo-2 = -1/4 2xo = -1/4 +22xo = 7/4 xo = 7/8yo = (7/8)^2 - 2(7/8) = 49/64 - 14/8 = (49-112)/64 = -63/64

El punto es (7/8 , -63/64)


Y la recta tangente en él es: y = -63/64 - (1/4)(x-7/8) y = -63/64 - x/4 + 7/32y = -x/4 - 49/64

6. Hallar la

7. ecuación de la recta tangente a la función en el punto .Hallemos la derivada implícita para conocer la pendiente de la recta tangente en cada punto (x,y)xy^2 - 4x^3y + x/y + 2 = 0

Obtendremos 3 términos, utilizamos regla del producto para derivar con regla de la cadenay^2 + x 2y y ' - 12x^2 y - 4x^3 y ' + 1/ y - x y^(- 2) y ' = 0 y ' (2xy - 4x^3 - xy^(- 2)) = - y^2 + 12 x^2 - 1/y y ' = ( - y^2 + 12 x^2 - 1/y ) / (2xy - 4x^3 - xy^(- 2))

Y’ para el punto de tangencia (1,1)y ' = - 10 / 3 = m pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de tangencia y = m x + b y = -10/3 x + b1 = -10/3 + b ⇒ b = 1 + 10/3 = 13/3

Por lo tanto la ecuación de la recta tangente es: y = - 10/3 x + 13/3

8. Hallar la ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función en

el punto donde la recta tangente a dicha función en intersecta a la gráfica de misma función.

La recta tangente a f(x) en (xo, yo) tiene ecuación

y = yo + f '(xo)(x-xo)

la tangente en x=1f(1) = 1-2 = -1f '(x) = 3x^2 - 2f '(1) = 3-1=1

Luego la recta tangente en x=1 esy = -1 + 1(x-1) = x-2


Con x=-2-8 + 6 + 2 = 0 si cumple

El punto de intersección tiene coordanada x=-2y= (-2)^3 -2(-2) = -8+4 = -4Luego el otro punto de intersección es (-2, -4)La derivada es f'(-2) = 12-2 = 10Entonces la recta tange en (.2,4) será y = -4 + 10(x+2) y = 10x + 16

La ecuación de la recta normal entonces y = yo - [1/f(xo)](x-xo)y = -4 - (1/10)(x+2)y = -x/10 - 42/10y= -x/10 - 21/5

9. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la función que sean

que formen un ángulo de con respecto a la horizontal.Derivamos f'(x) = ((1)(x + 1) - (x - 1)(1))/(x + 1)² f'(x) = 2/(x + 1)²

tan (π/4) = 1

1 = 2/(x + 1)² (x + 1)² = 2 x + 1 = ±√2

x = -1 + √2

f(x) = ( -1 + √2 - 1)/( -1 + √2 + 1) = (-2 + √2)/√2 = 1 - √2

la recta tangente y - (1 - √2) = x - (-1 + √2) y = x - 2√2 + 2

x = -1 - √2

f(x) = ( -1 - √2 - 1)/( -1 - √2 + 1) = (-2 - √2)/(-√2) = 1 + √2

la recta tangente y - (1 + √2) = x - (-1 - √2)


y = x + 2√2 + 2

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