8.apuntes_mle2013 (3)

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL CI 5224 DISEO Y CONSTRUCCION EN MADERA UNIVERSIDAD DE CHILE Profesor : Mario Wagner M.

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NORMATIVA CHILENA RELATIVA AL CALCULO DE CONSTRUCCIONES DE MADERA LAMINADA ENCOLADA.

Mario Wagner M.

Ingeniero Civil. U. de Chile 3/2013 INTRODUCCION El presente texto tiene como propsito presentar los principales criterios de diseo que se deben considerar para el clculo de estructuras de madera laminada encolada, en lo siguiente designada como m.l.e., de acuerdo con las especificaciones de las normas chilenas NCh 1198 1 y NCh 2165 2. La fabricacin de elementos constructivos de m.l.e. se regula para la especie forestal confera Pino radiata en la norma NCh 2148 3. En consecuencia toda especificacin de producto debe necesariamente hacer referencia a este documento. El dimensionamiento de elementos estructurales de m.l.e. incorpora, en general, las mismas consideraciones de diseo establecidas en NCh 1198 para el clculo estructural con piezas de madera aserrada de Pino radiata, diferencindose solo formalmente en lo relativo a : derivacin de tensiones admisibles; definicin del factor de modificacin por volumen, KV ; exigencias de verificacin de interacciones tensionales de flexin, cizalle y compresin o traccin normal a la fibra en los bordes inclinados de vigas con seccin transversal de altura variable; exigencias de verificacin tensional de flexin y de traccin o compresin normal a la fibra en los sectores curvos de piezas estructurales o en el sector de cumbrera en vigas de altura variable de canto superior recto a dos aguas. expresin de la tensin de pandeo elstico y magnitud de la curvatura inicial en la determinacin del factor de inestabilidad general de columnas en compresin paralela k. expresin de la tensin de volcamiento elstico en la determinacin del factor de inestabilidad lateral en vigas kv.

En lo siguiente se analizar cada uno de los aspectos mencionados.

1 NCh 1198.Of2006 Madera-Construcciones en madera - Clculo. Instituto Nacional de Normalizacin, 2006. 2 NCh 2165.-1989 Tensiones admisibles para la madera laminada encolada estructural de Pino radiata. Instituto Nacional de Normalizacin, 1989. 3NCh 2148-1989 Madera laminada encolada estructural- Requisitos e inspeccin. Instituto Nacional de Normalizacin, 1989.


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PROPIEDADES MECANICAS ADMISIBLES. La derivacin de tensiones admisibles y mdulos elsticos para m.l.e. de Pino radiata se especifica en la norma NCh 2165. El documento, estructurado a imagen y semejanza de la norma norteamericana ASTM D 37374 define tensiones bsicas para piezas de m.l.e fabricadas con las dos calidades de lminas especificadas en la norma NCh 2150 5. Las lminas son las capas individuales que constituyen un elemento encolado y pueden estar formadas por una o mas piezas de madera aserrada empalmadas longitudinal y eventualmente en forma transversal, de manera de cubrir todo el ancho y longitud del elemento. La clasificacin de la madera aserrada utilizada para la fabricacin de lminas se lleva a cabo aplicando criterios visuales, o bien por medio de un procedimiento mecnico combinado con un control visual, de acuerdo con lo indicado en las tablas 1 y 2.

Tabla 1 Criterio de clasificacin visual de madera aserrada destinada a la fabricacin de lminas, segn NCh 2150

Caracterstica Grado A Grado B Suma de nudos y agujeros en cualquier tramo de 30 cm

RAN 0,35 * RAN 0,50 *

Alabeos, Contenido de Humedad, Manchas, Mdula y Resina

ver Tabla 2 Exigencias complementarias

ver Tabla 2 Exigencias complementarias

Arista faltante 4 mm, en un canto 4 mm, en un canto Bolsillos Secos, ancho 3 mm y largo a

a : ancho pieza Secos, ancho 3 mm y largo a

Desviacin fibra 1 : 10 1 : 8 Grietas y Rajaduras > 45 c/r cara > 45 c/r cara Pudricin y Perforacin no se acepta no se acepta Velocidad de crecimiento 0,8 anillo/cm 0,7 anillo/cm En la tabla anterior son: RAN : razn de rea nudosa *; a: ancho de lmina individual : ngulo entre el plano de fisuracin y un plano paralelo a las caras de la lmina, medido en un plano transversal. * La norma NCh 2150 exige el control superficial del tamao de los nudos, como proporcin del ancho de la pieza, prctica que resulta difcil de aplicar o interpretar, especialmente en lminas que incorporan nudos alargados (pata de gallo), nudos de canto y mdula. El concepto de Razn de rea Nudosa, RAN, adoptado en las normas de clasificacin visual de especies conferas, refleja en mejor forma el debilitamiento de seccin transversal inducido por la presencia de nudosidades La clasificacin mecnica considera el ensayo en flexin de piezas de madera aserrada, dispuestas abatidas, mediante la aplicacin de una carga concentrada a mitad de luz, de acuerdo con el procedimiento establecido en la norma NCh 2149 6 para la estimacin del mdulo de elasticidad aparente,

E f . La norma exige una distancia entre apoyos de al menos a 60 veces el espesor de la pieza ensayada. 4 ASTM D 3737-87 Standard Method for Establishing Stresses for Structural Glued Laminated Timber. American Society for Testing and Materials,1978. 5 NCh 2150-1989 Madera laminada encolada - Clasificacin mecnica y visual de madera aserrada de Pino radiata. Instituto Nacional de Normalizacin, 1989. 6 NCh 2149-1989 Madera- Madera aserrada-Determinacin del mdulo de elasticidad en flexin-Mtodo de ensayo no destructivo. Instituto Nacional de Normalizacin,1989.


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Ef se calcula con la expresin

Ef =L3

4b t3 P

[MPa] con L : distancia entre apoyos, en mm b : ancho de la pieza ensayada, en mm, t : espesor de la pieza ensayada, en mm, P : carga aplicada, en N, : descenso inducido a mitad de luz por la carga aplicada, en mm

Tabla 2 Criterio de clasificacin mecnica de madera aserrada destinada a la fabricacin de lminas, segn NCh 2150

Grado Mdulo de Elasticidad Aparente, Ef [MPa] A Ef 9.000 B 9.000 > Ef 4.000

Exigencias complementarias. - Alabeos: Se aceptan Arqueaduras, Encorvaduras y Torceduras de magnitud no superior a 1/300 del largo. No se aceptan acanaladuras, con las siguientes excepciones: en piezas de ancho comprendido entre 100 mm y 150 mm y de espesor no superior a 38 mm, se acepta hasta 1 mm. En piezas de ancho igual o mayor que 200 mm se acepta 3, 2, y 1 mm, para espesores de 25, 38 y 50 mm, respectivamente; para anchos entre 150 y 200 mm se interpola linealmente. -El Contenido de Humedad no debe exceder el lmite 16%. -Se acepta madera manchada y con presencia de mdula en el Grado B, con excepcin de las lminas exteriores . -No se acepta presencia de Pudricin, Perforaciones y alto contenido de resina en las superficies que se deben encolar. -En piezas clasificadas mecnicamente se exige adicionalmente que los nudos y agujeros ubicados en los quintos extremos de la longitud, por no quedar adecuadamente controlados durante el ensayo mecnico, no exceden los valores permitidos en Tabla 1. Las tensiones bsicas y mdulos de elasticidad asignadas a los grados de laminacin definidos en las tablas anteriores se indican en Tabla 3, expresados en MPa. Estos valores reflejan una interpretacin conservadora de un proyecto experimental desarrollado por el Instituto Forestal 7. Tabla 3 Propiedades mecnicas bsicas [MPa], NCh 2165

Tensiones bsicas de laminacin horizontal Mdulo de Elasticidad

Eb,f Grado Flexin

Fb,f comp.par

. Fb,cp

tracc.par. Fb,tp

Cizalle Fb,cz

comp.norm.

Fb,cn

tracc.norm.

Fb,tn A 19 13 9,3 1,3 2,8 0,43 11.000 B 19 13 6,3 1,3 2,8 0,43 9.000

7 Clasificacin Estructural del Pino Radiata destinado a Madera Laminada. Informe Tcnico N 108. Instituto Forestal. Chile. 1987.


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Piezas con laminacin horizontal. Considera piezas cuyos planos de encolado se disponen perpendicularmente al plano de cargas de flexin, condicin de servicio habitual en las vigas de madera laminada encolada. Piezas flexionadas consistentes de un solo Grado de lminas. La tensin admisible de flexin se determina como Ff = RRf*k*Fb,f (1) Aqu son: Fb,f : tensin bsica de flexin asignado al Grado de lmina en Tabla 3 k: factor de ajuste de origen emprico de valor 0.85 para vigas con altura de

seccin transversal de hasta 375 mm y 0.75 en vigas de mayor altura; RRf : razn de resistencia en flexin, expresada mediante una correlacin emprica,

apreciada por Freas y Salbo8, entre el mdulo de rotura caracterstico y el cuociente, Ri, entre la suma del momento de inercia de las superficies de los nudos ubicados en un entorno de 15 cm de una seccin transversal crtica de la pieza y el momento de inercia de dicha seccin transversal, referidos ambos al eje neutro de flexin (ver Figura 1). Lo anterior representa fsicamente la influencia sobre las propiedades mecnicas que tiene el tamao agregado de los nudos en cualquier tramo de 30 cm de un determinado grado de lmina, tamao que corresponde estadsticamente a la suma de tamaos de nudos, cuya probabilidad de ser excedida no supera a 1 en 200. Su expresin es

RRf = (1+3*Ri)*(1-Ri)3 *(1- R i2 ) (2)

con Ri = xi+di z2

0

n

z0

n

(3)

y xi , di , parmetros que caracterizan estadsticamente los nudos en el grado de lminas "i", tal que xi corresponde a la dimensin promedio y di a la diferencia entre el percentil del 99,5% y el tamao de nudo promedio, expresados ambos como fracciones del ancho de la pieza (ver Tabla 5). n designa el nmero de lminas. El parmetro z es el ponderador inercial de la posicin de los nudos con respecto al eje neutro de flexin, que considera la distancia entre el centroide de la lmina que los contiene y dicho eje. Como una forma de simplificacin, para la evaluacin de la expresin de Ri, en Tabla 4 se dispone de tabulaciones numricas que permiten obtener directamente los valores de los factores de ponderacin incorporados en (3), en funcin del nmero "n" de lminas constituyentes de la viga.La tabla se ha procesado usando el parmetro N, tal que n = 2*N, de manera que la ponderacin inercial de una lmina individual con respecto al eje neutro de flexin queda expresada por

z = N3 (N - 1)3 = 3*N2 3*N + 1.


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La expresin de las restantes tabulaciones se indica en el encabezado de las correspondientes columnas. Tabla 4 NCh 2165 : Factores de ponderacin de lminas

n Z Z 2 Z2

Z

{ 2*N3} { 0,4*[N(9*N4-5*N2+1)} 2 2,00 2,0000 0,7071 3 6,75 21,188 0,6819 4 16,00 100,00 0,6250 5 31,25 321,31 0,5736 6 54,00 822,00 0,5309 7 85,75 1.806,4 0,4957 8 128,0 3.560,0 0,4661 9 182,3 6.462,6 0,4411

10 250,0 11.002 0,4196 11 332,8 17.788 0,4008 12 432,0 27.564 0,3843 13 549,3 41.224 0,3697 14 686,0 59.822 0,3565 15 843,8 84.589 0,3447 16 1.024 116.944 0,3340 17 1.228 158.509 0,3241 18 1.458 211.122 0,3151 19 1.715 276.850 0,3068 20 2.000 358.004 0,2992 21 2.315 457.150 0,2920 22 2.662 577.126 0,2854 23 3.042 721.051 0,2792 24 3.456 892.344 0,2733 25 3.906 1.094.732 0,2679 26 4.394 1.332.266 0,2627 27 4.921 1.609.337 0.2578 28 5.488 1.930.684 0,2532 29 6.097 2.301.413 0,2488 30 6.750 2.727.006 0,2446 32 8.192 3.766.688 0,2369 34 9.826 5.101.666 0,2299 36 11.664 6.790.788 0,2234 38 13.718 8.900.246 0,2175 40 16.000 11.504.008 0,2120 42 18.522 14.684.250 0,2069 44 21.296 18.531.788 0,2021 46 24.334 23.146.510 0,1977 48 27.648 28.637.808 0,1936 50 31.250 35.125.010 0,1897

Tabla 5 Parmetros estadsticos de nudos definidos en NCh 2165 Grado de lmina

Vigas Columnas xi di mi si

A 0,110 0,620 0,074 0,133 B 0,145 0,695 0,213 0,164


6

Figura 1 Relacin experimental entre el mdulo de rotura, MOR, y la razn Ik/Ig, con visualizacin de la

calidad de las lminas en las zonas de borde de los grupos de vigas ensayados (Freas y Salbo 1954)9 En la norma norteamericana ASTM D 3737 se establece que los valores de la razn de resistencia por concepto de nudos deben ser mayores o iguales a los indicados, entre parntesis, en la tabla 7. Estos corresponden a la expresin numrica de las razones de resistencia en flexin abatida calculadas para los nudos mximos permitidos en piezas de madera asignadas a los Grados A o B segn lo establecido en el documento regulador de este concepto, la norma norteamericana ASTM D 24510. Las expresiones originales de esta norma se derivaron interpretando resultados experimentales de probetas de especies conferas norteamericanas de lento crecimiento, y de acuerdo con resultados de estudios desarrollados en Nueva Zelanda por Walford 11, resultan poco conservadoras para el Pino radiata. Walford recomienda para esta ltima especie incrementar en aproximadamente un 10% el efecto debilitante que resulta al aplicar las expresiones de ASTM D 245. Para el caso especfico de madera laminada encolada de Pino radiata, al incorporar en las frmulas el tamao mximo de nudo permitido en los grados de lminacin (ver Tabla 1), las frmulas de ASTM D 245 determinan para la razn de resistencia en flexin valores de 0,68 y 0,55, respectivamente. Recogiendo la recomendacin de Walford resulta prudente reducir los lmites normativos inferiores de NCh2165 a 0,58 y 0,45 para piezas constituidas de lminas de Grado A y B, respectivamente.

8 , 9 Freas, A.D. and Selbo M.L. Fabrication and Design of Glued Laminated Wood Structural Members, USDA Forest Servicer, Forest Products Laboratory, Technical Bulletin 1069, 1954. 10 ASTM D 245-81 Standard Methods for establishing structural grades and related allowable properties for visually grades lumber. American Society for Testing and Materials, 1981. 11 Walford B. Visually Stress Graded Timber . Forest Research Institute Seminar on Stress Graded Timber. Rotorua, May 1979. New Zealand Forest Service Reprint N 1353.


7

Sobre la base de la intensidad de inclinacin de fibra permitida en cada grado de lminas, la norma exige que en vigas fabricadas con lminas clasificadas visualmente la razn de resistencia, RRf, no debe exceder los valores establecidos en tabla 6 para los distintos grados. Por simple inspeccin se puede apreciar que el rango de valores factibles de considerar para RRf resulta bastante estrecho: 0,58 a 0, 61 , y 0,45 a 0,53 para la zona flexotraccionada en vigas de lminas Grado A y Grado B, respectivamente. Los lmites superiores se amplan a 0,74 y 0,66, respectivamente para la zona flexo comprimida. En vigas construidas con lminas clasificadas mecnicamente no rige la clusula anterior, debindose controlar en todo caso que la razn de resistencia, RRf, no resulte menor que los valores establecidos para flexin en tabla 7. Tabla 6. Razones de resistencia mxima por concepto de inclinacin de fibra

en vigas fabricadas con lminas clasificadas visualmente, NCh 2165.

Grado RRf mxima RRf mxima zona flexotraccionada zona flexo comprimida

A 0,61 0,74 B 0,53 0,66

Tabla 7. Razones de resistencia mnimas en vigas fabricadas con lminas clasificadas mecnicamente, NCh 2165.

Grado RR mnima RR mnima

flexin compresin paralela A 0,58* (0,65) 0,56 B 0,45* (0,50) 0,50

* valor modificado con respecto al considerado en NCh 2165 (indicado entre parntesis), sobre la base de las recomendaciones de Walford, mencionadas anteriormente. Mdulo de elasticidad. Se estima como el 95% del valor bsico indicado en tabla 3: Ef = 0,95*Eb (4)


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Piezas flexionadas consistentes de dos grados distintos de calidad de lminas, dispuestas simtricamente con respecto al eje neutro. Se aplica el concepto de la Seccin Transversal Transformada, ponderando los anchos reales de lmina por el cuociente entre el mdulo de elasticidad bsico de cada lmina y el correspondiente a las lminas exteriores, E b,A.

a) Seccin real b) Seccin transformada c) Diagrama tensional

Figura 2

La tensin admisible de flexin se determina incorporando un factor de correlacin TI entre la seccin transformada y la seccin transversal original, para de esta forma compatibilizar la expresin matemtica de las tensiones con la aplicada tradicionalmente en el diseo. Su expresin es Ff = k* TI *Ff,A (5) con k : factor de correccin definido para la igualdad (1). TI : factor de momento de inercia transformado, equivalente al cuociente entre el

momento de inercia de la seccin transformada y el correspondiente a la seccin transversal bruta.

TI =Eb,A *hA3 (Eb,A Eb,B )*hB3

Eb,A *hA3; (6)

Con el propsito de controlar eventuales sobre solicitaciones en las lminas del Grado B de la zona de transicin, la tensin Ff,A se determina como el menor valor entre RRf,A*Fb,f,A (7) y hA *Eb,AhB *Eb,B

* RRf,B*Fb,f,B (8)


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El subndice "A" designa a las lminas del Grado mas rgido, dispuestas exteriormente, a la vez que el subndice "B" designa las lminas del Grado que constituye el interior. Un diseo eficiente debe propiciar el pleno aprovechamiento de las propiedades admisibles de las lminas exteriores, situacin que se alcanza cuando hB hA * Eb,AEb,B

* Fb, f ,BFb, f ,A* RRf ,BRRf ,A

(9)

En las expresiones anteriores son:

RA = 1Z

0

nA

xA ZnB

nA + Eb,BEb,A

"

#$$

%

&''xB Z

0

nB + dA2 Z 2

nB

nA + Eb,BEb,A

dB"

#$$

%

&''

2

Z 20

nB

(

)

**

+

,

--

.

/0

10

2

30

40 (10)

RB = xB + dBZ 2

0

nB

Z0

nB

(11)

RRf,i = 1+3Ri( ) 1Ri( )3 1

Ri2

#

$%

&

'( ; i = A,B (12)

Las expresiones de R, RA y RB en (3), (11) y (12) reflejan que el efecto de un nudo sobre una viga de m.l.e. depende tanto de su dimensin como de su posicin, por lo que la evaluacin se establece a travs del momento de inercia. Los parmetros estadsticos de las nudosidades xi , di correspondientes a los dos grados de laminacin se indican en Tabla 5. La evaluacin numrica de RA y RB requiere de la informacin de Tabla 4; las variables nA y nB corresponden al nmero de lminas comprendidas en las alturas de seccin transversal hA y hB, respectivamente (ver Figura 2). El mdulo de elasticidad se calcula como E f = 0,95*TI*EbA (13) Piezas flexionadas consistentes de lminas de dos grados, dispuestas asimtricamente con respecto al eje principal. En una primera etapa se debe determinar la ubicacin del eje neutro de la seccin transformada, el que debido a la asimetra no coincide con el eje neutro de la seccin rectangular. El proceso se lleva a cabo ponderando los distintos sectores


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cualitativos de lminas de la seccin transversal por los correspondientes mdulos de elasticidad bsicos . Posteriormente se analizan en forma independiente las zonas comprimida y traccionada como si correspondieran a mitades de viga con combinaciones de grados dispuestas simtricamente con respecto al eje neutro. Sobre la base de evidencias experimentales obtenidas en los EEUU 12, en la verificacin de la zona flexo comprimida se aceptan tensiones efectivas superiores en hasta un 40% con respecto a la tensin admisible determinada para el borde flexo traccionado. Piezas comprimidas consistentes de un solo Grado de lminas. La tensin admisible de compresin paralela a la fibra se determina como

Fcp = RRcp*Fb,cp (14) Aqu son Fb,cp: tensin bsica en compresin paralela, segn tabla 3; RRcp : razn de resistencia en compresin paralela expresada por

medio de una relacin emprica, en funcin de la suma de las superficies ocupadas por los nudos ubicados en un tramo de 90 cm. Lo anterior representa fsicamente la influencia de la suma de los tamaos de nudos, en cualquier tramo de 90 cm de longitud de madera de un determinado grado, y corresponde estadsticamente a la suma de tamaos de nudos cuya probabilidad de ser excedida no supera 1 en 200.

A travs de una interpretacin analtica de los resultados obtenidos en los programas experimentales a los que se hiciera referencia al desarrollar el concepto de RRf, se ha establecido para RRcp la expresin RRcp =

Y134 Y1

2 Y14 +1 (15)

Y1 : tamao del nudo correspondiente al percentil del 99,5%, expresado como fraccin decimal del ancho de lmina. Y1 =mi + 2,576 si (16) mi , si , parmetros estadsticos de los nudos para el grado de madera "i": dimensin promedio de nudo mximo y desviacin estndar de la magnitud de nudo mximo, respectivamente, expresados como fraccin del ancho de la pieza (ver Tabla 5). En columnas construidas con lminas clasificada visualmente, la razn de resistencia, RRcp , no debe exceder los valores establecidos para flexo compresin en tabla 6, para ambos grados (en funcin de la mxima inclinacin de fibra permitida en cada caso). 12 Moody R.C. Improved utilization of lumber in glued laminated beams. Research Paper FPL 292. U.S. Forest Service. Madison. 1977.


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En columnas construidas con lminas clasificadas mecnicamente la razn de resistencia, RRcp, no debe ser menor que los valores establecidos para compresin en tabla 7. Por otra parte, en columnas consistentes de menos de cuatro lminas, la razn de resistencia RRcp asciende a 0.65 y 0.50 para lminas de los grados A, y B, respectivamente. Piezas comprimidas construidas con dos grados diferentes de lminas, dispuestas simtricamente. La tensin bsica de compresin paralela a la fibra se determina como Fcp = Ta*RRcp*Fb,cp,A (17) donde Ta : factor de forma, calculado mediante la expresin

Ta =Ai*Eb,ii=1

n

Eb,A Aii=1n

(18)

con n : nmero total de lminas E b,i : mdulo de elasticidad bsico de la lmina de orden i Ai : seccin transversal de la lamina de orden i Fb,cp,A: tensin bsica en compresin paralela para lminas Grado A (Tabla 3) RRcp : razn de resistencia en compresin paralela

RRcp =Ycp34 Ycp

2 Ycp4 +1 (19)

La evaluacin de RRcp exige estimar previamente el tamao de nudo Ycp, correspondiente al percentil del 99,5%, lo que exige calcular el valor promedio de la magnitud de los nudos, mc y su correspondiente desviacin estndar, sc. Los parmetros estadsticos mi y si , se obtienen de Tabla 5.

Ycp = mc + 2.576 * sc (20) con

mc = Ai*Eb,i mii=1

n

Eb,A Aii=1n

(21) y sc =Ai2*Eb,i

2 si2

i = 1

n

Eb,A Aii = 1

n

(22)

Esta ltima expresin corresponde a una correccin incorporada en la redaccin 1996 de la norma ASTM D 3737, dado que en su forma original, que corresponde a la expresin que figura en la norma nacional, conduce a resultados excesivamente optimistas. Esta nueva expresin, an cuando brinda resultados mas lgicos, no corrige completamente la situacin ya que el tamao del nudo del percentil del


12

99,5% Ycp del producto mixto resulta menor que el nudo del percentil del 99,5% Y1 de las lminas del Grado A. Piezas comprimidas con lminas dispuestas asimtricas con respecto al eje regulador del pandeo. La tensin admisible en compresin paralela, Fcp, corresponde al menor valor que resulte de evaluar los cuocientes

Fcp,iEb,iEb,A

1Ta12aTI h12

xi"

#$

%

&'

para los dos niveles cualitativos de lminas, esto es, para i = A, B. En consecuencia

Fcp = mn. Fcp,iEb, i

* Eb,A1Ta

12 * aTI * h12

* xi

!

" # #

$ # #

%

& # #

' # #

(23)

con Fcp,i : tensin admisible de compresin paralela correspondiente al bloque de lminas del Grado i, calculada mediante la expresin (14)

a : desviacin del eje neutro paralelo al plano de laminacin con respecto a la mitad de la altura;

h1 : altura de viga; TI : factor de inercia transformada; xi : distancia entre el eje neutro y el lmite entre los grados que se combinan. Los signos (+) o (-) dependen de si la tensin de flexin inducida resulta compresin o traccin, respectivamente. Piezas traccionadas. Elementos con un grado de calidad. La tensin admisible de traccin paralela a la fibra se determina como Ftp = RRtp*Fb,tp (24) con Fb,tp: tensin bsica en traccin paralela, segn Tabla 3.

RRtp : razn de resistencia en traccin paralela, ascendiente a 0.61, y 0.50, para lminas de grado A y B, respectivamente.

En piezas elaboradas con lminas clasificadas mecnicamente, la razn de resistencia correspondiente a lminas del Grado A se puede incrementar a 0.65.


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Elementos con dos grados de calidad, dispuestos simtricamente. En este caso la tensin admisible queda expresada por la relacin Ftp = Ta*RRtp,A*Fb,tp,A (25) Todos los trminos han sido definidos anteriormente. Otras propiedades admisibles. Las propiedades admisibles en cizalle, compresin perpendicular a la fibra y traccin perpendicular a la fibra son iguales a las correspondientes tensiones bsicas definidas en la Tabla 3. Piezas con laminacin vertical de lminas clasificadas visual o mecnicamente. En este caso los planos de encolado de las piezas se disponen paralelos al plano de cargas de flexin. Tensiones bsicas. Tabla 8 Tensiones bsicas para laminacin vertical, NCh 2165 [ MPa ]

Propiedades Mecnicas bsicas de laminacin vertical Grado flexin

Fbv,f comp.p Fbv,cp

tracc.p Fbv,tp

Cizalle Fbv,cz

Comp..n Fbv,cn

tracc.n Fbv,tn

Mdulo de Elasticidad

Ebv,f A 19 13 9,3 1,08 2,8 0,36 10.000 B 14 13 6,3 1,08 2,8 0,36 8.000

Tensin admisible de flexin. Elementos consistentes de lminas de un solo grado. La tensin admisible de flexin se determina como

Ff = RRf ,lv Fbf ,lv (26) con

Fbf ,lv : tensin bsica de flexin para laminacin vertical, segn tabla 8

RRf ,lv : razn de resistencia en flexin, para laminacin vertical, calculada como el menor entre los valores indicados en Tabla 9, o los

correspondientes a flexo traccin, en Tabla 6. En elementos fabricados con lminas clasificadas mecnicamente no se considera la razn de resistencia condicionada por el efecto de la inclinacin de la fibra. Vigas consistentes de lminas de dos grados. La tensin admisible de flexin se determina como


14

Ff =

E bf ,lv * mn.

Ff,lv,iEbf,lv,i

" # $

% $

& ' $

( $ (27)

con

E bf ,lv : promedio ponderado de los mdulos de elasticidad

Ebf ,lv,i asignados en tabla 8 a los Grados A y B, respectivamente;

mn.

Ff,lv,iEbf,lv,i

" # $

% $

& ' $

( $ : menor razn entre las tensiones admisibles de flexin

para una pieza laminada verticalmente, calculada con el nmero total de lminas que conforman el elemento y los mdulos de elasticidad bsicos, segn tabla 8.

Tabla 9 Razones de resistencia en flexin y compresin paralela, para elementos laminados verticalmente , considerando el efecto de los nudos.

Grado Nmero de lminas Flexin RRf,l v

compresin paralela RRcp,l v

A 2 0,425 0,658 3 0,516 0,698 4 0,581 0,715 5 0,630 0,733 6 0,630 0,744 7 0,630 0,750 8 o ms 0,630 0,762

B 2 0333 0,498 3 0,415 0,529 4 0,476 0,542 5 0,524 0,555 6 0,524 0,564 7 0,524 0,568 8 o ms 0,524 0,577

Mdulo de Elasticidad. Piezas con un grado de calidad Se estima como Ef = 0,95*

Ebf ,lv (28)


15

con

Ebf ,lv : mdulo de elasticidad medio, segn tabla 8; Piezas consistentes de lminas de dos grados. Se estima como Ef = 0,95 *

E bf ,lv (29) con

E bf ,lv : promedio ponderado de los mdulos de elasticidad Ebf,lv asignados en tabla 8 a los grados A y B;

Tensin admisible de compresin paralela Piezas con un grado de calidad Se determina como

Fcp = RRcp,lv Fbcp,lv (30) con

Fbcp,lv : tensin bsica de compresin paralela, segn tabla 8

RRcp,lv : razn de resistencia en compresin paralela para laminacin vertical, calculada como el menor entre los valores indicados en Tabla 9, o los correspondientes a flexo compresin, en Tabla 6. En elementos fabricados con lminas clasificadas mecnicamente no se considera la razn de resistencia por inclinacin de la fibra. Piezas constituidas de lminas de dos grados. La tensin admisible de compresin paralela se determina como

Fcp = E bf ,lv mn.Fcp,lv,iEbf,lv,i

# $ %

& %

' ( %

) % (31)

con

E bf ,lv : promedio ponderado de los mdulos de elasticidad Ebf,lv,i asignados en tabla 8 a los grados;

mn.

Fcp,lv,iEbf,lv,i

" # $

% $

& ' $

( $ : valor mnimo del cuociente entre la tensin admisible de

compresin paralela para una pieza con laminacin vertical, calculada con el nmero total de lminas que conforman el elemento y el correspondiente mdulo de elasticidad bsico, indicado en tabla 8.

Tensin admisible de traccin paralela Rige el criterio descrito para piezas con laminacin horizontal.


16

Tensin admisible de cizalle Se determina como Fcz = RRcz,lv*Fbcz,lv (32) con Fbcz,lv: tensin bsica de cizalle, segn tabla 8 RRcz,lv: razn de resistencia en cizalle, segn Tabla 10

Tabla 10 Razones de resistencia en cizalle, NCh 2165

nmero de lminas RRcz,lv 2 0,75 3 0,833

4 o ms 0,875 Compresin y traccin normal a la fibra. Las tensiones admisibles de compresin normal son iguales a las tensiones bsicas de compresin normal indicadas en tabla 8. Para traccin normal a la fibra la tensin admisible se estima como un tercio del valor asignado a la tensin bsica de cizalle, en Tabla 8.


17

DISEO DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES. Elementos rectos de seccin transversal constante. Las tensiones admisibles derivadas de acuerdo con los criterios presentados anteriormente asumen que :

- el contenido de humedad promedio de la madera no supera el lmite 15%, - la duracin acumulada de la solicitacin condicionante del diseo es 10

aos, - las dimensiones de la viga no superan un espesor de 130 mm, una altura de

300 mm y un largo de 6,4 m. Cuando las condiciones especficas de diseo difieren de las indicadas, se deben aplicar los factores de modificacin que la norma NCh 1198 especifica para cada una de las situaciones enumeradas. En lo que atae a la duracin acumulada de la carga, no existen diferencias entre los factores de modificacin correspondientes a madera aserrada indicados en el Anexo G de la norma y los que se aplican sobre piezas de madera laminada encolada. En consecuencia Modificacin por duracin de la carga: KD

KD =1,747t 0,0464

+ 0,295 con el tiempo t, expresado en segundos Modificacin por contenido de humedad: KH Cuando el contenido de humedad de la madera en servicio excede de 15%, se debern aplicar los siguientes factores de ajuste KH. Tabla 11 Factores de modificacin por uso hmedo, NCh 2165

propiedad KH flexin 0,800

compresin paralela 0,730 traccin paralela 0,800

cizalle 0,875 compresin normal 0,667

traccin normal 0,875 mdulo de elasticidad 0,833

Modificacin por volumen: KV En flexin con plano de carga perpendicular a los planos de laminacin, cuando las dimensiones de una viga superan los 130 mm de espesor, 300 mm de ancho y 6,40 m de largo se debe aplicar el factor de modificacin por volumen, KV, cuya expresin es


18

KV =6, 40L

!

"#

$

%&1/10

300h

!

"#

$

%&1/10

130b

!

"#

$

%&1/10

(33)

con L: largo de viga, expresado en m; h : altura de viga, expresada en mm, y b : espesor de viga expresado en mm.

En flexin con plano de carga paralelo a los planos de laminacin (laminacin vertical) solo se corrige por altura

kh = 90h5

1,00 (34) Modificacin por volcamiento, Kv El factor de modificacin por volcamiento, Kv , se calcula en funcin de la esbeltez de volcamientov , de acuerdo con la siguiente expresin

Kv =1+ FfE,ml Ff ,dis*( )

1,9 1+ FfE,ml Ff ,dis*( )

1,9"

#$$

%

&''

2

FfE,ml Ff ,dis*0, 95 (35)

con: FfE,ml =

0,61Edisv2 (35 a)

La tensin admisible de flexin Ff ,dis* incorporada en la expresin de Kv se determina segn NCh 2165 y se pondera por todos los factores de modificacin aplicables, excepto KV yKv . En la verificacin de las tensiones de cizalle en los apoyos extremos e intermedios de vigas de madera laminada encolada apoyadas sobre el canto inferior y solicitadas por cargas aplicadas sobre el canto superior, y sobre todo en la medida que la altura de las piezas aumenta, resulta beneficioso aplicar la clusula de NCh 1198 que permite estimar el esfuerzo de corte mximo despreciando las cargas uniformemente distribuidas ubicadas a una distancia no mayor que la altura, h, del borde de apoyo de la viga. El efecto de las cargas concentradas dispuestas a no mas de h del apoyo se puede ponderar por la razn entre su distancia al borde y la altura h. Modificacin por esbeltez de columna: K En la derivacin de tensiones admisibles de compresin por pandeo,

Fc,dis = Fcp,dis k para el clculo del factor de modificacin por esbeltez k

k = A2 - B , (36) y debido a la mejor calidad geomtrica de las piezas de m.l.e, con respecto a lo que sucede en columnas de madera aserrada, las expresiones de las constantes A y B son


19

A =

FcEmlFcp,dis

1+ 300"

#$

%

&'+1

1,8 (36 a) y B =FcEml

0,9Fcp,dis (36 b)

con: Fcp,dis tensin de diseo en compresin paralela, calculada segn NCh 2165, MPa

FcEml =5,0Edis

2, MPa (36 c)

Edis mdulo de elasticidad de diseo, calculado segn NCh 2165, MPa esbeltez reguladora del diseo

Vigas curvas de seccin transversal constante Las vigas laminadas curvas constituyen un privilegio de la madera laminada encolada, dado que la flexibilidad de las lminas permite su fabricacin sin grandes problemas tecnolgicos. Mediante dispositivos de prensado adecuados es posible materializar piezas con variados tipos de curvatura. En la figura 3 se esquematiza una viga tpica. Los estados tensionales inducidos por las cargas externas en los sectores con curvatura difiere de los que se generan en el caso de vigas rectas, situacin que exige verificaciones adicionales. Con el propsito de evitar sobresolicitaciones de flexin durante el prensado, en la norma NCh 1198 se especifica un radio de curvatura mnimo R 200*t (37) donde t corresponde al espesor de lmina. Algunos problemas apreciados durante la fabricacin de vigas laminada curvas de Pino radiata en el medio nacional podran justificar incluso una restriccin mas rigurosa. De hecho en la nueva redaccin de la norma que regula la fabricacin de piezas de madera laminada encolada, NCh 2148.cR2010, se exige R 250*t.

t = 0 Figura 3 Viga curva de seccin transversal constante

En la norma chilena se define un factor de modificacin por curvatura, Kcl, adoptado de la normativa norteamericana, que tiene como propsito considerar el efecto de las tensiones de flexin inducidas sobre las lminas durante el proceso de curvado, que es aplicable sobre la tensin admisible de flexin y cuya magnitud queda dada por la expresin

Kcl =1 2.000tR

#

$%

&

'(2 (38)


20

Anlisis crtico del pretensionamiento del borde concavo. La lmina mas solicitada corresponde a la lmina exterior del borde cncavo ya que, adems de corresponder a la lmina que mas trabaja en flexin, es la que mas se curva durante el proceso de prensado durante la fabricacin. La intensidad de las tensiones de curvado se pueden estimar aplicando la teora de flexin clsica. La ecuacin de la elstica de la lmina crtica de altura t es y"= 1R =

ME I =

M 2E W t

La tensin mxima de flexin inducida por el curvado asciende a f f =

MW =

t2R1

E

Dado que R1 200*t, y que E es del orden de 10.000 Mpa, el valor numrico de la tensin mxima de flexin resulta f f ,mx =

t2200 t 10.000 = 25MPa

Este valor mas que duplica la tensin admisible de flexin del Pino radiata, lo que resulta al menos inquietante. Sin embargo, en la prctica la situacin planteada no conduce a problemas gracias a la capacidad de relajacin tensional que desarrolla la madera ante la accin de solicitaciones persistentes. Como resultado se produce un destensamiento gradual durante el perodo de prensado, antes del endurecimiento de las lneas de encolado. Pareciera en todo caso que el factor de modificacin Kcl citado anteriormente no cubre suficientemente la situacin descrita, dado que indudablemente la relajacin tensional no es completa y parte del tensionamiento remanente puede adicionarse a las tensiones inducidas posteriormente por las solicitaciones externas. En la norma europea EN 1995 el problema se maneja estableciendo para radios de curvado inferiores a 240*t un factor de reduccin

Kct = 0, 76+ 0,001R1 t (38 a) expresin que brinda prcticamente los mismos resultados que la frmula (38). Tensiones de flexin en sectores curvos. En vigas curvas con un radio de curvatura superior a la altura de la viga se puede asumir, al igual que en vigas rectas, que la hiptesis de Bernouilli relativa a que las secciones planas antes de la flexin se mantienen planas despus de manifestada sta. Si analizamos en el esquema de Figura 4 la situacin de un elemento diferencial de viga curva, dL, podemos apreciar que las longitudes diferenciales de los bordes superior, dLs, e inferior, dLi, difieren marcadamente, resultando las ltimas considerablemente mas cortas. Consecuentemente la deformacin unitaria en el borde inferior, i, resulta mayor que la deformacin unitaria superior s:


21

Figura 4. Distribucin de tensiones de flexin en vigas rectas y vigas curvas i =

dL idLi

>dLsdLs

= s

De acuerdo con la ley de Hooke ff = *E se concluye que f fi > f fs Las condiciones de equilibrio esttico establecen que para flexin pura la suma de las fuerzas axiales en cualquier seccin transversal debe anularse. De esta forma, en las secciones con f fi > f fs se condiciona un desarrollo tensional hiperblico como el que se esquematiza en la figura 4, con un desplazamiento del eje neutro hacia el borde cncavo, de manera de permitir el igualamiento de las superficies tensionales As y Ai. En la prctica se acostumbra evaluar las tensiones de flexin en el borde superior como si se tratara de una viga recta. Para el borde cncavo en cambio se incorpora un factor de mayoracin de tensiones ka, tal que f fi,mx = ka

MmxW

En la norma chilena se adopt la expresin de la norma alemana DIN 1052, que a su vez se fundamenta en los estudios de Moehler y Blumer en Karlsruhe, cuya expresin cuando la altura de viga es constante, resulta

ka =1+ 0,35hRm

+ 0,6 hRm"

#$

%

&'

2

Adicionalmente a las restricciones establecidas en funcin del espesor de lmina, t, se recomienda respetar en los diseos geomtricos de vigas curvas un radio de curvatura R 4*h Tensiones normales a la direccin de la fibra. En piezas curvas y como resultado de las desviaciones de direccin que experimentan las fuerzas axiales internas que genera el momento flector, se desarrollan tensiones radiales de orientacin normal a la direccin de la fibra que,


22

dependiendo del efecto del momento flector (aumentar o disminuir la curvatura de la pieza), redundan en compresiones o tracciones. En piezas curvas de seccin transversal de altura constante es posible derivar una expresin aproximada del valor mximo que alcanzan estas tensiones. Se debe asumir una ley de distribucin lineal elstica para las tensiones de flexin y una isotropa de material. Considerando el elemento de viga curva ds = Rm *d& de Figura 5, si Rm designa el radio de curvatura del eje del elemento curvo, en el sector flexocomprido correspondiente al elemento de viga ds acta segn la direccin tangencial la fuerza de compresin C, de magnitud igual y contraria que su contraparte de traccin T.

Figura 5 Tensiones normales radiales inducidas por el momento flector en vigas curvas

En consecuencia, C = !T = 12 "b"

h2 " f f =

b"h4 " f f

Las dos fuerzas de compresin que convergen en la cumbrera condicionan una resultante ascendente vertical D, cuya magnitud se puede estimar del diagrama de fuerzas de la figura 5, como D =C !d! = b!h4 ! f f !d! Esta resultante debe encontrarse en equilibrio con su contraparte condicionada por las fuerzas de traccin T que actan en la regin flexo traccionada. Ambas fuerzas originan sobre la superficie Sen a nivel del eje neutro un regimen de tensiones de traccin normal a la fibra. Con Sen = b!ds = b!Rm !d! resulta fnr =

DSen

=b!h! f f !d!4!b!Rm !d!

=h

4!Rm! f f (39)

El valor mximo de estas tensiones se puede expresar como fnr,mx = kr !

MmxW =

14 !

hRm

!MmxW


23

Vigas rectas de altura variable. En la figura 6 se esquematiza la situacin contemplada en las especificaciones de la norma NCh 1198, correspondiente a una viga de borde inferior recto y bordes superiores inclinados segn un ngulo t con respecto a los planos de laminacin, con un desarrollo geomtrico simtrico con respecto al centro de la viga.

Figura 6.

Viga de altura variable de bordes rectos.

Los estados tensionales que se manifiestan en una seccin transversal de vigas de este tipo difieren de los correspondientes a vigas rectas de altura constante, situacin que se presenta en la Figura 7. Junto con las tensiones de flexin se generan tensiones de cizalle y tensiones normales a la direccin de la fibra, que alcanzan su valor mximo en el borde inclinado. El diseo debe considerar el efecto combinado de estas tres tensiones en el borde inclinado.

a) b) c) d)

Figura 7. Desarrollos tensionales en vigas de altura variable de bordes rectos.

Otra situacin particular consiste en que en este caso la tensin mxima de flexin no coincide con el valor mximo del momento flector. La determinacin de la seccin transversal crtica resulta de anular la derivada de la expresin del cuociente entre las expresiones del momento flector y el mdulo resistente, con respecto a la ubicacin a lo largo de la viga. En vigas solicitadas por una carga uniformemente distribuida, segn se presenta en la Figura 8, la ubicacin de la seccin transversal sometida a la mxima tensin de flexin queda dado por x = Lha2hm

. (40)


24

La altura de seccin transversal correspondiente asciende a hx = ha 2

hahm

#

$%

&

'( (41)

El subndice "x " designa la solicitacin y las dimensiones transversales en la seccin transversal asociada a la tensin de flexin mxima.

Figura 8 Desarrollo de solicitaciones y tensiones de flexin en vigas rectas

con altura de seccin transversal variable, a dos aguas simtricas Algo similar sucede en el caso de vigas de seccin transversal rectangular de altura variable con el borde superior inclinado a un agua y el borde inferior recto, segn se esquematiza en la figura 9. En vigas solicitadas por una carga uniformemente distribuida la ubicacin de la seccin transversal sometida a la mxima tensin de flexin queda dado por x = Lhaha +hm

. (42)

La altura de seccin transversal correspondiente asciende a

hx =2hm haha + hm

(43)

La expresin de la tensin mxima de flexin queda dada por ff,mx = 6*Mxb*hx2

F fv,dis ; (44)

Como se mencionara anteriormente, y dado que en este caso las fibras de la madera no quedan dispuestas paralelas al borde inclinado, adicionalmente a las tensiones de flexin de orientacin longitudinal, se desarrollan tensiones secundarias normales a la direccin de la fibra y tensiones de cizalle. Estas ltimas pueden determinarse a partir de las primeras, mediante las ecuaciones de equilibrio de cuerpo libre aplicadas sobre un elemento triangular de borde inclinado, de altura unitaria, como el consignado en Figura 7 y que se esquematiza en figura 10.


25

Figura 9 Desarrollo de solicitaciones y tensiones de flexin en vigas rectas

con altura de seccin transversal variable, a un agua.

Figura 10

Tensiones longitudinales, normales y de cizalle en un elemento triangular de un borde inclinado flexo comprimido.

Se debe verificar que las tensiones efectivas de flexin, ff,mx, cizalle, fcz, y compresin o traccin normal a la fibra, fcn/tn, no sobrepasan los correspondientes valores de diseo:

fcz = f f,mx * tan(t ) F cz,dis ; (45) f cn/tn = f f,mx * tan2 (t ) F cn/tn,dis . (46) Aqu son: F cz,dis : tensin de diseo en flexo compresin F ft,dis : tensin de diseo en flexo traccin F cz, dis : tensin de diseo en cizalle F cn/tn, dis : tensin de diseo en compresin / traccin normal a la fibra. De acuerdo con lo establecido en la Seccin 10.7.1.3 de NCh 1198 Of.2006 para madera laminada encolada de pino radiata Ftn,dis se deriva ponderando la tensin bsica definida en Tabla 3 por una razn de resistencia RR=0,25. Las condiciones de borde inclinado inducen alteraciones en el diagrama de tensiones con respecto a su desarrollo en vigas rectas de altura constante, reduciendo el valor de la tensin mxima de flexo compresin, desplazando el eje neutro por debajo del eje de gravedad e incrementando la magnitud de la tensin


26

mxima de flexo traccin. En la prctica habitual se pasa por alto la reduccin de la tensin efectiva de flexo compresin, incorporndose en cambio un factor de mayoracin de las tensiones de flexo traccin en el borde paralelo a los planos de laminacin, Ka, tal que f ft,mx = Ka

6Mxbhx2

Fft,dis ; (47)

La expresin de Ka fu derivada por medio de modelaciones llevadas a cabo en la Universidad Tcnica de Karlsruhe 13 utilizando el mtodo de elementos finitos y aplicando la teora de placas ortotrpicas, proponindose la expresin Ka =1+1, 4 tan t( )+ 5, 4 tan2 t( ) (48)

En la nueva redaccin del ao 2004 de la norma alemana DIN 1052 y para la verificacin de la tensin de flexin mxima en el borde recto esta expresin se redujo a Ka =1+ 4 tan2 t( ) (48a) mantenindose la expresin (48) para la verificacin tensional del borde recto en la seccin de la cumbrera. Adicionalmente se exige satisfacer la condicin de interaccin de tensiones de flexin, cizalle y compresin o traccin normal en los bordes inclinados, distinguindose entre bordes flexo comprimidos (bordes superiores inclinados en vigas simplemente apoyadas) y bordes flexo traccionados (bordes inferiores inclinados en vigas simplemente apoyadas). Las condiciones son:

a. Para bordes inclinados flexo comprimidos: f f ,mxFfv,dis

!

"##

$

%&&

2

+fcnFcn,dis

!

"##

$

%&&

2

+fcz

2,66Fcz,dis!

"##

$

%&&

2

1 (49)

b. Para bordes inclinados flexo traccionados: f f ,mxFft,dis

!

"##

$

%&&

2

+ftn

1,25Ftn,dis!

"##

$

%&&

2

+fcz

1,33Fcz,dis!

"##

$

%&&

2

12 (50)

Ambas condiciones reflejan, entre otros aspectos, evidencias experimentales de los estudios llevados a cabo en la Universidad Tcnica de Karlsruhe 13, que han permitido apreciar que la resistencia de traccin normal a la fibra es considerablemente menor que la resistencia de compresin normal a la fibra y que

13 Mhler K.; Hemmer K. Spannungskombination bei Brettschichttrger mit geneigten Rndern. Holzbau- Statik-Aktuell. Folge 5. Arbeitsgemeinschaft Holz e.V., Dsseldorf. 1980.


27

la existencia de tensiones de compresin normal a la fibra incrementan la resistencia de cizalle de la madera. Si en (49) y (50) las tensiones fcn y fciz se expresan en funcin de f f,mx, segn lo establecido en (45) y (46), repectivamente, y se despeja f f,mx, resulta f f ,mx =

11

Ffv,dis!

"##

$

%&&

2

+tan2(t )Fcn,dis

!

"#

$

%&

2

+tan(t )

2, 66Fcz,dis!

"#

$

%&

2 (49 a)

para bordes inclinados flexo comprimidos, y f f ,mx =

11

Fft,dis!

"##

$

%&&

2

+tan2(t )1, 25Ftn,dis

!

"#

$

%&

2

+tan(t )

1,33Fcz,dis!

"#

$

%&

2 (50 a)

para bordes inclinados flexo traccionados. Introduciendo factores de interaccin tensional en bordes inlinados, kbfc y kbft, es posible plantear una verificacin simplificada de la forma f f ,mx kbfc Ff ,dis para bordes inclinados flexo comprimidos (51) y f f ,mx kbft Ff ,dis para bordes inclinados flexo traccionados (52)

con kbfc =

1

1+ Ff ,dis tan2(t )

Fcn,dis"

#$

%

&'

2

+Ff ,dis tan(t )2, 66Fcz,dis

"

#$

%

&'

2 (53)

kbft =

1

1 + Ff ,dis tan2(t )

1, 25Ftn,dis"

#$

%

&'

2

+Ff ,dis tan(t )1,33Fcz,dis

"

#$

%

&'

2 (54)

Estos factores se pueden tabular o graficar en funcin del ngulo de inclinacin del borde t y de las propiedades mecnicas de diseo. En relacin a la inclinacin del techo, para pequeas pendientes (t 3 ) el efecto de borde inclinado resulta despreciable y puede omitirse. Por otra parte los estudios limitan la validez de sus resultados al valor t = 20 .


28

En Figura 11 se presenta el efecto de la inclinacin del borde, en , y la naturaleza del esfuerzo, flexocompresin o flexotraccin, sobre la resistencia de flexin, a travs del desarrollo de los factores kbfc y kbft . En su memoria de titulacin D. Benavides14 pudo corroborar las tendencias que condicionan las expresiones (53) y (54) en ensayos con vigas rectas de altura variable de madera laminada encolada de Pino radiata.

Figura 11. Efectos de la inclinacin de borde y de la naturaleza del esfuerzo

sobre la resistencia de flexin en bordes inclinados Cabe alertar que en elementos expuestos a la intemperie las lminas exteriores deben ser continuas en el borde expuesto. Esto se logra organizando adecuadamente las lminas durante la fabricacin, o bien disponiendo al menos dos lminas de recubrimiento. En la figura 12 se ejemplarifica al respecto.

Figura 12 Bordes expuestos a la intemperie Desarrollo de tensiones en el sector de la cumbrera. En el entorno de la cumbrera el cambio de inclinacin de los bordes inclinados genera una quiebre del eje de la viga y consecuentemente una desviacin de las fuerzas de flexo compresin, cuyas componentes verticales inducen tensiones de traccin normal a la direccin de la fibra, fnr. El achurado del sector central de las 14 Benavides Daniel. Resistencia de flexin de vigas de madera laminada encolada de Pino radiata de altura variable. Memoria para optar la ttulo de Ingeniero Civil. Departamento de Ingeniera Civil. Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas. Universidad de Chile. 2005


29

vigas de Figura 13 designa el tramo de viga en el que se desarrollan tensiones de traccin normal a la fibra. La intensidad de stas puede estimarse por medio de la expresin fnr = Kr

6Mcbhm2

(55) con: Kr = factor de tensin radial Mc = momento flector a mitad de luz, en kN*m; hm = altura de seccin transversal en la cumbrera, en mm; b = ancho de la seccin transversal, en mm El factor Kr para vigas de canto nferior recto asciende a:

Kr = 0,2*tan(t );

(56) Cabe recordar que la resistencia de traccin normal a la direccin de la fibra corresponde a la capacidad mecnica mas precaria de la madera, variando su magnitud entre 1/70 a 1/120 de la resistencia de traccin paralela a la fibra. Se ha podido apreciar en laboratorio que su magnitud puede verse reducida considerablemente por la presencia de grietas en la madera de primavera, y que adicionalmente resulta dependiente del volumen de madera solicitado y de la distribucin tensional dentro de este volumen. Su sensibilidad ante los incrementos en el contenido de humedad y la duracin del efecto solicitante es mayor que la de las restantes propiedades mecnicas. Por lo anterior las construcciones de madera debieran disearse y construirse de manera de evitar o si esto no es posible, llevar a un mnimo, el desarrollo de tensiones normales a la fibra. Tensiones longitudinales. En vigas de este tipo la distribucin de tensiones longitudinales difiere del desarrollo lineal planteado por Navier, llegando de hecho necesariamente a anularse las tensiones axiales del borde superior en la cumbrera. Esto a su vez fuerza un descenso del eje neutro y condiciona una mayoracin de la tensin mxima de flexo traccin con respecto al valor que resulta de aplicar la expresin de Navier (ver diagramas tensionales en Figura 13).

Figura 13.

Desarrollo de tensiones axiales y transversales en vigas de altura variable


30

Se debe controlar por esto que el valor de la tensin de flexo traccin en el borde cncavo inferior satisface la condicin

f ft,mx = Ka * 6*Mcb*hm2 ! F ft,dis ; (57)

donde Ka corresponde a la expresin (48) Otras verificaciones. El control del volcamiento se lleva a cabo de acuerdo con las especificaciones de las Secciones 7.2.2.2 b, 7.2.2.4 y 10.3.1.2 de la norma NCh 1198Of2006. La verificacin se realiza en el tramo entre puntos de apoyo lateral correspondiente a la tensin de flexin mxima, considerando las propiedades estticas de la seccin transversal desplazada en 0,65 veces la longitud de tramo, con respecto al punto de apoyo lateral mas cercano al apoyo. El diseo se completa con las verificaciones habituales de cizalle y aplastamiento, en los apoyos y puntos de aplicacin de carga concentrada. Control de deformaciones verticales. La deformacin vertical de una viga consta de una componente debida a la flexin, ' f, y una componente debida al corte, ' q y habitualmente, por exigencias de funcionalidad no debe resultar superior a un valor ' ad ,de manera que: ' = ' f + ' q ! ' ad. (58) En forma simplificada se puede considerar

' f = Mmx ! l2

9,6!E! Ia!kf (59)

con Ia =b!ha312 y

, ,K

h hh h

0 15 0 85f a ma m

3

)=

+ ^^ hh

' q =1,2!MmxG!Aa!kq (60)

con Aa = b!ha y K

h h12

Qm a

2 3= + ^ h En las expresiones anteriores ha corresponde a la altura de seccin en el apoyo y hm a la altura mxima. En vigas con borde inferior inclinado segn el segundo esquema de la Figura 13, en lugar de hm se debe considerar , tan tanh h l0 5a a b1 ) ) z z= + -^ ^h h" , (61) Aunque no resulta evidente, en vigas de altura variable los descensos verticales inducen empujes horizontales inherentes al efecto de arco que alcanza a generarse. Por ello resulta necesario materializar uno de los apoyos con posibilidades de desplazamiento horizontal, de manera de evitar la generacin de fuerzas de compresin axial que podran llegar a comprometer la estabilidad lateral de la


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vigae inducir empujes horizontales sobre los apoyos. Por medio de una modelacin simplificada del desarrollo geomtrico de la viga y aplicando el principio de trabajos virtuales es posible estimar el desplazamiento horizontal H del apoyo mvil como un ponderado del descenso vertical. La expresin resultante es H =

4 (H2 +1,6H1)L (62)

donde H1 = 0,5*ha y H2 = 0,5*ha + 0,5*L*tg(t) 0,5*hm

Figura 14.

Desplazamiento del apuyo mvil asociado al descenso vertical Vigas con borde superior recto y borde inferior inclinado con curvatura central. Existen dos formas de materializacin: con seccin transversal constante y con seccin transversal variable. Vigas de seccin transversal constante. En la figura 15 se presenta una viga tpica y las designaciones geomtricas que se requiere en el diseo o verificacin. La altura constante rige desde el apoyo hasta el inicio de la zona curva. La longitud del tramo curvo se define arbitrariamente, debiendo respetarse el radio de curvatura mnimo requerido por el espesor de las lminas utilizadas. Durante el armado de este tipo de vigas se debe controlar que las lminas se desarrollen paralelas al borde inferior cubriendo en forma contnua la zona curva central En los tramos rectos de altura constante el ngulo t entre los bordes y los planos de laminacin se anula, mientras que en la cumbrera su valor es igual a a.


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Figura 15.

Geometra de viga con bordes inclinados con altura de seccin transversal constante Designaciones geomtricas

Figura 16

Geometra de cumbrera La altura en la cumbrera, hm , se determina por medio de las relaciones geomtricas que condiciona el esquema grfico de Figura 16. En efecto e = c tan a( ) R = c sen a( ) Rm = R+ hm 2 d = R 1 cos a( )( ) h1 = h cos a( )

hm = e+ h1 d =h

cos a( )+ c tan a( ) R 1 cos a( )( )

Verificaciones tensionales Las verificaciones tensionales en los apoyos no difieren de las que se deben llevar a cabo en vigas rectas para el control de las tensiones mximas de cizalle y de aplastamiento. Al definir la materializacin prctica del mismo resulta


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recomendable maximizar la altura til del corte y evitar superficies de contacto faltantes en el borde de apoyo, al menos en el sector solicitado. La figura 17 ilustra al respecto.

Figura 17. Ejecuciones del apoyo basal

Se debe verificar las tensiones de flexin en dos puntos: al inicio de la zona curva, en la forma tradicional y en la seccin de la cumbrera, considerando el incremento de las tensiones en el borde cncavo producto del descenso del eje neutro. En la seccin de la cumbrera se deben controlar adicionalmente las tensiones de traccin normal a la fibra, que se evalan como un ponderado de la tensin de flexin nominal (Navier) en dicho punto. Los procedimientos de diseo se explican mas adelante. Pese a que en el sector con curvatura el borde superior se desangula con respecto a los planos de laminacin, en situaciones normales se puede prescindir del anlisis de interaccin de tensiones pertinente. Vigas de seccin transversal variable. En la figura 18 se presenta una viga tpica y las designaciones geomtricas que se requiere en el diseo o verificacin. Corresponde a la tipologa mas utilizada en la prctica, y en este caso la altura de tramo recto se incrementa linealmente desde los apoyos hasta el inicio de la zona de borde inferior curvo. Como las lminas se desarrollan paralelas al borde inferior, el borde superior se desarrolla recortando lminas y condicionando un ngulo t , que en los tramos de desarrollo recto resulta equivalente a la diferencia entre los ngulos de inclinacin de los bordes superior e inferior, respectivamente. La inclinacin del eje de la viga anloga, , por su parte, se calcula como la semisuma de los ngulos de inclinacin de los bordes superior, a , e inferior, b . En la seccin de la cumbrera el ngulo t se iguala al ngulo que forma el plano de techo con la horizontal. Cabe recordar que este parmetro se requiere para evaluar las interacciones tensionales en el borde que intersecta lminas, las tensiones de flexin en el borde paralelo a la disposicin de lminas y las tensiones normales a la fibra en el entorno de la cumbrera.


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,0 5 a b)a z z= +^ h

Figura 18. Geometra de viga con bordes inclinados con altura de seccin transversal variable Designaciones geomtricas: ! = "a +"b( ) 2

R = csen !b( )

h1 = ha + 0,5! l ! tan !a( )" tan !b( )( ) hm = h1 + c! tan !b( )" R! 1" cos !b( )( ) hc! = ha + 0,5! l " 2!c( )! tan !a( )" tan !b( )( )

hx! = ha ! 2"hah1

#

$%

&

'(

Rm = R1 + hm 2

Figura 19 Alturas efectivas de seccin transversal

Las alturas hc! y hx! corresponden a valores aproximados a grosso modo de las alturas en vigas de altura variable de borde inferior recto comunes (con pendiente moderada del borde inclinado). Los valores exactos, de acuerdo con el esquema de Figura 19, corresponden a hc ! hc" "cos !( ) y hx ! hx" "cos !( ) , respectivamente.


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Verificaciones tensionales. Rigen las verificaciones mencionadas en el caso de vigas con altura constante en el tramo recto, excepto la verificacin de la tensin en el inicio de la zona curva, que se traslada a una ubicacin intermedia, correspondiente a la abscisa x de tensin de flexin mxima, segn lo analizado para el caso de vigas rectas de altura variable. Esto es x = L2

hah1

Estados tensionales en los sectores curvos. Tensiones de flexin. En el canto interno (cncavo) de vigas curvas de geometra simtrica con respecto al centro de la viga, la magnitud de la tensin de flexin se determina ponderando la tensin de flexin por un factor de amplificacin, mediante la expresin ff = Ka* 6*Mmb*hm2

= Ka*MmWm (63)

con Mm = momento flector en el centro de la viga; hm = altura en el centro de la viga Los estudios de Moehler y Blume anteriormente citados determinaron a su vez para el factor de amplificacin Ka la expresin:

Ka = D+E hmRm

"

#$

%

&'+F hmRm

"

#$

%

&'

2

+G hmRm"

#$

%

&'

3 (64)

con D = 1 + 1,4*tan(t) + 5,4*tan2(t) ; E = 0,35 - 8*tan(t); F = 0,6 + 8,3*tan(t) - 7,8*tan2 (t) ; G = 6*tan2 (t) . Tensiones normales a la direccin de la fibra. En piezas en que tanto su geometra, como la disposicin de las solicitaciones resulten simtricas con respecto a la mitad de la luz, las tensiones normales a la fibra fnr inducidas por la flexin adquieren su mximo valor en un sector prximo al eje de la seccin transversal de la cumbrera, pudiendo determinarse su magnitud a travs de la expresin: fnr = Kr 6*Mm

b*hm2 = KrMmWm

(61)

con: Kr = factor de tensin normal Mm = momento flector en el pice, en kN*m; hm = altura de seccin transversal en el pice, en mm; b = ancho de la seccin transversal, en mm A travs de una modelacin de vigas de acuerdo con la teora de placas orto trpicas, estudios llevados a cabo por Mhler y Blumer en la Universidad Tcnica


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de Karlsruhe15,16 permitieron, a travs de regresiones analticas, establecer las siguiente expresiones para factor Kr:

Kr = A + B* hmRm!

"#

$

%& + C* hmRm

!

"#

$

%&

2 (62)

en que Rm = radio de curvatura del eje de la seccin en el pice; A = 0,2*tan(t ); B = 0,25 - 1,5*tan(t ) + 2,6*tan2(t ); C = 2,1*tan(t ) - 4*tan2(t ) t : desangulacin entre el borde inclinado de la viga y la direccin de los planos de encolado. Esto explica el que en vigas curvas de altura de seccin

transversal constante, donde por fabricacin t = 0, resulteKr = 0,25hmRm

"

#$

%

&'

. Los diagramas de figura 20 permiten una estimacin grfica de los factores Kr y Ka. En la fabricacin de este tipo de vigas se puede optar por desvincular la zona superior de la cumbrera del cuerpo de la viga, de manera de materializar la zona curva como una viga curva, lo que redunda en reducciones considerables de las tensiones de traccin normal a la fibra. En estos casos el sector faltante se instala en forma de suple, sin participar en el trabajo estructural.

Figura 21. Suple de cumbrera desvinculado de la viga

15 Mhler K. , Blumer H. :Brettschichttrger mit vernderlicher Hhe Bauen mit Holz 8/1978 16 Blumer H.: Spannungsberechnungen an anisotropen Kreisbogenscheiben und Satteldachtrgern konstanter Dicke. Bruderverlag, Karlsruhe, 1979.


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Figura 20.

Diagramas para la determinacin grfica de los factores ka y kr.


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Control del valor mximo de las tensiones de traccin normal a la fibra. Cuando la tensin de traccin normal a direccin de la fibra fnr excede el correspondiente valor de diseo, la totalidad de las fuerzas que se desarrollan producto de estas tensiones deben ser resistidas mediante la disposicin de refuerzos constructivos. Es posible sin embargo que, pese a que la intensidad de las tensiones efectivas de traccin normal a la fibra no alcance a sobrepasar el nivel de diseo, igualmente se requiera disponer refuerzos constructivos. Estudios realizados con vigas sometidas a variaciones cclicas de las condiciones climticas por Ranta-Maunus17 en Finlandia permitieron apreciar que, como resultados de las variaciones en el contenido de humedad y de las tensiones normales a la fibra que estas desarrollan en el interior de las piezas en los sectores prximos a las caras, existe una probabilidad relativamente alta de generacin de fisuramientos, que a su vez condiciona reducciones en la de por s limitada capacidad de resistencia a la traccin normal a la direccin de la fibra. Por esta razn en elementos constructivos con regiones solicitadas por tracciones normales a la fibra resulta relevante estimar adecuadamente las solicitaciones ambientales que se pueden manifestar durante la vida til de la construccin. Se debe evitar incrementos en el contenido de humedad de las piezas durante el transporte, almacenaje y montaje y un secado posterior violento una vez que estas sean puestas en servicio. Las gradientes de humedad por secado que se producen generan tensiones de traccin normal a la fibra en los sectores prximos a la superficie, que a su vez producen las fisuras.

Figura 22 Desarrollo de tensiones internas producto de la gradiente

de contenido de humedad a travs del espesor de las piezas La norma alemana DIN 1052 incorpor en su ltima redaccin (del ao 2004) restricciones que hacen eco de esta situacin. En vigas rectas o curvas de altura variable cuyo contenido de humedad en servicio puede superar el lmite 20% se debe considerar la disposicin de refuerzos constructivos en la zona sensible al 17 Ranta-Maunus A. Y Gowga Sh. Curved and cambered glulam beams. Part 2: Long term tests under cyclically varying humidity. VTT Publications 171, Technical research Centre of Finland, Espoo, 1994.


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desarrollo de tensiones de traccin normal a la direccin de la fibra, que deben neutralizar la totalidad de las fuerzas inducidas por dichas tensiones. Cuando el contenido de humedad en servicio no alcanza a sobrepasar el lmite 20%, pero las tensiones mximas de traccin normal a la direccin de la fibra resultan mayores que 0, 75Ftn,dis la norma exige considerar igualmente la disposicin de refuerzos constructivos en la zona sensible al desarrollo de este tipo de tensiones. En la reciente actualizacin de la norma chilena NCh 1198 se incorporaron estas mismas exigencias. Interaccin en la cumbrera de la tensin mxima de traccin normal a la fibra con tensiones de cizalle debidas a esfuerzo de corte. Cuando coexistan tensiones de traccin normal a la fibra y tensiones de cizalle debidas al corte se debe controlar la siguiente condicin

ftnFtn,dis

+fczFcz,dis

!

"##

$

%&&

2

1 (63)

Refuerzo de vigas curvas y vigas de bordes rectos y altura variable. Cuando la magnitud de las tensiones de traccin normal a la fibra exceden los lmites establecidos anteriormente se debe recurrir a la disposicin de refuerzos, con el propsito de evitar una falla de la madera. Lo interesante aqu es que en la determinacin de las solicitaciones que actan sobre los refuerzos se desprecia completamente la resistencia de la madera a traccin normal a la direccin de la fibra. Estos refuerzos pueden ser interiores, bajo forma de costuras de acero, o exteriores, materializados en forma de cubrejuntas con elementos de tableros contrachapados. Dado que en nuestro pas la produccin de tableros contrachapados an no se encuentra regularizada normativamente en lo siguiente se describiran los mtodos de refuerzo con costuras de acero, de acuerdo con la metodologa descrita por Blass y Steck18 y que se incorporaron en la norma chilenaNCh 1198. Como refuerzos dispuestos en el interior de la pieza se aceptan:

- barras con hilo encoladas - barras de hormign con resalte encoladas - tornillos para madera con hilo a lo largo de todo el vstago.

Las perforaciones para las barras se deben materializar con un dimetro correspondiente al dimetro exterior de la barra con una tolerancia de (-0, +5 mm). Para el encolado se deben usar formulaciones especiales sobre la base de resinas artificiales de resorcinol, poliuretano o epxicas. La longitud mnima de cada barra asciende a la altura de la viga menos el espesor de las lminas exteriores.

18 Bla, H.J. y Steck, G . Querzugverstrkungen von Holzbauteilen. Bauen mit Holz. 3/1999; 4/1999; 5/1999. Bruderverlag, Karlsruhe.


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Al calcular las tensiones mximas en los sectores de seccin transversal solicitados por tracciones se debe considerar el debilitamiento de seccin transversal inducido por la colocacin de los refuerzos. Cuando se usen tornillos con hilo a lo largo de todo el vstago la verificacin es similar a la especificada para barras con hilo encoladas. En ambos se debe verificar las solicitaciones de anclaje en la madera y de traccin en la seccin transversal crtica (zona roscada) de la barra. El efecto agregado de las fuerzas que generan la traccin normal se obtienen integrando las tensiones de traccin normal en el plano del eje neutro de tracciones normales en el sector de cumbrera. Dado que con las expresiones (50) y (61) solo se puede obtener el valor mximo de estas tensiones, el desarrollo efectivo de las mismas en el sentido axial de la viga se estima en forma aproximada. Ehlbeck y Krth19 analizaron, sobre la base de clculos con elementos finitos para vigas curvas de altura constante y vigas curvas a dos aguas de altura variable, el desarrollo de los valores mximos de estas tensiones. Dependiendo de la forma de la viga y del tipo de solicitacin la intensidad de las tensiones va disminuyendo en la medida que la distancia con respecto a la seccin transversal de la cumbrera aumenta. Se ha podido constatar que las tensiones de traccin normal no se restringen al sector de viga con curvatura, sino que se desarrollan parcialmente hacia el inicio de los sectores rectos. Para las diversas formas de vigas consideradas en NCh 1198 es posible obtener una aproximacin suficientemente precisa del efecto agregado de las fuerzas que generan tracciones normales a la fibra por medio de las siguientes simplificaciones. Cuando se deba neutralizar la totalidad de las fuerzas de traccin normal a la direccin de la fibra por medio de refuerzos, el sector comprometido por tensiones de traccin normal a la fibra (zona de cumbrera) se subdivide en una mitad central y dos sectores cuartos laterales, segn se esquematiza en figura 23 . En la mitad central se asume conservadoramente que la intensidad de las tensiones corresponde al valor mximo de stas, mientras que en los cuartos exteriores de la regin de cumbrera se considera un valor constante correspondiente a los dos tercios del valor mximo. Esta hiptesis simplificatoria se presenta en lnea segmentada en los diagramas tensionales de Figura 23.

Figura 23

Desarrollo de tensiones de traccin normal a la fibra en el sector de cumbrear 19 Ehlbeck, J. y Krth J. Influencia del volumen solicitado en traccin normal a la fibra sobre la capacidad resistente de vigas curvas de altura constante y vigas curvas de altura variable de madera laminada encoladas. Informe Tcnico del Laboratorio de Ensayo de Materiales , Estructuras de Madera, Universidad de Karlsruhe, 1990.


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En la mitad central se considera para cada barra de refuerzo la fuerza Ttn =

fn,mx ba1n [N] (64)

con fn,mx : tensin de traccin normal a la fibra calculada segn (61), en MPa;

b : ancho de viga, en mm; a1 : espaciamiento segn el eje de la viga entre refuerzos medido a nivel del eje

principal de la viga, en mm (ver Figura 24); n : cantidad de refuerzos en el sector comprendido en la longitud a1

Figura 24 Disposicin de refuerzos en la zona de cumbrera

En los cuartos exteriores del tramo solicitado por traccin normal a la fibra cada refuerzo se disea para neutralizar la fuerza

Ttn =23

fn,mx ba1n [N] (65)

Las barras de refuerzo deben distribuirse uniformemente a lo largo del sector solicitado por tensiones de traccin normal a la fibra. Para vigas cuyo contenido de humedad en servicio no excede el lmite H = 20% , pero que no cumplen la condicin ftn,mx 0, 75Ftn,dis se debe considerar la incorporacin de refuerzos para la neutralizacin de las tensiones de traccin normal a la fibra inducidas por el clima. Se asume que la intensidad de fuerza inducida por los efectos climticos asciende a la cuarta parte de la fuerza que condicionan las solicitaciones externas. Ademas se incorpora el efecto del ancho de viga, dado que se ha podido apreciar que ante mayores anchos de vigas las tensiones de traccin normal a la fibra que se deben neutralizar crecen mas que proporcionalmente. Para un ancho de 160 mm corresponden exactamente a la fuerza que resulta de aplicar la expresin (64). En consecuencia los refuerzos se


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disean en el sector solicitado por tensiones de traccin normal a la fibra para una fuerza

Ttn =fn,mx ba14n

b160

"

#$

%

&' [N] (66)

con fn,mx : tensin de traccin normal a la fibra calculada segn (61), en MPa b : ancho de viga, en mm La fuerza de traccin Ftn se traspasa a las barras de acero por medio del encolado. Se debe verificar que la tensin de adhesin satisface la condicin

fcz Fa,dis con

fcz =2Ttn

la,ef Dr [Mpa] (67)

son Ttn : valor de diseo de la fuerza de traccin en cada barra, en N: la,ef : longitud efectiva de anclaje de la barra de acero sobre o bajo el eje de la

viga, en mm; Dr : dimetro exterior de la barra de acero, en mm; Fa,dis : tensin de diseo de la adherencia para la,ef 250 mm. Resultados obtenidos en investigaciones exploratorias realizadas en la U. Del Bo Bo20 y la U. de Santiago21 relativas a la resistencia de anclajes por medio de encolado de barras de acero con hilo en madera laminada encolada de Pino radiata justifican asimilar Fa,dis a la tensin de diseo en cizalle, Fciz,dis . En caso de utilizarse tornillos de hilo completo se puede asumir una tensin admisible de anclaje Fa =1MPa , permitindose el uso de valores superiores sobre la base de un respaldo experimental debidamente fundamenteado. La longitud de los refuerzos debe permitir que las barras o tornillos atraviesen, con excepcin de una lmina de borde, la totalidad de la altura de la viga. Para vigas en las que las fuerzas de traccin normal a la direccin de la fibra se neutralizan en su totalidad por medio de refuerzos, la distancia entre barras de refuerzo en el canto superior deber ascender al menos a 250 mm, sin exceder e todo caso el 75 % de la altura de viga en la cumbrera hm .

20 Prez Rafael. Anclaje de barras de acero roscadas en madera laminada de Pino radiata.Facultad de Arquitectura, Construccin y Diseo Universidad del Bo-Bo. 2002 21 Schuchhardt M. Y Caldern C. Estudio de la resistencia y comportamiento del adhesivo epxido en uniones maderacero bajo extraccin directa de barras hiladas. Memoria de titulacin. Departamento de Ingeniera en Obras Civiles. Universidad de Santiago. 2005.

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