Bolciin de MatemáticasNueva Serie, Volumen III (1996) pp.83-96

ACERCA DE UNA ENUMERACIÓNPEIRCEANA DE LOS RACIONALES

FERNANDO SOTO, EDGAR OSEJO, RAFAEL CABALLERO(*)

Resumen. Se construye efectivamente una función hiyectiva entre el conjuntode los números naturales y el conjunto de los números racionales, fundamentadaen una propuesta elaborada por Charles Sanders Peirce en 1909, donde se reco-rren progresiones aritméticas, números de Farey y Fibonacci, aritmética modulary comportamiento fractal. El artículo presenta los algoritmos de construcción dela función de los números naturales en los racionales y de su inversa, que ademásse han implementado en lenguaje C y MapleV y cuyos archivos se encuentrandisponibles .

.4b8tract. We study a constructíve bíjectí~'e enumeratíon of the rationals, pro-posed by Peírce ín 1909. Connectíons wíth arithmetícal sequences, fractal be-havíour and algoríthmíc ímplementatíons are proposed.Keyword8. Rationals, constructíve enumeratíon, Peírce, algoritllflls.

1. Presentación

La demostración de numerabilidad de los números racionales que se explicaen las aulas sigue el esquema elaborado por Cantor. A pesar de enmarcarse enla racionalidad, en una primera vista está sujeta a dudas en su credibilidad yaque cada racional queda contado No veces; el 1 por ejemplo aparece en todaslas entradas de la diagonal de N x N. Aunque sabemos que es posible contarcada racional una sola vez, la intuición del algoritmo se pierde en el esquemade numerabilidad tradicional.

(*)Texto recibido 26/5/97, revisado 3/9/97. Fernando Soto, Edgar Osejo, Departamentode Matemáticas y Estadística, Universidad de Nariño. Rafael Caballero, Departamento deMatemática Aplicada, Universidad Politécnica de Madrid.

Typeset by A,MS-1EX

83

84 SOTO, OSEJO, CABALLERO

2. Propuesta de Peirce

Empezando con las fracciones ~ y !' se suman los numeradores y denomi-nadores separadamente para obtener la fracción t que se coloca entre ellos:

o 1 1T T o .

Se repite esta operación con cada par de fracciones adyacentes, situando lanueva fracción entre ellas. En el segundo paso se obtiene:

11. 1 1 lo 11 2 1 1 o .

Estas cinco fracciones crecen a nueve por idéntico procedimiento:

011 213 131T 3 23'1 2 1 ro·

La presentación de los sucesivos pasos es la siguiente:

Pasos

0.- o 1r oL- o 1 1r r o2.- o 1 1 2 1r 2 r r o3.- o 1 !. 2 1 3 2 3 1r 3' 2 '3 r 2 r r o4.- o 1 1 1 1 3 1 2. 1 4 3 5 2 5 3 i 1

T 4 3' 5 2 5 3 4 1 3' 2 3' r 2 r 1 o

Tabla 1

En cada paso, los dígitos por encima de los vínculos repiten los dígitos situa-dos encima en el paso anterior: 01,011,01121, ... y los dígitos por debajo de losvínculos son los mismos situados encima en el orden inverso; en consecuenciados fracciones cualesquiera equidistantes de t son inversas. El problema puedereducirse a contar los racionales ubicados entre O y l.

Se observa en la tabla que dos fracciones vecinas r, J son tales que ad=bc =-1, lo que indica una estrecha relación de esta construcción con los númerosde Farey. Este hecho es el que permite calcular el único vecino a izquierda o aderecha del racional r en el renglón en el que hace su aparición.

Los numeradores de las fracciones que hacen su aparición en la parte derechade la Tabla 1, leídos de izquierda a derecha en su orden de aparición, diseñanla siguiente ala:

ACERCA DE UNA ENUMERACIÓN PEIRCEANA ...

Pasos

1.- 12.- 1 2:3.- 1 2 3 34.- 2 3 3 4 5 5 45.- 1 2 :3 :3 4 5 5 4 5 7 8 7 7 8 7 5

Tabla 2

Los denominadores de las fracciones son los mismos numeradores leídos dederecha a izquierda. De esta manera, dos números a y b equidistantes de losextremos de un renglón n de esta ala. leídos fraccionariamente como ro!,determinan un racional que hace su aparición en el paso n de la Tabla 1.

Sobre esta ala se evidencia que la sucesión conformada por el máximo nu-merador que aparece en cada renglón es la sucesión de Fibonacci. Este hechoocurre porque en cada paso de la construcción siempre quedan dos números deFibonacci consecutivos.

Orden. Para dos fracciones positivas r y ;i tales que r < ;i se tiene que:

a a +e eb < b+d < d'

lo que demuestra que al ir llenando los escaños intermedios, los racionales hacensu aparición ordenados de menor a mayor. Así, cada racional hace su apariciónuna única vez logrando en los pasos subsiguientes un carácter de permanencia.

Irreductibilidad. Dos enteros n y m son primos entre sí si y sólo si existennúmeros enteros O:' y (3 para los males no + m(3 = 1. Si t y ¡son fraccionestales que ad-be = -1 entonces (a+c)d-(b+d)e = -1 y a(b+d)-b(a+e) = -1,hechos que se comprueban con un simple cálculo. Las fracciones del paso Oquegeneran la tabla, verifican que ad - be = -1; la propiedad anterior garantizala validez de esta relación para toda la tabla, y así se comprueba que todoslos racionales que aparecen en esta construcción son irreducibles. En resumen,cada racional aparece como máximo una sola vez y en su forma fraccionaria mássimple, de modo que al ir cerrando las grietas podemos contar las fraccionestomándolas por su orden de aparición.

Ejes de simetría. En un paso m tres fracciones consecutivas t,m, ¡ge-neran racionales de la forma ::;t~::y :::tg que en los pasos subsiguientesequidistan respecto de m y son tales que, si se suman, en el sentido de lapropuesta, sus numeradores y denominadores, la fracción resultante es precisa-mente m. Entonces, cada racional que hace su aparición puede tomarse comoeje de simetría en la ramificación de la tabla. Los elementos p conforman lasiguiente ala:

86 SOTO, OSEJO, CABALLER()

Valores p

m.- 1m+ 1.- 1 2m+2.- 1 2 3 3m+3.- 1 2 3 3 4 5 5 4m+4.- 1 2 3 3 4 5 5 4 1) 7 8 7 7 8 7 5

Tabla ;~

Los elementos q son los mismos leídos en sentido inverso. Para cada racionalque aparece engendrado a partir de la terna, se encuentra que los elementos py q, equidistan de los extremos en un renglón de est.a ala. Por ejemplo, la terna~ ~ t aparece en el paso m = 5; si se toma p = :~y q = 7, que equidistan enel renglón 5, se conforma el racional ;:~t~:~= W, que aparece cuatro renglonesmás abajo que ~, esto es, en el noveno paso de la tabla correspondiente a lapropuesta.

Queda así señalado que, al tomar una terna consecutiva de la tabla y con-tinuarla, los elementos p y q siempre conforman las mismas alas, lo que señalaun comportamiento fractal. La construcción de estas alas se conduce por lassiguientes observaciones:

cada renglón duplica en elementos al anterior;

la primera mitad de un nuevo renglón es el mismo anterior;

la primera mitad de la segunda mitad de un renglón se forma ron las sumasequidistantes, iniciando en los extremos, de los elementos del renglón anterior:

la segunda mitad es la misma anterior leída de derecha a izquierda.

Además, las Tablas 2 y 3 son una sola y se evidencia que se puede establecerun isomorfismo entre ellas y la Tabla 1 correspondiente a la propuesta, contandoúnicamente las fracciones que van haciendo su aparición,

Una hipótesi.s. En el paso n-ésimo de la propuesta aparecen todas lasposibles fracciones propias e irreducibles de la forma ;;.. Puede comprobarseeste hecho empíricamente, lo que anima a buscar una demosí.ración de la misma.Demostrar esto equivale a demostrar que, en rada reuglóu n de la tabla, apareceel n como denominador 4>(11) veces. donde tj>(n) I'S el IIÚIlJerOdI' prunos relativosno mayores que n (función de Euler].

Al disponer la tabla de la propuesta ordenada en lilas y columnas romosigue (Tabla 4), se evidencia que cada columna encabezada por la fracciónr está conformada por fracciones con idéntico numerador (1 nuent.ras que losdenominadores pertenecen a la progresión aritmét.ira {b+ nu : 11 = O. 1.2. :J .... }.

ACERCA DE t'NA ENl'MERACrÓN PEIRCEANA ...

Esto indica que la razón de la progresión es el numerador a:

0.- o 1r iiL- o 1 1r 1 o2.- Q. 1 1 a 1

1 2 1 1 o3.- o 1 1 2 1 3 2 3 1r 3 2' 3 r 2' r r o4.- o 1 1 2 1 2 1. 3 1 4 3 5 1- 5r :¡ 3 5 2' 5 3 :¡ r 3 2' 3 1 2'5.- o 1 1 2 1 3 1. 3 1 4 3 5 2 !!.r 5 :¡ '7 3 8 5 '7 2 '7 5 8 3 7

Tabla 4

El comportamiento fractal descrito anteriormente muestra que los racionalesque hacen su aparición a partir de la dupla de vecinos t, J son de la forma~ = ~;¡~:;en particular, para la dupla~, t que genera toda la tabla seencuentra que ~ = ¡, con lo que se verifica que p y q son primos relativos ytambién que ¡aparece en la tabla.

A continuación se demuestran los teoremas fundamentales de biyectividadpara la función 9 : Q+ ....•N que asigna a cada racional positivo el númeronatural que le corresponde por orden de aparición en la tabla. Sea I :N - Q+la relación inversa de g.

Lema 1. Sean r y J dos fracciones que aparecen en la tabla. Entonces ad -be = -1 si y sólo si son consecutivos en un renglón de la tabla.

Demostración. (<=) Esta parte se demuestra por inducción sobre el renglón nen el que las fracciones aparecen consecutivas. a) En el renglón n = 0, base dela construcción, se encuentra que t = ~y J = t y para el caso ad - be = -l.b) Por hipótesis de inducción, se supone que e~ el renglón n para cada par defracciones consecutivas t ' J se cumple que ad - be = -1. Sean entonces t yJ dos fracciones consecutivas en el renglón n + 1, por ello una se ubica en unacolumna par y la otra en una columna impar (de la Tabla 4). La fracción queocupa una columna impar ya ha aparecido antes; particularmente, aparece en elrenglón n. i) Si t aparece en el renglón n, J se genera a partir de t y su fracciónvecina a derecha 7 en el renglón n. Por construcción de la tabla se evidenciaque e = a+ e y d = b+1; entonces ad - be = a( b+1) - b(a +c) = al - be = -·1por hipótesis de inducción. Así se concluye que ad - be = -1. ii) Si es lafracción J la que aparece en el renglón n, la fracción t se genera a partir de~ y su vecino a izquierda 7 y la demostración se continúa como en el pasoanterior.

88 SOTO,OSEJO,CABALLERO

(=» Se demuestra esta implicación probando que si t y J son dos fraccionesde la tabla que no son consecutivas en ningún renglón, entonces ad - be i -1.Sea n el primer renglón en el que aparecen las dos fracciones. Suponemos queestán ordenadas de menor a mayor puesto que si ocurre el orden contrario seencontraría que ad - be > O y el caso no interesa. Puede ocurrir uno solo detres casos. i) t está en el renglón n-l. Si esto ocurre í está generado por dosfracciones vecinas del renglón n - 1: t y f· Las fracciones t y t no puedencoincidir pues en tal caso t y í serían consecutivas en el renglón n. Entoncese = e+g, d = f +h Y por ello ad-be = a(f +h)-b(e+g) = (af -be)+(ah -bg)y como af -be :$ -1 Yah-bg :$ -1 se concluye que ad-be < -1. ii) J está enel renglón n-l. Este caso es análogo al anterior. iii) Ninguna de las fraccionesestá en el renglón n-l. En este caso t está generada por las fracciones t y

f y al tiempo í está generado por T y ~. Entonces a = e + g, b = f + h,e = i+ k Y d = j + m. Por tanto ad - be = (e + g)(j + m) - (f + h)(i + k) =(ej - fi)+(em- fk)+(gj -hi)+(gm-hk) y como «i - fi :$ -1, em- fk :$ -1,gj-hi :$ O(es posible que f = T) y gm-hk :$ -1, se concluye que ad-bc < -1.

Lema 2. Si t y ¡son dos fracciones consecutivas de la tabla y ¡otra fraccióncualquiera de la tabla, entonces la fracción :;t~:está en la tabla.

Demostración. Se aplica inducción completa sobre n = P + q. 1. Si n = 1 seencuentra que P = O Y q = 1 en cuyo caso ~:$~:= í o que P = 1 y q = O ypor ello :;t~:= t· Por hipótesis t y í están en la tabla. II. Se supone laveracidad del lema para n :$ k, esto es que :::~: está en la tabla siempre queP + q :$ k. Sea ~ una fracción de la tabla tal que P+ q = k + 1; entonces ~ estágenerada por dos fracciones 2J. y ~q y por ello P = PI + P2 Y q = qI + q2. Esqi 2

evidente que PI +q¡ < p+q = k+ 1 y P2+q2 < p+q = k+ 1, esto es, PI +q¡ :$ kY P2 + q2 :$ k lo que significa, por hipótesis de inducción, que las fracciones:;:t~:!y :;;t~:;aparecen en la tabla. Como además (ap2 + eq2)(bp¡ + dq¡)-(bp2 + dq2)(apl + eq¡) = (ad - be)p2q¡ + (be - ad)p¡q2 = P¡q2 - P2q¡ = -1, ellema 1 asegura que las fracciones abP2++dCQ2 y bap1++dcq¡ aparecen consecutivas en

P2 q2 Pi qiun renglón de la tabla, y como de ellas se genera la fracción :;t~:,ésta apareceen un renglón posterior al que lo hacen las dos precedentes.

Teorema 1. f es inyectiva.

Demostración. Los comentarios ya señalados acerca del orden e irreductibilidadprueban que cada racional que aparece en la tabla, en cada renglón, lo hace enorden y ya reducido, de modo que se ubica en una fila y columna única y porlo tanto no puede ser contado más de una vez.

Teorema 2. Un racional reducido t tal que a + b :$ n aparece en la tablaantes del renglón n + 1.

ACERCA DE UNA ENUMERACIÓN PEIRCEANA ... 89

Demosiracion, Se procede por inducción sobre la suma a + b de cada racional7; de la tabla. 1. Se evidencia en la tabla que todas las fracciones 7;, tales quea + b ~ 1, ya han hecho su aparición antes del renglón 2. n. Se supone quetodas las fracciones reducidas 7; tales que a + b ~ k han hecho su apariciónantes del renglón k + 1. Se prueba, ahora, que todo racional reducido 7; talque a + b ~ k + 1 aparece antes del renglón k + 2. Para ello, y sin perdergeneralidad, se supone que ~ < 7; < t. Existen p y q primos relativos talesque 7; = ptq, de donde se encuentra que p = a y q = b - a; de modo quep + q = b < a + b ~ k + 1. Esto significa que p + q ~ k Y de acuerdo con lahipótesis de inducción, el racional ;- ya ha hecho su aparición antes del renglónk + 1. Siguiendo la prueba del Lema 2, el racional ptq = t ya ha aparecidoantes del renglón k + 2, lo que demuestra que la hipótesis es válida para todonatural n.

Teorema 3. La (unción f es sobreyeciive.

Demostración. Se procede por inducción sobre n = a + b para probar que todoracional r aparece en la tabla. 1. Para n = 2 se tiene que r = t, el cualaparece en la tabla. n. Se admite por hipótesis de inducción que cualquierfracción irreducible r, tal que a + b ~ k, aparece en la tabla. Sea runafracción irreducible tal que a + b = k + 1; hay que distinguir dos casos: i) Si!!. 1, dfi - -b d e !!.-!L2.±li.' d Q. ldb < 1,:se e nen q - a y p - - a, e torma que b - l.p+l.q sien o 1 y 1 osfracciones ya conocidas de la tabla. La fracción ~ es irreducible puesto que py q tienen los mismos divisores comunes que a y b y éstos a su vez sólo tienencomo divisor común al 1. Además, p + q < p + 2q = a + b y por hipótesis deinducción ~ está en la tabla. Puesto que ~ y t son fracciones consecutivas en la

tabla, el lema 2 asegura que t = ~·:ti::también está en la tabla. ii) Si t < tla demostración es análoga al paso i) buscando p y q tales que r = Ut~::.

3. La enumeración

Es fácil ahora asignar en su orden a cada racional positivo r un único númeronatural por su orden de aparición en la tabla, así:

I 1 1. 1 1. 3 ª- 1 2 ª- ª- i 5 2- i 1r 2 1 3 3 2' 1 4' 5 5 4 3 3' 2 1 5

L L ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Se deduce que el racional r que aparece (por primera vez) en el renglón n yen la columna m ( Tabla 4) se rotula con el natural: s = 2n-1 -1+T puesto que

90 SOTO, OSEJO, CABALLERO

hasta un renglón n -1 han hecho su aparición exactamente 2n-1 - 1racionales.La función 9 que asigna a cada racional positivo un natural, depende de losparámetros n y m, donde n es la fila y m la columna donde aparece por vezprimera el racional.

A continuación se elaboran los algoritmos que permiten realizar de modoefectivo el conteo de cada racional que aparece en la tabla. Un algoritmo debecalcular el renglón y otro la columna en que aparece por primera vez el racional¡para enseguida asignarle el natural que le corresponde.

4. Algoritmo para ubicar el renglón

4.1 Observaciones. Se evidencia en la tabla que cada columna está en-cabezada únicamente por las fracciones impropias. En efecto, cada renglónduplica en entradas al anterior renglón. En un renglón n aparecen 2n-1 nuevosracionales. Los 2n-1 primeros, es decir, la primera mitad, se ubica antes quela fracción t, encabezada por la fracción li que se ubica en la columna 2n + l.Como en el renglón n, hay exactamente 2n + 1 columnas, esta primera mitadde las fracciones menores que t no encabezan ninguna columna. Por el con-trario, y por idénticas razones, cada uno de los racionales de la segunda mitad,que hace su aparición en el renglón n, y que son mayores que t, encabezancolumna. De hecho f, a partir del segundo renglón, se ubica en el centro decada uno de los renglones sirviendo de eje de simetría.

De ahora en adelante se llama generador a cada fracción r que encabece unacolumna de la tabla.

Cada columna está conformada por racionales con idéntico numerador ay denominador perteneciente a la progresión aritmética b + na siendo n unnatural. Por esta razón es muy fácil calcular generadores. En efecto; dadoel racional reducido ¡, su generador es b_ana' donde n = [[~JJ; los corchetescorresponden a la función parte entera. De hecho, la fracción ¡aparece nrenglones más abajo que su generador b_<lna; en consecuencia, para saber enqué renglón aparece cada número racional, basta saber en cuál aparece sugenerador r. Se considera que el primer generador que aparece es t.

Conocido el renglón en el que aparece una fracción J su vecino a izquierda¡,que se nota ~ í, se conoce al resolver la congruencia dx == -1 (Mód e ) queposee única solución, en el sentido de la congruencia, ya que d y e son primosentre sí. Para el caso y = !k±l..

eSi se conocen dos vecinos a derecha de~: ;- í ¡, la solución al problema de

calcular vecino a izquierda de J es una función que depende de un parámetroentero t: ~ = ,( t) = ~tb'puesto que las fracciones ~ y ¡se obligan a produciruna ampliación de la fracción ¡al sumar sus numeradores y denominadores;

ACERCA DE UNA ENtTMEHACIÓN PEIRCEANA ... 91

de hecho, el primer vecino a izquierda de J es ~=~.4.2 Descripción del algoritmo. Los parágrafos anteriores sustentan el diseño

del siguiente algoritmo: dado el fraccionario t ya reducido, para ubicar elrenglón donde aparece se procede así:

se halla el generador ~ de t colocando a.l = a y bl = b-na donde n = [[~]];para el generador ~, si ~ < t se pone p = al Y q = b1 - al Y si ~ > t se

trabaja con !J.. pues los dos al ser inversos multiplicativos aparecen en el mismoalrenglón;

se ubica el renglón k de la tabla donde aparecen las fracciones ~ y ~;el racional r aparece en el renglón n + k + 1 de la tabla;el proceso se puede reiterar tomando como partida al racional ~ o ~.

4·3 Ejemplo. Para ubicar el renglón en el que aparece el racional 1~ seencuentra que n = ([1:]]= 4; luego su generador es i. De aquí se encuentraque ~ = k que aparece en el renglón k == 3; por ello 1~ aparece en el renglón4 + 3 + 1 = 8.

5. Algoritmo para ubicar la columna

5.1 Obseruaciones. Se demostró anteriormente que dos fracciones vecinas ty J en cualquier paso de la tabla son tales que a . d + 1 = b . c. Conocido elrenglón en el que aparece una fracción J su vecino a izquierda ~, que se nota~ J, se conoce al resolver la congruencia dx == -1 (Mód e ) que posee únicasolución, en el sentido de la congruencia, ya que d y e son primos entre sí. Parael caso y = !k±.!.e .

El vecino a izquierda ~ de J aparece en un paso anterior al que lo hace J.Si ; aparece por primera vez en la columna m, en el siguiente renglón lograsu carácter de permanencia ubicándose en la columna impar 2m - 1, ya que sedeben llenar m - 1 grietas intermedias, y p renglones más abajo se ubica en lacolumna 2P (m - 1) + 1. En cada renglón los elementos que hacen su apariciónocupan lugares pares mientras los que ya han logrado carácter de permanencialo hacen en columnas impares.

5.2 Descripción del algoritmo. Para ubicar la columna de la tabla en la quese ubica el generador T = t, que hace su aparición en el renglón n, se procedede acuerdo al algoritmo que sigue:

calcular .9J..blvecino a izquierda de !!.b: .9J..

ba-

1 b'ubicar el renglón nI donde aparece ~;reiterar el proceso de hallar vecino a izquierda hasta encontrar un vecino

92 SOTO,OSEJO,CABALLERO

r- de un renglón np en una columna conocida mp. Con ello se construye una"cola de vecinos a izquierda como sigue, sabiendo que siempre es posible llegar

a la segunda columna en la cual, en el renglón n se ubica el racional ~. Sise conocen dos vecinos a derecha de ~: ~ J t, la solución al problema decalcular vecino a izquierda de J es una función que depende de un parámetrot· a:. - 'I/(t) - ~• y - I - dt-b·Es útil disponer la cola de vecinos a izquierda de t en una tabla:

IRacional I 1 .. · Iar

Ya se indicó que cada vecino hace su aparición en un renglón anterior. Despuésde calcular los renglones en que cada vecino hace su aparición, se elabora lasiguiente tabla:

Renglón np np-I np-2 ... n2 nI n

Racional !!L ap_l a._2 aa !!lo. ab" b,,_1 b,,_2 ... b2 b1 t

Es obvio que np < np-I < ... < n2 < nI < n y que al final de la cola quedaconocida la columna mp. Con este valor se conoce m poniendo:

mp-I = 2n"-I-n,, (mp - 1) + 2

mp_2 = 2n,,-,-n,,-1 (mp-I - 1) + 2

m = 2n-n1 (mI - 1) + 2

Al final, calculadas las columnas m, se completa el siguiente cuadro:

Renglón np np-I np_2 ... n2 nI n

Columna mp tnp_1 mp-2 ... m2 mI m

Racional !!L ap_l ap_' aa !!lo. a.b" b,,_1 b,,_, ... b, 61 6

5.3 Ejemplo. En el cuarto renglón aparece l; busquemos la columna queocupa. La cola de vecinos queda así:

ACEHCA DE UNA ENUMERACIÓN PEIRCEANA ... 93

Renglón 1 3 4

Columna 2 mI m

Racional 1 3 ~1 '2 3

Col. efect. 2 6 12

Con esto se consigue: mI = 22 (2 - 1) + 2 = 6, m = 2(6 - 1) + 2 = 12, lo queasegura como ~ hace su aparición en la columna 12. Es obvio que ~ se rotulacon pi natural 1:3= 24-1 - 1 + 1; Y la fracción ~ con el 6 = 23-1 - 1 + ~.

6. A la caza del algoritmo inverso

6.1 Dbservaciones. Todo natural se escribe de manera única a través de laexpresión: s = 2"-1 - 1+ r;;, con la restricción 2"-1 - 1 S s S 2" - 1, puestoque, hasta un renglón n -1, han sido contados exactamente 2n-l_1 racionales.

La solución de la congruencia que aparece en el cálculo de vecino a derecha:t f es una función de un parámetro t : ~ = I( t), t EN, donde I( t + 1) es elvecino de 7;. t renglones más abajo del renglón en el que hace su aparición elracional f..

Calcular el vecino a derecha de 7; en el momento que hace su aparición yconocidos dos vecinos a izquierda es fácil: de J 7; ~,se sigue que x + e = a yy + d = b; por lo tanto; s: = a - e y y = b - d; de modo que el primer vecino aderecha de r es ~=~.

E ¡ 1 ' . . ti' d h da. 2a-c 3a-cn os reng ones suosiguien .es, os vecinos a erec a e ii son. U-d' 3b-d'4a-c 5t¡-c 6a·-c 7a-r::.4b-d' '5h-d' 6b-a' 7b-a""

El anterior aserto se puede proponer como teorema, cuya demostración seevidencia en la construcción de la tabla.

Teorema 4. Scsn a, b, e, d enteros positivos tales que med(a, b) = mcd(e, d) =1 Y edetnés ad - be-l-' 1 = O; entonces: med( ck - a, dk - b) = 1 para todo númeronatural k.

El teorema., además, se constituye en un mecanismo que permite calcularprimos relativos de cualquier longitud.

Los racionales que hacen su aparición, lo hacen sólo en columnas pares;los que ocupan lugares impares ya han hecho su aparición en algún renglónanterior. Si un racional 7; aparece en la columna m, en el renglón siguiente seubica en la columna 2m -1. En el renglón n-ésimo, los elementos de la segundacolumna son de la forma ~.

94 SOTO, OSEJO, CABALLERO

6.2 Descripción del algoritmo. Dado un natural s, se determina la columnam y el renglón n donde se ubica el racional que es contado por s: n es elúnico entero positivo tal que 2n-1 - 1 ~ s ~ 2n - 1 Y en seguida se ponem = 2(s+ 1- 2n-1).

Se conforma una cola de vecinos a izquierda de ~, ascendiendo renglón porrenglón, hasta llegar a la segunda columna. Para ello se tiene en cuenta que:

• Si m es par: el racional vecino a izquierda t ~se ubica en el paso anterioren el renglón n - 1, columna T y de hecho, es un nuevo elemento de la cola.!!~!..b 't: y .

• Si m es impar, : ya ha aparecido antes, y en el renglón n - 1 se ubica enla columna mil; para este caso ~ logra permanencia en la cola. t = ~.

A partir del racional que se encuentra en la columna 2 renglón p y que es ~,se van encontrando los vecinos a derecha r : = r(t). Yes siempre factible elascender por renglones hasta ubicarse en la segunda columna.

La cola se llena poniendo t = 1+ q, siendo q el número de permanencias der en las columnas a izquierda.La solución al problema de encontrar la cola de vecinos es sencilla: para el

primer sistema ¡; ~ se encuentra que r(l) = Pt~l.

Si se conocen dos vecinos a izquierda: r ¡ ~,el vecino a derecha es!.. - r(t) - ~y - - dt-b·

6.3 Ejemplos. Calcular el racional que se rotula con el natural 137. Secalcula el renglón y la columna correspondientes. Para el renglón se busca elúnico n t.al que 2n-1 - 1 ~ 137 ~ 2n - 1; tal n es 8. A continuación se calculala columna poniendo m = 2(137 + 1 - 28-1), m = 20. Conocidos el renglón yla columna, se procede a calcular el racional ~ del renglón 8, columna 20. Paraello se conforma la siguiente tabla:

Renglón ... 4 5 6 7 8Columna ... 2 3 5 10 20

Racional 1 e e a ~... 4 d d b y

r(t)Rac. efecto

Paso por t

Al solucionar los sistemas se van llenando las casillas de izquierda a derecha,consiguiendo al final:

ACERCA DE UNA ENUMERACIÓN PElRCEA:':A ... 95

Renglón ... 4 5 6 7 8Columna. ... 2 3 5 10 20

Racional 1 e e a !:.... 4" d d t y

,(t) t 4t-1¡¡::¡ "i5"i"=4Rac. efect. .1. .1. .1. ~ .L

4 4 4 15 26Paso por t 2 2 2

Calcular el racional que se rotula con el natural 131173. Se calculan elrenglón y la columna correspondientes. Para el renglón se busca el único n. talque 2"-1 - 1 ~ 131173 ~ 2" - 1; tal n es 18. A continuación se calcula lacolumna poniendo m = 2(131173 + 1- 218-1), m = 204. Conocidos el renglóny la columna, se procede a calcular el racional ~ del renglón 18, columna 204.Para ello se conforma la siguiente tabla:

Renglón 11 12 13 14 15 16 17 18

Columna 2 4 7 13 26 51 102 204

Racional .l... e e e e e a !:.11 7 7 7 d d t y

¡(t) t 2t-1 7t-2 19t-7lIi=T 2i"i"=IT 73t-21 198i=73

Rac. efecto 1 2 2 .1... 7 7 19 31TI" 21 21 21 73 73 198 323

Paso por t 2 4 2 2

Nota. Los racionales que aparecen en cada renglón n se rotulan con los natu-rales que aparecen en el intervalo cerrado [2"-1,2" -1] que, escritos en base 2,tienen longitud n.

En cada renglón n aparecen 2"-1 racionales; la mitad izquierda de ellos secuentan a través de f con los naturales 2"-1, 2"-1 + 1. 2"-1 +2, ... , 2"-1 +2"-2que, escritos en base 2, tienen la particularidad de tener como segundo dígitoalO. La segunda mitad del renglón se rotula con los naturales 2"-1 + 2n-2 + 1,2"-1 + 2n-2 + 2,2"-1 + 2"-2 + 3, ...,2" - 1 que, escritos en sistema binario,se distinguen por tener como segundo dígito al 1.

Esta característica de que al O le corresponda la mitad izquierda y al 1 lamitad derecha es reiterativa al pasar por un natural s escrito en base 2 dígitoa dígito, reconociendo que el pasar por un dígito equivale a avanzar un renglón

96 SOTO,OSEJO,CABALLERO

en la construcción de la tabla a través de una cola de vecinos por mitades. Elprimer dígito 1 de s en base 2 corresponde al renglón O de la construcción.

Esta particularidad facilitó la implementación de los algoritmos en lenguajeC. Por ejemplo; para encontrar el racional que es contado con el 13 = 1lO1(2) seobserva que el primer dígito 1 indica que el racional se genera a partir del pasoO por la mitad derecha del par ~ t, siendo en este caso una mitad figurativa; elsegundo dígito 1 indica que, en el renglón 1, el racional se genera por la mitadderecha t t; el tercer dígito O asegura que el racional se genera con la mitadizquierda de los vecinos del renglón 2: t t, el último dígito 1 evidencia que elracional se genera con la mitad derecha de los vecinos del tercer renglón ~ ty por ello el racional buscado aparece en el cuarto renglón y es ~.

Referencias

1. M. Gardner, Carnaval Matemático, Madrid: Alianza Editorial, 1984.2. C. S. Peirce, Collected Papers 01 Charles San der« Peirce, vol. III, Harvacd: Harvard

University Press, 1967.3. F. Soto, E. Osejo, "La Propuesta Peirce", Revista E.R.M. 1 (1991).