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Funcin compuesta Funcin Inversa COMPOSICIN DE FUNCIONES:

Imaginemos a una funcin como si fuese una mquina, acepta un nmero x como entrada, opera sobre l y

devuelve como salida si imagen f x .

Para poder comprender la nocin de la composicin de funciones, procedemos a realizar un ejemplo con

relaciones familiares.

Consideramos las siguientes funciones:

f : .. tiene por padre a .

g : .. tiene por madre a .

Si L tiene por padre a M (f)

y M tiene por madre a G (g)

L tiene por abuela paterna a G g f

La notacin g f se lee g compuesta con f o g cerito f.

Volviendo a las mquinas, ellas se pueden ensamblar entre s para producir otras mquinas, de la misma

manera las funciones se pueden componer para obtener otras.

La mejor manera de ilustrar g f es mediante un diagrama de mquina:

Bajo ciertas condiciones, la composicin de las funciones f : A B y g : B C es la

funcin definida por .

f

g

x f(x) g[f(x)]

entrada salida

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Ej.1: Si 3f x x y 2 1g x x

2 ...

entrada salida

ATENCIN!!

Observamos que Im Dom Dom Domf g g f g .

Para que g f exista Im Domf g .

Condicin necesaria para la composicin de funciones:

Se puede componer cualquier par de funciones?

: / 2f f x x y 0 0: /g g x x 2g f x g f x x

Si probamos con 7x 7 7 2 5g f ( en ) g f x NO es funcin!!!

ACLARACIN:

Siempre se debe establecer el dominio luego de determinar una funcin compuesta. En el ejemplo

anterior, y realizando las restricciones necesarias, tenemos que:

2 0: / 2g f g f x x

PROPIEDADES DE LA FUNCIN COMPUESTA:

1) Asociatividad: f g h f g h

2) Anti-conmutativa: f g g f

.

.

Para que sea posible componer dos funciones, los elementos de la imagen de la primera

funcin deben pertenecer al dominio de la segunda funcin. Simbolizando:

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Ej.2: Sean 2f x x y 3g x x

a) Determinar g f y f g y sus dominios.

b) Calcular 5f g y 7g f

Ej.3: Sean f x x y 2g x x . Determinar las siguientes funciones y sus dominios:

a) f g b) g f c) f f d) g g

Ej.4: Determinar g f y su imagen, si se sabe que 1

, 11

g x xx

y 2 ,xf x x .

Ej.5: Sean 2 1, 0f x x x y 1, 1g x x x . Determinar f g x y g f x , si

existen. Para la composicin de funciones que exista, hallar la imagen de 3x .

Reconocimiento de funciones en una composicin:

Ej.6: Dadas las siguientes funciones compuestas determinar f x y g x , siendo h x f g x para

cada caso.

a) 3

25 4h x x

b) 2

ln1

xh x

x

c) 2 4 1x xh x e

d) 2

1h xx

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FUNCIN INVERSA:

Dada una funcin y f x decimos que su funcin inversa es 1f x . No todas las funciones admiten

funcin inversa. Para poder determinar las condiciones de existencia de la funcin inversa recordaremos la

clasificacin de funciones.

Entonces:

PROPIEDADES DE LA FUNCIN INVERSA:

1) El dominio de 1f x es la imagen de f x , o sea, 1Dom Imf f (Esta propiedad resulta

muy til para el clculo analtico de la imagen de una funcin).

2) Los grficos de f x y 1f x son simtricos respecto de la recta y x .

3) Sean f x y 1f x entonces se cumple 1 1f f x f f x , o sea, si se componen f y

1f se obtiene la funcin identidad.

OBTENCIN DE LA FUNCIN INVERSA:

Para obtener la funcin inversa de una funcin ( )f x hay que seguir dos pasos:

1) Despejar x .

2) Cambiar x por y .

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Condicin de existencia de la funcin inversa:

La funcin

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Ej.7:

a) Dada 2 1f x x , hallar 1f x y graficar ambas funciones.

Hallamos 1f x :

Completamos las siguientes tablas de valores para f x y 1f x :

x f x x 1f x

0 1

1 1

2 3

1 3

Graficamos, en hoja milimetrada, ambas funciones en un mismo sistema de ejes:

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b) Dada 2 4xf x , hallar 1f x y graficar ambas funciones.

Hallamos 1f x :

Completamos las siguientes tablas de valores para f x y 1f x :

x f x x 1f x

0 0

1 1

2 2

1 1

Graficamos, en hoja milimetrada, ambas funciones en un mismo sistema de ejes:

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c) Dada 2f x x , hallar 1f x y graficar ambas funciones.

Hallamos 1f x :

Completamos las siguientes tablas de valores para f x y 1f x :

x f x x 1f x

2 0

3 1

6 2

11 3

Graficamos, en hoja milimetrada, ambas funciones en un mismo sistema de ejes:

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Ej.9:

a) Hallar analticamente la imagen de 5 4

3 2

xf x

x

.

b) Hallar analticamente la imagen de 2 1 3xf x e .