Autora: Srta. Rosa Montaño

Variables Aleatorias Discretas

Función de Probabilidad o Cuantía

Definición: Dada una variable aleatoria discreta que toma los valores se denomina función de probabilidad o función de masa a la

función:

X1 2( , , ......, , ......)nx x x

0 1: ,P R( ) ( ) ({ : ( ) })P x P X x P X x

Que verifica que: 1. 0 Rec( ) (P X x x X )2. 1

Re ( )( )

c xP X x

En el ejemplo correspondiente al lanzamiento de la moneda: 10 04

( ) ( ) ({ , })P P X P s s

11 12

( ) ( ) ({ , }) ({ , })P P X P c s P s c

12 24

( ) ( ) ({ , })P P X P c c

0 0 1 2( ) , ,P X x x

Función de Distribución

Definición: Dada una variable aleatoria discreta que toma los valores tal que se define la función de distribución

asociada a como:1 2( , , ...., , ....)nx x x 1 2 .... ....nx x x

X0 1: ,F R

( ) ( ) ( )i

X ix x

F x P X x P x

Ejemplo: Para la función de distribución de la variable aleatoria : Número de caras, cuyo Rec(X)={0,1,2} la función de distribución es:

X

0 si 01 4 si 0 13 4 si 0 2

1 si 2

/( )

/X

xx

F xxx

Propiedades:

Si ( )XF x es la función de distribución de una variable aleatoria discreta , esta debe satisfacer

X

(1) ( )XF x es escalonada y los puntos de salto son los ix(2) 0lim ( )Xx

F x ; 0lim ( )XxF x

(3) ( )XF x es no decreciente, es decir, si ( ) ( )X Yx y F x F y(4) ( )XF x es contínua por la derecha

Ejemplo: Dado un experimento que consiste lanzar un dado cargado 100 veces se obtiene la siguiente función de Probabilidad:

0 1 si 1 30 4 si 2 0 2 si 4 0 05 si 5 0 15 si 6 0 en otro caso

. ,..

( )..

X

xxx

P xxx

Determine la función de distribución. Solución:De acuerdo a la definición debemos ir acumulando las probabilidades tal que:

0 si 1 0 1 si 1 20 5 si 2 30 6 si 3 40 8 si 4 50 85 si 5 61 si 6

.

.( ) .

.

.

X

xxx

F x xxxx

Representaciones gráficas: Función de Cuantía Función de Distribución

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

1 2 3 4 5 6

Valores de la variable

Probabilidad

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Valor de la variable

Esperanza Matemática

Definición: Si es una variable aleatoria discreta que toma los valoresse define la esperanza de como:

X1 2( , , ...., , ....)nx x x X

Re ( )( ) ( )i i

c xE X x P X x

Es decir como la suma de cada uno de los valores que puede tomar la variable multiplicado por su probabilidad.

Propiedades : (a) Si es una variable aleatoria y una función de dicha variable, se

define la esperanza de como:

X (h X )( )h X

Re ( )( ) ( ) ( )i i

c xE h X h x P X x

(b) ( ) ( )E aX b aE X b(c) ( ) ( ) ( ) ( )E h X g X E h x E g x

(d) E aX bY aE X bE Y(e) E a a a R

Ejemplo: Sea una variable discreta cuya función de probabilidad esta dada porX

0 2 si 10 3 si 20 5 si 30 en otro caso

..

( ).X

xx

P xx

Determine la esperanza o el valor esperado de .XSolución:Paso 1: Aplicando la definición se tiene:

1 0 2 2 0 3 3 0 5 2 3Re ( )

( ) ( ) , , , ,i ic x

E X x P X x

Varianza

Definición: Se define la Varianza de una variable aleatoria discreta como: X

2 2

Re ( )

( ) ( ) ( ) ( )i ic x

V X E X x P X x

Desarrollando, se tiene que 2( ) ( )V X E X 2 .Tambien se denota 2( ) XV X .

A la Raiz cuadrada positiva de la varianza de X se le denomina desviación estándar y se denota por X

Propiedades : (a) V X( ) ( )b V X

)X b a V X(b) V a 2( ) ((c) 0 , Cte.V a a R

)Definición: Se definen los momentos centrales de orden r como y se

denotan por

( rXE X

r .

Como casos particulares se tiene: 0 1 1 0 2 ( )V X

Definición: Se definen los momentos respecto del origen de r como y se

denotan por .

( )rE X

Xrm

Como casos particulares se tiene: 1 ( )m E

Definición: Se definen la moda de una variable como si X 0 kM xm x( ) (k i )P X x a P X x

Definición: Se definen la mediana a de una variable r como si X e kM x

112

( )kF x y 12

( )kF x