8) funciones

Fatela Preuniversitarios

Matemática - Funciones- 1 -23

MATEMÁTICA: GUÍA º 8 “FU CIO ES”

RELACIO ES: Producto Cartesiano

Dado un conjunto “A” llamado conjunto de partida, y un conjunto “B”

llamado conjunto de llegada, se define el producto cartesiano “A x B” entre

ambos conjuntos como el conjunto de todos los pares ordenados que se

pueden formar: donde el primer componente pertenece a “A” y el segundo

componente del par pertenece a “B”.

Otro ejemplo:

y B = {2,3}

A x B = {(2;2), (2;3), (3;2), (3;3), (4;2), (4;3), (5;2), (5;3)}

El producto cartesiano será:

Si A = { ( )/ 2 5x x � x∈ ∧ ≤ ≤ }

Que puede ser representado en el siguiente gráfico cartesiano:

x

y

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

Conjunto de

Partida

Conjunto de

Llegada

Producto

Cartesiano

A = {a, b, c} B = {1, 2}

A x B = {(a;1), (a;2), (b;1), (b;2), (c;1), (c;2) }

Por ejemplo, si y

El producto cartesiano será:



RELACIÓ

Se dice que ℜ es una relación que aplica “A” en “B”, si es un

subconjunto del Producto Cartesiano “A x B”, o sea que es un determinado

conjunto de pares ordenados cuya primer componente pertenece a “A”,

(llamado Conjunto de Partida) y cuya segunda componente pertenece a “B”,

(Conjunto de Llegada).

Para practicar: Dadas los conjuntos de partida "A" y de llegada "B"

especificados, hallar el producto cartesiano "A x B"

expresándolo por extensión mediante pares ordenados

(cuando sea posible); y graficarlos en gráficos

cartesianos.

a) A ={x / x ∈ Z ∧ −1 ≤ x < 2} ; B ={x / x ∈ N ∧ 3 < x ≤ 5}

b) A ={x / x ∈ R ∧ 1 ≤ x ≤ 4} ; B ={x / x ∈ R ∧ 2 < x < 5}

B = {a, b, c, d, e} A = {1, 2, 3, 4}

ℜ = {(1;b), (2;c), (2;d), (3;e)}

Por ejemplo, si y

Una relación ℜ que aplica A en B ℜ : A → B

Gráficamente, en un diagrama de flechas es:

A B Conjunto

de Partida

Conjunto

de Llegada

4

a

Dominio de

la Relación

Imagen de

la Relación

3

2

1 b

c

d

e

Podría ser :



En el diagrama de flechas, cada par ordenado de una relación se

representa como una flecha que une al elemento del conjunto de partida

(objeto) con un elemento en el conjunto de llegada (imagen).

Se llama “Dominio” de una relación ℜ al subconjunto incluido en el

conjunto de partida de los elementos de “A” que tienen imagen sobre el

conjunto de Llegada. Gráficamente es el subconjunto de “A” desde donde

parten las flechas.

Se llama “Imagen” de una relación ℜ al subconjunto incluido en el

conjunto de llegada de los elementos de “B” que son imagen de al menos un

punto del conjunto de partida. Gráficamente es el subconjunto de “B” hacia el

cual llegan las flechas.

RELACIÓ I VERSA

Dada una relación ℜ que aplica “A” en “B”, existe una “Relación

Inversa” 1−ℜ que aplica “B” en “A” que contiene el conjunto de todos los

pares ordenados de la relación original ℜ , pero con el orden de sus

componentes cambiado.

Si ℜ : A → B 1−∃ ℜ : B → A ( ) ( )( )1/ ; : ;x y y x

−∀ ∈ℜ ∈ℜ

A B

4

a

3

2

1 b

c

d

e

Gráficamente, en un diagrama de flechas la relación inversa 1−ℜ es:

Dominio de la Relación

Inversa

Imagen de la Relación

Inversa

Conjunto de Partida de

la Relación Inversa

Conjunto de Llegada

de la Relación Inversa



Toda relación ℜ cualquiera sea, admite siempre una relación inversa 1−ℜ .

A continuación veremos un tipo especial de relación: “la relación

funcional o función” de importancia capital en Matemática y las condiciones

que debe cumplir una relación para ser considerada función. También

analizaremos la posibilidad de que esta función admita una función inversa.

FU CIO ES

Para que una relación ℜ sea una “relación funcional” o “función” deben

cumplirse dos condiciones:

1) Existencia: Todo elemento correspondiente al conjunto de Partida “A”

debe tener una imagen en el conjunto de llegada “B”. Es decir

que el dominio de la relación debe ser igual al conjunto de

partida “A”. En lenguaje simbólico:

Un ejemplo de una relación que cumple la condición de existencia sería:

1−ℜ = {(b;1), (c;2), (d;2), (e;3)} La relación inversa sería:

ℜ cumple existencia ( )( )/ : ;x x A y B x y⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ ∈ℜ

A B

4

a

3

2

1 b

c

d

e

Dominio de

la Relación

La relación del ejemplo que estamos tratando no es función debido a

que el elemento “4” no tiene una imagen relacionada en “B”.

El conjunto de partida difiere por tanto del dominio de la relación.

Conjunto de Partida

Dom (ℜ ) ≠ A No es Función porque:



Pero esta condición de existencia no basta para asegurar que la relación

sea función; debe cumplir también una segunda condición: la unicidad.

2) Unicidad: Cada elemento correspondiente al conjunto de Partida “A” debe

tener una sola imagen en el conjunto de llegada “B”. Es decir

que no puede haber un elemento del dominio asociado con dos

valores distintos de imagen en el conjunto de llegada.

En lenguaje simbólico:

Estas dos condiciones que debe cumplir una relación ℜ para ser una

función, pueden sintetizarse en una sola: "La relación ℜ es función si cada

elemento del Conjunto de Partida (A) tiene una y sólo una imagen en el

conjunto de llegada (B)".

ℜ cumple unicidad:

( ) ( )( )( ), , : ; ;x A y B z B x y x z y z⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ℜ ∧ ∈ℜ ⇒ =

A B

4

a

3

2

1 b

c

d

e

La relación del ejemplo que estamos tratando no cumple unicidad

debido a que el elemento “2” tiene dos imágenes distintas en “B”.

No hay unicidad pues

c y d son dos

imágenes distintas

asociadas al elemento

"2" del dominio.

A B a

3

2

1 b

c

d

e Dominio de

la Relación

Conjunto de Partida Dom (ℜ ) = A

4

El Dominio

de la relación

es igual al

Conjunto de

Partida



Si la relación se expresa gráficamente por diagramas de flechas, para

determinar si es función habrá que revisar que desde cada elemento del

conjunto de partida "A" salga una y sólo una flecha hacia algún elemento en

"B".

Por ejemplo: en las siguientes relaciones expresadas por diagramas de

flechas, las dos primeras son funciones puesto que cumplen las condiciones de

existencia y unicidad; pero las dos restantes no son funciones al no satisfacer

dichas condiciones simultáneamente.

Usamos estos diagramas de flechas sólo para una ilustración sencilla de

los conceptos básicos de función, pero en la práctica los conjuntos de partida

“A” y de llegada “B” son conjuntos de infinitos elementos puesto que son

intervalos de la recta real.

Por ello, no es posible hacer una representación mediante flechas de los

también infinitos pares ordenados que pertenecen a la relación o función.

Para representar estas relaciones o funciones se recurre entonces a la

gráfica cartesiana. Los elementos del conjunto de partida “A” se ubican en el

eje horizontal de abscisas y los elementos del conjunto de llegada “B” se

ordenan en el eje vertical de ordenadas.

Luego cada par ordenado (x;y) que pertenezca a la función se indica con

un punto sobre el plano XY. La representación gráfica de la función es por

tanto una curva plana compuesta por infinitos puntos.

A B a

3

2

1

b

c

d

e 4

Son funciones

No son funciones

A B a

3

2

1

b

c

d

e 4

A B a

3

2

1

b

c

d

e 4

A B a

3

2

1

b

c

d

e 4



Dada una relación en coordenadas cartesianas, para determinar si es

función o no, se procede así:

1) Se toma una recta vertical (de ecuación x = constante) y se “barre” con

ella todos los elementos del conjunto de partida “A” especificados.

2) Si esta recta “imaginaria” corta siempre una y sólo una vez a la gráfica

dada, la misma corresponde a una función.

Si no la corta en algún punto o la corta más de una vez, no

corresponderá a una función.

Algunos ejemplos de relaciones que no son función:

x

y

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

ℜ : [1; 5] → [2; 4]

Recta imaginaria Vertical

La recta Vertical corta

siempre (en todo el dominio

“A”) una y sólo una vez a la

gráfica dada.

La relación ℜ es función

x

y

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

A = [1; 5]

B = [2; 4]

ℜ : A → B

Representación Cartesiana de una Relación ℜ que aplica A en B.

Conjunto

de Partida

Conjunto

de Llegada



Como vemos, no basta con dar la gráfica de una relación para poder

saber si es función o no, sino que también hay que indicar el conjunto de

partida “A” que debe considerarse.

Para practicar: 1) Dadas las siguientes relaciones mediante diagrama

de flechas, determinar si se trata de funciones o no.

En este último caso indicar la condición que no se

cumple.

x

y

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

ℜ : [1; 5] → [2; 4]


La recta Vertical en ocasiones

no corta a la gráfica dada.

La relación ℜ no es función

No cumple “existencia” para

algunos valores del dominio “A”

A

x

y

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

ℜ : [1; 5] → [2; 4]


La recta Vertical corta más de

una vez (en algunos puntos) a la

gráfica dada.

La relación ℜ no es función

No cumple “unicidad”

A



A B

a

3

2

1

b c

d 4

A B

a

3

2

1

b c

d 4

A B

a

3

2

1

b c

d 4

A B a

3

2

1

b c

d 4

A B

a

3

2

1

b c

d 4

A B

a

3

2

1

b c

d 4

a) b) c)

d) e) f)

x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

ℜ : [1; 5] → [1; 5]

ℜ : [1; 5] → [1; 5]

ℜ : [1; 5] → [1; 5]

x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

ℜ : [1; 5] → [1; 5]

ℜ : [1; 5] → [1; 5]

ℜ : [1; 5) → [1; 5]

2) Dadas las siguientes relaciones mediante diagramas cartesianos "XY",

determinar si se trata de funciones o no.

En este último caso indicar la condición que no se cumple.

a) b) c)

d) e) f)



CLASIFICACIÓ DE FU CIO ES

Las funciones se pueden clasificar en:

Se sobreentiende que antes de clasificar funciones debe constatarse que

realmente se trata de relaciones funcionales o funciones, mediante la

comprobación de las condiciones de existencia y unicidad.

Como vemos, una función puede no caer dentro de alguna de estas tres

categorías; no ser inyectiva, ni suryectiva ni biyectiva, como queda reflejado

en el diagrama de Venn precedente.

Respuestas: 1) a) No es función (no hay existencia para "4")

b) Sí es función.

c) No es función (no hay unicidad para "2")

d) Sí es función.

e) No es función (no existe para "2" y "4" y no hay unicidad para "3")

f) Sí es función.

2) a) Sí es función.

b) No es función (no hay unicidad en todo el intervalo (1,5]).

c) Sí es función.

d) No es función (no hay existencia para el intervalo (4;5])

e) No es función (no hay existencia para "1" y "5")

f) Sí es función.

Inyectivas Suryectivas

I S B

Biyectivas

U

Universo de Funciones



Esta clasificación de funciones se hace con el objeto de estudiar si las

funciones admiten una función inversa o no.

Una relación cualquiera siempre admite una relación inversa, como

hemos visto. Pero una función tiene que cumplir ciertos requisitos para que la

relación inversa también sea función (o sea también cumpla las condiciones de

existencia y unicidad). Con miras a establecer si una función podrá invertirse

o no, existen los siguientes tipos de funciones:

A) Inyectivas:

Una función "f" que aplica "A" en "B" es inyectiva si cada elemento del

conjunto de llegada "B" es imagen de un solo elemento del conjunto de partida

"A" o de ninguno.

En otras palabras, "f" es inyectiva si cada elemento de "B" es imagen de

un elemento de "A" como máximo.

Dado una función mediante un diagrama de flechas, es inyectiva si a cada

elemento de "B" llega una sola flecha o ninguna. O sea, si a cada elemento de

"B" llega una sola flecha como máximo.

Dada una función en coordenadas cartesianas, para determinar si es

inyectiva, se procede así:

1) Se toma una recta horizontal (de ecuación y = constante) y se “barre”

con ella todos los elementos del conjunto de llegada “B” especificados.

2) Si esta recta “imaginaria” corta siempre una sola vez o ninguna vez a

la gráfica dada, la función es "inyectiva".

FU CIÓ I YECTIVA

A B a

3

2

1 b

c

d

e 4

f x

y

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

A

f : [1; 5] → [1; 4]

B

B

La relación inversa f -1 no

es función pues no cumple

la condición de existencia.



Por lo tanto una función inyectiva "pura" no admite una función inversa.

B) Suryectivas:

Una función "f" que aplica "A" en "B" es suryectiva si cada elemento del

conjunto de llegada "B" es imagen de uno o más de un elemento del conjunto

de partida "A".

En otras palabras, "f" es suryectiva si cada elemento de "B" es imagen de

un elemento de "A" como mínimo. De manera que la imagen de una función

suryectiva coincide exactamente con el conjunto de llegada.

Dado una función mediante un diagrama de flechas, es suryectiva si a

cada elemento de "B" llega una flecha o más de una. O sea, si a cada elemento

de "B" llega una flecha como mínimo.


suryectiva, se procede así:



2) Si esta recta “imaginaria” corta siempre una vez o más de una vez a la

gráfica dada, la función es "suryectiva".

C) Biyectivas:

Una función "f" que aplica "A" en "B" es biyectiva si cada elemento del

conjunto de llegada "B" es imagen de uno y sólo un elemento del conjunto de

partida "A".

FU CIÓ SURYECTIVA

A B

a

3

2

1

b

c 4

x

y

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

A

f : [1; 5] → [1; 4]

B

B

La relación inversa f -1 no es función pues

no cumple la condición de unicidad.

Imagen de "f"= B



La función "f" es biyectiva si es inyectiva y suryectiva a la vez. La

imagen de una función biyectiva también coincide exactamente con el

conjunto de llegada.

Dado una función mediante un diagrama de flechas, es biyectiva si a cada

elemento de "B" llega una y sólo una flecha.


biyectiva, se procede así:



2) Si esta recta “imaginaria” corta siempre una y sólo una vez a la gráfica

dada, la función es "biyectiva".

Como vemos, la función biyectiva es la única función que admite una

función inversa.

Para practicar: 1) Dadas las siguientes funciones mediante diagrama

de flechas, clasificarlas como inyectivas, suryectivas,

biyectivas o indicar que la función no se ajusta a

ninguna de estas clasificaciones.

FU CIÓ BIYECTIVA

A B

a

3

2

1

b

c

4 x

y

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

A

f : [1; 5] → [1; 4]

B

B

La relación inversa f -1 sí es función pues cumple

las condiciones de existencia y unicidad.

d

Imagen de "f"= B



x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

f : [1; 5] → [1; 5]

f : [1; 5] → [1; 5]

f : [1; 5] → [1; 5]

x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

f : [1; 5] → [1; 5]

f : [1; 5] → [1; 5]

f : [1; 5] → [1; 5]

A B a

3

2

1 b

c

e 4

A B

a

3

2

1

b c 4

A B a

3

2

1

b c

d 4

A B

a

3

2

1

b c

d 4

A B

a

3

2

1

b 4

2) Dadas las siguientes funciones mediante diagramas cartesianos "XY",

clasificarlas como inyectivas, suryectivas, biyectivas o indicar que la

función no se ajusta a ninguna de estas clasificaciones.

a) b)

d) e) f)

d

f

A B a

3

2

1 b

c

e 4

c)

d

f



Cabe aclarar que la sola gráfica cartesiana de una función por sí sola no

permite clasificarla como inyectiva, suryectiva o biyectiva; sino que hay que

contar además con la definición de los conjuntos de partida y de llegada "A" y

"B".

Con un ejemplo demostraremos como una cierta función puede ser

inyectiva, suryectiva, biyectiva o puede no ajustarse a ninguna de estas

clasificaciones, según como se definan los conjuntos de partida y de llegada

"A" y "B".

−3 −2 −1 0 1 2 3

x

y

1

2

3

4

f : 2/ y x→ =� �

Conjunto de Llegada

B = (−∞; ∞)

Definida así

no es inyectiva,

ni suryectiva,

ni biyectiva

−1

−2

Respuestas: 1)

a) No es inyectiva, suryectiva ni biyectiva.

b) Suryectiva.

c) Inyectiva.

d) Biyectiva.

e) No es inyectiva, suryectiva ni biyectiva.

f) Suryectiva.

2) a) Suryectiva.

b) Biyectiva.

c) Inyectiva.

d) No es inyectiva, suryectiva ni biyectiva.

e) Suryectiva.

f) Inyectiva.



Ahora tomamos la misma función pero restringimos el conjunto de

llegada a los valores reales positivos más el cero:

Ahora otra vez con la misma función restringimos el conjunto de partida

a los valores reales positivos más el cero, dejando como conjunto de llegada

todos los números reales:

Por último restringimos tanto el conjunto de partida como el de llegada a

los números reales positivos más el cero, con lo cual la función se transforma

en biyectiva y por lo tanto posible de ser invertida.

−3 −2 −1 0 1 2 3

x

y

1

2

3

4

f : 2[0; ) / y x∞ → =�

Conjunto de Llegada

B = (−∞; ∞)

Definida así

es inyectiva.

−1

−2

Sólo se toma la

rama de valores

positivos de "x"

−3 −2 −1 0 1 2 3

x

y

1

2

3

4

f : 2[0; ) / y x→ ∞ =�

Conjunto de Llegada

B = [0; ∞)

Definida así

es suryectiva.

−1

−2



Funciones definidas mediante una expresión analítica

Como vemos, una función es una relación matemática entre dos variables,

la “x” llamada variable independiente, pues se le puede dar cualquier valor

que se desee (dentro de un dominio) y otra variable, la “y” dependiente de “x”

que es la llamada función.

Las funciones se pueden representar gráficamente usando un sistema de

coordenadas cartesianas, que consiste en un par de ejes perpendiculares entre

sí donde se ubican los valores de la variable independiente “x” en el eje

horizontal y los valores de la función “y” en el eje vertical.

Una forma segura para graficar cualquier función es hacer una tabla de

valores en la cual se le van dando valores en forma arbitraria a la “x” y se va

calculando el valor que le corresponde a la “y”.

Por ejemplo para la función y = 2. x + 1, se puede realizar la siguiente

tabla de valores:

x y

0 2.0 + 1 = 1

1 2.1 + 1 = 3

2 2.2 + 1 = 5

3 2.3 + 1 = 7

4 2.4 + 1 = 9

−3 −2 −1 0 1 2 3

x

y

1

2

3

4

f : 2[0; ) [0; ) / y x∞ → ∞ =

Conjunto de Llegada

B = [0; ∞)

Definida así

es biyectiva.

−1

−2

Sólo se toma la

rama de valores

positivos de "x"

Luego, para graficarla se van ubicando los

puntos de la tabla de valores en el gráfico “xy”,

con la “x” llamada la abscisa, sobre el eje

horizontal y la “y” también conocida como

ordenada, sobre el eje “y”. Uniendo estos

puntos surge la curva plana que representa a la

función.

La representación gráfica de esta función es:



Para practicar: Dadas las siguientes funciones mediante su expresión

analítica, graficarlas haciendo previamente la tabla de

valores y clasificarlas como inyectivas, suryectivas,

biyectivas o indicar que la función no se ajusta a

ninguna de estas clasificaciones.

a) y = 2.x + 1 f: R → R (Biyectiva)

b) y = x2 − 1 f: R → [-1; ∞) (Suryectiva)

c) y = 2x f: R → R (Inyectiva)

d) y = − x2 + 4 f: R → R (Ni inyectiva ni suryectiva)

6

7

4

5

3

2

1

x

y

1 2 3 4 5 6 0

Eje de Ordenadas Eje de Abscisas



Trabajo Práctico ° 8 "Relaciones y funciones"

8.1) Dadas los conjuntos de partida "A" y de llegada "B" especificados, hallar

el producto cartesiano "A x B" expresándolo por extensión mediante

pares ordenados (cuando sea posible); y graficarlos en gráficos

cartesianos.

8.2) Dadas las siguientes relaciones que aplican A en B, mediante diagrama de

flechas, determinar si se trata de funciones o no. En este último caso

indicar la condición que no se cumple.

A B

a

3

2

1

b c

d 4

A B

a

3

2

1

b c

d 4

A B

a

3

2

1

b c

d 4

A B a

3

2

1

b c

d 4

A B

a

3

2

1

b c

d 4

A B

a

3

2

1

b c

d 4

a) b) c)

d) e) f)

x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

ℜ : [1; 5] → [1; 5]

ℜ : [1; 5] → [1; 5]

ℜ : (1; 5) → [1; 5]

8.3) Dadas las siguientes relaciones mediante diagramas cartesianos

"XY", determinar si se trata de funciones o no. En este último caso

indicar la condición que no se cumple.

a) b) c)

a) A ={x / x ∈ R ∧ −2 ≤ x < 3} ; B ={x / x ∈ R ∧ 1 ≤ x < 4}

b) A ={x / x ∈ N ∧ 2 ≤ x ≤ 4} ; B ={x / x ∈ R ∧ 0 < x < 5}



A B a

3

2

1 b

c

e 4

A B

a

3

2

1

b c 4

A B a

3

2

1

b c

d 4

A B

a

3

2

1

b c

d 4

A B

a

3

2

1

b 4

8.5) Dadas las siguientes

funciones mediante

diagramas cartesianos

"XY", clasificarlas

como inyectivas,

suryectivas,

biyectivas o indicar

que la función no se

ajusta a ninguna de

estas clasificaciones.

a) b)

d) e) f)

d

f

A B a

3

2

1 b

c

e 4

c)

d

f

e

x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

f : [1; 5] → [1; 5]

f : [1; 5] → [1; 5]

a) b)

x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

ℜ : (1; 5] → [1; 6)

ℜ : [1; 5] → [1; 5]

ℜ : (1; 5) → [1; 6]

d) e) f)

8.4) Dadas las siguientes funciones mediante diagrama de flechas,

clasificarlas como inyectivas, suryectivas, biyectivas o indicar que la

función no se ajusta a ninguna de estas clasificaciones.



8.6) Dadas las siguientes funciones mediante su expresión analítica,

graficarlas haciendo previamente la tabla de valores y clasificarlas

como inyectivas, suryectivas, biyectivas o indicar que la función no

se ajusta a ninguna de estas clasificaciones.

a) y = 3

−x + 1 f: R → R

b) y = x − 1 f: R → R

c) y = (x − 2)2 f: [1; ∞) → R

d) y = − x2 − 2 f: [−2; 2] → [−6; −2]

x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

f : [1; 5] → [1; 5]

f : [1; 5] → [1; 5]

f : [1; 5) → [1; 5]

d) e) c)



Resultados del Trabajo Práctico ° 8

"Relaciones y funciones"

8.1)

8.4) a) Inyectiva.

b) No es inyectiva, suryectiva ni biyectiva.

c) No es inyectiva, suryectiva ni biyectiva.

d) Biyectiva.

e) Inyectiva.

f) Suryectiva.

8.2) a) Sí es función.

b) No es función (no hay existencia para "2").

c) Sí es función.

d) No es función (no existe para "1" y no hay unicidad para "4")

e) No es función (no existe para "2" y "4", no hay unicidad para "3", etc.)

f) No es función (no existe para "2" y "4", no hay unicidad para "1" y "3")

8.3) a) No es función (no se cumple unicidad).

b) No es función (no hay existencia en el intervalo [1,2)).

c) Sí es función.

d) Sí es función.

e) No es función (no hay unicidad para "3").

f) No es función (no hay existencia para "3").

x

y

−3 −2 −1 0 1 2 3

1

3

4

2

5

6

a)

x

y

0 1 2 3 4 5

1

3

4

2

5

6

b) A x B

A x B



8.6)

a) Inyectiva.

b) Biyectiva.

c) No es inyectiva, suryectiva ni biyectiva.

d) Suryectiva.

8.5)

a) Biyectiva.

b) Suryectiva.

c) Inyectiva.

d) No es inyectiva, suryectiva ni biyectiva.

e) Inyectiva.

8) funciones

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