8 potenciaso hojas_de_trabajo_u2

Material de trabajo para los estudiantes

UNIDAD 2

GUÍAS DE TRABAJO

Matemáticas

Preparado por: Héctor Muñoz

Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl

FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO

Unidad 2Matemáticas

Guía de Trabajo N°1(TRABAJO INDIVIDUAL)

LA NOTACIÓN DE POTENCIAS

1 a. Observa la adición que muestra el recuadro A.¿Qué característica especial tiene esta adición?Escribe una multiplicación que represente a esta adición.¿Qué representa cada factor de la multiplicación que has escrito, en relación con la adición del recuadro A?

b. Observa la multiplicación que muestra el recuadro B.¿Qué característica especial tiene esta multiplicación?Escribe una potencia que represente a esta multiplicación.¿Qué representa cada número en la potencia que has escrito, en relación con la multiplicación del recuadro B?

4 Expresa como potencia de exponente 2 los siguientes números.

4 81 100 64 36 10.000

3 a. Calcula mentalmente o por escrito el valor numérico de cada una de las siguientes potencias.

6 al cuadrado 3 al cubo 2 e l e v a d o a 5

82 103 0,53 0,23 (1/2)3

b. Con ayuda de una calculadora, calcula el valor numérico de cada una de las siguientes potencias.

27 al cuadrado 9 al cubo 3 elevado a 6

55 113 95 1,54 0,44

Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

2 a. Escribe las potencias que representan a cada una de las siguientes multiplicaciones.

5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 1 0 0 · 1 0 0 · 1 0 0 · 1 0 0

0,09 · 0,09 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 1/4 · 1/4 · 1/4 · 1/4

b. Escribe las multiplicaciones representadas por cada una de las siguientes potencias.

73 105 2,53 0,43 0 , 3 4

3 + 3 + 3 + 3 + 3A

3 · 3 · 3 · 3 · 3B

sencial




5 ¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones son correctas?

53 = 5 + 5 + 5 53 = 5 · 3 53 = 5 · 5 · 5

53 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 53 = 3 · 5 53 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3

9 a. Escribe el valor numérico de las siguientes potencias de 10.

102 103 105 106 109

b. Escribe como potencias los siguientes números.

10.000 100 10.000.000 100.000.000

c. Escribe un número que sea mayor que 103 pero menor que 104.

d. ¿Qué característica en común tienen todos los números que son mayores que 103 pero menores que 104 ?

e. ¿Entre qué potencias de 10 están todos los números de 8 cifras?

8 Josefina ha escrito la siguiente secuencia:

22 = 4 33 = 9 44 = 16 55 = 25

¿Es correcta la secuencia de Josefina? ¿Qué modificaciones le harías a esta secuencia para que fuera correcta?

7 a. Mónica afirma que si una potencia de base 2 se multiplica por 2 el resultado es otra potencia de base 2. ¿Tiene razón? Explica tu respuesta e ilústrala con ejemplos.

b. Si una potencia de exponente 3 se multiplica por 3, ¿se obtiene otra potencia de exponente 3?

c. Expresa como potencia el resultado de las siguientes multiplicaciones (Sugerencia: escribe las potencias como multiplicación de factores iguales).

23 · 2 5 · 55 42 · 4 106 · 10

6 a. ¿Es lo mismo 34 que 43? Explica tu respuesta.

b. Muestra con ejemplos que cualquier potencia de base igual a 1 es igual a 1.

c. Muestra con ejemplos que cualquier potencia de base igual a 0 es igual a 0.

sencial





MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

1 Supongamos que se quiere multiplicar dos potencias de 10, por ejemplo, 103 · 105. De acuerdo con la definición de potencias, 103 = 10 · 10 · 10 y 105 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10. Por lo tanto:

103 · 105 = (10 · 10 · 10) · (10 · 10 · 10 · 10 · 10) = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 108

a. Explica cada uno de los pasos seguidos para llegar al resultado.

b. De acuerdo con este razonamiento, ¿cuánto es 103 · 105 ?

c. ¿Qué relación hay entre el exponente de los factores y el exponente del producto?

d. ¿Crees tú que esta relación será válida para cualquier multiplicación de dos potencias que tengan la misma base? Explica tu respuesta.

e. ¿Sería válido el razonamiento anterior si los factores fueran potencias de distinta base? Explica tu respuesta.

f. Escribe como potencia el resultado de las siguientes multiplicaciones.

32 · 33 105 · 106 52 · 54 25 · 25

2 Observa el siguiente razonamiento.

34 · 3 = (3 · 3 · 3 · 3) · 3 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35

a. ¿Estás de acuerdo con el resultado obtenido?

b. Ignacio afirma que esta multiplicación podría considerarse como un producto de potencias de igual base y escribe lo siguiente:

34 · 3? = 35 ¿Qué exponente debería tener el segundo factor para que se cumpliera la regla de multiplicación de potencias de igual base? Explica tu respuesta.

c. De acuerdo con lo anterior, ¿qué significado darías tú a estas potencias?

21 61 41 101 11


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DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

1 Supongamos que se quiere dividir dos potencias de 10, por ejemplo, 106 : 104.

Esto significa encontrar un número que multiplicado por 104 sea igual a 106. Es decir, se desea encontrar un número x tal que se cumpla la siguiente relación:

x · 104 = 106

a. ¿Crees tú que es posible encontrar una potencia de 10 que cumpla esta relación? ¿Cuánto debería ser su exponente?

b. ¿Qué relación ves tú entre este exponente, el exponente del dividendo y el exponente del divisor de la división inicial?

c. Escribe como potencia el resultado de las siguientes divisiones.

105 : 102 105 : 101 106 : 103 105 : 104

2 a. Elisa afirma que al resultado de una división de dos potencias de 10 es también una potencia de 10. ¿Estás de acuerdo con ella? Justifica tu respuesta.

b. Elisa afirma también que esa relación también es válida para la división de potencias de igual base aunque la base sea un número natural distinto de 10. ¿Estás de acuerdo con ella? Justifica tu respuesta.

c. ¿Podrías enunciar una regla para encontrar el resultado de una división de potencias de igual base? Compara tu propuesta con la de tus compañeras y compañeros.

d. ¿Te parece razonable esto, considerando que la división es la operación inversa de la multiplicación y que la sustracción es la operación inversa de la adición? Explica tu respuesta.

e. Escribe como potencia el resultado de las siguientes divisiones.

46 : 44 34 : 31 83 : 82 55 : 53

(Nota: En la división de potencias de igual base, vamos a considerar solo los casos en que el exponente del dividendo es mayor que el exponente del divisor. Luego veremos qué hacer si el exponente del dividendo es igual o menor que el exponente del divisor.)


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MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE

1 Supongamos que se quiere multiplicar dos potencias que tienen distinta base pero igual exponente, por ejemplo, 43 · 53.

De acuerdo con la definición de potencias, 43 = 4 · 4 · 4 y 53 = 5 · 5 · 5.

Por lo tanto: 43 · 53 = (4 · 4 · 4) · (5 · 5 · 5) = (4 · 5) · (4 · 5) · (4 · 5) = (4 · 5)3 = 203.


b. De acuerdo con este razonamiento, ¿cuánto es 43 · 53 ?

c. ¿Qué relación hay entre el exponente de los factores y el exponente del producto? ¿Y entre la base de los factores y la base del producto?

d. ¿Crees tú que estas relaciones serán válidas para cualquier multiplicación de dos potencias que tengan el mismo exponente? Explica tu respuesta.

e. Escribe como potencia el resultado de las siguientes multiplicaciones.

24 · 34 45 · 65 52 · 32 23 · 103


2 Supongamos que se quiere dividir dos potencias que tienen distinta base pero igual exponente, por ejemplo, 34 : 84. Escribamos la división como una fracción y las potencias como multiplicciones de factores iguales.

4

34 : 84 = = · · · =


b. De acuerdo con este razonamiento, ¿cuánto es 34 : 84?

c. ¿Qué relación hay entre el exponente del dividendo, el exponente del divisor y el exponente del cuociente? ¿Y entre la base del dividendo, la base del divisor y la base del cuociente?

d. ¿Crees tú que estas relaciones serán válidas para cualquier división de dos potencias que tengan la misma base? Explica tu respuesta.

e. Escribe como potencia el resultado de las siguientes divisiones.

34 : 24 85 : 45 12 : 32 103 : 23

3 · 3 · 3 · 3___________8 · 8 · 8 · 8

3__8

3__8

3__8

3__8

3__8

sencial






1 En las guías anteriores, al tratar la división de potencias de igual base, nos hemos limitado a los casos en que el exponente del dividendo es mayor que el exponente del divisor. Ahora analizaremos lo que sucede cuando el exponente del dividendo es igual o menor que el exponente del divisor.

Y esto nos permitirá dar una interpretación a potencias de exponente 0 y a potencias de entero negativo.

a. ¿Qué resultado se obtiene si se divide por sí mismo un número cualquiera distinto de cero?

b. Consideremos la división 104 : 104. ¿Qué resultado obtendríamos si aplicamos la regla de división de potencias de igual base?

c. Comparando las respuestas a las dos preguntas anteriores, ¿qué valor le darías a la potencia 100?

d. ¿Qué valor le darías a potencias de exponente 0 y cuya base es un número natural cualquiera? Justifica tu respuesta y discútela con tus compañeros y compañeras.


2 a. ¿Qué resultado obtienes si aplicas la regla de división de potencias de igual base a la división 103 : 105?

Este resultado no puede ser interpretado como una multiplicación de factores iguales. Para encontrarle una interpretación, resolvamos esa división utilizando otros procedimientos.

103 103 1105 103 · 102 102

b. Explica cada uno de los pasos seguidos para llegar al resultado.

c. De acuerdo con esto, ¿cuánto debería valer la potencia 10-2 para no entrar en contradicciones con nuestros conocimientos matemáticos anteriores?

= =

3 a. ¿Qué interpretación darías a las siguientes potencias?

2-3 5-2 10-4 4-1 3-2

b. Escribe el valor numérico de las siguientes potencias de 10.

10-3 10-5 10-1 101 100

c. ¿Qué características tienen todas las potencias de 10 de exponente entero negativo?

sencial




4 a. Escribe el resultado de las siguientes multiplicaciones de un número natural o decimal por una potencia de 10 de exponente positivo.

3 · 103 45 · 106 200 · 102 2.500 · 101

0,8 · 102 6,25 · 105 0,008 · 101 0,04 · 105

b. Escribe el resultado de las siguientes divisiones de un número natural o decimal por una potencia de 10 de exponente positivo.

5 : 103 38 : 106 600 : 102 8.400 : 101

0,3 : 102 4,77 : 105 2,1 : 101 54 : 105

c. Escribe el resultado de las siguientes multiplicaciones de un número natural por una potencia de 10 de exponente negativo.

5 · 10-1 32 · 10-3 400 · 10-6 8.250 · 10-2

d. Escribe el resultado de las siguientes multiplicaciones de un número decimal por una potencia de 10 de exponente negativo.

0,2 · 10-2 3,6 · 10-5 0,005 · 10-3 0,033 · 10-2

5 Escribe los siguientes números como el producto de un número natural por una potencia de 10.

8.000 150.000.000 17.000 25.000.000.000

0,9 0,0065 0,02 0,000 000 04

6El recuadro1 muestra la descomposición de dos números.

Estas descomposiciones pueden ser expresadas como una suma de productos de un dígito por una potencia de 10, como muestra el recuadro 2.

Escribe en la forma que muestra el recuadro 2 la descomposición de los siguientes números.

4.520 175.038 22.422 108.898.000

36,5 0,81 0,0066 5,777

328 = 300 + 20 + 88,036 = 8 + 0,03 + 0,006

1

328 = 3 · 102 + 2 · 101 + 8 · 100

8,036 = 8 · 100 + 3 · 10-2 + 6 · 10-3

2

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