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¡Matemáticas!
Conjuntos
Primera edición
Versión beta
Noviembre de 2011
ii Conjuntos
¡Matemáticas!
Conjuntos Primera edición
Versión beta
Noviembre de 2011
Documento gratuito
www.nacho.unicauca.edu.co
Algunas páginas de este documento electrónico se han dejado en blanco
intencionalmente para efectos de impresión en papel.
En este documento casi no hay nada original. Quizás alguien note algún sutil rasgo de
originalidad en mi visión de algunos aspectos de las matemáticas, o en la forma de
presentarlas.
Pero lo cierto es que prácticamente todo lo que aquí escribí lo tomé de, o se basa en, libros,
apuntes, páginas de internet, etc. Quizás lo único que finalmente logré fue efectuar una muy
mala reproducción de cosas bien planteadas en otras fuentes. Mis disculpas y mi
reconocimiento a todos los autores de esas fuentes.
Por lo anterior, y por otras razones, de ninguna manera presentaré este documento para
efectos de reconocimiento como “productividad académica” o “producción intelectual” ante
la universidad para la cual trabajo. En cambio, estará disponible como documento gratuito
para todo aquel que desee conocerlo o utilizarlo, o ambos.
Hacer las cosas de ese modo tiene su costo: No figuraré en las bases de datos de mi
universidad como autor de nada, nunca seré Profesor Titular, y mi sueldo no se
incrementará como yo quisiera.
Pero, por otro lado, hacer las cosas de ese modo tiene su recompensa: No tengo que
presentar ningún proyecto de lo que quiero escribir y no estoy sometido a compromisos,
plazos ni informes. Ningún evaluador secreto recomendará acogerme al manual de autores
de algún medio de publicación, ni escribir en estilo impersonal, ni modificar algún título, ni
cambiar alguna palabra que considere inapropiada, ni utilizar el usual estilo académico,
muy elegante pero también muy acartonado. Tampoco tengo que aceptar las sugerencias de
ninguna editorial como, por ejemplo, utilizar fuentes de 10 puntos o menos para bajar costos
de impresión, o evitar el uso del color y procurar que las imágenes sean pequeñas para
economizar. Todo esto con el beneficio adicional de que no tengo que hacer ningún
“lanzamiento” de mi “obra”, ni hacer tediosas gestiones de difusión aquí y allá. Basta hacer
un clic con el botón izquierdo del ratón y el material está de inmediato en la maravillosa
internet, disponible para quien desee, como ya dije, conocerlo o utilizarlo, o ambos.
La mejor recompensa es la de que puedo disfrutar del placer de escribir con plena libertad,
en los momentos que escoja, en las condiciones que me plazca, sin estrés ni presiones.
iv Conjuntos
Prefacio
La discusión matemática de los conjuntos puede considerarse como una muestra
elemental e ilustrativa, entre varias posibles, de la naturaleza de las matemáticas. En
efecto, tal discusión le dará a usted la oportunidad de experimentar un primer
acercamiento a la forma bastante particular en que los matemáticos tratan los asuntos
que les conciernen. En particular, tendrá la ocasión de familiarizarse con los aspectos
técnicos del método estándar de las matemáticas. Desde el comienzo, reconocerá el
lenguaje con el cual se comunican los matemáticos y confirmará que no es otro sino
el lenguaje de la lógica. De hecho, constatará el uso intensivo de ciertos tipos de
argumentos válidos en la elaboración continua de razonamientos propios de las
matemáticas. Todo esto se revelará ante usted como una asombrosa fuente de
complejas ideas construidas a partir de conceptos extremadamente elementales.
Desde otra perspectiva, el tema es de carácter fundamental puesto que en la
actualidad prácticamente todas las áreas de las matemáticas hacen uso, más o menos
extenso, del lenguaje, la notación y los resultados básicos en relación con los
conjuntos.
La forma en que presento el tema en este documento presupone el conocimiento del
documento anterior titulado ¡Matemáticas! – Lógica. En particular, presupone el
conocimiento de las reglas de inferencia, incluida su nomenclatura, presentadas allí.
Como una pequeña novedad, utilizo la denominada “Tumba de Halmos” (un pequeño
cuadrado “□” que indica la finalización de la demostración de un teorema) en forma
un tanto liberal: indicar la finalización de todo bloque de texto que, a semejanza de
las demostraciones de teoremas, exprese la justificación total no solo de teoremas
sino también de ejemplos.
Contenido
Prefacio ................................................................................................................... v
1. El concepto de conjunto ................................................................................... 1
1.1. Conjuntos ............................................................................................................................................... 1
1.2. Elementos .............................................................................................................................................. 1
1.3. Formas de definir un conjunto ............................................................................................................... 2
1.4. Igualdad de conjuntos ............................................................................................................................ 4
1.5. El conjunto vacío ................................................................................................................................... 6
1.6. Conjuntos unitarios ................................................................................................................................ 7
1.7. Parejas .................................................................................................................................................... 7
1.8. Ternas .................................................................................................................................................... 8
1.9. Diagramas de Venn ................................................................................................................................ 8
1.10. Ejercicios ............................................................................................................................................... 9
John Venn .......................................................................................................................................................... 11
El símbolo del conjunto vacío ............................................................................................................................ 12
2. Inclusión ......................................................................................................... 15
2.1. Inclusión .............................................................................................................................................. 15
2.2. Propiedades básicas de la inclusión ..................................................................................................... 17
2.3. Inclusión propia ................................................................................................................................... 18
2.4. Pertenencia e inclusión ........................................................................................................................ 19
2.5. Conjuntos universales .......................................................................................................................... 20
2.6. Ejercicios ............................................................................................................................................. 21
Aunque usted no lo crea ..................................................................................................................................... 22
3. Colecciones .................................................................................................... 23
3.1. Colecciones .......................................................................................................................................... 23
4. Conjuntos de partes ........................................................................................ 27
4.1. Conjuntos de partes .............................................................................................................................. 27
4.2. Ejercicios ............................................................................................................................................. 28
5. Unión ............................................................................................................. 31
5.1. Unión ................................................................................................................................................... 31
5.2. Propiedades básicas de la unión ........................................................................................................... 34
5.3. Otras propiedades de la unión .............................................................................................................. 42
5.4. Uniones generalizadas ......................................................................................................................... 46
5.5. Ejercicios ............................................................................................................................................. 49
vii Contenido
6. Intersección .................................................................................................... 51
6.1. Intersección .......................................................................................................................................... 51
6.2. Propiedades básicas de la intersección ................................................................................................. 54
6.3. Dos leyes distributivas .......................................................................................................................... 59
6.4. Intersecciones generalizadas ................................................................................................................. 63
6.5. Ejercicios .............................................................................................................................................. 66
7. Diferencia ....................................................................................................... 69
7.1. Diferencia ............................................................................................................................................. 69
7.2. Ejercicios .............................................................................................................................................. 76
8. Diferencia simétrica ....................................................................................... 79
8.1. Diferencia simétrica .............................................................................................................................. 79
8.2. Propiedades de la diferencia simétrica .................................................................................................. 82
8.3. Ejercicios .............................................................................................................................................. 91
9. Complementación .......................................................................................... 95
9.1. Complementación ................................................................................................................................. 95
9.2. Propiedades de la complementación ..................................................................................................... 98
9.3. Ejercicios ............................................................................................................................................ 107
10. Producto cartesiano ...................................................................................... 109
10.1. Parejas ordenadas ............................................................................................................................... 109
10.2. Producto cartesiano ............................................................................................................................ 111
10.3. –tuplas ordenadas ............................................................................................................................ 114
10.4. Producto cartesiano generalizado ....................................................................................................... 116
10.5. Ejercicios ............................................................................................................................................ 118
Respuestas a los ejercicios .................................................................................. 121
1. El concepto de
conjunto
1.1. Conjuntos Los seres humanos adquirimos intuitivamente el concepto de conjunto cuando
observamos un rebaño de ovejas en una pradera, o una bandada de pájaros volando, o
un banco de arenques en el mar, o un grupo de ciclistas pedaleando por una carretera,
o una multitud de árboles en un bosque, o un grupo de estudiantes en un salón
asistiendo a clase, etc.
Intuitivamente, un conjunto es una agrupación, o colectividad, o totalidad, o
congregación, de objetos de cualquier naturaleza.
Letras como , , , … representarán conjuntos. Eventualmente, otros tipos de
símbolos podrán también representar conjuntos. Por ejemplo, un poco más adelante
usaremos letras como A ,B ,C, … para representar cierto tipo de conjuntos.
1.2. Elementos Cada uno de los objetos que constituyen un conjunto se denomina un elemento (o un
miembro) de dicho conjunto. El símbolo
significa que es un elemento de . Por su parte, el símbolo
significa que no es un elemento de . La relación entre objetos y conjuntos
simbolizada por se denomina la relación de pertenencia y el símbolo se llama el
símbolo de pertenencia.
En lugar de la expresión “ es un elemento de ” se usan también las siguientes:
es un miembro de
2 Conjuntos
pertenece a
está en
posee a
está contenido en
contiene a
No es muy recomendable el uso de las dos últimas expresiones ya que más adelante
usaremos las palabras “contenido” y “contiene” con otro sentido.
Ortografía matemática: El símbolo de pertenencia
Observe con atención el símbolo de pertenencia:
Note que tiene la forma de una herradura abierta hacia la derecha con una barrita adicional
en el centro. Es como la cabeza de un tridente. No debe confundirse con ninguno de los
dos símbolos
los cuales son dos versiones de la letra griega épsilon que también se usa en matemáticas
pero con otros fines. Tampoco debe confundirse con la letra “e” mayúscula:
E Si usted se está preguntando qué tienen que ver estas observaciones con el tema en
discusión, considere lo siguiente: ¿Qué tal si todos tuviésemos la libertad de escribir los
símbolos matemáticos como nos gustase a cada uno? ¡Las matemáticas se convertirían en
una torre de Babel! Tenemos que procurar escribir los símbolos matemáticos lo mejor que
podamos, aproximándonos cuanto podamos a su forma correcta. En otras palabras, quizás
le resulte inesperado pero el lenguaje escrito de las matemáticas tiene su propia ortografía.
1.3. Formas de definir un conjunto
Hay dos formas de definir un conjunto. La primera se denomina por extensión. Se
dice que un conjunto se define por extensión cuando se hace un listado explícito de
todos sus elementos. Estos se escriben entre llaves separados por comas. Por ejemplo,
Correcto
Incorrectos
Incorrecto
3 1. El concepto de conjunto
es un conjunto definido por extensión. La segunda se denomina por comprensión o
por abstracción. Se dice que un conjunto se ha definido por comprensión cuando sus
elementos, en lugar de listarse explícitamente, se especifican mediante una condición
que los caracteriza. Por ejemplo,
es un conjunto definido por comprensión. Observe la forma en que está escrito este
símbolo: Dentro de un par de llaves se escriben sucesivamente una variable (en este
caso ), dos puntos y, finalmente, la condición que caracteriza los elementos del
conjunto escrita en forma de proposición abierta en dicha variable (en este caso “x es
uno de los evangelistas”). En lugar de los dos puntos también se usa una barrita
vertical:
Note que la intuición nos dice que el conjunto es
en realidad el mismo conjunto . En efecto, se trata del
mismo conjunto definido de dos maneras distintas. Algo así no siempre es posible. Lo
cierto es que la mayoría de conjuntos solo pueden definirse por comprensión. Por
ejemplo, el conjunto
es un conjunto definido por comprensión, pero que no puede definirse por extensión
por la sencilla razón de que ¡posee una cantidad infinita de elementos! y por tanto es
imposible para nosotros hacer un listado explícito de todos esos elementos. No
obstante, en casos como este se hace uso de una notación que parece por extensión
pero que en realidad no lo es y, además, tampoco es por comprensión:
La idea es escribir explícitamente una cantidad suficiente de elementos del conjunto
de tal manera que ellos sugieran cuáles son todos los elementos de dicho conjunto.
Ortografía matemática: La notación de los conjuntos
El uso de paréntesis en modalidad de llaves es obligatorio en la notación de los conjuntos.
Así, el conjunto
no debe escribirse como
Correcto
4 Conjuntos
ni como
ya que estas notaciones, además de ser incorrectas en el caso de los conjuntos, se usan
para otros fines. Igualmente incorrecta es la notación
en la que se han omitido las comas que separan los elementos del conjunto. Estas deben
escribirse en todos los casos.
1.4. Igualdad de conjuntos Dado que lo que finalmente caracteriza a un conjunto son sus elementos y nada más,
la igualdad de conjuntos se define precisamente con base en ese hecho.
Definición Se dice que es igual a , y se escribe
si posee exactamente los mismos elementos que . En caso contrario, se dice que
es diferente de , o que es distinto de , y se escribe
Puesto que el conjunto
posee exactamente los mismos elementos que el conjunto
entonces
Ejemplo
Incorrecto
Incorrecto
Incorrecto
5 1. El concepto de conjunto
□
El orden en que se escriban los elementos de un conjunto es irrelevante. Así, tenemos
que
También son irrelevantes las repeticiones de elementos:
etc. En consecuencia, una igualdad como
es correcta.
Los tres teoremas siguientes establecen propiedades fundamentales de la relación de
igualdad entre conjuntos.
Teorema (Propiedad reflexiva de la igualdad)
Demostración posee exactamente los mismos elementos que . □
Teorema (Propiedad simétrica de la igualdad)
Si entonces
Demostración Si posee exactamente los mismos elementos que entonces posee
exactamente los mismos elementos que . □
Teorema (Propiedad transitiva de la igualdad)
Si y entonces
Demostración Si posee exactamente los mismos elementos que y posee
exactamente los mismos elementos que entonces los tres conjuntos, , y ,
6 Conjuntos
poseen exactamente los mismos elementos. En particular, posee exactamente los
mismos elementos que . □
1.5. El conjunto vacío
Definición El conjunto vacío es aquel que no posee elementos. Se nota por
cualquiera de los dos símbolos
Lo cierto es que actualmente el símbolo es mucho más utilizado que . Tan solo
ocasionalmente, algunos autores prefieren . Resulta curioso observar que el
símbolo no representa otra cosa sino la definición ¡por extensión! del conjunto
vacío. Por otra parte, también es posible definirlo por comprensión ―en forma por
demás ingeniosa― como
¿Conjunto vacío? ¿Es una broma? ¿Cómo puede ser un conjunto si
no posee elementos?
El papel del conjunto vacío en matemáticas se parece un poco al
del número natural cero. Los números naturales , , , ... , etc., se
originaron en el proceso de contar. Podríamos preguntarnos:
¿Entonces, qué hace el número en la lista de números naturales si
él no se usa para contar? Bueno, la verdad es que, históricamente,
al comienzo los números naturales no incluyeron al cero. Pero más
adelante fue incluido para ciertos propósitos que tienen que ver con el proceso de contar.
Por ejemplo, en el proceso de contar, comenzamos con 1, 2, 3, ... , etc., y después del
sigue el . ¡Ahí está el cero! 10 significa 1 decena y 0 unidades. El cero aquí está
contando el número de unidades que llevamos cuando completamos la primera decena. Y,
de ahí en adelante, el cero está presente, por ejemplo, en cada múltiplo de . Se puede
ver que, en tratamientos rigurosos del concepto de conjunto, el conjunto vacío está
presente en la construcción de muchos conjuntos.
Por otra parte, en matemáticas el conjunto vacío no se entiende como “nada” (como podría
sugerir la palabra “vacío”) sino como “algo” que simplemente no posee elementos. Quizás
una analogía útil es pensar en los conjuntos como en cajas (de cartón, si usted desea) que
contienen a sus propios elementos. En el contexto de esta analogía podemos pensar en el
conjunto vacío como en una caja ... ¡vacía! De este modo, estamos pensando en el
conjunto vacío como en un objeto concreto, una situación muy diferente a la pensarlo
como “nada”. (No obstante, conviene advertir que este tipo de analogías deben tomarse
con cuidado. Por ejemplo, mientras que en el mundo real hay muchas cajas vacías
diferentes, en el mundo de las matemáticas hay un único conjunto vacío.)
7 1. El concepto de conjunto
1.6. Conjuntos unitarios
Definición Un conjunto se llama unitario (o singular) si posee un único elemento.
Por consiguiente, todo conjunto unitario es de la forma
donde es su único elemento.
es un conjunto unitario. Entonces podemos escribir y afirmar que es el
único elemento del conjunto . □
1.7. Parejas
Definición Una pareja es un conjunto de la forma
donde los objetos y no necesariamente son distintos.
es una pareja que posee exactamente dos elementos:
□
Note que todo conjunto unitario es, al mismo tiempo, ¡una pareja! En efecto:
Aquí no hay ninguna contradicción. La definición de pareja incluye esta posibilidad.
Ejemplo
Ejemplo
8 Conjuntos
1.8. Ternas
Definición Una terna es un conjunto de la forma
donde los objetos , y no necesariamente son todos distintos entre sí.
El conjunto es una terna que posee exactamente tres elementos:
Note que todo conjunto unitario es, al mismo tiempo, una terna. En efecto:
Note también que toda pareja es, al mismo tiempo una terna:
1.9. Diagramas de Venn Resulta útil disponer de una forma general de representar gráficamente los conjuntos.
La posibilidad de visualizarlos, por medio de dibujos, constituye un valioso apoyo a
la intuición. En ocasiones, un dibujo es capaz de sugerir, en forma instantánea y con
claridad meridiana, una idea abstracta, difícil de captar de otra manera, acerca de los
conjuntos.
Un diagrama de Venn (o de Venn–Euler) es una representación gráfica de un
conjunto mediante una región plana limitada por una curva cerrada. Lo usual es que
dicha curva cerrada sea una circunferencia, o una elipse o un rectángulo. Cada punto
de la región plana representa un elemento del conjunto. En particular, cada punto de
la curva que limita dicha región representa un elemento del conjunto. Se acostumbra
escribir la letra que identifica al conjunto en el interior o fuera de la región plana. Así
□
Ejemplo
9 1. El concepto de conjunto
mismo, las letras que representan elementos del conjunto se escriben cerca de los
puntos respectivos.
La figura siguiente muestra algunos diagramas de Venn:
Diagramas de Venn
1.10. Ejercicios Respuestas
1.
Para cada una de las afirmaciones siguientes determine si es verdadera o falsa y
justifique su respuesta:
a. b. c.
d. e. f.
g. h. i.
j. k. l.
2. De nuevo sea
A
B
C
x
y
z
D
w
10 Conjuntos
Para cada una de las afirmaciones siguientes determine si es verdadera o falsa y
justifique su respuesta:
a. posee exactamente tres elementos que son , y .
b. posee exactamente cuatro elementos que son , , y .
c. posee exactamente dos elementos que son y .
d. posee exactamente tres elementos que son , y
e. posee un único elemento que es .
f. posee un único elemento que es .
3. Sea
(Analice cuidadosamente este pequeño conjunto porque tiene una estructura
complicada.) Para cada una de las afirmaciones siguientes, responda si es
verdadera o falsa y justifique su respuesta:
a. b. c.
d. e. f.
g. h. i.
4. De nuevo sea
Para cada una de las afirmaciones siguientes, responda si es verdadera o falsa y
justifique su respuesta:
a. tiene en realidad un único elemento que es 1.
b. tiene en realidad exactamente dos elementos distintos que son y .
c. tiene en realidad exactamente tres elementos distintos que son , y
.
d. tiene en realidad exactamente tres elementos distintos que son , y
e. tiene exactamente cuatro elementos distintos que son , , y
.
11 1. El concepto de conjunto
f. A tiene exactamente cuatro elementos distintos que son , , y
.
John Venn (1834 — 1923) Lógico y matemático
conocido ante todo por los diagramas que
llevan su nombre. Nació y creció en el
seno de una familia británica con sólida
tradición cristiana evangélica. Realizó su
educación secundaria primero en Sir Roger
Cholmley’s School in Highgate y luego en
Islington Preparatory School. En cuanto a
su educación superior, en 1853 ingresó al
Gonville and Caius College Cambridge.
No fue muy buena la primera impresión
que causó ya que no parecía estar
familiarizado con ningún libro en
particular. No obstante, en el segundo año
obtuvo una beca en matemáticas. Se
graduó en 1857 destacándose como uno de
los mejores estudiantes en matemáticas. En
1859, continuando con la tradición
familiar, se ordenó sacerdote. Al parecer,
por esta época, comenzó a interesarse en la filosofía, especialmente en la lógica y la
metafísica. Entre otros autores, se familiarizó con las obras de Boole y De Morgan. En 1862,
retornó a Cambridge University, esta vez como catedrático en ciencias de la moral.
Paralelamente estudió y enseñó lógica y teoría de la probabilidad.
Venn contribuyó a la ampliación de las fronteras de la lógica matemática creada por Boole.
En 1866 escribió Logic of Chance, obra de la cual Keynes destacó tanto su originalidad como
su influencia en el desarrollo de la teoría de la estadística. En 1881 escribió Symbolic Logic
también destacado por Keynes como “probablemente su trabajo más duradero en lógica”. En
1889 publicó The Principles of Empirical Logic.
En 1883 Venn fue elegido miembro de la Royal Society. Ese mismo año Cambridge le otorgó
el título de Sc. D. (Scientiae Doctor). Entonces ocurre un giro tan inesperado como
sorprendente en la vida de Venn. En el mismo 1883, deja el sacerdocio. Sus intereses
cambian radicalmente y se dedica, hasta el momento de su muerte, a la historia. Escribe
varias obras relacionadas con la historia de Cambridge University y de su propia familia.
Algunas de ellas representan un descomunal esfuerzo de cuidadosa y metódica investigación. Hacia 1913, con la ayuda de su hijo John Archibald, Venn se embarcó en la gigantesca empresa de
escribir Alumni Cantabrigienses, trabajo en el que compiló una reseña biográfica de todos y cada uno
de los estudiantes, graduados y empleados administrativos de Cambridge University desde el comienzo
de la institución hasta el año 1900. El primer tomo contenía 76 000 nombres correspondientes al
John Venn
12 Conjuntos
periodo hasta 1751. El segundo tomo, en calidad de manuscrito a la muerte de Venn, correspondiente
al periodo 1752–1900, contenía más de 60 000 nombres.
Se cuenta que Venn poseía, entre otras, una rara habilidad para construir máquinas. En cierta ocasión
construyó una para lanzar bolas de cricket. En 1909, la selección de cricket de Australia visitó
Cambridge y la máquina de Venn fue puesta a prueba contra uno de los bateadores estrella del equipo
australiano. La máquina resultó ser formidable hasta el punto de eliminar limpiamente al bateador
australiano cuatro veces.
El símbolo del conjunto vacío Aunque oficialmente hay dos símbolos para representar el conjunto vacío, la verdad es que el
uso de uno de ellos es prácticamente universal y por eso nos referimos a él como el símbolo
del conjunto vacío. Se trata de la letra . ¿Letra? En efecto, es una letra de los alfabetos de
lenguas de países del norte de Europa como Noruega y Dinamarca.
El símbolo del conjunto vacío
en el campeonato mundial
de fútbol de Sudáfrica 2010
El primer uso registrado de este símbolo para representar el conjunto vacío data de 1939 en
una pequeña obra sobre teoría de conjuntos publicada por el seminario Bourbaki en Francia.
Uno de sus integrantes, el famoso matemático André Weil (1906 – 1998), afirma en su
autobiografía haber sido él precisamente quien sugirió al seminario la adopción del símbolo.
Ortografía matemática: El símbolo del conjunto vacío
Observe con atención el símbolo del conjunto vacío:
Note que tiene la forma de una pequeña elipse cruzada por una barra diagonal sin
adornos. No debe confundirse con el símbolo
Correcto
13 1. El concepto de conjunto
Incorrectos
el cual es en realidad la letra griega fi mayúscula. Por supuesto, tampoco debe
confundirse con ninguno de los dos símbolos
que son dos variantes de la letra griega fi minúscula. Mucho menos con
que es la letra griega psi en sus versiones minúscula y mayúscula, respectivamente. Por
último, aunque no ocurre con frecuencia, algunos creen que el símbolo del conjunto
vacío es
que en realidad es la letra griega omega mayúscula.
Incorrectos
Incorrecto
Incorrecto
14 Conjuntos
2. Inclusión
2.1. Inclusión
Definición Se dice que es subconjunto de , y se escribe
si cada elemento de es elemento de . El símbolo
significa que no es subconjunto de .
es subconjunto de
La relación entre conjuntos simbolizada por se llama la relación de inclusión (o de
contenencia). El símbolo se denomina el símbolo de inclusión (o de contenencia).
En lugar de la expresión “ es subconjunto de ” se usan también las siguientes:
está incluido en
está contenido en
16 Conjuntos
es una parte de
Además, el símbolo
significa lo mismo que , en cuyo caso se usan las expresiones siguientes:
es superconjunto de
incluye a
contiene a
Podemos expresar la definición de la relación de inclusión y su negación mediante el
lenguaje simbolizado de la lógica:
Los dos enunciados cuantificados involucrados son traducciones “literales” de las
respectivas definiciones originales en lenguaje natural. En ocasiones resulta más
apropiado expresar estas mismas traducciones en forma menos “literal”:
Ortografía matemática: El símbolo de la inclusión
Observe con atención el símbolo de la inclusión:
Note que tiene la forma de una pequeña herradura, abierta hacia la derecha, con una
rayita horizontal en su parte inferior. La herradura no es una letra “c” (como creen
algunos que piensan que proviene de la inicial de la palabra “contenido”), ni minúscula
ni mayúscula:
c C
Incorrectos
Correcto
17 2. Inclusión
Sean
Entonces puesto que cada elemento de es elemento de :
En cambio, porque hay elementos en que no están en . Por ejemplo,
pero . □
¡Cuidado! Algunos autores prefieren usar el símbolo en lugar de para
representar la relación de inclusión. En el presente documento
usaremos el símbolo para representar otro concepto (la inclusión
propia) que estudiaremos un poco más adelante. Mi preferencia por el
símbolo para la inclusión se basa en que, en un contexto apropiado,
tanto como son símbolos que representan relaciones de orden débil y, por su parte,
tanto como son símbolos que representan las respectivas relaciones de orden
fuerte. Me gusta la analogía tanto en el significado como en la forma de estos símbolos.
Este desacuerdo en asuntos de notación es un ejemplo de algo que desafortunadamente
ocurre con alguna frecuencia en matemáticas. No debería pasar algo así pero el hecho es
que pasa y, en consecuencia, no nos queda otro camino que convivir con ello. Cuando
usted consulte otras fuentes sobre el tema de los conjuntos deberá tener la precaución de
indagar, en el momento oportuno, sobre las preferencias del autor en materia de
conceptos, notaciones, etc.
2.2. Propiedades básicas de la inclusión Vamos a discutir ahora algunas propiedades básicas importantes de la relación de
inclusión. La primera de ellas establece un hecho sorprendente: El conjunto vacío es
subconjunto de cada conjunto:
Teorema (Propiedad minimal del conjunto vacío)
Ejemplo
18 Conjuntos
Demostración Supongamos que para algún se tiene . Entonces existe
tal que . Pero esto es absurdo puesto que no posee elementos. □
Teorema (Propiedad reflexiva de la inclusión)
Demostración Cada elemento de es elemento de . □
Teorema (Propiedad transitiva de la inclusión)
Si y entonces
Demostración Supongamos que y . Sea . Como entonces
y como entonces . Esto muestra que cada elemento de es
elemento de . Por tanto, . □
Teorema (Caracterización de la igualdad en términos de la inclusión)
si y solo si y
Demostración ( ) Supongamos . Entonces posee exactamente los mismos
elementos que . En particular, cada elemento de es elemento de , esto es, .
Por la misma razón, cada elemento de es elemento de , esto es, . Tenemos
por consiguiente y .
( ) Supongamos y . Entonces cada elemento de es elemento de y
cada elemento de es elemento de . Por tanto, posee exactamente los mismos
elementos que , esto es, . □
2.3. Inclusión propia
Definición Se dice que es subconjunto propio de , y se escribe
o también
si se cumple que
19 2. Inclusión
y
El símbolo
significa que no es subconjunto propio de .
Entonces, en el lenguaje simbolizado de la lógica, tenemos
porque y
porque
porque
□
2.4. Pertenencia e inclusión El teorema siguiente formula una caracterización de la relación de pertenencia en
términos de la relación de inclusión:
Teorema (Caracterización de la pertenencia en términos de la inclusión)
si y solo si
Demostración ( ) Supongamos . Sea . Dado que el único elemento que
posee es entonces . Ahora bien, por hipótesis, . En consecuencia,
. Esto prueba que .
( ) Supongamos . Entonces cada elemento de es elemento de . Pero
es elemento de . Por consiguiente, . □
Ejemplo
20 Conjuntos
Algunos resumen la implicación de izquierda a derecha en el teorema anterior
diciendo: “Si en una relación de pertenencia encerramos el elemento entre llaves, la
relación se convierte en inclusión”.
Como entonces . □
2.5. Conjuntos universales En cada tema de discusión en matemáticas normalmente hay un cierto conjunto
denominado conjunto universal o conjunto referencial de la discusión. (Algunos lo
llaman también el universo de la discusión.) Este conjunto tiene la propiedad de que
muchos de los conjuntos que se mencionan en la discusión, si no se dice otra cosa, se
entienden como subconjuntos de él.
Supongamos que nuestro tema de discusión es “números naturales”. Como conjunto
universal tomemos, precisamente, el conjunto de todos los números naturales.
(Generalmente, esto es lo que ocurre. Hay un conjunto que espontáneamente todos
coincidimos en tomar como el conjunto universal “obvio”.) Supongamos que
mencionamos un conjunto, como por ejemplo,
Este conjunto puede entenderse como subconjunto del conjunto de todos los números
naturales pero también puede entenderse como subconjunto de todos los números
enteros, o racionales, o reales, etc. Incluso puede entenderse como subconjunto del
conjunto de los totales, año por año, de alumnos que reprobaron Matemáticas
Generales en los últimos diez años en la Universidad de la Vida. Sin embargo, como
ya hemos seleccionado un conjunto universal, a saber el conjunto de todos los
números naturales, entonces solamente entendemos el conjunto
como subconjunto del conjunto de todos los números
naturales. □
Una de las ventajas de disponer de un conjunto universal de la discusión es
simplificar la descripción de muchos conjuntos. Así, en el caso del Ejemplo anterior,
si no hubiésemos seleccionado un conjunto universal de la discusión entonces el
conjunto tendría que describirse en forma más explícita:
Ejemplo
Ejemplo
21 2. Inclusión
puesto que, de otro modo, no sabríamos si la variable está representando números
naturales, o enteros, o racionales, o reales, o totales de alumnos reprobados en
Matemáticas Generales, etc.
Es frecuente simbolizar el conjunto universal mediante la letra (algunos usan la
letra griega ) y representarlo gráficamente, en los diagramas de Venn, mediante una
región rectangular:
El conjunto universal y algunos de sus subconjuntos
2.6. Ejercicios
Respuestas 1. Sea
Para cada una de las afirmaciones siguientes determine si es verdadera o falsa:
a. b. c. d.
e. f. g. h.
i. j. k. l.
m. n. o. p.
q.
2. Sea
22 Conjuntos
Para cada una de las afirmaciones siguientes determine si es verdadera o falsa:
a. b. c. d.
e. f. g.
h.
Aunque usted no lo crea
El concepto matemático de conjunto parece inocente pero en ocasiones puede
burlarse de nuestra intuición. Por ejemplo: ¿Es posible que un elemento de un
conjunto sea, al mismo tiempo, un subconjunto del mismo conjunto? La intuición de
muchas personas les dice que no es posible. Pero examinemos el conjunto
Observamos que este conjunto posee exactamente dos elementos:
En particular, el conjunto unitario es un elemento de . Pero, al mismo tiempo, es también un subconjunto de puesto que ¡ !
El mismo conjunto ilustra otro hecho que a primera vista podría parecer
improbable: ¿Un elemento, de un elemento, de un conjunto puede ser, al mismo
tiempo, elemento de dicho conjunto? (Asegúrese de que leyó correctamente.
Principalmente, note que la pregunta comienza diciendo: “¿Un elemento, de un
elemento, ...”) La respuesta es “sí”. En efecto, en el conjunto ocurre que
es un elemento del conjunto unitario que, a su vez, es otro elemento de . (Esto
es, es un elemento, de un elemento, del conjunto .) Y es, al mismo tiempo, ¡un
elemento del mismo !
3. Colecciones
3.1. Colecciones
Definición Un conjunto se llama una colección si todos sus elementos son
conjuntos. Letras como A ,B ,C, … representarán colecciones.
El conjunto
es una colección. Ella posee exactamente tres elementos:
Es importante observar que
□
Un momento. Usted logró confundirme. Entonces, ¿cómo
reconozco los elementos de una colección?
Observemos nuevamente la colección
Los elementos de A se reconocen porque son los que están
separados por las comas “más externas”. Volvamos a observar la
colección A, esta vez un poco más grande:
Ejemplo
24 Conjuntos
Las dos comas en color rojo son las “más externas”. Ellas están separando los tres
elementos de A :
Los números 1, 2 y 3 no son, en este caso, elementos de A. Lo único que podemos decir
es que ellos son ¡elementos de elementos! de A.
Tengo otra inquietud: Pienso que la colección es lo
mismo que la colección porque el conjunto vacío es
vacío, o sea que donde está el conjunto vacío es como si no hubiera
nada. ¿Estoy mal?
Estás mal. No debes olvidar que el conjunto vacío no es lo mismo
que “nada”. En realidad es “algo” que, por definición, no posee
elementos. Aquí de nuevo puede ser útil la analogía de pensar en
los conjuntos como cajas que contienen sus propios elementos. Así,
pensamos en la colección como en una caja que contiene tres cajas, una de
las cuales está vacía. En cambio, pensamos en la colección como en una caja
que contiene dos cajas ninguna de las cuales está vacía. En la caja hay
“algo” (¡la caja vacía!) que no está en la caja . Por eso las dos colecciones son
diferentes:
El conjunto
es otra colección. Ella posee exactamente cuatro elementos:
□
El conjunto
Ejemplo
Ejemplo
25 3. Colecciones
es una colección muy particular. En primer lugar, se trata de una colección unitaria
puesto que posee un único elemento, a saber el conjunto :
Por consiguiente, es una colección ¡no vacía!:
□
¿ Me está costando entender este asunto. Yo hubiera
jurado que es lo mismo que . . .
Es porque sigues pensando en el conjunto vacío como en “nada”.
Una vez más la analogía de conjuntos con cajas te puede ayudar.
Piensa en como en una caja que solo contiene en su interior
otra caja y esta última está vacía. Entonces no es una caja
vacía puesto que tiene “algo” adentro: ¡una caja vacía!
Conjuntos como
no son colecciones dado que contienen elementos que no son conjuntos como, por
ejemplo, en el conjunto y en el conjunto . □
Ejemplo
26 Conjuntos
4. Conjuntos de partes
4.1. Conjuntos de partes
Definición Se define el conjunto de partes de , notado
como la colección de todos los subconjuntos de . También se llama el conjunto
potencia de y se nota
El nombre “conjunto potencia” y el símbolo “ ” pueden parecer extraños para el
concepto en cuestión. Pronto veremos que hay algo de razonable en ellos.
Una definición por comprensión del conjunto de partes de es:
Sea donde los elementos , y son todos distintos entre sí. Vamos a
calcular el conjunto . [El término “calcular” significa aquí “encontrar todos los elementos de y, si es posible, definir a por extensión”.] Se trata entonces de hacer un listado completo de todos los elementos del conjunto o,
en forma equivalente, de todos los subconjuntos del conjunto . Con el fin realizar
esta tarea en una forma ordenada, comenzaremos por los subconjuntos más sencillos
e iremos avanzando hacia los más complejos. Concretamente, como criterio de
ordenamiento, tomaremos el “tamaño” (el número de elementos) de los subconjuntos:
iremos desde los más “pequeños” hacia los más “grandes”:
El conjunto vacío. El conjunto es un subconjunto de . (Ya sabemos que el
conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos.)
Subconjuntos de un elemento (es decir, subconjuntos unitarios). Tenemos
exactamente tres:
Ejemplo
28 Conjuntos
Subconjuntos de dos elementos (es decir, parejas de elementos distintos).
También encontramos exactamente tres:
Subconjuntos de tres elementos (es decir, ternas de tres elementos distintos). Hay
exactamente uno:
Es obvio que no hay subconjuntos de cuatro elementos, ni de cinco, etc., de modo que
hemos hecho una lista completa de todos los subconjuntos de . En consecuencia ya
podemos definir por extensión el conjunto de partes de :
Esta colección posee exactamente elementos o, en forma equivalente, elementos.
Es posible demostrar la siguiente afirmación de carácter general:
Si posee elementos entonces posee elementos
Este puede ser el origen del nombre alternativo “conjunto potencia” para el conjunto
de partes de y del símbolo “ ” para representarlo. □
Note que, por propiedades básicas de la inclusión, y también . Esto
significa que para todo conjunto , se tiene que y también . Dicho de otro modo, en cada conjunto de partes siempre tendremos dos elementos
notables: el conjunto vacío y el conjunto original, los cuales, de paso, son,
respectivamente, los subconjuntos “más pequeño” y “más grande” de .
4.2. Ejercicios Respuestas
1. Sea
Para cada uno de los literales siguientes, encuentre lo que se pide o responda la
pregunta respectiva. Explique sus respuestas a las preguntas de modo que todo
quede bien claro.
a. Calcule , esto es el conjunto de partes, del conjunto de partes, del
conjunto .
b. ¿Cuántos elementos tiene ?
c. ¿Es cierto que ?
29 4. Conjuntos de partes
d. ¿Es cierto que ?
30 Conjuntos
5. Unión
Una práctica rutinaria en matemáticas es, una vez definida una totalidad de objetos
matemáticos, definir operaciones con ellos. Por ejemplo, una operación binaria en
una totalidad de objetos matemáticos es una regla o correspondencia o asociación
que a cada par de objetos y de la totalidad le hace corresponder un único tercer
objeto de la misma totalidad. Así, por ejemplo, en la totalidad de los números
naturales, la operación suma, representada por el símbolo , es una operación binaria
puesto que ella hace corresponder a cada par de números naturales y un único
número natural denominado la suma de y . Las operaciones binarias se
llaman así porque en cada caso son dos objetos los que se operan para obtener el
tercero. De manera similar se describen las operaciones ternarias, cuaternarias y, en
general, –arias. Un caso especial son las operaciones unarias, las cuales solo operan
sobre un objeto para obtener un único segundo objeto.
Las operaciones entre objetos matemáticos son de gran importancia. Cuando
comenzamos a estudiar una totalidad de objetos matemáticos, rápidamente notamos la
conveniencia de poder manipular, de diversas formas, grupos de ellos para obtener
otros. Las operaciones ponen tales formas de manipulación en un contexto preciso,
mediante definiciones y simbologías apropiadas. De este modo, podemos explorar
confiable y seguramente muchas propiedades de dichos objetos.
En relación con los conjuntos, discutiremos, en este y en los siguientes capítulos, seis
operaciones básicas, cinco de las cuales son binarias (unión, intersección, diferencia,
diferencia simétrica y producto cartesiano) y solo una es unaria (complementación).
5.1. Unión
Definición Se define la unión de y como el conjunto de todos aquellos
elementos que pertenecen a al menos uno de los dos conjuntos y . Se nota
Entonces, por comprensión,
32 Conjuntos
En otras palabras, tenemos que, dado cualquiera, la equivalencia
es verdadera y, en consecuencia, las implicaciones
son también ambas verdaderas.
El siguiente diagrama de Venn muestra dos conjuntos y :
Vamos “calcular” gráficamente . Primero, coloreamos la región que representa
al conjunto . (En la figura siguiente he utilizado una tonalidad en amarillo para tal
efecto.)
33 5. Unión
Ahora, coloreamos la respectiva región que representa al conjunto :
La región coloreada total representa entonces al conjunto . De este modo, el
diagrama de Venn para es
Ortografía matemática: El símbolo de la unión
Observe con atención el símbolo de la unión:
Note que tiene la forma de una herradura, abierta hacia arriba, sin adornos. No se trata de
la letra “u” (como creen algunos que piensan que proviene de la inicial de la palabra
“unión”), ni minúscula ni mayúscula,
u U
Correcto
Incorrectos
34 Conjuntos
Sean
El cálculo de es un procedimiento muy sencillo: Abrir un par de llaves, dentro
de estas llaves escribir todos los elementos de separados por comas, a continuación
escribir todos los elementos de también separados por comas y, por último,
simplificar las repeticiones que se presenten de elementos en el conjunto resultante:
Entonces
□
La operación unión tiene varias propiedades básicas muy importantes que
discutiremos mediante los teoremas siguientes.
5.2. Propiedades básicas de la unión
Teorema (Ley conmutativa de la unión)
Demostración Como método de demostración usaremos la caracterización de la
igualdad en términos de la inclusión. Esta caracterización se puede resumir como
“dos conjuntos son iguales si y solo si cada uno de ellos es subconjunto del otro”. En
consecuencia, probaremos las dos inclusiones
con lo cual quedará probada la igualdad . Para probar la inclusión
aplicaremos la definición de inclusión. Tomaremos, por tanto, un
elemento arbitrario en el conjunto y probaremos que dicho elemento está
en el conjunto .
Ejemplo
35 5. Unión
Sea
Entonces, por la definición de unión,
Ahora bien, por la ley conmutativa de la disyunción inclusiva,
Finalmente, de nuevo por la definición de unión,
Así, queda probada la inclusión . Análogamente se prueba la inclusión
. □
Teorema (Ley asociativa de la unión)
Antes de proceder a demostrar formalmente este teorema, haremos una
“demostración” gráfica del mismo. En el diagrama siguiente tenemos tres conjuntos
, y :
Primero coloreamos la región que representa a :
36 Conjuntos
Enseguida agregamos el coloreado de la región que representa a . De este modo,
obtenemos coloreada la totalidad de la región que representa a :
Ahora, regresamos al diagrama original y reiniciamos el proceso de coloreado,
comenzando esta vez con la región que representa a :
37 5. Unión
Enseguida agregamos el coloreado de la región que representa a . Obtenemos
entonces, coloreada en su totalidad, la región que representa a :
Ambas regiones, la que representa a y la que representa a ,
son exactamente la misma.
Veamos ahora la demostración del teorema.
38 Conjuntos
Demostración Usaremos nuevamente la caracterización de la igualdad en términos de
la inclusión, de modo que procederemos, como en la demostración del teorema
anterior, a probar las dos inclusiones
Sea
Entonces, por la definición de unión,
y, nuevamente por la misma definición,
Aplicando ahora la ley asociativa de la disyunción inclusiva, obtenemos
De nuevo, por la definición de unión:
y una vez más por la definición de unión:
De este modo, hasta aquí hemos demostrado la inclusión . La segunda inclusión, se demuestra en forma
similar. □
Seamos claros: Me gustó más la “demostración” con diagramas de
Venn. Esa otra demostración me pareció enredada. ¿No puedo
hacer siempre las demostraciones con dibujitos?
Pongámonos de acuerdo. La “demostración” con diagramas de
Venn no es realmente una demostración por dos motivos.
Primero, porque ese no es el formato adoptado por la comunidad
de matemáticos para las demostraciones matemáticas. Tal formato
consiste en una cadena de afirmaciones verdaderas cada una de las
cuales resulta de aplicar una definición o una regla de inferencia o
un teorema ya demostrado, etc., de tal manera que la última afirmación de la cadena es,
precisamente, aquella que se pretende demostrar. Por el momento, este es el único formato
aceptado y es al que tendrás que acostumbrarte si deseas comunicarte con otros
matemáticos. Segundo, porque la “demostración”, por diagramas de Venn, de la ley
a
39 5. Unión
asociativa de la unión, aunque quisiéramos aceptarla en contra del resto del mundo
matemático, tiene el inconveniente de que se trataría de una demostración, mediante un
caso particular, de un enunciado cuantificado universalmente. En efecto, los matemáticos
sabiamente acostumbran a omitir los cuantificadores universales con el fin de simplificar.
Así el enunciado
es realmente una abreviatura del enunciado triplemente cuantificado
En consecuencia, este tipo de enunciados no pueden ser demostrados mediante casos
particulares. Y, si observas con cuidado, notarás que el diagrama de Venn con el que se
inicia la “demostración” corresponde precisamente a un caso particular puesto que solo se
refiere a los tres conjuntos particulares dibujados. Existen infinitas ternas de conjuntos que
no son consideradas en la “demostración”.
A ver si entendí bien. Me queda claro lo de los diagramas. Pero
¿está usted diciendo que para demostrar una identidad como, por
ejemplo, , no puedo reemplazar y por dos
conjunticos como, por ejemplo, y , calcular
= y = , verificar que y ya? Porque yo estaba convencidísimo de que así estaba bien.
No puedes. Si eso se pudiera hacer, las matemáticas serían muy
distintas de como son en realidad. Por ejemplo, la identidad
sería verdadera puesto que reemplazando y obtendrías que . Pero sabemos que dicha identidad es falsa porque existen contraejemplos. Por
ejemplo, si reemplazas y obtienes . De modo que
no te queda otra alternativa. Si quieres demostrar una afirmación cuantificada
universalmente, no puedes hacerlo mediante un caso particular. Tienes que elaborar tu
demostración en forma completamente general.
Teorema (Ley modulativa de la unión)
Demostración La igualdad se tiene por la ley conmutativa de la unión.
Luego, será suficiente probar que . Sea
40 Conjuntos
Por definición de unión,
Pero, dado que no posee elementos,
Entonces, por modus tollendo ponens,
Esto prueba la inclusión
Ahora sea
Por la ley de adición,
y, por la definición de unión,
Queda así demostrada la segunda inclusión
y, en consecuencia, hemos demostrado la igualdad
□
Teorema (Ley de absorción de la unión)
Demostración La igualdad se tiene por la ley conmutativa de la
unión. Luego será suficiente demostrar que . Sea
Por definición de unión,
41 5. Unión
Ahora bien, la implicación
es verdadera por ser una tautología. Por otra parte, dado que es el conjunto
universal, se tiene que . Entonces, por definición de inclusión, la implicación
también es verdadera. Por consiguiente, en virtud del dilema constructivo,
de donde, por simplificación trivial,
Esto prueba la inclusión
Ahora sea
Entonces, por la ley de adición,
y, por la definición de unión,
Queda así demostrada la inclusión
Por consiguiente,
□
Teorema (Ley de idempotencia de la unión)
Demostración Sea
Por definición de unión,
42 Conjuntos
y, por simplificación trivial,
Luego,
Ahora, sea
Entonces, por la ley de redundancia,
y, por la definición de unión,
Por tanto,
De este modo, hemos probado que
□
5.3. Otras propiedades de la unión
Además de las básicas, discutidas en la sección anterior, hay muchas otras
propiedades interesantes y útiles de la unión. Los teoremas siguientes ilustran este
aspecto.
Teorema
Si entonces
Demostración Supongamos
Sea
43 5. Unión
Entonces, por definición de unión,
Ahora bien, puesto que hemos supuesto , la implicación
es verdadera. Además, la implicación
también es verdadera por ser una tautología. Luego, por dilema constructivo,
y, por simplificación trivial,
Esto prueba la inclusión
Ahora, sea
Entonces, por ley de adición,
Así, por definición de unión,
Se tiene por tanto la inclusión
En consecuencia,
con lo cual queda demostrada la implicación enunciada. □
44 Conjuntos
Teorema
Si y entonces
Demostración Supongamos
Sea
Entonces, por definición de unión,
Ahora bien, dado que ,
y, dado que ,
Luego, por dilema constructivo,
de modo que, por definición de unión,
Esto prueba la inclusión
Así queda demostrada la implicación propuesta. □
Teorema
Demostración Sea
45 5. Unión
Entonces, por ley de adición,
y, por definición de unión,
Esto demuestra que todo elemento de es elemento de . En otras palabras,
□
Teorema
Demostración Sea
Entonces, por definición de unión
y, por definición de conjunto de partes,
Supongamos que . Como, por el teorema anterior, entonces
tenemos
y
Luego, por la propiedad transitiva de la inclusión,
y, por la definición de conjunto de partes,
Por tanto, tenemos que la implicación
es verdadera.
46 Conjuntos
Análogamente tenemos que la implicación
es verdadera. En consecuencia, por dilema constructivo,
y, por simplificación trivial,
De este modo, hemos demostrado que todo elemento de es elemento
de . En otras palabras, hemos demostrado que
□
5.4. Uniones generalizadas
Definición Sean , , , , conjuntos. Se define la unión de los conjuntos
, , , , como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen a
al menos uno de los conjuntos , , , , . Hay dos símbolos para
representar esta unión. Uno que llamaremos expandido:
y otro que llamaremos compacto:
Ambos símbolos se utilizan dependiendo de las circunstancias. Si se desea abreviar
las notaciones, naturalmente el símbolo compacto resulta apropiado. Pero, en
ocasiones, el símbolo compacto “esconde” aspectos que queremos apreciar
explícitamente. En tal caso, el símbolo expandido se adapta mejor a este último
propósito.
El tipo de unión descrita en la Definición anterior se llama generalizada.
Evidentemente, se trata de una generalización de la unión binaria ya que se reduce a
esta última cuando .
También, hay dos maneras de definir la unión generalizada por comprensión. Una en
que se usa el conectivo “generalizado” de la disyunción inclusiva:
47 5. Unión
y otra en que se usa el cuantificador existencial:
En el diagrama siguiente tenemos cuatro conjuntos , , y :
y en el siguiente tenemos la unión generalizada respectiva:
48 Conjuntos
Sean
Entonces
□
Sean
Entonces
□
Un caso especial importante de unión generalizada es la representada por el símbolo
que evidentemente no significa otra cosa sino :
Ejemplo
Ejemplo
49 5. Unión
5.5. Ejercicios
Respuestas
1. Sean
Calcule
2. Demuestre las siguientes afirmaciones:
a.
b. Si entonces
c. Si entonces
d. Si entonces
e. Si y entonces
f. si y solo si y
g. si y sólo si
3. Demuestre que la identidad
es falsa. Esto es, encuentre un contraejemplo (en este caso un par de conjuntos
particulares y que no satisfagan la identidad). Para su información, hay
contraejemplos muy “pequeños” que usted puede encontrar rápidamente.
4. Considere la identidad
Si es verdadera, demuéstrela. Si es falsa, exhiba un contraejemplo.
50 Conjuntos
6. Intersección
6.1. Intersección
Definición Se define la intersección de y como el conjunto de todos aquellos
elementos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos y . Se nota
Entonces, por comprensión,
En otras palabras, tenemos que, dado cualquiera, la equivalencia
es verdadera y, en consecuencia, las implicaciones
son también ambas verdaderas.
Consideremos ahora el siguiente diagrama de Venn en el que se muestran dos
conjuntos y :
52 Conjuntos
Vamos a “calcular” gráficamente . Primero coloreamos la región que representa
a .
Ahora coloreamos la región que representa a . (La idea aquí es colorear esta
segunda región usando un color distinto del anterior).
53 6. Intersección
Aquella región en donde se superponen ambos colores (coloreada en un tono de
amarillo en el diagrama anterior) es, precisamente, la región que representa a .
Así, el diagrama de Venn para es entonces
Ortografía matemática: El símbolo de la intersección
Observe con atención el símbolo de la intersección:
Note que tiene la forma de una herradura, abierta hacia abajo, sin adornos. No se trata de
la letra “n” minúscula:
n
Sean
El siguiente es un procedimiento para efectuar el cálculo de :
Seleccionar el conjunto más pequeño. En este caso es .
Abrir un par de llaves.
Recorrer uno por uno los elementos de y verificar, para cada uno de ellos, si
pertenece o no a .
Escribir dentro de las llaves, separados por comas, aquellos elementos que, en el
paso anterior, pertenezcan a .
Correcto
Incorrecto
Ejemplo
54 Conjuntos
El procedimiento termina cuando termine el recorrido por los elementos de .
Simplificar, si es necesario, las repeticiones en el conjunto resultante.
El conjunto simplificado es .
Aplicando este procedimiento a los dos conjuntos dados, obtenemos
□
6.2. Propiedades básicas de la intersección La operación intersección tiene también varias propiedades básicas importantes.
Algunos de los enunciados como las respectivas demostraciones son muy parecidos a
los correspondientes en el caso de la unión.
Teorema (Ley conmutativa de la intersección)
Demostración Similar a la del Teorema que establece la ley conmutativa de la unión.
□
Teorema (Ley asociativa de la intersección)
Demostración Similar a la del Teorema que establece la ley asociativa de la unión.
□
Veamos una “prueba” gráfica del teorema anterior. En el diagrama siguiente
observamos tres conjuntos , y :
55 6. Intersección
Comenzamos coloreando la región que representa a :
Enseguida coloreamos la región que representa a :
56 Conjuntos
Ahora, reiniciamos el proceso de coloreado comenzando esta vez con :
Finalmente coloreamos la región que representa a :
57 6. Intersección
Ambas regiones, la que representa a y la que representa a ,
son exactamente la misma.
Teorema (Ley modulativa de la intersección)
Demostración La igualdad se cumple por la ley conmutativa de la
intersección. Luego, será suficiente demostrar que . Sea
Por definición de intersección,
y, por ley de simplificación,
Esto prueba la primera inclusión:
Ahora, sea
Dado que, por definición del conjunto universal, entonces
58 Conjuntos
Ahora bien, por la ley de la conjunción,
de donde, por la definición de intersección,
Esto prueba la inclusión
y, de este modo, hemos probado
□
Teorema (Ley de absorción de la intersección)
Demostración La igualdad se tiene por la ley conmutativa de la
intersección. Luego será suficiente demostrar que . Sea
Por definición de intersección,
y, por ley de simplificación,
Esto prueba la inclusión
La segunda inclusión,
es una consecuencia inmediata del hecho de que el conjunto vacío es subconjunto de
todo conjunto. Por consiguiente, hemos demostrado
□
59 6. Intersección
Teorema (Ley de idempotencia de la intersección)
Demostración Similar a la del Teorema que establece la ley de idempotencia para la
unión. □
6.3. Dos leyes distributivas Los dos teoremas siguientes formulan identidades que relacionan entre sí las
operaciones de unión e intersección.
Teorema (Ley distributiva de la unión con respecto a la intersección)
Haremos primero una “demostración” gráfica de este teorema. En el diagrama
siguiente tenemos tres conjuntos , y :
Primero coloreamos la región que representa a :
60 Conjuntos
A continuación agregamos el coloreado de la región que representa a . De este
modo obtenemos el coloreado de la región que representa a :
Ahora, vamos a colorear la región que representa a . Para ello,
comenzamos coloreando la región que representa a :
61 6. Intersección
Coloreamos también (por separado y con otro color) la región que representa a :
Finalmente coloreamos simultáneamente las dos últimas regiones. La región en la que
se superponen los dos colores (coloreada en amarillo en el siguiente diagrama), es
entonces la que representa a :
62 Conjuntos
Esta es exactamente la misma región que representa a .
Pasemos ahora a la demostración del teorema en consideración.
Demostración Sea
Por definición de unión,
y, por definición de intersección,
Ahora, aplicando la ley distributiva de la disyunción inclusiva con respecto a la
conjunción,
Enseguida aplicamos la definición de unión,
y, a continuación, la de intersección,
Esto prueba la inclusión
63 6. Intersección
Mediante el mismo razonamiento “en reversa” se prueba la inclusión
con lo cual queda probada la identidad
□
Teorema (Ley distributiva de la intersección con respecto a la unión)
Demostración Similar a la del Teorema anterior. □
Debido a los dos últimos teoremas, se dice que las operaciones de unión e
intersección son mutuamente distributivas.
6.4. Intersecciones generalizadas
Definición Sean , , , , conjuntos. Se define la intersección de los
conjuntos , , , , como el conjunto de todos aquellos elementos que
pertenecen simultáneamente a todos los conjuntos , , , , . Hay dos
símbolos para representar esta intersección. Uno que llamaremos expandido:
y otro que llamaremos compacto:
Ambos símbolos se utilizan dependiendo de las circunstancias. Si se desea abreviar
las notaciones, naturalmente el símbolo compacto es el más apropiado. Pero, en
ocasiones, el símbolo compacto “esconde” aspectos que queremos apreciar
explícitamente. En tal caso, el símbolo expandido es preferible.
El tipo de intersección descrita en la definición anterior se llama generalizada.
Evidentemente, se trata de una generalización de la intersección binaria ya que se
reduce a esta última cuando .
También, hay dos maneras de definir la intersección generalizada por comprensión.
Una en que se usa el conectivo “generalizado” de la conjunción:
64 Conjuntos
y otra en que se usa el cuantificador universal:
En el diagrama siguiente tenemos cuatro conjuntos , , y :
y en el siguiente tenemos coloreada en amarillo la región que representa la
intersección generalizada respectiva:
65 6. Intersección
Así, el siguiente es el diagrama de Venn de dicha intersección generalizada:
Sean
Entonces
□
Ejemplo
66 Conjuntos
Sean
Entonces
□
Un caso especial importante de intersección generalizada es la representada por el
símbolo
que evidentemente no significa otra cosa sino :
6.5. Ejercicios
Respuestas
1. Sean
Demuestre que en este caso se tiene
calculando ambos lados de la igualdad por separado y verificando que en efecto
son iguales.
Ejemplo
67 6. Intersección
2. Sean
Calcule
3. Sean
en donde se supone que los objetos , y son todos distintos entre sí.
Compruebe que en este caso se tiene
a. b.
4. Demuestre las siguientes afirmaciones:
a.
b.
c.
d. Si entonces y
e. Si y entonces
f. Si entonces
g. Si y entonces
h. Si entonces
i.
5. Demuestre, mediante un contraejemplo, que la siguiente afirmación es falsa:
Si entonces
6. Demuestre que si , , y son conjuntos cualesquiera entonces
68 Conjuntos
7. Demuestre las siguientes generalizaciones de las leyes distributivas de la unión
con respecto a la intersección y de la intersección con respecto a la unión:
a.
b.
7. Diferencia
7.1. Diferencia
Definición Se define la diferencia entre y como el conjunto de todos aquellos
elementos que pertenecen a pero no pertenecen a . Se nota por cualquiera de
los tres símbolos
Entonces, por comprensión,
En otras palabras, tenemos que, dado cualquiera, la equivalencia
es verdadera y, en consecuencia, las implicaciones
son también ambas verdaderas.
El siguiente diagrama muestra dos conjuntos y :
70 Conjuntos
En el siguiente diagrama se ha coloreado en color amarillo la región que representa la
diferencia entre y :
La curva segmentada indica que los puntos sobre ella no forman parte de la diferencia
entre y (puesto que pertenecen a ). Así, el diagrama de Venn de dicha
diferencia es
Sean
El siguiente es un procedimiento para efectuar el cálculo de :
Abrir un par de llaves.
Recorrer uno por uno los elementos de y verificar, para cada uno de ellos, si
pertenece o no a .
Escribir dentro de las llaves, separados por comas, aquellos elementos que, en el
paso anterior, no pertenezcan a .
El procedimiento termina cuando termine el recorrido por los elementos de .
Simplificar, si es necesario, las repeticiones en el conjunto resultante.
Ejemplo
71 7. Diferencia
El conjunto simplificado es .
En el caso de los conjuntos y dados, obtenemos
□
En comparación con las operaciones unión e intersección, la operación diferencia no
tiene, a primera vista, propiedades interesantes. Ella es el “patito feo” de las
operaciones con conjuntos. (Lo cual no quiere decir que no sea una operación
importante para ciertos propósitos como, por ejemplo, su intervención en la
definición de otras operaciones que sí tienen propiedades interesantes.) Veamos:
La diferencia no satisface la ley conmutativa. Esto significa que la identidad
no es válida.
En efecto, consideremos los dos conjuntos y del siguiente diagrama:
Coloreamos (con colores diferentes) las regiones que representan, respectivamente, a
y a :
72 Conjuntos
Vemos claramente que dichas dos regiones son distintas.
Ahora, para demostrar con más formalidad la afirmación de que la operación
diferencia no satisface la ley conmutativa, bastará un contraejemplo. Sean
Entonces
Así, . □
La diferencia no satisface la ley asociativa. En otras palabras, la identidad
es falsa.
Consideremos, por ejemplo, los tres conjuntos , y representados en el diagrama
siguiente:
Comenzamos por colorear la región que representa a :
73 7. Diferencia
y, a continuación coloreamos la región que representa a :
Ahora, retomamos el diagrama original y comenzamos por colorear la región que
representa a :
74 Conjuntos
Finalmente, coloreamos la región que representa a :
Las regiones que representan a y a son distintas. Con esto
concluimos una “demostración” gráfica de que la identidad es falsa, de modo que ciertamente la operación diferencia no satisface la
ley asociativa.
Por otra parte, como una demostración formal de la afirmación anterior, aquí también
será suficiente exhibir un contraejemplo. Tomemos
75 7. Diferencia
Entonces
Tenemos así que, en este caso particular, . Por tanto, la
operación diferencia no satisface la ley asociativa. □
La diferencia no satisface la ley modulativa. En otras palabras, no existe un
conjunto tal que
para todo conjunto .
En efecto, supongamos que tal existe. Entonces las dos identidades
(1)
y
(2)
deben cumplirse para todo conjunto . En particular, (1) debe cumplirse para
precisamente. Esto es
lo cual dice que necesariamente . Pero entonces la identidad (2) se convierte en
y debe cumplirse también para todo conjunto . En particular, debe cumplirse, por
ejemplo, para :
Pero esto dice que
lo cual es un absurdo. Hemos demostrado que la suposición de que existe conduce
lógicamente a un absurdo. Por tanto, es imposible que exista y así queda
demostrado que la operación diferencia no satisface la ley modulativa. □
76 Conjuntos
La diferencia no satisface la ley de absorción. Es decir que no existe un conjunto
tal que
para todo conjunto .
Puede probarse esta afirmación mediante un razonamiento completamente similar al
que acabamos de hacer para el caso de la ley modulativa.
La diferencia no satisface la ley de idempotencia. Esto es, la identidad
no es válida.
Como contraejemplo, basta tomar . En efecto:
de modo que, en este caso particular,
y queda demostrado que la operación diferencia no satisface la ley de idempotencia.
7.2. Ejercicios
Respuestas
1. Sean
Calcule
Para este caso particular, ¿cuál de las cuatro afirmaciones siguientes es
verdadera?:
a. b.
c. d.
77 7. Diferencia
2. Sean
Calcule
Este ejercicio es muy fácil pero ¡tenga cuidado! No se acelere y asegúrese de
escribir bien y en orden todo lo que debe escribir. Si no sabía escribir llaves, aquí
va a aprender.
3. Demuestre las siguientes identidades:
a. b.
c. d.
e.
f.
g.
4. Compruebe la validez del argumento
y úselo en algún momento para demostrar la identidad
5. Compruebe la validez del argumento
y úselo en algún momento para demostrar la identidad
6. Demuestre que la identidad
es falsa. Esto es, encuentre un contraejemplo (en este caso un par de conjuntos
particulares y que no satisfagan la identidad). Para su información, hay
contraejemplos muy “pequeños” que usted puede encontrar rápidamente.
78 Conjuntos
7. Considere la identidad
Si es verdadera, demuéstrela. Si es falsa, exhiba un contraejemplo.
8. Demuestre las siguientes afirmaciones:
a.
b. Si entonces
c. Si y entonces
d. Si entonces
e. Si entonces
f. Si entonces
g. Si entonces
h. Si entonces
i.
8. Diferencia simétrica
8.1. Diferencia simétrica
Definición Se define la diferencia simétrica entre y como el conjunto de todos
aquellos elementos que pertenecen a alguno de los dos conjuntos y pero no
pertenecen al otro. Se nota por el símbolo
Entonces, por comprensión,
En otras palabras, tenemos que, dado cualquiera, la equivalencia
es verdadera y, en consecuencia, las implicaciones
son también ambas verdaderas.
En el siguiente diagrama se muestran dos conjuntos y :
80 Conjuntos
y en el siguiente se ha coloreado la región que representa la diferencia simétrica entre
y :
Así, el diagrama de Venn de dicha diferencia simétrica es
81 8. Diferencia simétrica
Sean
El siguiente es un procedimiento para efectuar el cálculo de :
Abrir un par de llaves.
Recorrer uno por uno los elementos de y verificar, para cada uno de ellos, si
pertenece o no a .
Escribir dentro de las llaves, separados por comas, aquellos elementos que, en el
paso anterior, no pertenezcan a .
Recorrer uno por uno los elementos de y verificar, para cada uno de ellos, si
pertenece o no a .
Continuar escribiendo dentro de las llaves, separados por comas, aquellos
elementos que, en el paso anterior, no pertenezcan a .
El procedimiento termina cuando termine el recorrido por los elementos de los
dos conjuntos y .
Simplificar, si es necesario, las repeticiones en el conjunto resultante.
El conjunto simplificado es .
Obtenemos
□
Ortografía matemática: El símbolo de la diferencia simétrica
Observe con atención el símbolo de la diferencia simétrica:
Note que tiene la forma de un pequeño triángulo isósceles. Se trata de la letra griega delta
mayúscula (cuya minúscula es . La letra delta mayúscula corresponde, en español, a la
letra “D”, inicial de la palabra “Diferencia”. El símbolo “ ” no debe confundirse con otro
símbolo parecido, llamado nabla,
Correcto
Ejemplo
82 Conjuntos
que se usa con otros fines en otras áreas de las matemáticas.
8.2. Propiedades de la diferencia simétrica En contraste con la operación diferencia (que, como ya vimos, es el “patito feo” de
las operaciones con conjuntos), la diferencia simétrica es una operación muy “bonita”
debido a que posee varias propiedades interesantes.
Diferencia Diferencia simétrica
En primer lugar, los dos teoremas siguientes muestran formas alternativas de entender
la diferencia simétrica. Dependiendo de las circunstancias y el propósito, una de las
tres formas (la original y las dos alternativas) puede resultar más apropiada que las
otras dos.
Incorrecto
83 8. Diferencia simétrica
Teorema
Demostración Sea
Entonces, por la definición de diferencia simétrica,
y, por las leyes del significado de los conectivos,
Así, por las definiciones de unión e intersección,
Luego, por definición de diferencia,
Esto prueba la inclusión
El mismo razonamiento anterior, aplicado en “reversa”, muestra que la inclusión
también es verdadera. En consecuencia,
□
El teorema siguiente justifica el nombre “diferencia simétrica”:
Teorema
Demostración Sea
Entonces, por la definición de diferencia simétrica,
84 Conjuntos
y, por las leyes del significado de los conectivos,
Ahora bien, por las definiciones de diferencia y unión,
Tenemos así demostrada la inclusión
El mismo razonamiento, aplicado en “reversa”, prueba la inclusión
Por consiguiente,
□
Los siguientes teoremas muestran que la diferencia simétrica satisface por lo
menos tres de las propiedades básicas que satisfacen la unión y la intersección.
Teorema (Ley conmutativa de la diferencia simétrica)
Demostración Similar a la del teorema que establece la ley conmutativa de la
conjunción □
Teorema (Ley asociativa de la diferencia simétrica)
Demostración Similar a la del teorema que establece la ley asociativa de la
conjunción □
Resulta ilustrativo efectuar una “demostración” gráfica de esta ley. En el siguiente
diagrama tenemos tres conjuntos , y :
85 8. Diferencia simétrica
Coloreamos primero la región que representa a :
A continuación, coloreamos la región que representa a . Haremos esto en
tres pasos. Primero coloreamos la región que representa a , luego la que
representa a y, finalmente, la que representa a :
86 Conjuntos
A continuación, coloreamos la región que representa a . Lo haremos en
cuatro pasos. Primero, coloreamos la región que representa a , luego la que
representa a , luego la que representa a y, finalmente la que
representa a :
87 8. Diferencia simétrica
88 Conjuntos
que es exactamente la misma región que representa a .
Teorema (Ley modulativa de la diferencia simétrica)
Demostración Por la ley conmutativa de la diferencia simétrica, la igualdad es verdadera. Luego, será suficiente demostrar que la identidad es
verdadera.
Sea
Por definición de diferencia simétrica,
Pero, por definición del conjunto vacío,
Entonces, por modus tollendo ponens,
Esto prueba la inclusión
89 8. Diferencia simétrica
Ahora, sea
Como, por definición del conjunto vacío,
entonces, por la ley de la conjunción,
y, por la ley de adición,
De este modo, por la ley del significado de la disyunción exclusiva,
y, por definición de diferencia simétrica,
Esto prueba la inclusión
De este modo, queda probada la identidad
□
Teorema
Demostración Por la ley conmutativa de la diferencia simétrica, la igualdad es verdadera. Luego, basta demostrar que la identidad es
verdadera. Sea
Entonces, por definición de diferencia simétrica,
(1)
Ahora bien, por la ley del tercio excluido,
90 Conjuntos
Vamos a probar ahora que es imposible que . Supongamos . Entonces, de
(1), por modus ponendo tollens,
De este modo, por la ley de la conjunción, tenemos
es decir, por definición de diferencia,
Pero, por definición de conjunto universal, y, en consecuencia, .
Luego,
que es una contradicción. Esto significa que, en realidad, es imposible que . Por
consiguiente, en virtud del modus tollendo ponens,
Entonces, de (1), por modus tollendo ponens,
De este modo, por la ley de la conjunción, tenemos
que, por definición de diferencia, significa
Por consiguiente, hasta aquí hemos demostrado que
si entonces
Esto es, hemos demostrado la inclusión
Ahora, vamos a probar la inclusión . Supongamos que
Entonces, por definición de diferencia,
91 8. Diferencia simétrica
y, por la ley de adición,
Así, por la ley del significado de la disyunción exclusiva,
Luego, de acuerdo con la definición de diferencia simétrica,
De este modo, hemos demostrado la inclusión
con lo cual queda demostrada la identidad
□
Teorema (Ley de nilpotencia de la diferencia simétrica)
Demostración Basta probar que el conjunto no posee elementos. Supongamos
que posee alguno:
Entonces, por definición de diferencia simétrica,
Pero, dado el significado de las disyunciones exclusivas, esta es una contradicción.
Por consiguiente, es imposible que posea elementos. □
8.3. Ejercicios Respuestas
1. Sean
Calcule
2. Sean
92 Conjuntos
donde los objetos , , , , , y se suponen todos diferentes entre sí. Calcule
3. Sean
donde los objetos , , y se suponen todos diferentes entre sí. Calcule
4. Sean , y las colecciones definidas así:
Calcule
5. Sean , y las colecciones definidas así:
Calcule
6. La estudiante Porciúncula sostiene que la fórmula
es cierta porque tomando los conjuntos
se cumple. Por otra parte, el estudiante Pantaleón dice que la fórmula no es cierta
porque tomando los conjuntos
no se cumple. ¿Quién tiene la razón? (Explique su respuesta.)
7. Supóngase que definimos una nueva operación entre conjuntos, que
representaremos con el símbolo , mediante la fórmula
93 8. Diferencia simétrica
(Nota. Esta operación no existe en el mundo de las matemáticas. Es un invento de
nacho, solamente para este ejercicio.) Sean
Calcule
¿Qué puede concluir sobre la conmutatividad de la operación ?
8. Suponga que usted desea saber si la identidad
es verdadera o falsa. Examine lo que ocurre si toma un ejemplo particular,
digamos que toma
¿Qué obtiene? ¿Puede concluir algo acerca de la verdad o falsedad de la
identidad? En caso afirmativo, ¿qué es lo que puede concluir?
9. Suponga que se define una nueva operación entre conjuntos mediante la
fórmula
(Nota. La operación tampoco existe en el mundo de las matemáticas. Se trata
de otro invento de nacho, solamente para este ejercicio.) Dados
calcule
10. Demuestre las siguientes afirmaciones:
a.
b. Si entonces
c. Si entonces
d. Si entonces
94 Conjuntos
9. Complementación
9.1. Complementación Esta es una operación diferente de las que hemos discutido hasta el momento. En
primer lugar, se trata de una operación unaria, esto es, ella se aplica a un solo
conjunto para obtener otro conjunto, y, en segundo lugar, es una operación que se
define siempre en presencia de un conjunto universal.
Definición Dado , se define el complemento de como el conjunto de todos
aquellos elementos que pertenecen a pero no pertenecen a . Se nota por
cualquiera de los símbolos
Entonces, por comprensión,
En otras palabras, tenemos que, dado cualquiera, la equivalencia
es verdadera y, en consecuencia, las implicaciones
son verdaderas.
En el siguiente diagrama se muestran el conjunto universal y uno de sus subconjuntos
96 Conjuntos
En el siguiente se ha coloreado en amarillo la región que representa el complemento
de .
97 10. Complementación
Sean
El siguiente es un procedimiento para efectuar el cálculo de :
Abrir un par de llaves.
Recorrer uno por uno los elementos de y verificar, para cada uno de ellos, si
pertenece o no a .
Escribir dentro de las llaves, separados por comas, aquellos elementos que, en el
paso anterior, no pertenezcan a .
El procedimiento termina cuando termine el recorrido por los elementos de .
Simplificar, si es necesario, las repeticiones en el conjunto resultante.
El conjunto simplificado es .
Obtenemos
□
Ortografía matemática: El símbolo de la complementación
Observe el símbolo que representa el complemento de :
La barrita, con forma de una pequeña “cuña” inclinada, que aparece como “exponente” de
la es llamada por algunos una prima. (La verdad es que no parece tener un nombre
oficial.) Note que se trata de una cuña inclinada y no de una coma:
’
La coma, en forma de “exponente”, sí tiene un nombre oficial: es un apóstrofo. Ocurre que
el apóstrofo prácticamente no se utiliza en símbolos matemáticos. En cambio, se usa en el
lenguaje natural aunque solo para ciertos propósitos muy particulares como, por ejemplo,
indicar por escrito la supresión, frecuente en el habla vulgar, de algunas sílabas:
Ejemplo
Correcto
Incorrecto
98 Conjuntos
¿Pa’dónde va m’ijo?
¿Qué l’importa?
¿Ah sí? ¡Pues tome pa’que afine!
A propósito, la palabra “apóstrofo” tampoco debe confundirse con la palabra “apóstrofe”:
apóstrofo apóstrofe
Mientras que un apóstrofo es una coma pequeña escrita como si fuera un “exponente”, un
apóstrofe es una cierta figura retórica que, en su versión más sencilla, se refiere al tipo de
interrupción que se hace en el discurso o narración para hacer un llamado vehemente, en
segunda persona, a alguien o a algo:
El conjunto vacío ... ¡Johncito, ponga atención! ... no posee elementos
¡Me permito presentarle un ejemplo de apóstrofe!
También se llaman apóstrofes a ciertas expresiones que se usan a modo de insulto o
provocación.
9.2. Propiedades de la complementación En los teoremas siguientes se enuncian y demuestran algunas propiedades básicas de
la operación complementación.
Teorema
Demostración Sea
Entonces, por definición de complementación,
99 10. Complementación
y, por ley de simplificación,
Esto muestra que
Ahora, sea
Puesto que la afirmación
es evidentemente verdadera entonces, por la ley de la conjunción,
Luego, por la definición de complementación,
Así, hemos demostrado la inclusión
Por consiguiente,
□
Teorema
Demostración Basta demostrar que no posee elementos. En efecto, supongamos
que posee algún elemento :
Entonces, por definición de diferencia,
que evidentemente es una contradicción. Así, es imposible que posea elementos,
de modo que
□
100 Conjuntos
Teorema (Ley involutiva de la complementación)
Demostración Sea
Por definición de complementación,
(1)
La siguiente es una secuencia de afirmaciones lógicamente equivalentes que se
sustenta en la definición de complementación, una de las leyes de De Morgan y la ley
de la doble negación:
Esto muestra que la proposición es lógicamente equivalente a la proposición
. Sustituyendo la primera por la segunda en (1), resulta
de donde, por la ley distributiva de la conjunción con respecto a la disyunción
inclusiva,
Ahora bien, la proposición es una contradicción. Luego, por la ley
modulativa de la disyunción inclusiva,
y, por la ley de simplificación,
Esto demuestra la inclusión
El mismo razonamiento, aplicado en “reversa” muestra que la inclusión
101 10. Complementación
también es verdadera. Por consiguiente,
□
Teorema
Demostración Basta demostrar que no posee elementos. Supongamos que
posee algún elemento :
Por definición de intersección,
y, por definición de complementación,
Entonces, por la ley de simplificación,
que es una contradicción. Luego, es imposible que posea elementos:
□
Teorema
Demostración Sea
Por definición de unión,
Supongamos . Entonces, como , se tiene . En otras palabras,
Supongamos . Por definición de la complementación, se tiene .
En particular, por la ley de simplificación, . Es decir,
102 Conjuntos
En conclusión, por dilema constructivo,
y, por ley de simplificación trivial,
Esto demuestra la inclusión
Ahora, sea
Por la ley del tercio excluido,
Supongamos . Entonces, por la ley de adición, . Luego, tenemos
Supongamos . Entonces por ley de la conjunción, , esto es
, y por la ley de adición, . Esto es,
Luego, de nuevo por dilema constructivo,
y, por la definición de unión,
De este modo queda probada la inclusión,
En conclusión, hemos demostrado
□
Los dos teoremas siguientes se conocen como las leyes de De Morgan:
103 10. Complementación
Teorema
Veamos primero una “demostración” gráfica de este teorema. Comenzamos con un
par de subconjuntos y del conjunto universal:
El diagrama siguiente muestra la región que representa a :
104 Conjuntos
Ahora vamos a representar el conjunto . Comenzamos con :
y, enseguida, :
105 10. Complementación
Finalmente coloreamos la región que representa a :
Esta es exactamente la misma región que representa a .
Pasemos ahora a la demostración formal del teorema.
106 Conjuntos
Demostración Sea
Entonces, tenemos sucesivamente que, por definición de complementación,
por definición de unión,
por una de las leyes de De Morgan (de la lógica),
por las leyes de redundancia,
por la definición de complementación,
y, por definición de intersección,
Esto demuestra la inclusión
El mismo razonamiento, aplicado en “reversa”, demuestra la inclusión
Por tanto, queda demostrado que
□
Teorema
Demostración Similar a la del teorema anterior.
107 10. Complementación
9.3. Ejercicios Respuestas
1. Sean el conjunto universal y , y los subconjuntos de definidos como
Calcule
2. Sean
Compruebe si la siguiente igualdad es cierta o no:
3. Sean
Calcule
4. Sean
Demuestre que, en este caso particular,
calculando el lado izquierdo de la igualdad y verificando que en efecto es igual a
.
5. El granjero Joaquín posee los siguientes animales: Araminta (una vaca), Procopio
(un perro), Yisleivis (una gallina), Eleuterio (un conejo) y Filiberto (un caballo).
Un vecino de Joaquín, llamado Euler, sabe de matemáticas y le encanta molestar a
Joaquín planteándole problemas. Euler le dice a Joaquín: Llamemos al conjunto
108 Conjuntos
de tus animales que son cuadrúpedos, al conjunto de tus animales que ponen
huevos, al conjunto de tus animales que no tienen plumas y al conjunto de tus
animales que poseen escamas y cada diciembre emigran volando hacia el polo
norte. A que no puedes demostrar que ninguno de los animales del conjunto
posee dientes. Para sorpresa de Euler, Joaquín hizo la demostración
correctamente. Comenzó representando cada uno de sus animales por la inicial del
respectivo nombre en minúscula. Por ejemplo, representó a Araminta por .
Suponga que usted es Joaquín y resuelva el problema. (Sea claro y ordenado en
sus cálculos y no utilice diagramas de Venn.)
6. Demuestre la siguientes generalizaciones de las leyes de De Morgan:
7. Suponga que definimos una nueva operación entre conjuntos, que llamaremos
unión externa, la cual representaremos con el símbolo y estará definida
mediante la fórmula
donde es la unión usual y es el complemento usual de con respecto al
universo . (Nota. La operación no existe en el mundo de las matemáticas. Se
trata de un invento más de nacho, solo para este ejercicio.) Suponga ahora que
definimos una operación más entre conjuntos, que llamaremos unión externa
simétrica, la cual representaremos con el símbolo y estará definida mediante la
fórmula
donde es la unión externa que acabamos de definir e es la intersección usual.
(Nota. La operación tampoco existe en el mundo de las matemáticas. Se trata
de un invento del inventor nacho, solo para este ejercicio.) De las seis opciones
siguientes determine cuáles son verdaderas y cuáles son falsas:
a. b. c.
d. e. f.
10. Producto cartesiano
Vamos a discutir ahora una última operación binaria entre conjuntos. Como veremos,
ella resulta ser un tanto diferente de las operaciones binarias que hemos estudiado
hasta ahora. Al mismo tiempo, es una operación que reviste gran importancia desde el
punto de vista matemático. Para definirla, se hace necesario introducir previamente el
concepto de pareja ordenada.
10.1. Parejas ordenadas
Definición Una pareja ordenada (o un par ordenado) es una lista ordenada de
objetos no necesariamente distintos. El objeto es la primera componente o
primera coordenada de la pareja ordenada. El objeto es la segunda componente o
segunda coordenada de la pareja ordenada. El símbolo
representa la pareja ordenada cuya primera componente es y cuya segunda
componente es .
La pareja ordenada
es una pareja ordenada de números naturales. Su primera componente es el número
y su segunda componente es el número . □
La pareja ordenada
Ejemplo
Ejemplo
110 Conjuntos
es una pareja ordenada de mascotas. Su primera componente es el gato Motas y su
segunda componente es el perro Kaiser. □
Ortografía matemática: La notación de pareja ordenada
En la notación de pareja ordenada los paréntesis deben ser redondos o angulares:
No son correctos los paréntesis rectangulares y mucho menos las llaves:
[
Tampoco es correcto omitir la coma:
Definición Se dice que la pareja ordenada es igual a la pareja ordenada
, y se escribe
si y solo si y . Es decir que dos parejas ordenadas son iguales si y solo
si sus primeras componentes son iguales entre sí y sus segundas componentes
también son iguales entre sí.
Entonces, de acuerdo con esta definición, se tiene que si y solo si si
o .
Se tiene que
porque
□
Correctos
Incorrectos
Incorrectos
Ejemplo
111 10. Producto cartesiano
Ocurre que
porque . □
Parejas ordenadas y parejas no ordenadas
Observe que la diferencia conceptual entre la pareja y la pareja ordenada tiene que ver esencialmente con el orden entre sus elementos. En efecto, tenemos que
puesto que el orden en que se escriban los elementos de un conjunto es irrelevante. En
cambio, la igualdad
ocurre solamente cuando . En efecto, cuando , se tiene
Es por esto que algunos también llaman al conjunto una pareja no ordenada.
10.2. Producto cartesiano
Definición Se define el producto cartesiano de y como el conjunto de todas
las parejas ordenadas cuya primera componente está en y cuya segunda
componente está en . Se nota
Entonces, por comprensión,
Esto significa que las dos implicaciones siguientes son válidas:
si entonces
si entonces
Ejemplo
112 Conjuntos
Ortografía matemática: El símbolo de la operación producto cartesiano
El símbolo que representa la operación producto cartesiano no es otra cosa sino el mismo
símbolo “por” (o “cruz”, como lo llaman algunos) de la operación multiplicación entre
números naturales:
Una de las razones por las cuales se adoptó este símbolo para el producto cartesiano es que
si posee elementos y posee elementos entonces posee elementos.
Sean
De acuerdo con la definición de producto cartesiano, para calcular tenemos
que encontrar todas las parejas ordenadas cuya primera componente esté en y cuya
segunda componente esté en . Conviene hacer esto en forma ordenada. Así, por
ejemplo, podemos comenzar con las parejas ordenadas cuya primera componente es
. Dado que posee exactamente dos elementos, es claro que solamente podemos
obtener dos parejas ordenadas cuya primera componente es . Escribimos entonces
los dos primeros elementos del conjunto :
Continuamos con las parejas ordenadas cuya primera componente es . De nuevo,
solamente hay dos parejas ordenadas cuya primera componente es . Las agregamos
a las dos anteriores y, de este modo, completamos los primeros cuatro elementos de
:
Finalmente, hay otras dos parejas ordenadas, a saber, aquellas cuya primera
componente es . Las agregamos a las que ya teníamos en el conjunto :
Y eso es todo. No hay más parejas ordenadas en puesto que hemos agotado los
elementos de que actúan como primera componente y para cada uno de ellos hemos
Ejemplo
113 10. Producto cartesiano
agotado los elementos de que actúan como segunda componente. En consecuencia,
hemos definido por extensión la totalidad del conjunto . □
Observe que en el ejemplo anterior el conjunto posee elementos, el conjunto
posee elementos y el conjunto posee elementos (compruébelo: ¡cuente el
número total de parejas ordenadas que obtuvimos en !). Note ahora que
. Todo esto no es más que un caso particular del hecho siguiente:
Si posee elementos y posee elementos entonces posee
elementos
De nuevo tomemos
y calculemos esta vez el producto cartesiano . Ahora las primeras componentes
deben estar en y las segundas en . Obtenemos entonces
Notamos que posee también, como era de esperarse, elementos, esto es,
elementos. ¡Pero es un conjunto muy diferente de ! (De hecho, en
este caso particular, ni siquiera tienen elementos en común.) En otras palabras, la
operación binaria producto cartesiano no satisface la ley conmutativa. □
El producto cartesiano es una operación muy particular. A pesar de su indiscutible
importancia en matemáticas, ella, a diferencia de la mayoría de las otras operaciones
que hemos estudiado hasta el momento, no exhibe propiedades como las leyes
asociativa, conmutativa y modulativa. No obstante, exhibe algunas propiedades de
otro tipo como, por ejemplo, la:
Teorema (Ley distributiva del producto cartesiano con respecto a la unión)
Demostración Sea
Entonces, por definición de producto cartesiano,
Ejemplo
114 Conjuntos
En consecuencia, por definición de unión,
Aplicando ahora la ley distributiva de la conjunción con respecto a la disyunción
inclusiva,
De este modo, por definición de producto cartesiano,
y, por definición de unión,
Esto demuestra la inclusión
Los pasos anteriores son todos reversibles, lo cual demuestra la inclusión
Tenemos así demostrada la identidad
10.3. –tuplas ordenadas
Definición Una –tupla ordenada es una lista ordenada de
objetos no necesariamente distintos entre sí. Se nota por cualquiera de los dos
símbolos
El objeto es la primera componente o primera coordenada de la –tupla
ordenada, el objeto es la segunda componente o segunda coordenada de la –tupla ordenada, y así así sucesivamente hasta el objeto que es la –ésima
componente o –ésima coordenada de la –tupla ordenada. Las –tuplas
ordenadas se llaman también duplas ordenadas y no son otra cosa sino las parejas
ordenadas discutidas anteriormente. Las –tuplas ordenadas se llaman también
ternas ordenadas o triplas ordenadas. Las –tuplas ordenadas se llaman también
cuádruplas ordenadas. A continuación tenemos las quíntuplas ordenadas, las
séxtuplas ordenadas y así sucesivamente.
□
115 10. Producto cartesiano
La terna ordenada
es una terna ordenada de números reales. Su primera componente es el número real
, su segunda componente es el número real y su tercera componente es el
número real . □
La cuádrupla ordenada
es una cuádrupla ordenada de superhéroes. Su primera componente es Superman, su
segunda componente es Batman, su tercera componente es Spiderman y su cuarta
componente es Ironman. □
Definición Se dice que la –tupla ordenada es igual a la
–tupla ordenada , y se escribe
si y solo si
Es decir que la igualdad entre dos –tuplas ordenadas es equivalente a las
igualdades simultáneas entre las componentes respectivas de las –tuplas
ordenadas.
Entonces, de acuerdo con esta definición, se tiene que
si y solo si
Ejemplo
Ejemplo
116 Conjuntos
Ortografía matemática: La notación de –tupla ordenada
En la notación de –tupla ordenada los paréntesis deben ser redondos o angulares:
No son correctos los paréntesis rectangulares y mucho menos las llaves:
[
Tampoco es correcto omitir las comas:
10.4. Producto cartesiano generalizado
Definición Se define el producto cartesiano de los conjuntos
como el conjunto de todas las ‒tuplas ordenadas cuya ‒ésima componente está
en para todo . Se nota, en forma expandida, por el símbolo
y, en forma compacta, por el símbolo
Entonces, por comprensión,
o, abreviadamente,
Correcto
Correcto
Incorrecto
Incorrecto
Incorrecto
Incorrecto
117 10. Producto cartesiano
Sean
Entonces
□
Ortografía matemática: el símbolo del producto cartesiano generalizado
El símbolo del producto cartesiano generalizado es la letra griega pi mayúscula:
Note que este símbolo es grande y sus trazos son rectos. No debe confundirse con la
versión minúscula de la misma letra,
que es un símbolo más pequeño y de trazos curvados.
Sean
Entonces
Correcto
Incorrecto
Ejemplo
Ejemplo
118 Conjuntos
(Coloreé las diferentes cuádruplas resultantes, en total cuatro, para distinguirlas con
mayor claridad.) □
Un caso especial importante de producto cartesiano generalizado es el representado
por el símbolo
que es, por definición, el conjunto de todas las ‒tuplas ordenadas cuya única
componente está en . Aquí es costumbre identificar cada ‒tupla ordenada con su
única componente. Esto es, se adopta la convención de que la ‒tupla ordenada es en realidad el mismo objeto . De esta manera resulta que
10.5. Ejercicios Respuestas
1. Sea
Calcule
2. Sean
donde los objetos , , , y son todos distintos entre sí. Calcule
3. Dados
calcule
119 10. Producto cartesiano
4. Dados
Calcule
5. Sean
Calcule por separado los conjuntos
(Asegúrese de que sus cálculos son correctos.) De acuerdo con los resultados que
obtuvo en este caso particular, ¿se puede concluir que la identidad
es verdadera o es falsa en general? Explique su respuesta.
6. Demuestre las siguientes identidades:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
7. Demuestre las siguientes afirmaciones:
a. Si entonces o
b. Si y entonces
120 Conjuntos
Respuestas a los ejercicios
Sección 1.10 Regresar
1. a. Verdadera b. Falsa c. Falsa d. Falsa
e. Verdadera f. Falsa g. Falsa h. Falsa
i. Verdadera j. Verdadera k. Falsa l. Falsa
2. a. Falsa b. Falsa c. Verdadera d. Falsa
e. Falsa f. Falsa
3. a. Verdadera b. Verdadera c. Falsa
d. Verdadera e. Falsa f. Verdadera
g. Falsa h. Falsa i. Falsa
4. a. Falsa b. Falsa c. Falsa
d. Verdadera e. Falsa f. Falsa
Sección 2.6 Regresar
1. a. Verdadera b. Verdadera c. Falsa
d. Falsa e. Falsa f. Falsa
g. Verdadera h. Verdadera i. Verdadera
j. Verdadera k. Falsa l. Falsa
m. Verdadera n. Falsa o. Falsa
p. Falsa q. Falsa
2. a. Verdadera b. Verdadera c. Verdadera
d. Verdadera e. Verdadera f. Verdadera
122 Conjuntos
g. Verdadera h. Falsa
Sección 4.2 Regresar
1. a. tiene exactamente los siguientes elementos:
b. 16 c. Sí d. No
Sección 5.5 Regresar
1.
Sección 6.5 Regresar
2.
tiene exactamente 16 elementos que son:
123 Respuestas a los ejercicios
Sección 7.2 Regresar
1. b
2. tiene exactamente 16 elementos que son:
Sección 8.3 Regresar
1. 2. 3.
4. 5.
6. Pantaleón
7. , , la operación no es conmutativa
8. Se obtiene
Sí se puede concluir algo acerca de la verdad o falsedad de la identidad: Se puede
concluir que es falsa.
9.
Sección 9.3 Regresar
1. 2. No es cierta 3.
124 Conjuntos
Sección 10.5 Regresar
1.
2.
3.
4.
5.
No se puede concluir nada en general acerca de la verdad o falsedad de la
identidad. Solo se puede decir que ella es verdadera en este caso particular.