8 - teoria y práctica de la estimación lineal

8/13/2019 8 - Teoria y Prctica de la estimacin lineal

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Ing. Roberto Bruno - [email protected] - Consultor Internacional Intercade

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GEOESTADISTICA MINERAGEOESTADISTICA MINERA

Ing. ROBERTO BRUNO - [email protected]

Consu ltor INTERCADE

Junio 2008


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TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACIONTEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION

Teoria de la estimacin lineal.

Estimadores tradicionales.

La varianza de extensin.


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TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION

Teoria de la estimacin lineal


Teoria de la estimacin linealLos estimadores

En la mayoria de los casos, cualquier VR z(x)se

conoce solamente en algunos puntos, z(xa),

mientras que interesa en todo el campo.

La solucin se encuentra en la estimacin: z*(x)

= f [ z(xa) ]

La cantidad a estimar puede tener soporte vno

nulo.

y tiene de que estimarse siempre con los

mismos datos: z* v(x) = fv [z(xa) ]

= vv dzvxz )(

1)(


4/43Ing. Roberto Bruno - [email protected] - Consultor Internacional Intercade

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Teoria de la estimacin linealEjemplo de estimacin puntual

Un mapa temtico se puede obtener con unaestimacin en los nodos de un grid, empezando

de los datos disponibles, normalmente internos

en la area y de soporte puntual.



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Teoria de la estimacin linealMapa de isovalores

Es un mapa tematico obtenido por.

1. estimacin en los nodos de un grid.

2. interpolacin de los valores estimados para

obtener la lnea isovalor.



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Teoria de la estimacin linealEstimadores lineales

Los datos: z(x) =1,N

La variable a estimarz(x0)

La funcin matemtica mas simple es la

combinacin lineal (o media pesada).

Loslason los pesos.

=

=n

xzxz,1

0* )()(



77





Teoria de la estimacin linealLa FA estimador lineal

En Geoestadstica la VR z(x)es la realizacin deuna FA Z(x).

El estimador, como es una combinacin lineal de

FAs, es el mismo una VA.

El estudio de la VA estimador lineal sirve para

decidir como elejir los pesos la

( ) ( )=

=n

xZxZ,1

0

*

8



88





Teoria de la estimacin linealLa FALa FA error deerror de estimaciestimacinn

El error de estimacin:

Es una combinacin lineal de la FA

Es una VA y se puede estudiar con las

herramientas probabilisticas.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 100

0

1

00

*

==

==

=

=

conxZ

xZxZxZxZ

n

n

99



99





Teoria de la estimacin linealEl error de estimacin

El error de estimacin, como es una VA, estadefinido por la ley de probabilidades.

0,05

0,1

0,15

,

1010



1010





Teoria de la estimacin linealLaLa imparcialidadimparcialidad de lade la estimaciestimacinn

Una propiedad bsica: imparcialidad.

Lo mejor seria garantizar un error nulo, pero no

es posible:

Sin embargo podemos imponer que la media del

error sea nula:

El estimador que garantiza la media del error

nula se define imparcial.

[ ] ( ) ( ) 000* == xZxZEE

( ) ( ) 000*

== xZxZ

1111


11/43


1111





Teoria de la estimacin linealLa condiciones de imparcialidad

Si la FA es una FASt, su media es constante:E[Z(x)]=m

Entonces, imponer la imparcialidad

.implica

[ ] [ ] [ ]

( ) 01)()()()( 000

*

===

===

mmm

xZExZExZxZEE

1=


12/43

1313


13/43


1313





Teoria de la estimacin linealEjemplo: la media aritmetica

La media aritmtica.

es un estimador imparcial.

( )

( )

( ) ( )

11

1

11

11

1

0

*

==

===

==

==

=

nn

nn

n

n

xZxZnn

xZ

xZ

1414


14/43


1414





Teoria de la estimacin linealEjemplo: el inverso de la distancia

Los ponderadores son proporcionales al inverso de

la distancia entre un dato y el punto a estimar.

El estimador es imparcial si la constante de

proporcionalidad respeta la relacin.

==

==nn

a

xZxZ

h

kxZ11 0,

0

* )()(1

)(

=

==

===n

nn

h

kh

k

1 0,

1 0,1 1

11

1515


15/43


15





Teoria de la estimacin linealEjemplo: el inverso del cuadrado de la distancia

Lo mismo vale por el inverso del cuadrado de ladistancia:

La constante tiene que valer:

==

==nn

xZxZ

h

kxZ

a 1

'

1

20

* )()(1

')(

0,

=

===== n

nn

h

khk

12

0,

12

0,1

'

11'1'

1616


16/43


6





Teoria de la estimacin linealAlgn comentario

Todos los tres estimadores son imparciales. Media aritmtica: el resultado es independiente de la

ubicacin de los datos, solo importa el nmero.

Inverso de la distancia: el resultado depende de ladistancia entre dato y punto a estimar, entonces de

la ubicacin relativa de los datos.

Los tres no tienen en cuenta el tipo de variabilidad

espacial, que se expresa en el variograma.

1717


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Teoria de la estimacin linealQu se quiere estimar

Un punto: Ejemplo: los nodos de una malla.

muestras

Nodos de la malla

regular dondeestimar el valor Z0

de la variable

1818


18/43






Un bloque.

muestrasmuestras

Bloque del cual

estimar el valor

medio Zv de lavariable

Bloque del cual

estimar el valor

medio Zv de lavariable

1919


19/43






Un bloque irregular (parte de un campo).

muestras

Campo poligonal delcual estimar el valor

medio de la variable ZV

2020


20/43






Un yacimiento (un campo).

Campo del cualestimar el valormedio ZV de lavariable.

Campo del cualestimar el valormedio ZV de lavariable.

2121


21/43



Teoria de la estimacin lineal.

Estimadores tradicionales.


2222


22/43



Los estimadores tradicionales


Los estimadores tradicionalesLos estimadores lineales clsicos

Media mvil.

Polgonos de influencia.

Inverso de la distancia.

Interpolacin de los

mnimos cuadrados.blancoblanco

muestrasmuestras

2323


23/43





Los estimadores tradicionalesEl caso de estudio: campo y ubicacin de las muestras.

2424


24/43





Los estimadores tradicionalesEl caso de estudio: los datos de las muestras.

2525


25/43





Los estimadores tradicionalesEl caso de estudio: las clases de valores de los datos.

2626


26/43






Meda mvil

Mismo peso para todas lasmuestras.

No hay diferenciacin :

en funcin de la distanciadato-blanco.

en caso de informacin

superabundante.

%20

5 5,1

5,1*

==

==

=

=

i

i

ii

i

i

Z

Z

Z

2727


27/43





Los estimadores tradicionalesMedia mvil: ejemplo

2828


28/43





Los estimadores tradicionalesPolgonos de influencia

Toda la informacin deriva del dato mas cercano. La influencia es limitada a un solo dato.

11 22

33

44

55

2929


29/43





Los estimadores tradicionalesPolgonos de influencia: ejemplo

3030

TEORIA Y PRACTICA DE A ESTIMACION


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Los estimadores tradicionalesInverso de las distancias

Los pesos derivan solo de la

distancia dato-blanco.

No hay discriminacin en caso de

informacin superabundante.

La seleccin del grado de la funcin

es subjetiva.

( )

( )

=

=

=

== 5,15,1

5,1*

1 iii

i i

i i

i

Z

d

d

Z

Z

( ) ( ) iiii dddidddqi == :..:... 2

1

23

4

5

3131



31/43





Los estimadores tradicionalesInverso de las distancias: ejemplo

Inverso d

Inverso d2


32/43

3333



33/43






Interpolacin por mnimos cuadrados: ejemplo

Grado 2

Grado 6

3434



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Estimadores tradicionales: ejemplos EXCEL

3535

TEORIA Y PRACTICA DE LATEORIA Y PRACTICA DE LA


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TEORIA Y PRACTICA DE LA

ESTIMACION

TEORIA Y PRACTICA DE LA

ESTIMACION

Teoria de la estimacin lineal. Estimadores tradicionales.


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La varianza de extensin



Estimacin por extensin

La estimacin mas simple: el valor del dato seatribuye al volumen que esta a su alrededor; Zv(X0)

= Z(x0)

Zv(x0)?

Z(x0)

3737



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Es una estimacin imparcial?

S, la suma delos ponderadores es 1, entonces la

media del error es cero.

La varianza del error de estimacin se llama

varianza de extensin.

==== 1)()()( 00000*

xZxZxZv

[ ] 0)()( 00* === mmxZxZEE vv

[ ] ( ) ( )[ ]2002

00

*22 )()()()()0( xZxZExZxZEEv vvvE ===

3838



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Cuanto es precisa la estimacin por extensin?

Mediamente el error es nulo, entonces puede serpositivo o negativo (media cero).

La medida de cunto varia cerca de la media,

depende de la varianza del error. Esa se puede calcular con los variogramas.

( ) [ ] ( ) ( ) ( )vvvxZxZEEv vE ,,02)()(0 20022 ===

3939



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La precisin de la extensin

Depende de:

el tamao del volumen que tenemos que estimar, v

la ubicacin del punto, x0

el variograma, (h)

( ) ( ) ( )vvvvE ,,0202 =

4040



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La precisin y el volumen

Si el volumen a estimar tiende a cero,Zv0

la varianza de extensin tiende a cero tambin.

( ) ( ) 00020,00,02)0(2 === vE

4141



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La precisin y la variabilidad espacial

En el caso de un punto central y mismo volume, la

peor estimacin deriva de una variabilidad espacial

peptica.

( ) ( )

== vCvvvv

peppepE

11)0(,,02)0(2

4242



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La varianza de extensin en general

En general se habla de extensin cundo se estima el

valor medio desconocido de un volumen V a travs delvalor conocido de un volumen ven el contenido, v V

v puede ser tambien un conjunto de elementos: v = vk Evidentemente, porv= V 2E=0

v

V( ) ( ) ( ) ( )VVvvVvVvE ,,,2

2 =

4343



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Ejercicio

Calcular la precisin de estimacin de una

voladura por los tenores de los polvos de

perforacin de los barrenos, considerando

1. todos los datos.2. solo los datos centrales.

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