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Potencia enesima por diagonalizacion

Exponemos la manera de calcular la potencia enesima de una matriz diago-

nalizable.

Metodo Sea  A  una matriz cuadrada de orden n  con elementos en un cuerpoK (podemos suponer para fijar ideas  K = R o  K = C). Si es diagonalizable,sabemos que existe una matriz invertible  P   ∈  Kn×n tal que  P −1AP   =  D

siendo  D  = diag(λ1, . . . , λn) con  λi  los correspondientes valores propios deA. Despejando A obtenemos  A =  P DP −1 y elevando a  n:

An = (PDP −1)(PDP −1) . . . (PDP −1) =   PDnP −1

1.  Calcular la potencia enesima de la matriz  A =

1   −3 33   −5 36   −6 4

Resoluci´ on  Valores propios de  A:

1 − λ   −3 3

3   −5 − λ   36   −6 4 − λ

=

−2 − λ   −3 3−2 − λ   −5 − λ   3

0   −6 4 − λ

=

−2 − λ   −3 3

0   −2 − λ   00   −6 4 − λ

= (−2 − λ)

2

(4 − λ) = 0 ⇔

λ1 = 4 (simple) o  λ2 =  −2 (doble)

(hemos sumado a la primera columna la segunda y posteriormente hemosrestado a la segunda fila la primera). La matriz  A  tiene tres valores realesen   R  (repetidos o no). Por otra parte la dimensi on del subespacio propioasociado a   λ1   = 4 es 1 por ser   λ1   simple. La dimemsion del subespaciopropio asociado a  λ1 =  −2 es

dimV  λ2  = 3 − rg(A + 2I ) = 3 − rg

3   −3 33   −3 3

6   −6 6

 = 3 − 1 = 2

Por tanto,  A tiene tres valores propios reales y la dimension de cada subes-pacio propio coincide con la multiplicidad del correspondiente valor propio:A es diagonalizable en  R. Las ecuaciones de los subespacios propios son

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V  λ1  ≡

−3x1 − 3x2 + 3x3  = 0

3x1 − 9x2 + 3x3 = 06x1 − 6x2  = 0V  λ2  ≡

3x1 − 3x2 + 3x3 = 0

3x1 − 3x2 + 3x3 = 06x1 − 6x2 + 6x3 = 0

y unas bases respectivas   Bλ1   =   {(1, 1, 2)}   y  Bλ2   =   {(1, 1, 0), (−1, 0, 1)}.Trasponiendo obtenemos la correspondiente matriz  P :

P   =

1 1   −11 1 02 0 1

en consecuencia

An = P DnP −1 =1 1   −11 1 0

2 0 1

4

n

0 00 (−2)n 00 0 (−2)n

1 1   −11 1 0

2 0 1

−1

=

. . . = 1

2

4n + (−2)n −4n + (−2)n 4n − (−2)n

4n − (−2)n −4n + 3(−2)n 4n − (−2)n

2 · 4n − 2(−2)n −2 · 4n + 2(−2)n 2 · 4n

Autor:   Fernando Revilla

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