80 oscilaciones y mas

7/26/2019 80 Oscilaciones y Mas

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Oscilaciones

INTRODUCCIN

La vibracin de la cuerda de unaguitarra, de un cristal de cuarzo,

de la membrana de un

altoparlante, del sonido, el

movimiento de los pistones de un

motor, el vaivn de un pndulo,

etc. Son movimientos que se

repiten una y otra vez y se

denominan movimientos

peridicos. Cuando el movimientose realiza entre dos posiciones

extremas, siguiendo una misma

trayectoria se denomina

movimiento oscilatorio

Causas de la Oscilacin

La causa del movimiento oscilatorio es la fuerza restauradora que

aparece cuando se saca el cuerpo de su posicin de equilibrioPara que un cuerpo mvil alrededor de un punto fio est en equilibrio, es

menester que la vertical que pasa por el centro de gravedad pase tambin

por el punto de suspensin. Con esta condicin, el equilibrio puede ser!

estable, inestable o indiferente.

"#$%quilibrio inestable "&$ %quilibrio estable


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%l equilibrio es estable si el cuerpo, siendo apartado de su posicin de

equilibrio, vuelve al puesto que antes ten'a, por efecto de la gravedad.

%n este caso el centro de gravedad est( debao del punto de

suspensin. "#$. %emplo! %l pndulo, la plomada, una campana

colgada.

%l equilibrio es inestable si el cuerpo, siendo apartado de su posicin

de equilibrio, se alea por efecto de la gravedad. %n este caso el centro

de gravedad est( m(s arriba del punto o ee de suspensin. "#$.

%emplo! )n bastn sobre su punta.

%l equilibrio es indiferente si el cuerpo siendo movido, queda en

equilibrio en cualquier posicin. %n este caso el centro de gravedad

coincide con el punto de suspensin. %emplo! )na rueda en su ee.

*eamos en las figuras tres situaciones de equilibrio de sendas canicas

sobre superficies lisas. %n cada caso a la canica se le +a desplaza aambos lados del punto equilibrio y se la +a soltado. dem(s se grafica la

componente del peso en la direccin tangente a la pista.

Las canicas sobre pistas lisas con una posicin central de equilibrio.

la fuerza sobre la canica que -aparece- cuando es sacada de su posicin

de equilibrio estable, se le llama fuerza recuperadora. Se le llama as'

porque tiende a llevar a la canica +acia la posicin central de equilibrio.

%sta fuerza es responsable de la oscilacin de la canica.

Movimiento Peridico

%s aquel que se repite a intervalos regulares, cada cierto tiempo fio.


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Movimiento Armnico

%l movimiento de la part'cula es armnico cuando la posicin de la

part'cula se puede expresar por funciones seno o coseno

Movimiento Oscilatorio

%l movimiento de la part'cula es

alternativo en un sentido y en otro,

sobre una misma trayectoria

alrededor de un punto de

equilibrio cambiando peridicamente

el sentido de su velocidad y

aceleracin debido a una fuerza

recuperadora. %n todo movimiento

oscilante debe +aber! posicin deeuili!rioy fuerza recuperadora.

Oscilaciones Mec"nicas

Las oscilaciones mec(nicas

uegan un papel de primer

orden no slo desde el punto

de vista cient'fico sino tambin

tcnico, como resulta evidente

al mencionar la importancia

que tienen los problemasvibratorios que surgen en

muc+os casos reales. %l efecto

de las vibraciones sobre

estructuras, en condiciones de

resonancia como se observa

en la figura es vital para el

diseo.


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MO#IMI$NTO ARMONICO %IMP&$ ' MA%(

Concepto

%s un movimiento! rectil'neo, peridico y oscilante/ que ocurre debido una

fuerza recuperadora sobre la part'cula, cuyo valor es directamente

proporcional al desplazamiento, respecto de su posicin de equilibrio.

Descripcin Cinem"tica de un MA%

Sea una part'cula efectuando 0S en el ee 1, como se muestra en la

figura!

$lon)acin "*$

%s la coordenada * de la part'cula respecto a la P%. *puede ser positivao negativa/ si est( a la derec+a, o izquierda de la P%/ respectivamente.

Amplitud "$

%s el m(ximo desplazamiento desde P% que alcanza la part'cula. 2curre a

ambos lados "extremos$del trayecto, donde la velocidad de la part'cula es

v 34.

x=-A x=0 x=Ax(t)


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Ciclo u oscilacin completa

%n la figura el recorrido! "5$"2$"6$"2$"5$/ o cualquier otro

camino completo. Lo realiza en 7"897$

:ecorrido de una part'cula en cuartos de periodoPeriodo "8$

%s el tiempo en que se realiza un recorrido completo "un ciclo$.

2bserve en la misma figura, que! "5$ "2$ "6$ "2$ "5$

897 897 897 897

+recuencia de oscilaciones "$

%s el n;mero de oscilaciones completas en la unidad de tiempo.

3 "< ciclos u oscilaciones o vueltas$9t en =ertz3>=z?3>s5@?

Propiedad! 3@98

+recuencia an)ular "$

La frecuencia angular es la velocidad angular de la circunferencia asociada

al movimiento oscilatorio.%l movimiento armonico simple es la proyeccin

lineal del movimiento circular. La velocidad angular es el (ngulo que se

recorre en el movimiento circular por segundo.

%s la # veces lafrecuencia!

3#3#98 >rad9s?


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Ecuaciones cinemticas de una partcula en MAS sobre el eje X:

Posicin '*(

Se mide desde el centro "4$, que corresponde a la posicin de equilibrio

"P%$. lcanza sus m(ximos "amplitud$ en los extremos de la trayectoria.

Aonde y B es la amplitud m(xima

,'t( - A %en '.t / 01( o 1"t$ 3 Cos "t 6 D#$

Aonde!

't / (! %s el argumento de la funcin armnica "en radianes$ y

! Ease inicial, es un (ngulo que nos indica el punto "xo$ donde seempieza a medir el tiempo "to 3 4$.

#elocidad 'v(

Puede ir a la derec+a"$, o a la izquierda"$. %s cero en los extremos, y

m(xima en el centro, de la trayectoria/ respectivamente.v't( - 2A Cos '2t / 0( o 1"t$ 3 5 Sen "t 6 D$


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Aceleracin 'a(

Siempre seala +acia la P%. Su magnitud es proporcional a la posicin del

mvil.

a't( - 3 24A %en '2t / 0( o a"t$ 3 5F# Cos "Ft 6 D$

a't( - 3 24 ,

Gr(ficas! posicin, velocidad y aceleracin/ vs. el tiempo de un 0S para el caso

de fase inicial cero! 34.

O!servaciones!

Las ecuaciones deben ser aplicadas conunto, para resolver un problemade 0S. Hunca deben mezclarse ambos conuntos de ecuaciones para un

mismo problema.

Los argumentos en las ecuaciones cinem(ticas, se pueden llevar de seno a

coseno y viceversa, aplicando!

sen"t6$ 3 cos"t659#$ Cos"t6$35sen"t659#$

%emplo! Convertir Sen"@4t 6 I9#$ a funcin coseno

Cos"@4t 6 I9#5 I9#$ 3 Cos "@4t$


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/k m

DINAMICA $N $& MA%

%n relacin a las fuerzas sobre una part'cula en 0S, se cumple la

siguiente caracter'stica! JLa fuerza recuperadora sobre el mvil esproporcional a su desplazamiento respecto de la posicin de

euili!rio5

%I%T$MA MA%A R$%ORT$ 6ORI7ONTA&

Sea un resorte de longitud natural Lo y constante el(stica 8, con unextremo sueto a la pared y el otro extremo que sueta a un bloque de

masa m, todo sobre un piso +orizontal sin friccin, como se muestra en lafigura

Si aplicamos una fuerza deformadora +orizontal al resorte, alando albloque +asta que alcance una elongacin m(xima y lo soltamos, el

bloque quedar( bao la accin de la fuerza el(stica del resorte. Cuando el

resorte esta estirado ala al bloque +acia el centro. Cuando el resorte esta

comprimido empua al bloque sealando tambin +acia el centro. %s decir

esta fuerza el(stica viene a ser la fuerza recuperadora.

La fuerza el(stica actuando como fuerza recuperadora/ es adem(s la

fuerza resultante!

Euerza recuperadora! E"x$ 3 5Kx

E el(stica 3 5 K* 3 Eresultante 3 m.a 3 m "5#x$ 3 5m # *

%liminando *, resulta que! 3 3# >rad9s?

%s decir la frecuencia angular

del sistema masa5resorte

depende de la constante

el(stica y de la masa

oscilante, y no depende de laamplitud de oscilacin.


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P

y

y

A

-

0

mg

-k(+y)

-k

mg

= kwm

A

%I%T$MA MA%A R$%ORT$ #$RTICA&

%n este caso un resorte de longitud natural Lo y constante el(stica 8secoloca en forma vertical, con un extremo sueto al tec+o y el otro

extremo inicialmente libre. Luego del extremo inferior del resorte se

sostiene un bloque de masa m, el que deformar( la longitud del resorteen forma proporcional al peso suspendido, como se muestra en la figura acontinuacin!

Sistema masa5resorte vertical.

%n el equilibrio el peso del bloque se compensa con la fuerza el(stica

est(tica,.

Condicin est(tica! mg53 4 , luego ! mg 3

Cuando el bloque oscile en forma vertical, lo +ar( en forma simtrica

alrededor del nivel donde el bloque se encontraba en reposo "posicin de

equilibrio$.

Condicin din(mica! mg 5 '6y$ 3 mg 5 5 y 3 ma9, y como mg 3

entonces, 5y 3 ma9

Aespeando! a9- 3 ':;m( 9 - 3 4 9


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2 21 1

2 2= + = +m c peE E E mv kx

2 21 1( cos ) ( )2 2

= +mE m w A w t k A se m w t

2 21 1

2 2= + = +

m c peE E E mv kx

La ecuacin representa la din(mica del movimiento vertical de un bloque

de masa m sueta a un resorte vertical de constante el(stica . Seg;n lo

cual este sistema masa5resorte vertical oscila en 0S alrededor de su P%

con una frecuencia similar al sistema bloque5resorte, +orizontal.

%s decir con frecuencia angular!

3 mk/ 3# >rad9s?

$N$R


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2 2 21 1

2 2= = mE k A m A

2 2 21 1

2 2= =

mE k A m A

2 21 1

2 2== +

mE m v k x

2 21 1

2 2= + = +

m c peE E E mv kx

2 2 21 1 1

2 2 2

= +k A m v k x

2 2 2 2( )= v A x

La energ'a mec(nica

%n los valores m(ximos

La grafica en funcin de la elongacin se observa en al figura

$CUACION D$ &A #$&OCIDAD

Aespeando v

$CUACION D$ &A AC$&$RACION

$CUACION D$& P$RIODO


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$=emplo 1

)na masa de 4,@g se encuentra realizando un 0S en el ee x, de

ecuacin x"t$34,7cos"@4t$. %n una cierta posicin"a la derec+a de x34$ e

instante, es detenido mediante un proyectil de masa 4,4@g y vp35#4& i

m9s, quedando incrustado en ella. Aeterminar la energ'a del nuevosistema masa5resorte.

%olucin.5

=allemos la constante del resorte, que no cambiar( cuando se incruste el

proyectil!

# 3 9m 3 #m 3 @4#x4,@ 3 @4 H9m

%n el punto donde ocurre la colisin totalmente inel(stica corresponde a la

nueva amplitud del sistema "bloque y bala$5"resorte$ ya que la bala se

detiene instant(neamente unto con el bloque.

=allemos esta nueva amplitud aplicando la conservacin de la cantidad de

movimiento!

m@v16m#v43 4

Ae x"t$3 4,7 cos"@4t$ v@"t$ 3 57sen"@4t$

:eemplazando en la conservacin de la cantidad de movimiento!

m1 m2

v1 v2PE


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4,@x>57sen"@4t$? 3 4,4@x>5#4& ? @4t 3 9&

Ae lo cual, la nueva amplitud ser(! 3 x"@4t39&$ 3 4,7cos"9&$ 3 4,#

Por lo tanto, la nueva energ'a! %mec3 "@9#$#3 "@9#$x@4x4,##3 4,# M

$=emplo 4

Para el caso de la figura mostrada, el bloque sueto al resorte esta quieto

y el c+oque ser( totalmente inel(stico, determinar la ecuacin

caracter'stica del movimiento oscilante.

m@3@g m#3#g

%olucin

l untarse los bloques la posicin de equilibrio no cambia, por lo cual esta

velocidad 5usto despus del c+oque5es la m(xima velocidad del nuevo

sistema masa5resorte.

pliquemos la conservacin de la cantidad de movimiento lineal para

calcular esta velocidad del conunto de bloques usto despus del c+oque

totalmente inel(stico!

m@v3"m@6m#$v01 v013# m9s

=allemos la amplitud , reemplazando x34, v3#m9s y 39m 3 N449&3 @4#/ en

#3x#6"v9 $#!

8endremos! 3@4 9@4 m

Por lo cual> x3 @4 9@4 sen"#@4 t$

v=6m/s v=0 k=600N/m

= 0


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Pro!lema ?

)na part'cula que cuelga de un resorte sometido solo a la accin del peso

y la fuerza del resorte, est( en reposo, ver figura. Ae pronto se le imprime

una velocidad v3@m9s +acia arriba. Si la amplitud de la oscilacin que

realizar( es de 4,#m, +allar su posicin vertical "medida desde laposicin de equilibrio$ en t34,##7s

"sen@,@# 34,O$.

"t34.##7$34,#sen"x4,##7$

34,#xsen"@,@#$34,#x4,O3@1B m

Problema 7

)na part'cula realiza 0S con 4,@ m de amplitud y # =z de frecuencia.

Calcule!

a$ Los valores m(ximos de la aceleracin y la velocidad,

b$ La aceleracin y la velocidad cuando el desplazamiento es de 4,@4m, y

c$ %l tiempo para que la masa se desplace desde la posicin de equilibrio

"P%$ +asta un punto a 4,@#m de este.

%olucin.5

a$ x01334,@m, Como 3#=z 3#37rad9s ,

luego v01337x 4,@34,Nm9s, y a013#3#,7#m9s#.

b$ partir de la ecuacin a35#x, x"4,@$ 35@N#x 4,@35@,N#m9s#

8ambin, de la ecuacin "7$! x#6"v9$#3#, obtenemos! v3"#5x#$

v"x34,@$34,7m9s

c$ Podemos iniciar el conteo "t34$ en x34. %s decir! x3sent

x"t3Q$34,@#34,@sen7t, entonces! t34,4R7 s

Solucin:

%l nivel inicial del bloque en reposo es la posicin deequilibrio, lugar donde ocurre la m(xima rapidez! v013.:eemplazando! v 3 @m9s y 3 4,# m 3 rad9ssumimos la ecuacin de movimiento para la coordenada

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