9 elementos del plano

166 Matemáticas 1º ESO - Editorial Donostiarra

Conoce, analiza, aplica... 9 Elementos del plano

9 Elementos del plano

1. Punto, recta, semirrecta y segmento2. Ángulos

2.1. Clasificación de los ángulos 2.2. Ángulos de la circunferencia 2.3. Relación entre ángulos

3. Posiciones relativas entre dos rectas4. Medir distancias 5. Mediatriz 6. Bisectriz

Ya conoces desde hace varios cursos qué es un punto o una recta, pero no fue fácil dar una definición precisa. El primero que lo consiguió fue el matemático Euclides, de Alejandría, en el siglo III a. C., y la dejó reflejada en el libro con más ediciones después de la Biblia: Los elementos.


Composición VIII (1923), de Vasili Kandinsky.

167Matemáticas 1º ESO - Editorial Donostiarra

Conoce, analiza, aplica...9Elementos del plano

OBSERVA Y DESCUBRE

Aplica las TIC A partir de esta unidad resolveremos ejercicios utilizando GeoGebra, que es un software matemático inte-

ractivo libre con muchas aplicaciones para geometría. Podremos, entre otras cosas: dibujar puntos; trazar rectas, segmentos, semirrectas y ángulos; medir distancias y ángulos; trazar paralelas y perpendiculares; e incluso trazar mediatrices y la bisectrices.

Mejora tus competencias Copia en tu cuaderno la silueta del siguiente mapa y

sitúa las ciudades de Toronto, Nueva York y Ottawa.

Une la ciudad de Toronto con la de Nueva York median-te una línea recta (utiliza una regla).

Une las ciudades de Toronto y Ottawa de la misma ma-nera.

¿Cómo es el ángulo que se ha formado entre esas dos líneas?

Si unimos Filadelfia con Nueva York y Toronto con Ottawa, ¿cómo son las líneas obtenidas?

Recuerda ¿Sabes cómo se emplean los utensilios de dibujo: regla graduada, cartabón, escuadra, compás y transportador de ángulos?

Utiliza el transportador para dibujar un ángulo agudo y un ángulo obtuso. Señala cuánto miden.

Observa el cartabón (es la segunda regla de las imágenes). ¿Qué tipo de ángulos tiene?

GeoGebra



AnalizaUn punto puede pertenecer a una recta o ser exterior a ella.

¿Tiene más opciones?

A y B pertenecen a la recta r y C es exterior.

1. PUNTO, RECTA, SEMIRRECTA Y SEGMENTO

Es el elemento más pequeño que podamos imaginar: no tiene dimensión (ni ancho ni largo). Nos lo imaginamos semejante a un grano de arena o una mota de polvo. Se suele nombrar con letras mayúsculas: A, B, C...

Nos lo imaginamos como una fila de puntos, ¡infinitos puntos! No tiene principio ni fin. Representamos sólo una parte. Se nombra con letras minúsculas: r, s, t...

Por dos puntos sólo pasa una recta.

Por un punto pasan infinitas rectas.

1. Se llaman puntos alineados los que pertenecen a la misma recta. Dibuja tres pun-tos no alineados. ¿Cuántas rectas puedes dibujar que pasen por los tres puntos? ¿Y cuántas tomándolos de dos en dos?

Solución:

Por los puntos A, B y C no podemos dibujar ninguna recta que los contenga. Podemos trazar un total de tres rectas (r, s y t) toman-do los puntos de dos en dos.

El punto es, según Euclides, “la parte que no tiene parte”.

La recta es “una longitud sin anchura [...] que yace por igual respecto de los puntos que están en ella”.

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dibuja tres puntos P, Q y R alineados. Dibuja un cuarto punto S no alineado con éstos. Traza todas las rectas que pasen por al menos dos de los puntos dibuja-dos. ¿Cuántas rectas se obtienen?

¿Sabías que...?Los elementos de Euclides son en realidad trece libros que contienen una recopilación de todo el saber matemático hasta la época. Se ha utilizado como libro de referencia para estudiantes durante muchos siglos.

En este fragmento de la pintura La escuela de Atenas, que decora las llamadas Estancias de Rafael (ubicadas en el Palacio Apostólico del Vaticano), se ve a Euclides utilizando un compás.

A

B

C

r

t

s

A

B

r

A

A

B

C

r



1. Dada la siguiente figura, nombra los ele-mentos. ¿Cuántos segmentos hay? ¿Cuántas semirrectas?

Solución:

Hay dos segmentos: AB y BC. Y dos semi-rrectas: la de origen en B y la de origen en C.

Semirrecta. Si en una recta marcamos un punto, obtenemos dos semirrectas. Cada una de ellas tiene un principio u origen (empieza en A) pero no tiene fin.

Segmento. Es la parte de una recta comprendida entre dos puntos, que son sus extremos.



1. Ponles nombre a los siguientes elementos:

2. Dibuja un punto P y tres rectas r, s y t que pasen por él.

3. Dibuja un punto P y dos rectas r y s que pasen por él y otra t que no pase por él.

4. Se llama punto de intersección al punto que pertenece a dos elementos. Nombra los elementos de esta figura. ¿Qué puntos son de intersección?

Analiza¿Qué definición de superficie da Euclides en Los elementos?

Recuerda

El punto medio de un segmento es el punto que lo divide en otros dos de la misma me-dida.

¿Sabías que...?Vasili Kandinsky, célebre pintor creador del arte abstracto, escribió un libro titulado Pun-to y línea sobre el plano, en el que analizaba los elementos geométricos que componen cada pintura: el punto y la línea.A

A

A

A

B

B

AC



2. ÁNGULOS

1. Mide y clasifica este ángulo:

Solución:

El ángulo mide 100°, como se ve en la figura. Es un ángulo obtuso y cóncavo.



1. Mide y clasifica los siguientes ángulos:

2. Usa el cartabón para dibujar un ángulo de 30° y otro de 60°.

3. Usa la escuadra para dibujar un ángulo de 45°.

Ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen (el vértice del ángulo). Se nombra con la letra del vértice y el símbolo ^ sobre ella (por ejemplo, A) o con tres letras (por ejemplo, ABC).

Nulo: de 0°

Obtuso: entre 90° y 180°

Cóncavo: entre 0° y 180°

Agudo: entre 0° y 90°

Llano: de 180°

Convexo: entre 180° y 360°

Recto: de 90°

Completo: de 360°

2.1. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

¿Sabías que...?El teodolito es un instrumento de medición que se utiliza para obtener ángulos verticales y horizontales.

Posiblemente hayas visto a un topógrafo uti-lizarlo en una obra, el arcén de una autovía o una calle de tu ciudad.

Recuerda

El transportador de ángulos viene graduado de 0° a 180° en los dos sentidos posibles.

Analiza¿Existen ángulos de más de 360°? ¿Y de me-nos de 0°?

A

A^

AA^

AA^

A

A = 90º^

A

^

A

A

^

A

A

^

A

A

^

A

A

^

A

A

A = 100º^

A

A

A

A

^



1. Calcula el ángulo A de la siguiente figura:

Solución:

Como es un ángulo central que abarca el mismo arco que el inscrito D, su medida es el doble, es decir, 80°.



1. Calcula el ángulo central de cada una de estas figuras:

Inscrito. Tiene como vértice un punto de la circunferencia, y sus lados la cortan.

2.2. ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Central. Tiene como vértice el centro de la circunferencia.

Interior. Tiene como vértice un punto interior de la circunferencia, y sus la-dos la cortan.

Exterior. Tiene como vértice un punto exterior a la circunferencia, y sus lados la cortan.

Si un ángulo inscrito y uno central tie-nen el mismo arco, el inscrito BDC es la mitad del central BAC:

Observa

Observa

Si un ángulo inscrito tiene como arco una semicircunferencia (media circunferencia), es un ángulo recto:

¿Qué ángulo central marcan las agujas de las horas y los minutos?

Analiza¿Cuánto mide el ángulo central cuyo arco es una semicircunferencia?

D

A C

B

D

arcoE

A C

B

A C

B

D

B

A C

A

B

D

C

A

D

B

C

D

B

A

C

40º

D D

30º

D

60º

80º

B

B

C

A A

C

C A

B

^

La parte de circunferencia comprendida entre los lados se llama arco.

Si dos ángulos inscritos tienen el mismo arco, son iguales: BDC = BEC.

AB

DC



Opuestos por el vértice. Tienen el vér-tice común y los lados forman rectas.

Complementarios. Al colocarlos con-secutivos forman uno recto, es decir, su-man 90°.

2.3. RELACIÓN ENTRE ÁNGULOS

Consecutivos. Comparten el vértice y un lado.

Suplementarios. Forman uno llano, es decir, suman 180°.

¿Sabías que...?Cuando las ruedas delanteras de un vehículo son vistas desde el frente, el ángulo de caí-da (camber) es el formado por la línea central del neumático y una línea perpendicular a la superficie de la pista.

AnalizaEl ángulo suplementario de uno obtuso, ¿pue-de ser también obtuso?

ObservaLos jugadores de baloncesto calculan cons-tantemente el ángulo de tiro para lograr la canasta.

1. ¿Cómo son los ángulos A = 25° y B = 65°?

Solución:

Son ángulos complementarios, porque suman 90°.



1. Dibuja con el transportador un ángulo de 30°, otro de 75° y otro de 110°.

2. ¿Cómo dibujarías un ángulo de 200°?

3. Observa la figura y completa en tu cuaderno las siguientes frases:

a) A y B son (...) y (...).

b) A y C son (...) y (...).

c) A y D son (...) y (...).

d) B y C son (...) y (...).

e) B y D son (...) y (...).

f ) C y D son (...) y (...).

A = 25º

B = 65º

^

^

A

B

C

D

^

^

^

^

^ ^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

^



1. Traza una recta paralela a otra.

2. Traza una recta perpendicular a otra.

Solución:

Solución:

Por un punto exterior: Por un punto interior:



1. Copia la siguiente figura en tu cuaderno y traza una recta pa-ralela y otra perpendicular a la recta dada por el punto A.

Secantes. Comparten un punto.

Coincidentes. Comparten todos sus puntos.

Dos rectas secantes son perpendicu-lares si forman cuatro ángulos rectos.

Paralelas. No tienen ningún punto en común.

Observa

Observa

En esta imagen las dos calles se cortan per-pendicularmente.

Las vías del tren son rectas paralelas, al igual que las líneas de la calzada.

AnalizaEncuentra un mapa de tu barrio o población y busca las dos calles perpendiculares más cercanas y otras dos que sean paralelas.

3. POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS RECTAS

A



AnalizaBusca información sobre los ángulos de inci-dencia de refracción y reflexión.

ObservaEn el juego del billar conviene tener conoci-mientos de ángulos relacionados para ganar efectividad.

Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante se obtienen ángulos relacionados:

Ángulos correspondientes

Ángulos alternos externosÁngulos alternos internos

1. Calcula los ángulos que faltan en esta figura:

Solución:

A y C son opuestos por el vértice; entonces C es igual que A y mide 30°.A y D son suplementarios; entonces D mide 150°.A y E son correspondientes; entonces E es igual que A y mide 30°.A y G son alternos externos; entonces G es igual que A y mide 30°.B y H son alternos internos; entonces H es igual que B y mide 150°.B y F son correspondientes; entonces F es igual que B y mide 150°.



1. En la siguiente figura, encuentra:a) Dos rectas paralelasb) Dos rectas secantesc) Dos rectas perpendicularesd) Dos ángulos alternos internose) Dos ángulos opuestos por el vérticef ) Dos ángulos suplementariosg) Dos ángulos complementariosh) Dos ángulos correspondientesi) Dos ángulos alternos externos

2. Si en la figura anterior A = 40° y F = 90°, calcula todos los otros ángulos.

A = 30º

B = 150º

D

H

E

C

G

F

^

^

^

^

^

^

^

^

A = 40º

F = 90º

^

^

^^

^

^

^

^

^

^

^

^ ^

^ ^

^

^^

^

^ ^

^^

^

^

^

^



1. ¿A qué distancia se encuentra la bola del borde de la mesa de billar en la imagen?

Solución:

Paso 1: Trazamos la recta perpendicular al borde de la mesa que pasa por el centro de la bola.

Paso 2: Medimos con una regla el segmento rojo.



1. Traza una recta paralela a r que pase por P.

2. Mide la distancia de P a r. ¿Es igual a la distancia de P a Q?

3. Mide la distancia de Q a la recta que has dibujado en el ejercicio 1. ¿Es igual que la distancia de P a r?

La distancia entre una recta y un punto exterior a ella se mide sobre la perpendicular:

La distancia entre dos rectas paralelas se mide eligiendo un punto cualquiera en una de ellas y midiendo del punto elegido a la otra recta.

ObservaEn el golf es muy importante medir las dis-tancias para realizar un buen golpe y no pa-sarse ni quedarse corto.

4. MEDIR DISTANCIAS

¿Sabías que...?Los códigos de barras son segmentos de rec-tas paralelas que son leídos por otro segmen-to transversal. El grosor y la separación hacen que cada código sea único.

AA

AA

Q

r

P



Analiza¿Qué ha ocurrido en estos casos al intentar dibujar la mediatriz?

Todos los puntos de la mediatriz están a la misma distancia de ambos extremos del segmento.

5. MEDIATRIZ

1. Traza la mediatriz del siguiente segmento:

Solución:

Paso 1: Con el compás, tomamos una medida cual-quiera mayor que la mitad del segmento y traza-mos un arco desde cada extremo manteniendo esa misma medida.

Paso 2: Unimos los puntos de corte de los arcos con una recta: es la mediatriz.



1. Dibuja un segmento de tamaño 5 cm y traza su mediatriz. Comprueba que los dos segmentos resultantes miden 2,5 cm.

2. Dibuja la línea cuyos puntos están a la misma distancia de A y de B.

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento que pasa por su punto medio.

A B



1. Traza un segmento de 3 cm de extremos A y B. Traza su mediatriz con regla y compás. Elige un punto P cualquiera de la mediatriz. Dibuja el ángulo APB. Traza su bisectriz. ¿Qué observas?

Solución:

Paso 1: Abrimos el compás más de 1,5 cm, trazamos los dos arcos y los unimos con la regla. Ya tenemos la mediatriz.

Paso 2: Señalamos sobre ella un punto P y dibuja-mos las semirrectas PA y PB. Abrimos el compás y trazamos un arco desde P. Pinchamos en el punto de intersección del arco con cada lado para trazar dos arcos pequeños y luego unimos P con el punto de intersección de los dos arcos.

Observamos que la bisectriz del ángulo APB coincide con la mediatriz del segmento AB.



1. Dibuja un ángulo de 60° y traza su bisectriz. Comprueba con el transportador que los dos ángulos resultantes miden 30°.

2. Señala un punto en la bisectriz del ejercicio anterior y mide la distancia de este punto a cada lado, tal y como vimos en el apartado 4, “Medir distancias”. ¿Qué observas?

Todos los puntos de la bisectriz están a la misma distancia de ambos lados del ángulo.

Se traza de la siguiente forma:

Paso 1: Tomamos una medida cualquiera con el compás y trazamos desde el vértice un arco que corte los dos lados del ángulo. Pinchando en esos puntos de corte trazamos dos arcos manteniendo la apertura del compás.

Paso 2: Unimos el vértice del ángulo con el punto donde se cortan los dos arcos.

ObservaBisectriz en la naturaleza:

6. BISECTRIZ

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide dicho ángulo en dos ángulos iguales.

AnalizaEn la siguiente imagen ¿qué sería el obelisco central respecto del ángulo que forman las dos torres?

A B

A

P

B


Elementos del planoEjercicios y problemas para reforzar

9

1. Dibuja un punto P y tres rectas r, s y t que pasen por él.

2. Dibuja un punto P, dos rectas r y s que pasen por él y otra t que no pase por él.

3. Dibuja una recta r y dos puntos P y Q que no estén en ella, y luego traza dos rectas paralelas s y t que pasen por P y Q.

4. Dibuja un ángulo agudo.

5. Dibuja un ángulo obtuso.

6. Dibuja dos ángulos suplementarios.

7. Dibuja dos ángulos complementarios.

8. Traza dos rectas secantes. ¿Cómo son los ángulos que forman?

9. Comprueba con el transportador que la medida de estos dos ángulos coincide:

10. Este cuadro es del famoso pintor suprematista Piet Mondrian. Encuentra dos rectas paralelas y dos perpendiculares.

11. Dibuja por el punto P exterior a r:a) La recta s perpendicular a r por Pb) La recta t paralela a r por Pc) Una recta u secante a r no perpendicular

12. Dibuja cinco rectas paralelas separadas 1 cm. Dibuja una recta perpendicular a ellas. Ahora dibuja cuatro rectas paralelas a la anterior. Comprueba que se te ha formado una cuadrícula.

13. Copia el siguiente mapa en tu cuaderno. Traza sobre el plano el camino más corto entre la glorieta A y la glorieta B sin tener en cuenta las calles. Después traza el camino más corto yendo por las calles. Mide las distancias y compara los resultados.

¿Cuántas rectas perpendiculares has trazado?

14. Dibuja un cuadrado con regla y compás de tamaño 5 cm de lado. Usa la estrategia de la mediatriz.

r P

A

B


Elementos del planoEjercicios y problemas para ampliar

9

• ángulo • ángulo agudo • ángulo central • ángulo completo • ángulo cóncavo • ángulo convexo • ángulo exterior • ángulo inscrito • ángulo interior • ángulo llano • ángulo nulo

• ángulo obtuso • ángulo recto • ángulos alternos externos • ángulos alternos internos • ángulos complementarios • ángulos consecutivos • ángulos correspondientes • ángulos opuestos por el vértice • ángulos suplementarios • bisectriz • intersección

• mediatriz • punto • recta • rectas coincidentes • rectas paralelas • rectas perpendiculares • rectas secantes • segmento • semirrecta • teodolito

VOCABULARIO

1. ¿Cuántas rectas pasan por tres puntos distintos?

2. ¿Cuántas rectas pasan por cuatro puntos distintos?

3. Dibuja un ángulo recto. ¿Cuál es su suplementario? ¿Tiene complementario?

4. Busca las dimensiones (incluidas todas las líneas) de un campo de tenis y dibújalo en tu cuaderno.

5. Copia este mapa y sobre él sitúa: Tres puntos no alineados Dos segmentos Dos rectas paralelas Dos rectas perpendiculares

6. Copia en tu cuaderno un pentágono regular como este y dibuja todas las rectas que se forman al unir los vértices. ¿Cuántos segmentos se forman? ¿Cuántas semirrectas?

a) Encuentra el punto que está a la misma dis-tancia de los tres que has señalado.

b) Si quiero moverme estando siempre a la mis-ma distancia de la calle de los Enamorados y de la avenida de Antonio Fernández, ¿por qué línea debo ir? Trázala aunque no coincida con una calle del mapa.


Elementos del planoAplicaciones TIC

9

Ahora vamos a aprender a dibujar rectas. Para ello, situamos dos puntos cualesquiera A y B. A continuación hacemos clic en y, en el desplegable, elegimos Recta que pasa por dos puntos. Hacemos clic en los dos puntos seleccionados y GeoGebra nos dibuja la recta que pasa por esos dos puntos y nos da su expresión algebraica (figura 3). Esta expresión algebraica la dejare-mos para cursos superiores.

En el desplegable de también podemos hacer clic en Segmento entre dos puntos. En tal caso, GeoGebra dibuja el segmento que pasa por los dos puntos seleccionados (figura 4). En la vista algebraica aparece la medida del segmento.

PRIMEROS PASOS CON GEOGEBRA

Lo primero que debemos hacer es tener instalado en nuestro ordenador el programa GeoGebra. Para obtenerlo, entraremos en la página oficial y hare-mos la descarga gratuita: www.geogebra.org/cms/es

Una vez instalado, la pantalla de inicio es la de la figura 1.

Para situar puntos, hacemos clic en y a continuación, en el desplega-ble, elegimos Nuevo punto. Con el ratón, situamos el punto donde desee-mos. Por ejemplo, en el punto (2,2).

Observamos que en la vista algebraica nos aparecen las coordenadas del punto (figura 2).

Si seleccionamos el punto con y lo movemos, observamos en la vista algebraica cómo las coordenadas van cambiando.

También se puede cambiar la posición del punto haciendo clic en la vista gráfica e introduciendo las nuevas coordenadas.

EJERCICIOS

1. Sitúa los siguientes puntos en la vista gráfica:

A(3,1) B(–1,2) C(–1,–1) D(–2,1)

2. Modifica el punto A en la vista algebraica y conviértelo en A(5,2).

EJERCICIOS

1. Dibuja todas las rectas que pasan por los puntos A(2,1), B(–1,0) y C(0,–3).

2. Dibuja los puntos A(2,0) y B(5,0) y comprueba que el segmento tiene lon-gitud 3.

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4


Elementos del planoAplicaciones TIC

9

GeoGebra también puede medir ángulos. Primero dibujamos un trián-

gulo con el botón . Colocamos los puntos A(0,0), B(4,0) y C(0,4); de esta forma estamos seguros de haber dibujado un triángulo rectángulo

isósceles. Con el botón vamos a medir los ángulos (figura 5). Mucha atención al orden de selección de puntos. Si seleccionamos BAC, mide el ángulo interno (en este caso, 90°); pero si seleccionamos CAB, mide el externo (en este caso, 270°).

Ahora vamos a dibujar una circunferencia de radio 3 y centro A(0,0), con

el botón . Situaremos además los puntos B(3,0) y C(0,3) en la circun-ferencia y un cuarto punto D cualquiera también en la circunferencia. Por último, trazamos los segmentos AB, AC, BD y CD (figura 6). Ahora medimos el ángulo A y el ángulo D. ¿Qué ocurre? ¿Qué pasa si movemos el punto D?

Para trazar una recta paralela o perpendicular por un punto dado usa-mos el botón .

EJERCICIOS

1. Comprueba que la suma de los ángulos del triángulo anterior es 180°. Mueve los puntos y comprueba que, sea como sea el triángulo, los ángulos internos suman 180°.

2. Dibuja un cuadrilátero cualquiera y mide los ángulos internos. ¿Cuánto suman?

EJERCICIOS

1. Dibuja una recta que pase por los puntos A(2,2) y B(3,3), y luego traza la recta paralela y la perpendicular a ella que pasan por el punto C(3,2).

Haciendo clic en el botón tenemos también la posibilidad de trazar la mediatriz y la bisectriz (figura 7).

2. Dibuja el segmento que tiene como extremos A(0,0) y B(6,0). Traza la mediatriz de dicho segmento.

3. Sitúa los puntos A(0,0), B(3,0) y C(0,2). Calcula el valor del ángulo A y traza su bisectriz.

Fig. 5

Fig. 6

Fig. 7

^ ^

^


Elementos del planoAplica tus conocimientos

9

1. Construcción de un teodolito casero

Materiales:

Semicírculo graduado

Cinta adhesiva

Tijeras

Bolígrafo (realmente, sólo la carcasa)

Trozo de hilo

Arandela de metal (podría ser también una tuerca o algo que pese y mantenga tenso el hilo)

Extraemos la carcasa del bolígrafo y la pegamos a lo largo del semicírculo graduado.

Atamos un trozo de hilo a la arandela de metal y pegamos el extremo con celo al centro del semicírculo graduado:

Mirando a través del tubo del bolígra-fo, el hilo nos marcará el ángulo de in-clinación respecto al suelo.

EJERCICIOS1. Desde tu sitio, mide la inclinación respecto de una esquina de la pizarra.

2. Ponte de pie y mide de nuevo la inclinación.

3. ¿Es mayor o menor? ¿Por qué?

4. ¿Cuál será la inclinación máxima que medirá nuestro teodolito? ¿Y la mínima?

5. Busca un punto de la clase que esté a una inclinación de 45° respecto a tu sitio.

6. Busca un punto de la clase que esté a una inclinación de 30° respecto a tu sitio.

Después de estudiar el tema, realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios:


Elementos del planoAplica tus conocimientos

9

2. Copia este mapa en tu cuaderno. En él aparecen tres paradas de metro de la ciudad de Madrid.

EJERCICIOS1. Colorea de verde la zona correspondiente a la estación de Antón Martín, siguiendo los pasos vistos.

2. Colorea de azul la zona correspondiente a la estación de Lavapiés.

Los viajeros eligen a qué estación ir por cercanía.

Vamos a ver quiénes van a la estación de Tirso de Molina:

Paso 1: Une Tirso de Molina con Antón Mar-tín y dibuja la mediatriz de este segmento.

Paso 2: Une Tirso de Molina con Lavapiés y dibuja la mediatriz de este segmento. Pin-ta de color rojo la parte del plano que está entre las mediatrices y que contiene la esta-ción de Tirso de Molina.

Ese polígono coloreado es la zona de viaje-ros que irán a la estación de Tirso de Molina.


9 Elementos del planoMapa conceptual

Elementos básicos • Punto • Recta • Semirrecta • Segmento

Ángulos en la circunferencia

• Central • Inscrito • Interior • Exterior

Elementos del plano

Ángulos • Nulo: igual a 0° • Agudo: menor de 90° • Recto: igual a 90° • Obtuso: mayor de 90° • Llano: igual a 180° • Cóncavo: menor de 180° • Convexo: mayor de 180° • Completo: igual a 360°

Mediatriz de un

segmento

Ángulos relacionados

Ángulos correspondientes

Ángulos alternos internos

Ángulos alternos externos

Posiciones rela-tivas entre dos

rectas

• Coincidentes

• Paralelas

• Secantes

• Perpendiculares

Bisectriz de un ángulo

Relaciones entre ángulos

• Opuestos por el vértice

• Consecutivos

• Complementarios

• Suplementarios


Elementos del planoAutoevaluación

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DE CONCEPTOS

1. Identifica los elementos básicos:

2. Indica qué número le corresponde a cada uno de los siguientes ángulos: convexo, recto, agudo, cóncavo, obtuso, llano.

3. El complementario de A = 28° es...

4. El suplementario de B = 85° es...

5. Dibuja el ángulo complementario de:

6. Traza un ángulo de 80° y su bisectriz.

7. Dibuja un ángulo central que abarque el mismo arco. Si A = 38°, ¿cuánto mide el ángulo central que has di-bujado? Contesta sin medirlo con el transportador.

DE CONCEPTOS

1. La siguiente imagen corresponde al barrio madrileño de Vallecas. Cópialo y dibuja sobre él tres rectas parale-las y otras dos perpendiculares entre sí.

¿Cómo son la calle Puente del Arzobispo y la avenida de la Gavia?

¿Cómo son las avenidas de las Suertes y la Gavia?

2. ¿Cómo trazarías el punto de penalti en un campo de fútbol situado a 7 m de la portería y a la misma distan-cia de los dos laterales?

3. Dibuja un reloj y sitúa las agujas de modo que señalen las 9 en punto. ¿A qué hora las agujas formarán un án-gulo suplementario?

DE CONCEPTOS DE COMPETENCIAS

AA^

A

A = 90º^

A

^

A

A

^

A

A

^

A

A

^

A

AA = 30º^

A

A = 38º^

^

^

^

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3 6

9 elementos del plano

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