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1

RESUME-N de la tesis de César Cuauhtémoc Barajas Olalde presentadacomo requisite parcial para la obtencién del grado de MAESTRO EN CIENCIASen GEOFISICA con opcién en GEOFISICAAPLICADA. Ensenada, Baja California,México. Diciembre de 1989. "

CALCULO DE LA RESPUESTA EN RESISTIVIE)/LD DE CUERPOSCONDUCTORES EN UN MEDIO ESTRATIFICADO

1 ./WXResumen aprobado por: _ , _, _ _>_ W3 W ______ _ __ ___Dr. Carlos FF In\~:fisc0 Flores Luna

Director de Tesis

La necesidad de mejores herramientas en 1aintérp1"eta.ci6n de datosobtenidos en e1 método de Resistividad ha ocasionado q~ue dia con dia Iastécnicas numéricas utilizadas para modelar en tres dimensiones necesitenser més versétiles.

En este trabajo implementamos un algoritmo de ecuacién integral paracalcular las respuestas de cuerpos concluctores en un medic de capas. E1modelo usado consiste en un conjunto de placas delgadas conductoras coninclinacién arbitraria. E1 algoritmo esté basado en la re-presentacién delcampo eléctrico secundario PC-I medio -ie dipolos de corriente en los pianosde las placas. Las intensidades de los dipoles se obtienen resolviendo lasecuaciones simulténeas construidas a partir de la continuidad del campoeléctrico tangencial a las placas. Los potenciales seczundarios en lasupe1‘ficie'son calculados de las intensidades dipolares ya determinadas.El efecto del medic estratificado es considerado por e] Inétodo de imégenes,t-s.

Sc c01.1p"rob

Para evaluar el algoritmo se compararon las respuestas con una soluciénanalitica y con soluciones numéricas (diferencias finitas, elemento finito yecuaczién integral), de las cuales se obtuvieron resultados bastantesatisfactorios.

Finalmente, se ha dado una de las posibles aplicaciones del método alevaluar la magnitud de la respuesta esperada de una placa en un mediode capas.

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i

TESIS DEFENDIDA POR: CESAR CUAUHTEMCII BARAJAS OIALIIE

Y APROBADA POR EL SIGUIENTE CCMITE:

Dr. Carlos Flores Luna, Director del (Jornité M 7

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[aw

CENTRO DE INVESTIGACION CIENTIFICA Y DE

EDUCACION SUPERIOR DE ENSENADA.

DIVISION DFI OTENCIAS DE L-A TIERRA

DEPARTAMENTO DE GEOFISICA APLICADA

CALCULO DE LA RESPUESTA EN RESISTIVIDAD DE CUERPOS

CONDUCTORES EN UN MEDIO ESTRATIFICADO

TESIS

que para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el

grade de MAESTRO EN CIENCIAS presenta:

CESAR CUAUHTEMOC BARAJAS OLALDE

Ensenada, Baja California, Diciembre de 1989.

x2

DEDICATORIA

A mis padres y hermanosquienes me han dado todo.

Con mucho carifio para.

Lolita.

Ze§"

1

Z

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5

AGRADECIMIENTOS

Al Dr. Carlos Flores Luna por su direccién en este trabajo y sobre

todo por su amistad.

A Guadalupe Miriam Hernandez Arroyo por su gran ayuda.

A todos los miembros del comité de tesis por sus comentarios y

correcciones a1 manuscrito.

A todos mis amigos con los que he compartido los buenos y malos

momentos.

A todos mis profesores y compafieros.

Al Centro de Investigacion Cientifica y de Educacion Superior de

Ensenada, B. C.

A1 Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologia.

S

1>

I

CONTENIDO

Pégina

INTRODUCCION 1

1.1 Objetivos 5

TEORIA 8

II. 1 Introduccion 8

II.2 Método de Resistividad 8

-IL3 Placas inclinadas en un semiespacio de doscapes 23

II.4 Imagenes 24

II.5 Solucion Numérica 31

IL6 Potenciales Secundarios 33

PRUEBAS DE AUTO—CONSISTENCIA 37

III.1 Introduccion 37

IIL2 Pruebas de convergencia 3'?

I1I.2.1 Prueba con place. horizontal 39

III.2.2 Prueba con place vertical 44

IIL3 Prueba de reciprocidad 48

IIL4 Prueba de saturacién 52

IIL5 Conclusiones 56

EXPERIMENTOS NUMERICOS CON MEDIO ENCAJONANTEHOMOGENEO 57

IV.1 Introduccion 57

CONTENIDO (Continuacién)

IV.Z Liston bidimensional perfectamente conductor

IV.3 Esfera perfectamente conductora

IV.4 Cuerpo cfibico

IV.5 Conclusiones

V EXPERIMENTOS NUMERICOS CON MEDIO ENCAJONANTEESTRATIFICADO

V.l Introduccién

V.2 Comparacién con un cuerpo simétrico

V.3 Comparacion con un cuerpo asimétrico

V.4 Efecto de la capa superficial

V.5 Gonclusiones

VI CONCLUSIONES Y DISCUSIONES

LITERATURA CITADA

P_égii1a57658489

90

90

9l

93

97

100

101

107

LISTA DE FIGURAS

Figura Paglna

Modelo general de placas en un medio estratificado.

Parametros de las placas. (a) Vista frontal donde a es laextension en el eje y, b longitud de la placa en el plano XZ,p , y pa las resistividades de las dos capas, z, la profundidada la interfaz. (b) Vista lateral, donde d es el angulo deinclinacién de la placa con respecto al plano XY.

Modelo simplifioado. Una placa vertical de espesor ‘II colocadaen el plano YZ en un semiespaoio homogéneo y excitada porun arreglo polo-polo.

Celda de area dydz, la cual es atravesada por una corriente1', formando un dipolo elemental de corriente de momento 171,.

Establecimiento de las ecuaciones integrales para un puntode prueba P(y, z) interactuando con el punto Qlyp, zp) yexcitados por un electrodo de corriente 106.. Y5, z,=0).

Nuevo sistema de coordenadas. El sistema se traslaclo y rotopara una placa en (x,,,,3/,,,,2:,,) para un punto P(x,y,z). Ahorae1 sistema transformado es P(X'.}/.1’).

Diagrama de flujo de los pasos seguidos para calcular laresistividad aparente con el modelo de placas.

Prueba de convergencia para placa horizontal con dosconductancias. Perfil con eleotrodo de corriente en dosposiciones. (a) centro de la placa, (b) en una orilla.

Resultados de la prueba de convergencia para placa horizontaldel perfil con el electrode de corriente en el centro de laplaca para las conductanoias 0.1 S y 10 S.

Figura Pésina

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17!

18.

LISTA DE FIGURAS (Continuacién)

Resultados de la prueba de convergencia para placa horizontaldel perfil con el electrodo de corriente en una orilla de laplaca para las conductancias 0.1 S y 10 S.

Prueba de convergencia para placa vertical con dosconductancias 0.1 S y 10 S. a) Perfil colineal. b) Perfiltransversal.

Resultados de la prueba de convergencia para place. verticaldel perfil colineal para las conductancias 0.1 S y 10 S.

Resultados de la prueba de convergencia para placa verticaldel perfil transversal para las conductancias 0.1 S y 10 S.

Representacion de las intensidades de los dipolos de corrientepara una placa horizontal excitada por un electrodo decorriente en dos posiciones diferentes. (a) En el centro dela place. (b) Fuera de la placa.

Representacion de las intensiclades de los dipolos de corrientepara una placa vertical excitada por un electrodo de corrienteen dos posiciones diferentes. (ar) Colineal a la placa. (b)En el eje X perpendicular a la placa.

Representacion de las intensidades de los dipolos de corrientepara una placa inclinada (45°) excitada por un electrodo decorriente en dos posiciones diferentes. (a) Colineal a laplaca. (b) Perpendicular a. la placa.

Prueba de reciprooidad para una placa vertical utilizandoun arreglo dipolo—dipolo colineal a la placa, obteniéndose:(a) p 1, (b) pg, (0) Error (p, 1 pg) en funcion de la disoretizacion.

Prueba de saturacién para obtener la anomalia maxima enfuncion de la conductancia.

?

1

Figura

19.

20.

Z1.

22.

23.

24.

25.

LISTA DE FIGURAS (Continuacién)

Prueba de saturacion para obtener la anomalia maxima enfuncion del numero de canalizacion cle corriente.

Sistema de coordenadas eliptico cilindrico para e1 listonconductor (Grant y West, 1965).

Liston bidimensional perfectamente conductor excitado porun canipo eléctrico uniforme. (a) Parametros del modelo. (b)Respuesta tipica del campo eléctrico total a 10 largo de unperfil ortogonal al liston (adaptado de Grant y West, 1965).

Comparacion de las respuestas del liston conductor (Granty West, 1965) con el modelo de placas para diferentesextensiones. (a) Curves caracteristicas para variascombinaciones de d y h/1. (b) Resultados de la comparaciéndel modelo de places para la relacion h/l=0.1 y las inclinacionesde 20°, 50° y 80°. Asteriscos: respuesta del listén. Cuadros:placa de 2 unidades. Triangulos: placa de 6 unidades.Cruces: placa de 10 unidades.

Esfera perfectamente conductora enterrada en un semiespaciode resistividad Q E1 origen del sistema coordenado esté enel epicentro de la esfera. Se tiene un arreglo polo-polo,donde I es la corriente que entra al semiespacio y A el puntodonde el potencial es calculado. Los puntos P", 0, 0,, sonlas imagenes en la esfera y P ". 0 . 0.. son sus refleccionesen z=O. (tornado de Singh y Espindola, 1976).

Comprobacion de las respuestas publicadas de Singh yEspindola (1976) y la calculada con el programa de Singh(1976) para una esfera cuya profundidad es normalizada porel radio (zo/a).

Modelo 1. (a) Vista en perspective. mostrando la placa verticaly el contorno de la esfera, asi como las posiciones de loselectrodos y perfiles. (b) Seccion en el plano x=0. (c)Comparacion de resultados de resistividad aparentenormalizada. Linea continua: respuesta de la esfera.Triangulos: placa de 1 celda. Asteriscos: placa de 64 celdas.

Pégina

55

59

59

61

67

71

74

Figura

26.

27.-

28.

29.

30.

LISTA DE FIGURAS (Continuacién)

Modelo 2. (a) Vista en perspectiva mostrando las tres placasverticales y el contorno de la esfera, asi como las posicionesde los electrodos y perfiles. (b) Seccion en el plano y=0.(0) Comparacién de resultados de resistividad aparentenormalizada. Linea. continua: respuesta de la esfera.Triéngulosz placa de 1 celda. Asteriscost placa de 64 celdas.

Modelo 3. (a) Vista en perspectiva mostrando la placa inclinadaa 45° y e1 contorno de la esfera, asi Como las posiciones delos electrodes y perfiles. (b) Seccién en e1 plana 3/=0. (0)Comparacién de resultados de resistividad aparentenormalizada. Linea continua: respuesta de la esfera.Triéngulos: placa de 1 celda. Asteriscos: placa. de 64 celdas.

Modelo 4. (a) Vista en perspectiva mostrando las dos placasinclinadas a 45° y 135° y el contorno de la esfera, asi como1a.s posiciones de los electrodos y perfiles. (b) Seccién enel plano y=0. (c) Comparacion de resultados de resistividadaparente normalizada. Linea continua: respuesta de laesfera. Triangulos: place. de 1 celda. Asteriscos: placade 64 celdas.

Modelo 5. (a) Vista en perspective. mostrando las placasvertical y horizontal y el contorno de la esfera, asi como lasposiciones de los electrodes y perfiles. lb) Seccién en elplano y=0. (c) Comparacién de resultados de resistividadaparente normalizada. Linea continua: respuesta de laesfera. Triéngulos: placa de 1 celda. Asteriscos: placade 64 celdas.

Modelo 6. (a) Vista en perspectiva mostrando las placas quecircunscriben a la esfera y el contorno de la esfera, asi comolas posiciones de los electrodes y perfiles. (b) Seccion enel plano y=0. (0) Comparacién de resultados de resistividadaparente normalizada. Linea continua: respuesta de laesfera. Triéngulos: placa de 1 celda. Asteriscos: placa de64 celdas.

Pégina

75

77

78

80

81

i

Figura

31.

32.

33.

34.

35.

LISTA DE FIGURAS (Continuacién)

Modelo de placa vertical utilizado para comparar lasrespuestas de un cuerpo cfibico en un perfil con el arreglodipolo—dipolo. (a) Placa de 16 celdas y el contorno del cuerpoclibico. (bl Coniparacion de resultados. Linea continua:elemento finito. Asteriscos: ecuacion integral. Cuadroszplaca.

Modelo de placa vertical utilizado para comparar la respuestade un cuerpo simétrico en un medio de capas. (a) Vista enperspectiva de la placa de 8 celdas y el contorno del cuerpo.(bl Seccién en X=0 para las aberturas n=l,n=3 y n=7. (c)Comparacién de resultados. Linea continua: diferenciasfinitas. Linea discontinua: ecuacion integral. Asteriscos:placa.

Modelo de placas verticales utilizado para comparar larespuesta de un cuerpo asimétrico en un medic de capas.(a) Vista en perspective. de las placas con discretizacién de8 celdas (somera) y 6 celdas (profunda). (b) Seccién en x=0para las aberturas n=1,n=3 y n=6. (c) Comparacién deresultados. Linea continua: ecuacién integral. Asteriscos:placas.

Modelo de placas inclinadas utilizado para comparar larespuesta de un cuerpo asimétrico en un medic de capas.(a) Vista en perspectiva cle las places con discretizacion de40 celdas (somera) y 16 celdas (profuncla). (b) Seccién eny=0 para las aberturas n=1,n=3 y n=6. (c) Comparacién deresultados. Linea continua: ecuacién integral. Asteriscos:placas.

Efecto de la capa superficial. (a) Vista en perspectiva delmodelo y del arreglo electrodico utilizado. (b) Variacién dela conductancia S. (c) Variacién de la resistividad de laprimera capa.

Pagina

86

92

95

96

99

1

LISTA DE TABLAS

T8-i1I>1'i‘~11 Pégina

I Variaciones de los parametros de las placas en la comparaciéncon el liston conductor. 63

II Comparacién del mode-lo de placas con el listén conductorpara inclinacién de 20° y la relacién R/i=0-1. 63

III Comparacion del modelo de placas con el liston conductorpara inclinacién de 50° y la relacion h/l=O.l. 64

IV Comparacion del modelo de placas con el listen conductorpara inclinacién de 80° y la relacién I1/i=O.l. 64

V Errores RMS de los modelos de placas comparados con laesfera perfectamente conductora (Singh y Espindola, 1976). 83

f.

CALCULO DE LA RESPUESTA EN RESISTIVIDAD DE CUERPOS

CONDUCTORES EN UN MEDIO ESTRATIFICADO

I INTRODUCCION

El método de resistividad con corriente directa es una técnica

ampliamente usada en la prospeccicin geohidrolégica, de yacimientos

minerales, de zonas geotérmicas y en problemas relacionados con la ingenieria

civil y con la arqueologia. Este método es de los mz-is utilizados en México

para estimar la distribucién de Ia resistividad eléctrica del subsuelo. Esta

‘oasado en la inyeccién de un flujo de corriente (directa o alterna de baja

frecuencia) en el subsuelo por medio de dos 0 mas electrodes, y en la

subsecuente medicién del potencial electrico en la superficie del terreno.

La diferencia de potencial medida de esta forma depende de las posiciones

relativas entre los electrodes y de la distribucién en profundidad de la

resistividad, la cual depende esencialmente de la porosidad de lasprocas y

de la cantidad y caracteristicas eléctricas de los fluidos contenidos en ellas.

Las mediciones de resistividad se pueden llevar a cabo en dos

modalidades: sondeo o perfilaje (calicatas). La finalidad de la primer-a es

estimar la distribucion vertical de resistividad bajo un punto fijo respecto

a1 cual los electrodes son desplazados simetricamente. En la segunda opcién

de perfilaje o mapeo los electrodes son desplazados horizontalmente sin

cambiar las distancias entre ellos, estimando asi cambios laterales de

resistividad a una profundidad fija.

S

4

Existe un conjunto de arreglos electrédicos que se clasifican de acuerdo

a la configuracién entre electrodes y a como se mueven en el campo. Entre

éstos estén los colineales como el arreglo Schlumberger, Wenner, Lee, y los

dipolares, como e1 c1ipo1o—dipolo, dipolo-bipolo, polo-polo, etc.

En la practica de campo, la respuesta usada en la interpretacion es

la resistividad aparente, definida por:

AUO.,= KT - (1)

donde AU es la diferencia de potencial medida, I es la corriente inyectada

en el terreno, y K es un factor geométrico que depende unicamente de las

distancias entre electrodes.

La practica del sondeo eléctrico es llevada a cabo generalmente en

ambientes sedimentarios en donde la variacion mas importante de la

resistividad es en la direccién vertical. Los datos de un sondeo se presentan

en forma de curvas de resistividad aparente contra abertura electrédica.

La interpretacién de los datos de cada sondeo se puede realizar en términos

de un modelo unidimensional (1D), en donde la resistividad varia unicamente

en la direccion vertical, generalmente en la forma de capas horizontales,

cada una de ellas con resistividad homogénea. La teoria y aplicacién de

modelos unidimensionales se encuentra en Keller y Frischknecht (1966),

Bhattacharya y Patra (1968), Orellana (1972), Koefoed (1979), entre otros.

l

1

El mapeo o perfilaje eléctrico se lleva a cabo en subsuelos donde existe

una componente importante en el gradiente horizontal de la. resistividad

tanto como un gradiente vertical. Esta situacién tiene dos ocurrencias

comunes en la bfisqueda de un "blanco" de interés economico, como son

las zonas de falla con fluidos hidrotermales 0 zonas de alteracion en la

exploracion geotérmica, zonas mineralizadas de sulfuros en la prospeccién

minera, y zonas de un aumento de permeabilidad en la exploracion de agua

subterranea. Otra ocurrencia comfin es en la forma de ruido geolégico,

variaciones laterales que no son objeto de bfisqueda sino que interfieren

en la sefial de interés. Esto es muy comfin en estudios geotermales y

mineros, e inclusive puede ocurrir en la exploracion geohidrolégica. Los

datos en esta modalidad de levantamiento se presentan en forma de

pseudo—secciones de resistividad aparente en el caso del perfilaje eléctrico

o como mapas de isoresistividad aparente para una abertura electré-dica

fija en e1 caso del mapeo eléctrico.

La principal herramienta para la interpretacién de este tipo de datos

es el modelaje numérico tanto en el caso de 2 1/2 dimensiones (estructura

bidimensional pero fuente puntual tridimensional) como en el caso

tridimensionai (3D). Las tres técnicas numéricas mas comunes son:

diferencias finitas (Dey y Morrison, 1976, 1979; Beyer, 1977), elemento finibo

(Coggon, 1971; Pridmore et al., 1981) y ecuacion integral (Dieter et al., 1969;

Lee, 1975; Snyder, 1976; Hohmann, 1975; Das y Parasnis, 1987).

En las dos primeras (diferencias finitas y elemento finito), todo el

subsuelo es discretizado en forma de rejilla para resolver la ecuacion de

1

A

Laplace con condiciones a la frontera. Esto conduce a matrices que, aunque

sean dispersas, son muy grandee, principalmente para el problema en 3D,

lo que lleva a requisites de memoria excesivos. En el método de ecuacion

integral aunque se requiere un desarrollo teorico un poco mas complejo

que los métodos de ecuacién diferencial, unicamente es necesario discretizar

las heterogeneidades para resolver los campos anomalos, lo que conduce a

matrices llenas pero pequefias. El inconveniente de este método es que

los mode-los estan restringidos a heterogeneidades aisladas en un semiespacio

homogéneo o estratificado, es decir, no se pueden usar para distribuciones

arbitrarias, por ejemplo variaciones laterales en el medio encajonante.

Los tres métodos arriba mencionados han arrojado buenos resultados

para analizar respuestas de modelos relativamente sencillos (Dey y Morrison,

1976,1979; Coggon, 1971; Okabe 1981,1982). Sin embargo, para la

interpretacién de datos reales de campo, que generalmente son producidos

por distribuciones tridimensionales de varios cuerpos anomalos, estos

métodos sufren de dos grandee desventajas. Primers, el proceso iterativo

de ensayo y error (variacion manual de los parametros del modelo para ir

mejorando el ajuste entre respuestas calculada y observada) es muy

ineficiente y carece de objetividad. Segunda, cada una de las corridas

del problema directo generalmente consume una gran cantidad de tiempo

cle proceso. De aqui surge la necesidad de desarrollar nuevas técnicas

que sean mas eficientes en cuanto a tiempo de computo y ademés, que en

el proceso de ajuste por ensayo y error, los parametros del modelos sean

mas faciles de modificar. Esta tesis contribuye a la solucién de estos dos

problemas para el caso particular de una serie de heterogeneidades

i

X

4

x

7

conductoras en un subsuelo estratificado. El modelo de trabajo consiste

de una o varias placas conductoras inmersas en una tierra homogénea o

2S

estratificada. E

I.1 Objetivos

La tesis tiene dos objetivos centrales. El primero es adaptar un par

dealgoritinos de ecuacién integral (Cheesman, 1983; Flores=~Luna, 1986) para

e1 calculo de resistividades aparentes producidas por arreglos

tetraelectrodicos arbitrarios. El algoritmo de Cheesman (1983) calcula la

respuesta magnetométrioa-resistiva en pozos en subsuelo homogéneo

mientras que el de Flores-Luna (1986) calcula la respuesta magnetotelfirica

de baja frecuencia en subsuelo estratificado.

El segundo objetivo es el de pro-bar los resultados del algoritmo. Esto

se lleva a cabo por medic de tres pruebas de auto-consistencia (convergencia,

reciprocidad y saturacion) y comparando las respuestas del algoritmo de

placas contra respuestas obtenidas con otras soluciones analiticas y

numéricas (ya publicadas con anterioridad por otros autores o calculadas

para este trabajo).

La tesis esta estructurada de la siguiente forma. En el capitulo 2 se

establecen las bases teoricas de la ecuacion integral aplicada al caso sencillo

de una plaoa vertical. En seguida se tratan las modificaciones necesarias

para el caso de placas inclinadas y se incluye el concepbo de imagenes

para cuando el subsuelo es estratificado. Después se trata la solucion

numérica y el calculo de los potenciales secundarios, para finalizar con la

estructura del programs. de compute.

E1 capitulo 3 versa sobre las pruebas de auto-consistencia: convergencia

de la resistividad aparente sobre una placa horizontal y Vertical en funcion

de la discretizacién para conductancia variable y diferentes posiciones del

electrodo de corriente. En seguida se representan las intensidades de los

dipolos de corriente para diferentes inclinaciones de placas y posiciones

del electrode de corriente. En el siguiente caso se prueba la reciprocidad

en funcion nuevamente de la discretizacién para un arreglo dipolo—dipol0,

para terminar con el fenomeno de saturacion.

Las pruebas hechas considerando como medio encajonante un semiespacio

homogéneo, estan consideradas en el capitulo 4. La comparacién de

respuestasi se realiza con una solucion analitica (listen bidimensional

perfectamente conductor excitado por un campo eléctrico homogéneo), con

una solucion numérica usando el método de imagenes (esfera perfectamente

conductora) y con una heterogeneidad cfibica con las técnicas de elemento

finito y ecuacién integral.

En el capitulo 5 se consideran un cuerpo simétrico y uno asimétrico

en un terreno de dos capas, comparando las respuestas con cliferencias

finitas y con ecuacién integral. Asi mismo se muestra la sensibilidad de

la respuesta en funcién de los parametros de la primera capa. El capitulo

§

n

6 contiene las conclusiones de la tesis y menciona areas de la exploracion

geoeléctrica donde se puede extender el algoritmo y puntos por trabajar

en el futuro.

II TEORIA

II. 1 Introduccién

En este capitulo se trataran los aspectos teoricos fundamentales para

el esclarecimiento de los capitulos siguientes. Empezando con el analisis

de los campos eléctricos en el subsuelo, tomando primeramente el caso mas

simple como es el semiespacio homogéneo de resistividad po , para

posteriormente llegar al caso del modelo de capas homogéneas. En seguida

una aproximacion mas cercana a la realidad con variaciones laterales de la

resistividad.

IL2 Método de Resistividad

Para conocer mejor el fenomeno que gobierna a los campos eléctricos

en el subsuelo es necesario tomar como base las ecuaciones de Maxwell;

éstas son (Orellana, 1972):

VxE

VxB/

V-1?

y V-B

donde

_¢3Ban’

6DJ4“;

650

O.

(2)

(3)

(4)

(5)

1

E‘ = intensidad de campo eléctrico en volts/m.

B = induccién magnética en Weber/ma

D = desplazamiento dieléctrico en coulomb/mz.

J = densidad de corriente eléctrica en amp/In?

6: densidad de carga eléctrica en coulomb/ma.

E0 = permitividad eléctrica en el vacio 8.854 x 10'“

farad/In.

Para campos estéticos

VXE = O , (6)

5Y V-5 = -— , (7)

50

Con la expresién (6) se puede deducir que el campo eléctrico se deriva

de un potencial escalar U.

E = -VU , (8)

y con la expresién ('7) y la ley de Ohm en forma. diferencial para medios

isétropos, tenemos que

J=0E, (9)

donde G = conductividad eléctrica en ohm/In, con 10 cual se obtiene Ia

ecuacién de Laplace,

VZU = 0 , (10)

la cual seré. vélida en todo el semiespacio conductor, pero no en los

electrodes, ni en las superficies de discontinuidad de la resistividad.

Si se consider-a un subsuelo dividido en zonas homogéneas e isotrépicas

con diferentes resistividades, puede demostrarse utilizando las ecuaciones

de l\’Ia,xwe11 en su forma integral, que en la frontera entre dos medios de

diferente resistividad:

1.— E1 campo eléctrico tangencial 0 paralelo a Ia frontera debe ser continue:

Es.“ = 1-IF’ ~ (11)

2.- La densidad de corriente perpendicular a la frontera debe ser continua:

Jf” = Jf” . (12)

3.— E1 potencial debe ser continue a través de la. frontera:

Um = Um _ (13)

La ecuacién de Laplace junto con estas condiciones en las fronteras

constituyen e1 conjunto de ecuaciones que 80bieI'11aI1 61 C0IIlP01‘t~'¢1IHieI1t0 del

campo electrostatico en me-dios conductores.

En esta tesis, e1 método de ecuacién integral es utilizado para modelar

cuerpos conductores en un medio homogéneo 0 de capas utilizando un

modelo de placas conductoras.

El algoritmo es una adaptacién para el método de resistividad con

corriente directa, del presentado primeramente por Cheesman (1983) para

calcular la respuesta magnetométrica de resistividad en pozos y

posteriormente por Flores-Luna (1986) para e1 método magnetotelfirico.

El modelo general se ilustra en la figura 1. Este consiste de un grupo

de placas en un subsuelo de dos capas. Las placas deben ser paralelas

a1 eje y, esta no es una limitacién intrinseca delmétodo sino una simplificacién

con e1 objeto de facilitar e1‘calcu1o de las interacciones eléctricas. Los

parametros que representan a las placas (Fig. 2) son su extension a a 10

largo del eje y, la extension b en e1 plano XZ, angulo de inclinacién d con

respecto a1 plano XI’, profundidad h a la parte superior de la placa y la

conductancia S Las dos capas estan repres/entadas por las resistividades

P1 , P2 y la frontera a la profundidad /'1, . Las placas pueden cruzar la

frontera entre las capas.

E1 método esta basado en la solucién de la ecuacion integral para una

distribucién de dipolos de corriente en el plano de Ia placa. E1 dipolo de

1

4 W an ff >x

5’.

Figure. 1. Modelo general de placas en un medio estratificado. g

Y1

N4

/

92

§

3

Figura 2.

0) VISTA FRONTAL.

Y lh

- 1b x

S1 K‘-"(ii \

Z!J’ \2

bl VISTA LATERAL

X4-ii

.-_&--_-

b I

Zl

YZ

Parémetros de las placas. (a) Vista frontal donde a es laextension en el eje y, b longitud en el plano XZ, p, y p2las resistividades de las dos capas, z, la. profundidad a lainterfaz. (b) Vista lateral, donde d es el éngulo de inclinaciénde la placa con respecto al plano XY.

§

J1

I

corriente introducido por Stefanescu (1958), es un sistema de corriente

infinitesimal, que consiste en un punto de fuente y un punto de salida

unidos por un elemento de corriente tal que el sistema en todos lados tenga

divergencia cero.

Para mostrar el método consideremos primero un modelo simple (Fig.

3). Este consiste de una placa vertical de espesor “Ii colocada en el plano

YZ en un semiespacio homogéneo, excitada por un campo eléctrico producido

por los electrodes de corriente.

La. placa es dividida en rectangulos infinitesimales de area cl)/dz (Fig.

4). Supongamos que una corriente total I, entra al rectangulo a lo largo

de una de las orillas y sale a lo largo de otra. formando un dipolo de

corriente cuyo momento es

m, = nay (14)

y la densidad superficial de corriente para la componente y es

J - I’ (15)y _ I dz

usando (14) y (15)

J — m’ (16)y r dydz

C1 P1

"_*\

\

\

\........1»

¢-00X ’

-J’,/

II,/Y 1 1

—>lP\ Z

Figure. 3. Modelo simplificado. Una placa vertical de espesor 11 colocadaen el plano YZ en un semiespacio homogéneo y excitada porun arreglo polo-polo.

¢

1t».

X

Z1 -->1 P-

Z

\

>13

\<

\___..__IIr

I/I1 I1 1

dz \ i 1'f

IIY , “Y1 I

IrI

1 1 I1 1 I\ 1 '

1~ ; ,1’.3-L

Figure 4. Celda de area dydz, la cual es atravesada. por unacorriente I, formando un dipolo elemental de corrientede momento my.

aplicando la, ley de Ohm (9), obtenemos una expresion para el campo eléctrico

en funcion del momento dipolar

E — H1’ 1?’ dydzS’ ()

donde 5 = '50 es la conductancia de la placa.

Por otro lado, la densidad lineal de corriente 1,, es

. I,1, = , (18)

6, en términos de momento dipolar, usando (14)

"—m’ 19‘Y ' dydz ’ ( )

por lo que la ec. (17) puede escribirse

i)’E, = 5 (20)

Existe una definicion similar para la componente ortogonal z de la

corriente superficial y el campo eléctrico definidos en términos del momento

dipolar mz .

El establecimiento de la ecuacién integral esta basado en la condicién

de frontera de la continuidad del campo eléctrico tangencial a la placa. La

ecuacion integral se forma igualando las dos componentes de los campos

eléctricos tangenciales internos, al correspondiente campo eléctrico externo,

en la superficie de la placa. Esta continuidad de campo tiene la siguiente

forma para la componente 1', :

5(y,z) 411

21,2 yp2 3 __ ,___+ p0 J-y1)z(yP_zp,[_

P(v,11'

Y

\/~

\\

\\

\\\

\nu—-ucnni

2... \-¢

X

Y1)‘ 1

1/1Q iypa Zn)

I\l ‘ON

K '~< ‘O N

ll

Z

Xs,Ys,Zs=0

Figura 5. Establecimiento de las ecuaciones integrales para un puntode prueba P(y, z) interactuando con el punto Q(y,,, zp) yexcitados por un electrodo de corriente l(x,, y, = 0, 2, = 0).

§E

E

semiespacio. El cuarto término implica un par de términos imagen para

hacer cumplir la condicion de frontera de que no haya flujo vertical de

corriente en la interfase aire—tierra. Estos dos términos imagen son similares

a las dos integrales pero con un cambio de 2,, por —z,,.

La continuidad de los campos tangenciales a la placa para la components

z de la corriente superficial tiene una forma similar,

iz(y,r

__ BL (3/-3/p)5,. - 4“ —-—r3 (23)

I (2-2)F1 = 2"; TL (24)

donde r = [(x*x,,)2 + (y—y,,)2 + (2-z,,)2]”2. Las expresiones (23) y

(24) son los campos eléctricos impresos por el electrode de corriente de

las expresiones (21) y (22), con los cambios de 4n a 211: (por el hecho de

tratarse do un semiespacio) y de (xp, 3/,,, Zp) a (xs, 3/S, 2,).

Las componentes del campo eléctrico de un dipolo infinitesimal de

corriente dirigido a 10 largo de la. direccién positiva m- 1 3(1)/"1/)2

_ pmyEm - 4“) F ] (26)

Em = o;1;=(3(>/-y,,r)S(z~z'p)] (27)

pm -1 3(z—z.)2EM = 4n>~'[r3 + 1 *%"§’P (28)

2

donde el primer subindice denota la. componente del campo en el punto P

y el segundo subindice la direccién del dipolo en Q.

Los campos eléctricos debidos a la distribucion de dipolos de corriente

sobre un area. rectangular se obtienen integrando en yp y 2,, las expresiones

para los dipolos de corriente infinitesimal. Las siguientes integrales fueron

usadas:

n+1Izfidu = 5-» ,n+1

' ciu Mi u._}(u2 + G2) = ag(ug + a2)l/2 |

I du _ u + 2u(uz + a2)E’2 3cz2(u2 + a2)3/2 3a"(u” + a2)"2 '

J‘ u du _ Wfiii uz _ Mil(H3 + a;3)5/2 363013 + ag)3/2 3a3(ug + Q3)!/2

us du ua(TB -y [(112 + Q2)” = §a2(u3 + G )3

Integrando las expresiones (25), (26), (27) y (28) se obtiene

Pm-» (YTY1=)(?,',J'i») 112 mgE” _ -411 [(X—XP)2 + (3/-3/p)2]r '2' i’"' ' (29)

pm 22 y£'1;), = T; ,;1 I); ,

Para seguir conservando el paralelismo entre los ejes coordenados y

los ejes de la placa como en el caso anterior, se translada y se rota el

sistema de coordenadas en un angulo d para de esta manera determiner

las posiciones de los puntos de prueba en el nuevo sistema rotado (Fig.

6). Si las coordenadas de inicio de una placa son (x_.,| , ypl , 2,1) entonces

la transformacion para el punto de prueba P(-Y. 3/» Z) al sistema rotado

P(x’, y’, z’) es 1

x’ = (x—x,,,)sen(d) - (2:-zp,)cos(d) , (33)

y’ = 1/ (34)

y 2' = (x—xp,)cos(d) + (z—z,,,)sen(d) . (35)

IL4 Illuigenes

Con la finalidad de que la components vertical del campo eléctrico en

la superficie sea nula y ademas que exista continuidad en los campos

eléctricos tangenciales, se incluyeron términos imagen en la ecuacion integral.

La fuente imagen se localiza a una distancia ~2:,, sobre la superficie del

semiespacio.

Cuando el medio es de dos capas, las condiciones de frontera deben

considerar las dos interfases que forlnan el aire y la tierra y la primera

y segunda capas. Asi, la fuente original localizada a una profundidad 2,,

>x.7/’ x’

1{Xp11yp|1Zp|),"” 'P(x2y1Z)

d

(L Plucu \Z ‘\

dzr

Figura 6. Nuevo sistema de coordenadas. El sistema se trasladéy roto para una placa en (x,,,y,,,z,,) para un puntoPfx, J’, Z). Ahora el sistema transformado es P(x',}",z').

E2§

é

generaré. dos imagenes, una con resPeCtO a 13 interfa-Z BuPeI‘i01“ IY Otrfi 0011

respecto a la interfaz inferior. Estes primeras imagenes producirén a su

vez otras dos imagenes, las que a su vez generaran otras, de tal manera

que al final tendremos un nfimero infinito de fuentes imagen. La solucién

de imagenes se aplica ademas de la formacion de la ecuacion integral, para

la obtencién del potencial en la superficie debido al nledio estratificado.

Las expresiones para los campos eléctricos se han definido en términos

de la localizacién de observaciones (X. )1. Z) y fuente (x,,, yp, zp), los

mementos de los dipolos de corriente (my 6 m,)y el espacio de resistividad

Q Anora se hara la consideracion de un semiespacio estratificado. Esto

afectara a los campos eléctricos por lo que es necesario incluir términos

imagen para las. ecuaciones mencionadas anteriormente intercambiando zp

por —z_,,.

El efecto de las dos capas complica e1 nfimero y caracter de los términos

de los campos eléctricos. En lugar de una sola imagen ahora es necesario

considerar un mimero infinito de imagenes, donde cada una de ellas seré.

descrita nuevamente por las expresiones anteriores pero con modificaciones

en dos variables: la profundidad de la fuente y el factor multiplicative

que involucra las resistividades de las capas.

Existen dos soluciones independientes para el problema de encontrar

los potenciales en un medio de dos capas y son: una para la fuente

localizada en la primera capa o medio 1 y la otra en la segunda capa 0

medio 2.

.i

;

F

|1

Las solucionss para el potsncial sléctrico U en las rsgiones 1 y 2

cuando la fuente esta en sl primer msdio a una profundidad 2,, son:

5'3 I

U1 = '[(/iQ‘M+B9M+%€M 'n))J()(7\r)d)\' Z g _2‘.v(36)0

" -, 2 01 2,,-ZU, = f0(AQ*~ +BQk+-;"l“I'[T€H ’)J,(>.r).;m Z 2 z,,(37)

U, = fce'“J,(xr)dx Z 2 1 (38)o

donde r=[(x—xp)2 + (y—y,,)2]"2 y Jo(7»r) es la funcion de Bessel de

orden cero. A. B y C son constantes arbitrarias las cuales son

dsterminadas de las condiciones de frontera que sstablecen que el potencial

y la components normal de la densidad de corriente deben ser continuos

a través de z=0 y z= t, obteniéndose

_ Qo(K|zem"_2')+efz’)A _ Wi|V.7"‘I\r;2Q_2kt

' ?»(zp—2t) —k(2p+2t)K - K -B = Q~>(~@1 K+e_2*;e 1 ) (40)_' I2

C §Q.1

donde Q@=o.I/411 1/ K.2=(s>r1>.)/(1>2*1>1)

La integral de Lipschitz — Weber

.. _ Z 1£)Q>t|i\]0(7\I")d)\ = (42

es utilizadapara integrar las expresiones para U, término por término.

La solucion para los potenciales en e1 medio 1 y 2 son:

OJ 1 1 1U‘ = 4’-W {W + (z-z.)*1'“+1r@"+"iic%42.1121"?

+ 1 ("I7/2+” WW V Z 7%-1 [r2 + (z—z,,+2nt)3] [rz + (2+z,,+2n1‘)2]

+

U2 =

+

De manera similar cuando la fuente esta localizada en el medio 2, las

M

F

1 l2 +[F2

9:14n

27 W Wwiril 3 1/2}}+ (z+z,-znn T” [r2 + (Z-Zp-ZHU ]

cw

(4-3

{(l—K1¢) ZKi¢ {U2 + (Z 1 V11/20 P

l

' —z +2121“

[F2 + (z+z,,l-1~2ni )3]!/3}}

soluciones para el potencial eléctrico son:

I/2

- W IL If.1 = __ 1, 5 ,I11 4"‘(i+]\1e) 2) 12 {U3 _,_ (Z-Z -.2 U231/z1.- pn

1+ fr? 1 (;»,+,§,,42r11)2]'”‘} (45)

A 921’ 1 ]_Ki2V2 “ 4“ { 2’ W ___ 2 1.1: + '§'* :""”' {"175

[F * (4 211)] [F "' (-

no

P11 rs" -~ 3'-3/THE = A K < . —~” 2" {W + (Z-z'>*1“" + I; '2 U‘ + *1“"*+ “Yr » mm

donde r=[(x—x') + (y— y'")]”2 es la distancia a la fuente. Puesto que hay

un electrode positive y otro negative, ambos deben tomarse en cuenta para

obtener el campo eléctrico total en cualquier punto.

Para considerar el efecto de las dos capas se utilizé y comprobé la

expresién de Bhattacharya y Patra (1968) para el potencial a una profundidad

z= 0, la cual establece que:

I '1 “’ K“I/' = ii * + 2 E (51)21¢ F -‘ W + *1 I3

2

i)'(isJi) P0 N M*'**-~“ = - Z Z [iv(m,n) G7 Y(i,j;m,n) + iz(m,n) (;),,(i,j;m,nS1! 4“ n-l - ' I I

Esta comprobacién se llevé a cabo colocando una placa de 0.5 unidades

por lado a una profundidad de 1000 unidades y con una conductancia. de

0.001 S, todo esto para evitar que interviniera en 1a respuesta de resistividad

del medio estratificado. E1 mimero de imégenes con los que conv_e.-rgié la

respuesta fué de 100.

IL5 Solucién Numérica

Para ilustrar el procedimiento numérico de solucién de las ecuaciones

integrales (21) y (22), consideremos nuevamente el modelo simple de una

placa Vertical en un semiespacio. Para resolverlo numericamente se aplicé

e1 método de subsecciones en donde la placa fué dividida en M X N celdas

rectaiqgulares A3/-A2 con A3! = Q/M y Az = b/N, donde

N M

= "—° Z X [=‘,

y adelante, la cual realiza 1/3 n3 operaciones donde n es el nfimero de

filas de la matriz. La conveniencia de hacer triangllla-1"iZ»"L1=0 y zf,,2=Az', de tal manera que el potencial producido por

una distribucién de dipolos de corriente sobre una celda de area Ay-A2’

con Av-=y,,2-3/,,1es:

>

a

V-5§cm = Z [I/(nnlC(;)'I/OY + V(nn+l’Cn)'Vgz:)

2).-

).-

4).-

5)--

6).-

7).-

Determinacion de las componentes del campo eléctrico en cada una de

las celdas de la placa.

Construccién de la matriz de interacciones incluyendo los términos

imagen.

Calculo de los momentos de los dipolos en direccion y, y en direccién

z, distribuidos en cada celda. E1 sistema de ecuaciones se resuelve

Inediante eliminacién Gaussiana con pivoteo parcial.

Obtencion de los potenciales seoundarios producidos por la placa en

cada punto de medicién.

Calculo de los potenciales primarios teniendo en cuenta la geometria

del arreglo electrodico.

Determinacién de la resistividad aparente.

\ ,

D/-\TOS DE ENTRADA Cdlculo de los componenfes del compoGeowefrffl fie 9l¢¢"0d05 i‘% elécirico producido por los elecirodosG9°'“9""° de P[°°°5 de corrienie en coda uno de los capas

iDeierminocién delos componenies Ey, pEz,en cudo unu delus celdus de Ioplucu

W 1 a W, 1

t l or;Cons1'rucci6n de In muiriz de internuc-

lones incluyendo los iérminos Imogen

Cdlcuio de los mementos de los dipolosen direccidn y,y en direccidn z,usundoeriminccidn Guussinnn con pivoieo

lpcrciol \l

"" i 7 ' \

1 0bienci6n delos poienciules secundu—rios producidos por la place en cudu ppunio de medicidn

( Cdlculo de los potenciales primurios\‘ teniendo en cuentu lo geomeirfo del‘dei crreglo elecmldico p

t itDeterminocidn de In resistividodFIN a- upurenie \

l \

Figure. 7. Diagrams. cle flujo de los pasos seguidos para calcular laresistividad aparente con el modelo de placas.

ii

|

I

III PRUEBAS DE AUTO-CONSISTENCIA

U’IIL1 Introducclon

Cuando se desarrolla un algoritme es importante realizar pruebas de

auto-censistencia, es decir aquellas que no requieren de la cemparacién

con resultados de otros métodos para establecer los criterios que permitan

hacer use de él de una manera mas efi.oies:\.te= Las pruebas que se trataran

en este capitule son: (a) cenvergencia de la respuesta al aumentar el

mimero de celdas utilizando placas en posicion horizontal y vertical, (b)

el principio de reciprocidad de las respuestas. También se determina e1

nivel de saturacién del modele de placas, y finalmente se obtiene la amplitud

de la anomalia producida por un cuerpo con base en su nfimero de canalizacién

de corriente, el cual definiremos mas adelante. ’

IIL2 Pruebas de convergencia

Estas pruebas sirven para determinar haste. qué grade la distribucién

continua dipolar del campo eléctrico impreso en la placa esta bien

representada per la aproximacién que se hace al discretizar la placa en

celdas. Las consider-aciones que se pueden hacer primeramente para logrario

son: cuando se trata de una placa profunda y ademas alejada de los

electrodes den corriente, basta una discretizacién gruesa para obtener una

resistividad aparente exacta. Sin embargo, si la placa es somera y esta

cerca de uno de los electrodes de corriente, se debera subdividir en un

nfimero mayor de celdas debido por un lado a que e1 campo eléctrico imprese

en cada. una de las celdas tendra un gradients intense y por otro lado,

debido a su peca profundidad, diferentes partes de la place tienen una

contribucion diferente al potencial secundario en un punto de observacién

en la superficie de la tierra.

Basandonos en lo anterior, pedemos establecer que el parametre

impertante por analizar no es el tamafio de la celda sine su relacion con

Ia profundidad de la. placa, es decir, I/d donde 1_es la longitud del lado

de una celda cuadrada y d su profundidad de tal manera que las

resistividades aparentes calculadas deben de converger a un valor dado,

conforms la place se diseretiza cada vez mas finamente, es decir, conforme

la relacion mencionada disminuye.

La idea de esta prueba es obtener criterios cuantitativos de exactitud

de la resistividad aparente en funcion de la relacion Z/d, de tal manera

que podamos establecer con anticipacién qué percentaje de error esperamos,

si una cierta placa la dividimos en un determinado nlimero de celdas.

Otro parémetro importante en la respuesta es la conductancia de la

placa. Dado un cierto nivel de exactitud, esperamos que una placa altamente

conductora requiera de celdas mas finas que una placa poco cenductora,

esto es debido a que en el primer case el campo eléctrico total dentro de

la placa presenta gradientes mucho mayores.

Tratando de minimizar en lo posible la influencia que pudiera tener el

arreglo tetraelectrodico sobre esta prueba, Se 69-Cogié e1 arreglo polo—pe1o

donde uno de los electrodes de corriente Y uno de potencial se colocaren

a una distancia muy grande.

Se eligio un modelo arbitrario de una place de 10 X 10 unidades de

longitud a una profundidad de 2.5 unidades, una resistividad del medic

encajenante de 100 m, dos conduct-ancias de 0.1 S y 10 S a los que les

corresponden mimeros de canalizacion de corriente de 1.0 y 100.0

respectivamente.

El nfimero de canalizacion de corriente juega un papel similar a los

nfzmeros de induccion en los métodos electromagnéticos en donde su valor

nos dé. una idea de la magnitud de la induccién electromagnética en modelos

sencillos. Este concepto fué utilizade por Nabighian et al. (1984) y esta

definido por la siguiente relacion:

5.5-;

,-

;

~:

1

Para esta prueba se hicieron dos perfiles diagonales a la placa, uno

con e1 electrode de corriente en el centre (Fig. 8a) y el otro con e1 electrode

de corriente en una orilla (Fig. 8b). Ademas se probaren dos conductancias

0.1 S y 10 S. Las discretizaciones de la placa fueron en tamafios de celda

homogénees desde 10 x 10 unidades (1 celda) hasta 1.25 x 1.25 unidades

(64 celdas). Se utilizaron para las graficas selamente las discretizaciones

de2x2,3x3,4x4y7x7ce1das.

Se calculo la respuesta de estos modelos y un porcentaje de error

relative, para el cual usamos la siguiente definicion (I/,— Vc)/V, x 100, donde

V, es el valor exacto y V. el valor calculado. La discretizacion con 8 x 8

celdas fué considerada come el valor "exacto," debido a que los valores

obtenidos entre ésta y la discretizacion anterior (7 x 7) tuvieron una

variacion muy pequefia (hasta la quinta cifra significativa).

Los resultados obtenides correspendientes al case del perfil con el

electrode de corriente en el centre (Fig. 9) muestran anomalies hasta de

uni 22% para la. placa de mayor conductancia, con errores, para la placa

con menor conductancia, entre -4.0% y 3.0% y para la mas cenductora entre

-8.0% y 4.7%. Los mayores errores ocurren cerca de la fuente y en puntos

en la frontera de la place. En cuanbo al perfil con el electrode de corriente

en la orilla (Fig. 10), presenta una anomalia maxima de 40.0% teniendo

errores entre -8.0% y 6.0% para la placa menos cenductora y entre -14.0%

y 20.0% para la de mayor conductancia. La localizacién de los puntos de

mayor error es en la frontera mas alejada de la fuente y en los puntos

cercanos a ella pero fuera de la placa. Para ambos perfiles es notorio que,

X0)

P .

C . 120/,‘

by

|aI0

x

bl.

.

P IZ

'2

c . '_ 1

' o '0 gh=:oon- m

no

Figure 8. Prueba de converge-ncia para placa horizontal con dosconductancias. Perfil con electrode de corriente en dosposicienes, (a) centre de la placa, (b) en una orilla.

CONDUCTANCIA 0.1 S CONDUCTANCIA IO1.15,1.10%105*1.00“-

0.E'>5 -0.80 ‘

D5: .9 E?\ 0.95 ~ / \ 0.95 T /'CL 0.90 - I D‘ 0.90 r _/

\

e, 1.15 2 17 1 140- '- * I

... 1 .05 ‘//N 1.00:

'4

0.85 ‘-0.B0 ,-r » “ I

0.75 l I I I _ I I_,,——I _I I ”O 4- 8 0 4 8

_.IZ_ _Lsiizi c:—_.___T_::::_z

O

ERROR(2)

TI,_.

G303-P 7"IT"""'I

A;0% fie, e

I I I I

%) ovno

D3396 JQC-II 5&9

TAA

neeRROR(

U30)-PNOP0 -1‘TI’

C)@Q>J=(J:(

AAI b‘E'\ :[ A...)

I , I- I J"'

O

Figura 9.

-Ii LII D -P M

mscn. TAMANO 2/,1

E1G" "~l-hm,-5 3< --I4:-u.||\>

5 x 5 2s.s3x3.3a L333

2.sx2.5 ,1.4.2 x 1.42 o.5ss _

Resultados de la prueba de convergencia para placa horizontaldel perfil con el electrode de corriente en el centre de laplaca para las cenductancias 0.1 S y 10 S. _

i

1

CONDUCTANCIA 0.1 S CONDUCTANCIA I-3 S2.0 »~ 2.0 2 e ,1-B r 1.8 —1 '6 I. I -6 0' ‘1.4- “' 1,4 - is

'f'g.y_-'-_ O I1.2 ,,_, fir-..-..' ‘ % 1.2 L !

1.0 — I‘ ,_v|,_p_ __ :_____/"Z; 0' 1.0 r0.8 ‘I’ 0,8 “ .

069- 0,5 -

P/Po

Q4. ' -J J J »I I 0_41:u._ a J r anO TQ Q IO

L _llI_*T_.“""'_.“"__;_‘“_t| 1

30, ~ 3Q~ t

20? 207" AA

79“ AA 10- (yo./1.? 9% I _ 0o fic g fig? V 0 ea. gg g

ERROR(%)ROR(z) I

-10” A ‘ "'10)-ERA

_2Q\,. __m2cI_ p,

__-50 | I, I L av __3O_ I 1 i. L 4 _ '0 10 0 10 J

DISCR. Tnmnfio g/d

I3G'>

6.» >< \'\J 5X5 23X3 3.33 X3.33 1,3334X4 2.sx2.s ,7X7 L42 XL42 0_553

Figure 10. Resultados de la prueba de cenvergencia para placa horizontaldel perfil con el electrode de corriente en una orilla de laplaca para las cenductancias 0.1 S y 10 S.

conforme la discretizacion va siendo mas fina, la resistividad aparente

Converge a un valor dado. Hay una tendencia hacia una mayor cenvergencia

a partir de que la relacion l/d es igual a la unidad, que en este case

corresponde a la discretizacién de 4 x 4.

III.2.2 Prueha con placa vertical

En esta prueba se hicieron dos perfilea uno colineal a la placa (Fig.

Ila) y otre perpendicular a ella (Fig. 11b), ambes con el electrode de

corriente en el centre de la placa. La discretizacien mas fina para este

case fué con tamafios de celda de 0.62 x 0.62 correspondiéndole una relacion

I/d= 0.25 y utilizandose ésta come e1 valor "exacts".

Los resultados ebtenides (Fig. 12) muestran anemalias de un 22.0% para

el perfil celineal con erreres desde -0.03% a 3.7% en la placa menos conductera

y entre 0.69% y 14.0% para la. de mayor conductancia. Los erreres maximos

se localizan en la frentera de la placa. En cuanto al perfil transversal

(Fig. 13), come era de esperarse tuvo una maxima anemalia de magnitud

menor que para el perfil colineal (18.0%). La magnitud de los errores para

la placa de menor cenductancia y la de mayor cenductancia fueron entre

-0.08% y 1.03% y entre 0.65% y 5.99%, respectivamente. En esteperfil los

erreres aumentaron conforme el punto de medicion se alejaba de la placa.

La cenvergencia al valor exacto, fué mejor cenferme la. discretizacien

aumentaba, correspondiende esto a una relacion l/cl cada vez menor.

.

1

I

x

0)C P

"'2.5 YV

IO

Z

X

b)P

C /‘

‘ c 2.5"” ’ YV

0.! sy I0 p

. I0 s V 3h=l00-H-m

Z

Figura 11. Prueba de convergencia para placa vertical con dosconductancias 0.1 S y 10 S. a) Perfil celineal. b) Perfiltransverse}. ~

CORDUCTANCIA 0.1 S CONDUCTANCIA 13 Si1.00 _ 1.00 >7 50.95 r . 0.95 -0-90 _ \'=‘ - ;‘ "

N “0.05 L 0.05 7

g 0.00 R 92 0.00 ‘R 1Z; 0.75 ~ 0. 0.75 F

0.70 - 0.70 - ._ .0.55 - 1 0.55 ~0.60 * Z 0.60 -

A'1.

O_55_||1|1v|f Q_55|111n|1,‘,O24-68 Q2468

_.|.i 4.1

20 " 20 R

15‘ \ 157- A AA

ERROR(2) 0»5‘ 44“Fawe1> are0

ERROR(2) __51S me we0 1-no0 we0 -no0 -aree

.. A ‘

Q__'Q O;

*——~'~~~~—'~~——*R~' ' '77 “MBA | I | I 1Q 2 4 5 8 0 2 4 0 s

DISCR. Tamnio 2/d

2x2 sxs 24X4 2.5X2.5 ' 16X6 l.67Xl.67 0.666‘

8X6 l.25Xl.25 0,59X9 l.llX|.ll Q4-n:I[@>

Figura 12. Resultados de la. prueba. de convergencia para placa verticaldel perfil colineal para las conductancias 0.1 S y 10 S.

1

E5.

CON1.00

0.95 .-

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1018;

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0123450 012DBCR

Figura 13. Resultados de la. prueba de convergencla para placa vertlcaldel perfil transversal para las conductanclas 0 1 S y 10 S

-x]I[3>

2X2

4X46X6

8X89X9

DUCTANCIA 0.1 S CONDUCTANCIA 10100]

0.95 L0.90 @-

P/PoPO09‘0.00 T0.75 -

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z 6~! 49

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"K969-106? -)I(G[>

TAMANO

5X5LSXL5

I£?XL67

l25XL25IJIXLH

Con objeto de tener una idea més clara del fenémeno fisico en e1 cual

esta basado el algoritmo de placas, en las figuras 14-16 se representan las

intensidades de los dipolos de corriente para diferentes inclinaciones de

placas y varias posiciones del electrode de corriente. El modelo usado fué

una placa de 10 unidades por lado a una profundidad de 2.5 unidades, la

discretizacién fué de 16 celdas (4 x 4) y una conductancia de 1000 S. En

e1 caso de la placa horizontal, el electrode de corriente se 001006 en la.

posicién del centre de la placa (Fig. 14a) y fuera de ella (Fig. 14b). Para

la placa vertical, el electrode estuvo colineal (Fig. 15a) y después en e1

eje perpendicular (Fig. 15b). Finalmente, para la placa inclinada a 45° la

fuente se ubicé también en dos posiciones, una en e1 punto de proyeccién

de la placa sobre el eje X (-2.5 unidades) de tal manera que fuera colineal

(Fig. 16a) y la otra posicién fué en sentido perpendicular a la. placa. (Fig.

16b). Se observa que las intensidades de los dipolos son mayores para

los cases en que la fuente tiene una. ubicacidn menos perpendicular con

respecto a la placa.

IIL3 Prueba de reciprocidad

Esta prueba tiene como objetivo verificar el principio de reciprocidad

en las respuestas de resistividad aparente de nuestro modelo de placas.

E] principio de reciprocidad establece que si una corriente es aplicada

entre dos puntos de un conductor eléctrico y se mide la diferencia de

potencial en otro par de puntos, esta diferencia de potencial seré. la. misma

si se intercambian los puntos de aplicacién de la corriente y los de medida.

(

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1

0) X

X 9;?\ I I

l I Ii i I

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Figura 15.

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I I 1 I I I

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I~\

Z

Representacién de las intensidacies de los dipolos de corrientepara una placa vertical excitada. por un electrode de corrienteen dos posiciones diferentes. (a) Colineal a la placa. (b)En e1 eje x perpendicular a la placa.

C EI _

0) C

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2.5

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I

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J

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I I I I

§

-------

In

§

N

‘___.--N

Figure 16. Representacién de las intensidades de los dipolos de corrientepara una place. inclinada (45°) excitada por un electrodo decorriente en dos posiciones diferentes. (a) Colineal a laplaca. (b) Perpendicular a la placa.

£-

Tratanclo de probar este principio en el campo, Habberjam (1967) realizé

algunas pruebas para diferentes condiciones geoldgicas utilizando un arreglo

tripotencial (Carpenter y I-Iabberjam, 1956), e1 cual consiste de CL1€lt1“O

electrodes igualmente espaciados, semejante a1 arreglo Wenner sdlo que en

este caso se realizan tres mediciones de la resistividad aparente, en las

que se intercambian las posiciones de los electrodes de corriente y potencial

con las siguientes combinaciones /IMNB, ABMN y AMEN. Como resultado

obtuvo que este principio es vzilido dentro de la precision obtenida en las

mediciones.

Para realizar esta prueba con nuestro algoritmo, se utilizd un modelo

arbitrario que consistié en una placa vertical de 10 unidades por lado, a

una profundidad de 2.5 unidades y con una conductancia de 1000 S, se

usé un arreglo dipo1o—dipo1o colineal a la placa (Fig. 17). Los electrodos

de corriente se colocaron a una y dos unidades con respecto al centro de

la placa, mientras que los de potencial a una distancia de 6 y 7 unidades,

posteriormente se intercambiaron las posiciones. Se hicieron varias

discretizaciones, y se observé que conforme el tarnafio de las celdas

disminuye la diferencia de las dos resistividades aparentes tiende a cero.

De tal manera que nuestro algoritmo oumple con el principio de reciprocidad

en funcién de 1a discretizacién del modelo.

IIL4 Prueba de saturacién

Esta prueba surge como consecuencia del fenémeno denominado

canalizacién de corriente, el cual tiene lugar cuando un flujo de corriente

Z2

§

I

J

1

Cl ) -.U.Ll ,

9)

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C| C; P, P2

I P| P2 C;

0+

01251 U H S2

I E0 l

LIL

IQ

PT

70,

I ,,I I I I ,,I —Ie

D 60 ‘I 20NUM. DE CELDAS

Figura 17. Prueba de reciprocidad para una placa vertical utxhzandoun arreglo dipolo-dipolo colineal a la placa, obteniéndose:(a) p, ,(b) p2 , (c) Error (p, - pg en funcién de la discretizacién.

54

sufre variaciones en la frontera entre dos cuerpos con diferentes

Conductividades, lo que dé lugar a la. formacién de cargas en dicha superficie.

Existen en la literatura varios autores que 10 han tratado (Edwards et a.1.,

1978; Jones, 1983, entre otros).

Tomando en cuenta el fenémeno antes mencionado, en este capitulo se

realizan pruebas para determinar e1 nivel de saturacién del modelo de-

placas. La primera de ellas consistié en obtener el limite en el cual la

anomalia es méxima en términos de la conductancia, en tanto que la segunda

prueba fué obtener el nivel de saturacién en funcién del nflmero de

canalizacién de corriente. Se utilizé el mismo modelo arbitrario que para

la prueba de convergencia (place. horizontal). La discretizacién se fijé

para tamafios de celda de 1.25 x 1.25 unidades, se utilizé un arreglo polo-polo

con una sola posicién para los electrodes de corriente y potencial, variandose

e1 valor de la conductancia S desde 0.1 S hasta 10000 S para la primera

prueba y de 0.001 S hasta 1000 S para la segunda prueba.

Los resultados de la primera prueba (Fig. 18) muestran valores de

resistividad aparente normalizados por la resistividad del medio encajonante

en un rango de 0.88 hasta 0.96, observéndose que el nivel de saturacién

empieza aproximadamente a partir de los 15 S.

Para la segunda prueba, los resultaclos obtenidos (Fig. 19) muestran

que la anomalia es de proporcién pequefia con un valor maximo de 4.65% y

el nivel de saturacién desde un nfilmero de canalizacién de corriente de 50,

».

V

I

II

0.960.950.940.93

éZ(l92Q_ 0.91

0.900.890.880.87

II

1-

I L , I '

10

Figura 18. Prueba de saturacién para obtener la anomalia méxima. en

-110° 101 102 101 104CONDUCTANCIA (S)

funcién de la conductancia.

U'l“‘O‘-'

PORCENTAJE Nu-9-

1O l10-210-110° 101 101 105 -

,-

0..

--9-e

._I1_9

NUMERO DE CANALIZACION DE CORRIENTE

Flgura 19. Prue_0a de saturacién para obtener la anomalia, méxima enfuncion del numero de canahzaclon de corriente.

x

aproximadamente. Por me-dio de este tipo de pruebas es posible predecir

cual seria la magnitud de la anomalia producida por un determinado modelo

de placas con ciertas diniensiones y conductancias.

III.5 Conclusiones

En este capitulo se realizaron pruebas de gran importancia para la

utilizacién mas eficiente del algoritmo de placas. Con las pruebas de

convergencia fué posible establecer un mejor criterio para la discretizacién

del modelo. Conforme el tamafio de las celdas disminuye, el valor de

resistividad aparente converge a un valor dado, por lo que podemos decir

que los mejores resultados se obtienen cuando la relacién l/£151.

Se representaron las intensidades de los dipolos de corriente en las

celdas excitadas por un electrodo de corriente de 10 cual se obtuvo que

dichas intensidades son mayores conforme la fuente es mas. colineal a la

placa de tal manera que existe un mejor acoplamiento eléctrico entre fuente

y placa.

Referente a la prueba del principio de reciprocidad se comprobé que

nuestro modelo Io cumple en funcién de la discretizacién de la placa y de

13 Posicién del arreglo helectrédico. Finalmente, de la prueba de saturacién

obtuvimos que la respuesta del modelo utilizado se satura para valores de

conductancia de 15 S y nflmero de canalizacién de corriente de 50.

§s

.=

Iv EXPERIMENTOS NUMERICOS con MEDIO ENCAJONANTE HOMOGENEO

IV.1 Introduccién

Al desarrollar un nuevo algoritmo, es conveniente evaluar su exactitud

comparando los resultados con los obtenidos con otros métodos. El método

éptimo contra el cual este algoritmo se pudiera comparar es con la solucién

analitica de una placa conductora. Desafortunadamente, este caso no es

posible de ser resuelto en forma analitica, debido a que no hay un sistema

coordenado adecuado que descomponga a la ecuacién de Laplace. A

consecuencia de ello tendremos que recurrir a soluciones de otros modelos

diferentes a la placa, ya sean analiticas 0 meramente numéricas.

En este capitulo se hacen comparaciones de las respuestas de

resistividad aparente usando el algoritmo de placas, y las respuestas

obtenidas de los siguientes modelosz liston perfectamente conductor

bidimensional (Grant y West, 1965), esfera perfectamente conductora. (Singh

y Espindola, 1976) y cuerpo cfibico (Pridmore et 9.1., 1981). El primero de

ellos es una soIuci6n analitica, mientras que los dos filtimos son numéricos.

En todos ellos el medio encajonante es un semiespacio de resistividad

uniforme.

IV.2 Listén bidimensional perfectamente conductor

Para obtener una solucidn exacta en teoria del potencial para un modelo

dado, colocado en un semiespacio, es necesario escoger un sistema coordenado

en donde la ecuacién de Laplace se separe en variables independientes, de

tal Inanera que las fronteras, tanto del modelo como de la interfase aire —

tierra, sean superficies equipotenciales. Un modelo que cumple con estas

condiciones es el de un listén bidimensional perfectamente conductor excitado

por un campo eléctrico uniforme (Grant y West, 1965) donde el sistema

coo:-denado es eliptico cilindrico (Arfken, 1970).

La transformacién de coordenadas esta definida por

x'= fcoshp. cosv y'= fsenhu senv (60)

En la figure 20, las lineas uzconstante, representan una familia de

elipses confocales cuyos focos estan en (==f,0). El intervalo de u. es de 0

a °°. Las lineas v=constante son una. familia de hipérbolas confocales que

tiene e1 mismo foco que las elipses y con un intervalo de 0 a 211. El 1ist6n

conductor es representado por la elipse mas delgada |1=|1., , donde 11.0 es

muy pequefia. El desarrollo teérico sobre el calculo de las respuestas se

encuentran en Grant y West (1965, p.427—431). En la figura 21b se muestran

respuestas tipicas del campo eléctrico total a lo largo de un perfil ortogonal

al liston.

Existen tres diferencias fundamentales entre el modelo del listén y

nuestro modelo de placas. E1 modelo del listén considera un campo eléctrico

primario uniforme, el listén es perfectamente conductor (de conductancia

infinite) y es bidimensional, es decir, su extension en rumbo es infinita.

En contraste, el modelo de placas considera campos eléctricos no uniformes

I

I

Figura 20. Sistema de coordenadas eliptico cilindrico para el listén

Figura 21.

.¢!¢"-£3Q4?-H904‘fl::=:=&:.'.a'.-‘=*1-,1!J

I/= 31/72= W/2 -

J/=7

1

conductor (Grant y West, 1965).

J

d I

\' .

3 E0

2E0

E. . anE, —*

0

Liston bidimensional perfectamente conductor excitadopor un campo eléctrico uniforme. (a) Parametros delmodelo. (b) Respuesta tipicas del campo eléctrico totala lo largo de un perfil ortogonal al listén (adaptado deGrant y West, 1965).

515§.

a

5

E

producidos por electrodes puntuales, conductancias finitas y placas con

dirnensiones limitadas. Estas diferencias entre los modelos fueron salvadas,

primero, usando un valor constante para e1 campo eléctrico impreso en cada

una de las celdas (ecs. 21 y 22), y segundo, usando para la conductancia

de la placa un valor muy grande. Por flltimo, ejecutando el programa para

diferentes extensiones en rumbo de la placa.

Las respuestas reportadas por Grant y West (1965) no estan en forma

de perfiles de resistividad aparente sino en el formato de curves

caracteristicas (Fig. 22a). Estas curvas fueron construidas por estos autores

calculando el campo eléctrico secundario a lo largo de un perfil perpendicular

a1 liston para una variedad de parametros d, 11, 1, donde d es la inclinacién

del listén, h su profundidad a la cima y I su extensién en profundidad

(vease Fig. 21a). Para cada combinacion de estos parémetros ellos calculan

el potencial secundario, y a partir de su gradients horizontal estiman los

valores maximo (E iii.) y minirno (E f,ff,) de campo eléctrico, obteniendo asi un

punto en la grafica de (Ef,f§,/Ef,f,‘,,| contra (E§,*§,—E§j§n)/E0, donde E0 es e1

campo eléctrico primario uniforme. La figura 22a de curvas caracteristicas

esta formada por varias de las posibles combinaciones de d y 11/1.

Como esque-Ina de comparacion de respuestas se escogié unicamente la

parte inferior de las curvas paramétricas (Fig. 22a) correspondientes a

h/1=0.]. para las inclinaciones de 20°, 50° y 80°. Se eligio esta zona

porque es donde las curvas caracteristicas presentan una mayor

ortogonalidad entre ellas, lo cual resulta en una mayor resolucion.

3.5 —. |.~

(0'w=s, II/*0) '1 _

0) 3.0 -We

M=O.O I1 I

2.5 —'— _ *_i II 7 =01 /°-I *I ‘ / 100- ‘

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0.1

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(5) EmrIQ

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Is)Emox

Figura 22.

0.2 0.5 {$1.0 ls) 2 5 10Erna: "“ frnin

£0 I

1.1" 0 _ t

90°I -_ ___

P.-‘co0 F71" .'“I-0 —-. -.\*§e 5°‘__ X

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®¥ 20°

Q_6— I I |_J'II1,e E10°

(Elliox — 0510) / E0

53 (O0

F3 \:

Comparacion de las respuestas del listén conductor (Granty West, 1965) con e] modelo de placas para diferentesextensiones. (a) Curvas caracteristicas para variescombinaciones de d y I1/I. (b) Resultados de la comparaciéndel modelo de placas para la relacién h/1=0.1 y las inclinacionesde 20°, 50° y 80°. Asteriscos: respuesta del liston. Cuadros:placa de 2 unidades. Triangulosz placa de 6 unidades.Cruces: placa de 10 unidades.

. ' I _ 4

l

E] camps eléctrico secundario obtenido con e1 algoritmo de placas se

estimé como e1 gradiente horizontal del potencial secundario usando

5"‘=A|//Ax con A:>:=O.5 Después de haber localizado las posiciones

aproximadas del méximo y minimo se ejecuté el programa nuevamente con

una Ax més fina de 0.05. Para. el parémetro 1 se usaron placas de 10

unidades a una profundidad de una unidad. En cuanto a las variaciones

en la extensién en rumbo, se utilizaron 2, 6 y 10 unidades, con una

discretizacién uniforme para la cual se cumple la relacién I/ct=O.5 en la

parte superior de la placa (vease Tabla I). Este criterio esté basado en

la prueba de convergencia hecha para e1 modelo de una placa vertical.

Los resultados de esta prueba se muestran en Ia figura 22b, en el

mismo formato que las curvas caracteristicas. Los asteriscos son los valores

de Grant y West (1965), mientras que los cuadrados, triéngulos y cruces

corresponden a los valores obtenidos de la placa con extensiones en rumbo

de 2, 6 y 10 unidades, respectivamente. La concordancia de Inis resultados

es bastante buena. Los porcentajes de error relativo (Tablas II, III y IV)

son menores a} 4% con excepcién del carso de la inclinacién de 20°, donde

son menores a1 12%. En un principio se esperaba que al aumentar la.

extensién en rurnbo de la placa los errc-res disminuirian debido a que el

listén es bidimensional (extensién infinita en rumba). Desafortunadamente

esto unicamente se observa en dos de las seis coiumnas de las Tablas II,

III y IV. Sin embargo, el hecho de que los errores no disminuyan

sistematicamente puede explicarse por los errores debidos (tanto en los

resultados de] listén como en los de las placas), a las estimaciones del

€

TABLA I.- Variaciones de los parémetroé de las placasen la comparacién con el lisbén conductor.

-_-L4(ABL WDIMENSION DE DISCRETIZACION TAMANO DE LAS RELACIONLAS PLACAS (MN) CELDAS to/prof.

I 3x10._.._,,_ I, @~@-_X-.P;§ ._J.»_ 0-5 7'

I sx10 10X 10 ‘1 Zvrirrll 0-5 X 0-5

12 X 20 0.5 X__g.5 0.5 j i] 0.5

TABLA II.— Comparacién del modelo de placas con ellistén conductor para inclinacién de 20' yla relacién h/l=0.l

[F—' “T; " ””'”" ' *\TAMANO DE Efn’a)x -\ PLACA (AB) E D I

P» H:§v ERROR(%)

(S)Emax

BSAERROR

TABLA III.— Comparacién del modelo de placas con ellistén conductor para inclinacién de 50° yla relacién h/l=0.1

FPLACA (AB) “lbw-——‘\ 1 0

LTAMAEIO 1>E\‘l5;;:.-_1.~;=,»,;r E£6R)0R 1‘;

_l

53.2’. 1

carnpo eléctric0 B partir del gradiente del potencial y de los valores maximos

y minimos. Otras posibles fuentes de error son: la lectura de los valores

E

>

4

E1 problema de una. esfera perfectamente conductora enterrada en un

semiespacio, es de los pocos problemas que pueden ser resueltos

analiticamente. Soluciones de este tipo han sido establecidas por Van

Nostrand (1953), Merkel y Alexander (1971) y Large (1971).

Singh y Espindola (1976) obtienen una solucion numérica utilizando el

método de imz-igenes para satisfacer las condiciones de frontera en la

superficie de la esfera y en la interfase aire-tierra, haciendo una reduccién

de tiempo de computadora al considerar el hecho de que muchas de las

imagenes ocupan la misma posicién. E1 método de imagenes en este caso

solo es aplicable cuando la resistividad de la esfera es cero.

La solucion para la esfera perfectamente conductora (Fig. 23) consiste

en obtener el potencial U satisfaciendo V2U=0 en z>0 y fuera de la

esfera (R > 11) excepto en C y las condiciones de contorno son de que la

corriente no cruce la interfaz 2';=0 ni la superficie de la esfera y que el

potencial sea. constante en R=Cl.

Para que el potencial U sea cero en la superficie de la esfera, se

necesita una imagen de intensidad 1,, en P,(x.. yl, zl) con

II = - ~ ° .

Figura 23.

esfero irnagen

0' (o,o,~z,)

___--0P‘,

QOPu‘-

---..__..-._._.-,

*..___,..'“‘-_

L-

s-4P3

A0‘-Y-U) V7 c(,(°_L,|O]

R OJ I0:11);O1 :1.

40,“!

\ n\. \ J07

I

I 9,»

E 0>.o.z,>

Esfera perfectamente conductors. enterrada en un semiespaciode resistividad 0. E1 origen del sistema coordenado esta ene1 epicentre de la esfera. Se tiene un arreglo po1o—_polo,donde I es la corriente que entre. a1 semiespacio y A el puntodonde el potencial es calculado. Los puntos P,,, 0, 0,, sonlas imagenes en la esfera y P... 0', 0;. son sus refleccionesen z=0. (tornado de Singh y Espindola, 1976). '

22.2Z

1

J

= y°92 63. ( )Y’ [x5 + yé + 2%]

D ro

N ow \\,/9 = 8 - 64N’ z°ll X3 + vi + ( )

donde el electrode puntual de corriente esta colocado en (xo, yo, 2:0), el

centro de la esfera en (0, 0, 20) y su radio es a. Sin embargo esta

imagen I1 en P1 no satisface la condicion de frontera en z=0 por lo que

es necesario sumar una imagen de igual intensidad I1 en P’,{x,, yl, —2:,).

Esto ocasiona que ahora la prime-ra condicion ya no se satisfaga y sea

necesaria otra imagen en P2(x2, ya, 22) de intensidad I2. Asi mismo esto

hace necesario otra imagen de igual intensidad I2 en P’2(x2, ya, -22) de

tal manera que:

1n_1cz[,", = -~* " 8 , 22 , 65

[XE-1 "" 3/2-t '* (Z0+Zn-1)2lt/2 R ( )

, x,,-,a2 ~kn = [X511 + +”(Z0+.Zn—l)2]]/2 , R22 (66)

ya Q2y" = 2 W W ll W 1/2 ' H22 (67)[X..~| "” 3/5-1 "’ (Z0‘*Z~-1)2l

(z.+z.9)a22",, = zo — *2 20 '0 *— 21,2 R22 (68)

[xvi + ya-I + (z0+zn—I)]

13...

x1

1

La. fuente y las imégenes P.(X... 3/... Z.) y P‘,,(x,,, y,.. -Zn), satisfacen

la condicion de frontera. en z=0 y la continuidad del potencial entre la

esfera y e1 semiespacio (U);.-,, = 0). Por lo tanto para cumplir la Condicién

U),...,, =constante y que no haya flujo de corriente de la esfera hacia el

medio encajonante, es necesario colocar una fuente J. en el centro 0 de la

esfera tal que:

w _

J. = -21.

Para dos fuentes de corriente I en (96.1. I)/.1. 0) Y -I 611 (Xs2- 3/.2» O),

como ocurre en la realidad de la exploracién geoeléctrica, entonces U en

el punto A puede ser escrita como:

U : ]p{*_ __ 1* _ 12"[(8-—>-..)2+(y—y..)*1"* [(.~

\

now 2»-° .-1.-_\ 000: .~ my

.92axes /

Y? [1 89

812/‘__

U5

I52

5_

2+

L)‘“'--Q6)

8 1 L9

?.8'@

19‘.

’ .35 ‘

IW 3.80 ip

2 '3 1. ’ ’

1 |

\ /Q).

0.87%

89\1 I I§$6712395

Figura Z4. Comprobacién de las respuestas pubhcadas de Smgh yEspindola (1976) y la calculada con e1 programa de Singh(1976) para una esfera cuya profundidad es normalizada porel radio (zo/a).

la misma que la. de estos autores. Posteriormente, el programa se adapto

para resistividades aparentes polo—polo y este se uso de aqui en adelante

para calcular la respuesta "exacta" de la esfera.

Como modelo estandar se considero una esfera de radio C1 igual a una

unidad con su centro a una profundidad 20 de dos unidades (20/(1 =2). Esta

relacion simula un caso geologico comfin que consiste en un cuerpo masivo

muy conductor con dimensiones de dos unidades de longitud con su cima

localizada a una profundidad de una unidad. Un punto para trabajar en

e1 futuro es considerar esferas mas someras.\

Las resistividades aparentes normalizadas, tanto para la. esfera como

para el modelo de placas, se calcularon a lo largo de dos perfiles, usandose

como factor de normalizacion la. resistividad del semiespacio. E1 perfil A

- A’, (también llamado colineal) coincide-nte con el eje y, se obtuvo manteniendo

fijo el electrodo de corriente positivo en (0,2.6,0) y moviendo el electrodo

de potencial positivo a lo largo del perfil. El perfil B - B’ (también llamado

ortogonal) coincidente con el eje X, se obtuvo manteniendo fijo el electrodo

de corriente en (2.6,0,0) y nuevamente moviendo el de potencial a lo largo

del eje X. Para ambos casos los electrodos negatives de corriente y potencial

se Inantuvieron fijos a una gran distancia de la esfera. En las figuras 25

a 30 se muestran las respuestas de resistividad aparente normalizadas,

como lineas solidas para la esfera y con asteriscos para las placas

discretizadas con 64 celdas. El punto de asignacién corresponds a el

electrodo de potencial movil. Como referencia se incluyen los valores

(triangulos) para la representacién de las placas con una sola celda

1>

El campo secundario de una esfera conductora en la vecindad de una

fuente puntual es producido por una distribucion continua de cargas

localizadas sobre la superficie de la esfera. La filisofia de esta seccion es

la de tratar de encentrar las posiciones, inclinaciones y numero de placas

que mejor simule esta distribucién continua de cargas. La calidad de la

simulacion se juzga por medic de la respuesta de resistividad aparente a

lo large de los dos perfiles arriba mencionados.

Plaoas Verticales (Modelos 1 y 2)

Se probaren dos cases: uno con una sola placa vertical (Modelo 1)

pasando por el centre de la esfera (Fig. 25), y otro con tres placas verticales

paralelas (Modelo 2) distribuidas uniformemente (cada 0.5 unidades) en el

espacio que ocuparia la esfera (Fig. 26). En el modelo 2 la placa colocada

en e1 centre es de dimensiones 2 x 2 unidacles y las de los extremes de

1.73 x 1.73 unidades, éstas fzltimas con una discretizacién menos fina de 7

X 7 celdas.

Placas Inclzinadas (Modelos 3 y 4)

Se utilizaron dos modelos, uno con una placa con inclinacién de 45° y

dimensiones 2.0 x 2.83 unidades (Modelo 3), la cual aorta en forma diagonal

a un cuadrado de 2 unidades por lado (Fig. 27). En este case se usaron

8 X 11 eeldas cuadradas y de aproximadamente igual tamafio que en los

otros ejemplos. El otro case (Modelo 4) consistié en dos placas con

0) b)

F HA Cm_ 7 (_ 9w Lifis A *_ “

4-» +— ’ 7 7 L’ yF PM n” B x 1C 1" "‘- _”~ 3

A =y 1

PER

1.1

P/Po P? 1'-DQ

0.8

0.7 L

0 / \\

I \

“-- §,=wonm \ ,

\ I \\ "1

Z ZK-—-—~—a2

U

1.1-

*E§§§* *AAAA ‘ AAAAA

P9' P/Po Pfm0

0.8 ~

_,__ I ,__l I P OJ _,_ ! I I Pflflki.--2 -1 O 1 2 -2 -1 O 1 2

Figure. 25.

UENQM WQNWM

Modelo 1. (a) Vista en perspective. mostrando la placa verticaly el contorno de la esfera, asi como las posiciones de loselectrodes y perfiles. (b) Seccién en e1 plano x=0. (0)Comparacién de resultados de resistividad aparentenormalizada. Linea continua: respuesba de la esfera.Triaingulosz placa de 1 celda. Asteriscos: place. de 64celdas.

HL A — A’ PERHL B — B’1.2 1.2

0) M

A‘

PIB CIB5-"cst Y V

B F111 /=

CIA]>

PERH11 W ~ 1 11

@

‘z ‘P -I I, \I1 ' \

\ \y \ \ '\ -

1. I

W W_i cm X B

B B 113 XR 3

inclinaciones de 45° y 135° respectivamente (Fig. 28) a. una. profundidad

de 1.3 uniclades, el tamafio de las placas fué de 2 X 2 unidades y una

discretizacién de 64 celdas.

Placas Vertical y Horizontal (Modelo 5)

Se colocaron dos placas de dimensiones 2 X 2 unidades, una vertical

en el centro de la. posicién ocupada. por la esfera y otra. horizontal a una

profundidad de 2 unidades (Fig. 29), de tal manera. que se cruzaran en el

centro de la. esfera (Modelo 5).

Placas Circunscribiendo a la esfera (Modelo 6)

Para este modelo se usaron cuatro placas, dos horizontales y dos

verticales (Fig. 30), colocadas de tal manera que circunscribieran a la esfera.

(Modelo 6). Todas las placas fueron de 2 x 2 unidades y discretizadas con

64 celdas cuadradas (8 x 8). Notese que no es posible encerrar la. esfera.

por los dos lados restantes (perpendiculares al eje y) porque e1 algoritmo

e-sté. desarrollado unicamente para placas paralelas al eje y.

Finalmente se intenté simular la esfera por medio de un apilamiento

de placas horizontales, 10 cual no dio resultados satisfactorios. Las placas

se colocaron a. profundidades dadas por una ley l/23, que es el mismo

comportamiento del camps potencial producido por un dipolo a. profundiciad

Z. Se corrieron varies casos incrementando el nnimero de placas horizontales

0) M

PAC as QBIB IB X

0) 11)AI

P C Xmun: ’B. P“;*)1l,*, * 1. a B

CmA

:\

y \-.

PERFIL A — A’1.2-

Pua Cm

y con variacion en la discretizacion. La resistividad aparente normalizada

sobre la esfera nunca fué menor a 0.98, y hubo convergencia al aumentar

el numero de placas.

Resultados

La comparacion entre las respuestas de la esfera y las de los modelos

de placas se encuentra en las figuras 25-30, mientras que la Tabla V muestra

los errores rms (del Inglés root mean square), definidos como

1 N _ 1/2E,,,,, = [~fiZ(p5—pi")‘] (Y2)

i=1

donde pf y pf son las resistividades aparentes de Ia esfera y placas,

respectivamente, y N es e1 mimero de puntos.

En el perfil colineal con las placas (BA — A’) la mejor respuesta fué

para ei Modelo 1, seguida por los Modelos 5 y 2, con errores rms de 0.0077,

0.0117 y 0.0159, respectivamente. Para e1 perfil B -— B’(ortogona1 a las

placas) las mejores respuestas, en orden decreciente de calidad, fueron

para los modelos 4, 5 y 3, con errores de 0.0117, 0.0150 y 0.030

respectivamente. En conjunto (perfil A - A’ y B — B’), los tres mejores

modelos fueron e1 5, 4 y 1 con errores de 0.0134, 0-0153 y 0.0236

respectivarnente. Como se puede observar, no necesariamente las mejores

respuestas para el perfil colineal corresponden a las mejores para e1 perfil

ortogonal. De estos resultados surge la pregunta éCua1 es la razon por

1

1

1J

1

0) b)

N H1 QB7 7 W P FiB_LlClB > __ W H-M 1 D

B Pm /1 B X X/'

Cm 3A I,’ ‘ ‘ 1"’ \-

A I ‘pr ' ‘Y l ‘ '1' _YQ=IO0.fi.m '.‘ of

Z ¢ Z

PERHL A — A’1.21.1

P/ P."oo 1 DPPo

0.8

A - ..

cl

PERHL B —1.2

1.1

P/Po 9fwo.*.'*'A -1*

0.8

OJ W4 Le e_J 1 I_.2 ._

Figura 29.

Q7 1. 1 L 1 W1-2-101 2

DISTANCIA1'10 1 2DISTANCIA

Modelo 5. (a) Vista en perspective. mostrando las placasvertical y horizontal y e1 contorno de la esfera, asi comolas posiciones de los electrodes y perfiles. (b) Seccién ene1 plano y=0. (0) Comparacién de resultados de resistividadaparente normalizada. Linea continua: respuesta de laesfera. Triangulosz placa de 1 celda. Asteriscos: placade 64 celdas.

B

Q] III

Al

as CBPuaucfi ‘ H *L’

B PmCl

‘ A

Y .\ I

PER

\ \‘I.

cu ><(__

, \-' \

\I \

3=,=|oon m‘ 1\ I

Z Zlfii

cI

FIL A - A’ PERFIL E3 - BA

1.2 LA ' ' -1 l 1.2 "‘ "' "

1.1

P/Po 53'."too

0.8 A

0.7 A I L A L

*-$ t

-it-A 1‘*mfit I

1.1

P/Po Pr"wo *. § a »_*_ ‘II?

0.5 A A0'74 }*L,,I I

-2-1012 -2-1012

Figura 30.

DISTANCIA DISTANCIA

Modelo 6. (a) Vista en perspectiva mostrando las placas quecircunscriben a la esfera y el contorno de la esfera, asicomo las posiciones de los electrodos y perfiles. (b) Seccionen el plano y-"=0. (c) Comparacién de resultados de resistividadaparente normalizada. Linea continua: respuesta de laesfera. Triangulosz placa de 1 celda. Asteriscos: placade 64 celdas.

21

5x

2s1I5

la que unos modelos trabajaron mejor que los otros/B. La respuesta estriba

en el acoplamiento eléctrico entre la placa y la fuente, representada ésta

filtimac por e1 electrodo de corriente. Recuérdese que este método de

ecuacion integral con p}acas delgadas esté basado en e1 campo eléctrico

tangencial a la placa. Entonces, si la placa esté en una posicion tal que

la mayor parte del campo eléctrico impreso es tangencial a la placa, ésta

va a ester bien