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2019
Autor: Mariano Abril Domingo
http://www.weeblebooks.com [email protected]
Madrid, España, octubre 2019 Licencia: Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/
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ARaquelyDiego
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Elhexágonoirregular
SindudaquetodosconocéiselcuentodeElpa0tofeo ,quenotratasobreunpatosinosobreuncisne.Puesbien,estahistoria7tulada“Elhexágono1
irregular”tampocotratasobreunhexágonosinosobreunheptágono.¡Cómo!,¿nosabesloqueesunheptágono?Unheptágonoescualquierfiguraplanaformadapor7ladosrectos.Porejemplo,elcontornoaparentedeestacasitaqueheremarcadoencolornegro7eneformaheptagonal.
Peroeseesunheptágonoirregularporquesusladosnosonigualesytampocosonigualeslosángulosqueformansusladosentresí.Encambio,lafigurageométricadibujadaaladerechaencolorrojoesunheptágonoregularporque7ene7ladosdeiguallongitudyelánguloqueformandosladosconsecu7vosessiempreelmismo .2
Esteseráelpersonajeprincipaldenuestrahistoria:elheptágonoregular.Ycomovaaserelprotagonistadebemosescogerunnombreparaél…ynollamarle,despec7vamente,“hexágonoirregular”.
¡Uf!,nosemeocurreninguno.Creoquelomejorserállamarle“Heptágono”,así,conmayúscula,porqueahoranoesunsustan7vocomúnsinounnombrepropio.
Estahistoriasedesarrollaendospaíses:PoligoniayPolyhedrastán.Poligoniaesunpaísmuyextenso.Dehecho,todavíaningúnexploradorhaalcanzadosusfronteras.Enélviven,claroestá,lospolígonos:lasfigurasgeométricasplanasformadasporsegmentosrectos.Abundanlostriángulos,cuadrados,pentágonosyhexágonos.Estospertenecenalgruposocialdelospolígonosconvexos.Hayotrospolígonosbastantemássingularesquealgunasvecessonmenospreciadosporlosconvexos.Setratadelospolígonoscóncavos.
Elpa7tofeoesuncuentoclásicodelescritordanésHansChris7anAndersen,publicadoen1843.1
Sussieteladosmiden1.93cmyelánguloqueformandosladosconsecu7voses,aproximadamente,de128.57grados.Tieneunperímetrode13.5cmyunasuperficiede13.5cm2.2
Paracalculareláreadeunheptágonodelado ,usaestafórmula: .L A = 3.634 · L2
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¿Sabesporquénosonjustamentevalorados?Porqueenesteestamentohayalgunasfamiliasmuychulasylosconvexossientenverdaderaenvidia.
Porejemplo,elgrupodelospentagramasesdignodeadmiración.¡No!Nomerefieroalospentagramasmusicales,sinoalosgeométricos.Mira,estepolígonodecolorazulesunpentagramacomolosquehabitanenPoligonia.Tambiénhayheptagramas,quesonprimosdenuestroamigoHeptágono.
Endefini7va,haymuchos7posdepolígonos:cóncavosyconvexos,regulareseirregularessonalgunosdeloshabitantesdePoligonia .3
Polyhedrastán,oPolyehdra,comolesgustandecirasushabitantes,estásituadoalnortedePoligoniayes,comoyatehabrásimaginado,elpaísdelospoliedros.
SedicequePolyhedratambiénesinfinito.
Unpoliedroesuncuerpogeométricoformadoporpolígonosqueencierraunvolumen.Porejemplo,unacajadezapatosesunpoliedroporqueestáformadopor6cuadriláterosysirveparametercosas,esdecir,queencierraunvolumen.Perounanaranjano7eneformapoliédricaporquesucáscaraesesférica.
Entucolegio,seguroquealgunavezhastenidolaoportunidaddevermuchospoliedroscomoelcubo,eldodecaedro,la
pirámideoelprismapentagonal…Amílosquemásmegustansonlosqueestánhechosdemadera,perodemaderadeverdad.
Laúnicadiferenciaentrelospolígonoscóncavosyconvexosesquelosprimeros7enenentrantesysalientesmientrasquelossegundosno.3PO
LYHE
DRAS
TÁN
POLIGONIA
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Puesbien,estahistoriacomenzóenPoligoniaeldíaqueHeptágonoescuchó,porcasualidad,partedeunaconversaciónentreuntriánguloequiláteroyunhexágonoregular:
–¡Miraqueestámalhechoelchaval!–comentabaeltriángulo.
–Yatedigo–replicósuinterlocutor–.¿Perocuántomidesuángulocentral?
–¿Quiénlosabe?¿Teimaginasquetuángulocentralfuese59.99oqueelmíofuera120.01grados?Noloquieronipensar–selamentóeltriángulo.
–Algunosdicenqueesunhexágonoirregular–susurróburlonamenteelhexágono–.Disimula,queseacercaporahí.
CuandoHeptágonoregresóacasa,preguntóasuspadres:
–¿Cuántomidemiángulocentral?
–Hijo,esaesunapreguntaverdaderamentedidcildecontestar–replicaronsuspadres.
Enefecto.Heptágonohabíahechounadeesaspreguntasquealospadresnolesgustacontestar.Teexplicaréporqué.
Enprimerlugar,tedeberíaaclararqueelángulocentraldeunpolígonoregulareselánguloqueformaelcentrodelpolígonoconcualquieradedosvér7cesconsecu7vos.Paracalcularlo,hayquedividirlosgradosdeunacircunferencia,esdecir,360,entreelnúmerodeladosdelpolígono.Porejemplo,elángulocentraldeltriánguloequiláteroes:
Yelángulocentraldelhexágonoes:
360°3
= 120°
360°6
= 60°
¡Los triángulos equiláteros somos
guays!
¡Y los hexágonos! Al fin y al cabo, los hexágonos estamos hechos con seis
triángulos.
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Elproblemaaparececuandoqueremosobtenerelángulocentraldeunheptágonoregular:
Elresultadoesunnúmerodecimalperiódicoenelquelasecuencia“428571”serepiteindefinidamente.Sí,yaséqueestaráspensandoqueestono7eneimportancia…“Simul7plico51.428571por7elresultadoes359.999997”,medirás.Pero,créeme,enPoligoniay,sobretodo,entrelospolígonosconvexosregularesestetemanoesningunatontería.Untriánguloequiláterotecontestaríaquetefaltan3millonésimasdegradoparatenerlacircunferenciacompleta.
Lacues7ónnohizosinoagravarsecuandounavez,jugandoa“pareseimpares”,fueconfundidoporunoctógono.Enotraocasión,jugandoa“teselar” ,todoslospolígonossereíandeélynadiequeríaestarensuequipoporque,comoyahabrásadivinado,conunheptágonoregulares4
imposibleteselarelpa7odelrecreo.
Poreso,unbuendía,cansadodeaguantarburlasyquelellamasen“elhexágonoirregular”,Heptágonodijoasuspadres:
–Aquínomesientoagustoymegustaríaviajaraotrasciudadesyconocerotrasculturas.¡VoyairaPolyhedra!
Suspadressabíanmuybiencómosesenfay,nosintristeza,aceptaronsudecisión.
Polyhedrateníamuchasciudades:Platonia,Arquimedia,PiramidalyPrismaleranlasmásconcurridasperoexisfanmuchasotrasnotanfamosas.
360°7
= 51.428571 428571 428571…
Enrealidad,noexisteelverboteselar.Síexisteelnombrefemeninoteselaqueescadaunadelaspiezasconlasqueseformaunmosaico.Esejuegoconsisteenpavimentarel4
planosindejarhuecos.Porejemplo,unasucesióndecuadradosigualesconvenientementedispuestosteselanelplano.Tambiénloshexágonosregulares,determinadosrectángulosyhastaalgúnpolígonoirregularpuedenrellenarcompletamenteelplanosindejarhuecos.
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PlatoniaestácercadelafronteraconPoligoniayHeptágonollegóenseguida.Allísolohabíapoliedrosformadosportriángulosequiláteros,cuadradosypentágonosregulares .Engeneraleranamablesymuyeducadosyalgunoentablóconversaciónconél,peromásporcuriosidadqueporverdadera5
amistad.
Poreseairedis7nguidodesushabitantes,aHeptágononolegustómuchoPlatoniaasíquesoloestuvounosdíashastaquesemarchóaArquimedia.EstaciudaddebesunombrealgranfilósofogriegoArquímedesyalgunoshistoriadoresafirmanquefueelmismoArquímedesquienlafundó.Yocreoquenoesciertoysoloquierenfas7diaralosquedicenquePlantoniafuefundadaporPlatón.
Arquimediaesunaciudadmuchomáscosmopolitayvibrantequelaciudaddelospoliedrosplatónicos.AquílavidanoescomoladePlatonia,lugarenelquelostriángulossolosejuntancontriángulos,loscuadradosconcuadradosylospentágonosconpentágonosparaformarlosdiferentespoliedros.No,nimuchomenos.EnArquimedianohaysemejantesegregaciónyexistenpoliedrosformadosindis7ntamenteporcuadradosytriángulos,porhexágonosypentágonos…y¡hastahaypoliedrosformadosporcuatroclasesdiferentesdepolígonos!
Heptágonopaseóporsusanimadascallesyestabaconvencidodequeprontoencontraríaalgúnamigode7lados…Peronofueasí.Decepcionadoyaba7dodescansóaquellanocheconelpropósitodemarcharsedeallíalamañanasiguiente.
EnPlatoniasolohabitantetraedrosformadospor4triángulosequiláteros;cuboscons7tuidospor6cuadrados;octaedrosquesonpoliedrosformadospor8triángulosequiláteros;5
dodecaedrosquesonlosmásengreídosporqueestáncompuestospor12pentágonosregulareseicosaedros,que7enen20triángulosequiláteros.
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“Piramidal,dondetodoslospolígonossonbienvenidos”,asírezabaelcarteldelacarreteraqueHeptágonoencontróaldivisarlasprimeraspirámides.Yantesdellegaralcentrodelaciudad,leyóotroanuncioquedecía“Senecesitanpolígonosdetodaslasclases”.Noselopensódosveces,yentróenloque,porsuaspecto,parecíahabersidoenotro7empounprósperonegociodepirámides.
–¡Buenosdías!,adelante.¡Unheptágono!–exclamóelbuenartesano–.Nosesuelenverpolígonosregularesde7ladosporaquí.
–¡Hola!,¿cómofuncionaesto?–preguntóHeptágonoalavezquesesenfainfinitamentereconfortadoalversereconocidoasimplevista.
–¡Oh,sí,claro!,leexplico.Verá,siustedmedasupermiso,leharéunafotogradadigital,queposteriormenteampliaréhastaunaescalaadecuadayqueservirádemodeloparalospatronesdeunafabulosapirámiderectaheptagonal–leaclaróelpropietario.
–Deacuerdo–contestóHeptágonoentusiasmado–,meparecefascinante.Porfinalguienreconocemivalía–sedijoasímismo.
Acon7nuacióntehecopiadoesepatrónparaquetútambiénpuedasconstruirunapirámideheptagonal.Tediréqueestapirámideesunoctaedroporque7ene8caras.Tieneunabasede4.67cmdeladoyunaalturade7.57cm.Lafórmulaparacalcularsuvolumenes:
Enestaexpresión, representalasuperficiedelabase(recuerdaqueeláreadeunheptágonoes )y ,laalturadelapirámide.Portanto,estepoliedro7eneunvolumendeunos200cenfmetroscúbicos,unvolumensimilaraldeunvasodeagua:
V =13
· S · H
S S = 3.634 · L2 H
V =13
· S · H =13
· 3.634 · L2 · H =13
· 3.634 · 4.672 · 7.57 = 199.98 cm3
PIRAMIDAL,
DONDE
TODOS LOS
POLÍGONOS
SON
BIENVENIDOS
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Porfin,nuestroamigoHeptágonosesenfarealizado.YnoerasoloporelhechodesaberqueahorahabríaunapirámidedeambulandoporPolyehdraqueteníaporbaseunpolígonosemejanteaél,sinoporquedescubrióqueenPiramidaltodoelmundoerabienvenido.Acababadever,dehecho,comounostriángulosquenoeranequiláterostambiéneranapreciadosyhabíanservidoparaconstruiresapirámide.
Undíaentablóamistadconunar7stacontemporáneoquesededicabaatruncarpirámidesyquenuncahabíatrabajadoconunapirámideheptagonal.
–Parecepeligroso,¿truncar?–preguntóHeptágono.
–Oh,no7enesnadaquetemer.Truncareseliminarlapartedearribadeunapirámide,apar7rdeunciertoplanoporencimadelabaseyhastalacúspide.Soloescortarlapuntadelapirámide–leaseguróelar7sta.
–Interesante–contestóHeptágono,quenohabíacomprendidoniunapalabra–.Peroconunacondición.
–¿Cuál?
–Queelpoliedroresultantetengaunvolumende200cenfmetroscúbicos.
–Teloprometo–contestósunuevoamigo.
Heptágonoaceptógustosoyelar7statomóunaspocasfotogradas,hizoalgunoscálculosyunoscuantosbocetoshastaquepintóestebonitocuadro7tulado“Tronco” .6
Elpoliedroresultantedeltruncamientodeunapirámidesedenominatronco,asíqueelar7stanoseestrujómuchoelcerebroparaponerleunftulo.6
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Porsuerte,hepodidorecuperarunodeesosbocetosparaquetúconstruyastupropiotroncodepirámideheptagonal.Y,además,asípodremoscomprobarsielar7stacumpliósupromesa.
Observaquelabaseinferiordeltronco7eneunladodelongitudiguala4.06cm.Portanto,suáreaes:
Porotraparte,labasesuperior7eneunladodemenorlongitud,exactamentevale2.03cm,lamitaddelmayor.Suáreaes:
Fíjatebienquecuandounpolígonoeseldobledegrandequeotrosusuperficienoesdosvecesmayorsinocuatro.Hayqueelevarlarazóndesemejanza,queesestecasoes2,alcuadrado(siquisiésemoscompararlosvolúmenestendríamosqueelevarlaalcubo).
Elvolumendeuntroncodepirámidesecalculadeformasimilaralvolumendeunprisma(áreadelabasemul7plicadaporlaaltura)usandocomoáreadelabase,nolabasesuperiornitampocolainferior,sinounamediadeambas.Exactamente :7
Unavezquehayasconstruidotutronco,compruebaquemide5.71cmdealturayque,portanto,suvolumenes:
Eltroncodepirámideheptagonalesuneneaedro,esdecir,unpoliedrode9caras:2heptágonosregularesy7trapeciosiguales.Tiene21aristasy14vér7ces.
AI = 3.634 · L2 = 3.634 · 4.062 = 60 cm2
AS = 3.634 · L2 = 3.634 · 2.032 = 15 cm2
Ab =AI + AI · AS + AS
3=
15 + 15 · 60 + 603
=15 + 900 + 60
3=
15 + 30 + 603
=105
3= 35 cm2
V = S · H = 35 · 5.71 = 199.85 cm3
Estamediasedenominamediaheroniana.Recibeestenombreenhonordelmatemá7cogriegodelprimersigloHeróndeAlejandría.Esmásfamosa,sicabe,lafórmulaque7
inventóparaelcálculodeláreadeuntriángulodelados , y ,conocidacomofórmuladeHerón: ,siendo lamitaddelperímetrodel
triángulo.
a b c A = s · (s − a) · (s − b) · (s − c) s
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TroncodepirámideregularheptagonalYasabes:primero,recortaporlalíneacon7nua;luego,doblaporlaslíneasdiscon7nuasy,porúl7mo,pegalassolapassiguiendoelordendelosnúmeros.
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Heptágonohabíaquedadorealmenteimpresionadoporelhechodequeenestaciudad,nosololostriángulosisósceleserantenidosencuenta,sinoquetambiénlostrapecioseranmuyvalorados.RecordóqueenPoligonialoscuadrados(consuscuatroladostanigualesytodossusángulosajustadosa90gradosexactamente)siempreseburlabandelostrapeciosllamándoles“cuadriláterosirregulares”.
SindudaalgunaquePiramidalerafascinante,peroHeptágonosabíaquedebíacon7nuar,queaúnlequedabanmuchasmaravillaspordescubrir.AlamañanasiguienteemprenderíarumboaPrismal.Estaerasuúl7manocheenPiramidalyHeptágonosehallabaensimismadoenestosyotrospensamientosmientraspaseabaporlaPlazadeVictorKleeyquepresidíaunaimponentepirámidedecristal .8
Heptágonohabíaaveriguadoqueelmatemá7conorteamericanoVictorKlee(1925–2007)eramuyapreciadoenestaciudadporhaberinventadoloskleetopos.
Loskleetopossonaquellospoliedrosqueseformanapar7rdeotrossus7tuyendosuscarasporpequeñaspirámides.Porejemplo,imaginaque añadesunapequeñapirámideencadaunadelascarasdeuncubo.Estenuevo poliedro esunkleetopodecubo.
Enrealidad,laimagenqueilustraestapáginaeslaPirámidedelMuseodelLouvredeParís,obradelarquitectoIeohMingPei,inauguradaen1989.8
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Yesoes,precisamente,loqueimaginóHeptágono:unkleetopodepirámideheptagonal.Porsuerte,enlaPlazadeVictorKleehabíaunoscuantosar7stascallejerosqueofrecíankleetoposalosturistas.PorunaspocasmonedassepodíanadquirirverdaderasobrasdeartegeométricocomolaqueHeptágonocompróycuyosplanospudeconseguircuandoviajéaPiramidalafindedocumentarmeparaescribirestahistoria.Esperoquedisfrutesconsuconstrucción.
Porcierto,tecontaréunaanécdotaalrespectoqueelpropioar7stamerefiriócuandorealizabamispesquisas.
Heptágonoexigióalartesanoambulantequesukleetopotuvieraexactamente200cenfmetroscúbicosdevolumen.Elbuenhombrenoteníaniideadecómocalcularlo,pero,comoeramuyastuto,lepropusolosiguiente:
–Mejoraún.Porelmismopreciolevoyahacerunkleetopodedipiramide.
–Noleen7endo–interrumpióHeptágono.
–Muysencillo.Unadipirámideconsisteenunirdospirámidesporsubase.Escomoundiamante–leaclaróelvendedor.
–¡Magnífico!
–Y,además,haréqueenunapirámideloskleetoposquedenhaciaafuerayenlaotrahaciaadentro–añadióelartesano–.Leaseguroquequedaráencantadoconmirealización.
Deestamanera,elartesanosolotuvoquecalcularelladoylaalturadeunapirámideheptagonaldetalformaquetuviera100cenfmetroscúbicosdevolumen.Ycomoelespacioextraquelosabultamientosañadíanaunapirámideeraelmismoquelosentrantesquitabanalaotra,elresultadoseríaunadipirámideconelvolumenqueHeptágonohabíaexigido.
Elpoliedroresultante7ene42carasyes,portanto,undotetracontaedro.Esta“palabreja”seformaconlosafijos:do–quesignificados,–tetraconta–quesignificacuarentay–edroquesignificacara.Nohacefaltaquelascuentes,tansolopiensaquecadacaradelapirámidehasidosus7tuidaportresnuevascarasdelkleetopo.
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KleetopodedipirámideregularheptagonalObservaqueenestemodelohayaristasconmarcadasconlíneasdiscon7nuasyconrayaypunto.Primero,doblatodascomohashechohastaahoray,después,doblaalrevéslasseñaladasconrayaypunto.
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Alamañanasiguiente,HeptágonoemprendióvuelohaciaPrismal.Estaesunaciudadmuyparecidaacualquieradelasqueencontramoshoyendíaenlospaísesmáspoblados.Sushabitantesvivenenesbeltosedificiosconformasdeprismasyan7prismas.
Seguroquepodríasexplicarmemuybienquéesunprisma,pero¿sabesquéesunan7prisma?
Siunprismaesaquelpoliedroenelquepodemosiden7ficardosbasesparalelasentrelasquemedianrectángulosqueformanlascaraslaterales,unan7prismaesaquelpoliedroenelquelasbasesestánunidas,noporrectángulos.sinoportriángulos.
Observaestafigura.Setratadean7prismaheptagonal.Susbasessonheptágonosregularesyestángiradasunarespectodelaotra,deformaquelosvér7cesdeunheptágonosecorrespondenconlospuntosmediosdelosladosdelotro.Comoves,lasbasesestánunidasportriángulos.Delosladosdelabaseinferiorpartentriánguloscuyosvér7cesseapoyanenlosvér7cesdelabasesuperioryviceversa,delosladosdelabasesuperiorarrancantriánguloscuyosvér7cesdescansanenlosvér7cesdelabaseinferior.Dependiendodelaalturadelan7prisma,esdecir,delaseparaciónentresusbases,lostriángulosseránmásomenosesbeltos.Hayuncasoespecial,unaalturatalquehacequelascaraslateralesseantriángulosequiláteros.Aesteconjuntodepoliedrosselesdenominaan7prismasuniformes.
Calcularelvolumendeunprismaesfácilpuestansolohayquemul7plicareláreadelabaseporlaalturadelprisma.Perocalcularelvolumendelan7prismaesbastantecomplicado.Dehecho,yonoloséysólohepodidoaveriguaralgunafórmulaparacalcularelvolumendean7prismasuniformes,deesosquesuscarassontriángulosequiláteros.
Estaeslaexpresióndelvolumendeunan7prismaheptagonaluniformedelado :
L
V = 3.234 · L3
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Puedescomprobarqueunan7prismaheptagonaluniformecuyosladosmidan3.95cm7eneunvolumendecasi200cenfmetroscúbicos.Acon7nuaciónapareceelrecortableparaconstruirestepoliedro.Compruebaque7ene16caras,queesunhexadecaedro.
Conlosprismasocurrealgosimilar.Engeneralsuscaraslateralessonrectángulosmásomenosesbeltos,dependiendodelaalturadelprisma.Tambiénexisteunconjuntodeprismasuniformesquesonaquellosque7enenlasparedeslateralescuadradasporquelaalturadelprismacoincideconlalongituddelladodelpolígonodelabase.
Enla7endadelhotelenelqueHeptágonosealojóhabíarecortablesparahacerunamaquetadelestablecimiento.Encontrarásunacopiaenlaspáginassiguientes.Alverla,
Heptágononolodudóniuninstanteycompróuna.
Porcierto,¿sabíasquelosarquitectosdeledificioOneWorldTradeCenterseinspiraronparasudiseñoenlaformadelan7prismacuadrangular?
Esteedificio,de546metrosdealtura,sealzaenelmismolugarendondeseubicabanlasTorresGemelasdelWorldTradeCenterdestruidasenlosatentadosterroristasdel11desep7embrede2001.Eselsextoedificiomásaltodelmundo.
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Yporsitodasestascosasnofueransuficientesparallenardealegríasupequeñocorazón,Heptágonosetropezóconunprimolejano:unheptagrama.
¿Recuerdaselpentagramadelapágina5?Piensaqueseformaapar7rdeunpentágonoregulardelasiguientemanera.Primeronumeramossus vér7cesdel1al5.Acon7nuaciónunimoslosvér7cessiguiendoestasecuencia“1→3→5→2→4→1”.Elpolígonoresultanteespolígonocóncavo complejo9denominadopentagramaoestrellapentagonal.Sesuelerepresentarcomolafracción5/2.
Tepropongoqueintentesconstruirunheptagrama...
Lospolígonoscomplejossonaquellasfigurasgeométricascuyosladossecruzan.9
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Dibujaunheptágono,numerasusvér7cesyúnelossiguiendoestasecuencia“1→3→5→7→2→4→6→1”obienestaotra“1→4→7→3→6→2→5→1”.Elprimerosedenominaheptagrama7/2yelsegundo,7/3.¿Adivinasporqué? 10
ComopodéisimaginarHeptágonoseencontrabamuyemocionadoyllenodealegría.Senfalanecesidaddecompar7restossen7mientosconsuspadres,consusamigosheptagonalesyconaquellospolígonosque,porserirregulares,eranmenospreciadoscon7nuamenteenPoligonia.Debíaenseñarlesdequetodoslospolígonos,regularesoirregulares,cóncavosoconvexos,porelmerohechodeserfigurasplanaslimitadasporsegmentosrectos,encierranunasuperficieyesaes,precisamente,lagrandiosidaddelospolígonos,detodoslospolígonos.
Teníaquellevarunadeesasfantás7casformaspoliédricasquehabíaconocido.Asíquelepidióasuprimosegundoheptagonalquelepermi7ráhacerunacopiaconlaqueconstruirunprismacomoenquefiguraacon7nuación.
Elvolumendeestosprismasesfácildecalcularcuandosabeseláreadelabase.Heaveriguadoquelasuperficiedeunheptagrama7/2quemida devér7ceavér7cees:
HeptágonodebíavolveraPoligoniaycontaratodosque
lospolígonos,noimportacómosean,sonlos“ladrillos”conlosqueseconstruyeninfinidaddemaravillosospoliedros.
L
S = 0.860 · L2
Datecuentaqueparaformarestassecuenciasenuncasosumamos2alnúmerodelvér7cemientrasqueenelotrosumamos3.10
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Fin
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“Todoslossereshumanosnacenlibreseigualesendignidadyderechosy,dotadoscomoestánderazónyconciencia,debencomportarsefraternalmentelosunosconlosotros.”
Arfculo1delaDeclaraciónUniversaldelosDerechosHumanosaprobadaporlaAsambleaGeneraldelasNacionesUnidas,en1948,enParís.
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Mariano no ha estudiado matemáticas, pero le gustan mucho, y tampoco es escritor, pero ha escrito dos libros. Es coronel del Ejército de Tierra y ha cursado ingeniería civil en la Universidad Politécnica de Madrid. Es, también, doctor en construcción.
Natural de Teruel, vive en Madrid con su esposa y sus dos hijos. Tiene 56 años, le apasiona realizar toda clase de manualidades, también le gusta la pintura, la música y correr. Cree firmemente en la igualdad de las personas.
Está convencido de que el estudio de los poliedros estimula la imaginación, aumenta la visión en tres dimensiones y favorece el desarrollo de la inteligencia espacial. Por eso ha escrito este cuento con recortables, y que también nos habla de integración y de respeto, con el que pretende animar a los más jóvenes para que se introduzcan en el apasionante (y desconocido) mundo de los poliedros.
Es autor del libro de divulgación científica titulado 225 preguntas sobre la naturaleza del universo, editado por Marcombo, dirigido al público en general y a los jóvenes en particular.
El autor Mariano Abril Domingo
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El libro
A través de la geometría, este cuento nos habla de la igualdad entre las personas, del valor único de cada una y del respeto a las que no son como nosotros.
Se exponen, además, una serie de conceptos geométricos de Primaria y se inician otros propios de Secundaria. Pero más que una obra de matemáticas es un libro de manualidades.
Es un cuento dirigido a jóvenes a partir de 12 años a los que les guste hacer manualidades y que estén dispuestos a pasar un rato entretenido con las tijeras y el pegamento. También puede ser una oportunidad para que los padres nos involucremos y ayudemos un poquito a nuestros hijos.
A través de su protagonista, un hexágono irregular, el lector se adentra en el mundo de los polígonos, primero, y de los poliedros, después. Acompañaremos a nuestro amigo en su viaje a las ciudades de Piramidal y Prismal, en el país de Polyhedra y aprenderemos las principales características de seis poliedros diferentes de los que se incluyen recortables para realizar modelos en papel de los mismos.
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En WeebleBooks creemos en una educación al alcance de todos, más divertida, moderna, creativa y sin barreras económicas o geográficas.
Un proyecto educativo abierto a la colaboración de tod@s para fomentar la educación, ofreciéndola de una forma atractiva, moderna y sin barreras económicas o geográficas.
Nos hemos enfocado al desarrollo de la lectura como una actividad clave para nuestro público juvenil.
Creamos y editamos libros educativos, divertidos, actuales, sencillos e imaginativos para el público infantil y juvenil de forma gratuita en versión digital. Libros que pueden usarse en casa o en la escuela como libros de apoyo.
¡Y lo mejor es que son gratis! Por ello publicamos en formato electrónico. Queremos hacer accesible esta nueva forma de aprender.
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