764i

Prueba Integral Lapso 2 009 - 2 764 - 1/6

Elaborado por: Frankie Gutirrez y Richard Rico Validado por: Richard Rico

rea de Matemtica

Universidad Nacional Abierta Probabilidad y Estadstica I (764) Vicerrectorado Acadmico Cd. Carrera: 106 - 120 - 508

rea de Matemtica Fecha: 12 - 12 - 2 009

MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 1, 2, 3 y 4

OBJ 1 PTA 1 A continuacin, proporcionamos el nmero de recipientes de un litro de leche vendidos en un supermercado en 27 sbados consecutivos:

67 56 64 78 88 57 65 70 66 67 67 71 61 60 72 69 73 69 75 68 65 66 65 62 71 72 61

Agrupar las cifras de ventas en una distribucin de frecuencias usando clases de longitud 5, usando como clase inferior 55 - 59 y limite de clase inferior 54,5 - 59,5 y construya el histograma correspondiente a la distribucin de ventas de recipientes de un litro de leche. Construya en el histograma el polgono de frecuencia. Nota: El objetivo se considera logrado si responde correctamente ambas partes de la pregunta. Solucin: Ver el ejercicio N 2 de la pgina 113, en la Auto evaluacin de la seleccin de ejercicios para las Unidades 1 y 3 del curso Probabilidad y Estadstica I (cd 764).

OBJ 2 PTA 2 Cada mensaje en un sistema digital de comunicacin es clasificado de acuerdo a como sea recibido dentro del tiempo especificado por el sistema, es decir, el mensaje llega a tiempo o llega tarde. Si tres mensajes son clasificados, determine el espacio muestral. Solucin: Se puede apreciar claramente del enunciado que estamos interesados en formar ternas, donde para cada una de las tres posiciones de la terna existen dos posibilidades, que el mensaje llega a tiempo o que llegue tarde, por lo tanto el nmero de resultados del espacio muestral es: 23 = 8 posibles resultados, y el espacio muestral mismo es:

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }T, T, T , T, T, t , T, t, T , T, t, t , t, T, T , t, T, t , t, t, T , t, t, t OBJ 3 PTA 3 En una reunin hay 8 mujeres y 5 hombres. De cuantas maneras se pueden formar una comisin constituida por 4 mujeres y 2 hombres? Solucin:



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Del grupo de las mujeres tenemos 84

8C =

4 posibilidades, mientras que del grupo de

hombres existen 52

5C =

2 posibilidades.

Por lo tanto existen 8 5

= 7004 2

maneras de formar una comisin constituida por 4 mujeres

y 2 hombres.

OBJ 4 PTA 4 En una poblacin de 100 habitantes hay 40 hombres y 60 mujeres, Cul es la probabilidad que se escoja al azar un grupo de 20 personas y la mitad sean hombres? Solucin:

La probabilidad de escoger al azar a un hombre es: 40p = = 0,4100

y la de escoger al azar a

una mujer es 60q = = 0,6 =1-p100

.

El nmero de hombres, NH, que aparecen al escoger al azar un grupo de 20 personas tiene una distribucin binomial de parmetros n = 20 y p = 0.4. Por lo tanto la probabilidad de que en un grupo de 20 personas escogidas al azar la mitad resulte hombre es:

( ) ( ) 10 1020P(NH =10) = 0,4 0,6

10

OBJ 5 PTA 5 Un estudiante responde a una pregunta, en un examen de relacin mltiple, que tiene cuatro posibles respuestas. Supongamos que la probabilidad de que el estudiante sepa la respuesta a la pregunta es 0,8 y la probabilidad de que adivine es 0,2. Suponiendo tambin, que si el estudiante adivina, la probabilidad de que seleccione la respuesta correcta es 0,25. Si el estudiante responde una pregunta correctamente, Cul es la probabilidad de que realmente sabe la respuesta correcta? Solucin: Sean los eventos definidos como sigue: A = el estudiante sabe la respuesta B = el estudiante adivina la respuesta C = el estudiante contesta correctamente Se tiene que: P(A) = 0,8 ; P(B) = 0,2 ; P(C | B) = 0,25 ; P(C | A) = 1 Queremos calcular P(A | C) la cul por la frmula de Bayes es:



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( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )P C A P A 1 0,8 0,80P A C = P(A | C) = = = 0,94

1 0,8 + 0,25 0,2 0,85P C A P A +P C|B P B

OBJ 6 PTA 6 El productor de un tipo de leche con pocas caloras quiere comparar la atraccin que ejerce el sabor de una nueva preparacin (frmula B) con respecto a la preparacin estndar (frmula A). Se dan a cada uno de cuatro jueces tres vasos, de modo aleatorio, dos de los cuales contienen la frmula A y el otro la frmula B. Se pregunta a cada juez cul vaso disfruto ms. Suponga que las dos preparaciones son igualmente atractivas. Sea Y el nmero de jueces que prefieren la nueva frmula. Encuentre el valor esperado de Y. Sugerencia: Encuentre primero la funcin de probabilidad para Y y determine la probabilidad de cada caso posible para el numero de jueces que prefiera la nueva frmula y luego calcule lo sealado en el enunciado. Solucin: Como se aprecia en el enunciado, Y , sigue una distribucin Binomial de parmetros 4=n y

1p =3

. Esto es:

( ) k 4-k4 1 2P Y = k =

k 3 3

Por lo tanto:

Para k = 0 se tiene que ( ) 0 4 44 1 2 2P Y = 0 = = 0,1975

0 3 3 3

Para k = 1 se tiene que ( ) 1 3 34 1 2 1 2P Y =1 = = 4 0,3950

1 3 3 3 3

Para k = 2 se tiene que ( ) 2 2 2 24 1 2 1 2P Y = 2 = = 6 0,2962

2 3 3 3 3

Para k = 3 se tiene que ( ) 3 1 34 1 2 1 2P Y = 3 = = 4 0,0987

3 3 3 3 3

Para k = 4 se tiene que ( ) 4 0 44 1 2 1P Y = 4 = = 0,0123

4 3 3 3

Luego,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E Y = 0P Y = 0 +1P Y =1 +2P Y = 2 +3P Y = 3 + 4P Y = 4= 0+0,395+0,593+0,296+0,049 =1,333.

Este valor de 1,333 nos indica que hay preferencia por la nueva frmula, ya que en promedio hay menos de dos jueces que sienten preferencia por la nueva preparacin.



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OBJ 7 PTA 7 Determine la funcin de masa de probabilidad conjunta para las variables X con valores 1 y 2 y probabilidad 1/4 e Y = X2 con valores 1 y 4 y probabilidad 1/2. Solucin: La funcin de masa de probabilidad conjunta de X e Y, pX,Y(x, y) = P(X = x, Y = y) para x = 1, 2 e y = 1, 4 est dada en la tabla siguiente:

X X2

- 2 - 1 1 2

1 0 1 4 1 4 0

4 1 4 0 0 1 4

OBJ 8 PTA 8 El siguiente resultado es importante porque nos permite calcular la funcin de densidad (y por tanto la funcin de distribucin) de una suma de variables aleatorias independientes, a partir del conocimiento de las funciones de densidad individuales asociadas a cada variable.

Sean X e Y variables aleatorias independientes. Si X e Y tienen funcin de densidad conjunta f, entonces Z = X + Y tiene funcin de densidad dada por

fZ(z) = ( ) ( )

Y

-xf x f z - x dx = ( ) ( )

Y

-xf z - y f y dy

Dadas X e Y variables aleatorias independientes con distribucin uniforme [0, 2] y [0, 2] respectivamente, halle la funcin de densidad de la variable aleatoria Z = X + Y. Solucin: Puesto que X e Y son variables aleatorias con distribucin uniforme, tenemos que:

( ) X

1 , 0 x 2f x = 2

0 , en otro caso , ( )

Y

1 , 0 y 2f y = 2

0 , en otro caso,

son las respectivas funciones de densidad de dichas variables. Recordemos que la densidad de la variable suma Z = X + Y, viene dada por la convolucin de ( )Xf x y ( )Yf y , esto es:

( ) ( ) ( ) Z X Yf z = f x f z - x dx ,

para

0 x 20 z - x 2

, de donde obtenemos que

0 x 2x z - 2 x

.

Por lo tanto,



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( ) ( ) ( ) Z X Yf z = f x f z - x dx

= z

0

1 1 zdx =2 2 4

, 0 z 2

= 2

z - 2

1 1 4 - zdx = 2 2 4

, 2 < z 4

Los lmites de las integrales son determinados de las condiciones 0 x 2, y 0 z - x 2. En resumen:

( )

Z

z 0 z 244 - zf z = 2 z 4

4

0 en otro caso

La grfica de fZ es la mostrada en la figura:


Elaborado por: Frankie Gutirrez y Richard Rico Validado por: Richard Rico rea de Matemtica

OBJ 9 PTA 9 Determine el coeficiente de correlacin para las variables X e Y cuando X toma los valores 1 y 2, cada uno con probabilidad 1/4, e Y = X2. Solucin: Para determinar el coeficiente de correlacin entre las variables X e Y, debemos primero calcular la covarianza y luego la desviacin estndar tanto de X como de Y. Es claro que Y toma los valores 1 y 4 (por qu?) con probabilidad cada uno, por lo tanto, la funcin de masa de probabilidad conjunta viene dada por:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1414

XY 1414

, para x, y = -1,1, para x, y = 1,1

P x, y =, para x, y = -2, 4, para x, y = 2, 4

.

La media y la varianza estn dadas por: E(X) = (- 2)(1/4) + (- 1)(1/4) + (1)(1/4) + (2)(1/4) = 0 E(Y) = (1)(1/2) + (4)(1/2) = 5/2 = 2,5

Var(X, Y) = (- 1)(1)(1/4) + (1)(1)(1/4) + (- 2)(4)(1/4) + (2)(4)(1/4) = 0. De aqu que:

Cov(X, Y) = E(X) E(Y) Var(X, Y) = 0, con lo que resulta que el coeficiente de correlacin entre X e Y es 0, esto es:

= 0 Lo anterior muestra que X e Y estn no correlacionadas.

FIN DEL MODELO

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