a.10 teoria de la circunferencia

Ing. Rimachi Fernández La Circunferencia Matemática Básica I

X

Y

Tangente

Secante

Radio

Diámetro

Cuerda

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑅2

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

𝑒 = 0

LA CIRCUNFERENCIA


LA CIRCUNFERENCIA

Definición.- Es el lugar geométrico generado por todos los puntos que cumplen la

condición de una constante llamada radio y que es originada por la distancia entre un punto

estático “en adelante llamado centro de la circunferencia” C= (h.k) y cualquier otro punto

del espacio P=(x,y)

Sea C = (h,k) y P =(x,y)

= − = ( ) − (ℎ )

= ( − ℎ − )

| | = √( − ℎ)2 + ( − )2

La distancia entre ambos puntos es una constante llamada radio ( = | | )

Luego: = √( − ) + ( − )

Elevando al cuadrado se tiene: = ( − ) + ( − ) llamada Ecuación Ordinaria.

Por ejemplo: = ( − )2 + ( − )2

Es la ecuación de una circunferencia de centro (3,5) y radio igual a 5.

ECUACIÓN GENERAL

Se llama así al desarrollo de la ecuación ordinaria, es decir:

= ( − ) + ( − )

= − − + − +

Ordenando la ecuación 2 + 2 − − 0 − = 0

Que puede escribirse + + + + =

¡Es fácil llegar a la ecuación general a partir de la ecuación ordinaria!

P=(x,y)

y

x

C=(h,k)


Lo contrario no es tan cierto, es decir si nos dan la ecuación general no siempre se tiene una

circunferencia.

Ejemplo: sea + + − + = ¿es una circunferencia?

Se trata de darle la forma y comprobar si es una circunferencia.

Ordenando: 2 + + 2 − + = 0

( + )2 − + ( − )2 − + = 0

( + )2 + ( − )2 + = 0

( + )2 + ( − )2 = −

No es una circunferencia ya que el radio no puede ser negativo.


Nuevamente se trata de darle la forma y comprobar si es una circunferencia.

Ordenando: 2 + + 2 − + = 0

( + )2 − + ( − )2 − + = 0

( + )2 + ( − )2 = 0

No es una circunferencia ya que no tiene radio, solo es un punto (-2,3)


Busque darle la forma y comprobar si es una circunferencia.

Ordenando: 2 + + 2 − + = 0

( + )2 − + ( − )2 − + = 0

( + )2 + ( − )2 − = 0

( + )2 + ( − )2 =

Sí es una circunferencia con radio (-2,3) y radio 2.

En resumen, no siempre se tiene una circunferencia, debe confirmarlo dando su centro y

radio. Observe además el tipo de ecuación; puede ser una circunferencia, si tiene una

característica, la presencia de las variables “x” e “y” ambas elevadas al cuadrado, del

mismo signo e igual coeficiente.


Puede reconocer ¿cuál ecuación podría ser una circunferencia?:

a.- + + − + = b.- + + + + =

c.- − + − + = d.- + − + =

Rpta. La única que podría ser circunferencia es la “b”, por las características antes definidas

Cuando encuentra una circunferencia puede hacer el trazo de la misma y observar que se

puede encontrar en cualquier cuadrante.

y

( + )2 + ( − )2 = ( − )2 + ( − )2 =

( + )2 + ( + )2 = ( − )2 + ( + )2 =

Dependiendo de donde se encuentra el centro, pero también existe una circunferencia

especial que solo se encuentra en el centro de coordenadas, es decir de centro (0,0)

2 + 2 =

Su ecuación es llamada Ecuación Canónica: 2 + 2 = 2

(4,7)

(-3,5)

(-2,-5)

(6,-3)


Formación de la ecuación de una circunferencia con tres puntos:

Existen dos métodos, basado en trazos con regla y compas y otra de manera analítica.

Primer Método

Sean los puntos por donde pasa una circunferencia A(-6,-4) ; B(-2,2) y C(4,-2)

Si graficamos los puntos:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

1.- Trazamos un segmento por dos puntos = ( )

y calculamos

su punto medio (-1,-3).

2.- Por este punto medio levantamos una perpendicular cuya ecuación tiene como

punto de paso, el punto medio (-1,-3) y pendiente (-5).

3.- Hacemos lo mismo con otros dos puntos = ( ) trazamos

otra recta perpendicular de ecuación con punto de paso “el punto medio (-4,-1)” y

pendiente (-2/3)

4.- Ambas rectas se interceptan en un punto que es el centro de la circunferencia

+ = − ( + ) + = −

+ = −

( + ) + = −

Resolviendo el sistema de ecuaciones = − = − ; este es el centro de la

circunferencia, el radio lo calcula hallando la distancia del centro a cualquier punto.

= √ , luego la ecuación es ( + ) + ( + ) =

A(-6,-4)

B(-2,2)

C(4,-2)

X

Y

(h,k)

(𝑦 + ) = −

(𝑥 + )

(𝑦 + ) = − (𝑥 + )


Segundo Método

Usando la ecuación general de la circunferencia es + + + + =

Por lo tanto al reemplazar los puntos se debe cumplir la igualdad.

A(-6,-4) + − − + = 0 = + − ….(1)

B(-2,2) + − + + = 0 = − − …(2)

C(4,-2) + + − + = 0 = − + − ….(3)

Se forman 3 ecuaciones y 3 variables que debe encontrar, al resolver

De donde resulta:

A= 24/13, B=75/13 reemplazando en cualquier ecuación C= -2/13.

Luego la ecuación general es + +

+

−

=

Dada una Circunferencia y un punto.-

El punto puede pertenecer a la circunferencia o

encontrarse dentro o al exterior de la misma, esto es importante teóricamente; ya que de no

determinar la posición cometería errores al responder una pregunta.

Por ejemplo dada la circunferencia ( − )2 + ( − )2 = ¿Cuál sería la posición de un

punto con respecto a la circunferencia A,B ó C?

Si reemplaza el punto en la ecuación puede suceder 3 casos:

a.- Que sea igual a nueve entonces pertenecería a la circunferencia sería el punto A.

b.- Que sea mayor a nueve entonces estaría fuera de la circunferencia sería B.

c.- Que sea menor a nueve en este caso estaría dentro de la circunferencia sería C.

B

A

(1) – (2) 42 = 4A+ 6B (2) – (3) -12 = 6A-4B

C


Distancia de un punto a una circunferencia:

Se conoce el centro (2,-5) de la circunferencia por

su ecuación, (x-2)2 + (y+5)

2 = 9 y se conoce el radio = 3.

La distancia depende del punto, si fuera un punto exterior habría 2 distancias conocida

como distancia mayor y distancia menor. “observe el grafico”.

Para encontrar estas distancias, debe calcular la distancia del punto al centro de la

circunferencia.

Si el punto pertenece a la circunferencia:

Solo habría la distancia mayor que coincide con el

diámetro de la circunferencia.

Si el punto se encuentra dentro de la circunferencia, no habría distancia

En resumen saber donde se encuentra el punto permite hallar su distancia.

R

Distancia mayor Distancia menor

R

Si le suma el radio tendrá

la distancia mayor.

Si le resta el radio tendrá

la distancia menor


1.- Sea la circunferencia ( − )2 + ( − )2 = y el punto Q= ( 4,-2) Hallar su distancia

a la circunferencia.

Solución:

a.- Debemos saber donde se encuentra este punto reemplazando en la ecuación de la

circunferencia.

( − )2 + (− − )2 =

Es un punto exterior debe encontrarse 2 distancias mayor y menor.

b.- Hallando la distancia del punto al centro.

( − ) − ( ) = ( − )

Luego: 5 + 3 = 8 distancia mayor; 5 – 3 = 2 Distancia menor.

2.- Sea la circunferencia ( + )2 + ( + )2 = y el punto Q= (-2,-2) Hallar su distancia

a la circunferencia.

Solución:


circunferencia.

(− + )2 + (− + )2 =

Es un punto interior. luego no existe distancia.

3.- Sea la circunferencia ( + )2 + ( − )2 = y el punto Q= (-4,-1) Hallar su

distancia a la circunferencia.

Solución:


circunferencia.

(− + )2 + (− − )2 = =

Es un punto que pertenece a la circunferencia debe encontrar solo distancia mayor.

b.- Esta distancia es el diámetro o 2 veces el radio.

Luego: 2 = = √ √ distancia mayor.


Rectas tangentes a la circunferencia:

Que importante es determinar la posición de un punto

respecto a la circunferencia, ya que de ser un punto interior no existe tangente, pero de ser

un punto de la circunferencia existiría solo una recta tangente; de ser un punto exterior

existirían 2 rectas tangentes, estos los veremos a continuación.

Tangente desde un punto de la circunferencia:

Dada la ecuación de una circunferencia se

pide hallar la ecuación de la recta tangente en un punto de la circunferencia. “cuando el

punto pertenece a la circunferencia”

Se sabe que desde el centro nace una recta que pasa por el punto de tangencia y es

perpendicular a la recta tangente, luego si las rectas son perpendiculares el producto de sus

pendientes es: m1.m2 = -1.

El vector dirección de la recta es el vector que nace en el centro y termina en el punto de

tangencia: (-4,-2) – (-2,-5) = (-2,3), luego su pendiente es -3/2.

(-3/2). 2 = -1 2= 2/3.

Luego: la recta tangente tiene ecuación.

Vectorial: ( ) = + ó punto pendiente − = ( − ).

En ambos casos se tiene el punto de paso: = ( ) = (− − )

Se tiene la pendiente “m” ò el vector dirección = ( ).

( ) = (− − ) + ( 2

) o también − (− ) =

( − (− )) + =

( + )

Por lo general se suele tomar la forma punto pendiente, pero a veces no es posible

cuando no se puede hallar la pendiente y se busca la ecuación vectorial.

Recta que nace en el centro, pasa

por “P”, y es ortogonal a la tangente. Recta tangente; su punto de paso es

“P”, solo falta hallar su vector

dirección o su pendiente (m₁).

(𝑥 + )2 + (𝑦 + )2 =

Centro (-4,-2) y radio √

P = (-2,-5)


Tangente desde un punto exterior a la circunferencia:

Dada la ecuación de una circunferencia se

pide hallar la ecuación de la recta tangente que nace en un punto exterior a la

circunferencia.

Se observa el caso de dos rectas que nacen desde el punto (P) y el radio es perpendicular a

ambas rectas, se forma un triángulo rectángulo donde se puede calcular la tangente;

( ) =

La recta verde es en realidad una bisectriz que parte al ángulo formado por ambas rectas

tangentes en 2 ángulos iguales a

Se sabe que Tan =

=

=

=

+ = − , luego

resolviendo la ecuación m= 0 (indica que es una recta horizontal ó paralela al eje X.).

Luego: una recta tangente tiene ecuación (7,8) + (1,0) ó (y-8)= 0(x-7). Ó y = 8.

La otra tangente se halla de la misma manera, pero en este caso por la posición de las rectas

Tan =

=

=

=

+ = − = −

= −

= −

Luego: la recta tangente tiene ecuación (7,8) + (1, -24/7) ó (y-8)= −2

(x-7).

Su ecuación general es 24x + 7y = 224.

Si se quiere hallar los puntos de tangencia de cada recta con la circunferencia, solo debe

despejar una variable en la recta y reemplazarla en la ecuación de la circunferencia.

Dos Rectas tangentes; ambas con

punto de paso “P”, solo falta hallar su

vector dirección ó su pendiente (m₁).

(𝑥 + )2 + (𝑦)2 =

Centro (-1,0) y radio 8

Recta que nace en el centro, pasa

por “P”, tiene vector dirección (6,8)

y su pendiente es 8/6.

(1,0)

6

10 P = (7,8)

8

𝜷


Relación entre una circunferencia y una recta.-

Dada una circunferencia y una recta,

gráficamente debe suceder una de las siguientes posiciones:

Por ejemplo, sea la circunferencia ( − )2 + ( + )2 = y una recta de ecuación

general + = .

1.- Se despeja una variable en la recta por ejemplo = −

2.- Se reemplaza esta variable en la ecuación de la circunferencia

( − − )2 + ( + )2 =

3.- Al resolver 2 + + = 2 + − = 2 + −

2= 0

( + )2 −

= ( + − √

) ( + + √

)

Al encontrar 2 soluciones la recta es una secante y los puntos de contacto son las soluciones

Si la ecuación es irreductible significa que la recta es disjunta o exterior a la circunferencia.

Si el radio de la circunferencia hubiera sido √ , la ecuación sería ( − )2 + ( + )2 =

Al reemplazar en la circunferencia ( − − )2 + ( + )2 =

2 + + = 2 + + = 2 + + = 0 ( + )2 = 0 = −

Se encontró solo un valor luego la recta es una tangente y el punto de contacto es (4.-1).

Tangente

Secante

Disjunta o externa a la circunferencia


Posición relativa entre circunferencias.-

La distancia de cualquier centro

a la recta es menor que su radio

Circunferencias Secantes

Circunferencias Exteriores

En ambos casos la distancia de cualquier

centro a la recta es mayor que su radio

Recta Radical

Circunferencias Interiores

Circunferencias Concéntricas

La distancia entre centros es mayor

a la suma de sus radios

La distancia entre centros es menor

a la suma de sus radios

En ambos casos la distancia de cualquier

centro a la recta es igual al radio respectivo

Recta Radical

Recta Radical

Tangentes exteriores Tangentes interiores

La distancia entre centros es igual a

la suma de sus radios

La distancia entre centros es

diferente a la suma de sus radios


El observar las gráficas no hay problema en poder identificar la posición relativa entre

ellas, pero; si tenemos las ecuaciones lo primero a observar son los centros.

Por ejemplo sean las circunferencias: 1.- ( + )2 + ( + )2 =

2.- ( − )2 + ( + )2 = 3.-( + )2 + ( − )2 = 4.- ( + )2 + ( + )2 =

Se puede apreciar por los centros que las circunferencias 1 y 4 son concéntricas, de ser

iguales los radios se diría que son iguales las circunferencias.

En el resto de circunferencias ya no podemos decir lo mismo, pero la recta radical es la que nos

ayuda a establecer su posición relativa. ¿Cómo encontramos esta recta radical?

Desarrollemos las ecuaciones generales de dos circunferencias por ejemplo (2) y (3)

(2) 2 + 2 − + + y la otra circunferencia (3) 2 + 2 + − +

Al restar ambas ecuaciones (3) – (2) ; 0 − 0 + = 0 − + = 0

Se obtiene la ecuación general de una recta llamada Radical.

Calculamos la distancia del centro de cualquier circunferencia a la recta, por ejemplo de la

circunferencia (2)

| ( ) − (− ) + |

√ + =

√

Solo hay 3 posibilidades, que esta distancia sea mayor, menor o igual al radio.

Si es Mayor, pueden ser circunferencias interiores o exteriores, en este caso se calcula la

distancia entre los centros y se calcula la suma de radios.

Si es mayor son exteriores, si es menor son interiores.

Si es igual, pueden ser circunferencias tangentes interiores o tangentes exteriores, en este

caso se calcula la distancia entre los centros y se calcula la suma de radios.

Si son iguales son tangentes exteriores si son diferentes son tangentes interiores.

Si es Menor, son circunferencias secantes.

En el caso de nuestro ejemplo 3.6 > √ , al ser mayor pueden ser tangentes exteriores o

interiores.

Distancia entre centros:( − ) − (− ) = ( − ) √ 0 0

La suma de radios es 8; luego al ser mayor son interiores.

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