9m inercia completo con-formato

8/15/2019 9M Inercia Completo Con-Formato

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VIII. MOMENTOS DE INERCIA

Recordemos que el momento estático es la suma de los productos decada elemento de un cuerpo por su distancia a un eje. El momento deinercia, es cambio es la suma de los productos de cada elemento de uncuerpo por el cuadrado de su distancia a un eje. Como la distancia estáelevada al cuadrado, los momentos de inercia también se llaman

momentos de se- gundo orden o, simplemente, segundos momentos. Por esa misma razón, los momentos de inercia son escalares siempre positivos. a! momentos de inercia del peso, de la masa, del volumen delos cuerpos, ! de áreas ! de l"neas. # di$erencia de los estáticos, que soncantidades meramente mate- máticas, los momentos de inercia de lasmasas miden la oposición de los cuerpos a girar alrededor de un eje, ! suconocimiento resulta imprescin- dible para estudiar el movimiento de loscuerpos.

#s" como el momento estático de la masa de un cuerpo respecto al ejede la equis se puede obtener mediante la e%presión

�� =

� ̅�en donde ! es la distancia del centro de masa al eje de las equis, el momentode inercia de la masa de un cuerpo respecto al mismo eje se puedee%presar como

�� =�

&�en donde ' es cierta distancia el eje de la equis, que recibe el nombre deradio de giro. (al distancia corresponde al lugar en el que )abr"a queconcentrar toda la masa del cuerpo para que conservara su momento deinercia.

Consideremos el men)ir de la$igura ! una par-t"cula cualquiera demasa di$erencial dm, cu!as dis-tanciasa los ejes cartesianos son r%, r! ! rz,*os momentos de inercia de esa part"cula serán�� = �2��

+ &��

x

z

r z dmz r !

r % y%

!



Momentos de inercia Momentos de inercia

/ /

+ &��

!, por tanto, los momentos deinercia de la masa del men)ir serán0

��

�= ∫

&�

��

+ 1��

&� ��

+ 1��

&� ��

Como se puede apreciar, empleando el teorema de Pitágoras,

� &=�

&+ �

&, 2ustitu!endo este resulta-do en la e%presión del momentode

inercia, tendremos�� = ∫ (�

&+ �

&) �� = ∫ �

&��

+ ∫ �&��

Estas dos 3ltimas e%presiones corresponden a lo que podr"amos llamar



Momentos de inercia Momentos de inerciamomentos de inercia con respecto a los planos %z ! !z, respectivamente0

��

��

= ∫

�

&��

+ 1 &��

��

*as e%presiones que acabamos de escribir serán mu! 3tiles en elcálculo de los momentos de inercia de los cuerpos.

Momentos de inercia de la masa de algunos cuerpos

Para nuestro curso básico resulta necesario conocer los momentos deinercia de la masa de algunos cuerpos de $orma com3n, como el cilindro,la es$era, el cono ! el prisma rectangular.



Momento de inercia de la masa de un cilindro de pared delgada

El cálculo del momento de inerciade la masa m de un cilindro de radio R de pared delgada 4es decir, de un cilin-dro cu!os radios interior ! e%terior son R prácticamente iguales5 con respecto asu eje de $igura resulta mu! sencillo, x pues cualquiera de sus partes se en- )cuentra a un radio de distancia de di-c)o eje. Por tanto, su momento deinercia será

�� =��2

Momento de inercia de la masa de un cilindro macizo

Para calcular el momento de inercia de la masa de un cilindro macizo! )omogéneo de masa m, radio R ! altura ), respecto a su eje de $igura,comenzaremos determinando su masa en $unción de su volumen0

� =�

*a cantidad que )emos designadoconρ es la masa espec"$ica 4o masa por unidad de volumen5, también llamadadensidad. Por tanto

� = ��&ℎ#)ora vamos a descomponer alcuerpo en in$inidad de cilindros de pared delgada concéntricos. Cada unode ellos tendrá un radio r ! un espesor dr, como se muestra en la $igura. Elvolumen de dic)o elementodi$erencial será

R

r dr

x

)

� = 2 ��ℎ�



que corresponde lo largo 4)5, lo anc)o 4&πR5 ! el espesor 4dr5 del elemento.6 sea que su masa es

+��



�� =2�� ℎ�

por tanto, su momento de inercia será�� =

��&��

�� =2��3ℎ� ! el de todo el cilindro

�� = 2��ℎ∫ ��7�

0��

= ��

8ℎ�� ⁄ 2 = (��

&ℎ)�

&/2

Como lo contenido en el paréntesis es la masa del cilindro, podemosescribir

1

2�� =

2��

Ejemplo. Calcule el momento de R &inercia de un cilindro )ueco, cu!os R

radios e%terior e interior son R &! R ,respectivamente. 9tilice el resultado xobtenido arriba para evitar cualquier tipo de procedimiento de integración. )

#l momento de inercia de un cilindro macizo de radio R &lerestaremos el momento de otro de radio R .

� = � 2 − � 1 = � 2 − � 12 2 2 2� = ��2 ℎ − ��1 ℎ = ��ℎ(�2 − �1 )

1 2 12�� = ��2 − ��1 =

2�2�2 −

2� 1�1

1 4 1 4 1 4 4

+ & & : & + & 4 & : 5�� ℎ �� ℎ ��ℎ � �

Como el producto de dos binomios conjugados es la di$erencia de loscuadrados



1 2 2 2 2�� = 2 ��ℎ(�2 − �1 )(�2 + �1 )

1 2

2�� =2�(�1 +�2 )

9na $ácil comprobación del resultado anterior ser"a tomar el caso deque R ! R &$ueran iguales. Entonces el momento de inercia tendr"a unvalorde mR &, que es precisamente el que corresponde al de un cilindro de pared delgada.

Momento de inercia de la masa de una esfera

Para abordar el cálculo del momento de inercia de una es$era,comenzaremos escribiendo su masa en $unción del volumen.

4� = ��=

# continuación descompondré-mos la es$era en in$inidad de cilindros

in$initamente delgados, como semuestra en la $igura.�� = �� = ��

&��

El momento de inercia de unelemento di$erencial es

��3

7 z

!dzz

y 1

�� =2�

12

�� =��2

4�� R

Puesto que debemos integrar con xrespecto a z, se requiere que ! este en$unción de ella.

Como puede observarse, %, ! ! R se relacionan mediante el teorema dePitágoras de la siguiente manera

�&+ �&=

�&

& + & :� � �



�� = � &�� =

��&��! el de todo el cuerpo, respecto al mismo plano.�� ⁄ 2

�� = ��∫ �2��= ��∫ �2��

: >&��



/ 1

3�� =3��

El momento de la masa respecto al plano %! se obtiene de modosemejante, ! $ácilmente se puede deducir que es

1

3

+��3

�� #)ora bien, como�� = �� + �� 1 3�� =3�� 1

��+��

33

1=��(�2

3+ �&)

1 2�� =3� (� + �&)

#)ora bien, como puede deducirse $ácilmente, dada las simetr"as del prisma, los momentos de inercia de su masa, respecto a los otros planos,se puede obtener simplemente cambiando las variables. #s"

1 2��

=3� (�

+�

2 )

1 2�� =3� (� + �2 )

Momento de inercia de la masa de otros cuerpos

emos visto cómo se calculas los momentos de inercia de varioscuerpos que son, a nuestro juicio, los más signi$icativos. *os de otroscuerpos, como el del cono, pueden calcularse de modo semejante al de laes$era, o con los razonamientos que seguimos en el del prisma.

z Ejemplo. 2abiendo que el momen-

to de inercia de un cono de altura ) !cu!a base tiene un radio R, respecto al )eje de las zetas es3

��, determine el10momento de inercia de su masa respec-to a un diámetro de su base.

x

! dzz

R y



Como la suma de los momentos respecto a dos planos que seintersecan en un eje es igual al momento de inercia respecto a dic)o eje, esdecir

�� = ��

+ ��

2

�� = �� [ℎ2ℎ

ℎ

∫�

&0

ℎ

��− 2ℎ ∫ �

7 0

ℎ

��+ ∫ �

0

8��]

= �� [ ℎ5

−1ℎ��

ℎ

232

5 +1

ℎ5 ]5

�2 1

1 1 5 2 2�� = ��ℎ2 (

ℎ

) =(

103

��

�

ℎ) ℎ

1

2

+10

2umando los dos momentos de inercia 1 2

�� = 10 � ℎ 3

+ ��

2

10 1 2�� =

10� (ℎ + 3� &)

Teorema de los e es paralelos o de SteinerConsideremos un men)ir de masa

m, cu!o centro se encuentra en y

��(�, �)̅, Elegiremos dos sistemas dere$erencia. El %6!, arbitrario, ! elu?v, centroidal ! paralelo al anterior,como se muestra en la $igura.

El momento de inercia de la masa !del men)ir respecto al eje de las equises

6

v

dmv

u

4 , 5 � � � � � � � � � � ��̅

x

= ∫

�

&��

pero, como se puede deducir de laconstrucción,� =

�

+ ��, por tanto

2

2� 1

30



+ 14 @ 5& + 1 & @ & 1 @ & 1 (�� (�� (�� (�� (�� (�� (�� (�� (�� (�� (��



*a primera integral es el momento de inercia de la masa del men)ir respecto al eje de las 3esA la segunda, es el momento estático de la masarespecto al mismo eje !, por ser centroidal, es nuloA la tercera es la masamisma, que resulta multiplicada por la distancia entre los dos ejes)orizontales. Por tanto, podemos escribir

�� = �� +

�� ̅ &

+ @ & � � � � � � � � � � �

Escribimos en vez de�� por tratarse de un momento de inerciarespecto a un eje centroidal El teorema se aplica a todos los momentos deinercia, no sólo a los de masa, ! se puede enunciar de la siguiente manera0

El momento de inercia respecto a un eje cualquiera es igual al momentorespecto a un eje centroidal paralelo al primero más el producto de lamasa multiplicada por las distancia entre los ejes al cuadrado.

Ejemplo. Calcule el momento deinercia de la masa de un cono de masam, de altura ) ! cu!a base tiene unradio R, respecto a un eje centroidal paralelo a cualquiera de los diámetros

z

)?

)B8de su base. y

xR

(ambién

=�� = +

�� ̅ & = �� −

�� ̅ &1 ℎ2

�(ℎ2 + 3� 2) − �( )

/ 8�� = �� +

��

Como + ,

entonces

+ &



�

de donde

3 2�� = 20��

! $alta calcular el momento de inercia con respecto al plano %!01

� = ��= ��2ℎ3

pero + + &�� ℎ

de donde�= ℎ − �

��

� = (ℎ −�)ℎ

El momento de inercia del elemento di$erencial es�

2�� = �

&��

= ��

2

(ℎ − �)2�

2��

ℎ&

�� = ��[ℎ2�

2ℎ

del cono completo: & 7ℎ� : 8� �

�

= 1 � ℎ2

+103

3 ��2−103

1 � ℎ216

+� ℎ

2

+803

��2

10

= � (ℎ2 + 8� 2)80

Ejemplo. ;etermine el momentode inercia de una barra delgada de

masa m respecto a un eje perpendi-cular a su eje de $igura que pase por uno de sus e%tremos, ! respecto a otro,centroidal, paralelo al anterior.

l B&

x u

l B&

m

2



!d!

ydm

x*a masa de la varilla es

� = ��= ��

en donde # es el área, in$initamente peque=a, de la sección transversal. *amasa del elemento di$erencial es

�� =��

! su momento de inercia con respecto al eje de las equis�� = � 2�� =

��2��

;e toda la varilla� 1

1�� = ��∫�&��=

/

3 1 7��

+

2

(��)�23

�� =3

��

�� = +�� ̅ & =

̅� − �� ̅ 2

=1�

2

��2 − �( )

1 1= ��

2 ( − )

3 2 3 4

= 1��

212

Momentos de inercia de cuerpos compuestos

El momento de inercia de la masa de un cuerpo compuesto se obtienesumando los momentos de inercia de cada una de sus partes. Dlustraremosel procedimiento mediante un ejemplo.



Ejemplo. *a $igura representa uncuerpo de 'g de masa compuesto por un semicilindro ! un prisma desección cuadrada. Calcule sumomento de inercia con respecto aleje 6F6.

/ cm

6G

H cm 8 cm

68 cm

2e trata de un cuerpo compuesto por un semicilindro ! un prisma desección cuadrada. Comenzaremos calculando la masa de cada parte

8 = � 1 + � 2 = � 1 + � 21

8 =�

( 2�10

&) 4 + �(4)4(16 ) = �(200� + 256 )� = 9.047 �10 − 3

por tanto + <.H 8 ! & + &.7 H� �

El momento de inercia de la masa del cuerpo es igual a la suma de losmomentos de sus partes

8/

El momento de inercia del semicilindro respecto a sueje de $igura es

-/ = � �22

x

= 1�

(10 22

) = 50 � 1

I respecto a un eje centroidal paralelo al anterior

8RB7� + : &��

*a distancia entre los ejes es4�40

? � = = = 4.2443�

3� = 50� 1 − 4.244&� 1

u + 4<.H 857 . + .

1



&

Calculamos a)ora el momento de inercia respecto al eje 6G6�� = +� 1�&

�� = 181.82 + 5.684(4.244+ 16)

&

+��

&<El momento de inercia del prisma, respecto a un eje centroidal es

1 = � (�212 +

�&

1) =� 2�

212

v 6G

! respecto al eje 6G6

1�� = +

� 2� ̅ &2 2

4 2

�� =12

� 2�

+� 2 (8

) = 2.316 (12

+ 64 )

por tanto, de todo el cuerpo es + < .��

7�� = 2660� ��

2

2erie de ejercicios de EstáticaMOMENTOS DE INERCIA

. ;iga en qué casos el centro demasa de un cuerpo ! su centro degravedad coinciden.

&. 9na placa de $ierro de espesor uni$orme tiene $orma de trapecio ! lasdimensiones que se muestran en la$igura. ;etermine las coordenadas desu centro de masa.

4Sol.Jcm 7/ cm

7/ cm y

6 2



6 x / cm



7. *as barras )omogéneasOA ! BC tienen 'g de masa cada una !están unidas en A, $ormando un solocuerpo. KEn dónde se )alla su centro

4Sol. xo + /.7L< m M5

8. El radio del tramo circular de lavarilla de la $igura tiene </ in deradio. Calcule las coordenadas delcentro de masa de la varilla.

4Sol. ?4 .8<, & .&5 Jcm]5<. # un disco )omogéneo de 8//

6

/.< m

y

</GG

N

/.&< m#

/.&< mC

x

mm de radio se le caló medio disco de7 / mm de radio, como se muestra enla $igura. ;iga en dónde se encuentrasu centro de masa.

4Sol. xo + 7&.H mm M5

7 / mm 8// mm

H. El árbol de una máquina tiene/ cm de largo ! su base tiene un diá-

metro de < cm. 2u mitad izquierda esde plomo, la otra de cobre. 2abiendoque las masas espec"$icas de esos ma-teriales son .7L ! . 'gBdm7, de-termine la posición del centro de masa

del árbol. 4Sol. En el eje de la$igura, a 7L.H cm del e%tremo

izquierdo5

L. 9n semicilindro reposa sobreuna super$icie )orizontal, como semuestra en la $igura. 9na mitad es deacero, ! la otra, de aluminio. 2i los pesos espec"$icos del acero ! del alu-minio son L 7/ ! &H / 'gBm7, respec-

ϴ 8/ cm 8/cm

< cm



tivamente, Kqué valor tiene el ánguloOϴ 4Sol. &H./ 5

. E%plique cuáles son lascaracter"sticas $"sicas de los cuerposque se pueden medir mediante losmomentos de inercia.

. ;etermine, por integración, elR &momento de inercia de la masa de un R

cilindro )ueco de altural , cu!os radiosinterior ! e%terior son, respectivamen-te, ! ! " .

& &4Sol. 4 B&5 m JR @R & 5 l

/. El rotor )omogéneo de la$igura está compuesto por un ejecil"ndrico ! un disco, cu!os radiosrespectivos son 8 ! 7/ cm. 2u masa es

de 'g. Calcule el momento deinercia de su masa, respecto a su eje

de $igura. 4Sol. & &/ 'gcm&5

8/ cm < cm 8/ cm

. *a $igura representa uncuerpo $ormado por una es$era de /.7m de radio ! un eje de /. m de largo,cu!a base tiene un diámetro de /. m.2abiendo que su material tiene unamasa espec"$ica de L& / 'gBm7, digacuál es el momento de inercia de sumasa respecto aa# su eje de $igura$x%x#A &# un eje perpendi-cular alanterior, que pase por el e%tremo librede la barra$y%y#.

4Sol. �)�� = 29.5� ·

&A 5 + /&H Q� ��

&5�

/. m

y

/. m

/.7 m x



&. *as barras )omogéneasOA ! BC tienen 'g de masa cada una !están unidas en A, $ormando un solo 6cuerpo. ;etermine el momento deinercia de su masa respecto a un eje perpendicular al plano que las contiene! que pase porO.

4Sol. &. 7 'gm&5

N

#

C/.< m

/.&< m

/.&< m

7. *a masa del impulsor de una bomba centr"$uga es de &.< 'g. Elradio de giro de su masa respecto aleje de rotación es de < cm.;etermine el momento de inercia dela masa del impulsor respecto a0a#dic)o eje de rotaciónA&# un eje, paralelo al anterior, que pase por el punto ' .

4Sol. = 2810 kg · ! &"�� =

L / 'g Q cm& 58. *a pieza que se representa en

la $igura es de $ierro colado, cu!amasa espec"$ica es de L.& 'gBdm7.;etermine el momento de inercia desu masa respecto a su eje de $igura.

42ol. + 7 H 'g Q mm& 5<. El cono truncado de la $igura

& mm7H mm

y

8/ cm

&/ mm

P

H mm

7& mmH/ mm

es de un material cu!a masaespec"$ica es 8 / slugB$t7. Calcule elmomento deinercia de su masa respecto a su eje desimetr"a $y%y# ! respecto a unodiametral que pase por su base$x%x#.

4Sol. �� = 3280 #$%g ·

&'&"�� =

4650 #$%g ·&'2 )

GG

&8GG

x

&/GG



H. Calcule el momento deinerci a de la masa del volante deacero de la $igura, respecto a su eje derotación. *a masa espec"$ica del aceroes L. 7 'gBdm7. KCuál es su radio degiro centroidalO *os ra!os son ci-l"ndricos.

42ol. + LL 'g Q m&A + H .7 �

cm5

/ cm

/ cm&/ cm

/ cm

8/ cm / cm

7/ cm

H/ cm

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