a la memori dea m padri e - repositorio...

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

"UN NUEVO ALGORITMO PARA LOCALIZACION DIGITAL DE

FALLAS EN LINEAS DE TRANSMISIÓN TRIFÁSICAS"

JORGE HUMBERTO YEPEZ ZALDUMBIDE

TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO

DE INGENIERO ELÉCTRICO EN LA ESPECIALIZACION

SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA

JULIO - I99O

Certifico que la presente tesis

ha sido realizada en su totali-

dad por el Sr. Jorge Humberto

Yépez Zaldumbide.

. Patricio Orb

DIRECTOR DE TESIS

A LA MEMORIA DE MI PADRE

AGRADECIMIENTO

Deseo expresar mi sincero agradecimiento

al Señor Ingeniero Patrieio Orbe Garcés ?

por su inte1 igente y acertada dirección

en el desarrollo de la presente tesis.

ÍNDICE

Pag .

CAPITULO I: INTRODUCCIÓN

1.1.- Antecedentes ]_

1.2.- Objetivo y Alcance 4

CAPITULO l i s DETERMINACIÓN DE LA COMPONENTE FUNDA-

MENTAL DE UNA SEPSAL TRANSITORIA

2.1.- Introducción ¿,

2.2.- Frecuencia de Muestren 8

2.3.- Análisis de Fourier 12

CAPITULO III: TEORÍA FUNDAMENTAL DEL MÉTODO

3.1.- En una Linea monofásica 20

3.2.- En una Línea trifásica 26

3.2.1.- Falla Fase Tierra 26

3.2.2.- Falla Fase Fase 30

3.2.3.- Falla Fase Fase Tierra 35

3.2.4.- Falla Trifásica 39

CAPITULO IV: PROGRAMA DIGITAL

4.1.- Introducción 42

4.2,- Detección de fallas v fases involucradas 43


4.2.2.-FallaFaseFase 45

4.2,3.- Falla Fase Fase Tierra 45

4.2.4.- Falla Trifásica 4¿

4.3.- Descripción del Programa Princiosl 4'7

4.4.- Diagrama de Flujo del Programa Principal 50

4.5.- Subrutinas utilizadas 54

CAPITULO V: APLICACIÓN DEL PROGRAMA DIGITAL

5.i.- Introducción ¿8

5.2.- Ejemplos 70


5.2.2.-Falla Fase Fase 80

5,2„3.- Falla Fase Fase Tierra 87

5.2.4.- Falla Trifásica 94

5.3.- Análisis de resultados 102

CAPITULO V i s CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

6.1.~ Conclusiones 105

6.2.- Recomendaciones 107

APÉNDICE A: FUNCIONES ORTOGONALES

A.I.- Método de análisis 109

A.2.- Funciones seno y coseno i 11

A.3.- Funciones cuadradas par e impar 115

A. 4 . - Funciones diente de sierra 119

APÉNDICE B: ALGORITMOS PARA PROCESAMIENTO DE SERÍALES

B. 1 . - Algoritmo de Fourier de ciclo completo 123

B . 2 . - Algoritmo de Fourier de medio ciclo 124

B .3. - Algoritmo con funciones Walsn 125

B.4.- Criterio del mínimo error 126

B.5.- Solución de la ecuación diferencial del

modelo del sistema 130

APÉNDICE C: Factor de distribución de corriente

de falla 132

APÉNDICE D: Aplicación del método de Newton Raphson 138

APÉNDICE E: Manual de uso del programa digital 170

REFERENCIAS 176

CAPITULO I

INTRODUCCIÓN

1.1.- ANTECEDENTES:

A través del tiempo se han venido desarro11 ando diversos

algoritmos para la localización digital de fallas. Uno de

los primeras algoritmos desarrollados fue el propuesto por la

American Power Service Corporation1, la misma que diseñó un

sistema de protección digital para una línea de transmisión

de 151 millas y 765 KV, obteniéndose una gran velocidad de

operación. También se probó fuera de la línea un sistema de

ultra rápida velocidad. Para ello tomaron como herramienta

principal la teoría de 1 as componentes simétricas para de

esta forma obtener una única ecuación que sirva para el cál-

culo de la distancia al punto de falla, independiente del

tipo de falla y de las fases involucradas.

Otro método desarrollado fue el de medir la distancia al

punto de falla, mediante la observación del tiempo en el cual

el relé de cada terminal detecta la primera perturbación des-

de el punto de falla^.

Otros autores indican que midiendo el periodo desde la

emisión hasta el retorno de un pulso eléctrico de voltaj e, de

los que se transmiten en la 1ínea en ambas direcciones in-

yectados por la fuente de simulación del disturbio, se puede

encontrar la distancia al punto de falla. Este proceso es

conocido como "Método del pul so radarlh:3:.

Ambos métodos dependen de la propagación de las ondas

viajeras, lo cual es un fenómeno complejo, difícil de anali-

zar perfectamente, ya que para el estudio de la ondas viaje-

ras en sistemas trifásicos, no se puede despreciar los aco-

plamientos mutuos entre los conductores de fase y tierra,

siendo su influencia tan vital que puede cambiar completa-

mente las características del fenómeno y producir resultadas

totalmente erróneos en el caso de que no se considere este

acoplamiento.

Los algoritmos para protección de distancia, también

pueden ser apiicados para la localización de fallas, puesto

que miden directamente la impedancia R + jX hacia el punto de

falla. La medida de la reactancia provee la distancia exacta

al punto de falla cuando la resistencia de falla es cero,

caso contrario se desvía de su verdadero valor"*. Debida a

esta suceptibilidad de error en la medida de la impedancia,

se han tratado de desarrollar otros algoritmos que traten a

la localizadion en forma muy particular.

A.G. Paadke y M. Ibrahim* partiendo de las señales de

voltaje y corriente de falla y utilizando las componentes

simétricas, obtienen las componentes de secuenc ia de la

señal fundamental. Resuelven por Newton Raphson la ecuación

planteada y determinan la distancia a la falla.

5 .E . Ules ti in y J . A. Bubenco^ uti 1 izan New ton Rhapson

para resolver la ecuación que da la distancia a la falla. Su

proyecto es superior a otros que abarcan el mismo problema,

puesto que todas las variables usadas son medidas en el ex-

tremo transmisor, pero necesitan la impedancia de la fuente

en el extremo receptor (sistema doble fuente terminal) , lo

cual lo vuelve inaplicable a pesar de su teoría correcta.

Ultimamente se han desarrollado dos algoritmos que no

necesitan calcular la impedancia de falla para definir la

distancia al punto de falla; utilizan la transformada de Fou-

rier y la transformada de Laplace, respectivamente. El pri-

mero es el que se ha desarrollado ampliamente y constituye el

tema principal de esta tesis. El segundo se basa en el aná-

lisis transitorio de la red fal losa , con ayuda del teorema

de superposición determina los valores de voltaje y corriente

en el extremo transmisor de la línea en el instante de la

1.2.- OB JET I VO Y ALCANCE .

En la presente tesis se formula un algoritmo para la

local iz ación digital de fallas en líneas de transmisión tri-

fásicas, basado en la transformada de Fourier, sin el cálculo

previo de la impedancia hasta el punto de falla, como lo han

hecho otros algoritmos convencionales. Para ello considera

parámetros distribuidos en la línea de transmisión.

Por lo tanto la distancia al punto de falla aparece como

un intervalo de tiempo entre las ondas incidentes y ref lej a-

das que se propagan en la línea a partir del momento en que

se produce una falla, siendo posible obtenerlo a partir de

las componentes fundamentales de voltaje y corriente en el

extremo transmisor de la línea..

Este algoritmo tiene la facilidad de que para su imple-

mentación no es necesario conocer vol tajes y corrientes en el

extremo receptor de la línea, ni la resistencia de falla, no

toma en cuenta las pérdidas en la línea y para asegurar una

exacta 1 oc al iz ación considera a las fuentes puramente induc-

tivas .

En base a las componentes simétricas y utilizando el

teorema de superposición se plantea para cada tipo de falla

una ecuación algébrica no 1ineal cuya solución corresponde a

la distancia hasta la falla. Para resolverla se utiliza el

método de Newton Rhapson. La respuesta es superior a 1 as ob-

tenidas por otros métodos de la misma naturaleza.

Para la obtenc ion de los fasores de voltaje y corriente

en el extremo transmisor tanto para prefalla como para falla,

se parte de señales discretas obtenidas en la simulac ion di-

gital de fallas y se las procesa útil izand~o la función de co-

rrelación cruzada que se desprende del análisis de Fourier de

ciclo completo.

En los apéndices A y B se hace un corto análisis de las

diferentes funciones ortogonales que sirven para muestrear

señales así como de los diferentes algoritmos para el proce-

samiento de las mismas.

CAPITULO II

DETERMINACIÓN DE LA COMPONENTE FUNDAMENTAL

DE UNA SEKAL TRANSITORIA.

2.1.- INTRODUCCIÓN.

Para la local izacion digital de la distancia al punto de

falla, se deben convertir previamente las magnitudes de vol-

taje y corriente analógicas tomadas de la linea en señales

digitales apropiadas para su procesamiento en el computador

digital, mediante un sistema llamado "de adquisición de datos

e Ínterfases", en donde están involucrados equipos tales

como: transformadores de voltaje y corriente, filtros, con-

verso res análogo digitales, resistencias coaxiales, amplifi-

c ador es DC de aislamiento , e te . "*

Para lograr velocidad y precisión en los resultados, es

necesario tener una representación fiel de las señales de

entrada. Una buena representación se obtiene comparando la

señal a ser detectada con una señal ortogonal de referencia

de la misma frecuencia.

Se han propuesto varias señales ortogonales de referen-

cia entre las cuales están: funciones seno y coseno, señales

cuadradas par e impar, una señal y su derivada, funciones

diente de sierra, etc.1-0 En el apéndice A se hace el análi-

sis de estas funciones y se determinan las más convenientes.

Se indica que las señales de referencia más adecuadas

son las funciones seno y coseno porque tienen una gran ex-

clusión a las frecuencias no deseadas incluyendo la compo-

nente DC, siempre y cuando el período en el cual se realiza

1 a comparación sea igual al de un ciclo de la fundamental.10

El procesamiento de las señales de voltaje y/o corriente

consiste en extraer 1 a componente deseada que en la mayoría

de los casos es la fundamental, a partir de las N muestras

que han entrado al computador en un período T, excluyendo el

resto de componentes que hayan sido consideradas en el modelo

de la onda. Se han propuesto varios algoritmos para real i zar

el procesamiento 3 entre el los se tienen los siguientes:11

a . - Análisis de Fourier y análisis con Funciones Walsh.

b. - Criterio del mínimo error.

c„- La señal y su derivada.

d.- Solución de la ecuación diferencial del modelo del

sistema.

En el apéndice B se detallan estos algoritmos, sus ecua-

ciones básicas y aspectos a considerarse para su elección.

De entre el los se escoje el análisis de Fourier ya que produ-

produce el mejor f i 1 trado . Este algoritmo utiliza la corre-

lación con funciones ortogonales seno y coseno duran te un

ciclo.

2.2. FRECUENCIA DE MUESTREO-

Uno de los parámetros más importantes en la protección

digital es la frecuencia de mués t reo , la misma que sirve para

representar una señal de banda limitada. La selección de

esta frecuencia se basa en el tiempo de procesamiento . ve-

locidad y

En la memoria del computador se requiere que hayan siem-

pre N muestras de corriente y/o voltaje y que éstas vayan

cambiando en el tiempo, entrando una nueva y perdiéndose la

primera de acuerdo a la frecuencia de muestren ; esta frecuen-

cia se define como el número N de señales que se toman en un

período T , es decir que al computador estará entrando una

muestra cada tiempo ( T/N ) , En este intervalo debe real izarse

el procesamiento de las muestras, de tal manera que cuando el

control se transfiera a tomar nuevamente las muestras, ya

haya ingresado la siguiente, figura 2.1.

8

FIG 2.1

Partiendo de que al computador han ingresado 4 muestras

(NI, M^, M-, MA), el tiempo de procesamiento de ellas es dado

por el intervalo entre la adquisición de las muestras IV1A y

M-v, de tal manera que cuando se termine el proceso el control

pase a tomar la muestra M5.

Según el teorema de muéstreo, la frecuencia mínima que

se debe usar para representar una senal de banda limitada, es

la frecuencia de Nyquist, frecuenc ia que es dos veces la má-

xima componente significativa. Al escojer una frecuencia de

muestreo menor o igual a la máxima componente significativa

se producen grandes errores durante el muéstreo de señales,

debido a que las componentes de frecuencias altas se reflejan

en las de baja frecuencia. Este fenómeno se lo conoce corno

"cruce de espectros".* * ^

Por ejemplo en el caso de la protección de generadores,

se utiliza una frecuencia de muestreo de 480 Hz , considerando

armónicas de hasta cuarto orden. En la protección de trans-

formadores, la corriente de inrush contiene componentes de

frecuencias de hasta séptima armónica, por tanto se necesita

una frecuencia de muestreo de 840 Hz. Pero se ha comprobado

que con una frecuencia de 480 Hz, se tienen resultados sa-

tisfactorios. X4a-' 1SS

Generalmente en fallas producidas en líneas de trans-

misión es aconsejable real izar un muestreo rápido de las se-

ñales de voltaje y corriente, utilizando frecuencias de

muéstreo comprendidas entre 720 y 1000 Hz, debido a la pre-

sencia de componentes de frecuencias elevadas.

Para el presente proyecto . se ha seleccionado una fre-

cuenc ia de muestreo de 720 Hz, correspondiente a interva los

de tiempo entre una muestra y otra de 1 .389 milisegundos.

Para esta elección se han considerado los siguientes aspec-

tos:

- La única componente que interesa en el proceso de Ideali-

zación digital es la fundamental.

- En una señal de falla sea voltaje o corriente , a parte de

la fundamental se consideran significativas la tercera y

10

la quinta armónicas. Al tomar 720 Hz como frecuencia de

muestren se considera una componente máxima significativa

de hasta sexto orden (360 Hz), proporcionando más exac-

titud.

Se disminuye el tiempo de computación ya que 720 Hz produ-

ce solo un número irracional en las operaciones de multi-

plicación dentro del algoritmo.

Este valor de 720 Hz ha sido ampliamente utilizado en la

mayoría de proyectos de protección y localización digital,

obteniéndose muy buenos resul tacias .

Luego de escoger la frecuencia de muestren, se debe de-

terminar el periodo para el cual se hace el procesamiento.

Para reducir los errores durante el procesamiento al utilizar

funciones seno y coseno, el periodo en el cual se hace la

comparación debe ser igual al período de las funciones or-

togonales. Al realizar la comparación en un tiempo menor, la

presencia de componentes aperiódicas y oseilatorias en las

señales de falla influyen notablemente en el valor de la com-

ponente fundamental. Por tanto en el análisis de Fourier se

elige el período de procesamiento igual a un ciclo.

11

2.3-- ANÁLISIS DE FOURIER

La comparación entre dos señales X(t) , Y(t) expresada

como R><y, puede obtenerse de la solución de la ecuación

(2.1). A la función Rxy. se la conoce como función de corre-

lación cruzada.

RMV(T) = 1/2T x(t).y(t-T).dt (2.1)J — T

Donde:

X(t) = señal a procesar

Y(t) - señal de referencia standard

T - tiempo diferido

T - tiempo sobre el cual se hace la compara-

c ion .

Para una corriente de entrada de la forma:

i(t) = lo + S Ir,.sen(nwt + e,-,) (2.2)

Con una señal standard:

i.(t) = Im.sen wt (2.3)

Haciendo la correlación de (2.2) con (2.3):

(lo +• 2 Ir-, . sen ( nwt + 9n ) ) . Im - senw (t-T ) , dt2T

(2.4)

12

Desarrollando:

RÍ.Í.(T) = -i— lo-Im.senwít - T).dt +2T

S lo-senínwt + en).Im.sen w(t - Tj.dt2T I - "-1

Tomando el primer término de la expresión anterior e inte

grando para T = TT/W se tiene:

m ' ° [ C O S ( T T - T) - COSÍ -TT - T) ] = O

2(n/w)

Entonees el primer término es igual a cero.

El segundo término:

T n

E I,-,. Im - sen ( nwt + 9,-,) . sen w(t - r).dt21

2T "-sen (nwt + 6n ) . senw( t - T ) . dt

Aplicando la siguiente identidad trigonométrica:

sen A.sen B = '¿.eos (A - B) - '-é-cos (A + B)

Se tiene que:

13

senínwt + 9r> ) - sen w(t - T) = '£ . [ cosínwt •+- ©„ - wt + WT ) ] -*-

- '4. C eos(nwt + ©„ + wt - WT)

Entonces el segundo término es:

i t ^ rTJ- m • J- O ri I—-——» — , ¿J I ' - [eos (nwt + O,-, - wt +

2T J --

.1 cos(nwt + 9^ + wt - WT) ] }.dt

Im- cos[ (n - l ) .w t + ©„ + WT) ].dt

47cosC ( n + 1) .wt + ©,-, - WT ] . d t

2 . 5 )

Separando los dos términos de (2.5), se tiene

Primer término:

cos[ (n-l).wt + ©„ + WT ].dt4T

14

Para n = 1:

4Teos ( 6p, + WT ) . dt =

Im.I, -.eos ( WT ) . t4T

m' .cos( er, + WT ).( T + T )4T

Para T = TC/W:

^ Im.I.

2

Seaundo término:

WT

Im.I,

4Tcos[ (n+l).wt WT ].dt

Para n = 1:

4Tcos( 2wt + On - WT).dt

Integrando entre T y -T

C sen( 2wT4T 2w

sen ( -2wT •+• 9n - WT ) 3

15

Para T = rt /w:

' ri [ sen(2n + 9^ - WT) - sen ( -2n + 6^ - WT ) ] = OSu

Por lo tanto para n = 1 y T = TI/W;

1 m « -t n

4Tcos( ©n + WT ).dt +

cosí 2wt + 90 + WT ).dt

• •*• n / / - , \S ( Or-, + WT )

Para n = 1, se repite el procedimiento anterior y se en-

cuentra que ambos términos son cero, sea n par o impar.

Por lo tanto:

RÍ.Í.ÍT) = m' " . cos( 6,-, - WT ) (2.6

Para I m = 1 y T - O:

Ri.i.íO) = -2..coste,,) (2.7)2

16

La expresión (2.7) representa la parte real de la componen te

fundamental de la señal, dividida para dos.

Para la parte imaginaria, se realiza la correlación de la

misma señal, con la función standard coseno:

i,(t) = Im.cos wt (2.8)

Siguiendo el procedimiento anterior, se tiene

. sen( eo - WT ) ( 2 . 9 )

Para T = Tt /2 e Im = 1:

RÍ. Í , (T) = — cos( 9r, - u/2 ) (2.10)

Ir,/2.cos( Ti/2 - Qn ) (2.11)

En tonces:

Ri.i.ÍTi/2) = lo /S .senCGr , ) (2.12)

17

La expresión (2.12) representa la parte imaginaria cié la com-

ponente fundamental, dividida para dos.

Por lo tanto 5e concluye que para obtener la parte real

y la parte imaginaria de la señal X(t), se debe evaluar 1 a

ecuación (2.1) para T = O y T = TI/2 , respectivamente.

Con Y(t) = sen(wt), para la parte real e Y(t) = cos(wt), para

la parte imaginaria, se tiene:

X R — R x y ( O ) — X(t)-sen(wt).dt 2.13)

i — R „ x ( TI / 2 ) - X(t).cos(wt).dt (2.14)

XR = Parte real de la componente fundamental

Xi = Parte imaginaria de la componente fundamental

Las ecuaciones (2.13) y (2.14) son para forma continua de in-

tegración. Para su implementac ion en el computador deben ex-

presarse en forma discreta, así:

18

<-> M I/T KUJTXR(t) = -Í-. Z X (_ ).sen ( — ) (2.15

X,(t) = -?-. S X ( L).cos (JS2L.) (2.16)

Donde: T = 2/w

N - número de muestras tomadas en base a la

frecuencia de muestren durante un ciclo.

X(KT/N) = valores instantáneos que van entrando al

computador.

19

CAPITULO III

TEORÍA FUNDAMENTAL DEL MÉTODO

El objetivo es determinar la distancia al punto de falla

en una línea de transmisión trifásica, conociendo únicamente

voltajes y corrientes en el extremo transmisor. Antes de es-

to es conveniente desarrol lar el método en una 1 ínea monofá-

sica para comprender mejor el procedimiento a seguirse .

3.1 .-EN UNA LINEA MONOFÁSICA.

Se considera la línea de transmisión SR de la figura

3.1a en la que ha ocurrido una falla en el punto F situado a

X Km de S (terminal de envío). Para la ubicación de cual-

quier punto de falla a lo largo de la 1 ínea se toma como re-

ferencia (X=0) el terminal de envío „

En el punto F se tienen las siguientes relaciones :

(3.1)

(3.2)

Donde :

FV

U

I»

If-R

vector voltaje de falla

resistencia de falla

vector corriente de falla

vector corriente dirigido hacia S

vector corriente dirigido hacia R

En 1 a teoría de redes lineales la ley de superposición

permite separar la red fallosa en: una red de pre falla y

otra en el instante en que se produce la falla (red de su-

perposicion). Estas redes se aprecian en las figuras 3.ib y

3. le respectivamente.

ra

(a) Red fal losa

FIGURA 3.1

21

(b) Red Pre Falla

.," —> 4- I -fr O- v,"Vs T" TM "> T" i" VR

b Is IFS TRF FR IR K

(= ) Red Superposición

FIGURA 3.1

Aplicando la ley de superposición, la ecuac ion (3.2)

puede expresarse de la siguiente forma:

I •- = - ( 11 ) = - ( I r - -*- I m ) ~ ( 1 F^ F -' I r' R (3.3)

22

La ' indica vectores definidos en la red de prefalla.

La " indica vectores definidos en la red de superposición

En la red de prefalla la corriente I es cero , entonces

I¿rS e I^R también son cero, por tanto la ecuación (3.3) se

transforma en :

IP = - ( I 4- I¿1R) (3.4)

Reemplazando (3.4) en (3.1) se tiene :

(3.5)

Se define el "factor de distribución de corriente de

falla K (x) " como la relación entre los vectores I -p,, e I^s

definidos en la red de superposición, esto es:

K(x) = Ifr* (3.6)I£»

Sustituyendo (3.6) en (3.5) produce:

Vp, = - Rpr.I^e.t i + K(x) } (3.7)

Debido a las altas frecuencias que aparecen luego de o-

currida la falla se considera a la linea de transmisión "e-

lectrieamente larga", por lo tanto con parámetros uniforme-

mente distribuidos . Esto permite hacer uso de la forma hi-

23

perbólíca de las ecuaciones que definen la corriente y la

tensión en cualquier punto de la línea.

Por tanto los vectores W e I 8 en función de los vec-

tores voltaje y corriente en el extremo transmisor están da-

dos por las siguientes expresiones:

V^ = A(x).Ve - B(x).Is (3.8)

I£9 = C(x).Vs - D(x).Ie (3.9)

Donde A(x), B(x), C(x), Dfx) son las constantes generaliza-

das de la 1ínea de transmisión y se definen como:

A( x) = D(x) = cosh(Sx)

B(x) = Zc. sinh(6x)

C(x) = sinh(Sx) / Zc

Donde:

6 = constante de propagación

Zc - impedancia característica de la 1ínea.

Los vectores de falla Vs e Is se miden directamente en

el terminal de envío S, mientras que los vectores Vs e Is se

24

obtienen mediante las siguientes expresiones

s = Vs - Vs (3.10)

(3.11)

Reemplazando (3.8) y (3.9) en (3.7) se tiene•

A(x).Va - B(x).la =

Mx) }.{ C(x).Vs - D(x).Io

Despejando R^.{ 1 + K(x) } se tiene:

K(x) } = - A(x).V3 - B(x).l

C(X).Va ~ D(x) .lo

Si se considera la línea sin pérdidas y las fuentes en

los terminales puramente inductivas, el factor K(x) tiene

valor real. ( Ver apéndice C). Según esto el lado izquierdo

de (3.12) es real, por lo tanto la parte imaginaria de la ex-

presión compleja del lado derecho es cero.

Im { A(x).V

C(x) .V» - D(x) . lo

25

Al resolver la ecuación (3.13) se tiene la distancia X

al punto de falla. Como la ecuación es no lineal se? utiliza

el método de Newton Raphson para encontrar la solución.

3.2.- EN UNA LINEA TRIFÁSICA.

Utilizando las componentes simétricas en el punto de

desequilíbrio se obtiene, independientemente para cada tipo

de falla, la ecuación básica.

3.2.1.- FALLA FASE TIERRA.

En la figura 3.2 se representa una falla a tierra de la

fase A a través de la impedancia Rp- ,

u ,! i

~7C~ '

Ll "

j

\nv |

|i-

'V(W '

¡,<;'

F

" / / / S //////SS / // / S / / S S S S S S

FIGURA 3.2

El desequilibrio debido a la falla está caracterizado

por las siguientes condiciones:

26

) = o

> = O

(3.14)

El vector corriente en componentes simétricas está dado por:

íí«>= 1/3

1 1 11 a a2

1 a2 a l£*>(3.15)

Donde:

a = operador que origina rotación de 120° en sentido

contrario a las agujas del reloj.

El vector voltaje en componentes simétricas está dado por:

VÍ*>= i/3

1 1 11 a a21 a2 a ü í = > (3.16)

De las ecuaciones (3.15) se tiene:

Por tanto

27

Entonces:

(3 .17)

Reemplazando la primera condición de (3.14) en (3.16):

i':: = 1/31 1 11 a 321 32 a üí-

3.18)

Desarrol lando (3. 18) :

V¿<-» = 1/3 [ Rp-.I^-í + v¿>=>> +

V^1' = 1/3 [ R^.I^*1 + a.V^t o l

V¿.2> = 1/3 [ RF..I^«> + a2 .V¿ t o )

Sumando las tres úl timas ecuaciones

Pero :

1 + a + a2 = 0

28

Entonces:

(3.19)

Reemplazando (3.17) en (3.19)

(3.20)

Aplicando la ecuación (3.4) para I^3-', se tiene:

(3.21)

El factor K(x) de secuencia positiva está definido por

la siguiente expresión:

K í l J (x) = ..... If"Á:L' (3.22)

Sustituyendo (3.22) en (3.21):

(3.23)

Reemplazando (3.23) en (3.20) :

29

Entonces:

- -3.fV.II 1 + K < x ) < * > ] (3.24)

El factor K (x ) es real , (Ver sección 3.1), RF^ es real ,

por tanto el miembro del lado derecho de la ecuación (3.24)

es real y se cumple la siguiente igualdad:

Im { > = O - (3.25)

Donde:

La ecuación (3.25) da la distancia X al punto de falla

para una falla fase tierra, se la resuelve mediante Newton

Raphson. En el apéndice D se detalla la apiicación de este

método.

3.2.2 FALLA FASE-FASE

En la figura 3.3 se representa una falla entre las fases

B y C a través de una impedancia RF^ .

30

1h 1 •

1 (

K' Kk>

A A

l'V"

/(O

FIGURA 3.3

El desequilibrio debido a la falla entre las fases B y

C está caracterizado por 1 a^i siguípntps rorid i c iones :

O (3.26)

Reemplazando las dos primeras condiciones de (3.26) en

(3.15) se tiene:

íí=>= i/3

1 1 1i a a21 a2 a

O

(3.27)

Desarrollando (3.27) se tiene

31

1' = 1/3

=> =r 1/3

Por tanto:

= O

= 1/3. (az - a)

= i/3. (a - a2 )

(3.28)

Donde

a -

a = - j . 4 ó

12 = j.4-3

Entonces:

- j .4-3/3

j . 4-3/3

Por tanto:

(3.29)

Reemplazando la tercera condición de (3.26) en (3.16):

32

= 1/31 1 11 a a*1 32 a

(3.30)

Desarrollando (3.30) para V^-15 y

= 1/3.

' = 1/3. 32

Agrupando:

= 1/3.

=> = 1/3.

Restando V¿2> de

=> = 1/3 - (a -

Pero:

a - a2 = j . 4-3

Entonces:

= j. 4*3/ (3.31)

33

Por otro lado;

Reemplazando (3.29) y la primera condición de (3.28) en la

expresión anterior:

j ¿ t » ) = s l ¿ i - > . ( a 2 — a) (3.32)

Sustituyendo (3.32) en (3.31) se tiene:

Simplificando:

VFLD _ v¿3) = RF.I¿D (3.33)

Reemplazando la ecuación (3.23) en (3.33):

Entonces:

(3.34)

34

Por las razones expuestas en la sección 3.2.1, la parte

imaginaria de la expresión del lado derecho de la ecuación

(3.34) es nula:

_

Im { —í — } = O (3.35)

Donde:

, 2

La ecuación (3. 35) da la solución X al punto de falla

para una falla entre dos fases , se resuelve mediante New ton

Raphson . (Ver apéndice D) .

3.2.3.- FALLA FASE - FASE TIERRA.

En la figura 3.4 se representa la falla de las fases B y

C a tierra a través de la impedancia RF.

35

11 (V • l'V"

TS * zs: <>—r ° s1Tvto) Tv(b) I Rp TV(C»

FIGURA 3.4

El desequilibrio debido a la falla está caracterizado

por las siguientes condiciones:

= O

(3.36)

Reemplazando la primera condición de (3.36) en (3.15):

I¿-°>I^-^-5u=>

= 1/31 1 11 a a21 a2 a

0I ^ t o >I^* 5

(3.37)

36

Desarrollando (3.37) para I^0) se tiene

¿O) = 1/3. [

Entonces:

(3.38)

Reemplazando la segunda condición de (3.36) en (3.16):

V£° >V^5

V¿3>

= 1/31 1 1l a a2

1 a2 a

V£~ >R i T l_t> > 4. T -í_<= ) \r . ( 1 |±" -T I ft J

Rpr. ( I^b> + I¿c> )

(3.39)

Desarrollando (3.39) para V^°5 y V^1J se tiene

= 1/3. 2.RR.

= 1/3.

Restando VR°> de V^1-^ se tiene

Pero:

2)/3]

37

Por lo tanto:

Sustituyendo (3.38) en (3.40) se tiene:

Se define el factor K(x) para secuencia cero, de la si-

guiente manera:

K<0 5(x) = ÍF-Á'-M (3.42)

La ecuación (3.21) para secuencia cero es:

I ¿e» - _ [ 1^40) + i^o> ] (3.43)

Sustituyendo IRÁO) de (3.42) en (3.43) se tiene:

I¿o> - - [ i + K«:»(X) ].I^4°> (3.44)

Reemplazando (3.44) en (3.41):

V¿*> - V¿°> = 3.R^.{ 1 -*- KC O )(x) }.I^¿<->)

38

Entonces:

3.45)


imaginaria de la expresión del lado derecho de la ecuación

(3.45) es cero:

V41' - V4OÍIm { - _ - _ - } = O (3,46)

Iré03

Donde :

V "' • > = A e k ) (x) .V4"-' - Bc l*»(x) .IAh> ; k = O, 1

La ecuación ( 3 . 46) , da la distancia X al punto de falla

para una falla de dos fases a tierra, se la resuelve mediante

New ton Raphson . (Ver apéndice C )

3.2.4.- FALLA TRIFÁSICA.

En la figura 3.5 se representa una falla trifásica a

tierra a través de una impedancia R^ .

39

FIGURA 3.5

En este caso la falla no introduce ningún desequilibrio

en la 1 ¿nea de transmisión y por lo tanto no existen corrien-

tes y voltajes de secuencia negativa y cero, independiente-

mente de que la falla trifásica esté o no conectada a tierra.

Todas las cantidades que intervienen en el cálculo son de

secuencia positiva.

Con la impedancia de falla

la tensión en el fallo es:

igual para todas las fases

(3.47)

40

Y como solo circulan corrientes de secuencia positiva :

(3.48)

Reemplazando la (3.23) en (3 . 48) se tiene:

Entonces:

.C i + K í a - > < x ) ] (3.49)


imaginaria del miembro del lado derecho de la ecuación (3.49)

es cero, es decir:

Im { —V/*a'a > = O (3.50)

Donde:

La ecuación (3.50) da la distancia X al punto de falla

para una falla trifásica, se la resuelve mediante Newton Rap-

hson. (Ver apéndice C).

41

CAPITULO IV

PROGRAMA DIGITAL

4.1. INTRODUCCION.

En base a la teoría exDUesta en el capítulo 3 se desa-

rrolla el programa digital que permite encontrar la distancia

al punto de falla en líneas de transmisión trifásicas de alto

voltaje„

Antes de detectar la presencia de una falla, su tipo y

las fases involucradas, calcula la componente fundamental de

voltaje y corriente de pre falla analizando las muestras co-

rrespondientes leídas desde el archivo de datos. Def inida la

falla calcula la componente fundamental de las señales de fa

lia.

Luego utiliza las componentes simétricas y el teorema de

superposición para calcular voltajes y corrientes de superpo-

sición en componentes de fase y de secuencia y resuelve la e-

cuación básica mediante Newton Raphson.

4.2.- DETECCIÓN DE FALLAS Y FASES INVOLUCRADAS.

Para detectar un transitorio, se utiliza el algoritmo

propuesto en la referencia 5. Al maestrear una corriente

sinusoidal I ( t) , N veces por ciclo correspondiente a la fre-

cuencia nominal, se define:

Donde: Ii = última muestra de I(t)

Iox= = muestra de I í t) obtenida hace medio ciclo.

I,-, = muestra de I (t) obtenida hace un ciclo

El transitorio existe si:

CT > e

Donde e es un valor limite previamente determinado que

depende de la relación entre las corrientes de falla y nomi-

nal. En esta tesis se utiliza para e el 57. de la corriente

nominal.

Una vez detectado el transitorio, con ayuda de las com-

ponentes de Clarke se procede a discriminar el tipo de falla

y las fases involucradas17".

43

Las componentes de Clarke permiten transformar un 5 in-

terna trifásico desequilibrado de voltajes v corrientes en el

dominio del tiempo en tres sistemas de componentes: ALFA (a),

BETA ( 0) y CERO (O).

La fase A se toma como referencia y se tienen las si-

guientes reíaciones:

I* = lo +

It, = lo ~ -T3/2

-T3/2.

(4.1)

Resolviendo el sistema anterior para I ,=(, I ra , I«:,, se tiene:

lo = 1/3 . < I » + Ib + Ic)

I,a = 2/3 . ( I. - ( Ito + I«)/2)

Ira = l/4"3. ( Ib - Ie)

(4.2)

- FALLA FASE TIERRfl: (fase fallosa A)

Condiciones :

U « O

Reemplaaando estas condiciones en (4.2) se tiene

44

la - O

I* = 2I0

De la definición de I ra se tiene la expresión que iden-

tifica la falla en la fase A a tierra:

Ito - I« - O (4.3)

Si la falla ocurre en cualquiera de las otras fases ,

las expresiones son similares ya que el nombre de las fases

es arbitrario .

4.2.2. FALLA FASE FASE: ( fases fallosas B y C )

Condiciones: I» = O

Reemplazando estas condiciones en (4.2) se tiene:

lo - O

U = o

De (4.2) se tiene la expresión que identifica la falla

entre las fases B y C .

21. - Ito - I« « Q (4.4)

45

La expresión anterior sirve para identificar fallas en

cualquiera de las otras fases ya que el nombre de las fases

es arbitrario.

4.2.3. FALLA FASE FASE TIERRA (fases fallosas B Y C)

Condición: I» = O

Reemplazando esta condición en (4.2) se tiene:

De (4.2) se obtiene la expresión que identifica la falla

de las fases B y C a tierra.

21. - Ib ~ U + In » O (4.5)

Por analogía se tiene la expresión para cuando la falla

es entre otras fases „

4.2.4. FALLA TRIFÁSICA;

Condición: I0 = O

46

Para una mayor veloe idad en la detección de la f a l l a se

determina primero si existe corriente residual; si ésta exis-

te, se analiza si la falla es fase tierra, si no lo es, se

considera falla bifásica a tierra y se determina el mínimo de

la expresión que sirve para identificar las fases failosas.

Si no existe corriente residual, se analiza primero si

se trata de falla bifásica, caso contrario, se considera

falla trifásica. Para ello se definen los siguientes paráme-

tros :

Para declarar la existencia de corriente residual, ésta

debe sobrepasar el 107. de la corriente nominal .

Para determinar la fase fallosa en caso de fallas fase

tierra, la expresión respectiva, ecuación (4.3) debe ser in-

ferior al 157. de la corriente nominal.

Para determinar las fases failosas en caso de falla fase

fase, la expresión respectiva, ecuación £4,4) debe ser infe-

rior al 157. de la corriente nominal .

4.3.- DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA PRINCIPAL.

El programa principal se desarrolla en lenguaje FORTRAN 77 y

real iza lo siguiente:

- Lee y escribe los siguientes parámetros de la linea:

47

Voltaje nominal de operación en KV.

Potencia aparente nominal en MVA.

Inductancia, resistencia y capacitancia de secuencia posi-

tiva y cero en Henrios/KM, Ühmios/KM y Faradios/KM„ respec-

tivamente .

Longitud total de la linea en KM.

Verifica que los datos leídos en el bloque anterior se

encuentren dentro de márgenes espee ífieos. En caso de que

ingrese un dato erróneo escribe el mensaje de error y se

detiene automáticamente.

Real iza los siguientes cálculos previos a la localización:

Valores máximos que deben tomar las expresiones en el aná-

lisis del tipo de falla.

El valor "a" que sirve para detectar un transitorio (ver

sección 4.2.).

Impedancia serie por unidad de longitud de secuencia posi-

tiva y cero.

Admitancia shunt por unidad de longitud de secuencia po-

sitiva y cero.

Constante de propagación de secuencia positiva y cero.

Impedancia característica de la línea de secuencia positiva

y cero.

48

Encera las localidades de memoria asignadas a las muestras

de voltaje y corriente leidas desde el archivo de datos.

Encera los indicadores de las declaraciones que se presen-

tan en el diagnóstico de una falla.

Encera la localidad de memoria asignada a la corriente re-

sidual en caso de fallas a tierra.

Después de leer las 12 primeras muestras de voltaje y co-

rriente, la subrutina CFLJN calcula la parte real e imagina-

ria de la respectiva componente fundamental de pre f a l l a .

Luego lee la siguiente muestra y verifica si existe a no

transitorio, si no lo hay escribe esta condición y lee las

siguientes muestras hasta detectar algún transitorio.

Cuando lo detecta escribe esta condición y 1 lama a la sub-

rutina que determina el tipo de falla.

Continúa leyendo las muestras de voltaje y corriente de fa-

lla necesarias para calcular las respectivas componentes

fundamentales.

Real iza los siguientes cálculos:

Voltajes y corrientes de superposición en componentes de

fase y secuencia.

Voltajes y corrientes de falla en componentes de secuencia.

Finalmente, según el tipo de falla, llama a la subrutina

que calcula la distancia.

49

4.4.- DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA PRINCIPAL

c^I C I O

/

E S C R I T U R A /DE /

T Í T U L O S /

/

L E C T U R A DE /P A R Á M E T R O S /DE LA L I N E A /

P R U E B A BEC O N S I S T E N C I A

DE DATOS

C ALC ULOS

F R E L I M I N A R E S

^ E S C R I T U R A DE/C ALC ULOS

> R E L I M I N A R E S

INI C I AL I ZA

VARIABLES

L = 0

50

<<<

LLAMABA

LEMUES

LLAMADA

MFFA

'L L A M A D A

LEMUES

>>

N0

/

ESC RI BE

SE BETECTO"

<

<

<

L L A M A B A

LEMUES

I

L L A M A B A

T I FO

L L A M A B A

LEMUES

K - 0

<L L A M A B A

LEMUES

/

ESC R I BE :/NO SE /

BETEC TO /

51

CDESC RI BE

"MUESTRA DEFALLA fe" 7K = K + 1

CALCULA; VOLTAJESBE S U P E R P O S I C I Ó N

VPA ? VFB > VPC

C A L C U L A ; C O R R I E N -TES S U P E R P O S I C I Ó N

I P A > I PB > I PC

C A L C U L A ; VOLTA-JESBE FALLA ENCOMPONENTES BE

SECUENC I A

C A L C U L A ; C O R R I E N -TES BE FALLA EN

COMPONENTES BESECUENC I A

C A L C U L A VOLTAJESDE S U P E R P O S I C I Ó NEN COMPONENTES BE

SECUENC I AVPrt >. VP , > VP-s

C A L C U L A C O R R I E N -TES BE SUPERPOSI-C I Ó N EN COMPONEN-TES BE SEC UENC I A

IP0, I P t , IPS

S I

S I

S I

NO

LA FALLA ES

T R I F Á S I C A

LLAMADA

TRIPAS

C

LLAMADA

EIFTI

'F I N

LLAMADA

BIFAS

53

4.5.- SUBRUTINAS UTILIZADAS:

SUBRUTINA LEMUES.

~ Desplaza las muestras de valtaje y corriente

- Lee dichas muestras, una a la vez para cada fase

~ Escribe las muestras leídas.

- Desplaza las muestras de corriente residual

LEMUES

A C T U A L I Z A LASMUESTRAS DE VOL-TAJE Y C O R R I E N T E

A C T U A L I Z A LASM U E S T R A S BE CO-RRIENTE RESIDUAL

/

ESC R IT I MAS

I NO

BE LAS UL-M U E S T R A S

N G R E S A D A S 7c R E T O R M O

SUBRUTINA MPFA:

- Almacena las muestras de voltaje y corriente de pre falla

para las tres fases de la línea.

- Llama a la subrutina CFUN que calcula la componente funda

mental de las señales almacenadas.

< MPFA

A L M A C E N A MUESTRASDE VO L T A J E

BE LAS TRES FASESDURANTE UN C I C L OANTES DE LA FALLA

<-LAMADA\ >

CFUH JT

A L M A C E N A LA PARTEREAL E I M A G I N A R I ADE C O M P O N E N T E FUND A M E N T A L DE VOLTA•JE DE LAS 3 FASES

A L M A C E N A LAS MUÉSTRAS DE C O R R I E N T EDE LAS TRES FASESDURANTE UN C IC LOANTES DE LA FALLA

<CFUN

A L M A C E N A LA PARTEREAL E I M A & I N A R I ADE LA FUNDAMENTALDE C O R R I E N T E DELAS TRES FASES

RETORNO

SUBRUTINA CFUN

- Calcula la parte real e imaginaria de la componente funda-

mental de las señales de voltaje y corriente de pre falla

c FUN

C A L C U L A LAFARTE REAL EI M A S I H A R I A BE

V O L T A J E YC O R R I E N T E BE

F-REFALLA DE LASTRES FASES

C R E T O R N O

SUBRUTINA CROCFT

- Calcula la parte real e imaginaria de la componente funda-

mental de las señales de voltaje y corriente de falla.

C ROC FT

C A L C U L A LAFARTE REAL EI M A G I N A R I A BE

VOLTAJE YC O R R I E N T E BEFALLA BE LASTRES FASES

C RETORNO

BUBRUTINA TIPO

- Calcula las corrientes produc idas a causa exclusiva cíe la

fal la.

- Verifica la existencia de corriente residual.

- Considerando falla fase tierra verifica que fase falló.

- Escribe el tipo de falla y la fase fallosa.

- Si no se verificó la falla anterior declara que la falla es

bifásica a tierra.

- Determina las fases fallosas y escribe el tipo de falla y

las fases involucradas.

- Considerando falla fase fase verifica las fases fallosas.

- Escribe el tipo de falla y las fases involucradas.

- Si no se verificó la falla anterior declara que la falla es

trifásica y escribe esta condición.

57

T I PO

C ALC ULALAS C O R R I E N T E SSUPERPUESTAS

POR LAFALLA

C O N S I D E R A RFALLA

FASE - TIERRA

S I

D E C L A R A RFALLA

FASE E-TIERRA

DEC LARARFALLA FASEA - TI ERRA

ESC R I B I RLA FALLA ES

FASE A - TIERRA7f RETORNO \ ESC R I B IR

LA FALLA ESFASE B - TIERRA

J RETORNO \

58

BEC LARARTALLA FASE"C"-TIERRA

DECLARAR FA-LLA E I TAS IC A-

T I ERRA /ESC R I B I R - LA

FALLA ES TASE"C" - T I E R R A

C A L C U L A R LOS TRESV A L O R E S BE LA EX-PR E S I Ó N QUE DIS-C R I M I N A L A S TASESINVOLUCRADAS EN

LA FALLAB I F A S I C A - T I E R R A

| RETORNO J

DETERMINAR A QUETASES INVOLUCRAEL MINIMO VALOR

D E C L A R A R FASESI N V O L U C R A D A S"E" Y "C"

ESC R I E IRFALLA FASES B-

C- T I E R R A " 7RETORNO

59

E S C R I B I R - " F A L L AFASES A - B -

TIERRA"

DECLARAR FA-SES INVOLUCRADAS "A" Y "C"

uZSCRIBIR;"FA-LLA FASES A - C

-TI ERRA" Ií RETORNO \ RETORNO J

C O N S I D E R A RFALLA

FASE-FASE

DECLARAR FALLAENTRE LAS FASES

íí 5 3? y " C íf

ESCRIBIR "FALLAENTRE LAS FASES

B Y C "

J RETORNO J

7

SI

X^ Y *

D E C L A R A R F A -L L A E N T R E L A SFASES "B"Y"C"

•>^**

^^ LL¿

/I L ± H * J

E S C R I B I R * " F A L L A / ^X^ Y '/ E N T R E LAS FASES / ^S^ *

S V 0 / ^

( \íR E T O R N O \I

/ T R I F í

/

ESC 3" Fí

TR I Fí

-X'C" ^^^

>IO

^R O N X ^ S I D E C L A R A R F A -:£ "A3?S L L A E N T R E LAS1 5 j? ,X^ FASES " A " Y " B "

> ^^

NO

E N T R E L A S F A S E S"A" Y "E"

( R E T O R N O J

>^ L L A /\S 1 C A" /

í R E T O R N O J

SUBRUTINA MUFA:

- Almacena las muestras de voltaje y corriente de falla para

las tres fases de la línea.

- L1 ama a la subrutina CROCFT que calcula la componen te fun-

damental de las señales almacenadas.

M U F A

A L M A C E N A MUESTRASDE V O L T A J E DE LASTRES FASES D U R A N -TE UN C I C L O DES-

PUÉS DE LA FALLA

L L A M A D AA

C ROC FT

A L M A C E N A LA P A R T EREAL E I M A G I N A R I ADE LA C O M P O N E N T EF U N D A M E N T A L DZVOLTAJE DE F A L L A

BE LASTRES FASES

A L M A C E N A LAS MUÉSTRAS DE C O R R I E N T EDE LAS 3 FASES DURANTE 1 C I C L O DESPUES DE LA F A L L A

L L A M A D AA

C ROC FT

A L M A C E N A LA PARTEREAL E I M A G I N A R I ADE C O R R I E N T E FUN-D A M E N T A L DE FALLADE LAS 3 FASES

RETORNO

62

SUBRUTINñ MOFAS:

Calcula la distancia al punto de falla en caso de fallas

monofásicas a tierra resolviendo la ecuación (3.30) median-

te Newton Raphson.

Para el proceso iterativo almacena la ecuación y su deriva-

da en las variables KHP y JOR respectivamente.

Cuando encuentra la solución escribe en el archivo de

resultados la distancia al punto de falla y se detiene.

Caso contrario escribe el mensaje de no convergencia y

continúa el proceso hasta encontrar la solución.

63

MOFAS

CALCULA VARIABLESQUE NO DEPENDENDE LA DISTANC I A

DIST =

I N I C I APRÜC ESO

I TERATIVO

CALCULA VARIABLESQUE SON FUNCIONDE LA DISTANCIA

3> E L T A X -M ( •

DIST=DIST-DELTñX

ESC RMENSAJEC ONMERGENC

S I

I BE /E DE NO /&ENC I A /

ESCRIBE ELVALOR DE LADISTANC IA 7

f RETORNO J

64

SUBRUTINA BIFAS:

- Calcula la distancia al punto de falla en caso de fallas

entre dos fases resolviendo la ecuación (3.40). El proceso

es similar al de la subrutina HOPAS; almacena la ecuac ion

básica en la variable R2 y su derivada en R3.

j

£ BITAS \ ALC ULA

V A R I A B L E S QUENO SON FUNC I ON

BE LABISTANC X A

DIST = 0

I NIC I Afr PROCESO

I TERAT I VO

C A L C U L A V A R I A B L E SQUE SON EUNC I ONBE LA DI STANC X A

l M < R a >JEXiTrtX — - ... — .

1H<*3>

DIST=DIST-DELTAX

^X^BELTAX Sr . f T. f- 5 S«t í, •=• f = J

^ BIST ^r

]f NO

/

\E /

MENSAJE BE NO fC ONUER6ENC I A /

-

S I

/

ESCRIBE EL /UALOR BE LA /B I STANC I A /

! /

f RETORNO J

65

SUBRUTINA BIFTI.

- Calcula la distancia al punto de falla en caso de fallas

de dos fases a tierra resolviendo la ecuación (3.51). El

proceso es similar al de MOFAS, aImaceña la ecuación básica

y su derivada en KHPO y JORO respectivamente.

BI TT I \A V A R I A B L E S

QUE NO DEPENDENSE LA DI STAHC I A

DIST = 0

I N I C I APROC ESO

I TERAT I VO

C A L C U L A V A R I A B L E SQUE SON FUNC I ONDE LA DI STANC I A

DELTAX -I M < J 0 R « >

DIST=DIST-DELTAX

s i

/

E S C R I B E /M E N S A J E DE NO /C O N M E R 6 E N C I A /

/

ESC 3t I BE ELM A L O S DE LAD I STANC I A 7

£RETORNO J

66

SUBRUTINA TRIFAS.

- Encuentra la distancia al punto de falla en caso de fa l l a

trifásica resolviendo la ecuación (3,55). El procesa es

similar al de MOFAS, almacena la ecuación básica y su

derivada en las variables TRI9 y TRI5 respectivamente.

TRI FAS

C A L C U L A V A R I A B L E SQUE NO DEPENDEN'BE LA BISTANC I A

D I S T == 0

1 N I C I AFROC ESO

I T E R A T I V O

C A L C U L A V A R I A B L E SQUE SON F U N C I O NDE LA D ISTANC I A

DELTAX -

DIST=0IST-DELTAX

/

E S C R I B EMENSAJE DE NOC ONVER6ENC I A

///

/

ESC R I BE ELV A L O R DE LAD I STANC I A

///

R E T O R N O

67

CAPITULO V

APLICACIÓN DEL PROGRAMA DIGITAL

5.1.- INTRODUCCIÓN

El programa digital se lo va a probar pn 1 í MFSH^ trifá-

sicas de alto voltaje, de simple circuito y sin acoplamiento

mutuo con otras lineas. El sistema en el cual SP simulan las

fallas se muestra en la figura 5.1.

VA

Diagrama Uni fi 1ar

FIG.5.1

Parámetros del sistema:

KV.

01 KV.VB = 230

L0^ = 5•305 x 10 = H (Inductancia de secuencia cero del

generador A ) .

LJ.P, = 5.30 5 x 10" H (Inductancia de secuencia positiva del

generador A).

LaB = 5 - 305 x 10~= H (Tnductancia de secuencia cero del

generador B).

LAB = 5.305 x 1O~^ H (Inductancia de secuencia positiva del

generador B).

Frecuencia nominal del sistema = 60 HZ

Potencia aparente nominal = 200 MVA

Características de la linea:

Longitud de la linea = 300 KM

Ro = 2,7905 x 10-3- OHM/KM.

Lo = 3.3300 x 1O-3 H./KM.

C0 = 7.0060 x 10-^ F./KM.

Ri = 2.5480 x 10-= GHM/KM.

Lx = 8.7040 x 10-* H./KM.

Ca = 1-2957 x 10~s F./KM.

Los voltajes y corrientes transitorios necesarios para

realizar las pruebas fueron obtenidos con el programa digital

que simula fallas en lineas de transmisión. Este programa se

69

describe en la referencia 18 y utiliza el método de integra-

ción trapezoidal simple al integrar la transformada modifica-

da de Fourier de las señales para obtenerlas en función del

tiempo.

El número de muestras obtenidas por medio de la simula-

ción son: 15 muestras antes de la falla y 15 después, a in-

tervalos de tiempo de 1.3889 mil isegúndos correspondientes a

la frecuencia de muestreo de 12 muestras por ciclo.

5.2.~ EJEMPLOS:

Con el programa descrito en la referencia 18 se simulan

fal las en diferentes puntos, fases y ángulos de iniciación de

la falla y se generan las ondas de voltaje y corriente de

falla. Para comprobar la validez de los resultados de la

presente tesis se los compara con los datos de partida de

dicha referencia.

5.2.1.- FALLA FASE TIERRA:

EJEMPLO # 1:

SIMULACIÓN DE LA FALLA:

DISTANCIA A LA FALLA: 90 KM,

FASE FALLOSA: FASE C

ÁNGULO DE INICIACIÓN: 270°

70

Las muestras de corriente y voltaje se encuentran en la tabla

5.1 y las formas de onda correspondientes en las figuras 5.2a

y 5 . 2b respectivamente,

00o0o0000000000000000000000000

TIEMPO(Seg. )

.OOOOOO

.001389

.002778

.004167

.005556

.006945

.008334

.009723

.011112

.012501

.013890

.015279

.016668

.018057

.019446

.020835

.022224

.023613

.025002

.026391

.027780

.029169

.030558

.031947

.033336

.034725

.O36114

.037503

.038892

.040281

la(Amp

-460-647-660-496-199150460647660496199

-150-460-647-660-497-148198540706752532232-157-460-682-679-493-183187

. )

.77

.30

.40

.55

.65

.76

.76

.30

.40

.54

.63

.77

.77

.31

.39

.99

.97

.89

.79

.27

. 12

.07

.97

.00

.92

.35

.24

.94

.33

.68

Ib(Amp

660496199

-150-46O-647-660-496-199150460647660496199

-152-410-599-580-437-107186494641660461180

-148-444-610

. )

,40.53.62.75.76.30.40.54.63.77.77.31.40.53.62.25. 1 3.21.39.56.87.36.16.12.26.48.73.25.53.46

Ic( Amp

-19915O460647660496199

-150-460-647-660-496-199150460142824253222351632572421130086

-849-1326-1776-50951015962435

- )

.62

.78

.78

.30

.40

.55

.64

.76

.76

.30

.40

.53

.62

.78

.78

.60

.80

.50

.00

.30

.90

.30

.58

.21

.40

.10

.06

.04

.40

.30

Va(Volt. )

-11280-172500-186500-150530-742222197411228017251018650015053074218-21979-112290-172510-186500-152210-728991921711187017342018705015052074688-18923-113820-171770-187440-149040-7786022829

Vb(Volt. )

18650015053074215-21973-112280-172500-186500-150530-742192197811229017251018650015053074215-23670-110970-175280-186920-149610-736662198511277017557018498015126073270-20509-115950-171680

Ve(Volt. )

-742172198111229017250018650015053074221-21976

-112280-172510-186500-150530-742172198111229013737014581012061060391-14133-83304-129310-14O370-114650-534961840388670132890146780116170

TABLA 5.1

71

VOLTAJES FASE TIERRAEJEMPLO 1

O. O2.

TlCMRO<«ogundo«>

CORRIENTES FASE TIERRAEJEMPLO 1

( b )

F I G U R A 5 . 2

72

RESULTADOS:

VOLTAJES DE PRE FALLA [Voltios]

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

FASE A = 186504.453 -21977.188

FASE B = 74218.719 172504.359

FASE C = 112284.313 -150527.547

CORRIENTES DE PRE FALLA [Amperios]


FASE A = -660.400 -150.761

FASE B = 199.631 647.303

FASE C = 460.768 -496.538

TIPO DE FALLA DETECTADA: FASE TIERRA

FASE FALLOSA: C

VOLTAJES DE FALLA [Voltios]


FASE A = 148490.641 -17898.748

FASE B = -110646.922 -156765.875

FASE C = -50062-668 135256.750

73

CQsh(SoX).Vé03 - Zco.senh(60X) .I¿°> + cosht 6 xX) .V5S

Zea..senh(SiX).ISS• ID.Ó)

Se real izan las siguientes sustituciones en la expresión an-

terior :

CT = Zco. I¿0) .senh(SoX)

CK = V¿°> ,cosh( 60X ) - CT

CKT = CK 4-

T =

Entonces la expresión (D.6) queda;

CKT - Zea.. I5S.senh(Sj.X )

T/Zei

O también:

D.7)

CKT - ZC1. I S S . j - c s j . (D Q)

141

Tomando la parte imaginaria de (D.8) :

_ . C CKT - Zd . ISS .senh íS iX ) 3 - Z C x . r .DI m ( - } i. D . 9 )

La expresión ( D . 9 ) es f(x) en el algoritmo de Newton Raphson

Para encontrar la derivada:

Hac iendo:

NÚ = cosh(SoX) .Vá»0> - Zco.senhfS0X).Ié°> + cosh(S^X ) . VSS

.ISS

_.._.. senhí SiX ) -Vsc x ' , , c v,DEN = - coshf 6 j.X ) .

La expresión que define la derivada de la función f(x) es:

Derivada(NU).DEN - NÚ,Derivada(DEN)(D.10)

(DEN)2

Desarrrol1 ando, por el momento, sólo la parte superior de la

expresión (D.10):

142

.So-V¿0) - ZCo.I¿0) -So-cosh(80X) + VSS.B L.senh(6¿X )

- Zci.ISS.Si.cosh(SiX)].C

[ cosh(SoX)-V¿0) - Zco.senh(60X),I40) + cosh(61X).VSS

_ -.^u/ c v \T p ^^ < : L ) . S i . C O S h ( S i X )- senh( 8 j.X ) . ISS] . [

Realizando las operaciones indicadas en (D.ll)

senh( S0X) .So.V^03 .senh( S a. X ) .

.cosh(60X ) ,senh(

senh(6xX),

( D . l l )

-senh(SoX) .

143

Zco.I£OÍ -So.I¿c > .coshí S0X) .coshí 6 i X)

. Is<i5.senhíSiX),cosh( 6j.

ISS.SjL. Ie< l > .coshí SiX ) .coshí Si

Si.coshí80X) .coshí 6 i X)

J -Si.senhíS0X) .coshí S^

.coshí 8 3.X ) .coshí Sx

.Sx. senh

3 .coshí 60X) .senhí 6 x X

Si. Isc ij .senh(SoX) .senh

SS.Si.Is£x > .senhí 6XX) .senhíS^X) ÍD.12)

Agrupando términos semejantes:

senhí60X)

144

cosh(SoX) .senh(fij.X) .[ V¿° > , S a.. I ¿¿ <

senhí60X) .

cosh(60X).cosh(6¿X).[ Zco C 1 > _ ^ ^ - 6 !

Ze.

Zci • ISS . S 3.

Pero:

:osh2(8xX)

- C (D. 14

(D.15)

Reemplazando (D.15) en (D.14) y sacando factor común 1/Zci

tiene:

160

1 - Zea. IA0> . So

co5h(S0X)

senhí 60X)

cosh(80X)

+ C Zco - Ié° 5 - V¿

+ [ Zea . 16° ' • So

- VSS . S A . Vg ( J . S A .

(D.16)

145

Hac iendo:

R = 7 _ 7 „ T ¿ ° > T — < - >*-c;o»¿-ci**s « J - s

(D.17)

CO =

JO -

Reemplazando (D.17) en (D.16) se tiene:

-.{ (Q.So ~ R.Si)-senh(SoX)-senh(SiX) + (AO.Si - B0.60

cosh(SoX) . + (BO.Si - AD . 80 ) - senh ( 60X ) . cosh ( SXX ) +

(R.So - Q.6± ) ,co5h(60X ) . iX) + (JO - C0).8i } (D.18)

Haciendo los siguientes reemplazos en (D.18

El

E2

E3

E4

M

= Q.So - R.6i

= AO.Si - B0.60

= BO.So ~ AQ.So

= R.So - Q.Si

= (JO - CO) . B1

146

Se tiene:

-— [ El. senh(60X) . senh(6j.X) + E2.cosh(60X) . senh(Si X í

E3.senh(S0X).cosh(6XX) + E4,cash(60X),cash(S¿X) + M ] (D.19

Sustituyendo las siguientes expresiones en (D.19):

Al = El.senh(SoX)-senh(fiiX)

Bl = E2-senh(60X) -senhí'SiX)

Wi = E3.senh(6,:,X) .cosh(SiX)

DI = E4.cosh(80X).cosh(6xX)

3e tiene:

[ Al + Bl + Wl + DI + M ] (D.20)

(D.20) se divide para DEN2 para cumplir con la expresión de

la derivada de una función:

l/ZCi. C Ai + Bl + Wi + DI + M ]

147

Sacando común denominador:

( Al + Bl + NI + DI + M)

lE± _ ( D . 2 2 ). cosh

Dividiendo se tiene :

Al + Bl + UJ1 + Di + M ) .Z

Donde:

T = senh(8±X) .Vs<^) - ZCi- I » c x > -cosh(63.X

Entonces:

(Al + Bl + Wl + DI + M) .Zea.

Pero interesa sólo la parte imaginaria de la expresión

(D.23), por tanto:

im { (ñl + B1 + N1 + D1 + M)'Z- > (D.24)J2

(D.24) es la derivada de (D.l) y es f'(x). Las expresiones

(D.9) y (D.24) representan a la función f(x) y su derivada

f'(x), necesarias en el algoritmo de Newton-Raphson

148

rI m {

[CKT -

— Xr

, (Al + Bi -*- Wl + DI + M).ZCi .Im { }

D.25)

La expresión (D.25) encuentra el valor de la distancia X en

cada iteración. Para la primera iteración se eseoje como

valor inicial en los cuatro tipos de falla, O Km.

D.2.- FALLA FASE FASE

Partiendo de la ecuación (3.40):

Im__

} = O (D.26)

Donde:

(x ) .V¿c x > - Dí:Li (x)

x)

D.27)

Se toma, por el momento, solo la expresión que esté den-

tro del paréntesis en (D.26) y se reemplaza (D.27);

149

(x) ,V¿1J - Bc J- M x ) . I&3- 3 ~ ft{=3J (x) .V¿a

(D.28)

En una linea de transmisión se cumple que:

¿\ 1 ) f j¿ \ A ( 3 ) ( v } — ^ ( y )

BC 1 ) (x) - Bí:E> (x ) = B(x )

Cc x > (x) = C'*5 (x ) = C( x )

D< J-Mx) = DÍS) (x) = D(x)

Por tanto:

A(x ) . ( V41 ) ~ V4^> ) J<__- á-> ~ I41>—)_ (D.29)

Se real izan las siguientes sustituciones en (D.29) :

V12 = V4i5 - V42"

I OH — Í 3 Í T C i - 5j£ J. ~~ IS — A Sí

Entonces:

A(x) .V12 + B(x) .121 _ ,rtl

C(x)-Vsci) - D(x),Isclí

Reemplazando en (D.30) las expresiones para A, B, C y D se

tiene:

150

CQ5h(SxX) ,V12 + Zea.. 121 senh < 8 i X )—— C L/ . -3 i )

Realizando las siguientes sustituciones en la expresión ante-

rior:

Y2 = cosh(SiX) .V12

Y3 = ZCx. I21.senh(8iX )

T = senhíSiX ) .Vsc;L5 - ZC1 . I s < *- 5 - cosh

Se tiene:

( Y2 + Y3 )

T/Zcx

O también:

ÍD.32)

(D.33)

Tomando la parte imaginaria

Y2 + Y3 ).

La expresión (D.34) es i(x) en el algoritmo de Newton Raph-

son .

151

Para encontrar la derivada:

Hac iendo•

NÚ = cosh(6iX).V12 + ZCi. I2i.senh(Sa.X

n_M „ ^ .DEN = - co5h(S1X).Isí:L)

La expresión de la derivada para la función f(x) es:

( Derivada(NU).DEN - MU.( Derivada(DEN) )• ™ ™ ' ' —' \/ « O O

(DEN)2

Desarrollando la parte superior de (D.35):

[ V12.S*.senh(8iX) + ZCi- 121.6 i,cosh(8XX) ]

cosh

[Vi2.cosh(6, X )+2Ci - 121 .senh( 6 a. X ) ]

Agrupando términos semejantes:

D.36)

152

iX) - coshMSj.X

Zci. 121.1¿¿tij -Si. [ senhMSiX) - (D.37)

Pero:

coshMSiX) = - 1 (D.38)

Por lo tanto, sacando factor común 1/ZC± Y 8a. , la expresión

(D.37) se transforma en:

6a. (D.39)

Haciendo:

X4 =

X5 =

X2 = 121

(D.40)

Reemplazando (D.40) en (D.39) se tiene;

63. „ [ X4 - ( X5.X2 ) ](D.41)

153

La expresión (D.41) se divide para (DEN)2 :

63.. [ X4 - ( X5.X2 ) ]

- cosh ( 6 ¿X ) .(D.42)

ICÍ ] 2

Reemplazando T, definido anteriormente, la expresión (D.42)

puede escribirse así:

63.. [ X4 - ( X5.X2 ) ].Z,(D.43)

Pero solo interesa la parte imaginaria, es decir:

T ,Im { X4 - ( X5.X2 ) ].ZC1

T2(D.44)

fD.44) es la derivada f'(x) de (D.3Í). Las expresiones (D.34)

y (D.44) representan a la función f(x) y su derivada f'(x) en

el algoritmo de Newton Raphson.

A ,

Im {( Y2 H>• Y3 ) ,ZC

T1 1

Xn

T , 81.. [ X4 - ( X5.X2 ) ].20i .Im { . }72 Xn

(D.45)

154

La expresión (D.45) encuentra el valor de la distancia X

en cada iteración. Al igual que la falla fase tierra, en la

primera iteración se toma como valor inicial O Km.

D.3.- FALLA FASE FASE TIERRA,

Partiendo de la ecuación (3.51

. O CD.46)

Donde:

= C c o > ( x ) . Vs < 0 ) - D Í O ) ( x ) . I e < °

(D.47)

Tomando la parte imaginaria de (D.46) y reemplazando (D.47)

se tiene:

íD.48)

155

Reemplazando las expresiones de A, B, C y D en (D.48) se

tiene:

cosh( Sj.X) -V^1* ~ Zea. -senn( S^X ) . I^3- > - V¿° * . cosh ( S0X )

sinh(SoX) .Ve<0> i / r v^ T ••<.-,,- COSh(fi0X).IBCO>

o. UOJ .senh(SoX) ( D 49 )

CO«h( «0X ) . Ifi'-- co

Se sustituyen las siguientes expresiones en ( D . 49 )

CTO = ZC1- Iélj

CKO = Va13 .cosh(6iX ) - CTO

CKTO = CKO - Vét:i> ,cosh(60X)

POKO = CKTO + Zco-Ié01 -senh(SoX)

TO - senhí 80X ) .V»to> - ZCo - I s ( <:o - cosh ( 60X

Y se tiene:

PGKO.Zeo

TO

Tomando la parte imaginaria de (D.50):

(D.50

- . c o - v l ' ^ ^ l = ; ^ \m { > ( D . 51 )

TO

156

La expresión (D.51) es la función f(x) en el algoritmo de

Newton Raphson.

Para encontrar 1 a derivada:

Hac iendo :

NÚ = coshtSiX) .V- > - Zci .senhí SiX } . le1 > - Vé° > . cosh ( 60X ) +

Zeo- 14° > -senh( S0X)

__.. senh(80X) . V¿ c ° > ... v.DEN = - cosh(80X)Zcso

La expresión para la derivada de f(x) es :

( Derivada(NU).DEN - NÚ.( Perivada(DEN) )- """"" "* : -™— —— . .—- — \ •

(DEN)2

Desarrollando la parte superior de (D.52)

. 6a. . cosh ( 8A

°>-S0.senh(S0X) + ZCo.Ié°J.S0-cosh(60X

Zco

157

[ coshí SiX) .Vé1 * - Zci.senhí Sj.X ) . le,1 > - cosh ( S0X ) .

Zeo.1405 .senh(SoX) ]

Zco

Agrupando y sacando factor común:

u » e o > r x , 6 i X ) . s e n h ( S o X )• Vs . L 1

Zoo

8o -coshíSiX) .coshí 60X)

-Is < 0 > .C60.cosh(6iX) -senhí 60X)

- coi r Zea. -senh( 8iX ) . 60.cosh( 60X )- • -ri L

Zco

jX).senh(60X)

.Io<0) •E Zci.Si-cosh(SiX) .coshí 60X) +

iX).senh(SoX) ]

(D.53)

158

(6OX) . So _ So. sentí? ( S0X)

Isco) .[ Zeo.So.senh* (60X) - ZCo - So-cosha ( 60X ) ] (D.54)

Pero:

- senhMSoX) = 1

Reemplazando la expresión anterior en (D.54) y sacando factor

común 1/Zcoj 5e tiene:

( Ve3-' -Va<0) - C S±-senh( SiX ).

.cosh(60X)

-Ia < 0 > .Zco.C 60.cosh(8iX) .senh(S0X} +

,co5h(60X)

- C So.senh(SxX) ,cosh( £0X ) +

159

80.senh(S^X).senhíS0X

(D.55)

Sustituyendo las siguientes expresiones en (D.55):

QO = V43- J . Vs( ° s

BOO - V43-) . Is0) - Zco

AOO = I41*.Vs<°>.Zci

ROA - le1 > .Is° J .ZCo-Zci

COO = Vét:>) . Vsco>

JOO = Zco-Zco- U0> . I¿0)

MO = (COO - JQO).60

Se tiene:

-1 í QO. [ Si.senh(S^X) .senhí 6pX) - S0-cosh(SiX).coshC 60X) 3

+ BOO.C 8o.coshí6iX).senhí60X) - S±.senh(SxX).cosh(60X) ]

AOO.[ So.senh(6o.X) .coshí 60X) - 6 i . cosh ( 8 ±X ) . senh ( S0X } ]

+ ROA.C 8i.coshíSiX) .cosh(60X) - 60-senhí8 i X} .senhíS0X) ]

( COO - JOO ).80 } (D.56)

160

Haciendo:

E10 = senh(8iX),senh(80X)

E20 = cosh(SiX).cash(SoX)

E30 - cosh( SiX} .senhf S0X)

E40 = senh(SiX).cosh(SoX)

Entonces la expresión (D.56) queda de la siguiente manera:

— { QO.C E10.8i - E20.60 3 + BOO. [ E30-80 ~ £40.8^. ] +

A00.[ E40.80 - E30.6! 3 + ROA.C E20.Sa. - E10.S0 3 + MO >

(D.57)

Reemplazando las siguientes expresiones en (D.57):

MAY1 = ElO.Si MAY5 = E40.60

MAY2 = E20.60 MAY6 = £30.6^

MAY3 = E30.80 t^AY7 = E20.8i

MAY4 = E40.6o. MAY8 = E10.60

Se tiene:

{ QO.C MAY1 - MAY2 3 + BOO.[ MAY3 - MAY4 ]

161

ftOO.C MAY5 - MAY6 3 + ROA.[ MAY7 ~ MAY8 ] + MO } (D.58)

Si :

DOM1 = MAY1 - MAY2

DOM2 = MAY3 - MAY4

DOM3 = MAY5 - MAYÓ

DOM4 = MAY7 - MAY8

Entonces:

— { QO.DOM1 + BOO.DOM2 + AOO.DOM3 + ROA.DOM4 + MO } (D.59Zco

Dividiendo CD.59) para (DEN}2 , se tiene:

QO.DOM1 + BQO.DOH2 + AGO.DQM3 + ROA.DQM4 + MO

[ senh(60X) .Vs(°5 ~ Zco- Isc°5 -cosh(60X) ]2

(Zco)2

Real izando los siguientes reemplazos:

FAS! = OO.DOM1

FAS2 = BOO.DOM2

FAS3 = AOO.DOM3

FAS4 = ROA.DOM4

TO = senh(80X).VsÍO) - Zco.Isc°J.cosh(60X)

162

Se tiene:

E FAS1 + FA52 + FAS3 + FAS4 + NO ].Zco

Como interesa solo la parte imaginaria:

[ FAS! + FA52 + FAS3 + FA54 + MO ].Zco , 6

T02

La expresión (D.61 ) representa la derivada f'(x) de la ex-

presión (D.49).

Las expresiones (D.51) y (D.61) son la función f(x) y su de-

rivada f'(x), necesarias en el algoritmo de Newton-Raphson,

es decir:

_ .Im {

A rf*-i — "'TO Xn

. [ FAS! + FAS2 + FAS3 + FAS4 + MO].ZCoIm { _

(D.62)


cada iteración. Al igual que en los casos anteriores en la

primera iteración se toma como valor inicial O Km.

163

D.4.- FALLA TRIFÁSICA.

Partiendo de la ecuación (3.55)

Im { — } = O ÍD.63)

C:L) (x) -Vs<1) - Dí;L) (x) .Ie<15

k-> (x) .V¿k-> - B í t e ) (x) . I¿K> ; k =

Como en -los casos anteriores, la expresión (D . 63) se puede

escribir asi:

(x) .V¿, - B < * > (x) . I4^>

C< 1 J(x).Vs c i J - D ( 1 5 C x).Is< 1 3

Desarrollando las expresiones de A, B, C y D se tiene:

En la sección D.i fue definida la expresión para T, por

tanto (D.65) puede escribirse de la siguiente forma:

C coshíSiX) -Va1' - Zci.senhC8a.X) .I411 3.ZCi ,n ...S U » OÍD J

T

164

Se real iza los siguientes reemplazos en la expresión

rior :

TRI6 =

TRI7 = Zci.senh(6X

Se tiene:

[ TRI6 - TRI7 3.ZCiíD.67)

T

Tomando la parte imaginaria de (D.67):

T , [ TRI6 - TRI7 ].ZC1 , ,n / n vIm { } (D.6S)

La expresión (D.68) es la función f(x) en el algoritmo de

Newton Raphson.

Para la derivada:

NÚ = cosh( So.X ) .Vé1 5 ~ ZCi -senhí 6 i X ) . le

165

La derivada de una función f(x) es de la forma

Derivada(NU).DEN - NÚ.(Derivada(DEN)

(DEN>2

Desarrollando la parte superior de (D.69):

I A J . 6 i .senh(6 iX) - Z c i . l a , 1 > . 8 i . c o s h ( 6 x X ) ].

senh(S^

(D,70)

Real izando operaciones

T •• c a. i c- I»1- ^ 5 „ 81 ,sen

- lá3 -^ . V s ^ x ^ .SJ..senh( S ^ X ) ,cosh( S^

166

.Si-Iaei >.CQSh2(SiX)

,cosh(S^

Zci . -coshí 61 X ) .senhí 8a. X )

.senh2 D.71 )

Agrupando términos semej antes:

.Si. .[ senh2(S±X) - cosh2(S:LX)

- C c o s h M S x X ) - s e n h 2 ( S i X ) ] D .72)

Pero:

- s e n h 2 ( S i X ) =

167

Entonces:

Dividiendo para (DEN)2 y reemplazando la expresión de T se

tiene:

T2

Se real izan las siguientes sustituciones

X5

TRI2 =

Entonces la expresión (D.73) queda de la siguiente forma

[ ( X5.TRI ) - TRI2 l.Si.

T2

Tomando la parte imaginaria de la expresión anterior se

tiene:

C ( X5.TRI ) - TRI2

72(D.753

La expresión (D.75) es la derivada f'(x) de (D.68) en el al-

goritmo de Newton.

Im TRI6 " TRI7 ]-

_ .Im 1

Xn

[ ( X5.TRI ) - TRI2 D.Si.- ;

T2

(D.76)


cada iteración. El valor inicial es O Km.

169

APÉNDICE E

MANUAL DE USO DEL PROGRAMA DIGITAL

E. i.- NOMENCLATURA.

E.1.1.- VARIABLES DE ENTRADA:

SÍMBOLO DESCRIPCIÓN

LI Inductanciade secuencia positiva en Henrios

por Ki 1ómetro.

RI Resistencia de secuencia positiva en Ohmios

por Kilómetro,

Ci Capacitancia de secuencia positiva en Fara-

dios por Kilómetro.

Lo Inductancia de secuencia cero en Hen^ícs por

Ki1ometro.

R0 Resistencia de secuencia cero en Ohmios por

Ki1ometro.

Co Capacitancia de secuencia cero en Faradios

por Ki1ometro.

VN Voltaje nominal de operación en KV.

SN Potencia aparente nominal en MVA .

X0 Longitud total de la línea en KM.

I Arreglo de tres dimensiones que al macena las

muestras de corriente de las tres fases de

la 1ínea.

V Arreglo de tres dimensiones que almacena las

muestras de voltaje de las tres fases de la

1ínea.

E-1.2.- VflRIflBLES DE SftLIDft:

SÍMBOLO DESCRIPCIÓN

GAM0 Contante de propagación de secuencia cero

por unidad de longitud.

GAM¿ Constante de propagación de secuenc ia posi-

tiva por unidad de longitud.

Zco Impedancia característica de secuencia cero

por unidad de longitud.

Zea. Impedancia característica de secuencia po-

sitiva por unidad de longitud.

NM Número de muestras de falla ingresadas.

, VIP Arreglos de una dimensión que almacenan,

para las tres fases, la parte real e imagi-

naria de la componente fundamental da vol -

171

taje de pre falla respee tivamente.

IRP, IIP Arreglos de una dimensión que almacenan,

para las tres fases, la parte real e i mag li-

naria de la componente fundamental de co-

rriente de pre falla respectivamente.

Rv1, IV Arreglosdeuna dimensión que almacenan ,


naria de la componente de voltaje de falla

respectivamente.

RI, II Arreglosdeuna dimensión que almacenan,


naria de la componente de corriente de falla

respectivamente.

VPA, VPB, VPC Voltajes de superposición de las tres fases.

IPA, IPB, I PC Corrientes de superposición de las tres

fases.

DIST Distancia al punto de falla.

E-2.- FORMA DE PROPORCIONAR LOS DATOS.

Los datos necesarios para la ejecución del programa di-

gital en lenguaje FORTRAN 77 son: los parámetros de la línea

de transmisión y las muestras transitorias de corriente y

voltaje. Para cada tipo de falla se tiene un archivo dife-

rente cuyo formato es el siguiente:

172

Línea # 1:

L-

Ri d

E12.5 E12.5 E12. 5

Línea # 2:

Lo Ro C0

E12.5 E12.5 E12. 5

Línea # 3:

VN SN X0

E10.5 E10.5 E10.5

A partir de la Línea tt 4 se proporcionan las muestras de

corriente y voltaje de la siguiente manera:

la Ib Ic Va Vb Ve

E13.5 E13.5 E13.5 E13.5 EÍ3.5 E13.5

En cada línea debe constar una muestra de corriente y una de

voltaje para cada una de las fases. En este programa el

número de muestras de corriente y de voltaje es 30, por tanto

se necesita igual número de 1íneas.

173

E. 3.- RESULTADOS.

Todas las variables de salida indicadas en la sección

E. 1.2, el tipo de falla y las fases involucradas aparecen en

el archivo de resultados,

E. 4.- ARCHIVOS DE DATOS Y RESULTADOS.

Debe estructurarse un archivo que contenga los datos

descritos anteriormente y cuyo nombre respete las normas del

Sistema Operativo y tenga máximo 8 caracteres.

El programa creará el archivo de resul tados con el

nombre que se le indique ( máximo 8 caracteres) .

E. 5.- FORMA DE UTILIZAR EL PROGRAMA.

Para ejecutar el programa debe real i zar se lo siguiente:

- Escribir el nombre del programa :

TESIS

- En la pantalla aparecerá lo siguiente

'INGRESE NOMBRE ARCHIVO DE DATOS:'

174

- Escribir el nombre del archivo correspondiente.

- En la pantalla aparecerá :

'INGRESE NOMBRE ARCHIVO DE RESULTADOS:'

- Se escribe el nombre del archiva y comienza la ejecucion

del programa.

175

REFERENCIAS

1. A.G. Phadke, T. HLIBKA, M. G. Adamiak, M. Ibrahim, J. S.

Thorp, "A microcomputer based UItra-Hiqh-Spged distancg

relay: Field Tests". IEEE Trans., Vol.PAS -100, N0 . 4,

April 1981, pp. 2026-2033.

2. T. Takagi, J. Baba, K. Uemúra and T. Sakaguchi, "Fault

protection based on travel 1 inq wave theory: Part I -Theo-

ry", IEEE PES Summer Meeting, A77 750-3, 1977.

3. G. B. Gilcrest, G. D. Rockefeller and E. A. Urden, "Hiqh

speed distance relayinq usinq a digital computar", IEEE

Trans., Vol.PAS -91, N0. 3, May/June 1972, pp. 1235-1258.

4. J . Carr, R. V. Jackson, "Frecuency domain analysis and

field tests". IEEE Trans., Vol.PAS -94, N0. 4, July 1975,

pp.1157-1166.

5. A. G. Phadke, M. Ibrahim, T. Hlibka, "Fundamental basis

for distance relayinq with symmetrical componen ts" , IEEE

Trans., Vol.PAS -96, N0. 2, March/April 1977.pp. 635-644.

6. S. E. Westl in and J . A. Bubenko, "NetMton-Raphson techni-

que applied to the fault location problem", IEEE PES

Summer Meeting, A76 334-3, 1976.

176

7. T. Takagi, Y. Yamakoshi, J. Baba, K. Uemura, T. bakagu-

chi, "A new alqprithm of an accurate fault location for

EHV/ÜHV transmission lines: Part I - Founer transforma-

tion method", IEEE TRANS., Vol.PA5 -100, N0, 3, March

1981, pp. 1316-1323.

8. T. Takagi, Y. Yamakoshi, J. Baba, K. Uemura, T. Sakagu-

chi, "ft neiM alqorithm of an accurate tault location for

EHV/UHV transmission lines: Part II - Laplace transforma-

tion method", IEEE TRANS., Vol.PAS -101, N0. 3, March

19B1, pp. 564-573.

9. J. G. Gilbert, R. J. Shovlin, "Hiqh speed transmission

line fault impedance calculation usinq a dedicated

minicomputer", IEEE TRANS., Vol.PAS -94, May/June 1975,

pp. 872-879.

10. G. 3. Hope, V. S. Umamahesraran, "Samplinq for computer

protection of transmission lines", IEEE TRANS., Vol PAS-

93, N0. 5, Sept/Oct. 1974, pp. 1522- 1533.

11. Tutorial Course, "Alqorithms for Protective Relayinq",

Cap.III, pp. 16-28.

177

12. Q. P. Malik, G. S. Hope, "Unified approach to diffgren-

tial and impedance protection", a. 79 547-1, IEEE PE5

Summer Meeting, Vancouver, British Columbia, Canadá,

1979.

13. B. Gold and C . Rader, "Digital processinq pf signáis",

McGrawHill Book Co. , 1969.

14. R. Larson, A. J. Flechsig ,"The desinq and test of a

digital relay for transformer proteetion", IEEE TRANS.,

Vol PAS -98, N0. 3, May/June, 1979.

15. O. P. Malik, D. K. Dash and G. S. Hope, "Digital protec-

tion of a power transformer", IEEE Publication 76 CH

1075-1 PWR, Paper N0. A76 191-7,IEEE PES Winter Meeting,

New York, January 1976, pp. 1-7.

16. J. M. Espín, "Simluación de la protección digital de una

linea de transmisión". Tesis de Ingeniería, Escuela

Politécnica Nacional, Agosto 1984.

17. W. D. Breingan, M. M. Chen, T. F. Gallen, "The laboratory

investigation of a digital systgm for the protection of

transmission lines" , IEEE TRANS., Vol PAS -98, N=,. 2,

Marcn/April 1979, pp. 350-360.

178

18. H. C. Cárdenas, "Simulación digital de una linea da

transmisión en condiciones de falla". Tesis de Ingenie-

ría, Escuela Politécnica Nacional, Noviembre 1981.

19. G. S. Hope, Dash and O. P. Malik, "Digital differen tía I

protection of a qeneratinq unit: Seneme and real time

tests results", IEEE TRANS., Vol PAS -96, N0. 2, March/ft-

pril 1977, pp. 502-512.

20. A. Wiszniewski, "How to reduce errors of distánce fault

locatinq algorithms", IEEE TRANS., Vol PAS -100, N0.12,

December 1981, pp. 4815-4B2.0.

21. A. Bayas, "Simulac ion de la protección digital de una

subestac ion", Tesis de Ingeniería, Escuela Politécnica

Nacional, Abril 1984.

22. P. G. Mac laren and M. A. Redfern, "Fourier series techni-

ques applied to distánce protection", PROC, IEE, Vol.

122, 1975, pp. 1301-1305.

23. G. W. Swift, "The spectra of fault induced transiente".

IEEE Trans., Vol PAS -98, NCT, 3, May/June 1979, pp.940-

947.

179

24. J. V. Landa, "Redes Eléctricas - Parte II", RSI, México,

1970.

25. W. Stevenson, " Análisis dg Sistemas_E1éctrieos de _Jf_o t ejj -

cía", McGraw-Hill, Book, Co, INC, USA, 1978.

26. Hwei , P. Hsu, " Ana 1 isis de Fourler", rondo Educativo

Interamericano S.A., 197O.

27. A. T. Johns, R. K. Aggarwal , "Digital si mu latió n o f

faulted EHV transmission lings with particular reference

to very hiqh speed protection", Proc. IEE, Vo1 . 123 ?

April 1970, pp. 353-359.

28. rl. Vi tins, "A corre! ation method for transmission line

protection", IEEE TRANS., Vol PAS -97, N0. 5, Sep/Gct

1978, pp. 1607-1617.

29. Westinghouse Electric Corporation, "Applied protective

relayinq", Relay Instrumental División.

30. Gavidia, "Estudio de transitorios producidos por falla_s_

utilizando un modelo de linea de transmisión". Tesis de

Ingeniería, Escuela Politécnica Nacional, 1981.

130

Donde:

a"*"-i , a^i son los coeficientes de la segunda y terce-

ra fila de la i-esima columna de la matriz [A]*

Para implementar este método se deben determinar: fre-

cuencia de muéstreo, número de muestras consecutivas de vol-

taje o corriente y el tiempo de referencia (t=0), que tiene

que ver con la forma de onda sinusoidal con respecto a la

cual se mide el ángulo de fase de las componentes del modelo.

El inconveniente de este método es el tiempo rea 1 de

computación por las diferentes operaciones que realiza y por

la aproximación de la forma de onda de la señal transitoria.

B.5.- SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

DEL MODELO DEL SISTEMA.

MeInnes y Morrisonxl modelan la línea de transmisión

como un circuito serie R-L mediante la siguiente expresión:

V = R.i + L. di/dt (B.1O)

La solución para R y L va acompañada de la integración

en periodos de tiempo sucesivos y de la solución de las ecua-

130

clones 1 ineales si muí t aneas . Por tanto las expresiones de P

y L en base a las muestras de vol tajes y corriente son:

n . ( VR-I + VK-S) ( ÍK-l + ik. )-( VK-i + VR ) ( Íir-JL + Í kL_ = -

(B.ll)

R = ( v .-x + Vk

(ÍR-I + ÍK)(Ík.-i - ÍK_35)-( ÍK.-Í + Ík.-=:)(ik ~ ÍK-I)

(B. 12)

Este método es val ido en 1 íneas de transmisión cortas ,

en las que se desprecia la capacitancia shunt, para lineas

largas el efecto de esta capacitancia introduce errores pero

no inciden mayormente en los resultados finales.

En general para re alizar la selección óptima de estos

algoritmos se deben considerar entre otras cosas: que pro-

porcionen un adecuado f i 1 trado a la señal y que tengan gran

velocidad de procesamiento , según esto , el algoritmo más

conveniente es el de Fourier de cic lo completo .

131

APÉNDICE C

FACTOR DE DISTRIBUCIÓN DE

CORRIENTE DE FALLA

Se define el factor de distribución de corriente de

falla K(x) como la relac ion entre los vectores I^R e I^s

definidos en la red de superposición. Este factor es función

de la distancia X al punto de falla.

Si se considera a la línea sin pérdidas y a las fuentes

puramente inductivas, el factor K(x) tiene un valor real a

pesar de que las corrientes I^-R e I^-s son valores complejas.

En la figura C.l se muestra la línea de transmisión SR

en la cual se ha producido una falla en el punto F, situada a

X Km de S. Las impedancias de las fuentes en los extremos

son j WLS y jWLR respectivamente.

77777,

S F RJOT\1 1 - /-X-\ •- f i

LS ii r ui

LRKJ — • • X >kj d - X W1

•ry

1

FIGURA C.1

La impedanc ia Z 3 vista desde el punto de f a l l a hasta el

extremo S, está definida por la siguiente expresión:

= Zr;.tanh(8x ( C . U

Donde:

= -TL/C (C.2)

L = jW.^L.C

9. = = tanh-M

c r,. T.

(C.4)

Sustituyendo las (C.i) a (C.4) en (C.1) se tiene:

133

= Zc-tanh( JW..TLC.X + a. + jf3m ) (C.5)

Agrupando:

= Zc-tanhí a, + j.( W.4~LC.x + [3. ) ) (C.6)

Haciendo:

A = W..TLC.X + |3,

Y reemplazando en la expresión (C.6) se tiene

= Zc.tanh( a, + JA ) (C.7)

O también:

senh( a. + JA'

cosh( am + jA

Por definición, senh( ce» + j A ) es:

0<-;t« •*• J A > _ e — / -;t

senhf a» + jft ) = ——___—

- -senhí a, + JA ) = L- !—. (C.9)2

134

Donde:

BJA = cosA + j.senA

e-jA = cosA - j.senA

Por lo tanto (C.9) puede expresarse de la siguiente forma

. n ^ ew* . ( cosA + j senA ) - e '-<m . ( cosA - j sen A )senhta. + jA) - .—. —

í C. 10)

Desarrol lando:

, _ . e'-'*. cosA + j,e'-cm. senAsenn(a» + jA) = +

. cosA - j.e~0(m. senA

Agrupando parte real e imaginaria se tiene:

senh(a» + jA) - cosA. + j.senA

Donde:

senha_ =

• JL JL /

(C.12)

cosha. =

Por tanto:

135

senh( a. + j A ) = eos A „ sehcc* +• j . sen A . casha. (C.13)

Por definición cosí a» + JA ) , es:

e C .=< » ~t- j Pi

cosh( a» + jA ) =

Resolviendo de manera similar se tiene:

cosh( a» + jA ) = eosA.eosha» + j.senA + senham (C.14)

Por lo tanto:

, , , ^ .. . _ cosA.senha» + j.senA.cosha.tanhC a. + jA ) = CC.15)

cosA.cosha, + j .senA.senha»

Como se considera que la linea no tiene pérdidas, se cumple

lo siguiente:

senh a» ~ O

cosh a. ~ 1

Por tanto:

tanhC a. + jA ) = J' = j.tgA (C.16)eos A

Reemplazando (C.16) en (C.17) se tiene:

136

= j . Zc-tgA

Pero:

A = W.JLC.x + (3.

Entonces:

ZF=-S - j.Zc.taní W..TLC.X + [3. ) ÍC.18)

De manera similar la impedancia total Z^F? i vista desde

el punto de falla al extremo R, es:

Z^R = j.Zc.tan( W.TLC.(d-x) + Í3W ) (C.19)

El factor K ( x ) está definido por la siguiente relación:

K(x) = If=rR = Z^5 (C.20)I F="S ZF=-P,

Reemplazando (C.1B) y (C.19) en (C.20) se tiene:

K(x) = -tan( W.-TLC- (d-x) + Í3« )

La expresión (C.21) demuestra que el factor K(x) tiene un

valor rea 1.

137

APÉNDICE D

APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

Las ecuaciones básicas no 1ineales que dan la distancia

al punto de falla requieren de Un proceso' iterativo para en-

contrar su solución. En esta tesis se utiliza el método de

Newton Raphson para todos los tipos de falla. (Ver capítu-

lo 3)

El algoritmo de Newton Raphson para encontrar la solución X

de una ecuación de la forma f(X) = O es el siguiente:

i.- Escojer X0) e

2.~ Determinar f(X0)

3.- Determinar f'(X0)

4.- Calcular: DELTAX = f(X0)/f'(X0)

5.- Determinar: XA = X0 - DELTAX

6.- Si |DELTAX/X1| < e ; XI es la solución.

De lo contrario:

X o ™ "i

7.- Se repite desde el paso # 2 hasta que se cumpla con el

criterio de convergencia descrito en el paso # 6.

A continuación se desarrollan, para los cuatro tipos de

falla, la ecuación básica y su derivada para poder incorpo-

rarlas al programa digital dentro de subrutinas independien-

tes para cada tipo de falla.

D.I.- FALLA FASE TIERRA

Partiendo de la ecuación (3.30):

(D.2

Por facilidad hasta realizar las operaciones se toma

sólo la expresión que está dentro del paréntesis y reempla-

zando (D.2) en (D.1) se tiene:

A<°> ( x ) .V¿°> - Bco>(x).I¿01 + ftc

3

x).Isc15

139

En una linea de transmisión se cumple que

A < i > ( x ) = A c s > ( x ) = A( x )

Bc *-> (x ) = B Í 2 > (x ) = B( x )

C<*> (X) = C(=5 ( x ) = C( x }

D c i ) < x) = D< = > (x ) = D(x }

Entonces :

C( x ) .Vs< 3 - D( x

BU).(U- + I¿=») (D

C(x) .Vsci> - D(x

Haciendo:

= ISS

x).ISS , n «-\/ * DC ( X ) . V e < 5 - D ( X ) . I 3 c *• 5

Reemplazando las expresiones para A, B, C, D, definidas en el

capitulo 3 se tiene:

140

ción de la señal de prueba en un tiempo igual al periodo de

las funciones seno y coseno, lo cual garantiza la disminución

de los errores que se producen por la presencia de armónicas

al tas.

Este método no necesita el cálculo previo de la impedan-

cia hasta el punto de falla, por tanto no le afecta el error

que produce la resistencia de falla en la medida de dicha

impedancia.

Este algoritmo es largo y complejo debido a la gran

cantidad de cálculos que se realizan y al tiempo que se

consume en el proceso iterativo.

No se debe considerar el tiempo de computac ion como un

factor crítico, ya que este algoritmo debe ser entendido como

una apiicación para la determinación de la distancia hasta la

falla.

Este algoritmo es aplicable en líneas de transmisión de

alto voltaje y de longitud menor a 300 mi 11 as ya que en

líneas de mayor longitud se pueden hacer ciertas aproximacio-

nes en las expresiones (3.8) a (3.13) del capítulo 3, consi-

derando que la cantidad Sx está en el orden de 1/10 de ra-

dián , es decir:

1OÓ

cosh Sx ~ 1

sinh Sx ~ 6x

Por tanto las ecuaciones (3.8) y (3.9) se transforman en

IRO = - IB + Vs /j .Xc

Donde:

Xi y Xc son respectivamente las reactancias inductiva y

capacitiva de la línea-

La úl tima de esas dos ecuaciones puede ser reemplazada

por la siguiente expresión:

Por tanto en 1íneas extremadamente largas no hace falta

realizar un desarrollo tan complejo.

6.2.- RECOMENDACIONES

Seleccionar adecuadamente el equipo de adquisición de

datos, incluyendo filtros y atenuadores análogas.

107

Para reducir los errores en el muéstreo de las sedales

de entrada, se recomienda real izar un pre filtrado antes de

procesarlas. Para ello, debe tomarse en cuenta que la fre-

cuencia de corte del filtro que se use tiene que ser igual o

menor a la mitad de la frecuenc ia de muéstreo. En este caso,

como la frecuencia de muéstreo es 720 Hz„ la frecuencia de

corte debe estar entre 300 y 360 Hz , ya que con frecuencias

mayores el valor de la distancia a la falla se hace inesta-

ble.

Realizar el procesamiento de las señales de entrada uti-

lizando los algoritmos de Fourier de medio ciclo y con fun-

c iones Walsh para comparar sus resultados con los obtenidos

en esta tesis y asi poder determinar la eficiencia de uno u

otro algoritmo.

Analizar si, al considerar la resistencia de las fuentes

y las pérdidas en la línea, se satisface la condición de que

el factor K(x) tiene valor real. (Ver apéndice C).

Se recomienda la realización de una tesis que desarrolle

el algoritmo propuesto en la referencia 8, el cual utiliza

la transformada de Laplace para determinar la distancia a la

falla a partir de las muestras de voltaje y corriente tran-

sitorias tomadas en el terminal de envió.

108

APÉNDICE A

FUNCIONES ORTOGONALES

A.I.- MÉTODO DE ANÁLISIS.

Se examinan algunas funciones ortogonales que permiten

muestrear señales de val taje y corriente. Para la selección

de las funciones más adecuadas se utiliza una señal de prueba

y se real iza el siguiente procedimiento:

a.- Se transforma la señal a muestrear al dominio de la

frecuencia.

b„- Se transforma la función ortogonal al dominio de la

frecuencia.

c.- Se muítiplican las dos transformadas y se obtiene el

espectro de frecuencias de la señal muestreada.

Para un tiempo corto después de la falla, la corriente

Ipr(t) puede aproximarse de la siguiente manera:

Im.s in<2nf t-9 ( A. 1 )

Donde:

Ití<= = Componente DC

13 = Tercera armónica

Im . sin ( 2TIf t-9 ) = Corriente en estado norma 1

Se transforma al dominio de la frecuencia la expresión

(A.i) y se representa en el eje rea] e imaginario, figura

A.1. El gráfico está a escala de tal manera gue el período

es de 1 y la frecuenc ia 1/2 equivale a 60 HZ. La magnitud de

cada frecuencia depende del sistema en análisis, pero para

efectos de ilustración, se eligen todas las componentes igua-

les.

í > , x MAG

3/2 1/2

, > ¿ ,

1/2 3/2FREG

(a) ej e rea 1

FIGURA A.l

110

MAG

-3/2 -1/2 1/2 FREO 3/2

(b) eje imaginario

FIGURA A.l

A.2.- FUNCIONES SENÜ Y COSENO

Las fuñe iones coseno y seno se muestran en la figura A

(a) cosnx

FIGURA A.2

.1. 11

r

(b) sennx

FIGURA A. 2

La transformada de Fourier de la fuñe ion eos TTX es la

siguiente:

Fc(s) = COSTTX . i — J m rc-r* )¡ ( A - 2 )

Como la función COSTTX es par, se tiene:

F c ( s ) = r COSTCX . C052TTXS. (A.3)

Utilizando identidades trigonométricas 1 <n F»;: pr es i ón ( A . "/O

transforma en:

112

F C ( S ) = '£ .C052TTX (s + '¿) . dX + '£ . COS2TTX ( S-'-i) . dXJ -- r J — -r

£ A , 4 )

Resolviendo :

Fc(s) = T.

Para T = 1 , según la e se ala utilizada, la expresión

( A . 5 ) se transforma en :

Fc(s) = ^.sincs(s+^) + £.sincs(s-'4) (A. 6)

Donde :

sinussincs =

lis

La transformada de Fourier de sincs es la siguiente

Fs(s) = sinux. e-J2"-'"1 .dx (A.7)

Como la función siniix es impar, se tiene:

Fs(s) = j . sinnx . sin2iixs. dx ( A . 8 )

113

Resolviendo:

._ . . .F s (s ) = TJ

sin2itT .- TJ

s i n 2 u T

2TTT ( S-

.9)

La expresión (A. 9) se puede expresar de la si guien tt-^ forma:

Fs<s) sincs( s-' ) sincs ( (A.10)

Las expresiones (A.6) y (A.10) representan las transfor-

madas de Fourier de las fuñe iones seno y coseno, figura A.3.

MAG

(a) Fc<5)

FIGURA A.3

114

(b) Fs(s)

FIGURA A.3

Se cambia la variable "s" por " f " , se muítip1ica cada

componente de la figura A.la con cada componente de la figu-

ra A.3a y se obtiene el espectro de frecuencias pn e i e rpal

de la señal de prueba. El espectro en el eje imaginario se

obtiene realizando el procedimiento anterior crin las compo-

nentes de las figuras A.Ib y A . 3b . Se concluye que las fun-

ciones seno y coseno tienen un alto rechazo a la componente

DC y a las armónicas.

A.3.- FUNCIONES CUADRADAS PAR E IMPAR:

Las funciones cuadradas par e impar se muestran en la

figura A.4.

.1 15

MAG

-T

-Y/2 Y/2

a) función par

MAG

-T r

b) función impar

FIGURA A.4

La transformada de Fourier de la fuñe jún par es:

í: i:: dx +

116

,« >cjx í A. li )

Evaluando en los 1 imites se tiene:

. - , , „ sinirsT sín2iTSTFF.(S) = 2T T ( A . 12)

TTST TTST

Donde:

sinTissincs = __

ns

Para T = 1 se tiene:

FF=(s)=2.sincs-sínc2s (A.13)

La transformada de Fourier de la función impar es la si-

guiente:

f° f-e"-J2TímM .dx +

J — T J

(s) = _e~j2Tx»,t > d x + e-j=2TT»« dx (A. 14)

Evaluando (A.14) en los limites se tiene

sin2 KST= -2jrHST

Reemplazando la expresión de sincs y para T = 1 se tiene:

= -2j.sincs.sinus (A.15)

117

Las expresiones (A.13) y (A.15) representan las trans-

formadas de Fourier de 1 as fuñe iones cuadradas par p impar

f igura A.5.

MAG

(a) F±(s)

(b) FF.ÍS)

FIGURA A.5

5/2

Se cambia la variable " s" por "f" , se mu 1t i plica cada

componente de la figura A.la con cada componente de la figu-

ra A.5a y se obtiene el espectro de frecuencias en e .i e? real

de la senal de prueba. El espectro en el eje imaginario se

obtiene realizando el proce?d i. míen to anterior c: orí 1 as rompo

118

nentes de las figuras A.ib y A.5b.

Se concluye que las ondas cuadradas par e impar tienen

un alto rechazo a la componente DC, no así a las armónicas

al tas. Estas funciones tienen gran importancia desde el punto

de vista de tiempo de computación, ya que toman solamente

valores de ±1 lo cual hace que dicho tiempo sea menor.

A.4.- FUNCIONES DIENTE DE SIERRA.

En la figura A.6 se tienen las funciones par e impar

MAG

-T

(a) función par

FIGURA A.6

119

MAG

(b) función impar

FIGURA A.6

La transformada de Fourier de la función par es la si-

guiente :

l + 2x ) . cos2nsx .dx l-2x ) . cos2nsx . d ?<

(A. 16)

Evaluando:

_.= 2T sin2nsT

2TTST

i i n 2 n s T

2lTST

+ 4T2 .sin2 HST

( A . 1 7 )

Para T= 1 se tiene:

sincs2 + 2sincs2 (A.IB)

120

La función diente de sierra impar es igual a dos veces

la integral de la función cuadrada par» por tanto de? la ex-

presión (A.13) y desplazando -jns grados se tiene:

F v<s) = 2j.sincs

TTS

sinc2s

TIS

19)

En la figura A „ 7 se pueden apreciar las transformadas de

las funciones diente de sierra par e impar.

MAG

(a) Fu(s)

FIGURA A.7

121

If MAG

(b) Fv(s)

FIGURA A.7

Se multiplican estas transformadas con las dp la señal

de prueba y se obtienen los espectros de frecuencias en eje

real e imaginario. Con estas funciones SF? típnp un mejor

rechazo a las armónicas altas Que con las fuñe iones par e

i m p a r .

En 1 a presente tesis se eseojen las fuñe iones seno v

coseno como señales de referencia standard, ya que el rechazo

a la componente DC y a las armónicas altas es mayor que en

las otras funciones. El tiempo de computación es mayor pero

no representa problema si se utilizan computadores de gran

capacidad y alta velocidad de ejecución.

APÉNDICE B

ALGORITMOS PARA PROCESAMIENTO DE SEDALES

Para el procesamiento de señales se han propuesto varios

algoritmos, entre el 1 os se tienen los siguientes:

B.I.- ALGORITMO DE FOURIER DE CICLO COMPLETO.

Para extraer la componente fundamental de la señal de

entrada realiza la correlación de dicha señal con las fun-

ciones seno y coseno. C Ver capítulo 2)

El resultado que se obtiene con esta técnica es satis-

factorio debido a que se produce muy buen filtrada de las

componentes no deseadas, además tomando el tiempo de compara-

ción igual al período de las funciones de referencia, se dis-

minuyen los errores producidos por la presencia de armónicas

altas en las señales de falla. En la figura B.I se muestra

la respuesta de frecuencia para cuando se toman 12 muestras

por ciclo.

Respuesta de frecuencia.(12 muestras/c icio)

FIGURA B. 1.

Se puede apreciar que las armóni cas superi ores a la se-

gunda son bien atenuadas, pudiendo atenuar las mucho más rea-

lizando un pre filtrado antes del procesamiento de la serial .

D.2.- ALGORITMO ÜE FUONIEH DE MEDIO CICLU.

La teoría es igual a la de ciclo completo, pero el pe-

ríodo en el que se hace la comparación es de medio ciclo. Las

expresiones que determinan la parte real e i ni aginar i a son las

siguientes:

PF, = L.sin(2nL/N) B.l)

P! = L-cos(2nL/N)N

Donde:

N = número de muestras tornadas.

Q = señal de voltaje o corriente.

PFÍ = Parte real de la componente fundamental .

P i = Parte imaginaria de la componen te fundamen ta1 .

En la figura B.2 se aprecia que las armónicas son menos

atenuadas y que la componente DC influye mucho más, por lo

tanto se pierde precisión en los resultados a une} un1 la veloci-

dad es mayor.

1.0 T-

Respuesta de frecuencia(12 muestras/ciclo)

FIGURA B.2

B.3.- ALGORITMO CON FUNCIONES WALSH.

Para extraer la componente fundamental utiliza las fun-

.125

clones cuadradas par e impar conocidas como funciones Walsh.

Como estas -funciones toman sol o valorea de ± i. , e .1 tiempo r pa 1

de computación se simplifica notablemente

En la figura B.3, se muestra la respuesta de frecuencia

cuando se toman 8 muestras por ciclo, razón por la cual no se

puede comparar directamente con el algori tmo de Fourier cuya

respuesta se obtuvo para 12 muestras por ciclo. Para igual

número de muestras el comportamien to es casi idéntico.

1.0

Respuesta de frecuenc ia(8 muestras por ciclo)

FIGURA B.3

B.4, CRITERIO DEL MÍNIMO EHRUR.

Extrae la componente fundamental desde la forma de onda

transitoria, acercando en lo posible un modelo matemático su*

puesto de una señal al grupo de muestras observadas de la

misma. Sea V(t) una señal que se aproxima al siguiente mo-

delo matemático:

126

V(t) = aiíU-Xa. + aa<t).Xs + as (t). Xas (3.3'

Donde:

ai ( t) , a^ít), a.-3 ( t) son los coeficientes conocidos del rncdelo

matemático de la señal.

X i ? Xss, X.-r. son los parámetros desconocidos del modelo matemá-

tico de la señal.

Para determinar los parámetros desconocidas se necesi-

tan al menos tres valores de la señal, por tanto el número

de muestras observadas de la señal será m ( mt3) y se tendrá

el siguiente sistema de ecuaciones:

Vi = a^-Xi + ai:E.X:2 -t- ai-.-X.-3; ; i= 1,2,.. m (B.4)

Donde:

Vi : valores observados de la señal V(t)

En forma matricial:

[V] = [A3CX] (B.5)

Donde:

[A] -

.S ai:

,—. a-r>:

[X] -

[V] =

La magnitud del error del valor observado de la señal

puede evaluarse con la siguiente expresión:

t r- — ;e.6)

Al avaluar las incógnitas X i, X^, X^, el error debe ser

mínimo por tanto la ecuación (B.6), debe cumplir las siguien-

tes condiciones:

128

- A. "- - A - A= O; - O; = O

Desarrollando las derivadas anteriores y expresándolas

en forma matricial se tiene que:

CX3 - [A3^-CV3 CB.7)

Donde:

[A]- = (CA'r3.[A3)-;L.[A'r3

La ecuación (B.7) permite calcular las incógnitas del

modelo matemático de la señal.

Para un modelo matemático supuesto de una seña 1 la ma-

triz [A3 que se denomina pseudo-inversa de [A]"*" es constante

por lo que las incógnitas dependen únicamente de los valores

observadas de la señal.

Para extraer la componente fundamental, es necesario

calcular solamente los valores de X^ y X-r. que corresponden a

la parte real e imaginaria de dicha componente.

Por lo tanto:

m

Im {V} = 2 a^i.Vj. CB.9)i —O.

129

RESULTADOS:



FASE A = 187792.703 -219.696

FASE B - -99905.875 -152411.891

FASE C = -93705.180 162742.531



FASE A = 673.586 71.657

FASE B = -274.450 -619.008

FASE C = -398.846 547.520

TIPO DE FALLA DETECTADA: FASE FASE TIERRA

FASES FALLOSAS; B Y C

FASE A

FASE B

FASE C



-162719.078 -28776.521

2574.650 3200.096

604.023 -2548.701

FASE A

FASE B

FASE C

CORRIENTES DE FALLA [Amperios]


-690.862 -225.817

6923.326 1686.522

-22535.354 -4065.087

93

VOLTAJES DE SUPERPQSICIQN [Voltios]

PARTE REAL PARTE IMAGINARÍA

FASE A = -350511.781 -29556.826

FASE B = 102480.523 155611.984

FASE C = 94309.203 -165291.234

CORRIENTES DE SUPERPOSICIÓN [Amperios]


FASE A = -1364.448 -297.474

FASE B - 7197.776 2305.530

FASE C = -21926.508 '-4612.607

DISTANCIA A LA FALLA =

CONVERGENCIA EN:

O.O98 KM.

2 ITERACIONES

5.2.4.- FALLA TRIFÁSICA:

EJEMPLO tt 1;


DISTANCIA A LA FALLA: 110 KM.


Las muestras de voltaje y corriente se encuentran en la tabla

5.4 y las formas de onda correspondientes en las figuras 5.9a

y 5.9b.

94

TIEMPO(Seg. )

0.0000000.0013390.0027780.0041670.0055560.0069450.0083340.0097230.0111120.0125010.0138900.0152790.0166680.0180570.0194460.0208350.0222240.0236130.0250020.0263910.0277800.0291690.0305580.0319470.0333360.0347250.0361140.0375030.0388920.040281

la(Amp. )

-649.59-658.59-491. 11-192.04158.49466.55649.60658.58491.10192.03-158.50-466.56-649.60-658.58-491.09-1379. 10-1433.00-645.08764.532406.203827.904636.304602.903725.202227.40500.60

-1002.70-1889.60-1932.30-1128.90

Ib(Amp. }

491 . 12192.05-158.48-466.55-649.60-658.59-491, 10-192.03158.50466.56649.60658.58491 .09192.01-158.52195.59-893.39-2307.70-3555. 10-4224. 10-4076.00-3101 .70-1521.10278.231846.202791 .302886.802131.50750.73-864.09

Icí Amp. )

158.48466.54649.60658.59491 .11192.04-158.49-466.55-649.60-658.58-491. 10-192.02158.51466.57649.601183.402326.302952.602790.501817.70247.89

-1534.80-3082.00-4003.60-4073.80-3292. 10-1884.30-242.041181 .501992.90

Va(Volt. )

-173360-186230-14920O-721942416011404017336018623014920072190-24164-11404O-173370-186230-149200-4016422625797921160601217009518943624

-19193-76445-112800-118540-92126-406552207479239

Vb(Volt. )

14920072196-24159-114040-173360-186230-149200-721912416311404017336018623014920072187-24168-104210-130070-130870-101520-482O515667735601103801165209050739370-23127-80154-116330-121870

Ve(Volt. )

2415711404017336018623014920072193

-24161-114040-173360-186230-149200-721892416611405017337014437010744051071-14539-73494-110860-117190-91185-1008822293791651152501208109425342625

TABLA 5.4

95

VOLTAJES FALLA TRIFÁSICAEJEMPLO 1

( a )

CORRIENTES FALLA TRIFÁSICAEJEMPLO 1

( b )

FIGURA 5.9

RESULTADOS;



FASE A = -149199.719 -114039.305

FASE B = -24160.299 186230.641

FASE C = 173360.266 -72191.625



FASE A = -491.105 -466.552

FASE B = -158.490 658.589

FASE C = 649.595 -192.036

TIPO DE FALLA DETECTADA: TRIFÁSICA

VOLTAJES DE FAl LA [Voltios]


FASE A = -56565.230 50589.832

FASE B = 101608.344 31708.852

FASE C = -45569.730 -82298.055



FASE A = 2659.331 1395.776

FASE B = -74.540 -1982.539

FASE C = -2584.874 586.822

97

VOLTAJES DE SUPERPOSICIÓN [Voltios]


FASE A = 92634.434 164629.141

FASE B = 125768.641 -154521.781

FASE C = -218930.000 -10106.430



FASE A = 3150.436 1862.328

FASE B = 83.950 -2641.128

FASE C = -3234.469 778.858


CONVERGENCIA EN:

PORCENTAJE DE ERROR =

109.111 KM.

3 ITERACIONES

0.8087.

EJEMPLO tt 2:




Las formas de onda correspondientes a las muestras de voltaje

v corriente se encuentran en las fiauras 5.10a v 5.iOb.

98

•a-

VOLTAJES FALLA TRIFÁSICAEJEMPLO Z

O.02.

TIEMPO (* « g « n d

( a )

CORRIENTES FALLA TRIFÁSICAEJEMPLO 2.

O.OZ

TIEMPO («

(b

FIGURA 5 . 10

99

RESULTADOS:



FASE A = -149199.719 -114039.305

FASE B - -24160.299 186230.641

FASE C = 173360.266 -72191.625



FASE A = -491.105 -466.552

FASE B = -158.490 658.589

FASE C = 649.595 -192.O36

TIPO DE FALLA DETECTADA: TRIFÁSICA



FASE A = -3970.672 5058.983

FASE B = 8332.784 317O.S86

FASE C = -3846.627 -8229.806

1OO


FASE A = 265.933 139.578

FASE B = -7.454 -198.254

FASE C = -258.487 58.682

VOLTAJES DE SUPERPOSICIÓN [Voltios!


FASE A = 145229.047 119098.289

FASE B = 32493.082 -183O59.750

FASE C = -177206.891 63961.820

CORRIENTES DE SUPERPOSICIÓN [Amoerios]


FASE A - 757.038 606.130

FASE B = 151.036 -856.843

FASE C = -908.083 250.718

DISTANCIA A LA FALLA = 97.138 KM.

CONVERGENCIA EN: 3 ITERACIONES

PORCENTAJE DE ERROR = 0.8797.

101

5.3.- ANÁLISIS DE RESULTADOS:

Las componentes fundamentales de las señales de voltaje

y corriente de pre falla, para las tres fases y en todas las

pruebas real izadas, son correctas. El valor máximo de la com-

ponente fundamental de voltaje es 187.790 Voltios por fase y

el de la componente fundamental de corriente es 677,4 Ampe-

rios, los mismos que están de acuerdo con los datos de parti-

da de 230.000 Voltios de voltaje nominal y 500 Amperios de

corriente nominal.

Los algoritmos utilizados en la detección de los transi-

torios que producen las fallas y en el análisis del tipo de

falla funcionan adecuadamente.

Al procesar las señales de falla se tiene un pequeño

error debido a que no fueron filtradas previamente, de todas

maneras los resultados son satisfactorios.

En los cuatro tipos de falla se ve que la componente

fundamental de voltaje, en las fases fallosas, disminuye a

medida que la distancia a la falla es menor y viceversa. La

componente fundamental de corriente aumenta conforme disminu-

ye 1 a distancia.

102

Para el caso de la falla fase tierra. ejemolos 2 v 3 , se

tiene que a menor ángulo de iniciación de la falla la cornpo-

nente fundamental de voltaje en la fase fal losa, es menor v

la de corriente es mavor.

Para la falla fase fase, ejemplos 1 v 2, se aprecia que

las componentes fundamentales de corriente de las fases

fallosas son iguales y opuestas.

Las distancias obtenidas en los cuatro tipos de falla

son correctas. ya que el error respecto a la distancia a la

cual se simulan las fallas tiene un máximo de ±4V., por lo

tanto estos resultados son muy confiables. Además a 1 compa-

rar estos resultados con los de la referencia 16. en la que

se hace el cálculo previo de la impedancia de falla, se ve

aue los de esta tesis son mucho más precisos.

Revisando los resultados - de los diferentes tioos de

falla se puede decir que para la falla fase tierra se tienen

errores menores que en los otros casos, pero esto es relativa

debido al diferente tratamiento matemático aue se da a las

ecuaciones básicas y a las condiciones en aue se simularon

1 as fa 11 as,

En cuanto al ángulo de iniciación de la falla se puede

apreciar en los ejemplos 2 v 3 de la falla monofásica, que

103

para 90° el error en la distancia es mucho mayor que oara 0°.

debido a que si la falla se produce a voltaje máximo, la

señal transitoria se ve seriamente afectada por la presencia

de armónicas al tas.

El número de pruebas real izadas es suficiente oara de-

mostrar la eficacia de este método.

Se puede mejorar la precisión en el cálculo de la dis-

tancia, si se la calcula después de 3 o 4 ciclos de haberse

iniciado la falla, lapso en el que el transitorio se atenúa

considerablemente.

104

CAPITULO VI

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

6,1.- CONCLUSIONES

Este algoritmo determina la distancia al punto de falla

en 1íneas de transmisión trifásicas de alto voltaje, uti1i-

zando únicamente los voltajes y corrientes medidos en el ter-

minal de envío.

La frecuencia de muéstreo de 720 Hz es la más convenien-

te en señales de falla, ya que considera el efecto de las ar-

mónicas de hasta sexto orden, lo cual garantiza una repre-

sentación más fiel de las mismas. Para el caso de las seña-

les de pre falla se puede utilizar una frecuencia de muestreo

de 240 Hz, debido a que no contienen componentes de alta

frecuencia, pero para efectos de funcionamiento del programa

se utilizan los 720 Hz en ambos casos.

El análisis de Fourier para la extracción de la compo-

nente fundamental es el más idónea porque realiza la compara-

CORRIENTES DE FALLA [Amperios!


FASE A = 691.947 12.241

FASE B - -295.859 -590.908

FASE C = 1978.372 1515.621



FASE A = 334995.094 4078.439

FASE B = -184865-641 -329270.250

FASE C = -162346.984 285784.313

CORRIENTES DE SUPERPOSICIÓN

FASE A -

FASE B =

FASE C =

PARTE REAL

1352.347

-495.490

1517.604

DISTANCIA A LA FALLA -=

CONVERGENCIA EN:


PARTE IMAGINARIA

163.002

-1238.212

2012.159

9O.303 KM.

3 ITERACIONES

0.3367.

EJEMPLO tt 2:


DISTANCIA A LA FALLA: 2 KM,

FASE FALLOSA: FASE A


74


y corriente se encuentran en las figuras 5.3a y 5.3b.

VOLTAJES FASE TIERRA A CERO GRADOSEJEMPLO Z

O.Q2

TIEMPO í* m «u n d

( a )

CORRIENTES FASE TIERRA A CERO GRADOSEJEMPLO Z

O.OZ

TIEMRO<»«gundos)

(b )

FIGURA 5.3

75

RESULTADOS:



FASE A = -226.011 -187793.375

FASE B = -162520.234 94092.063

FASE C = 162746.000 93702.063



FASE A = 71.639 673.594

FASE B = -619.159 274.755

FASE C = 547.526 398.837


FASE FALLQSA: A



FASE A = 5856.321 9374.152

FASE B = 125384.930 -136847.016

FASE C = -173735.406 -62735.383

76

CORRIENTES DE FALLA

FASE A =

FASE B -

FASE C =

PARTE REAL

6540.6Í8

796.135

-307.674

PARTE IMAGINARIA

-764.876

-437.123

-346.788



FASE A - 6082.333 197167.531

FASE B = 287905.156 -230939.078

FASE C = -336481.406 -156437.438


FASE A =

FASE B =

FASE C =

PARTE REAL

6468.979

1415.294

-855.199

DISTANCIA A LA FALLA ~

CONVERGENCIA EN;


PARTE IMAGINARIA

-91.282

-761.883

-745.625

1.955 KM.

2 ITERACIONES

2.257.

EJEMPLO tt 3t



FASE FALLOSA: FASE A


77



111 Zj

ti

VOLTAJES TASE TIERRA A 9O GRADOS

( a )

CORRIENTES FASE TIERRA A CEROEJEMPLO 2

GRADOS

( b )

FIGURA 5 .4

78

RESULTADÜS:


PARTE REAL PARTE IMAGINARÍA

FASE A = Í87780.891 61.270

FASE B = -93847.195 -162608.750

FASE C = -93935.664 162607.422



FASE A = 191.345 -646.521

FASE B = -655.524 157.539

FASE C = 464.185 489.018


FASE FALLOSA: A



FASE A = -13482.604 -17030.656

FASE B = 132194.063 119176.539

FASE C = 50350.898 -183305.859



FASE A - 3304.403 5700.366

FASE B = -341.012 -637.700

FASE C = -229.601 -679.432

79



FASE A = -201263.500 -17091.926

FASE B = 226041.250 281845.281

FASE C = 144286,563 -345913.281



FASE A = 3113.058 6346.887

FASE B = 314.512 -795.238

FASE C = -693.786 * -1168.450


CONVERGENCIA EN:

PORCENTAJE DE ERROR -

1.923 KM.

3 ITERACIONES

3.857.

5.2-2.- FALLA FASE FASE:

EJEMPLO tt 1:



FASES FALLOSAS: FASES B Y C


SO

Las muestras de val taje y corriente se encuentran en la

tabla 5.2 y sus formas de onda en las figuras 5.5a y 5.5b.

TIEMPO(Seg. }

0.0000000.0013890.0027780.0041670.0055500.0069450.0083340.0097230.0111120.0125010.0138900.0152790.0166680.0180570.0194460.0208350.0222240.0236130.0250020.0263910.0277800.0291690.0305580.0319470.0333360.0347250.0361140.0375030.038892O. 040281

la(Amp. )

111.56430.69634.41668.14522.84237.44-111.58-430.70-634.41-668.13-522.82-237.42111.60430.71634.42286.57431.86460.02363.39167.89-74.05-297.59-442.83-470.85-374.13-178.5663.46287.07432.37460.46

Ib(Amp. )

-634.41-668. 14-522.84-237.44111.58430.70634.41668.13522.83237.43-111.59-430.71-634.42-668. 13-522.82-243,51-368,43-393.23-311.13-144,1762.88254.51379.37404,03321.84154.81-52.30-244.00-368.95-393.67

Icí Amp. )

522.84237.45-111.57-430.69-634.41-668.14-522.83-237.43111 .59430.71634.42668. 13522.82237.42-111.60-430.72-634.42-668.13-522.81237.40111.62430.73634.43668.13522.80237.39-111.64-430.74-634.43-668. 13

Va(Volt. 3

1094310321016783018747015689084258-10947-103220-167830-187470-156880-84253109521032201678301114511358

8527.13410.5-2620.2-7949.3-11149-11361-8529.9-3413.42617.37946.311146113588526.8

Vbí Val t . )

-167830-187480-156890-842591094610322016783018747015688084255-1095O-103220-167830-187470-156880-822.76

54251022012277110456853.2825.7

-5422.6-10218-12274-11042-6850.4-822.895425. 510221

Ve(Volt. )

15689084260-10944-103220-167830-187470-156880-842561094910322016783018747015688084252-10953-10322-16783-18747-15688-8424.81095.8103231678418747156888424.4-1096.2-10323-16784-18747

TABLA 5.2

81

VOLTAJES FASE FASE 1EJEMPLO 1

0.02.

TI EM PO <S ESUNDOS)

( a )

CORRIENTES FASE FASEEJEMPLO 1

O.C-Z

TIEMPO <S CHUÑÓOS)

( b )

F I G U R A 5 . 5

82

RESULTADOS:



FASE A = -10946.781 187473.500

FASE B = 107828.484 -84256.977

FASE C = -156884.313 -103218.375

CORRIENTES DE PRE FALLA [Amperios!


FASE A = -111.579 668.138

FASE B = 634.408 -237.437

FASE C = -522.832 -430.702

TIPO DE FALLA DETECTADA: FASE FASE

FASES FALLOSAS: B Y C



FASE A = -36127.020 -189962.531

FASE B = -52089.734 103306.141

FASE C = 88216.422 86657.422

83



FASE A = -61.99 -693.452

FASE B = 514.638 4811.565

FASE C = -452.674 -4118.174



FASE A = -25180.238 -377436.031

FASE B = -219918.219 187563.125

FASE C = 245100.734 189875.797


FASE A =

FASE B =

FASE C =

PARTE REAL

49.580

-119.770

70,157


CONVERGENCIA EN:


PARTE IMAGINARIA

-1361.590

5049.002

-3687.473

49-229 KM.

3 ITERACIONES

i . 5427.

EJEMPLO tt 2:



FASES FALLOSAS: FASES A Y B

ÁNGULO DE INICIACIÓN: 18O°

84



-a-

VOLTAJES FASE FASEEJEMPLO 2.

CORRIENTES FASE FASEEJEMPLO Z

TI EMPQ (* a g u n d o»)

F I G U R A 5.6

35

RESULTADOS:


PARTE REAL PARTE IMAG I T4AR I A

FASE A = -10946.781 187473.500

FASE B = 167828.484 -84256.977

FASE C = -156884.313 -103218.375

CORRIENTES DE PRE FALLA TAmoerios]


FASE A = -111.579 668.138

FASE B = 634-408 -237.437

FASE C = -522.832 -430.702

TIPO DE FALLA DETECTADA: FASE FASE

FASES FALLOSAS: A y B



FASE A = -5531,659 11131.678

FASE B = 8821.645 8665.742

FASE C = -36127.020 -189962.531



FASE A = 514.638 4811.565

FASE B = -452.674 -4118.174

FASE C = 10.515 -684.647

86



FASE A = -173360.141 95388.656

FASE B = 165705.953 111884.117

FASE C = -25180.238 -377436.031



FASE A = -119.770 5049.002

FASE B = 70.157 -3687.473

FASE C = 122.094 -1352.785


CONVERGENCIA EN:


4-964 KM

3 ITERACIONES

0.727.

5.2.3. FALLA FASE FASE TIERRA;

EJEMPLO tt 1:

SIMULACIÓN DE LA FALLA;


FASES FALLOSAS: FASES B Y C

ÁNGULO DE INICIACIÓN: -90°

87

Las muestras de voltaje y corriente se encuentran en la tabla

5.3 y las formas de onda correspondientes en las flauras 5.7a

y 5.7b.

000000000000000000000000000000

TIEMPO(Seg. )

.000000

.001389

.002778

.004167

.005556

.006945

.008334

.009723

.011112

.012501

.013890

.015279

.016668

.018057

.019446

.020835

.022224

.023613

.025002

.026391

.027780

.029169

.030558

.031947

.033336

.034725

.036114

.037503

.038892

.040281

la( Amp

-158-466-649-658-491-192158466649658491192

-158-466-649-666-454-156193479698652488163-146-512-644-662-448-201

. )

.48

.54

.60

.59

. 11

.04

.49

.55

.60

.58

. 10

.02

.51

.57

.61

.27

.25

.86

.60

.86

.56

.84

.68

.66

.47

. 17

.84

.31

.44

.88

Ib(Amp

649658491192

-158-466-649-658-491-192158466649658491

412534372108422

-1204-2390-2811-2411-129519516832709302325001307

. )

.59

. 59

. 11

.04

.49

. 55

.60

.58

. 10

.02

. 51

.56

.60

.58

.09

. 10

. 10

.30

.60

.50

.20

.30

.50

.70

.08

.20

.00

.40

.80

.10

Ic(Amp

-491-192158466649658491192-158-466-649-658-491-192158

-2728-1499

4815432630303126971705360-984

-1919O <~) •-} o£.¿,¿.7

-1782-719719

, )

.12

.05

.48

.55

.60

.59

.10

.03

.50

.56

.60

. 58

.09

.02

.51

.60

.90

.34

.00

.60

.80

.50

.20

.90

.35

. 50

.40

.40

.35

.24

Va( Volt. )

-24157-114040-173360-186230-14920O-721932416211404017336018623014920072189-24166-114050-173370-187250-143420-750662654O11555017802018363015305074216-22827-116430-169950-185820-150740-72489

Vb(Volt. )

17336018623014920072194-24160-114040-173360-186230-149200-721902416511404O17337018623014920043214-15756-74826-120380-134130-114540629421706.86718011361012995010892O60120

-5594.77O725

Ve(Volt. )

-149210-721962415811494017336018623014920072192-24163-114040-173360-186230-149200-72188241671149801379901353909700536479

-33449-90940-126280-125220-90504-300383707396751130690120600

TABLA 5.

88

VOLTAJES FASE FASE TIERRAEJEMPLO 1

( a )

CORRIENTES FASE FASE TIERRAEJEMPLO 1

Q.Q2

TICMRO <* * un el o»)

( b )

F I G U R A 5 . 7

89

RESULTADOS:



FASE A = -173360.359 72191.477

FASE B = 149199.641 114039.445

FASE C = 24289.061 -186307.172

CORRIENTES DE PRE FALLA [Amoerios]


FASE A = -649.595 192,036

FASE B = 491.102 466.554

FASE C = 158.490 -658.589

TIPO DE FALLA DETECTADA: FASE FASE TIERRA

FASES FALLOSAS: B Y C



FASE A - 86089.391 125673.789

FASE B = 27925.557 -45361.723

FASE C = -109267.648 -42806.215

90

CORRIENTES DE FALLA [Amoenosl


FASE A = 241.959 461.523

FASE B - -1460.631 -1962.230

FASE C - 361.519 1579.315

VOLTAJES DE SUPERPDSICIDN [Voltios!


FASE A = 259449.750 53482.313

FASE B = -121274.086 -159401.172

FASE C = -133556.703 143500.953

CORRIENTES DE SUPERPOSICIÓN [Amperios!

FASE A =

FASE B =

FASE C =

PARTE REAL

891.554

-1951.733

203.028


CONVERGENCIA EN:


PARTE IMAGINARIA

269.487

-2428.784

2237.904

110.538 KM.

3 ITERACIONES

0.4897.

EJEMPLO 4» 2:


DISTANCIA A LA FALLA: O KM.

FASES FALLQSAS: FASES B Y C


91



VOLTAJES FASE FASE TIERRAEJEMPLO 2

( a )

CORRIENTES FASE FASE TIERRAC4CMPUO 2

( b )

F I G U R A 5 . 8

92

a la memori dea m padri e - repositorio...

Documents