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Finite ElementTRANSCRIPT
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CAPTULO 1
CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL MTODO DEL ELEMENTO FINITO (FEM)
El mtodo del elemento finito ha llegado a ser una herramienta poderosa en la solucin
numrica de un amplio rango de problemas de ingeniera. Las aplicaciones van desde el anlisis
de esfuerzos y deformaciones de automviles, aeronaves, edificios y estructuras de puentes;
tambin para una amplia gama de fenmenos tales como distribuciones de temperatura, flujo de
fluidos y procesos de fabricacin. Con los avances en la tecnologa de las computadoras y de los
sistemas CAD, pueden modelarse problemas complejos con relativa facilidad. En una
computadora pueden probarse varias configuraciones alternas antes de construir el primer
prototipo. Todo esto sugiere que debemos modernizarnos empleando estos desarrollos para
entender la teora bsica, las tcnicas de modelado y los aspectos computacionales del FEM. En
este mtodo de anlisis, una regin compleja que define un continuo se discretiza en formas
geomtricas simples llamadas elementos finitos. Las propiedades del material y las relaciones
gobernantes, son consideradas sobre esos elementos y expresadas en trminos de valores
desconocidos en los bordes del elemento. Un proceso de ensamble, cuando se consideran
debidamente las cargas y restricciones, da lugar a un conjunto de ecuaciones. La solucin de esas
ecuaciones nos da el comportamiento aproximado del continuo.
1.1. ASPECTOS HISTRICOS
Las ideas bsicas del mtodo del elemento finito se originaron gracias a los avances en el
anlisis estructural de las aeronaves. En 1941, Hrenikoff present una solucin de problemas de
la elasticidad usando el mtodo de trabajo del marco. En un artculo publicado en 1943,
Courant us interpolacin polinomial por partes sobre subregiones triangulares para modelar
problemas de torsin. Turney y otros investigadores obtuvieron matrices de rigidez para
armaduras, vigas y otros elementos y presentaron sus hallazgos en 1956. Clough fue el primero
en acuar y emplear el trmino elemento finito en 1960.
En los primeros aos de la dcada de 1960, los ingenieros usaron el mtodo para obtener
soluciones aproximadas en problemas de anlisis de esfuerzos, flujo de fluidos, transferencia de
calor y otras reas. Un libro de Argyris, publicado en 1955, sobre teoremas de energa y mtodos
matriciales, ciment mtodos adicionales en los estudios del elemento finito. El primer libro
sobre elementos finitos por Zienkiewicz y Chung fue publicado en 1967. A finales de la dcada
3
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de 1960 y principios de la siguiente, el anlisis por elemento finito se aplic a problemas no
lineales, y de grandes deformaciones. El libro de Oden sobre continuos no lineales apareci en
1972.
Las bases matemticas se fijaron en la dcada de 1970. Nuevo desarrollo de elementos,
estudios de convergencia y otras reas afines pertenecen a esta categora.
Actualmente, los avances en computadoras mainframe (las supercomputadoras) y la
disponibilidad de poderosas microcomputadoras han puesto este mtodo al alcance de estudiantes
e ingenieros que trabajan en industrias pequeas.
1.2. QU ES EL MTODO DEL ELEMENTO FINITO?
El mtodo del elemento finito (FEM, por sus siglas en ingles), es esencialmente una
tcnica que discretiza un problema fsico o matemtico dado, en piezas fundamentales ms
pequeas llamadas elementos. El anlisis de un elemento se puede conducir usando las
herramientas matemticas existentes. Finalmente, la solucin al problema en su totalidad se
obtiene con un procedimiento en el cual se ensamblan todas las soluciones individuales de los
elementos. Por lo tanto, los problemas complejos pueden ser abordados dividiendo el problema
en problemas ms pequeos y ms simples, los cuales pueden ser solucionados empleando las
herramientas matemticas existentes. Las tcnicas del elemento finito se han utilizado en muchos
campos de la ingeniera y de la ciencia.
1.3. PRINCIPIO DEL MTODO DEL ELEMENTO FINITO
Si se requiere analizar una estructura del tipo mostrado en la figura 1.1 (a), dicho anlisis
es una tarea sencilla debido a que la estructura esta formada por miembros discretos. Las
trayectorias de la transmisin de la fuerza a travs de la viga son fcilmente identificables, y las
fuerzas se pueden determinar usando las ecuaciones de equilibrio.
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Figura 1.1 Armaduras.
Sin embargo, si se requiere analizar una placa, figura 1.1 (b), con la misma geometra que
la estructura, la tarea de anlisis no resulta tan sencilla. La razn es que la placa es un medio
continuo elstico, y que las trayectorias de transmisin de la fuerza no es tan sencillo
determinarlas. Por lo tanto, el problema no puede ser resuelto por un anlisis estructural simple.
Aunque, con el fin de realizar el anlisis, se pudiera considerar que la placa es equivalente a la
estructura; el anlisis no dar resultados fsicamente correctos debido a que no se toma en cuenta
el efecto restrictivo de movimiento que presentan todos los puntos en un medio continuo.
Si se considera que el medio continuo est dividido en una gran cantidad de elementos
triangulares, figura 1.1 (c), es posible determinar la distribucin de esfuerzos en toda la placa
mediante un anlisis por separado de cada uno de los elementos. Para poder realizar dicho
anlisis es necesario: [a] determinar el equilibrio de cada uno de los elementos triangulares
respecto a los elementos circundantes y [b] contar con ecuaciones para la geometra de
deformacin y de esfuerzo-deformacin para elementos triangulares. Esta subdivisin de un
medio continuo en elementos discretos es la base del mtodo del elemento finito aplicado al
anlisis de esfuerzos.
Existen muchas clases de elementos utilizados en el mtodo del elemento finito, entre
ellos el elemento resorte (unidimensional), el elemento rectangular plano (bidimensional) y los
elementos slidos (tridimensionales), figura 1.2.
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Figura 1.2 Elementos utilizados en el FEM.
La exactitud de la solucin depende del nmero de las subdivisiones (elementos); a mayor
cantidad de elementos, mayor es la exactitud. Sin embargo, aunque el anlisis de cada elemento
individual es muy sencillo, el anlisis de una gran cantidad de elementos llega a ser
extremadamente tardado y por lo tanto costoso.
1.3.1. ANLISIS DE BARRAS UNIAXIALES
Cuando una barra uniaxial (viga articulada) es parte de una estructura, sus extremos se
pueden mover debido al desplazamiento de la estructura y a la deformacin del miembro
estructural. Esto se puede modelar por medio de un elemento resorte, bajo el rango elstico de la
respuesta del material.
Los puntos de conexin del elemento con otros elementos de la estructura se conocen
como nodos y son indicados por los puntos 1 y 2 en la figura 1.3.
Figura 1.3 Elemento resorte.
F es la fuerza y u es el desplazamiento, el sufijo indica el nodo al cual se aplican. Si
utilizamos el elemento resorte para modelar una viga de longitud L y de rea A, la rigidez del
resorte K ser:
6
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LAEK = (1.1)
donde E es el mdulo de elasticidad o de Young.
Para el sistema ilustrado en la figura (usando la convencin de que las fuerzas y los
desplazamientos son positivas en la direccin X), las fuerzas se relacionan con los
desplazamientos de la siguiente forma:
21112111 )( uKuKuuKF == (1.2)
21111212 )( uKuKuuKF +== (1.3)
Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en forma matricial:
=
2
1
11
11
2
1
uu
KKKK
FF
(1.4)
Lo cual se puede escribir de la siguiente forma:
{ } ( ){ }uKF e= (1.5)
donde (Ke) se conoce como la matriz de rigidez para el elemento resorte. Una caracterstica
importante de la matriz de rigidez para un elemento es que es simtrica.
1.3.2. ENSAMBLE DE ELEMENTOS BARRA
Ahora considrese un sistema que consiste de dos elementos barra tal como lo muestra la
figura 1.4.
Figura 1.4 Dos elementos barra.
7
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Usando la notacin matricial, la ecuacin de fuerza-desplazamiento para cada elemento se
puede escribir como:
=
2
1
11
11
2
1
uu
KKKK
FF
(1.6)
=
3
2
22
22
3
2
uu
KKKK
FF
(1.7)
Y estas ecuaciones se pueden escribir como:
=
3
2
1
11
11
3
2
1
00000
uuu
KKKK
FFF
(1.8)
=
3
2
1
22
22
3
2
1
00
000
uuu
KKKK
FFF
(1.9)
Las fuerzas en todo el sistema son obtenidas mediante la sumatoria de fuerzas en cada
nodo. Al sumar las matrices se obtiene:
{ } ( ){ }uKFuuu
KKKKKK
KK
FFF
=
+
=
3
2
1
22
2211
11
3
2
1
0
0 (1.10)
La influencia de cada trmino en la matriz estructural de rigidez se puede visualizar como
sigue: Todos los nodos de la estructura excepto el nodo i estn restringidos de modo que todos
los trminos Uj (j i) sean igual a cero. Entonces, si Uj tiene el valor de una unidad, es decir,
Uj = 1, la fuerza necesaria en el resto de nodos para llevar los desplazamientos en el nodo j es
Kij
Por lo tanto, en nuestro ejemplo, si u1 = u3 = 0 y u2 = 1, las fuerzas son:
8
-
+
=
=
=
2
21
1
32
22
12
333231
232221
131211
3
2
1
010
KKK
K
KKK
KKKKKKKKK
FFF
(1.11)
Si los nodos i y j no estn conectados por un elemento, Kij = 0.
Este procedimiento de solucin es la base del mtodo de elemento finito.
1.3.3. EJEMPLO
Tres materiales disimilares se soldaron por friccin y se colocaron entre dos extremos
rgidos. Si se aplican fuerzas de -50 kN y 100 kN como se indica en la figura 1.5, calcular el
movimiento de las interfaces entre los materiales y las fuerzas ejercidas en los extremos.
Figura 1.5 Materiales disimilares soldados por friccin.
Tabla 1.1 Propiedades de los materiales soldados por friccin.
Aluminio
(K1)
Latn
(K2)
Acero
(K3)
A = 400 mm2 A = 200 mm2 A = 70 mm2
L = 280 mm L = 100 mm L = 100 mm
E = 70 GN/m2 E = 100 GN/m2 E = 200 GN/m2
9
-
Calculando la rigidez del resorte para cada material, se tiene:
mmkNLEAK /100
280)1070)(400( 3
1
111 =
==
mmkNLEAK /200
100)10100)(200( 3
2
222 =
==
mmkNLEAK /140
100)10200)(70( 3
3
333 =
==
Las ecuaciones de fuerza-deformacin (kN/mm) para cada elemento se pueden escribir
como:
=
2
1
2
1
100100100100
uu
FF
=
3
2
3
2
200200200200
uu
FF
=
4
3
4
3
140140140140
uu
FF
Expandiendo las matrices y sumando, se obtiene:
+
+
=
4
3
2
1
4
3
2
1
14014000140)140200(20000200)200100(10000100100
uuuu
FFFF
O lo que es lo mismo:
=
4
3
2
1
4
3
2
1
140140001403402000020030010000100100
uuuu
FFFF
10
-
Y esto da como resultado las ecuaciones:
211 100100 uuF = (1)
3212 200300100 uuuF += (2)
4323 140340200 uuuF += (3)
434 140140 uuF += (4)
Recordando las condiciones de frontera:
u1 = u4 = 0, y que F2 = -50 kN, F3 = 100kN
Sustituyendo valores de las condiciones de frontera en las ecuaciones (2) y (3) obtenemos:
32
32
32
3212
20030050200300050
200300)0(10050200300100
uuuu
uuuuuF
=+=
+=+=
32
32
32
4323
3402001000340200100
)0(140340200100140340200
uuuuuu
uuuF
+=+=+=+=
Despejando u2 en ambas ecuaciones, se obtiene:
30020050 3
2uu += (5)
200340100 3
2
=uu (6)
Igualando entre si los dos valores de u2, tenemos:
200340100
30020050 33
=+ uu
Resolviendo la ecuacin:
11
-
mmu
u
uuu
uuuu
3225.062000200002000062000
100003000010200040000102000300004000010000
)340100(300)20050(200
3
3
3
33
33
33
=
=
==+==+
Sustituyendo este valor de u3 en la ecuacin (5), se tiene:
mmuu 0483.0300
)3225.0(20050300
20050 32 =
+=
+=
Obtenidos los valores de u2 y u3, se sustituyen en las ecuaciones (1) y (4) para conocer las
fuerzas en los extremos:
kNFFF
uuF
83.483.40
)0483.0(100)0(100100100
1
1
1
211
==
==
kNFFF
uuF
15.45015.45
)0(140)3225.0(140140140
4
4
4
434
=+=
+=+=
Se debe observar que en cualquier anlisis de elemento finito o de rigidez, se deben
aplicar un nmero suficiente de restricciones para prevenir el movimiento del cuerpo rgido. De
lo contrario el sistema no se puede solucionar. La razn fsica de esto, se debe a que si un
extremo de la barra no se restringe, la estructura se mover hacia delante y hacia atrs en el eje X
(anlisis unidimensional).
En un anlisis unidimensional, una restriccin es suficiente para prevenir el movimiento
de cuerpo rgido. En un anlisis de dos dimensiones, se requieren tres restricciones: dos para
prevenir movimiento sobre en el eje X y Y, una para prevenir la rotacin sobre el eje Z. En un
anlisis tridimensional, se requieren seis restricciones para prevenir el movimiento lineal y la
rotacin del cuerpo rgido sobre cada uno de los tres ejes de coordenadas.
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La falta de restricciones en un cuerpo rgido es una causa muy comn de errores en
usuarios inexpertos de los paquetes comerciales del mtodo del elemento finito (FEM).
1.4. FUNDAMENTOS DE ELASTICIDAD LINEAL APLICADOS AL FEM
A continuacin se presenta el procedimiento para determinar algunas ecuaciones que
sern de utilidad en la aplicacin del mtodo del elemento finito.
1.4.1. DESPLAZAMIENTOS Y DEFORMACIONES
Cuando los cuerpos deformables son sometidos a la accin de fuerzas externas al cuerpo,
cada punto genera un desplazamiento s:
wkvjuis ++= (1.12)
que a su vez generan interacciones entre las partculas que forman al cuerpo.
La distribucin de esas interacciones se pueden obtener si se conocen los desplazamientos
de cualquier punto, mediante la definicin de tres funciones continuas:
),,,(),,,(),,,(
tzyxwwtzyxvvtzyxuu
===
(1.13)
donde x,y,z son las coordenadas espaciales y t la coordenada temporal en cada punto antes de
aplicrsele cargas al cuerpo deformable.
En funcin de los desplazamientos, se definen las deformaciones lineales como:
zw
yv
xu
yyxx
=
=
= zz , , (1.14)
y las deformaciones angulares como:
13
-
xw
zu
yw
zv
xv
yu
zx
yz
xy
+
=
+
=
+
=
(1.15)
Las primeras, definen el cambio de longitud paralela a cada eje, en segmentos unitarios.
Las deformaciones angulares miden el cambio angular entre segmentos ortogonales paralelos a
dos ejes.
1.4.2. ESFUERZOS
Los esfuerzos asociados a las caras anteriores y posteriores de un cubo infinitesimal
extrado de un continuo, se indican como:
Esfuerzos Normales: yyxx , zz ,
Esfuerzos Cortantes: yzxy xzzyyxzx , , , , ,
El primer subndice corresponde a la cara en la que acta el esfuerzo y el segundo a la
direccin paralela en que lo hace dentro de aquella cara, ver figura 1.6.
Figura 1.6 Componentes de esfuerzos referidas a coordenadas cartesianas.
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Para mantener el equilibrio rotacional, los esfuerzos cortantes deben ser complementarios,
esto es:
xzzxzyyzyxxy === , , (1.16)
Aplicando las ecuaciones de equilibrio esttico, , se llega a las expresiones:
0 ,0 ,0 === zyx FFF
0
0
0
=+
+
+
=+
+
+
=+
+
+
zyzxzzz
yyzxyyy
xxzxyxx
fyxz
fzxy
fzyx
(1.17)
donde fx, fy y fz son las componentes locales de las fuerzas del cuerpo asociadas a un marco
general cartesiano de referencia.
1.4.3. RELACIN ESFUERZO-DEFORMACIN
Asumiendo condiciones mediante las cuales el material del cuerpo es elstico, istropico
y homogneo, las deformaciones normales se relacionan con los esfuerzos mediante la Ley de
Hooke como:
( )( )
(( ))
( )( )yyxxzzzz
zzxxyyyy
zyyyxxxx
vE
vE
vE
+=
+=
+=
1
1
1
(1.18)
donde E es el mdulo de elasticidad o de Young y v es el mdulo o relacin de Poisson.
Asimismo, las deformaciones angulares se relacionan con los esfuerzos cortantes de la
siguiente forma:
15
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G
G
G
zxzx
yzyz
xyxy
=
=
=
(1.19)
donde G es el modulo de elasticidad al corte y se puede calcular por medio de:
)1(2 vEG+
= (1.20)
Es conveniente escribir las seis componentes de la deformacin en forma matricial, como
sigue:
++
+
=
zx
yz
xy
zz
yy
xx
zx
yz
xy
zz
yy
xx
vv
vvv
vvvv
E
)1(2000000)1(2000000)1(2000000100010001
1 (1.21)
Al invertir la matriz anterior se obtiene:
++
+
=
zx
yz
xy
zz
yy
xx
zx
yz
xy
zz
yy
xx
GG
GG
GG
000000000000000000200020002
(1.22)
en la cual es el coeficiente de Lame, y esta dado por:
16
-
)21)(1( vvvE
+= (1.23)
Con las ecuaciones mostradas hasta este momento es posible obtener los desplazamientos,
las deformaciones y finalmente los esfuerzos.
Salvo en casos especiales donde la geometra del problema no es simple, estas ecuaciones
no pueden resolverse en forma analtica, por lo que se recurre a otros mtodos de solucin cuando
se tienen geometras complejas. Por un lado, tenemos mtodos experimentales y, por otro,
mtodos numricos de solucin.
Los mtodos experimentales se basan en mediciones directas sobre modelos de las piezas
o sobre las mismas piezas en proceso de anlisis, obtenindose resultados grficos, visuales o
medidas directas de los desplazamientos en la pieza o en el modelo. Estos resultados se traducen
en los valores reales de esfuerzo o de deformacin. A diferencia de los mtodos experimentales,
los mtodos numricos resuelven en forma aproximada las ecuaciones diferenciales.
1.4.4. ESFUERZO DE VON MISES
El esfuerzo de von Mises se usa como un criterio para determinar bajo que condiciones
puede fallar un material dctil. El criterio de falla establece que el esfuerzo de von Mises VM
debe ser menor que el esfuerzo de fluencia f del material. En forma de desigualdad, el criterio
puede escribirse como:
fVM (1.24)
El esfuerzo de von Mises VM esta dado por:
22
1 3IIVM = (1.25)
donde I1 e I2 son las primeras dos invariantes del tensor de esfuerzo. Para el estado general de
esfuerzo, expresado por la ecuacin,
17
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[ ]T,,,,, xyxzyzzyx = (1.26)
I1 e I2 estn dados por:
2222
1
xyxzyzxzzyyx
zyx
I
I
++=
++= (1.27)
En trminos de los esfuerzos principales 1, 2 y 3, las dos invariantes pueden escribirse
como:
1332212
3211
++=++=
II
(1.28)
Es fcil verificar que el esfuerzo de von Mises dado en la ecuacin (1.25) puede
expresarse en la forma:
213
232
221 )()()(2
1 ++=VM (1.29)
Para el estado de esfuerzo plano, tenemos:
22
1
xyyx
yx
I
I
=
+= (1.30)
y para la deformacin unitaria plana:
22
1
xyxzzyyx
zyx
I
I
++=
++= (1.31)
donde z = v(x + y).
18
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1.5. NOCIN DE ELEMENTO FINITO
A continuacin se presentan algunos lineamientos para la correcta aplicacin del mtodo
del elemento finito.
1.5.1. DISCRETIZACIN DE UN CUERPO
La discretizacin de un cuerpo en subregiones es el primero de una serie de pasos que
deben realizarse cuando se resuelve un problema de ingeniera por el mtodo del elemento finito.
Este paso no tiene una base terica establecida y depende del uso del criterio de la persona que
este realizando la discretizacin. La aplicacin de un juicio pobre o inadecuado producir
resultados errneos en los siguientes pasos que estn interrelacionados a el.
El discretizar un cuerpo comprende la decisin tanto del nmero, tamao y forma de los
elementos usados en el modelo del cuerpo. El objetivo general de tal discretizacin es la de
dividir el cuerpo en elementos lo suficientemente pequeos para que funciones simples de
desplazamiento puedan aproximar de manera adecuada la solucin. Es necesario recordar que una
gran cantidad de elementos ocasiona mayor tiempo de computo para su solucin y por ende
mayor costo.
1.5.2. TIPOS DE ELEMENTOS
Elementos unidimensionales. Cuando la geometra, propiedades del material y variables
dependientes tales como la temperatura, desplazamiento o esfuerzo pueden describirse en
trminos de una coordenada espacial; puede utilizarse un elemento unidimensional. El elemento
unidimensional ms simple tiene dos nodos, uno en cada extremo. Este elemento tiene una
seccin transversal constante y se muestra esquemticamente como una lnea, como se muestra
en la figura 1.7 (a). Los elementos unidimensionales de mayor orden son los que tienen tres
nodos (cbico) y cuatro nodos (cuadrtico) como se muestra en la figura 1.7 (b) y (c). Este tipo
de elementos son comnmente empleados en problemas estructurales y de transferencia.
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Figura 1.7 Elementos unidimensionales.
Elementos bidimensionales. Existen dos tipos de elementos usados para el modelado en el
dominio bidimensional, el triangulo y el cuadriltero de la figura 1.8 (a) y (b). En este caso, el
elemento lineal en cada familia tiene lados rectos, pero los elementos de mayor orden,
cuadrticos y cbicos, pueden tener lados rectos, curvos o ambos. La capacidad de tener fronteras
curvas es posible por la existencia de nodos intermedios en cada borde de los elementos. El
elemento bidimensional se emplea en problemas de esfuerzo plano, deformacin plana; por
mencionar algunas aplicaciones.
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Figura 1.8 Elementos bidimensionales.
Elementos tridimensionales. Los elementos tridimensionales ms comunes son
variaciones de los elementos bidimensionales, tetraedros y hexaedros. Un tetraedro tiene cuatro
nodos, mientras que un hexaedro general y un prisma rectangular tienen ocho nodos como se
observa en la figura 1.9. En este caso, los elementos lineales estn restringidos a superficies
planas, mientras que los elementos de mayor orden pueden tener superficies curvadas en cada
cara.
Figura 1.9 Elementos tridimensionales.
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Algunos problemas tridimensionales pueden aproximarse por dos coordenadas
independientes. Tales problemas pueden resolverse utilizando un elemento axisimtrico como se
muestra en la figura 1.10. Los problemas que poseen simetra axial como pistones, recipientes a
presin, discos giratorios, caen dentro de esta categora. Es conveniente expresar estos problemas
en trminos de un sistema coordenado cilndrico, ya que por la simetra, las componentes de
esfuerzo son independientes de la direccin tangencial ().
Figura 1.10 Elemento axisimtrico.
22