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INSTITUCIÓN EDUCATIVAINEM JOSÉ FÉLIX DE RESTREPO

Resolución de Creación: 16303 de noviembre 27 de 2002Resolución Actualizada: 1263 de febrero 07 de 2017

NIT: 811042439-1. DANE: 105001013340

DEPARTAMENTO: Matemáticas ASIGNATURA Matemáticas UNIDAD DOCENTE: Grado VII SECCIONES 1 - 5EQUIPO DE PLANEACIÓN ASTRID OASIS RUEDA ARANGO, LINA MARCELA CARDONA CORTESTEMA: Proporcionalidad COMPONENTE: Numérico variacional COMPETENCIA: ResoluciónDERECHO BÁSICO DE APRENDIZAJE (DBA): Resuelve problemas que se modelan mediante el uso de relaciones de proporcionalidad entre variablesINDICADOR DE DESEMPEÑO: Justifica el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad e inversa

SECUENCIA DIDÁCTICAACTIVIDAD N° 1 – P2

CON

CEPT

UAL

IZAC

IÓN

N

PROPORCIONALIDAD

La proporcionalidad es la circunstancia en la que dos magnitudes mantienen entre sí una razón o cociente constante.

Razón: Es el cociente entre dos números o cantidades comparables entre sí.

b ≠ 0 Se lee: a es a b También se escribe -> a:b

A diferencia de las fracciones, en una razón sus elementos pueden contener cifras decimales

Normalmente los elementos de una razón serán números positivos

0,5 1,75 0,29

Ejemplo 1:

2

Ejemplo: representa la siguiente expresión en forma de razón.

Un equipo de fútbol ha ganado 3 de cada 4 partidos de liga ->

Luis ha obtenido sobresaliente en la mitad de las asignaturas ->

Serie de razones iguales: es la igualdad de dos o más razones

Propiedad fundamental de una seria de razones iguales:

Si

Ejemplo 2:

Ejemplo 3: Halla los términos desconocidos aplicando la propiedad fundamental de una serie de razones.

Proporción: Es una igualdad entre razones cuyo valor numérico de ambas es el mismo. Dicho valor numérico común se le llama constante de proporcionalidad ().

Dos razones forman una proporción sí y solo sí el producto de los extremos es igual al producto de los medios: Teorema Fundamental de la Proporción.

3

= Teorema fundamental de la

Proporción

3 x 8 = 4 x 6

24 = 24

Proporción

= = Ejemplo 4:

0,75 0,75Constante de

Proporcionalidad

Variable: se utiliza para definir toda cantidad susceptible de tomar distintos valores numéricos. Dos variables A y B son proporcionales si un cambio en A va a corresponderse con una variación en B, siempre en la misma proporción. Ejemplo: altura, dinero, edad, peso, etc.

=

Para representar que dos variables son proporcionales se utiliza el símbolo ∝.

Ej: A ∝ B significa que A y B son proporcionales.

Cálculo de un elemento o termino desconocido en una proporción

4

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

Tipos de Proporcionalidad

5

Proporcionalidad Directa:

Dos magnitudes son directamente proporcionales, cuando al comparar las medidas que se corresponden de dichas magnitudes se obtiene una razón constante. Algunas de estas son: obreros y cantidad de obra realizada, distancia recorrida y tiempo empleado, el perímetro y el lado de un cuadrado, entre otros.

Se presenta cuando una variable aumenta o disminuye y la otra también se incrementa o disminuye en la misma proporción. En términos formales, se puede representar la proporcionalidad entre y de la siguiente manera, donde es la constante de proporcionalidad.

Ejemplo 7:

Si una persona va a comprar pan y cada uno cuesta 500 pesos, este precio será la constante de proporcionalidad que relaciona la cantidad de panes comprados y el monto total por pagar.

=

Multiplicación cruzadaPanes

XPrecio

($)Y

1 500

10 5000

11 5500

Constante de

Proporcionalidad

1 . =

=

Las magnitudes son directamente proporcionales porque la razón entre sus medidas es constante

6

0 2 4 6 8 10 12

Cantidad de panes

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Prec

io

En la proporcionalidad directa al representar en un plano cartesiano los valores citados todos los puntos quedan sobre una línea recta que pasa por el origen.

Por otro lado, si al comparar dos magnitudes ambas aumentan o disminuyen, pero la razón entre sus medidas NO es constante, se dice que las magnitudes están directamente correlacionadas. Tal como: edad y peso de una persona, volumen y el lado del cubo, la edad y la estatura de una persona, el área y el lado de un cuadrado.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

12

14

16Ejemplo 8: A partir de la siguiente gráfica, determina si las magnitudes son directamente correlacionadas.

A partir del cálculo de la constante de proporcionalidad con los datos citados en la gráfica se puede determinar la relación entre las magnitudes.

7

X Y

1 4

2 9

3 14

NO es Constante

En el ejemplo ambas variables aumentan simultáneamente, pero la razón entre sus magnitudes no es constante, por tanto, las magnitudes son directamente correlacionadas.

Proporcionalidad Inversa:

Es lo opuesto a la proporcionalidad directa pues implica que, si una variable se incrementa, la otra disminuirá y viceversa. Algunas de estas son: obreros y tiempo empleado en realizar una obra, personas y cantidad de víveres en un tiempo determinado, entre otros.

En términos formales, se puede expresar la proporcionalidad inversa entre y de la siguiente forma, donde, es la constante de proporcionalidad:

Ejemplo 9:

CantidadGatos

X

t. alimento gatos

(semanas)Y

1 42 23 1.334 1

Imaginemos que en una casa hay tres gatos. Si adoptan un gato más, el alimento para gato se acabará más rápido. Así, la cantidad de gatos y el tiempo en que se acaba el alimento comprado son inversamente proporcionales, puesto que a más gatos el alimento dura menos días.

= = Gato Semanas

1 . = 2 =

1 . = 3 = semanas 1 . = 4 =

= Multiplicación horizontal =

8

= 1 . = 4 = 2 . = Constante de Proporcionalidad = 3 . =

= 4 . =

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Gatos

00.511.522.533.544.5

Sem

anas

alim

ento

En la proporcionalidad inversa al representar en un plano cartesiano los valores citados todos los puntos quedan sobre una línea curva que No pasa por el origen.

Por otro lado, si al comparar dos cantidades una de ellas aumenta mientras la otra disminuye y el producto de los valores correspondientes no es constante, se dice que las magnitudes son inversamente correspondientes. Ejemplo; la altura y la temperatura de una ciudad.

0 2 4 6 8 10 120246810121416Ejemplo 11:

A partir de la siguiente gráfica, analizar la proporcionalidad inversamente correlacionada de las magnitudes.

9

= 2 . 15 = 30x 2 4 5 10

y 15 8 6 3 NO es Constante

= 4 . =

= 5 . =

= 10 . =

En el ejemplo cuando una magnitud aumenta la otra disminuye, pero el producto de sus medidas no es constante, por tanto, las magnitudes son inversamente correlacionadas. La siguiente tabla resume la proporcionalidad inversa y directa y sus correlaciones

Proporcionalidad DirectaAmbas magnitudes aumentan o disminuyen simultáneamente

La gráfica forma una línea recta que pasa por el origen Incógnita: multiplicación cruzada

Proporcionalidad InversaUna magnitud aumenta y la otra disminuye

La gráfica forma una línea curvaIncógnita: multiplicación horizontal

0 2 4 6 8 10 120100020003000400050006000

Constante

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

00.511.522.533.544.5

Constante

Proporcionalidad Directa Correlacionada Proporcionalidad Inversa Correlacionada

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40246810121416

No es ConstanteNo es Constante

0 2 4 6 8 10 120246810121416

EJER

CI

10

ACTIVIDAD

PROPORCIONALIDAD

1) Andrea decide repartir cierta cantidad de dinero entre sus dos hijos de 12 y 15 años proporcionalmente a sus edades. Si el mayor recibe $2.500. ¿Cuánto recibe el menor?

2) La razón entre las edades de un padre y su hija es 11 a 4. Si la hija tiene 16 años, ¿Cuál es la edad del padre?

3) Hallar los valores desconocidos en la siguiente proporción, aplicando la propiedad fundamental de un conjunto de razones equivalentes.

Proporcionalidad directa e inversa

11

4) Complete la tabla, grafique los datos en el plano cartesiano y encuentre el valor de la constante proporcionalidad y diga a qué tipo de proporcionalidad hace relación el ejercicio: directa, inversa, directamente correlacionada o inversamente correlacionada.

x 4 7 11 13

y 14 26

5) A partir de los siguientes datos, represente los datos en el plano cartesiano y encuentre el valor de la constante proporcionalidad y diga a qué tipo de proporcionalidad hace relación el ejercicio: directa, inversa, directamente correlacionada o inversamente correlacionada.

x 2 4 6 8 10 12 14 16

y 4 6 8 10 12 14 16 18

6) A partir de los siguientes datos, represente los datos en el plano cartesiano y encuentre el valor de la constante proporcionalidad y diga a qué tipo de proporcionalidad hace relación el ejercicio: directa, inversa, directamente correlacionada o inversamente correlacionada.

Personas (x) 1 2 5 15

12

Días (y) 30 15 6 10

7) A partir de los siguientes datos, represente los datos en el plano cartesiano y encuentre el valor de la constante proporcionalidad y diga a qué tipo de proporcionalidad hace relación el ejercicio: directa, inversa, directamente correlacionada o inversamente correlacionada.

Número de obreros (x)

x 2 4 5 10

Días de trabajo (y)

y 15 8 6 3

EVAL

UA

CIÓ

N Una vez resuelta la actividad anterior, debes enviarla por la plataforma Classroom o en físico según corresponda:

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Astrid Rueda: astrid.rueda@inemjose.edu.co Lina Cardona: lina.cardona@inemjose.edu.co Fecha entrega: 14 Junio de 2021

NOTA: El formato de entrega es según los recursos del estudiante. Por tanto, se acepta fotos, archivos en word, pdf, etc. Tomado de:

Aritmética y Geometría, Grado 7, Santillanahttps://economipedia.com/definiciones/proporcionalidad.html#:~:text=La%20proporcionalidad%20es%20la%20circunstancia,siempre%20en%20la%20misma%20proporci%C3%B3n.

https://matematicascercanas.com/2015/08/25/regla-de-tres/https://www.youtube.com/watch?v=N3LoB2N9BOM