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Tema 9: GRAFOSTercera Parte

Estructuras de Datos y AlgoritmosCurso 2002/03

Grafos. EDA. Curso 2002/032

SubgrafosConectividadÁrbolesÁrboles de recubrimiento

Conceptos sobre grafos

Problema ARCM: dado un grafo no dirigido y ponderado,encontrar un árbol de recubrimiento de coste mínimo

Soluciones:

Algoritmo de Kruskal

Algoritmo de Prim

MFSET: estructura deconjuntos disjuntos


Subgrafos

Un Grafo G’=(V’,E’) es un subgrafo de G=(V,E) si:• V’ V• E’ E

Dado un conjunto V’ V, el subgrafo de G inducido por V’ es

G’=(V’,E’) : E’ = { (u,v) E : u,v V’ }

Ejemplo: el subgrafo inducido por V’ = {1, 2, 3, 6 } es …

1 2 3

5 64

1 2 3

6


Conectividad de un grafo

Un gnd es conexo si cualquier par de vértices están conectados por uncamino

Las componentes conexas de un Grafo son las clases de equivalencia enV definidas por la relación R = “es alcanzable desde”

Ejemplo: las componentes conexas del Grafo son ...

1 2 3

5 64


Árboles

Un Grafo no dirigido Acíclico y conexo es un Árbol (libre)

GrafoÁrbol(libre)Bosque

Un Grafo no dirigido Acíclico es un Bosque


Árboles

TEOREMA: sea G=(V,E) un gnd. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:• G es un Árbol (libre)• cualquier par de Vértices en G están conectados por un único caminosimple• G es conexo y |E| = |V| - 1• G es acíclico pero si añadimos una Arista a E, el Grafo resultantecontiene un ciclo

Demostración en Cormen, págs. 1085-1087

Un Árbol con raíz es un Árbol (libre) con un Vértice distinguidodenominado raíz


Árbol de recubrimiento (Spanning Tree) de un gnd

Un Árbol de recubrimiento del Grafo G=(V,E) es un Árbol Libre T=(V’,E’)tal que:

• V ’ V• E’ E

Ejemplo: interconectar N pin’s con N - 1 cables, cada uno de loscuales conecta 2 pin’s, utilizando la menor cantidad de cable posible

a

h

b d c

e

g

i

f

4

1

8 79

14

10

478

112

2

G=(V,E) ponderado con:• |V| = N = 9

• |E| = 13

T=(V’,E’) con:• V’ V, |V’|=N=9

• E’ E, |E’|=N-1=8con Peso mínimocon Peso mínimo

a

b




a

h

b d c

e

g

i

f

4

1

8 79

14

10

478

112

2


• |E| = 13

T=(V’,E’) con:• V’ V, |V’|=N=9


a

b c

a

h

b d c

e

g

i

f

4

1

8 79

14

10

478

112

2

a

b

h




a

h

b d c

e

g

i

f

4

1

8 79

14

10

478

112

2


• |E| = 13

T=(V’,E’) con:• V’ V, |V’|=N=9


a

b c

i

fg h

d

e

E’= { a,b), b,c), c,i), c,f), f,g), g,h), c,d), d,e) }

con Peso mínimo 37


Problema ARCM

Dado un grafo no dirigidono dirigido y conexoconexo G=(V,E), yponderadoponderado con p:E R+

Encontrar T E:• G’=(V,T) es un subgrafo conexo y acíclico de (V,E)• la suma de los pesos de los arcos de T sea mínima

•T es acíclico, conexo y no dirigido, entonces es un árbolárbol•Se debe extenderextender por todos los vértices•La suma de los pesos de sus arcos debe ser mínimamínima

Árbol de extensión de coste mínimoÁrbol de extensión de coste mínimo


Problema ARCM

Árbol RCM Dado un gnd G=(V,E), un AEM es un árbol libreT=(V’,E’) tal que V’=V y E’ E.Definición del problema: Dado un gnd ponderadoG=(V,E,p), encontrar un AEM de G, T=(V’,E’) , tal que lasuma de los pesos de las |V|-1 aristas de T sea mínimo.

b

a

e

c d6

4

3

98

1

2456

b

a

e

c d6

4

3

98

1

2456


Algoritmo de Kruskal: Idea Voraz

Construir incrementalmente un bosque (de extensión orecubrimiento), seleccionando en cada paso una arista(u,v) de E tal que:

No se cree ningún cicloProduzca el menor incremento de peso posible.El árbol de recubrimiento o extensión se obtiene cuando se hanseleccionado exactamente |V|-1 aristas válidas.


Algoritmo de Kruskal. Versión básica

Kruskal_0(V,E,p)E’= ;while (|E’|<|V|-1) {

(u,v)=argmin (x,y) E-E’ p(x,y);if (u,v) no crea ciclo en E’ entonces E’=E’ {(u,v)}

}devuelve (E’);


Algoritmo de KRUSKAL (ejemplo)

7

21 3

54 6

1 2

4 6 4 5 6

3 8

47

3


Algoritmo de KRUSKAL. EjemploAlgoritmo de KRUSKAL. Ejemplo

7

21 3

54 6

Arcos por orden creciente de pesos:{(1,2), (2,3), (4,5), (6,7), (1,4), (2,5), (4,7), (3,5), (2,4), (3,6), (5,7) (5,6)}


Algoritmo de Kruskal (i)

Kruskal_0(V,E,p)E’= ;while (|E’|<|V|-1) {

(u,v)=argmin (x,y) E-E’ p(x,y);if (u,v) no crea ciclo en E’ entonces E’=E’ {(u,v)}

}devuelve (E’); Problema: ¿Cómo verificar de forma

eficiente la condición de “no crear ciclo”?

Problema: ¿Cómo seleccionar de formaeficiente la arista de menor peso en cadaiteración?


Algoritmo de Kruskal (ii)

Problema: ¿Cómo verificar eficientemente la condición de“no crear ciclo”?

Solución: Mantener una colección de conjuntos disjuntos (uno porcada árbol del bosque): una arista (u,v) no creará ciclo si u y vestán en distintos subconjuntos. Estructurar el conjunto dearistas seleccionadas como un MFSet de vértices.

Problema: ¿Cómo seleccionar eficientemente la arista demenor peso en cada iteración?

Solución: Ordenar todas las aristas en orden creciente de suspesosSolución: Mantener las aristas en un MinHeap ordenado según lospesos de las mismas.


Algoritmo de Kruskal (iii)

Kruskal (V,E,p)E’= ;for cada v V hacer Constuir_Cjto(v);H=ConstuirHeap(A,p);while (|E’|<|V|-1) {

(u,v)=EliminaMin(H);if (Encuentra(u) Encuentra(v)) entonces

E’=E’ {(u,v)};Combina(u,v);

}devuelve (E’);


Algoritmo de Kruskal. Análisis de costes

Kruskal (V,E,p)E’= ;for v V hacer Constuir_Cjto(v);H=ConstuirHeap(A,p);while (|E’|<|V|-1){

(u,v)=EliminaMin(H);if (Encuentra(u) Encuentra(v)) entonces

E’=E’ {(u,v)};Combina(u,v);

}devuelve (E’);

O(|V|)

O(|E|)

|V|: número de vértices;|E|: número de arcos;

O(|E|) veces

O(log|E|)

O(1)O(1)

O(1)

Cota: O(|E|log|E|)Si m es el nº de iteraciones

m |V| y |V|<<|E| |V|2

O(|E|+|V|log|V|)


E. de Datos para Conjuntos Disjuntos

Un MFSetMFSet (Merge-Find Set) es una estructura tipo conjuntoen la que

los elementos están organizados en subconjuntos disjuntos yel nº de elementos es fijo (no se añaden ni se borran).

Las operaciones características son:CombinaCombina: hace la unión de dos conjuntos disjuntos (Merge)EncuentraEncuentra: dado un elemento debe determinar a qué conjuntopertenece (Find)


MFSets. Ejemplo

17

4

AB

5

610

8

C3 12

13 2

119

Aplicaciones:•Equivalencia entre autómatas finitos•Determinación de componentes conexas de un gnd•Obtención del AEM en un gnd

1 8 3


Operaciones sobre MFSets

Si x e y son elementos (objetos) del conjunto:Construir_Construir_CjtoCjto(x):(x): crea un nuevo conjunto cuyo único miembro es x.

Combina(x,y):Combina(x,y): une los conjuntos a los que pertenecen x e y

Encuentra(x):Encuentra(x): devuelve la referencia al representante del conjunto alque pertenece x.


Componentes conexas de un grafo

Sea G=(V,E) un grafo no dirigidoV es el conjunto de vérticesE es el conjunto de arcos

ComponentesConexas(G=(V,E)){v V hacer Construir_Cjto(v);(u,v) E hacer

if (Encuentra(u) Encuentra(v))entonces Combina(u,v);

}

Ejercicio: Implementar el algoritmo en Java


Ejemplo

a b

c d

e f

g

h

i

j


Ejemplo.Inicio

Arco Colección de conjuntos disjuntos{a} {b} {c} {d} {e} {f} {g} {h} {i} {j}

a b

c d

e f

g

h

i

j


Ejemplo. Iteración 1


(b,d) {a} {b,d} {c} {e} {f} {g} {h} {i} {j}

a b

c d

e f

g

h

i

j




(b,d) {a} {b,d} {c} {e} {f} {g} {h} {i} {j}

(e,g) {a} {b,d} {c} {e,g} {f} {h} {i} {j}

a b

c d

e f

g

h

i

j




(b,d) {a} {b,d} {c} {e} {f} {g} {h} {i} {j}

(e,g) {a} {b,d} {c} {e,g} {f} {h} {i} {j}

(a,c) {a,c} {b,d} {e,g} {f} {h} {i} {j}

a b

c d

e f

g

h

i

j




(b,d) {a} {b,d} {c} {e} {f} {g} {h} {i} {j}

(e,g) {a} {b,d} {c} {e,g} {f} {h} {i} {j}

(a,c) {a,c} {b,d} {e,g} {f} {h} {i} {j}

(h,i) {a,c} {b,d} {e,g} {f} {h,i} {j}

a b

c d

e f

g

h

i

j




(b,d) {a} {b,d} {c} {e} {f} {g} {h} {i} {j}

(e,g) {a} {b,d} {c} {e,g} {f} {h} {i} {j}

(a,c) {a,c} {b,d} {e,g} {f} {h} {i} {j}

(h,i) {a,c} {b,d} {e,g} {f} {h,i} {j}

(a,b) {a,c,b,d} {e,g} {f} {h,i} {j}

a b

c d

e f

g

h

i

j




(b,d) {a} {b,d} {c} {e} {f} {g} {h} {i} {j}

(e,g) {a} {b,d} {c} {e,g} {f} {h} {i} {j}

(a,c) {a,c} {b,d} {e,g} {f} {h} {i} {j}

(h,i) {a,c} {b,d} {e,g} {f} {h,i} {j}

(a,b) {a,c,b,d} {e,g} {f} {h,i} {j}

(e,f) {a,c,b,d} {e,g,f} {h,i} {j}

a b

c d

e f

g

h

i

j




(b,d) {a} {b,d} {c} {e} {f} {g} {h} {i} {j}

(e,g) {a} {b,d} {c} {e,g} {f} {h} {i} {j}

(a,c) {a,c} {b,d} {e,g} {f} {h} {i} {j}

(h,i) {a,c} {b,d} {e,g} {f} {h,i} {j}

(a,b) {a,c,b,d} {e,g} {f} {h,i} {j}

(e,f) {a,c,b,d} {e,g,f} {h,i} {j}

(b,c) {a,c,b,d} {e,g,f} {h,i} {j}

a b

c d

e f

g

h

i

j


Representación de un MFSet

La más sencilla...MFSet M=vector[1..N] de TipoNombreCjto;

N es el número de elementosM[x] es el conjunto al que pertenece x

OperacionesEncuentra(x): es un acceso a M[x], O(1)Combina(x,y): recorrido sobre el vector, O(N)

Coste amortizado:Una secuencia de N-1 operaciones combina tiene un coste O(N2)


Ejemplo

{{1},{2},{3},{4},{5}}Combina(1,2)

{{1,2},{3},{4},{5}}Combina(2,3)

{{1,2,3},{4}{5}}Combina(3,4)

{{1,2,3,4},{5}}Combina(4,5){{1,2,3,4,5}}

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 1 3 4 5 1 2 3 4 5

1 1 1 4 5 1 2 3 4 5

1 1 1 1 5 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1 2 3 4 5


Coste Amortizado

Coste de N-1 operaciones de Combina O(N2)Si el número de operaciones Encuentra que se realiza essuperior a N2, el rendimiento de esta representación esbueno, ya que el coste de cada operación de Combina yEncuentra es O(1). Si hay menos búsquedas esta cota no esaceptable.Mejora: mantener todos los elementos del mismo conjuntoen una lista enlazadalista enlazada. No obstante el comportamientoasintótico sigue siendo el mismo.


MFSet. Representación en árbol

Cada subconjunto es un árbol en el que cada nodo apunta alpadre.La raíz del árbol puede usarse para nombrar el conjunto.El MFSet estará representado por una colección deárboles (un bosquebosque).

3 5

14

7

6 9

82

10

3

5

1 7 4

8

6 9

10 2


MFSet. Rep. en árbol (cont.)

Los árboles no son necesariamente binarios, pero surepresentación es muy fácil ya que sólo necesitaremos unapuntador al padre:

MFSet M= vector[1..N] de enteros;

M[i] es el padre del elemento i;

Podemos hacer que la raíz se apunte a sí mismo: i es raíz si M[i]=i.


Ejemplo

3

5

1 7 4

8

6 9

10 2

5 9 3 5 3 8 5 8 8 61 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Operaciones

Combina:Combina: hacer que la raíz de un árbol sea hijo del otro.Coste constante.Encuentra:Encuentra: devolver la raíz del árbol que contiene a x.Coste proporcional a la profundidad del nodo, que en elpeor de los casos es N-1.Coste amortizado: m operaciones de búsqueda tendrían uncoste O(mN) en el peor caso.


Mejoras del Coste. Heurísticos

m operaciones Encuentra tienen un coste O(m)Combinar por Rango: en la operación combina hacer que la raíz del árbolcon menos nodos apunte a la raíz del árbol con más nodos. Para ello encada nodo se mantiene un rangorango que aproxima el logaritmo de la talla delsubárbol, es una cota de la altura del nodo.

Comprimir Caminos: en la operación Encuentra, todo nodo en el caminode x a la raíz cambia su padre por la raíz. Permite realizar las moperaciones de búsqueda con coste O(m (m,n)), donde (m,n) es unainversa de la función de Ackerman que crece muy lentamente.


Implementación de Combina

Construir_Cjto(x) {M[x]=x; rango[x]=0;

}

Combina(x,y) {Une(Encuentra(x),Encuentra(y));

}

Une(x,y) {if (rango[x]>rango[y]) M[y]=x;else {M[x]=y; if (rango[x]=rango[y])

rango[y]++; }

}


Operación Encuentra

1

2 3 5

4 6 7

8

1

2 3 5

4 6

7 8

Encuentra(8)=1Encuentra(8)=1

Encuentra(x)if (x M[x]) M[x]=Encuentra(M[x]);devuelve M[x];


Coste Amortizado

M operaciones EncuentraSi se usa Combinar por Rango: O(M log N)Si además se hace Comprimir Caminos: O(M (M,N)). Lousual es que (M,N) y por lo tanto O(M).


Algoritmo de Prim: Idea Voraz

Construir incrementalmente un árbol (de recubrimiento oextensión), tomando como raíz cualquier vértice del grafoy seleccionando en cada paso una arista (u,v) de E tal que:

Una un vértice presente en T con uno que no lo esté.Produzca el menor incremento de peso posible.El árbol de recubrimiento o extensión se obtiene cuando se hanseleccionado exactamente |V|-1 aristas válidas.


Idea: construir paso a paso un Árbol de recubrimiento de G = (V, E) Paso 0: la raíz del Árbol es un Vértice cualquiera de G

V’ = {0}E’ ={}

Paso i: dado v V’, seleccionar la Arista (v,w) de G tal que:• w V’• w V’ , (v,w) tenga coste mínimo

Algoritmo de Prim

Paso i:w = min(aristasFactibles) V’ = V’ w

E’ = E’ (v,w) Terminación: i = |E- 1|



a

h

b d c

e

g

i

f

4

1

8 79

14

10

478

112

2

Ejemplo:


a

h

b d c

e

g

i

f

4

1

8 79

14

10

478

112

2

a

a

h

b d c

e

g

i

f

4

1

8 79

14

10

478

112

2

a

b

b

c

min(aristasFactibles)

¿?

Paso 0:

V’ = {a}

E’ ={}pesoMin = 0

Paso 1:

V’ = { a, b}

E’ ={ a,b) }pesoMin=4

aristasFactibles= aristasFactibles= b,4), h,8)Paso 2:aristasFactibles= c,8), h,8), h,11)V’ = { a, b, c }

E’ ={ a,b), b, c) }pesoMin = 12Aristas factibles: Vértices adyacentes a a y b NO visitados

ordenados por pesoordenados por peso


a

h

b d c

e

g

i

f

4

1

8 79

14

10

478

112

2

a

b c

a

h

b d c

e

g

i

f

4

1

8 79

14

10

478

112

2

a

b c

i

Paso 0:aristasFactibles=V’ = { a}E’ ={}pesoMin = 0

Paso 1:aristasFactibles= b,4), h,8)V’ = { a, b}E’ ={ a,b)}pesoMin = 4

aristasFactibles..eliminarMin()

Paso 2:aristasFactibles= c,8), h,8), h,11)V’ = { a, b, c }E’ ={ a,b), b, c) }pesoMin = 12

Paso 3:aristasFactibles=(i,2),(f,4),(d,7),(h,8),(h,11)V’ = { a, b, c, i }E’ ={ a,b), b,c) c,i) }pesoMin = 14


public voidpublic void mSTPrim () {

// resultados del problemaV’=new int[numVertices]; Lista E’=new ListaEnlazada();;

for (int i=0 ; i<=numVertices ; i++) V’[i]=0;

// Paso 0: la raíz del Árbol es un Vértice cualquiera de GV’[0] = 1 ;aristasFactibles = new MonticuloBinario(newnew Arista());

Vértice w Ady(0) aristasFactibles.insertar(new Arista(w,coste0W)); while (E’..length() < numVertices ) { Arista par=((Arista)aristasFactibles.eliminarMin());

w=par..dest; if (V’[w]==0) {

V’[w]=1; // V’ = V’ wE’..insertar(par); // E’ = E’ (v,w)

Vértice u Adyacentes(w) // actualizar las Aristas factibles if (V’[u] == 0) aristasFactibles.insertar(new Arista(u,costeUW));

}}

tmSTPrim ( |E| log |V| )

|E| veces ( log |E| )|V2| )|V| )

(|E|)

( log|V|)

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